Размещено на http://www.allbest.ru/

МОСКОВСКИЙ ЮРИДИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

по курсу: «Исследование систем управления»

Тема: «Метод Монте-Карло»

• Введение
• 1. Метод Монте-Карло
• 2. Область применения метода Монте-Карло
• Заключение
• Список использованной литературы

Цель данной работы состоит в том чтобы рассмотреть сущность метода Монте-Карло, область применения, а также его достоинства и недостатки.

1. Метод Монте-Карло

Идея метода заключается в следующем. Вместо того, чтобы описывать исследуемый случайный процесс аналитически, составляется алгоритм, имитирующий этот процесс. В алгоритм включаются специальные процедуры для моделирования случайности. Конкретное осуществление алгоритма складывается каждый раз по-иному, со своими результатами. Множество реализаций алгоритма используется как некий искусственно полученный статистический материал, обработав который методами математической статистики, можно получить любые характеристики: вероятности событий, математические ожидания, дисперсии случайных величин. имитационное моделирование машинный

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а:

М (Х) =а

Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое

и принимают x в качестве оценки (приближённого значения) a* искомого числа a:

.

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти её возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а*.

Оценка погрешности метода Монте-Карло

Пусть для получения оценки a* математического ожидания а случайной величины Х было произведено n независимых испытаний (разыграно n возможных значений Х) и по ним была найдена выборочная средняя , которая принята в качестве искомой оценки: . Ясно, что если повторить опыт, то будут получены другие возможные значения Х, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка a*. Уже отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границы (допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надёжностью):

.

Интересующая нас верхняя грань ошибки (есть не что иное, как «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов. Случайная величина Х распределена нормально и её среднее квадратичное отклонение (известно. В этом случае с надёжностью (верхняя граница ошибки)

,

где n число испытаний (разыгранных значений Х); t - значение аргумента функции Лапласа, при котором

(- известное среднее квадратичное отклонение Х).

Случайная величина Х распределена нормально, причём её среднее квадратическое отклонение (неизвестно).

В этом случае с надёжностью (верхняя граница ошибки)

где n - число испытаний; s - «исправленное» среднее квадратическое отклонение, находят по таблице приложения 3.

Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального.

В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n>30) с надёжностью, приближённо равной (, верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (*), если среднее квадратическое отклонение (случайной величины Х известно; если же (неизвестно, то можно подставить в формулу (*) его оценку s - «исправленное» среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться формулой (**). Заметим, что чем больше n, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при распределение Стьюдента стремится к нормальному.

Из изложенного следует, что метод Монте-Карло тесно связан с задачами теории вероятностей, математической статистики и вычислительной математики. В связи с задачей моделирования случайных величин (в особенности равномерно распределённых) существенную роль играют также методы теории чисел.

Среди других вычислительных методов, метод Монте-Карло выделяется своей простотой и общностью. Медленная сходимость является существенным недостатком метода, однако, могут быть указаны его модификации, которые обеспечивают высокий порядок сходимости при определённых предположениях. Правда, вычислительная процедура при этом усложняется и приближается по своей сложности к другим процедурам вычислительной математики. Сходимость метода Монте-Карло является сходимостью по вероятности. Это обстоятельство вряд ли следует относить к числу его недостатков, ибо вероятностные методы в достаточной мере оправдывают себя в практических приложениях. Что же касается задач, имеющих вероятностное описание, то сходимостью по вероятности является даже в какой-то мере естественной при их исследовании.

2. Область применения метода Монте-Карло

Мы видим, что методом Монте-Карло решаются задачи двух типов.

Во-первых, для многих детерминированных математических задач можно придумать вероятностную модель (и даже не одну), позволяющую решать эти задачи, как и сделано в примере 1.

Во-вторых, метод позволяет моделировать любой процесс, на протекание которого влияют случайные факторы.

В сущности метод Монте-Карло универсален, но это не значит, что стоит его применять к простым задачам, имеющим аналитическое решение. Целесообразным применением метода Монте-Карло становится тогда, когда процедура его реализации проще а не сложнее аналитического расчета.

Поскольку в методе статистического моделирования не делается никаких дополнительных предположений, ограничивающих его применимость, он годится и для исследования стохастических процессов не поддающихся в силу своей сложности аналитическому описанию, и для проверки правильности и степени точности аналитических моделей.

Случайные числа являются реализациями последовательности взаимно независимых и одинаково распределенных случайных величин. При этом в основе может лежать любое распределение , и тогда говорят об распределенных случайных числах.

Различают три способа получения случайных величин:

1. Специальные таблицы случайных чисел.

2. Физические генераторы случайных величин. (Чаще всего для этих целей используют какие-либо источники радиоактивного излучения либо шумы радиоэлектронных приборов).

3. Программные генераторы (или датчики) псевдослучайных чисел.

Считают, что наименьшим машинным затратам и удобству дальнейших преобразований удовлетворяет последовательность случайных чисел с равномерным распределением в интервале [0, 1]. С помощью таких случайных чисел можно конструировать как случайные события с любой заданной вероятностью, так и случайные величины, обладающие практически любым законом распределения.

Заключение

Итак, метод Монте-Карло используется очень часто, порой некритично и неэффективным образом. Он имеет некоторые очевидные преимущества:

а) Он не требует никаких предложений о регулярности, за исключением квадратичной интегрируемости. Это может быть полезным, так как часто очень сложная функция, чьи свойства регулярности трудно установить.

б) Он приводит к выполнимой процедуре даже в многомерном случае, когда численное интегрирование неприменимо, например, при числе измерений, большим 10.

в) Его легко применять при малых ограничениях или без предварительного анализа задачи.

Он обладает, однако, некоторыми недостатками, а именно:

а) Границы ошибки не определены точно, но включают некую случайность. Это, однако, более психологическая, чем реальная, трудность.

б) Статическая погрешность убывает медленно.

в) Необходимость иметь случайные числа.

Список использованной литературы

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика -М.: «Высшая школа», -2002, -480 с.

2. Ермаков С. М. Методы Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1999г.

3. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. - М.: Наука, 2001г.

Размещено на Allbest.ru