Зміст і значення математичної символіки

означає один з кубічних коренів, що входять до формули Кардано.

Усі букви у формулах Декарта вважалися позитивними величинами; для позначення негативних величин ставився знак мінус; якщо знак коефіцієнта довільний, перед ним ставилася багатокрапка. Знак рівності мав незвичайний вигляд . От як, наприклад, виглядало рівняння з довільними коефіцієнтами: +x⁴…px³…qx… 0.

І ще один символ застосовував Декарт: він ставив зірочки, щоб показати відсутні члени рівняння, наприклад: x⁵*** - b 0.

Інші математики того часу теж користувалися символікою, близькою до розробленої Декартом, а стародавні греки викладали свої думки взагалі без символіки. Ферма побудував аналітичну геометрію, розташовуючи запасом вживаних до нього алгебраїчних коштів. «...все це може спонукати нас недооцінити ті успіхи, які поставлені тут у главу всієї математичної діяльності Декарта. Значення цих успіхів стає, однак, зрозумілим, якщо ми візьмемо до уваги, як часто ми повинні були для викладу ідей більш ранніх авторів вдаватися до користування алгебраїчною формою Декарта; без неї ми навряд чи змогли б це зробити скільки-небудь стисло і наочно. Ми змогли скористатися цією алгебраїчною формою, з одного боку, тому що декартова трактування алгебри завдяки своїм перевагам отримала нині широке поширення, і знайомство з нею відбувається вже в школі. З іншого боку, вона вже сама по собі значною мірою розчистила шлях багато чого, що раніше могло бути викладено лише досить громіздким чином і тому було доступно лише дуже здібним математикам» (Цейтен Р., Історія математики в XVI і XVII століттях, с. 202)

Іншими словами, розробка і запровадження алгебраїчної символіки зробили математику більш демократичною.Рівняння, за твердженням Декарта, являють собою рівні один одному суми відомих і невідомих членів або ж, якщо розглядати ці суми разом, дорівнюють «нічому» (нулю). Декарт вказав, що «рівняння часто зручно розглядати саме останнім чином», т. е. у вигляді Р (х) = 0. Для теоретичних побудов Декарта така запис рівнянь відігравала важливу роль.Цією формою він користувався при встановленні числа коренів алгебраїчного рівняння, що призвело до формулювання основна теорема алгебри: число коренів рівняння (позитивних - «справжніх», негативні - «помилкових» і уявних - «уявних») дорівнює числу одиниць у найвищому показнику ступеня входить у рівняння невідомої величини. Справедливість теореми він аргументував тим, що при перемножении n двучленов виду х - а виходить многочлен степеня n. Відсутні «уявні» коріння, природу яких Декарт не роз'яснює, можна продумати.

Якщо всі корені позитивні, то, за словами Декарта, справа йде так: «Знайте, що всяке рівняння може мати стільки ж різних коренів або ж значень невідомої величини, скільки остання має вимірювань; бо якщо, наприклад, прийняти х рівним 2, або ж х - 2 рівним нічому, а також х = 3 або ж х - 3 = 0, то, перемноживши обидва ці рівняння x - 2 = 0 і x - 3 = 0, ми одержимо хх - 5х + 6 = 0, або ж хх = 5x - 6, рівняння, в якому величина х має значення 2 і разом з тим значення 3.Якщо взяти ще те, що х - 4 = 0 і помножити це вираз на хх - 5x + 6 = 0, то ми отримаємо х³ - 9хх + 2бх - 24 = 0, друге рівняння, в якому х, володіючи трьома вимірами, має разом з тим три значення, а саме 2, 3 і 4»Якщо ж «х виражає собою недолік якої-небудь величини, скажімо 5, то ми отримаємо х + 5 = 0». Помноживши х + 5 на ліву частину попереднього рівняння і прирівнявши результат до нуля, отримаємо

x⁴ - 4x³ - 19xx + 10бх - 120 = 0

«Рівняння, у якого чотири кореня, саме три справжніх 2, 3, 4 і один помилковий -5». Побудова лівої частини рівняння у вигляді добутку двучленов призводить до того, що ступінь рівняння можна понизити, розділивши ліву частину його на х - a, де а - корінь рівняння. З іншого боку, якщо такий поділ неможливо, то число а не буде коренем рівняння. Ліву частину рівняння (1), наприклад, можна розділити на х - 2, х - 3, х - 4, х + 5 і не можна розділити на будь-який інший двучлен х - а; «це показує, що воно може мати лише чотири кореня: 2, 3, 4 і -5». Декарт сформулював правило знаків, що дає можливість встановити число додатних і від'ємних коренів рівняння: «Дійсних коренів може бути стільки, скільки разів у ньому змінюються знаки + і -, а помилкових стільки, скільки разів зустрічаються підряд два знака + або два знаки -». Згодом він вніс уточнення: при наявності уявних («неможливих») коренів рівняння число додатних коренів може (не повинно) бути рівним числу змін знаків. Декарт висловив правила і на прикладах показав, які слід виконувати перетворення, щоб змінити знаки коренів рівняння, збільшити або зменшити коріння, отримати рівняння, що не містить другого члена, і т. д. «Легко, далі, зробити так, щоб всі корені одного і того ж рівняння, що були помилковими, стали істинними, і разом з тим всі колишні істинними стали помилковими; саме це можна зробити, змінивши на зворотні всі знаки + або -, стоять на другому, четвертому, шостому та інших, позначених парними місцях, не змінюючи знаки першого, третього, п'ятого і їм подібних, позначених непарними числами місць».Застосувавши таке перетворення до рівняння (1), отримаємо рівняння

х⁴ + 4x³ - 19хх - 106x - 120 = 0,

(2) має один додатний корінь 5 і три негативних: -2, -3, -4.Можна, не знаючи коріння рівняння, збільшити або зменшити їх на якусь величину, для чого необхідно зробити відповідну заміну. Наприклад, рівняння (2) після заміни х = у - 3 перетвориться до виду

y³ - 8у² - у + 8 == 0

його позитивний корінь 8 перевищує позитивний корінь рівняння (2) на 3.Декарт зауважив, що, «збільшуючи справжні корені, ми зменшуємо помилкові і навпаки», при цьому він мав на увазі абсолютні величини коренів.Правило виключення другого члена рівняння, відоме ще Виету, Декарт ілюстрував прикладами.

