Третьим моментом, появляющимся, примерно, в одно время с элементами исследования, является доказательство правильности выполнения построения. Уже такие задачи в 7 классе как построение угла, равного данному, построение перпендикуляров с помощью циркуля и линейки и т. д. ставят на очередь вопрос о том, будет ли построенный угол действительно равен данному, будет ли построенная прямая перпендикулярна к данной? Однако и на этой стадии работы и на последующих нет большой необходимости (только для соблюдения формального однообразия изложения) требовать проведения доказательства в тех задачах, где правильность построения усматривается непосредственно. Некоторые, даже сравнительно сложные, задачи на построение, могут, как кажется, оставляться без особого доказательства. Например, задача, решаемая методом геометрических мест: построить треугольник по основанию, противолежащему углу и медиане, проведенной к основанию.

Наконец, последним по времени элементом решения, на котором фиксируется внимание учащихся, является анализ. Началом этого вида работы следует считать обращение к ученикам, "придумавшим" то или иное решение задачи, с вопросом: "А как ты это решение нашел?". Потом постепенно надо подвести учащихся к мысли о том, чтобы фиксировать свое внимание на самом процессе отыскания метода решения, этот процесс и получает название анализа.

Из выше сказанного следует, что в деле введения понятий анализа, построения, доказательства и исследования следует соблюдать с одной стороны, постепенность, а с другой стороны, - настойчивость в смысле многократного систематического обращения к одним и тем же вопросам.

Перейдем теперь ко второму вопросу - о введении в курсе геометрии схемы деления решения задач на построение на четыре части. Несомненно, что изучение этого вопроса на том месте, на котором он поставлен в учебниках, следует считать несвоевременным и не достигающим цели. Тем не менее, схема решения должна быть сообщена учащимся, но лишь значительно позднее. В течение учебного года, с начала курса геометрии в 7 классе до середины курса 8 класса, или даже несколько дольше, должна идти та систематическая, иногда даже незаметная для учащихся работа учителя по ознакомлению учеников с элементами общей схемы решения, о которой говорилось выше. Лишь в 8 классе учитель на примере специально подобранной задачи полностью излагает учащимся всю схему решения. Задачу следует, конечно, подобрать так, чтобы она допускала один наиболее естественный ход решения (при анализе задачи мысль учащихся должна легко пойти по вполне определенному пути), чтобы она требовала исследования, и в то же время, чтобы это исследование не было слишком сложным. Вместе с тем задача не должна быть слишком простой, так как в этом случае способ решения может оказаться очевидным для учащихся, и тогда анализ задачи покажется им чем-то искусственным. Наиболее подходящими для этой цели являются задачи, решаемые методом геометрических мест. Хорошим примером для иллюстрации общей схемы решения задач на построение является задача: "Построить треугольник по двум сторонам и острому углу, лежащему против одной из них".

Сделав чертеж произвольного треугольника, учащиеся составляют план построения и при соответствующем выборе данных получают два решения. Они видят необходимость доказательства (проверки, какой из полученных треугольников является искомым), а также и необходимость исследования (всегда ли получим два решения?). Здесь естественно выделяются все этапы и очевидна их целесообразность. Если учащиеся хорошо владеют основными построениями, больших затруднений в оформлении решений они не испытывают.

Эта задача на построение является хорошим примером, показывающим связь между числом решений задачи на построение треугольника по определенным данным и признаками равенства треугольников.

При решении задач на построение параллелограммов хорошим примером для повторения общей схемы будет задача: "Построить параллелограмм по стороне и двум диагоналям".

После того как схема решения задачи на построение объяснена учащимся, этой схемы следует придерживаться при решении всех дальнейших задач на построение.

Тем не менее, необязательно все задачи решать, строго придерживаясь схемы с подробным описанием всех этапов. Ученики проводят анализ лишь тогда, когда решение задачи не очевидно, доказательство - когда в нем есть необходимость.

Усвоение учащимися общей схемы имеет большое значение не только для решения задач на построение. С методической точки зрения и при решении арифметических задач, и при решении задач на составление уравнений мы пользуемся теми же четырьмя этапами, что и при решении задач на построение.

Остановимся более подробно на рассмотрении этапа "исследование". Каждая задача на построение включает в себя требование построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую определенным условиям, которые в большинстве своем задаются размерами или положением некоторых геометрических образов. Условия задач формулируются в самом общем виде, а поэтому исходные данные являются как бы параметрами, принимающими всевозможные допустимые значения. Необходимо учить школьников видеть эти допустимые значения.

Они определяются наиболее естественным образом. Например, в задаче: "Построить треугольник по двум сторонам а и b и углу С между ними" допустимыми значениями для а и b будут всевозможные отрезки, которые можно характеризовать положительными числами, их длинами, а угол С может принимать всевозможные значения от 0° до 180°.

Рассмотрим задачу: "Построить окружность, касающуюся данной окружности в данной на ней точке и данной прямой". В ней прямая может занимать любое положение на плоскости. Окружностью также может быть любая окружность на плоскости. Но так как окружность характеризуется положением центра и величиной радиуса, то можно сказать, что центром данной окружности может быть любая точка плоскости, а радиусом - любой отрезок, длина которого 0<?<?.

Иногда рассматривают и направленные окружности, тогда уже радиус может быть и неположительным числом, но подобные случаи обычно оговариваются в условии задачи. Точка также может занимать произвольное положение, но уже не на плоскости, а на данной окружности, так как она обязательно должна принадлежать ей.

Решение задачи на построение считается законченным, если указаны необходимые и достаточные условия, при которых найденное решение является ответом на задачу. Значит, мы при всяком выборе данных должны устанавливать: имеет ли задача решение и если имеет, то сколько. Например, "Построить окружность, проходящую через три данные различные точки". Если данные точки не лежат на одной прямой, то задача имеет решение и притом только одно; если же точки лежат на одной прямой, то задача решения не имеет.

