Статистические методы решения инженерных задач

Размещено на http:www.allbest.ru/

В. И. Губин, В. Н. Осташков

Статистические методы решения инженерных задач

Учебное пособие

Тюмень 2006

Министерство образования российской федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тюменский государственный нефтегазовый университет»

В. И. Губин, В. Н. Осташков

Статистические методы

решения инженерных задач

Учебное пособие

Рекомендовано

Учебно-Методическим Объединением высших

Учебных заведений Российской Федерации

В. И. Губин, В. Н. Осташков. Статистические методы решения инженерных задач. Учебн. Пособие для студентов всех форм обучения технических вузов. - Тюмень: ТюмГНГУ. - 2006. - стр.

Учебное пособие состоит из трех частей: теоретической, методической и практической. В первой части содержится теоретический материал справочного характера по разделу «Математическая статистика» курса математики. Во второй части приведены образцы примеров выполнения лабораторных работ по первичной обработке результатов экспериментальных данных из различных сфер производственной деятельности, проверке статистических гипотез, построению однофакторных и многофакторных моделей. Третья часть включает варианты заданий для выполнения шести лабораторных работ.

По содержанию данное пособие соответствует требованиям ГОС ВПО для специальностей технических вузов. Может быть использовано преподавателями при организации и проведении лабораторных занятий по математической статистике во всех формах обучения.

Рецензенты:

© В. И. Губин, В. Н. Осташков, 2006

© Тюменский государственный нефтегазовый университет, 2006

Предисловие

При составлении пособия «Статистические методы решения инженерных задач» приняты во внимание рекомендации, изложенные в документе «Стандарты и Процедуры аккредитации инженерных программ, разработанные в рамках проекта EUR - ACE», предусматривающие двухуровневую подготовку специалистов, формирование у студентов знаний инженерных дисциплин, математики, навыков анализа производственных процессов, выборке решений и способности применения их в практической деятельности. Целью проекта EUR - ACE является содействие созданию Европейской Зоны Высшего образования (Болонский процесс), в котором участвует и Россия.

Пособие составлено на основе:

а) реализации в учебном процессе межпредметных связей математики с инженерными дисциплинами;

б) применения математического моделирования для анализа производственных процессов и их прогнозирования;

в) формирования знаний основных сведений математической статистики и умение использовать статистические методы реальных процессов для решения инженерных задач различной степени сложности.

Пособие содержит практикум по следующим разделам математической статистики:

а) построение вариационных рядов статистических распределений и расчет числовых характеристик;

б) построение эмпирических, теоретических кривых распределений и проверка согласованности эмпирического распределения с нормальным теоретическим, применяя различные критерии согласия;

в) построение однофакторных математических моделей линейной и нелинейной регрессии;

г) построение многофакторных линейных регрессионных моделей.

Материал пособия изложен в доступной форме. Сущность доступности заключается в том, что по каждому разделу приводится описание теоретического материала, показывается его практическое применение в лабораторных работах и формируются навыки в самостоятельном решении приведенных в пособии задач.

Пособие рекомендуется для студентов всех форм обучения технических вузов.

§1. Первичная обработка результатов наблюдений

В первичной обработке результатов наблюдений при анализе показателей работы разных отраслей производственной сферы (добыча нефти и газа, ремонт скважин, машиностроение, строительная индустрия и т.д.) и их прогнозировании используют методы математической статистики, которые позволяют установить закономерности производственных результатов с требуемой точностью, надежностью и минимальных материальных, трудовых затратах и оценить их основные свойства.

Решение этих вопросов методами математической статистики осуществляют следующим образом.

Пусть Х -- некоторый производственный показатель (признак), а , , . . ., -- результаты независимых наблюдений над ними. Если количество наблюдений n невелико, наблюдения либо ранжируют, либо сводит в табл. 1, где каждому значению ставят в соответствие частоту появления этого значения в данной выборке.

Таблица 1

Варианты,			. . .
частоты,			. . .

Здесь , где n -- объем выборки.

