Зміст і значення математичної символіки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України

Житомирський педагогічний університет імені І.Я. Франка

КУРСОВА РОБОТА

з математичного аналізу

на тему: Зміст і значення математичної символіки

студентки 2 курсу

центру довузівської та післядипломної освіти

спеціальності «математика»

Хомяк Юлії Станіславівни

керівник: Герус Олег Федорович

Житомир - 2013



Зміст

Вступ

1. Введення нуля і розвиток позиційної десяткової системи числення

2. Символіка Вієта і Декарта і розвиток алгебри

2.1 Розвиток алгебри до Ф. Вієта

2.1.1 Алгебра греків

2.1.2 Алгебра Діофанта

2.1.3 Алгебра індусів

2.1.4 Алгебра арабів

2.1.5 Розвиток алгебри в Європі

2.2 Символіка Вієта і розвиток алгебри

2.3 Символіка Декарта і розвиток алгебри

3. Позначення похідної та інтеграла у Лейбніца і розвиток аналізу

4. Мова канторів і основи математичної логіки

4.1 Висловлювання та булеві функції

4.2 Предикати і квантори

5. Методичні рекомендації до теми «Введення нуля і розвиток позиційної десяткової системи числення»

Список літератури



Вступ

Історія науки показує, що логічна структура і зростання кожної математичної теорії, починаючи з певного етапу її розвитку, стають все у велику залежність від використання математичної символіки і її удосконалення. математичний символіка алгебра інтеграл

Коли індійці в V столітті н. е.. ввели знак нуля, вони змогли залишити порозрядну систему числення і розвинути абсолютну позиційну десяткову систему числення, перевагу якій за рахунку якщо і не усвідомлюють, то повсякденно використовують сотні мільйонів людей. Алгебра та аналітична геометрія зобов'язані багатьом того, що Вієт і Декарт розробили основи алгебраїчного числення. Введені Лейбніцем позначення похідної та інтеграла допомогли розвинути диференціальне та інтегральне числення ; завдання на обчислення площ, обсягів, роботи сили і т. д., вирішення яких раніше було доступно тільки першокласним математикам, стали вирішуватися майже автоматично.

Завдяки цьому позначення Лейбніца отримали широке розповсюдження і проникли в усі розділи науки, де використовується математичний аналіз .Приклад з позначенням похідної та інтеграла особливо яскраво підтверджує правильність зауваження Л. Карно, що в математиці «символи не є тільки записом думки, засобом її зображення і закріплення, - ні, вони впливають на саму думку, вони, до певної міри, направляють її, і буває досить перемістити їх на папері, згідно з відомим дуже простим правилом, для того, щоб безпомилково досягти нових істин».У чому укладено об'єктивний зміст математичної символіки? Математичні знаки служать в першу чергу для точної ( однозначно визначеній) запису математичних понять і пропозицій. Їх сукупність - в реальних умовах їх застосування математиками - складає те, що називається математичною мовою.Використання знаків дозволяє формулювати закони алгебри, а також і інших математичних теорій в загальному вигляді. Прикладом можуть послужити формули тієї ж алгебри:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

х_1,2=

Математичні знаки дозволяють записувати в компактній і легкообозрімой формі пропозиції, вираз яких на звичайному мовою було б вкрай громіздким. Це сприяє більш глибокому усвідомленню їх змісту, полегшує його запам'ятовування .Математичні знаки використовуються в математиці ефективно і без помилок, коли вони висловлюють точно певні поняття, що відносяться до об'єктів вивчення математичних теорій. Тому, перш ніж використовувати в міркуваннях і в записах ті чи інші знаки, математик намагається сказати, що кожен з них позначає. В іншому випадку його можуть не зрозуміти.У зв'язку зі сказаним необхідно підкреслити наступне. Математики не завжди можуть сказати відразу, що відображає той чи інший символ, введений ними для розвитку будь-якої математичної теорії, засобами якої можна вирішувати практично важливі завдання. Сотні років математики оперували негативними і комплексними числами і отримували з їх допомогою першокласні результати. Однак об'єктивний зміст цих чисел і дій з ними вдалося розкрити лише наприкінці XVIII і на початку XIX століття. Лейбніц ввів символи dx і dy, розвинув диференціальне числення і за допомогою правил останнього показав виняткову оперативну силу цих символів. Однак Лейбніц не виявив об'єктивного сенсу знаків dx і dy ; це зробили математики XIX століття. Знаки і системи знаків грають в математиці роль, вельми схожу з тією, яка в більш широких сферах пізнання і практичної діяльності людей належить звичайному розмовної мови. Подібно звичайному мові, мову математичних знаків дозволяє обмінюватися встановленими математичними істинами, налагоджувати контакт вчених у спільній науковій роботі.Вирішальним, однак, є те, що мова математичних знаків без звичайної мови існувати не може. Звичайний (природний ) мова змістовніше мови математичних знаків; він необхідний для побудови і розвитку мови математичних знаків. Мова математичних знаків тільки допоміжний засіб, присоединяемое до звичайного мови і використовується в математиці і в областях, де застосовуються її методи.Можливість використання мови знаків в математиці обумовлена особливостями предмета її досліджень - тим, що вона вивчає форми і відносини об'єктів реального світу, у відомих межах байдужі до їх матеріальним змістом. Істотна при цьому і специфіка математичних доказів. Математичне доказ полягає в побудові ланцюга висловлювань, початковою ланкою якої є справжні вихідні пропозиції, кінцевим - доказуване твердження. Проміжні ланки ланцюга виходять в кінцевому рахунку з початкового і з'єднуються з ним і кінцевою ланкою за допомогою законів логіки і правил логічного висновку. Якщо вихідні затвердження записані в символічній формі, то доказ зводиться до їх «механічним » видозмінам .Доцільність, а в наш час і необхідність - використання мови знаків в математиці обумовлена тим, що за його допомогою можна не тільки коротко і ясно записувати поняття і пропозиції математичних теорій, а й розвивати в них обчислення і алгоритми - найголовніше для розробки методів математики і її додатків. Досягти цього за допомогою звичайної мови якщо й можливо, то тільки в принципі, але не в практиці.Достатня оперативність символіки математичної теорії істотно залежить від повноти символіки. Ця вимога полягає в тому, що символіка повинна містити позначення всіх об'єктів, їх відносин і зв'язків, необхідні для розробки алгоритмів теорії, що дозволяють вирішувати будь-які завдання з класів однотипних завдань, що розглядаються в цій теорії. Оперування математичними знаками є ідеалізований експеримент: він у чистому вигляді описує те, що має місце або може бути ( наближено або точно) реалізовано в дійсності. Тільки тому оперування математичними знаками здатне служити відкриттю нових математичних істин.Вирішальною силою розвитку математичної символіки є не « вільна воля» математиків, а вимоги практики математичних досліджень. Саме реальні математичні дослідження допомагають математикам зрештою з'ясувати, яка система знаків найкращим чином відображає структуру розглянутих кількісних відносин, в силу чого може бути ефективним знаряддям їх подальшого вивчення .