Переходим теперь к одному из самых существенных, в методическом отношении, вопросов исследования задачи на построение. Как установить и перечислить все те случаи, которые имеют существенное значение для решения данной задачи? Известно, что очень часто учащиеся, решающие ту или иную задачу, особенно на первых порах, пытаются исследовать ее, исходя из вопроса: "А что будет, если…", придумывая те или иные "если" более или менее произвольно. Необходимо приучать учащихся вести исследование по самому ходу построения. Желая исследовать задачу, надо в последовательном порядке перебрать еще раз те операции, из которых слагается построение, и для каждой из этих операций определить, всегда ли она возможна, какое число точек, отрезков и т. д. эта операция может давать. Таким путем удается сравнительно легко научиться исследованию задачи.

Исследование является составной частью решения. Решение задачи на построение можно считать законченным, если узнаем, сколько искомых фигур получим при определенных условиях, и, в частности, указано, когда получим искомый геометрический образ. Но исследование в задачах на построение, как и исследование при решении других задач по математике, имеет и общеобразовательное значение.

В процессе исследования учащиеся упражняются в практическом применении диалектического метода мышления. Они видят, что изменение данных задачи вызывает изменение искомой фигуры. Мы имеем дело не с "закостенелыми", а с изменяющимися геометрическими образами, изменение одних величин обусловлено изменением других.

Несмотря на необходимость и целесообразность исследования при решении задач на построение, этому этапу и в школе, и в методической литературе уделяется недостаточно внимания. Большое внимание уделяется обычно отысканию решения - анализу. Анализ - основной этап при решении задач на построение: не найдя решения, нельзя провести ни построения, ни доказательства, ни исследования. Но по трудности выполнения исследование является не менее сложным этапом. Наибольшее количество ошибок допускается именно при исследовании. [18]

2.2 Основные методы решения задач на построение

2.2.1 Общее понятие о точечных преобразованиях фигур

Пусть Ф некоторая фигура, расположенная в плоскости. Пусть установлено некоторое правило, в силу которого каждой точке М фигуры Ф ставится в соответствие некоторая определённая точка Мґ той же плоскости. Тогда говорят, что в плоскости установлено преобразование фигуры Ф. При этом точка Мґ называется образом точки М, а точку М называют прообразом точки Мґ. Совокупность всех точек, соответствующих точкам данной фигуры Ф, образует некоторую фигуру Фґ, которая называется образом данной фигуры; при этом первоначальную фигуру называют прообразом фигуры Фґ.

Фигура Ф может быть, в частности, всей плоскостью.

Указанное выше правило соответствия может быть задано в словесной форме или осуществляться в форме определённого геометрического построения, или формулироваться аналитически.

Преобразование, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие эта же точка, называют тождественным преобразованием плоскости.

Преобразование фигуры называется взаимно однозначным, если каждая точка фигуры-образа имеет только один прообраз.

Среди взаимно однозначных преобразований особую роль играют движения.

Движением на плоскости называют в геометрии всякое преобразование, обладающее следующим свойством: если А и В - две произвольные точки фигуры Ф, преобразующие соответственно в точки Аґ и Вґ, то АВ и АґВґ равны между собой.

Две произвольные фигуры принято называть равными, если существует движение, преобразующее одну из них в другую, так что всякое движение преобразует каждую фигуру в равную ей фигуру.

Применение преобразований к геометрическим построениям часто называют в теории геометрических построений методом геометрических преобразований. Идея метода геометрических преобразований состоит в том, что искомую или данную фигуру преобразуют так, чтобы после этого построение стало проще или даже непосредственно привело к какой-либо элементарной задаче. [1]

2.2.2 Метод параллельного переноса

Пусть на плоскости задан некоторой вектор ?.

Параллельным переносом фигуры Ф на вектор называется такое преобразование фигуры Ф, при котором каждой точке М этой фигуры ставится в соответствие точка Мґ плоскости, что выполняется условие:

=.

Сущность метода параллельного переноса для геометрических построений состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются некоторые другие фигуры, которые получаются из данных или искомых фигур, или из частей путём переноса на некоторый вектор.

Этим путём иногда удаётся облегчить проведение анализа. Метод параллельного переноса применяют главным образом для объединения разрозненных частей фигур. Особенно часто, этим методом пользуются для построения многоугольников; когда среди искомой фигуры есть элементы, расположенные на параллельных прямых и находящиеся друг от друга на определённом расстоянии. [19]

2.2.3 Метод поворота или вращения

Метод поворота или вращения используется в тех случаях, когда среди данных задачи имеется определённый угол с вершиной в некоторой точке. Поворачивая всю искомую фигуру или часть её вокруг этой точки на выделенный угол, мы получаем возможность увеличить число известных элементов фигуры. Обычно это помогает успешно продолжить решение задачи. [1]

Пусть на плоскости даны точка О и ориентированный угол б. Каждой точке М данной плоскости будем ставить в соответствие такую точку Мґ чтобы 1) ОМ=ОМґ; 2) = б. Такого рода соответствие называется вращением плоскости около точки О на угол б. Точка О называется центром вращения, угол б - углом поворота. [4]

2.2.4 Метод осевой симметрии

Две точки плоскости М и Мґ называются симметричными относительно прямой s, если они расположены на одном перпендикуляре к прямой s и прямая s делит отрезок ММґ пополам. Преобразование, при котором каждой точке данной фигуры ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно прямой s, называется осевой симметрией или отражением в прямой s. Прямая s называется при этом осью симметрии.