Декарт говорил, что можно также «сделать, чтобы все ложные корни уравнения стали истинными, но истинные не стали ложными». Он утверждал, что легко приблизительно оценить величину неизвестных отрицательных корней уравнения. В этом можно усмотреть постановку вопроса о границах действительных корней уравнения, которому впоследствии уделил большое внимание Ньютон.

Для умножения и деления неизвестных корней уравнения на число, приведения дробных и иррациональных коэффициентов к целым Декарт пользовался теми же подстановками, которые были известны и Виету. Рассмотрим пример.

Якщо помножити у = х и z = 3у, то рівняння

x³ - x² + x - = 0

перетворюється послідовно рівняння

y³ - 3y² + y - = 0

z³ - 9z² + 26z - 24 = 0.

Корені кінцевого рівняння 2, 3, 4; попереднього - , 1, ; першого - , , .

Про «уявних» (уявних) корені рівняння Декарт писав: «Як істинні, так і помилкові коріння не завжди бувають дійсними, опиняючись іноді лише уявними. Іншими словами, хоча завжди можна уявити собі у кожного рівняння стільки коренів, скільки я сказав, але іноді не існує ні однієї величини, яка відповідає цим уявним коріння. Так, наприклад, хоча у рівняння х³ - 6xx + 13x -10 = 0 можна уявити собі три кореня, але насправді воно має лише один дійсний, 2. Що стосується двох інших коренів, то скільки б їх не збільшувати, зменшувати або множити так, як я тільки що пояснив, все одно їх не вдасться зробити інакше, ніж уявними».

Ще одна надзвичайно важлива завдання алгебри була поставлена Декартом - завдання приводимости рівнянь, тобто подання цілого многочлена з раціональними (цілими) коефіцієнтами у вигляді добутку многочленів нижчих ступенів. Декарт встановив, що корені рівняння третього ступеня з цілими коефіцієнтами і старшим коефіцієнтом, рівним одиниці, будуються з допомогою циркуля і лінійки (інакше кажучи, рівняння розв'язується в квадратних радикалів) тоді і тільки тоді, коли рівняння має цілий корінь (тобто ліва частина його може бути представлена у вигляді добутку множників першої та другий ступенів).Для рівняння четвертого ступеня він також вказав умова розв'язності; воно полягає в розв'язності його кубічної резольвенты, тобто відповідного рівняння шостого ступеня, кубічного щодо у².Декарт не показав, як він отримав остаточний результат. Ф. Схоотен вивів резольвенту за допомогою методу невизначених коефіцієнтів.

В кінці третьої книги «Геометрії» Декарт графічно вирішував рівняння третьої, четвертої, п'ятої та шостої ступенів, відшукуючи їх коріння як перетин деяких ліній.Внесок Декарта в математику не обмежується однією «Геометрією»: в його листуванні містяться рішення багатьох завдань, у тому числі пов'язаних з нескінченно малими.

3. Позначення похідної та інтеграла у Лейбніца і розвиток аналізу

Лейбніц зробив великий внесок у розвиток математичного аналізу. Йому належить створення багатьох символів, які ми використовуємо зараз, наприклад, dx, ddx,…, d²x, d³x, , . Але ці символи з'явились у Лейбніца не одразу. Спочатку вираз

= х_u (1)

у нього виглядав наступним чаном: omn. xw = ult. хomn. w - omn. omn. w. При цьому він ще не вживав звичного нам знака рівності.

У цьому виразі omn. - початкові літери латинського слова omnia, тобто все, - позначає об'єднання, підсумовування «всіх» нескінченно малих елементів, що стоять під цим знаком, х позначає абсциссу точки на кривій, що виходить з початку координат, w в цих викладках Лейбніца позначає елемент дуги (ds), то диференціал ординати (dy), ult. - початкові літери латинського слова ultima (тобто остання) - відноситься до абсциссе.Для Лейбніца в даному випадку його omn.w виступає в ролі нової функції, яка сама стає об'єктом операції, позначеної omn. Як це обставина, так і те, що він розглядає результат багаторазового застосування перетворення виду (1) та отримує вираження, у яких операція omn. нашаровується кілька разів, змусило його шукати більш зручне позначення, і в записі від 29 жовтня ми читаємо: корисно писати замість omn., так що буде замість omn. (-це початкова літера слова summa і Лейбніц називає цей знак сумою). І для нового обчислення, як у тій же запису виражається Лейбніца, маємо

, , =,

Перше з цих співвідношень відповідає перетворенню (1), а, b - постійні, риса зверху грає роль дужки, і вона, власне, зайва, та й Лейбніц не завжди її пише, але її, нехай несистематичне, поява характерно: так, в запису х ми бачимо, що автору здається необхідним додатково вказати, що на х дійсно множаться все, зібрані в суму знаком. Лейбніц далі записує (з приводу формул (2) та їх варіантів): «Це досить ново і цікаво, оскільки вказує на новий вид обчислення», і переходить до зворотного числення (contrarіo calculo), вводячи символ d, який зменшує вимірювання так, як збільшує », але пише його в знаменнику (не dy, a y/d).Тут же читаємо: позначає суму, d - різниця. Кількома днями пізніше, в рукописі, позначеної 10 листопада, Лейбніц записує: «dx - те ж саме, що x/d, тобто різниця між двома найближчими».