1. Введення нуля і розвиток позиційної десяткової системи числення Інтуїтивне уявлення про число, мабуть, так само старо, як і саме людство, хоча з достовірністю простежити всі ранні етапи його розвитку в принципі неможливо. Перш ніж людина навчилася рахувати або придумав слова для позначення чисел, він, безсумнівно, володів наочним, інтуїтивним уявленням про число, що дозволяв йому розрізняти одну людину і двох людей або двох і багатьох людей.Назви чисел, що виражають вельми абстрактні ідеї, з'явилися, безсумнівно, пізніше, ніж перші грубі символи для позначення числа об'єктів в деякій сукупності. У глибоку давнину примітивні числові записи робилися у вигляді зарубок на палиці, вузлів на мотузці, викладених в ряд камінчиків, причому малося на увазі, що між перелічуваними елементами множини і символами числовий запису існує взаємно однозначна відповідність. Але для читання таких числових записів назви чисел безпосередньо не використовувалися. Нині ми з першого погляду розпізнаємо сукупності з двох, трьох і чотирьох елементів; дещо важче розпізнаються на погляд набори, що складаються з п'яти, шести чи семи елементів. А за цією межею встановити на око їх число практично вже неможливо, і потрібен аналіз або у формі рахунку, або в певному структуруванні елементів. Рахунок на бирках, мабуть, був першим прийомом, який використовувався в подібних випадках : зарубки на бирках розташовувалися певними групами. Дуже широко був поширений рахунок на пальцях, і цілком можливо, що назви деяких чисел беруть свій початок саме від цього способу підрахунку .Важлива особливість рахунку укладається у зв'язку назв чисел з певною схемою рахунку. Наприклад, слово « двадцять три » - не просто термін, що означає цілком певну (по числу елементів ) групу об'єктів; це термін складовою, що означає «два рази по десять і три». Тут чітко видно роль числа десять як колективної одиниці або підстави, і дійсно, багато хто вважає десятками, тому що, як відзначив ще Аристотель, у нас по десять пальців на руках і на ногах.Система числення, якої ми в основному користуємося сьогодні, десяткова позиційна. Десяткова, так як її підстава 10. Підставою позиційної системи числення називається зводитиметься в ступінь ціле число, яке дорівнює кількості цифр, що використовуються для зображення чисел у цій системі числення. Підстава показує також, у скільки разів змінюється кількісне значення цифри при переміщенні її на сусідню позицію. У позиційних системах числення кількісний еквівалент ( значення ) цифри залежить від її місця (позиції) в записі числа.Десяткова система характеризується тим, що в ній 10 одиниць якого-небудь розряду утворюють одиницю наступного старшого розряду. Іншими словами, одиниці різних розрядів являють собою різні ступені числа 10. Десяткової позиційної передували інші, засновані на різних принципах, системи числення. Так прикладом непозиційної системи (тобто такої системи, де кількісний еквівалент кожної цифри не залежить від її положення (місця, позиції ) в записі числа) може служити нумерація, використовувана древніми греками. Ця система відноситься до числа алфавітних. Першими вісьмома буквами грецького алфавіту ( з додаванням « архаїчної » букви =вау, що мала значення 6 позначалися числа від одиниці до дев'яти, наступними вісьма з додаванням =копи, що мала значення 90, - десятки від 10 до 90, наступними вісьма з додаванням =сампо, означавшей 900, - сотні від 100 до 900, нарешті, тисячі від 1000 до 9000 позначалися так само, як одиниці, але зі штрихом внизу:, означала 1000. Для того щоб відрізняти числа від слів, над ними ставилося рисочка. Так, число 1305 греки записували, .. Від грецької нумерації веде своє походження давньоруська. Приклад другий непозиційній системи дає вживана понині римська нумерація .Ми користуємося нею для позначення ювілейних дат, для нумерації деяких сторінок книги ( наприклад, сторінок передмови ), глав у книгах, строф у віршах і т. д. У пізнішому своєму вигляді римські цифри виглядають так : I = 1 ; V = 5 ; X = 10, L = 50 ; С = 100 ; D = 500 ; M = 1000 .

Про походження римських цифр достовірних відомостей немає. Цифра V могла спочатку служити зображенням кисті руки, а цифра Х могла скластися з двох п'ятірок. Точно так же знак для 1000 міг скластися з подвоєння знака для 500 ( або навпаки).Всі цілі числа (до 5000 ) записуються за допомогою повторення вищенаведених цифр. При цьому якщо велика цифра стоїть перед меншою, то вони складаються, якщо ж менша стоїть перед більшою ( в цьому випадку вона не може повторюватися ), то менша віднімається з більшою. Наприклад, VI = 6, тобто 5 +1, IV = 4, тобто 5-1, XL = 40, тобто 50-10, LX = 60, тобто 50 +10. Підряд одна і та ж цифра ставиться не більше трьох разів: LXX = 70 ; LXXX = 80 ; число 90 записується ХС (а не LXXXX ) .Перші 12 чисел записуються в римських цифрах так : I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII .Приклади : XXVIII = 28 ; ХХХIХ = 39 ; CCCXCVII = 397 ; MDCCCXVIII = 1818.Виконання арифметичних дій над багатозначними числами в цьому записі дуже важко. Проте римська нумерація переважала в Італії до 13 століття, а в інших країнах Західної Європи - до 16 століття.Стародавні єгиптяни використовували десяткову непозиційних систему числення. Одиницю позначали однією вертикальною рисою, а для позначення чисел, менших 10, потрібно було поставити відповідне число вертикальних штрихів. Щоб записані таким чином числа було легко дізнаватися, вертикальні штрихи іноді об'єднувалися в групи з трьох або чотирьох рис.