Метод симметрии состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются также фигуры, симметричные некоторым из них относительно некоторой оси. При удачном выборе оси и преобразуемой фигуры решение задачи может значительно облегчиться, а в иных случаях симметрия непосредственно даёт искомые точки. [4]

2.2.5 Метод геометрических мест точек

Геометрическая фигура может быть задана различными способами: как пересечение или соединение данных фигур, путём указания определяющего её свойства, путём указания свойства, которым обладает каждая её точка, и т.п. Если фигура задана путём указания свойства, которым обладают все точки этой фигуры и только они, то такую фигуру называют геометрическим местом точек, обладающих указанным свойством (ГМТ).

Таким образом, геометрическим местом точек плоскости, обладающих указанным свойством, называется фигура, состоящая из всех тех и только тех точек плоскости, которые обладают этим свойством.

Свойство, при помощи которого характеризуется то или иное геометрическое место точек, называется характеристическим свойством точек этого геометрического места.

Часто новые фигуры вводятся в геометрию именно как геометрические места, например, окружность - в школьном курсе геометрии, эллипс, гипербола и парабола - в курсе аналитической геометрии. При составлении уравнений линий в аналитической геометрии их рассматривают именно как ГМТ.

ГМТ может быть не только линией или совокупностью нескольких линий, но также конечной совокупностью точек, областью плоскости и др. Может оказаться также, что ГМТ, обладающих некоторым указанным свойством, вовсе не существует.

Не следует смешивать нахождение ГМТ с его построением: первое само по себе не предполагает второго; иногда найденное ГМТ и не может быть построено с данным набором инструментов.

В анализе решения задачи на нахождение ГМТ обычно начинают с того, что на чертеже изображают данную фигуру и рассматривают какую-либо точку, принадлежащую по предположению искомому ГМТ. Устанавливают некоторые связи этой точки с данными элементами, вытекающими из определения ГМТ и помогающие определить его форму и положение. Анализу способствует рассмотрение какого-либо частного случая или же непосредственное построение нескольких точек, принадлежащих ГМТ. В результате анализа приходим к предположительному решению задачи, которое требует ещё обоснование, т.е. доказательства.

В ходе доказательства устанавливается справедливость двух взаимно обратных предположений: 1) что всякая точка найденной (в анализе) фигуры обладает характеристическим свойством точек искомого ГМТ и 2) что каждая точка, обладающая указанным характеристическим свойством, принадлежит найденной при анализе фигуре. Полезно иметь в виду, что доказательство предположения 2) может быть заменено доказательством следующего предположения 2ґ): если какая-либо точка не принадлежит найденной фигуре, то она не обладает указанным характеристическим свойством.

Исследование заключается в рассмотрении различных случаев, которые могут представиться при решении задачи в зависимости от того или иного выбора данных.

Многие ГМ точек удобно использовать в процессе решения задач на построение. Для этого необходимо знать эти множества и уметь их строить. ГМТ могут иметь несколько характеристических свойств, каждое из которых можно использовать для определения и построения самого множества. Рассмотрим наиболее часто используемые геометрические места точек плоскости:

1. ГМ точек, удаленных от некоторой точки О на расстоянии r, есть окружность с центром в точке О и радиусом r.

2. ГМ точек, равноудаленных от двух данных точек А и В, есть серединный перпендикуляр отрезка АВ.

3. ГМ точек, удаленных от данной прямой на расстояние a, есть совокупность точек двух прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от неё на расстоянии а.

4. ГМ точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых, есть прямая, параллельная данным прямым и отстоящая от них на одинаковом расстоянии.

5. ГМ точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, есть совокупность точек двух прямых, содержащих биссектрисы четырёх углов, образованных при пересечении данных прямых.

6. ГМ точек, равноудалённых от сторон угла АОВ, указано на рис. 8. Оно состоит из точек биссектрисы ОМ и точек плоского угла LON, где луч OL перпендикулярен стороне ОА, а луч ON перпендикулярен стороне ОВ.

7. ГМ точек, из которых данный отрезок АВ виден под данным углом б, состоит из двух дуг с концами в точках А и В, симметричных относительно прямой АВ, причем точки А и В этому ГМ точек не принадлежат. Способ построения этого множества указан на рис. 9.

8. ГМ точек, из которых данная окружность радиуса r видна под данным углом б, является окружностью, концентрической с данной окружностью, и с радиусом R (Рис. 30):

R=r/sin.

9. ГМ середин равных хорд данной окружности есть окружность, концентрическая с данной окружностью и касающаяся этих хорд (рис. 31).

10. ГМ середин хорд, проведенных в данной окружности из одной точки, есть окружность, построенная на соответствующем радиусе как на диаметре (рис. 32).

11. ГМ точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек А и В есть величина постоянная, равная кІ, является окружностью. Центром этой окружности служит середина отрезка АВ, а диаметр равен v2кІ-а, где а - длина отрезка АВ.

12. ГМ точек, для которых разность квадратов их расстояний от двух данных точек А и В есть величина постоянная, равная аІ, есть прямая, перпендикулярная прямой АВ и проходящая через точку прямой, для которой это соотношение выполняется (рис. 33).

13. ГМ точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек равно m:n=л, где л>0, л=const и л?1, есть окружность (окружность Аполлония) (рис 34).

14. ГМ точек, отношение расстояний которых до данной точки А и данной прямой h есть величина постоянная, является коническим сечением.

15. Пусть а-данная прямая, S-центр пучка лучей, исходящих из этой точки. На каждом луче отметим точки, находящиеся на одинаковом расстоянии s от прямой, а вдоль по лучу пучка. Множество этих точек называется конхоидой Никомеда.

16. Рассмотрим окружность, касательную к окружности в некоторой её точке А, пучок лучей с центром в точке окружности S, диаметрально противоположной к точке А. На каждом луче пучка SQ отложим отрезок SМ, равный отрезку РQ, где Р-точка пересечения луча с окружностью, а Q- с касательной в точке В. Множество полученных точек М называется циссоидой Диоклеса.