Если количество наблюдений n достаточно большое (), то результаты наблюдений сводят в интервальный вариационный ряд, который формируется следующим образом.

Вычисляют размах варьирования R признака Х, как разность между наибольшим и наименьшим значениями признака, то есть . Размах R варьирования признака Х делится на k разных частей и таким образом определяется число столбцов (интервалов) в таблице. Величину k частичного интервала выбирают, пользуясь следующими правилами: математический статистика моделирование прогнозирование

, , .

При небольшом объеме n выборки число интервалов принимают равным от 6 до 10. Длина h каждого частичного интервала определяется по формуле

.

Величину h обычно округляют до некоторого значения d. Например, если результаты признака Х -- целые числа, то h округляют до целого значения, если содержат десятичные знаки, то h округляют до значения d, содержащего такое же число десятичных знаков. Затем подсчитывается частота , с которой попадают значения признака Х в i-ый интервал. Значение , которое попадает на границу интервала относятся к какому-либо определенному концу, например, к левому. За начало первого интервала рекомендуется брать величину . Конец последнего интервала находят по формуле . Сформированный интервальный вариационный ряд записывают в виде табл. 2.

Таблица 2

Варианты-интервалы, (; )	(; )	(; )	. . .	(; )
частоты,			. . .

Интервальный вариационный ряд изображают геометрически в виде гистограммы частот или гистограммы относительных частот .

Гистограммой называется ступенчатая фигура, для построения которой по оси откладывают отрезки, изображающие частичные интервалы (; ) варьирования признака Х, и на этих отрезках, как на основаниях, строят прямоугольники с высотами, равными частотам или частостям соответствующих интервалов.

Для расчета статистик (выборочной средней, выборочной дисперсии, асимметрии и эксцесса) переходят от интервального вариационного ряда к дискретному. В качестве вариантов этого ряда берут середины интервалов (; ). Дискретный вариационный ряд записывается в виде табл. 3 или табл. 4.

Таблица 3

Варианты, хi	х1	х2	. . .	хk
частоты, mi	m1	m2	. . .	mk

Здесь , где n -- объем выборки.

Таблица 4

Варианты,			. . .
относительные частоты,			. . .

Здесь .

Графически дискретный вариационный ряд изображают в виде полигона частот или относительных частот. В системе координат 0ху строят точки с координатами (; ) или (; ), где -- значение i-го варианта, а () -- соответствующие частоты (частости). Ломаную линию, соединяющую построенные точки, называют полигоном.

Вариационные ряды графически можно изобразить в виде кумулятивной кривой (кривой сумм -- кумуляты). При построении кумуляты дискретного вариационного ряда на оси абсцисс откладывают варианты , а по оси ординат соответствующие им накопленные частоты . Соединяя точки с координатами (; ) отрезками прямых, получаем ломаную (кривую), которую называют кумулятой. Для получения накопительных частот и дальнейшего построения точек (; ) составляется расчетная табл. 5.

Таблица 5

Варианты,			. . .
относительные частоты,			. . .
накопительные относительные частоты,			. . .

При построении кумуляты интервального вариационного ряда левому концу первого интервала соответствует частота, равная нулю, а правому -- вся частота этого интервала. Правому концу второго интервала соответствует накопительная частота первых двух интервалов, то есть сумма частот этих интервалов и т. д. Правая граница последнего интервала равна сумме всех частот, то есть объему n выборки.

Для характеристики свойств статистического распределения в математической статистике вводится понятие эмпирической функции распределения.

Эмпирической функцией распределения или функцией распределения называется функция , определяемая равенством

, (1)

где n -- объем выборки, -- число вариантов , меньших х. Аналогом этой функции в теории вероятностей является интегральная функция распределения . Функция отличается от функции тем, что вместо вероятности P() берется относительная частота

.

Чтобы найти значение функции приданном значении x, надо подсчитать число вариантов, которые принял признак Х меньше, чем х и разделить на объем выборки.

Эмпирическая функция служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности. При больших объемах n выборки согласно знака больших чисел функции сходится по вероятности к теоретической функции признака Х.