Для позначення числа 10, основи системи, єгиптяни замість десяти вертикальних рис ввели новий колективний символ, що нагадує за своїми контурами підкову або крокетний дужку. Безліч з десяти підковоподібних символів, тобто число 100, вони замінили іншим новим символом, що нагадує сильця ; десять силець, тобто число 1000, єгиптяни позначили стилізованим зображенням лотоса. Продовжуючи у тому ж дусі, єгиптяни позначили десять лотосів зігнутим пальцем, десять зігнутих пальців - хвилястою лінією і десять хвилястих ліній - фігуркою здивованого людини. У підсумку древні єгиптяни могли представляти числа до мільйона. Так, наприклад, за допомогою колективних символів і повторень вже введених символів число 6789 в ієрогліфічних позначеннях можна було б записати як

Найдавніші з дійшли до нас математичних записів висічені на камені, але найбільш важливі свідчення давньоєгипетської математичної діяльності відображені на набагато більш крихкому і недовговічному матеріалі - папірусі. Два таких документа - папірус Ринда, або єгипетського писаря Ахмеса (бл. 1650 до н.е.) і московський папірус, або папірус Голеніщева (бл. 1850 до н.е.) - служать для нас основними джерелами відомостей про староєгипетських арифметиці і геометрії. У цих папірусах більш давнє ієрогліфічне письмо поступилося місцем скорописному ієратичному письму, і це зміна супроводжувалося використанням нового принципу позначення чисел. Група однакових символів замінялися більш простий по зображенню позначкою або знаком, наприклад, дев'ять записувалося як замість , а сімсот як замість . У цьому записі число 6789 мало вигляд , причому знаки більш високого порядку розташовувалися праворуч, а не ліворуч .Введення єгиптянами цифрових позначень ознаменувало один з важливих етапів у розвитку систем числення, оскільки дало можливість істотно скоротити запису.Основні недоліки непозиційних систем нумерації - труднощі з зображенням довільно великих чисел і, головне, більш складний, ніж у позиційних системах, процес обчислень. (Останнє, правда, полегшувалося вживанням рахункових дощок - абака, так що зображення чисел було необхідно лише для кінцевого результату ) .

Великим кроком вперед, які надали колосальний вплив на весь розвиток математики було створення позиційних систем числення. Першою такою системою стала вавилонська шістдесяткова система числення, в якій з'явився знак , який вказує на відсутність розряду, що виконує роль нашого нуля. Кінцевий нуль, який дозволяв розрізняти, наприклад, позначення для 1 і 60, у вавилонян був відсутній. Зручність обчислень в шестидесятеричной системі зробило її популярною у грецьких астрономів. К. Птолемей (II ст. Н.е.) при обчисленнях у шестидесятеричной системі користується знаком « 0 » для позначення відсутніх розрядів як у середині, так і в кінці числа ( 0, омикрон - перша буква грецького слова ovden - ніщо ). Про вавілонської шестидесятеричной системі нам нагадує розподіл години на 60 хвилин і хвилини на 60 секунд, а також поділ кута рівного чотирьом прямим, на 360 градусів. Незручність шестидесятеричной системи числення в порівнянні з десяткового - необхідність великої кількості знаків для позначення індивідуальних цифр ( від 0 до 59 ), більш громіздка таблиця множення.

Створення десяткової позиційної системи числення, одного з видатних досягнень середньовічної науки, - заслуга індійських математиків. Позиційні десяткові запису чисел зустрічаються в Індії з VI в. Так, в дарчим записи 595 року зустрічається запис числа 346 цифрами брахми ( -3, -4, -6 ). Першу достовірну запис нуля у вигляді кружечка ми знаходимо в зображенні числа 270 в настінного записи з Гвалиора, що відноситься до 876г. Іноді нуль позначався точкою. Неясно, чи був нуль власним винаходом індійців ; можливо, вони познайомилися з ним по творах олександрійських астрономів.



2. Символіка Вієта і Декарта і розвиток алгебри

2.1 Розвиток алгебри до Ф. Вієта

2.1.1 Алгебра греків

Вважається, що елліни запозичили перші відомості з геометрії у єгиптян, з алгебри - у вавилонян .У найдавніших єгипетських джерелах папірусі Райнда та Московському папірусі - знаходимо завдання на « аха » (термін « аха » означає «купа» Мається на увазі деяку кількість, невідома величина, що підлягає визначенню ) відповідні сучасним лінійним рівнянням, а також квадратним виду ах² = b.. У вавилонських клинописних текстах є велика кількість завдань, що вирішуються за допомогою рівнянь і систем першого та другого ступенів, які записані без символів, але в специфічної термінології. У цих текстах вирішуються завдання, що призводять до тричленним квадратним рівнянням виду ах 2 - b х = з або х2 - рх = q. У завданнях на « аха » можна виявити початки алгебри як науки про рішення рівнянь .

Але якщо вавилоняни за два тисячоліття до нашої ери вміли числовим шляхом вирішувати завдання, пов'язані з рівняннями першого та другого ступенів, то розвиток алгебри в працях Евкліда ( 365 - бл. 300 рр.. до н. е. ), Архімеда ( 287-212 рр.. до н. е.. ) і Аполлонія (бл. 260-170 рр.. до н. е.. ) носило зовсім інший характер: греки оперували відрізками, площами, обсягами, а не числами. Як приклад геометричній алгебри греків розглянемо рішення рівняння

х² + ax = b²

Античні математики вирішували це завдання побудовою і будували шуканий відрізок так, як показано на малюнку



На заданому відрізку АВ (рівному a ) будували прямокутник AM зі сторонами ( а + х ) і x, рівновеликий даному квадрату (b²), таким чином, щоб надлишкова над прямокутником AL (рівна ах ) площа ВМ була квадратом, за площею рівним х². Сторона цього квадрата і давала шукану величину х. Така побудова називали гіперболічним додатком площі.Далі, вважаючи задачу розв'язаною, ділили АВ навпіл точкою С, на відрізку LM будували прямокутник MG, рівний прямокутнику ЄС. Тоді прямокутник AM буде різницею квадратів DF і LF. Ця різниця і квадрат LF відомі, тому по теоремі Піфагора можна отримати квадрат DF. Після цього знаходили величину DC (рівну Ѕ) і DB (рівну х).Геометричну побудову в точності відповідає перетворенню, за допомогою якого в сучасних позначеннях вирішується рівняння зазначеного типу :

b² = ax + х² = -

Звичайно ж, при таких побудовах відшукувалися тільки позитивні коріння рівнянь : негативні числа з'явилися в математиці значно пізніше.За допомогою геометрії древнім вдавалося також доводити багато алгебраїчні тотожності. Ось як формулює Евклід теорему, що виражає тотожність