Известны многие другие множества точек, обладающие интересными геометрическими свойствами. [1]

2.2.6 Метод подобия или гомотетии

Пусть на плоскости задана некоторая точка S и, кроме того, задано действительное число k, неравное нулю.

Гомотетией с центром в точке S и коэффициентом k называется такое преобразование фигуры, при котором:

1 Каждой отличной от S точке P этой фигуры сопоставляется такая точка Pґ, что:

а) точки S, P и Pґ лежат на одной прямой;

б) длина отрезка S Pґ в раз больше длины отрезка SP, т.е.

SPґ=•SP;

в) отрезки SPґ одинаково направлены, если k>0, и противоположно направлены, если k<0.

2 Точке S сопоставляется эта же точка.

Рассмотрим некоторые частные случаи гомотетии.

1. k=1. В этом случае , т.е. точка Pґ совпадает с точкой P (при любом выборе P). Иными словами, каждая точка плоскости преобразуется в себя. Таким образом, при k=1 гомотетия представляет собой тождественное преобразование плоскости.

2. k=-1..Точка Pґсимметрична точке P относительно центра гомотетии. В этом случае гомотетия является симметрией относительно точки S.

Наглядно можно представить гомотетию при k>0 как растяжение плоскости от точки S, а при 0<k<1 - как сжатие плоскости гомотетии. Гомотетия называется прямой при k>0 и обратной при k<0. В случае прямой гомотетии точка и её образ располагаются по одну сторону от центра, в случае обратной гомотетии - по разные стороны.

Если существует гомотетия, преобразующая данную фигуру Ф в некоторую другую данную фигуру Фґ, то эти фигуры называют иногда перспективно-подобными или подобными и подобно-расположенными, а центр гомотетии называется центром подобия этих фигур. В случае, когда каждая точка фигуры Ф и соответственная ей точка фигуры Фґ располагаются по одну сторону от центра подобия, центр подобия называется внешним. Если же соответственные точки перспективно-подобных фигур располагаются по разные стороны от центра подобия, то центр подобия называется внутренним.

Метод подобия или гомотетии используется в тех случаях, когда данные условия задачи можно разделить на две группы; при этом первая группа данных условий определяет форму искомой фигуры, а вторая группа - размеры фигуры. Метод подобия находит применение обычно в тех случаях, когда среди данных лишь одно является отрезком, а все остальные - либо углы, либо отношения отрезков.

Метод построения заключается в следующем. В начале, по данным условиям первой группы строят любую фигуру, отвечающую требованиям этой группы. Затем с помощью гомотетии на основе данных условий второй группы изменяют размеры фигуры так, чтобы получилась фигура, обладающая нужной формой и размерами. [3]

2.2.7 Алгебраический метод

Пусть даны на плоскости отрезки , ; a,b,c,…,l - их длины при некоторой избранной единице измерения. Требуется построить с помощью данных инструментов отрезок , длина которого при той же единице измерения выражается через длины a,b,c,…,l данных отрезков заданной формулой: Y=f(a,b,c,…,l).

Результат построения отрезка, длина которого является функцией от длин данных отрезков, не будет зависеть от выбора единичного отрезка тогда и только тогда, когда для этой функции выполняется условие f(ka, kb, kc,…, kl)= k f(a,b,c,…,l). Функцию, удовлетворяющую этому условию, называют однородной функцией первого измерения.

Пользуясь понятием однородной функции, выделяют некоторые классы алгебраических выражений, которые могут быть построены циркулем и линейкой. Построение этих выражений производится с помощью основных построений, которые либо очевидны, либо легко прослеживаются по приведенным рисункам. Построение ясно из рисунка

1. x=a+b.

2. x=a-b, a>b.

3. x=na,

где n - натуральное число.

4. x=, x=,

где n, m- натуральные числа.

5. x=

(построение отрезка, четвёртого пропорционального трём данным отрезкам) (рис. 35).

Рис. 35

6. x=

- (построение среднего пропорционального двух данных отрезков рис. 36).

Рис. 36

7. x=

8. x=, (a>b)

К рассмотренным построениям можно свести построение отрезков, заданных более сложными формулами. В общем, отрезок, длина которого выражается через длины данных отрезков с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции извлечения квадратного корня, всегда можно построить с помощью циркуля и линейки.

Особенностью использования алгебраического метода решения задач на построение является следующее. Среди неизвестных элементов искомой фигуры выбирают отрезок, имеющий ключевое значение для построения искомой фигуры. Длину этого отрезка с помощью соответствующих теорем выражают через длины известных отрезков. Затем отрезок строят по найденной формуле. Построенный отрезок присоединяют к данным элементам фигуры и заканчивают решение задачи. [1]

2.3 Применение метода ГМТ при решении задач на построение

2.3.1 Методические рекомендации по методу ГМТ

Понятие "геометрическое место точек", являющееся синонимом понятия "множество", одного из основных понятий современной математики, вводится в элементарной геометрии исключительно ввиду его наглядности, образности; слово "место" как бы отвечает на вопрос, где "помещаются" точки, обладающие тем или иным свойством.

Знание геометрических мест точек, обладающих определенным свойством, облегчает нахождение решения для многих практических задач. Например, для решения задач на сопряжение окружностей и прямых, с которыми учащиеся встречаются довольно часто на уроках труда в школьных мастерских при опиливании криволинейных поверхностей (изготовление дуги для лобзика, отвертки, гаечного ключа и т. п.), при изготовлении приборов, пособий для школы, которые они часто делают не по чертежам, а по техническим рисункам, не выполняя деталировки каждой детали, необходимо знать соответствующие геометрические места.

Следует учитывать, что понятие "геометрическое место точек" необходимо и в курсе алгебры при изучении графиков простейших функций в VII-VIII классах. График функции определяется как геометрическое место точек плоскости, координаты которых являются соответственными значениями аргумента и функции. Понятие графика необходимо и в курсе физики, где в последние годы все большее значение приобретает графический метод.