Чудово те, що Лейбніц відразу, ввівши нове позначення, починає з ним звертатися як з символом операції, відокремлюючи його від об'єкта операцій: він одразу зазначив, що його «сума» від (двох) доданків дорівнює сумі «сум» доданків і що постійний множник або дільник можна виносити за знак «суми». У записах наступних днів (від 1, 10, 11 листопада) він зазначає такі ж властивості операції, позначеної через d. Відзначені їм вже формули для похідної степеневої функції при цілих показниках ступеня.

y²/2d = у; =

А в тому, що він відкриває тут щось дуже суттєве, Лейбніц, ймовірно, остаточно переконався, коли зміг використовувати поки як би нащупываемый їм алгоритм при вирішенні завдань на зворотний метод дотичних. Він писав: «Ще в минулому році я поставив перед собою запитання, який можна віднести до найскладнішим у всій геометрії, оскільки поширені досі методи тут майже нічого не дають. Сьогодні я знайшов його рішення і я наведу його аналіз».Своє завдання Лейбніц формулює як визначення кривої, у якій поднормали обернено пропорційні ординатам. Така задача зводиться, в сучасних позначеннях, до вирішення диференціального рівняння ydy/dx, де k - постійна. Рішення Лейбніца полягає по суті у складанні такого рівняння і подальшому його інтегрування з допомогою розділення змінних. Він отримав, таким чином, рівняння шуканої кривої, і вона виявилася кубічної параболою.

За записами Лейбніца видно, що до середини 1676 р. він, маючи вже всіма основними правилами диференціювання та інтегрування, вирішив ще кілька завдань на зворотний метод дотичних, в тому числі знамениту у XVII ст. задачу де Бона, запропоновану свого часу Декарту, який не зміг отримати її загальне рішення. І це результат цілком самостійного ходу думок. Те, що Лейбніц знав до того часу щодо результатів Ньютона і Грегорі, ніяк не могло допомогти йому пройти обраний ним шлях. Операційний підхід Лейбніца до проблеми і його пошуки раціональної символіки для нового числення, в чому найбільш повно висловилася творча індивідуальність Лейбніца, були в достатній мірі чужі його англійським суперникам.Приблизно через рік після відкриттів 1675 р. під час поїздки по Голландії і після зустрічі там з Гудде, Лейбніц склав замітку під заголовком «Диференціальне числення дотичних».

Звичайно, вказівка на те, як визначити дотичну площину до поверхні, слід було ще розвинути, що в аналізованому уривку відсутня, але тут ми бачимо приклад того, як Лейбніц поступово, з різних приводів, повертається до свого числення, розширює область його застосування, поряд з новими результатами отримує з його допомогою відомі старі.У 1678 р. Чирнгаус заявив Лейбницу, що треба по можливості уникати нових позначень, бо це тільки ускладнює доступ до науки. Ось вієта які були введені заслуговує похвали за те, що обходиться буквеними позначеннями, не вводячи нових жахливих знаків. Лейбніц, заперечуючи підкреслював, що треба шукати позначення коротко виражають сокровенну сутність предмета, полегшуючи шлях до відкриттів і значно зменшуючи витрату розумової праці. І такі, продовжував Лейбніц, використані мною знаки - я часто з їх допомогою в кілька рядків вирішую найважчі завдання.

У 1684 р. в «Лейпцизьких вчених нотатках» з'явилася одна з найбільш знаменитих математичних робіт: «Новий метод максимумів і мінімумів, а також дотичних, для якого не є перешкодою ні дробові, ні ірраціональні кількості, і особливий для цього рід вирахування». У цій невеликій статті дано основи диференціального обчислення. Правила диференціювання наводяться без доказів, хоча є вказівки на те, що тут все можна обґрунтувати, розглядаючи диференціали як нескінченно малі різниці. Визначення диференціала функції дано як добуток похідної (але похідна задається геометрично як відношення ординати до подкасательной) на диференціал аргументу. Останній можна задавати довільно. Ще не вводиться певна угода щодо вибору знака для довжин відрізків, якими оперує Лейбніц, тому він привід деякі формули з двома знаками. У статті були помилки, утруднювали читання, були і помилкові твердження (щодо визначення точок перегину). Але в ній були і ефективні приклади застосування нового алгоритму, і автор, привівши їх, мав право заявити: «У всіх таких і багато більш складних випадках наш метод володіє однією і тією ж вражаючою і прямо безприкладної легкістю. Але це лише початку якоїсь більш високої Геометрії, яка поширюється на найважчі і прекрасні задачі прикладної математики, і навряд чи кому-небудь вдасться зайнятися з тією ж легкістю такими речами, не користуючись нашим диференціальним численням або йому подібним».

Рік 1690-й зазначає новий етап: починається листування і багаторічна наукове спілкування Лейбніца з Яковом Бернуллі, а потім і його молодшим братом Іоганном, надрукована перша робота з аналізу старшого з братів, і обидва вони, математики першого рангу, відтепер докладуть всі зусилля для розвитку нового обчислення.Через посередництво В. Бернуллі з новим обчисленням знайомиться і стає його прихильником самий значний французький механік тих років П. Вариньон.Лейбніца поява прихильників його методу і множення прикладів, що показують плідність створеного ним обчислення, діяло стимулююче.Нові результати Лейбніца досить різноманітні. Деякі з них відносяться до техніки диференціювання. Так, в «Новому методі...» 1684 р. диференціюються тільки алгебраїчні функції, раціональні та ірраціональні, і, в неявному вигляді, логарифм, а в 90-ті роки Лейбніц, можна сказати, мимохідь в різних роботах вказує диференціали синуса і арксинуса, функції виду u^v, де основа і показник степеня - функції незалежного змінного, вводить диференціювання по параметру. Пізніше Лейбніц дає носить його ім'я формулу для диференціала будь-якого порядку від добутку функцій. Можна сказати, що на цій стадії операція диференціювання у Лейбніца охопила весь запас відомих тоді функцій.