Значения эмпирической функции принадлежат промежутку . Графиком функции служит кусочно-постоянная кривая (рис. 1).

Эта кривая имеет скачки в точках, которые соответствуют вариантам . При обработке результатов эксперимента, например, результатов механических испытаний, целесообразно вместо ступенчатой кривой вычерчивать плавную кривую (на рис. 1 это штриховая линия), которая проходит через точки, расположенные посередине вертикальных частей ступенчатой кривой. Абсциссами этих точек служат значения механической характеристики , а ординатами -- эмпирическая функция , характеризующая оценку вероятности события .

§2. Расчет выборочных характеристик статистического распределения

Рассмотрим выборку объема n со значениями признака Х: , , . . ., . Для характеристики важнейших свойств статистического распределения используют средние показатели, называемые выборочными числовыми характеристиками. Если значения признака Х не сгруппированы в вариационные ряды (табл. 2, 3, 4) и объем выборки n небольшой, то несмещенные оценки для неизвестных математического ожидания а и дисперсии находят по формулам:

 (2)

для математического ожидания и

(3)

для дисперсии.

Если результаты наблюдений сгруппированы в дискретный вариационный ряд (табл. 3), то те же оценки находятся по формулам:

, , 4)

, (5)

По формуле (5) вычисляют в случае, если объем выборки . Если же , то вычисляют исправленную дисперсию по формуле:

(6)

для простой выборки или

(7)

для взвешенной выборки.

Выборочное среднее квадратичное отклонение находят по формулам

или (8)

при различных объемах выборки.

Для анализа вариационных рядов вычисляют такие статистики, как моду и медиану.

Модой называют варианту, которая имеет наибольшую частоту. Например, для вариационного ряда

xi	4	9	14	19
mi	3	7	2	5

=9.

Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на равные части.

При нечетном объеме выборки (нечетном числе столбцов в дискретном вариационном ряде) медиана равна серединному члену вариационного ряда. Например, для вариационного ряда

xi	3	5	8	12	15
mi	6	2	4	5	8

=8.

При четном объеме выборки (четном числе столбцов в дискретном вариационном ряде) медиана находится по формуле

(9)

Здесь -- варианта, которая находится слева от середины вариационного ряда, а -- слева от нее. Например, для вариационного ряда

xi	2	5	7	10	12	14
mi	3	4	8	2	3	6

.

Для вычисления выборочной средней (), выборочной дисперсии (), асимметрии () и эксцесса () при достаточно большом объеме выборки () применяют метод произведений. Вводят условные варианты u_i, которые вычисляют по формуле

, (*)

где , h -- шаг (длина интервала).

Составляется расчетная табл. 6.

Таблица 6

							контрольный столбец
строка сумм:

Контроль вычислений ведут по формуле

.(10)

Пользуясь табл. 6, вычисляют условные начальные моменты по формулам

(11)

(12)

(13)

(14)

Тогда выборочную среднюю находят по формуле

(15)

Выборочную дисперсию находят по формуле

(16)

Выборочное среднее квадратическое отклонение находят по формуле

(17)

Асимметрию и эксцесс находят по формулам

(18)

, где (19)

-- (20)

условный центральный момент третьего порядка, а

-- (21)

условный центральный момент четвертого порядка.

Для характеристики колеблемости признака Х используют относительный показатель -- коэффициент вариации V, который вычисляют по формуле

(22)

§3. Интервальные (доверительные) оценки параметров распределения

Выборочные характеристики и являюстя надежными количественными оценками генеральных характеристик и только при большом объеме выборки. При ограниченных объемах выборки возникает необходимость указать степень точности и надежности оценок генеральных характеристик.

При решении практических задач, связанных со статистическим анализом характеристик изучаемого признака Х, например, механических свойств конструкционных материалов, несущей способности элементов конструкций, пропускной способности нефтегазопроводов, себестоимости единицы производимой продукции и т. д., как правило, значения генеральной дисперсии и математического ожидания неизвестны.