Понятие ГМТ, обладающих некоторым свойством, лучше ввести на примере ГМТ, равноудаленных от двух данных точек. А затем, когда будут изучены признаки равенства прямоугольных треугольников, при решении задачи о нахождения точки, равноудаленной от двух данных точек А и В, необходимо дать определение ГМТ, обладающих некоторым свойством, как множество всех точек, обладающих этим свойством.

Уже в 7 классе встречаются некоторые задачи, решение которых можно было бы рассматривать как использование метода геометрических мест (например, задача на построение треугольника по трем сторонам). Однако само упоминание о методе и его изучение должно быть отнесено к 8 классу.

В каком же месте курса 8 класса следует знакомить учащихся с методом геометрических мест? Несомненно, что это должно быть сделано по возможности ранее. Наиболее подходящим для этого временем был бы тот момент, когда учащиеся в конце темы "Четырехугольники" ознакомились с достаточным числом геометрических мест.

Учитель начинает с того, что показывает учащимся, какое значение имеет идея геометрического места при решении хорошо известной им задачи, скажем при построении треугольника по трем сторонам. Пусть основание треугольника АВ уже построено; остается определить положение третей вершины С. Выясняется, что для определения положения точки С в задаче остаются два условия: длина сторон АС и ВС. Проводя дугу окружности с центром в точке А и радиусом В, мы строим геометрическое место точек, расстояние которых от точки А равно В; аналогично для второй дуги, и т. д. Вслед за этим может быть предложен как в классе, так и для решения дома, ряд других несложных задач, близких по содержанию к предыдущей, например:

1) построить треугольник по основанию, медиане, проведенной к основанию и боковой стороне;

2) построить треугольник по основанию, боковой стороне и высоте, опущенной на основание.

Целесообразно в качестве одной из первых задач на метод геометрических мест дать и такую задачу, где искомая фигура определялась бы не только по своей форме и размерам, но и по положению на плоскости. Примером может служить следующая задача:

3) построить равнобедренный треугольник, у которого основанием служит данный отрезок АВ, а вершина лежит на данной окружности [10].

В дальнейшей работе по геометрии в 8 классе задачи на метод геометрических мест должны предлагаться систематически до конца учебного года вместе с задачами на вычисление. Наряду с этим применение метода геометрических мест должно быть отчетливо выяснено учащимся и в тех вопросах теоретического курса, где это уместно. Сюда относятся такие вопросы, как проведение окружности через три точки, построение касательной к окружности из данной точки, построение вписанных и описанных окружностей (при решении этой задачи особенно полезным будет рассмотрение геометрического места точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, вместо геометрического места точек, равноудаленных от сторон данного угла).

Задачи на построение, решаемые методом геометрических мест, могут быть весьма разнообразными. Не следует ставить себе целью дать какую-либо формальную их классификацию - она не имела бы большой ценности ни с научной, ни с методической стороны. Точно также не следует ставить цель указать некий стандартный список задач этого рода для средней школы. Это просто помощь преподавателю в подборе, а также и в составлении вновь задач такого рода, указав те точки зрения, которых при этом необходимо было бы придерживаться.

Различные задачи на построение, разрешаемые методом геометрических мест, отличаются одна от другой, прежде всего, характером тех геометрических мест, с помощью которых определяется положение искомой точки. Отбирая задачи на построение для решения с каждым классом, следует подумать о том, чтобы в этих задачах встречались, по возможности, разнообразные сочетания этих основных геометрических мест. Тем самым будет обеспечено достаточное разнообразие разрешаемых задач по существу, по той идее, которая лежит в их основе. [18]

2.3.2 Программа факультативного курса занятий для 8 класса по теме: "Задачи на построение и методы их решения"

Программа рассчитана на 6 часов. Занятия проводятся по 1 часу.

Цели факультативного курса:

1. Сформировать у учащихся представление о методе ГМТ, используемом при решении задач на построение, и научить его применять.

2. Сформировать четкое представление об этапах решения задач на построение.

3. Способствовать развитию конструктивных способностей учащихся.

4. Сформировать настойчивость, целеустремленность, трудолюбие через решение задач.

5. Развить математическую речь с присущей ей краткостью, точностью и лаконичностью.

Занятие №1. Тема: ГМТ. Метод ГМТ.

Тип: урок изучения нового материала.

Цели:

1) образовательные: повторить ранее изученный геометрический материал по теме решение задач на построение, сформировать у учащихся понятие геометрического места точек, сформировать представление о методе ГМТ, научить применять метод ГМТ при решении задач на построение, сформировать четкое представление об этапах решения задач на построение;

2) воспитательные: воспитать умение проводить анализ, исследование задачи, умение видеть решение, формировать грамотность речи;

3) развивающие: развить умение применять метод ГМТ для других задач.

Этапы:

1. Организационный момент;

2. Актуализация знаний;

3. Изучение нового материала;

4. Решение задач;

5. Подведение итогов.

Ход факультативного занятия:

1. Организационный момент. Как вы уже поняли из анкеты, задачи на построение можно решать различными методами: методом геометрических мест точек, подобия, осевой симметрии, центральной симметрии, поворота, параллельного переноса, алгебраическим методом. Сегодня на уроке мы введем понятие ГМТ и рассмотрим в чем заключается метод ГМТ. Запишите тему урока: "ГМТ. Метод ГМТ".

2. Актуализация знаний. Вы изучали геометрические построения на протяжении 7 и 8 классов. Вспомните, какие построения вы выполняли? Таким образом, вы знаете как выполнить построение:

1) отрезка, равного данному;

2) угла, равного данному;

3) биссектрисы угла;

4) перпендикулярных прямых;

5) середины отрезка;

6) треугольника по трем сторонам;

7) деление отрезка на n равных частей.