Інша група результатів Лейбніца стосується диференціальної геометрії. Один з найбільш істотних - введення огинає сімейства плоских кривих, залежних від деякого параметра.У третю групу можна об'єднати результати по інтегрального числення. Крім формул, що представляють собою звернення згаданих формул диференціювання, Лейбніц дав дві роботи про інтегрування раціональних дробів (1701 і 1703 рр..). У першій з них він допустив помилку, зробивши висновок, що при наявності комплексних коренів у знаменника раціональних дробів з дійсними коефіцієнтами інтегрування має запровадити нові трансцендентні функції, крім кругових зворотних та логарифмів. Коли ж В. Бернуллі вказав правильний результат, Лейбніц з ним не погодився і повторив своє хибне висновок у другій роботі. Ця помилка Лейбніца - не тільки математичний недогляд, вона має цікаві коріння. Твердження, що інтеграли виду

,

дають нові трансцендентні функції здавалося йому і привабливим і правдоподібним ще тому, що це відповідало метафізики лейбніца. Якщо б всі інтеграли такого виду зводилися, як виражається Лейбніц, тільки до квадратуру гіперболи (тобто логарифмам) і до квадратуру кола (до зворотних круговим функцій), то все було б однаковим. «Але природа, мати вічного розмаїття, або, краще сказати, божественний дух надто міцно оберігає свою прекрасну багатоликість, щоб допустити злиття всього в одну породу. І таким чином він знаходить витончений і дивовижний вихід в це диво аналізу, це побічний породженні світу ідей, двоїстий істоту як би між буттям і небуттям, що ми називаємо уявним коренем. І тому щоразу, коли знаменник раціонального дробу має уявні корені, що може вийти нескінченно багатьма способами, буде уявною та гіпербола, квадратура якої нам потрібна, і її жодним чином не можна буде побудувати». Від Лейбніца не вислизнуло і те, що інтеграл можна розглядати як диференціал з показником -1, і це привело його до введення диференціалів будь-яких негативних і дробових порядків з допомогою нескінченних рядів. Теорію інтегралів і похідних дробового порядку розвивали у XVIII ст. Эйлер, в XIX ст. - Лиувилъ, Ріман, Літників, у XX ст. - Р. Вейль, М. Рис та ін., і зараз вона складає один з розділів аналізу. Лейбніц ж перший у пресі вказав на те, що операція інтегрування вводить довільну постійну і на зв'язок між визначенням первісної функції і квадратурою. Він вказав також, як інтегрувати деякі типи звичайних диференціальних рівнянь. Істотно те, що Лейбніц чітко визначив взаємовідносини інтегрування диференціальних рівнянь та інтегрування функцій (перше слід вважати виконаним, якщо воно зведене до другого), і, аналогічно, інтегрування функцій і алгебраїчних операцій (наприклад, визначення коренів знаменника підінтегральної раціональної дробу при інтегруванні вважається вирішеним завданням).

Лейбніц багато займався також інтегруванням иррациональностей (в остаточному вигляді, а пізніше стали виражатися) і глибоко проник в суть цієї проблеми. Заслугою Лейбніца є і застосування до інтегрування функцій і диференціальних рівнянь нескінченних рядів з використанням методу невизначених коефіцієнтів (останній метод сходить до Декарту). Чимале значення для успіхів нового аналізу мало досить загальне введення такого поняття, як функція, і систематичні виступи Лейбніца проти обмеження (по Декарту) предмета геометрії вивченням алгебраїчних кривих. Нарешті, Лейбніц на ділі довів переваги свого обчислення, з успіхом беручи участь у конкурсах на вирішення таких важких для того часу задач, як задача Галілея про ланцюгової лінії і завдання І. Бернуллі про брахистрохроне.Історичне значення математичного творчості Лейбніца величезна. Воно тривало близько сорока років, і за такий порівняно невеликий термін математика перетворилася. Наука, в яку вступив Лейбніц, і наука, яку він залишив, належить різним епохам, і це плід головним чином його праць і праць його школи. До Лейбніца в широку область невідомого намагалися проникнути то тут, то там, наскоками, нехай часом дуже вдалими, не маючи загального плану. Завдяки Лейбницу розрізнені перш зусилля були підпорядковані загальній програмі, прояснилися й близькі і далекі цілі, засоби для їх досягнення виявилися у розпорядженні не тільки надобдарованих одинаків і значно виграли в ефективності.

4. Мова кванторов і основи математичної логіки

У зв'язку з тим, що елементи логіки являють собою невід'ємну складову частину шкільного навчання математики, вони повинні вивчатися в єдності з власне математичним матеріалом на всіх етапах навчання. Відповідний мову необхідно вводити поступово для позначення вже роз'яснених математичних і логічних понять, щоб надалі він ставав необхідним компонентом обиходного математичної мови.4.1. Алгебри висловлювань.Ця тема важлива для шкільної математики. Не опанувавши її основними діями, не можна зрозуміти наступні теми, як, не оволодівши таблицями додавання і множення, можна навчитися арифметиці і тим більше алгебри.Початкові об'єкти алгебри висловлювань - це прості висловлювання. Їх будемо позначати малими латинськими літерами a, b, c, ..., x, y, z. Передбачається, що всяке просте висловлювання володіє одним і тільки одним з двох властивостей: воно або істинне, або хибне. Будемо користуватися майже повсюдно прийнятою термінологією: властивості істинності (і) і хибності (л) ми будемо називати значеннями істинності висловлювань. При такій термінології значення істинності складного висловлювання є функція від значень істинності простих висловлювань; така функція називається логічною зв'язкою.