(а + b)² = a² + 2аb + b²

Якщо відрізок ( ) розділений в точці ( ) на два відрізки, то квадрат, побудований на ( ), дорівнює двом квадратах на відрізках ( , ) разом з подвоєним прямокутником на ( , ) .Природно, пов'язуючи число з геометричним чином ( лінією, поверхнею, тілом), стародавні оперували тільки однорідними величинами ; так, рівність було можливо для величин однакового виміру .Така побудова математики дозволило античним вченим досягти істотних результатів в обгрунтуванні теорем і правил алгебри, але надалі воно стало сковувати розвиток науки.Наведені приклади можуть створити відчуття, що математика стародавніх греків примітивна. Але це не так: створена ними математика за своїм ідейним змістом глибока і живила ідеями і методами математику аж до XVII ст. - Століття наукової революції ; багато ідей древніх отримали подальший розвиток у новій математиці, створеної зусиллями видатних умів XVI -XVII ст.Накопичені в країнах Стародавнього Сходу знання складалися з набору розрізнених математичних фактів, рецептур для вирішення деяких конкретних завдань і не могли володіти достатньою строгістю і достовірністю. Створення основ математики в тому вигляді, до якого ми звикли при вивченні цієї науки в школі, випало на долю греків і відноситься до VI -V ст. до н. е.. З цього часу почала розвиватися дедуктивна математика, побудована на суворих логічних доказах.

2.1.2 Алгебра Діофанта

Новий підйом античної математики належить до III в. н. е. ., він пов'язаний з творчістю великого математика Діофанта. Діофант відродив і розвинув числову алгебру вавилонян, звільнивши її від геометричних побудов, якими користувалися греки.У Діофанта вперше з'являється буквена символіка. Він ввів позначення: невідомою , квадрата ), куба , четвертої ( квадратоквадрат ), п'яте ( квадратокуб ) і шостий ступенів її, а також перших шести негативних ступенів, тобто розглядав, величини, що записуються нами в вигляді x⁵, x⁴, x³, x², x, x^-1, x^-2, x^-3, x^-4, x^-5, x^-6. Діофант застосував знак рівності (символ ) и знак для позначення віднімання.

Діофант сформулював правила алгебраїчних опeрацій зі ступенями невідомою, відповідні нашим множенню і діленню ступенів з натуральними показниками ( для m + n 6 ), і правила знаків при множенні. Це дало можливість компактно записувати многочлени, робити множення їх, оперувати з рівняннями. Він вказав також правила перенесення негативних членів рівняння в іншу частину його із зворотними заїками, взаємного знищення однакових членів в обох частинах рівняння.«Арифметика» присвячена проблемі рішення невизначених рівнянь. І хоча Діофант вважає число зборами (а це означає, що розглядаються тільки натуральні числа), при вирішенні невизначених рівнянь він не обмежується натуральними числами, а відшукує і позитивні раціональні рішення .Невизначеними рівняннями до Діофанта займалися математики школи Піфагора у зв'язку з пифагоровой теоремою. Вони шукали трійки цілих позитивних чисел, що задовольняють рівняння x² + y², z².

Діофант поставив завдання встановити разрешимость ( в раціональних числах ) і в разі можливості розв'язання знайти раціональні рішення рівняння F ( х, у) = 0, де ліва частина - многочлен з цілими або раціональними коефіцієнтами. Він досліджував невизначені рівняння другого, третього і четвертого ступенів і системи невизначених рівнянь .У другій книзі « Арифметики » він так досліджує, наприклад, рівняння другого порядку F ( х, у) = 0 .Це рівняння задає конічний перетин. Діофант робить підстановку

у = b + k (х - а), или y = b + kt, х = а + t

Тоді F (а + t, b + kt) = F (a, b) + tA (а, b) + ktB (а, b) + t²C (a, b, k) = 0

Але F (a, b) = 0, тому t = -

Всякому раціонального вирішення рівняння відповідає точка кривої з раціональними координатами. Нехай a, b - такі координати, тобто F ( a, b ) 0 .

Це означає, що кожному раціональному значенням параметра k відповідає раціональне ж значення t, а значить, раціональна точка кривої. Очевидний геометричний зміст рішення : через раціональну точку кривої ( a, b ) проводиться пряма

y - b = k ( x - a )

і перебувають друга точка її перетину з кривою. Методи Діофанта згодом застосовували і розвивали арабські вчені, Виет (1540-1603), Ферма, Ейлер (1707-1783), Якобі (1804-1851), Пуанкаре ( 1854-1912 ) .Оцінюючи творчість Діофанта, Цейтен відзначає істотну деталь: « Нарешті, ми бажаємо тут коротенько вказати на важливу роль, зіграну згодом творами Діофанта. Завдяки тому, що певні рівняння першого та другого ступеня були одягнені у нього в чисельну оболонку вони виявилися набагато більш доступними для людей, не присвячених ще в культуру грецької математики; більш доступними, ніж ті абстрактні геометричні форми, які беруть у Евкліда рівняння другого ступеня і які ми зустрічаємо в збережених до нас працях інших геометрів для вираження рівнянь перших двох ступенів. Тому Діофант і з'явився головним посередником у процесі засвоєння грецької алгебри арабами, завдяки яким, в свою чергу вона проникла до Європи в епоху відродження наук ».

2.1.3 Алгебра індусів

Починаючи з V ст. центр математичної культури перемістився на схід - до індусів і арабів. Математика індусів різко відрізнялася від математики греків вона була числовий. Індуси не були стурбовані строгістю еллінів в доказах і обгрунтуванні геометрії. Вони задовольнялися кресленнями, на яких у греків грунтувалося доказ, супроводжуючи їх вказівкою: «Дивися!». Передбачається, що завдяки числовим викладкам і практичного емпіризму індусам вдалося осягнути теореми і методи греків, теоретичного обгрунтування яких вони, можливо, по- справжньому не розуміли.Основні досягнення індусів полягають у тому, що вони ввели в обіг цифри, звані нами арабськими, і позиційну систему запису чисел, виявили подвійність коренів квадратного рівняння, двозначність квадратного кореня і ввели від'ємні числа.Індуси розглядали числа безвідносно до геометрії. У цьому їх алгебра має схожість з алгеброю Діофанта. Вони розповсюдили правила дії над раціональними числами на числа ірраціональні, виробляючи над ними безпосередні викладки, а не вдаючись до побудов, як це робили греки. Наприклад, їм було відомо, що