3. Изучение нового материала. Также вы строили серединный перпендикуляр к данному отрезку. Как вы это делали? (чертеж на доске).

Наверняка вы говорили о том, что на серединном перпендикуляре к данному отрезку находятся все точки, которые равноудалены от концов отрезка.

Говорят, что серединный перпендикуляр - это геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.

Геометрическим местом точек плоскости, обладающих данным свойством, называется множество всех точек плоскости, каждая из которых обладает этим свойством (запись определения в тетради).

Рассмотрим еще некоторые основные геометрические построения (раздаточный материал):

I. Геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (окружность).

II. Геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной прямой (пара параллельных прямых).

III. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (серединный перпендикуляр к отрезку)

IV. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных: а) пересекающихся, б) параллельных прямых (пара перпендикулярных прямых в первом случае, прямая линия - во втором).

Существуют также более сложные ГМТ, которые используются при решении задач (раздаточный материал):

1) Геометрическое место вершин С треугольников, имеющих общее основание АВ, у которых боковая сторона АС равна данному отрезку.

2) Геометрическое место вершин С треугольников с общим основанием АВ, у которых медиана, проведенная к основанию, равна данному отрезку.

3) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку.

4) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной окружности (внешним образом, внутренним образом).

5) Геометрическое место вершин треугольников с общим основанием, у которых высота, опущенная на это основание, равна данному отрезку.

6) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой.

7) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, отсекающих на данной прямой хорду данной длины.

8) Геометрическое место середин отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой.

9) Геометрическое место вершин равнобедренных треугольников с общим основанием.

10) Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

11) Геометрическое место центров окружностей, описанных около всех треугольников с общим основанием.

12) Геометрическое место центров окружностей, касающихся внешним образом (внутренним образом) двух равных окружностей.

13) Геометрическое место центров окружностей, касающихся двух данных (пересекающихся, параллельных) прямых.

14) Геометрическое место вершин прямоугольных треугольников с общей гипотенузой.

Теперь вспомните, как вы строили треугольник по трем сторонам (чертеж на доске).

Какие ГМТ здесь используются? Их пересечение дает нам третью вершину искомого треугольника. Оказывается, что при решении данной задачи вы использовали метод ГМТ.

Суть метода ГМТ заключается в следующем: сводят задачу к нахождению некоторой точки, которая определяется двумя условиями, вытекающими из требования задачи.

Допустим, геометрическим местом точек, удовлетворяющих первому условию, есть фигура F₁, а геометрическим местом точек, удовлетворяющих второму условию, есть фигура F₂. Тогда каждая точка пересечения этих двух геометрических мест удовлетворяет требованиям задачи. Например, построение треугольника по трем сторонам.

Таким образом, задача не будет иметь решений, если эти ГМТ не пересекаются. И будет иметь столько решений, сколько имеющихся точек пересечения указанных мест (показать на том же примере).

4. Решение задач. 1) Построить треугольник по основанию, боковой стороне и медиане, проведенной к основанию (пересечение ГМТ №1 и №2).

2) Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности (пересечение ГМТ №9 и описанной окружности, центр которой - ГМТ №11).

3) Построить окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки (пересечение ГМТ №3 и №3).

5. Подведение итогов. Итак, что вы узнали на сегодняшнем занятии? Сформулируйте понятие ГМТ. В чем заключается метод ГМТ? Какие существуют этапы решения задач на построение? Раскройте суть каждого из этапов.

Домашнее задание: 1) Построить равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне. 2) Постройте ромб так, чтобы две противолежащие его вершины были в двух данных точках А и В и третья на данной окружности О. 3) Постройте окружность, которая касается сторон данного угла, причем одной из них - в данной точке.

Рекомендуемая литература: [7], [16], [17].

Занятие №2. Тема: Применение метода ГМТ к решению задач на построение.

Цели: Научить применять метод ГМТ к решению задач на построение.

Краткое содержание: Повторение изученного материала, решение задач на построение, в которых используется более сложные геометрические места точек.

Рекомендуемая литература: [7], [16], [17].

Занятие №3. Тема: Подобие. Метод подобия.

Цели: Повторить тему подобия фигур, сформировать понятие о методе подобия при решении задач на построение.

Краткое содержание: рассмотрение случаев, когда задача на построение решается методом подобия, суть метода подобия, решение задач, в которых размеры фигуры определяются заданием некоторого отрезка, различные случаи выбора центра подобия.

Рекомендуемая литература: [2], [7], [12], [16], [17].

Занятие №4. Тема: Применение метода подобия к решению задач на построение.

Цели: Научить применять метод подобия к решению задач на построение.

Краткое содержание: Повторение изученного материала, решение задач на построение, в которых размеры фигуры определяются заданием некоторого отрезка, суммы или разности отрезков.

Рекомендуемая литература: [2], [7], [12], [16], [17].

Занятие №5. Тема: Решение задач на построение методами ГМТ и подобия.

Цели: Научить видеть какой из методов следует применять к той или иной задаче.

Краткое содержание: Решение задач на применение различных методов: ГМТ и подобия.

Рекомендуемая литература: [2], [7], [12], [16], [17].

Занятие №6. Тема: Решение задач на построение методами ГМТ и подобия.

Цели: Научить применять методы ГМТ и подобия к решению более сложных задач на построение, научить видеть какой из методов следует применять к той или иной задаче.

Краткое содержание: Решение более сложных задач на построение на применение различных методов: ГМТ и подобия.

Рекомендуемая литература: [2], [7], [12], [16], [17].

Заключение

Изучив и проанализировав учебно-методическую и научную литературу, были выполнены следующие задачи:

· Описаны основы геометрических построений.