Заперечення (знак ). Якщо а - вислів, то а (читається: «не а») також висловлювання; воно істинно або ложно в залежності від того, хибне або істинне висловлювання а.

Ми бачимо, що операція в теорії висловлювань цілком відповідає поняттю заперечення в повсякденному сенсі слова. Якщо, наприклад, а - висловлення «Число три ділить число шість», то запереченням а цього висловлення «Число три не ділить число шість». Висловлювання а при цьому істинно, висловлення а, - неістинне. Якщо ж в якості висловлювання а взяти якесь неправдиве висловлювання, наприклад : «Число три ділить число п'ять», то його заперечення а буде висловлення «Число три не ділить число п'ять» - істинне висловлювання.б) Кон'юнкція. В якості знака для кон'юнкції ми будемо вживати знак (&). Якщо а і b - висловлювання, а b (читається: «а і b») - нове висловлювання; воно істинно тоді і тільки тоді, коли а істинно і b істинно. На відміну від операції заперечення, що залежить від одного елементарного висловлювання, кон'юнкція, як і всі наступні наведені нами зв'язки, залежить від двох елементарних висловлювань, тому вони називаються двохмісний зв'язками, заперечення ж - зв'язка одномісна. Для завдання двомісних зв'язок зручно записувати матриці істинності у вигляді таблиць з двома входами: рядки відповідають значенням істинності одного елементарного висловлювання, стовпці - значенням іншого елементарного висловлювання, а у клітині на перетині стовпця і рядка поміщається значення істинності відповідного складного висловлювання.Значення істинності складного висловлювання а b задається матрицею.

Як видно, визначення операції кон'юнкції цілком відповідає звичному значенням союзу «і»:в) Диз'юнкція. В якості знака для диз'юнкції ми будемо вживати знак .Якщо а і b - висловлювання, а b (читається: «а або b») - нове висловлювання, воно помилкове, якщо а і b помилкові; у всіх інших випадках а b істинно.Таким чином, матриця істинності для операції диз'юнкції виглядає так:

Операція диз'юнкції досить добре відповідає звичному значенням союзу «або».Приклади.«Три ділить п'ять або три більше шести» помилково;«Три ділить шість або три більше шести» істинно;«Три ділить шість або три менше шести» істинно.г) Імплікація. В якості знака для імплікації будемо вживати знак .Якщо а і b - два висловлювання, а b (читається: «а имплицирует b») - нове висловлювання; воно завжди істинно, крім того випадку, коли а істинно, а b помилково.Матриця істинності операції імплікації наступна:

В імплікації а b перший член а називається антецедентом, другий b - консеквентом.Операція описує в деякій мірі те, що в повсякденній мові виражається словами «Якщо а, то b», «З а випливає b», «а - достатня умова для b», але на цій аналогії не слід занадто наполягати. Дійсно, враховуючи визначення імплікації, дане вище, і інтерпретуючи вираз а b як «якщо a, то b», ми отримуємо: «Якщо двічі два - чотири, то тричі три - дев'ять» - істинне висловлювання; «Якщо двічі два - п'ять, то тричі три - вісім» - істинне висловлювання і тільки висловлювання типу «Якщо двічі два - чотири, то тричі три - вісім» хибно.За означенням імплікації складне висловлювання а завжди істинно, якщо консеквент істинний або якщо антецедент помилковий, що в дуже малій мірі відображає повсякденне значення виразу «Якщо а, то b» або «З а випливає b». Ні в якій мірі не слід розглядати вислів імплікації як таке, що антецедент є причиною, а консеквент - наслідком у тому сенсі, як це знижується в природничих науках.Дещо пізніше ми переконаємося, що операція імплікації досить точно виражає поняття логічного слідування в тій формі, як воно вживається в математиці.д) Еквіваленція. Для цієї операції ми будемо вживати знак . Операція еквіваленції визначається так: якщо а і b - два висловлювання, а b (читається: «а еквівалентне b»; відповідає словесному вираженню «...тоді і тільки тоді, коли...») - нове висловлювання, яке є істинним, якщо або обидва висловлювання істинні, або обидва - помилкові.З цього визначення зв'язки випливає, що її матриця істинності виглядає так:

Введеними п'ятьма зв'язками(, , , , ) ми обмежимося.З допомогою вже введених зв'язок ми можемо будувати складні висловлювання, що залежать не тільки від двох, але і від будь-якого числа елемнтарних висловлювань.Зазначимо в цьому зв'язку, що так зване нестроге нерівність а b (читається: " a менше або дорівнює b») являє собою диз'юнкцію (а < b) (a = b); воно істинно, якщо істинне принаймні одне з вхідних в нього простих висловлювань. Хорошими прикладами складних висловлювань, що зустрічаються в шкільній практиці, є так звані подвійні нерівності. Так, формула а < b < с означає (а < b) (b < с), а, наприклад, що а < b c означає складне висловлювання (а < b) ((b < c) (b = c)).Побудова складних висловлювань робиться аналогічно тому, як в елементарній алгебрі з допомогою операцій додавання, віднімання, множення і ділення будуються як завгодно складні раціональні вирази. А саме, припустимо, що ми вже побудували два яких-небудь складних висловлювання, які ми заради зручності скорочено позначимо великими латинськими літерами А і В (при цьому ми умовимося, що елементарні висловлювання слід розглядати як окремий випадок складних). Тоді нові висловлювання можна отримати, поєднавши А й одним із знаків , , , або ж побудувавши висловлювання А і уклавши результат в дужки. Складними висловлюваннями будуть, наприклад, висловлювання наступного виду:((а b) (а)); ((а b) ( )). При цьому передбачається, що зустрічаються тут літери є скороченими позначеннями будь-яких висловлювань.Таким чином, в принципі знаючи ці висловлювання, можна було б побудувати російські фрази, які виражають ці складні висловлювання. Тільки словесний опис складних висловлювань швидко стає малообозримым, і саме введення доцільною символіки дозволяє проводити більш глибоке і точне дослідження логічних зв'язків між різними висловлюваннями. Маючи значенням істинності простих висловлювань, легко підрахувати на підставі визначення зв'язок значення істинності складного висловлювання. Нехай, наприклад, дано складне висловлювання((b) (b a))і нехай входять до нього елементарні висловлювання мають наступні значення істинності: а = л, b=, = в. Тоді b з = і, b a = л, так що (( b) (b а)), тобто розглянуте висловлювання хибне.

4.1 Висловлювання та булеві функції

Однією з основних задач алгебри висловлень є встановлення значення істинності складних висловлювань залежно від значення істинності вхідних в них простих висловлювань. Для цього доцільно розглядати складні висловлювання як функції вхідних в них простих висловлювань. З іншого боку, так як значення істинності (або л) складного висловлювання залежить визначення логічних зв'язок не від самих простих висловлювань, а лише від їх значення істинності, то можна вважати, що будь-яке складне висловлювання визначає функцію, аргументи якої незалежно один від одного приймають значення і л, а значення самої функції також належить множині {і, л} (звичайно, істотно не те, що мова йде про функції від декількох аргументів з множини {і, л} безліч {л}, а лише те, що дані безлічі двухэлементны. Ці множини часто позначають не через {л}, а, наприклад, через {0, 1}, вважаючи, що 1 означає «істину», а 0 - «брехня»).Такі функції називаються булевими операторами функціями (по імені Д. Буля). Наприклад, формула

F (а, b, с) = (а b) (а)

описує.

Зауважимо, що булевих функцій від n аргументів мається лише кінцеве число, а саме стільки, скільки можливо функціональних таблиць. Число можливих наборів аргументів дорівнює 2 ⁿ, а кожному набору аргументів можна незалежно один від одного зіставляти одне з значень і чи л. Таким чином, число всіляких булевих функцій від n аргументів одно - Воно дуже швидко росте з ростом n. Вивчення властивостей булевих функцій має більше значення як для алгебри і математичної логіки, так і для їх додатків в кібернетиці та теорії автоматів. Природно поширити визначення висказивательних зв'язок, так як ми визначили вище, на булеві функції. Ми обмежимося розглядом лише зв'язок , , називаються булевими операторами зв'язками (або булевими операторами операціями). Таке обмеження виправдане тим, що, як легко перевірити, зв'язки і можуть бути виражені через інші булеві зв'язки. За допомогою таблиць істинності, наведених вище, легко перевіряються наступні тотожності:

a b ( a) b;

a b (a b) ( a b),

які дозволяють повсюдно замінити зв'язки , на , , .

Якщо ми тепер маємо булеві функції {F (x_l, х₂, ..., х_n), G (х₁, х₂, ..., х_n)} від n змінних, дію зв'язок над ними визначається природним чином:F (x_l, x₂, ..., х_n) G (х₁, x₂, ..., х_n), F (x_l, x₂, ...,х_n) G (x_l, x₂, ..., х_n), F (x_l, x₂, ..., х_n) - це такі булеві функції, які приймають значення, що приписуються відповідними таблицями для кожного можливого значення аргументів. Коротко: булеві операції так переносяться на булеві функції, як дії арифметики переносяться на звичайні функції числових аргументів. Взагалі має місце далеко йде аналогія між звичайною алгеброю чисел і числовими функціями, з одного боку, і висловлюваннями і булевими операторами функціями - з іншого. При цьому можна відзначити, що в одному певному сенсі алгебра бульових функцій простіше алгебри числових функцій: якщо розглядати лише функції деякого кінцевого числа аргументів, то таких функцій лише кінцеве число. Тому викладки з булевими операторами функціями цілком доступні розумінню школярів старших класів.Природно, закономірності булевої алгебри менш звичні і викликають подив і недовіру: це доля всякого нововведення.Випишемо закони булевої алгебри. Великими латинськими літерами А, В, ..., X, Y, Z ми позначимо об'єкти, над якими здійснюються булеві операції , ,. Для визначеності будемо вважати, що ці об'єкти - булеві функції деякого фіксованого числа змінних. Серед них є два особливих елемента: 1, 0. Це відповідно функції сприймання для всіх аргументів значення 0 і 1 (постійні функції - нуль і одиниця). Тоді

А В = В А, A B = B A

A (В C) = (А В) C A (В C) = (А В) C

A A = A A A = A

A 1 = A A 1 = A

A 0 = 0 A 0 = A

(A B) = A B (A B) = A B

A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

A = A

Якщо, як це зазвичай роблять, булеві операції , , вважати аналогом додавання, множення і переходу до протилежного числа, то деякі з вищенаведених законів ті ж, що для числового додавання і множення, інші ж істотно відрізняються від звичних.