Для оценки генеральной средней, то есть и генерального среднеквадратического отклонения у по выборочной средней и выборочному среднеквадратическому отклонению S находят доверительные интервалы по формулам

, (23)

где находят по таблице распределения Стьюдента по заданным n и г (г - уровень доверия или надежность, которая задается заранее).

Для генерального среднеквадратического отклонения доверительные интервалы находят по формулам

, при () (24)

или

, при ()(25)

величину q находят по таблице значений (приложение 4 учебника по теории вероятностей и математической статистике) по заданным n и г.

Контрольные вопросы.

1. Дать определение статистической совокупности.

2. Что понимается под генеральной совокупностью?

3. Дать определение выборочной совокупности.

4. Дать определение вариационного ряда.

5. Сформулировать алгоритм построения непрерывного вариационного ряда.

6. Рассказать о графическом изображении дискретного и непрерывного вариационных рядов.

7. Дать определение эмпирической функции распределения, сформулировать ее свойства и рассказать о ее назначении.

8. По каким формулам находятся выборочные средние статистического распределения?

9. Дать определение выборочной дисперсии и рассказать о ее назначении.

10. Записать формулы для вычисления дисперсии для простой и взвешенной выборки.

11. Записать формулы для вычисления исправленной дисперсии и рассказать для чего она вводится.

12. Что называется модой, медианой вариационного ряда?

13. Рассказать о нахождении медианы при различном объеме выборки.

14. Сформулировать алгоритм вычисления и по методу произведений.

15. Дать определения асимметрии и эксцесса статистического распределения и рассказать о их назначении.

16. Записать доверительные интервалы для оценки генеральных математического ожидания и среднего квадратического отклонения.

Лабораторная работа №1

Построение вариационных рядов.

Расчет числовых характеристик.

Цель работы: овладение студентом способами построения рядов распределения и методами расчета числовых характеристик.

Содержание работы: на основе совокупности данных опыта выполнить следующее:

1. Построить ряды распределения (интервальный и дискретный вариационные ряды). Изобразить их графики.

2. Построить график накопительных частот -- кумуляту.

3. Составить эмпирическую функцию распределения и изобразить ее графически.

4. Вычислить моду, медиану, выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, асимметрию, эксцесс.

5. Построить доверительные интервалы для истинного значения измеряемой величины и среднего квадратического отклонения генеральной совокупности.

6. Раскрыть смысловую сторону каждой характеристики.

Методические указания по выполнению работы.

1. Построить интервальный вариационный ряд. Для этого найти:

а) Размах варьирования признака по формуле , где -- наименьшая варианта, -- наибольшая варианта в данной выборочной совокупности;

б) число интервалов вариационного ряда, пользуясь одним из приведенных ниже соотношений:

, , , где n -- объем выборки;

в) длину частичных интервалов по формуле и по необходимости округлить это значение до некоторого числа.

Записать полученный вариационный ряд, заполнив табл. 1:

Варианты-интервалы, (; )	(; )	(; )	. . .	(; )
частоты,			. . .

2. Построить дискретный вариационный ряд, взяв в качестве вариантов середины вариантов-интервалов непрерывного вариационного ряда, а в качестве частот частоты непрерывного вариационного ряда.

3. Изобразить графически интервальный и дискретный вариационные ряды (построить гистограмму и полигон частот).

4. Построить график накопленных частот -- кумуляту. Кумулята -- это ломаная линия, проходящая через точки с координатами и соответствующими накопленными частотами. Предварительно составить табл. 2:

Таблица 2

Варианты,			. . .
относительные частоты,			. . .
накопительные относительные частоты,			. . .

5. Найти эмпирическую функцию распределения и изобразить ее графически.

6. Найти моду и медиану .

7. Для вычисления остальных статистик воспользоваться методом произведений. Ввести условные варианты , где , h -- шаг (длина интервала). Составить расчетную табл. 3:

Таблица 3

							контрольный столбец
строка сумм:

Контроль вычислений произвести по формуле

.

8. Пользуясь табл. 3, вычислить начальные моменты по формулам:

, , , .

9. Найти выборочную среднюю по формуле .

10. Найти выборочную дисперсию по формуле

.