· Рассмотрены построения с помощью циркуля и линейки, одним циркулем, одной линейкой, линейкой о двух параллельных краях, прямым углом.

· Дана характеристика задач на построение.

· Рассмотрены основные методы решения задач на построение.

В результате наблюдения за учебной деятельностью учащихся в 7-9 классах общеобразовательной школы можно подвести итоги: геометрические построения играют серьезную роль в математической подготовке школьника.

Наличие анализа, доказательства и исследования при решении задач на построение показывает, что они представляют собой богатый материал для выработки у учащихся навыков правильно мыслить и логически рассуждать.

Задачи на построение - это задачи, которые значительно чаще других поражают красотой, оригинальностью и во многих случаях простотой найденного решения, что вызывает к ним повышенный интерес.

Кроме того, отметим, что:

1) необходимо уделять больше внимания изучению задач на построение, так как при грамотном использовании они являются мощным средством математического развития учащихся;

2) геометрические задачи на построение не нужно рассматривать как что-то отдельное, независимое от остального курса геометрии. Процессы обучения решению задач и изучение геометрии неразрывно связаны. Причем связь эта должна быть двусторонней, то есть необходимо не только обучать решению задач на построение, используя ранее полученные знания, но и, наоборот, использовать конструктивные задачи при изучении геометрии.

Список использованной литературы

1. Адлер А. Теория геометрических построений, М:Учпедгиз,1940.

2. Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение, М: Учпедгиз,1950.

3. Аргунов Б.И. и Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости, М: Учпедгиз,1957.

4. Белошистая А.В. задачи на построение в школьном курсе геометрии. "Математика в школе", 2002, №9.

5. Болодурин В.С., Вахмянина О.А. Учебное пособие, Оренбург: ОГПУ, 1998.

6. Воронец А.М. Геометрия циркуля, М:ОНТИ, 1934.

7. Геометрия: доп.главы к шк.учеб.8 кл.: учеб.пособие для учащихся шк.и классов с углубл.изуч.математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Д. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 1996.

8. Геометрия: Планиметрия: 7-9 кл.: учебник и задачник / А. П. Кисилев, Н.А. Рыбкин. - М.: Дрофа, 1995.

9. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / А. В. Погорелов. - М.: Просвещение, 2004.

10. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк / Л. С. Атанасян. - М.: Просвещение, 1991.

11. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1992.

12. Глаголев Н.А. Сборник геометрических задач на построение, М, 1930.

13. Зетель С. Геометрия линейки и геометрия циркуля, издательство АПН, 1950.

14. Костовский А.Н. Геометрические построения одним циркулем, М:Наука, 1989.

15. Никулин Н.А. Геометрические построения с помощью простейших инструментов, М: Учпедгиз, 1947.

16. Перепелкин Д.И. Геометрические построения в средней школе / Д.И. Перепелкин. - М.: Издательство академии педагогических наук РСФСР, 1947.

17. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Ч.1 / В.В. Прасолов. - М.: Наука, 1991.

18. Четверухин Н.Ф. Вопросы методологии и методики геометрических построений, АПН, 1946.

19. Четверухин Н.Ф. Методы геометрических построений, Учпедгиз, 1952.

Приложение 1

Задачи к § 2. Основные методы решения задач на построение

2.2.2 Метод параллельного переноса

Задача 1. Даны две окружности щ(S,), щ(O, ) и прямая g. Требуется провести общую секущую этих окружностей параллельно прямой g так, чтобы сумма длин, полученных хорд, была равна длине данного отрезка m.

Анализ. Пусть . Предположим, что прямая АD дает решение. Тогда АD параллельно g и АВ+СD=m. Перенесем щ(O, ) параллельно на вектор СВ, получим окружность щ(O*, ). Пусть R образ точки D при этом переносе, тогда АВ+ВR=m. Опустим из точек S и O* перпендикуляры SM и O*N на прямую АD. Тогда:

MN=MB+BN=ЅAR=Ѕm=LO*.

Последнее соотношение подсказывает путь решения задачи. Нужно провести через точку О прямую параллельно прямой g, опустить на неё перпендикуляр из точки S, затем от точки L на этой прямой отложить отрезок LO*=Ѕm и провести окружность с центром в точке O* и радиусом . Прямые, проходящие через точки пересечения окружностей щ(S,), щ(O,) параллельно прямой g будут искомыми прямыми.

Построение:

1. Прямая OL, параллельно прямой g через точку O;

2. Перпендикуляр к прямой OL из точки S;

3. Точка L как точка пересечения перпендикуляра с прямой OL;

4. Отрезок LO*=Ѕm на прямой OL от точки L;

5. Окружность с центром в точке O* и радиусом ;

6. Точка В как точка пересечения окружностей щ(S,), щ(O, );

7. Прямая АD через точку В параллельно прямой g.

Рис. 36

Доказательство. По построению прямая АD параллельно прямой OL, поэтому:

LO*=Ѕm=MN=Ѕ(AB+BR).

Отсюда АВ+ВR= АВ+СD=m и прямая АD - искомая прямая.

Исследование. Первые три пункта выполняются однозначно. Отрезок LO*=Ѕm можно отложить от точки L на прямой OL двумя способами. Поэтому можно построить две окружности с центрами в точках О и О* и радиусами . Эти окружности будут симметричными относительно прямой SL, точки пересечения их исходной окружностью щ(S,) будут определять одинаковые решения. Существование решений и их количество зависят от выполнения шестого пункта. Обозначим через p расстояние от точки S до прямой OL. Тогда отрезок SO* будет равен:

.

Условия пересечения окружностей щ(S,), щ(O, ) примут вид:

.

В случаях знака равенства окружности имеют одну общую точку. В этом случае существует одна прямая, дающая решение. При выполнении условий неравенств получаются две точки пересечения. Соответственно имеем две прямые, определяющие решения (рис 36). [5]

2.2.3 Метод поворота или вращения

Задача 2. Даны три параллельные прямые, построить равносторонний треугольник с вершинами на этих прямых (рис 37).