4.2 Предикати і квантори

Алгебри предикатів поряд з операціями логіки висловлювань важливу роль відіграють операції, які називаються кванторами. Саме вживання кванторов робить алгебру предикатів значно багатшою, ніж алгебри висловлювань. Квантори відповідають за змістом того, що на звичайній мові виражається словами «все» («для кожного», «для всіх» і т. п.) і «існує» («деякий», «знайдеться» тощо).Поняття, що позначається словом «все», лежить в основі квантора загальності (або квантора спільності). Якщо через Гр (X) позначений предикат «X є грек», визначений на множині М всіх людей, то з цього предиката з допомогою слова «всі» ми можемо побудувати висловлювання «Усі люди - греки» (звичайно, що хибність). Це приклад застосування квантора загальності.Взагалі ж квантор загальності визначається так. Нехай Р (X) - який-небудь предикат. Тоді квантор загальності - це операція, яка зіставляє Р (X) висловлювання«Всі X мають властивість P (X)». (*)

Для цієї операції («все») вживається знак (перевернута латинська літера А, нагадує про німецькому слові «alle» або англійською «all» - все). Вислів (*) записується так: (X)P(X) (читається: «для всіх X Р від X»). Згідно зі змістом слова «всі» (X)Р(X) - хибне висловлювання, крім того єдиного випадку, коли P (X) тотожно-правдивий предикат.Поряд з квантором загальності в логіці предикатів розглядається інший квантор - «двоїстий» йому квантор існування, який позначається знаком (це перевернута латинська літера E, нагадує німецьке слово «existieren» або англійське «exist» - існувати): (Х)Р(Х)(читається: «існує такий X, що Р від X») - висловлювання, яке є істинним тоді і тільки тоді, коли Р істинне принаймні для одного об'єкта а з області визначення М. Тим самим (X)Р(X) - істинне висловлювання для всіх предикатів Р (X), крім одного - тотожно-помилкового.Між кванторами і мають місце відношення рівносильності, що дозволяють зводити будь-який з цих кванторов до іншого: (X) P(X) (X) P(X) («Невірно, що всі X мають властивість P (X)» рівнозначно тому, що «Існує такий об'єкт X, для якого істинно не Р (X)»). Звідси маємо: (X) (X) P(X). Аналогічно, має місце подвійний закон: (X) P(X) (X) P(X). («Невірно, що існує X, володіє властивістю Р (X)» рівносильне «Всі X мають властивість не Р (X)»).Звідси (X)Р(X) (X)P(X). Ці рівносильності називають правил де Моргана для кванторов.

За допомогою квантора існування легко виражається судження типу «Деякі Р суть Q» (наприклад, «Деякі англійці курять», «Деякі непарні числа - прості» тощо), тобто що принаймні один об'єкт а, що володіє властивістю Р, має також властивість Q. Цей факт записується формулою (X)(P(X)Q(X)) («Існує такий X, що Р від X і Q від X»).Аналогічно з допомогою кванторов записується ряд інших відносин між одномісними предикатами.Набагато більш багаті можливості відкриває застосування кванторов до многоместным предикатам. Зупинимося коротко на цьому питанні.Нехай А (X, Y) - деякий двомісний предикат, визначений на деякій множині М. Квантор загальності і квантор існування можна застосовувати до нього як для змінної X, так і для змінної Y: (X)А(X, У); (Y)А(X, Y); (X)А(Х,Y); (Y)A(X,Y). Змінна, до якої застосовано квантор, називається зв'язаною, інша змінна - вільної. Всі чотири наведених вираження є записами одномісних предикатів від відповідної вільної змінної. (X)А(X,Y) (читається: «для всіх X, A X і Y») - одномісний предикат від змінної Y: (X)А (X,Y)=F(У), Він правдивий в точності для тих bМ, для яких одномісний предикат A (X, b) істинний для всіх X. Якщо представити предикат A (X, Y) його таблицею, то предикат F (Y) = (X) (X, Y) правдивий для тих b, для яких стовпець з входом b містить виключно букву и.

Застосування квантора до однієї із змінних двомісного предиката перетворює його в одномісний. У разі тримісних предикатів застосування квантора призводить до двомісному предикату. Аналогічно і для предикатів з великим числом місць застосування квантора перетворює n-місцевий предикат в (n - 1)-місцевий.До вільної змінної X одномісного предиката (У)А(X, Y) в свою чергу можна застосовувати квантор загальності або квантор існування. Виходять виразу

(X)((У)А(X,У)); (X)((Y)А(X,У)) які, опускаючи дужки, прийнято записувати дещо простіше,:

(X)(У)А(X,У); (X)(Y)А(X,У),

Це - висловлювання. Перше істинно, якщо всі рядки, а тим самим і вся таблиця предикатів, містять тільки букву і, друге істинно, якщо відповідна матриця містить щонайменше одну тотожно-справжню рядок. Три інші предиката(X)А (X,У), (У)А(X, У) и (X)А (X,У) також допускають квантификацию, так що в цілому ми отримуємо з одного предиката вісім формально різних висловлювань: (X)(У)А (X, У); (X)(У)А (X,У); (X)(У)А (X, У); (X)(У)А (X, У); (У)(X) А (X, У); (У)(X)А(X, У); (У)(X)А (X, У); (Y) (X) А (X, У).

Неважко переконатися в тому, що чотири висловлювання, що містять однакові квантори, попарно еквівалентні:

(X)(У)А(X,У) (У)(X)А (X, У);

(X)(У)А (X, У) (Y)(X)А (X, У).

(X)(У)А(X,У) так як і(У)(X)А(X, У), истинно тоді і тільки тоді, коли А (X, У) - тотожно-правдивий предикат, (X)(У)А (X, У) и (Y)(X)А(X,У) обидва істинними у всіх випадках, крім одного, коли А(X,У) - т тотожно-помилковий предикат. Всі інші висловлювання істотно різні. Особливо слід пам'ятати, що порядок проходження різнойменних кванторов дуже важливий. Я вважаю, що до закінчення школи учні повинні оволодіти кванторами, але введення їх повинно бути поступовим і починатися у простих ситуаціях. Учні повинні добре розуміти, що від перестановки кванторов може змінюватися зміст твердження.Наприклад, Нехай I=(а,b) - деякий інтервал.