11. Найти выборочное среднее квадратическое отклонение по формуле

.

12. Найти коэффициент вариации по формуле

.

13. Вычислить асимметрию эксцесс по формулам

, .

Предварительно найти центральные моменты по формулам

,

.

14. Доверительные интервалы для «а» и «у» найти по формулам

, где .

найти по приложению № 3 учебника по теории вероятностей и математической статистике.

, где и

, при .

q найти по приложению № 4 учебника.

15. Раскрыть смысловую сторону каждой характеристики.

Выполнение лабораторной работы № 1 рассмотрено на задаче, в основу которой положен компетентностный подход по формированию общих и профессиональных навыков у студентов.

Задача.

Имеются данные об обводненности нефти из насосных скважин (в ):

61,2	61,4	60,2	61,2	61,3	60,4	61,4	60,8	61,2	60,6
61,6	60,2	61,3	60,3	60,7	60,9	61,2	60,5	61,0	61,4
61,1	60,9	61,5	61,4	60,6	61,2	60,1	61,3	61,1	61,3
60,3	61,3	60,6	61,7	60,6	61,2	60,8	61,3	61,0	61,2
60,5	61,4	60,7	61,3	60,9	61,2	61,1	61,3	60,9	61,4
60,7	61,2	60,3	61,1	61,0	61,5	61,3	61,9	61,4	61,3
61,6	61,0	61,7	61,1	60,9	61,5	61,6	61,4	61,5	61,2
61,6	61,3	61,8	61,1	61,7	60,9	62,2	61,1	62,1	61,0
61,5	61,7	62,3	62,3	61,7	62,9	62,5	62,8	62,6	61,5
62,1	62,6	61,6	62,5	62,4	62,3	62,1	62,3	62,2	62,1

Выполнение работы

Обозначим через Х обводненность нефти из рассматриваемых насосных скважин.

1. По данным выборки строим интервальный вариационный ряд. Находим размах варьирования признака Х по формуле . Просматривая исходные данные, находим , . Тогда . Определяем число интервалов (число столбцов в таблице) вариационного ряда. Пусть . Длину каждого частичного интервала определяем по формуле . Так как исходные данные мало отличаются друг от друга и содержат один десятичный знак, то величину h округляем до одного десятичного знака, то есть берем .

Подсчитываем число вариантов, попадающих в каждый интервал, по данным выборки. Значение , попадающее на границу интервала, относим к левому концу. За начало первого интервала берем величину . Конец последнего интервала находим по формуле . Сформированный интервальный вариационный ряд записываем в виде табл. 1.

Таблица 7

Варианты- интервалы	60- 60,3	60,3- 60,6	60,6- 60,9	60,9- 61,2	61,2- 61,5	61,5- 61,8	61,8- 62,1	62,1- 62,4	62,4- 62,7	62,7- 63,0
Частоты,	3	6	9	18	29	16	2	11	5	1

Контроль: и объем выборки .

Записываем дискретный вариационный ряд (табл. 2). В качестве вариантов берем середины интервалов интервального вариационного ряда.

Таблица 8

варианты,	60,15	60,45	60,75	61,05	61,35	61,65	61,95	62,25	62,55	62,85
частоты,	3	6	9	18	29	16	2	11	5	1

Изображаем интервальный и дискретный вариационные ряды графически (строим гистограмму и полигон частот в одной системе координат).

Размещено на http:www.allbest.ru/

Строим график накопленных частот -- кумуляту (рис. 3). Предварительно составляем расчетную табл. 3.

Таблица 9

Варианты,	60,15	60,45	60,75	61,05	61,35	61,65	61,95	62,25	62,55	62,85
относительные частоты, (тут буден	0,602	0,604	0,608	0,611	0,614	0,617	0,620	0,623	0,626	0,629
накопительные относительные частоты,	0,6	1,204	1,812	2,423	3,037	3,654	4,274	4,897	5,523	6,152

Находим эмпирическую функцию распределения. Воспользуемся формулой

, где n -- объем выборки, -- накопленные частоты.