Греки, які не знали негативних чисел, вирішуючи рівняння, перетворювали їх так, щоб обидві частини рівняння при значенні невідомої, що задовольняє цьому рівнянню, були позитивними. Якщо цього не відбувалося, то змінювалися умови завдання. Індуси в аналогічних ситуаціях не були обмежені в своїх діях : вони або відкидали отримувані негативні рішення, або інтерпретували їх як борг, заборгованість. Звідси зроблено був природний крок до встановлення правил дій над величинами при будь-якому виборі знаків цих величин, а також до виявлення наявності двох коренів у квадратних рівнянь і двозначності квадратного кореня.Індусами був зроблений крок вперед у порівнянні з Діофантом і в удосконаленні алгебраїчної символіки : вони ввели позначення декількох різних невідомих і їх ступенів, які були, як у Діофанта, по суті справи скороченнями слів. Крім того, вони шукали рішення невизначених рівнянь не в раціональних, а в цілих числах.



2.1.4 Алгебра арабів

Подальший розвиток математика отримала у арабів, які завоювали в VII ст. Передню Азію, Північну Африку та Іспанію. Створилися сприятливі умови для злиття двох культур - східної та західної, для засвоєння арабами багатого математичного спадщини еллінів і індуської арифметики і алгебри.Але ще до того як почалося посилене вивчення арабами праць стародавніх математиків, в 820 р., вийшов трактат з алгебри «Коротка книга про числення ал- джабра і ал- мукабале" Мухаммеда ібн Муса ал -Хорезмі (тобто з Хорезму, 787 - бл. 850г. н. е.. ), де давалися числове і геометричне розв'язання рівнянь першого та другого ступенів. Назва трактату відповідає операціям при вирішенні рівнянь : « ал- джабр » ( відновлювати ) означає відновлення негативного члена в одній частині рівняння у вигляді позитивного в іншій. Наприклад, перетворивши рівняння

2х² + Зх -2 = 2х до виду 2х² + Зх = 2х + 2

ми виробили операцію ал- джабр. «Ал- мукабала» означає зіставлення подібних членів, приведення їх до одного ; в нашому рівнянні подібні члени Зх і 2х, тому отримаємо 2x² + x .Модифікація слова ал- джабр породила пізніший алгебра. Аналогічно, слово алгорифм (алгоритм ) сталося від ал -Хорезмі . Обгрунтування правил ал -Хорезмі дає в дусі геометричній алгебри древніх.Від арабів Європа отримала наступний спосіб рішення рівняннях² + ах = b.

У трактаті наведені деякі відомості про дії над алгебраїчними виразами, приклади розв'язання трикутників багато завдань про розділ спадщини призводять до рівнянь першого ступеня. Таким чином, трактат ал -Хорезмі не містив нічого нового в порівнянні з тим, що було у грецьких авторів та індусів, але він заслуговує на увагу тому, що протягом тривалого часу був керівництвом, за яким велося навчання в Європі.



2.1.5 Розвиток алгебри в Європі

Яке ж було стан математики в цей час в Європі. Про це наука має вкрай мізерними відомостями .У XII - XIII ст. в Європі інтенсивно переводилися в арабської мови як праці самих арабів, так і роботи древніх греків, перекладені на арабську мову.Першим європейським математиком, якому вдалося висвітлити багато питань і внести в математику свій внесок, був Леонардо Пизанский ( Фібоначчі, 1180-1240 ), який написав «Книгу абака ». У ній розглянуті різні завдання, вказані методи їх вирішення, причому арифметика і алгебра лінійних і квадратних рівнянь викладені з небувалою до цього часу точністю і повнотою.Істота завдання Леонардо викладає словесно ; невідому він називає res (річ ) або radix (корінь) ; квадрат невідомої - census (майно ) або quadratus (квадрат ) ; дане число - numerus. Все це латинські пероводи відповідних латинських слів.

Сучасник Леонардо, Йордан Неморарій (XIII в), вживав літерні позначення більш систематично і вирішував завдання із застосуванням лінійних і квадратних рівнянь, спочатку в загальному вигляді, а потім ілюстрував їх числовими прикладами.Французький єпископ Ніколь Орем (1323-1382) розглядав «дрібно - раціональні відносини», соответствующе сучасним ступенями a^Ѕ, a^ј, a^3/2 і т.д., сформулював правила операцій з цими відносинами типу

, , , ,

Орем впритик підійшов до поняття ірраціонального показника. Він довів расходимость гармонійного ряду 1 + +++…Видатним алгебраїстом свого часу став монах- францисканець Лука Пачолі (бл. 1445 - бл.1514 ) близький друг Леонардо да Вінчі, що працював професором Математики в університетах і різних навчальних закладах Риму, Болоньї, Неаполя, Флоренції, Мілана та інших міст.Він ввів « алгебраїчні букви» ( caratteri algebraici ), дав позначення квадратному і кубічних коренів, кореню четвертого ступеня ; невідому х він позначав зі ( cosa - річ), х²- се ( censo - квадрат, від латинського census ), х³- cu ( cubo ), x⁴- се. се. ( censo de censo ), x⁵- р ° г ° ( primo relato - «перше relato », x⁶ - р ° г ° х - се. cu. ( censo de «друге relato » ), х⁸- ce. ce. ce. ( de censo ), x⁹ - cu. cu. ( cubo de cubo ), x¹⁰ - ce. p ° r ° ( censo de primo relato ), x¹³ - 3 ° r ( tersio relato - « третього relato » ) і т. д.; вільний член рівняння - n ( numero - число). Як бачимо, деякі ступеня Пачолі отримував мультиплікативний способом за допомогою показників 2 і 3 (х⁴ = х^22, х⁶ = х²³, х⁹ = х³³ и т. д.), а у випадках, коли так не виходило, користувався словом relato (наприклад, при утворенні х⁵, х⁷, х¹¹ і т. д.). Спеціальними символами Пачолі позначив другий невідому і її ступеня. Для позначення операції додавання він скористався знаком ( plus - більше), для позначення вирахування - знаком ( minus - менше). Він сформулював правила множення чисел, перед якими стоять знаки і .Розділ «Суми», присвячений алгебраїчним рівнянням, Деякий крок у вдосконаленні алгебраїчної символіки зробив бакалавр медицини Н. Шюке (пом. бл. 1500), який у книзі «Наука про числа в трьох частинах » виклав правила дій з раціональними і ірраціональними числами і теорію рівнянь. Для додавання і віднімання він слідом за Пачолі користувався знаками і , причому, знак служив і для позначення негативного числа. Невідому величину він називав premier ( «перше число» ), а її ступеня - другими, третіми і т. д, числами. Записи ступенів невідомої у Шюке лаконічні. Наприклад, сучасні символи 5, 5ж, 5х, 5х², 5х³ у нього виглядали б так : 5°, 5¹, 5², 5³. Замість 8х³7х^-1 = 56х² Шюке писав: «8³, помножене на 7¹, дає 56² ». Таким чином, він розглядав і негативні показники. Щодо вільних членів рівняння Шюке вказував, що ці числа «мають ім'я нуль».Значного успіху у вдосконаленні «алгебраїчних букв» Луки Пачолі досягли німецькі алгебраїсти - «коссісти». Вони замість і ввели знаки + і -, знаки для невідомою, і її ступенів, вільного члена.XVI в в алгебрі ознаменувався найбільшим відкриттям - рішенням у загальному вигляді рівнянь третього і четвертого ступенів .Спіціон дель Ферро в 1506 р. знайшов рішення кубічного рівняння виду x³ + ax = b a,b >0. (1)