5. Методичні рекомендації до теми «Введення нуля і розвиток позиційної десяткової системи числення»

У 5 класі вже можливо обговорення з учнями цієї теми. Можна згадати з ними, що рахунок у нас ведеться десятками: десять одиниць утворюють один десяток, десять десятків - одну сотню і т.д., іншими словами: десять одиниць першого розряду утворюють одну одиницю другого розряду, десять одиниць другого розряду - одну одиницю третього розряду і т.д. Такий спосіб рахунки, групами в десять, яким ми користуємося, називається десятковою системою числення. Число десять називається підставою десяткової системи числення. Строго визначення десяткової системи давати не варто.Потім, потрібно обговорити, чому ми вважаємо саме десятками, тобто як виникла десяткова система числення?Люди на перших ступенях розвитку суспільства вважали за допомогою десяти пальців рук. Зараз іноді кажуть: «Перелічити на пальцях». Далі слід поговорити про те, що були племена і народи, які за рахунку користувалися лише п'ятьма пальцями однієї руки, вважали п'ятами, тому і використовували вони пятеричную систему числення, в якій основою служить число 5. Існують і інші системи числення: двійкова, двадцяткова (сліди її збереглися до цих пір у французькій мові - вони говорять замість «вісімдесяти» - «двадцять чотири рази»). Двадцяткова система виникла у народів, які вважали не тільки за допомогою пальців рук, але і пальців ніг. Стародавні вавілоняни користувалися шістдесяткова системою числення.Можна обговорити, скільки цифр використовується в кожній з перерахованих систем числення для зображення чисел.Також корисно для учнів буде ознайомитися з римською нумерацією, обговорити де вона застосовується. Учні повинні навчитися записувати арабські числа з допомогою римських. Тут же можна запропонувати їм пару цікавих завдань, де використовують римські цифри з метою залучення їх уваги.Більше ніякі алфавітні системи не варто чіпати, а лише продемонструвати табличку з алфавітними нумерациями, а також числові знаки різних народів (див. далі).Після цього учням можна коротко повідомити про походження знака 0. Потрібно відзначити, що зараз нуль це не просто знак для відділення розрядів, а число, яке можна складати, віднімати, множити і ділити, як і інші числа. Єдине обмеження - ділити на 0 не можна.Можливо винесення цього матеріалу на факультативні заняття, де обговоренню різних систем числення можна відвести більше часу.З учнями 7-8 класів можливо більш повне розгляд цієї теми.Почати слід з розповіді про те, що існують позиційні і непозиционные системи числення. Дати визначення однієї й іншої системи числення, попросити учнів навести приклади.Потім можна обговорити двійкову систему. Учні повинні навчитися переводити числа з двійкової системи числення у десяткову, і навпаки. Після цього подібні дії проробити з іншою системою числення, наприклад, пятеричной. Можна навчити учнів складати і множити числа у різних системах числення, відмінних від десяткової. Далі, я вважаю, що потрібно розглянути десяткову непозиционную систему (наприклад, стародавніх єгиптян). Учні повинні зрозуміти, наскільки важко зображати великі числа в непозиционных системах числення. Тільки тоді вони зможуть по достоїнству оцінити заслугу індійських математиків, які створили десяткову позиційну систему числення.Перш ніж почати розповідь про походження знака нуля можна запропонувати учням записати число сто три тисячі двісті п'ятдесят з допомогою цифр, але не використовуючи знака нуля. Обговорити як вони це зробили, далі запропонувати скласти це число з числом двадцять тисяч сімсот вісімдесят дев'ять, знову таки записаного за допомогою цифр, але без знака нуля. В учнів виникнуть деякі труднощі. Після цього буде доцільно розповісти їм про заслузі індійців.Якщо хтось із учнів зацікавиться нумерациями різних народів, то можна запропонувати їм для самостійного вивчення книгу Е. Кольмана «Історія математики в давнину».

Список літератури

1. Алексєєв Б. Т. Філософські проблеми формалізації знання. Видавництво ленінградського університету. 1981.

2. Бурбаки Н. Нариси з історії математики. М., видавництво іноземної літератури. 1963.

3. Вилейтнер Р. Історія математики від Декарта до середини XIX століття. М., «Наука». 1966.

4. Вигодський М.Я. Арифметика і алгебра в стародавньому світі. М., «Наука». 1967.

5. Глейзер Г.І. Історія математики в школі. Посібник для вчителів. Під ред. В.М. Молодшего. М., «Просвіта», 1964.

6. Калужнін Л.А. Елементи теорії множин і математичної логіки в шкільному курсі математики. Посібник для вчителів. М., «Просвіта», 1978. 88с.

7. Нешков К.І. ТА ін Множини. Відносини. Числа. Величини. Посібник для вчителів. М. «Просвіта», 1978. 63 с.

8. Марков С.М. Курс історії математики: Навчальний посібник. - Іркутськ: Видавництво іркутського університету, 1995. - 248с.

9. Молодший В.М. Нариси з історії математики. М.Никифоровский В.А. З історії алгебри XVI-XVII ст.. М., «Наука». 1979.

10. Петров Ю.А. Філософські проблеми математики. М., «Знання», 1973.

11. Погребысский І.Б. Гольфрид Вільгельм Лейбніц. М., «Наука». 1971.

12. Рибніков К.А. Історія математики. Видавництво московського університету. 1974.

Размещено на Allbest.ru