Анализ. Предположим, что задача решена и треугольник АВС- искомый. Тогда каждый угол треугольника равен 60є. Примем вершину А треугольника за центр и повернём плоскость на угол в 60є против часовой стрелки. Т.к. отрезок АВ равен отрезку АС, то точка В перейдет в точку С, при этом образ прямой b пересечет прямую c в точке С. Этот факт подсказывает способ решения задачи.

Построение: 1. Произвольная точка А прямой а;

2. Прямая b* как образ прямой b при повороте плоскости вокруг точки А на угол 60є против часовой стрелки;

3. Точка С=с?b*;

4. Точка В как прообраз точки С на прямой;

5. Треугольник АВС.

Доказательство. По построению АВ=АС и угол ВАС равен 60є. Значит, треугольник АВС-равносторонний. Т.к. его вершины по построению принадлежат данным параллельным прямым, то этот треугольник искомый.

Рис. 37

Исследование. Пункты 3,4,5 выполняются однозначно. Число решений зависит от выполнения пункта 2. Прямую b можно поворачивать вокруг точки А по часовой стрелке и против часовой стрелки. Поэтому с каждой точкой А прямой а связаны два треугольника, являющиеся решениями. Эти треугольники равны, но имеют разное положение относительно данных прямых. В этой задаче их необходимо считать различными решениями. Т.к. все три данные прямые а,b,c равноправны, то выбор точек на прямых b,c в качестве новых центров поворота не даст новых решений. [8]

2.2.4 Метод осевой симметрии

Задача 3. Даны прямая а и точки М и N по одну сторону от неё. Найти на прямой точку X так, чтобы длина ломаной MXN была минимальной.

Анализ. Пусть точка О прямой а является искомой (рис. 38). Рассмотрим точку N*, симметричную точке N относительно прямой а. Тогда длина ломаной MON будет равна длине ломаной MON*. Очевидно, что длина ломаной MON* будет наименьшей тогда, когда точка О будет точкой пересечения прямых а и MN*.

Рис. 38

Построение: 1. Точка N*- симметричная точке N относительно прямой а;

2. Точка X=MN*? а.

Доказательство. Пусть точка О - произвольная точка прямой а, то длина ломаной MXN равна длине отрезка MN*, а длина ломаной MON равна длине ломаной MON*. Для треугольника MON* справедливо неравенство:

МО+ ON*> MN*,

МО+ ON>MX+XN.

Поэтому точка X- искомая точка.

Исследование. Все пункты выполняются однозначно. Использование точки, симметричной точке М, новых результатов не даёт. Задача имеет единственное решение. [9]

2.2.5 Метод геометрических мест точек

Задача 4. Найти ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Анализ. Пусть АВ - данный отрезок, б- данный угол. Если М - точка искомого ГМТ, то АМВ= б по условию. Проведём окружность через три точки А,М,В, которые не лежат на одной прямой, если 0°‹ б‹180°. Тогда для всякой точки М' дуги АМВ этой окружности (кроме точек А и В) АМ'В также равен б, т.е. каждая точка этой дуги также принадлежит искомому ГМТ. Кроме того, все точки (кроме А и В) дуги АNВ, симметричной с дугой АМВ относительно прямой АВ, обладают тем же свойством и поэтому принадлежат тому же ГМТ.

Доказательство. Чтобы доказать, что фигура Ф, составленная из двух симметричных дуг окружностей, проходящих через точки А и В, действительно представляет искомое ГМТ, осталось рассмотреть точки, не принадлежащие этой фигуре. Если точка Р лежит в области, ограниченной фигурой Ф, то, проведя луч АР (или ВР) до встречи с фигурой Ф в точке Q, заметим, что АРВ›АQВ=б. Если же избрать точку Р вне указанной области, то получим противоположный результат: АРВ‹ б.

Итак, ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом, представляет собой соединение двух дуг окружностей, проходящих через концы данного отрезка и расположенных симметрично по отношению к этому отрезку. Точки А и В не следует причислять к этому геометрическому месту, т.к. при совпадении точки М с каким-либо концом отрезка АВ АМВ становится неопределённым.

Исследование. Если угол б прямой, то фигура Ф обращается в окружность с диаметром АВ (без концов этого диаметра). Если угол б равен нулю, то искомым ГМТ является разность прямой АВ и отрезком АВ. Если угол б равен 180°, то искомое ГМТ-интервал АВ.

Построение фигуры Ф по данному отрезку АВ и углу б показано на рисунке 9. [10]

2.2.6 Метод подобия или гомотетии

Задача 5. Построить ромб по данному периметру р и данному отношению диагоналей m:n.

Анализ. Рассматривая условия задачи, замечаем, что слова "ромб", "отношение диагоналей" определяют форму фигуры, а слово "периметр"-размеры фигуры. Учитывая, что диагонали в ромбе взаимно перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам, нетрудно построить ромб с данным отношением диагоналей. Применив далее гомотетию, получим искомую фигуру.

Построение: 1. Ромб АВ*C*D*, диагонали которого равны m и n соответственно;

2. Точки T и T* на луче АС*, где АТ=p,

АТ*=АВ*+В*С*+С*D*+D*A;

3. Четырёхугольник АВСD как образ ромба АВ*С*D* при гомотетии с центром в точке А и соответственными точками Т и Т* (рис. 39).

Доказательство. Гомотетия сохраняет форму фигуры, поэтому четырёхугольник АВСD, являющийся образом ромба АВ*С*D* при гомотетии, есть ромб с аналогичным отношением диагоналей. Периметр ромба АВСD равен длине отрезка АТ=p, поэтому этот ромб является искомым.

...