Трохи пізніше Тарталья вказав рішення цього ж рівняння у вигляді

х = - , де u - v = b, uv =

звідси u и v знаходяться як корені квадратного рівняння.

Також він знайшов рішення рівняння

x³ = ax + b a,b >0 (2)

Рівняння ж x³ + b = ax a,b >0 можна вирішити за допомогою рівняння (2).У ті часи воліли уникати негативних коренів і задачі, що зводяться до негативних коренів рівняння ( 2 ), перетворювали так, щоб вони приводили до позитивних коренів рівняння ( 3 ). Лише Кардано пізніше усвідомив вигоду розгляду негативних коренів.Чому розглядалися тільки рівняння виду ( 1 ) і ( 2 ) ? На це питання відповідь дав Кардано .

Не слід думати, що Тарталья і Кардано писали такі рівняння. Ні, так стали надходити значно пізніше. Записувати всі члени рівняння в одній частині, прирівнюючи до однієї частини, почав Декарт. Та й символіки не було, користувалися прообразами символів і словами. Рівняння

x³ + ax = b

записувалося приблизно так: «куб» (х³) деяку кількість ( а ) «речей» (х) дорівнює даному «числу» (b). Зрозуміти можна, але оперувати складно.Повний рівняння можна перетворити в неповне, що не містить члена з квадратом невідомою. Зробимо заміну y = x + a і підставимо в рівняння ; отримаємо

х³ + (3 + а)х² + (3² + 2а + b)x + (³ + a² + b + c) = 0

Покладемо 3 + а = 0. Знайдемо звідси = - а / 3 і підставимо у виразиp

= 3² + 2а + b, q = ³ + а² + b + c

Тоді рівняння прийме вид

х³ + px + q = 0

У нашій символіці це рівняння відповідає рівнянням ( 1 ), ( 2 ), які вирішував Тарталья.Кардано дізнався спосіб вирішення рівнянь третього ступеня, запропонований Тартальи, опублікував його. Формула ж стала носити назву «формули Кардано». Вирази u³ и v³ можна прийняти за коріння квадратного рівняння z² + qz - =0.Вирішуючи його, отримаємо

z₁ = - + , z₂= - -

x = u + v = +, x =+

Це і є формула Кардано. Не зайве зауважити, що в такому вигляді Кардано її не шукав: він формулював рішення рівнянь (1) і (2) і розглядав зв'язок між рівняннями (2) і (3) .Після того, як були досліджені рівняння третього ступеня, завдання про рівняння четвертого ступеня стала легшою. Феррарі розглядав рівняння, що не містить члена з x³, тобто рівняння виду

x⁴ + ax² + bx + c = 0

Він перетворював його так, щоб у лівій частині був повний квадрат, а в правій - вираз не вище другого ступеня щодо x .Виділенням повного квадрата виходило

= x⁴ + ax += -bx - c + , = -bx - c +

Тепер слід було виконати такі перетворення, щоб з лівої і правої частин можна було витягти корінь. З цією метою Феррарі вводив нову змінну t і додавав до обох частин вираз 2

t + t²

= 2tx² - bx - c + at + + t², = 2tx² - bx + (- c + + at + t²)

Потрібно, щоб права частина була повним квадратом. Згадаймо, як йде справа з тричленного ax² + bx + c. Виділимо в ньому повний квадрат:

ax² + bx + c = а(x² + x + ) = =a(x² + 2x + - +) = a(x² + 2x + + ) = a(x+)² +



Таким чином, перебування t звелося до вирішення кубічного рівняння, а x знаходиться з квадратного рівняння після вилучення кореня з лівої і правої частин, тобто з рівняння

x² + + t₀ =

Кардано зазначає, що таким же прийомом можна розв'язувати рівняння, в яких відсутній член нема з третім ступенем х, а з першою. У цьому випадку робиться підстановка х = k / y .Відкриття, зроблені італійцями в алгебрі і систематично викладені Кардано, стали доступні математикам інших країн і дали імпульс розвитку науки .Подальший розвиток алгебри було пов'язано з удосконаленням символіки і розробкою загальних методів розв'язання рівнянь .У цьому досяг успіху Франсуа Вієта .

2.2 Символіка Вієта і розвиток алгебри

Виет вважається одним з основоположників алгебри. Але його інтерес до алгебри спочатку пов'язаний з можливими додатками до тригонометрії та геометрії. А завдання тригонометрії і геометрії, в свою чергу, приводили Вієта до важливих алгебраїчним узагальнень. Так було, наприклад, з рішенням рівнянь третього ступеня в Непріводімие випадку і з дослідженням деяких класів вирішуваних алгебраїчних рівнянь вищих ступенів.Свою алгебру Виет цінував дуже високо. Він не користувався словом «алгебра», цю науку він зазивав «мистецтвом аналізу». Виет розрізняв видову логістику і числову логістику. Термін «логістика» означає сукупність арифметичних прийомів обчислень, «вид » мав сенс символу.Видова логістика Вієта після внесених ним у символіку удосконалень представляла собою буквене числення. Її об'єктами служать геометричні та псевдогеометріческіе образи, пов'язані між собою різними співвідношеннями. Виет був послідовником древніх: він оперував такими величинами, як сторона, квадрат, куб, квадратоквадрат, квадратокуб, і т. д., що утворюють своєрідну драбину скалярів. Дії над скалярами у Вієта, як і у стародавніх геометрів, підпорядковані «закону однорідності » : складені з невідомих і відомих величин рівняння повинні бути однорідними щодо всіх їх разом узятих. Множенню чисел у Вієта відповідає утворення нового скаляра, розмірність якого дорівнює сумі розмірностей множників. Операція, відповідна діленню чисел, дає нову величину, розмірність якої дорівнює різниці розмірностей .Виет розробив символіку, в якій нарівні з позначенням невідомих вперше з'явилися знаки для довільних величин, які називаються в даний час параметрами. Для позначення скалярів він запропонував користуватися прописними буквами: « шукані величини будуть позначені літерою А чи іншої голосної Е, I, О, U, Y, а дані - буквами B, D, G або іншими приголосними. »Слово «коефіцієнт » введено Вієтом. розглядаючи вираз