При -- по свойству эмпирической функции распределения.

При .

При .

При .

При .

При .

При .

При .

При .

При .

При -- по свойству эмпирической функции распределения.

Записываем полученную эмпирическую функцию в виде:

График функции имеет вид (рис.4):



Соединив середины вертикальных частей ступенчатой кусочно-постоянной кривой, являющейся графиком функции , получаем плавную кривую (на рис. 4 это штриховая линия). Абсциссами точек этой кривой служат значения обводненности нефти, добываемой насосным способом из скважин, а ординатами -- значения эмпирической функции распределения, характеризующей оценку вероятности события , то есть вероятности попадания возможных значений обводненности нефти на промежуток .

Для нахождения числовых характеристик признака Х -- обводненности нефти (несмещенных оценок для , , а также , , , ) воспользуемся табл. 8.

Так как варианта в табл. 8 встречается с наибольшей частотой , то , то есть это значение обводнености нефти, встречающееся в данной выборке с наибольшей частотой.

Находим . Так как табл. 8 содержит четное число столбцов, то . Это значение обводненности нефти, которое делит данные выборки признака Х на равные части.

Для нахождения остальных статистик, характеризующих обводненность нефти, воспользуемся методом произведений. Введем условные варианты .

У нас , .

Составим расчетную табл. 10.

Таблица 10

							контрольный столбец
60,15	3	-4	-12	48	-192	768	27
60,45	6	-3	-18	54	-162	486	24
60,75	9	-2	-18	36	-72	144	9
61,05	18	-1	-18	18	-18	18	0
61,35	29	0	0	0	0	0	29
61,65	16	1	16	16	16	16	64
61,95	2	2	4	8	16	32	18
62,25	11	3	33	99	297	891	176
62,55	5	4	20	80	320	1280	125
62,85	1	5	5	25	125	625	36
	100		12	384	330	4260	508

Контроль вычислений проводим по формуле

.

У нас , .

Следовательно, вычисления проведены верно.

Пользуясь результатами последней строки табл. 10, находим условные начальные моменты.

.

.

.

.

Находим выборочную среднюю

.

характеризует среднюю обводненность нефти из насосных скважин в данной выборке, составляющую 61,38%.

Находим выборочную дисперсию

.

Выборочное среднее квадратическое отклонение

.

Величина характеризует степень рассеяния значений обводненности нефти относительно средней обводненности. Для определения колеблемости значений обводненности нефти в процентном отношении вычисляем коэффициент вариации:

.

Величина коэффициента вариации мала (составляет 1%), что означает тесную сгруппированность значений обводненности нефти около центра рассеяния, то есть около средней обводненности нефти.

Для предварительной оценки отклонения значений обводненности нефти от нормального распределения вычисляем асимметрию и эксцесс. Сначала находим центральные моменты третьего и четвертого порядков по формулам:

.

.

Тогда

.

.

Значения и мало отличаются от нуля. Поэтому можно предположить близость данной выборки, характеризующей обводненность нефти, к нормальному распределению. Эта гипотеза будет проверяться в лабораторной работе №2.

Произведем оценку генеральной средней и генерального среднеквадратического отклонения по выборочным статистикам и , используя теорию доверительных интервалов для нормального распределения.

Доверительный интервал для истинного значения обводненности нефти находим с надежностью по формуле

.

По таблице приложения № при и находим . Записываем доверительный интервал

или .

Таким образом, средняя обводненность нефти из насосных станций (в %) по данным выборки должна находиться в промежутке .

Запишем доверительный интервал для генерального среднеквадратического отклонения . При заданных и по таблице приложения № находим . Так как , то доверительный интервал записываем в виде

или

или

следовательно, отклонения истинных значений обводненности нефти из насосных станций не должны выходить за пределы промежутка .