(А + В)² + D(A + В)

він назвав величину D, що бере участь з А + В в освіті площі, longitude ciefficiens, тобто сприяє завдовжки.З знаків Вієт вживав +, - і дробову риску. Сучасні дужки у нього заміняла спільна риса на всьому виразом.Символіка Вієта страждала недоліками, в деяких відношеннях вона була менш досконала, ніж у його попередників і сучасників. Виет для запису дій вживав слова: in у нього означало множення, aequatur замінювало знак рівності. Словами ж виражалися ступеня різних величин. Для трьох нижчих ступенів він узяв назви з геометрії, наприклад, А³ називав A cubus. Вищим ступенями він давав геометричні найменування, що відбуваються від нижчих : А⁹, наприклад, - A cubo - cubo - cubus. Відома величина В представлялася як величина дев'ятого ступеня записом solido - solido - solidum. Правило Тартальї для рішення рівняння третього ступеня у Вієта мало вигляд:



.

Символіки Вієта дотримувався згодом П. Ферма. Від « тиранії » однорідності просто і дотепно зумів звільнитися Декарт ( про це буде сказано далі ) .Може здатися, що Вієт ввів у символіку алгебри зовсім небагато. Літерами для позначення відрізків користувалися ще Евклід і Архімед, їх успішно застосовували Леонардо Пизанский, Йордан Неморарій, Микола Орем, Лука Пачолі, Кардано, Бомбеллі і багато інших математики. Але зробив суттєвий крок вперед Виет. Його символіка дозволила не тільки вирішувати конкретні завдання, а й знаходити загальні закономірності і повністю обгрунтовувати їх. Це, в свою чергу, сприяло виділенню алгебри в самостійну галузь математики, не залежну від геометрії. « Це нововведення (позначення буквами даних і шуканих ) і особливо застосування літерних коефіцієнтів поклало початок корінного перелому у розвитку алгебри : тільки тепер стало можливим алгебраїчне літочислення як система формул, як оперативний алгоритм ».Сказане, легко підтвердити прикладами. Нехай х₁, x₂ - корені квадратного рівняння. Перемножимо різниц

і x - x₁ и х - х₂: (x - x₁)(х - х₂)=х² - (х₁ + х₂)х + х₁х₂.

(x - x₁)(х - х₂) = х² + px + q,

p = - (х₁ + х₂), q = x₁x₂.

Виконаємо теж саме для кубічного рівняння:

(x - x₁)(х - х₂)(x - x₃)=x³ - (х₁ + х₂ + x₃)x² + (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)x - x₁x₂x₃.

(x - x₁)(х - х₂)(x - x₃) = x³ + a₁x² + a₂x + a₃.

Це дає a₁ = - (x₁ + x₂ + x₃)

a₂ = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃

a₃= - x₁x₂x₃.

Такий результат для квадратного рівняння був відомий Кардано (у разі позитивних коренів - ще й раніше) ; Кардано зазначив властивість коренів кубічного рівняння щодо коефіцієнта при х². Але ніякого обгрунтування в загальному вигляді дати він не міг ; це зробив Виет для рівнянь до п'ятого ступеня включно.Переваги символіки надали Вієта можливість не тільки отримати нові результати, але і більш повно і обгрунтовано викласти все відоме раніше. І якщо попередники Вієта висловлювали деякі правила, рецептури для рішень конкретних завдань і ілюстрували їх прикладами, то Виет дав повний виклад питань, пов'язаних з рішенням рівнянь перших чотирьох ступенів.Розглянемо хід міркувань Вієта при вирішенні кубічного рівняння.

При викладі методу Феррарі для рішення рівняння четвертого ступеня Виет провів аналітично викладки, зазначені вище, і отримав рівняння, що містить основну невідому А і допоміжну Е ( х і t у Феррарі). Виет, вірний послідовник древніх, оперував тільки раціональними позитивними числами, які він позначав буквами. Якщо в результаті підстановки в рівняння значень параметрів невідоме виявлялося ірраціональним, він давав цієї нагоди особливе обгрунтування .Як приклад такого обгрунтування наведемо « геометричне » рішення кубічного рівняння за способом дель Ферро - Тартальи .У записі Вієта рівняння мало вигляд A³ + 3BA = D.

Відоме рішення : А є різницею « сторін» які утворюють площа В і різниця кубів яких дорівнює D. Якщо позначити «сторони» буквами u і v, то uv = B, u³ - u³ = D, A = u - v .Вієт надавав рішенням « геометричне » тлумачення ; він замість D solidum записував твір У planum на D, тобто отримував A³ + 3ВA, BD .Потім він визначав чотири величини, що утворюють « геометричний ряд», так, щоб прямокутник, побудований на середніх або на крайніх, за площею дорівнював В, а різниця крайніх була D. Тоді A буде різницею середніх .Пояснимо сказане. Позначимо ці чотири величини через z, u, v і t. Тоді можна записати



z:u = u:v = v:t, zt = uv = B, z - t = D, A = u - v

Якщо в рішенні Тартальи D замінити на BD, то обидва рішення співпадуть.Спосіб Вієта означає заміну кубічного кореня двома середніми геометричними, що повністю відповідає духу древніх греків.З одержані пропорцій знайдемо

u³ = z²t, v³ = zt u³ - v³ = zt(z - t) = BD

Вієт особливо розглядав тричленні рівняння різних ступенів і в першу чергу цікавився кількістю їх коренів, маючи на увазі тільки позитивні коріння. Негативні коріння він визначав як корені рівняння, в якому невідома х замінено на - у. Вієт, отримував тричленні рівняння з квадратних ; він чинив так, щоб число позитивних коренів залишалося колишнім. При цьому він користувався підстановкою х= ky^m або спеціальними прийомами.Один із прийомів Вієта виглядає так. Нехай дано рівняння

x² + ах = b, а, b>0.

Для отримання рівняння четвертого ступеня зведемо ліву і праву частини рівняння в квадрат:

(х² + ах - b)³ = x⁴ + a²x² + b² + 2ax³ - 2bx² - 2abx = 0

x⁴ + 2ах³ + 2а²x² - а²x²+ b² - 2bх² - 2abx = 0.

2ах(х² + аx) = b2аx, 2ах³ + 2a²x = 2abx.

Тоді x⁴ + 2abx - а²x² + b² - 2bx² - 2abx = 0, x⁴ - a²x² + b² - 2bx² = 0.

Тепер залишилось виключити x²; з вихідного рівннняя знайдемо: x² = b - ax і підставимо в останнє:



x⁴ - (a² + 2b)x² + b² = 0, x⁴ - (a² + 2b)(b - ax) + b² = 0, x⁴ + (2ab + a³)x = b² + a²b

Отримане рівняння четвертого ступеня має ті і тільки ті позитивні коріння, які були у вихідного квадратного .Для знаходження тричленного рівняння третього ступеня Виет як вихідного брав рівняння

ax - x² = ab

і примножував його ліву і праву частини на х + b ; це при водило до рівняння

(а - b)х² - х³ = ab²

з тими ж позитивними коренями, які були у квадратного .І ще один приватний питання розглянув Вієт. У рівнянні

ах^m - x^m+n = b

що має за умовою два кореня, він визначив коефіцієнти, при яких корені рівняння мали б задані значення .Нехай ці коріння у і z. тодіa

=, b =

Те ж завдання він вирішив щодо рівняння

x^m+n + ax^m = b



де m + n - число парне, m - непарне.

Надзвичайно важливо те, що Виет розповсюдив відомі раніше приватні перетворення на всі алгебраїчні рівняння. Підстановку х = у + k, що застосовувалася Кардано для виключення з кубічного рівняння члена другого ступеня, він застосував до рівнянь будь-якого ступеня. Особливий інтерес представляє дослідження Вієта щодо складання рівнянь з лінійних множників і щодо встановлення зв'язків між країнами рівняння і його коефіцієнтами. Початкові відомості і по тому, і з іншого питання були у Кардано .

Кардано в ту пору, коли ще не знав методу дель Ферро і Тарталья, вирішував деякі рівняння третього ступеня розкладанням на множники.

Таке перетворення дозволило Кардано встановити, що коефіцієнт при члені другого ступеня в правій частині кубічного рівняння дорівнює сумі його коренів. Це був перший крок до встановлення залежності між корінням і коефіцієнтами алгебраїчного рівняння.Вієт склав повні рівняння з заданими позитивними корінням аж до п'ятого ступеня і показав, як утворюються коефіцієнти при x^n-1, x^n-2, x^n-3,... Він встановив, що ці коефіцієнти за умови, що старший коефіцієнт дорівнює 1 або -1 ( вільний член у правій частині мав стояти зі знаком +), являють собою узяті з чергуються знаками суми : самих коренів, парних творів їх, творів коренів, взятих по три, і т. д. Робота, в якій Виет детально розглянув це твердження, до нас не дійшла. Невідомо, як він надходив у тому випадку, коли рівняння має і негативні коріння. Але, швидше за все, це не становило для Вієта особливих труднощів: досить було зробити в рівнянні заміну х = -у і можна оперувати з позитивними країнами нового рівняння. Такі приклади в його роботах зустрічалися. Ці дослідження Вієта продовжили математики наступного покоління Т. Гарріот (1560 - 1621), А.Жірар (1595-1632), Р. Декарт ( 1596-1650) .



2.3 Символіка Декарта і розвиток алгебри

У творі «Обчислення р. Декарта» невідомий автор виклав арифметичні основи математики Декарта. Вони писав: «Ця нова арифметика складається з букв a, b, c і т.д., а також з цифр 1, 2, 3 і т.д. Якщо цифри стоять перед літерами, наприклад, 2а, 3b, 1/4с, то це означає, що величина а береться подвійний, величина b - потрійний, а від величини з береться чверть. Але якщо вони знаходяться позаду букв, наприклад, а³, b⁴, c⁵, то це означає, що величина а множиться сама на себе три рази, величина b - чотири рази, а величина з - п'ять разів». «Складання виробляється з допомогою такого знаку +. Так, щоб скласти а і b, я пишу а + b. Віднімання проводиться з допомогою такого знака. Так, щоб відняти а з b, я пишу b - a і т. д. Якщо в вычитаемом вираженні є кілька частин, то у них в ньому змінюються лише знаки. Так, якщо d потрібно відняти а - b + з, то залишиться d - а + b-с. Точно так само при відніманні а² - b² из с² - d² залишиться с² - d² - а² + b². Але якщо є приєднані цифри і члени однакового виду, то їх слід підписувати один під одним і проводити їх додавання і віднімання як у звичайній арифметиці... Якщо потрібно помножити одну букву на іншу, то їх слід лише з'єднати разом, але якщо є приєднані, числа, то вони слідують законам звичайної арифметики. Що стосується знаків, то відомо, що + на + дає у творі + й, помножений на -, також дає у творі +. Але + на - чи -, помножений на +, дає у творі -».

Точно так само визначалися дію ділення, операції з дробами «за правилами звичайної арифметики». Ось міркування про корені: «Коли корінь витягти з квадрата не можна, його квадрат поміщають під в'язку , щоб відзначити, що його слід розглядати як корінь, і тоді його корінь називають ірраціональною величиною».З усього цього видно, як далеко зайшла формалізація алгебраїчних дій у порівнянні з тим, що було у стародавніх греків і у попередників Декарта; видно також, що потреби в геометричній інтерпретації алгебри вже немає.Формалізації алгебри (і всієї математики) надзвичайно сприяло те, що Декарт удосконалив буквену символіку. Він позначав відомі величини буквами а, b, с,. . ., невідомі («невизначені») - літерами x, y, z, .... Він ввів позначення ступенів: a², a³, х³,. .. Правда, квадрати величин він висловлював і з допомогою символів аа, хх. Позначення кореня дещо відрізняється від сучасного. Так, вираз

...