Варианты заданий по лабораторной работе № 1

Вариант №1

Имеются данные о производительности труда (количество деталей в смену):

73	77	78	88	76	78	86	76	77	75	90	89	84
79	87	83	78	73	84	86	85	74	78	74	87	82
88	86	75	79	71	88	83	76	76	80	73	89	79
90	75	75	91	83	82	81	77	91	93	92	85	84
87	81	83	80	82	76	81	90	78	91	95	77

Вариант №2

Имеются данные о пропускной способности 50 участков нефтепровода (м³/сут.):

19,5	19,5	19,6	18,8	20,0	20,0	20,4	19,6	19,9	19,9	20,0	20,3	20,2
19,6	20,1	20,3	20,5	20,4	19,8	19,7	19,8	20,0	20,1	19,7	20,3	20,2
20,1	20,3	20,1	20,2	20,4	20,5	20,3	20,5	20,2	20,5	20,7	21,0	20,4
20,3	20,2	20,4	20,6	21,0	20,6	20,7	20,8	20,7	20,8	21,1

Вариант №3

Имеются данные о суточной добыче нефти в одном из районов страны (в тоннах):

85	76	80	84	88	89	91	88	84	85	75	82	86
89	88	84	90	89	85	91	87	81	78	85	91	89
87	74	81	87	90	88	86	76	84	88	77	82	83
84	74	80	84	91	93	90	88	87	77	83	89	89
91	92	88	94	90	88	81	83	89	94	96	88	95
99	86	78	81	86	90	92	93	90	83	79	86	90
79	82	87	85	91	97	88	85	87	90	89	95	89
90	98	93	84	88	96	92	88	95

Вариант №4

Имеются данные о вводе в эксплуатацию новых газовых скважин за год по различным газодобывающим районам страны:

52	33	10	22	28	34	39	29	21	27	31	12	28
40	46	51	44	32	16	11	29	31	38	44	31	24
9	17	32	41	47	31	42	15	21	29	50	55	37
19	57	32	7	28	23	20	45	18	29	25

Вариант №5

Имеются энергетические затраты на 1 метр проходки при эксплуатационном бурении нефтяных скважин в различных нефтеносных районах страны (руб.):

14	13	18	15	12	13	14	12	13	16	16	15	12
13	13	14	16	18	13	15	14	15	14	13	15	12
13	12	14	16	12	13	15	15	15	13	14	15	18
15	12	15	13	13	15	15	15	17	17

Вариант №6

Имеются данные о суточном дебите газа в наблюдаемой скважине (м³/сут.):

30	19	21	28	27	29	31	24	25	28	28	32	34
26	24	19	23	27	30	29	25	18	18	24	28	31
33	18	21	26	30	32	34	29	26	23	25	27	32
23	20	21	26	22	20	27

Вариант №7

Имеются данные о себестоимости 1 тонны нефти и нефтяного попутного газа (тыс. руб.):

0,3	0,4	0,8	1,2	1,4	1,9	0,7	1,3	1,0	0,5	0,9	1,2	1,0
1,3	0,6	1,0	1,0	1,1	0,5	1,2	1,0	1,4	1,6	0,5	1,1	1,1
1,8	0,3	0,6	1,1	0,8	1,2	0,9	1,4	1,3	1,6	2,7	1,5	0,8
0,7	0,9	1,5	1,3	1,1	1,2	1,8	1,1	1,0	1,2	0,9	1,5	1,3
1,1	1,2	1,3

Вариант №8

Имеются данные о числе рабочих дней без простоя для пятидесяти буровых бригад одного из районов страны:

261	260	258	263	257	260	259	264	261	260	264	261	265
261	260	263	260	260	259	260	258	265	259	265	261	258
259	259	258	262	264	258	259	263	266	259	261	266	262
259	262	261	266	262	259	262	261	259	262	262	261	266
259	262

Вариант №9

Приведено количество деталей, выработанных за смену различными рабочими:

78	90	76	81	77	83	85	75	81	73	75	83	73
84	85	83	88	76	79	85	81	89	83	76	77	84
83	88	87	77	82	85	74	79	82	87	71	78	85
84	81	83	88	82	83	88	80	79	82	86	74	75
78	76	84	81	76	74	81	93	84	92	75	82	77

Вариант №10

Имеются данные о рабочих дебитах газовой скважины (тыс. м³/сут.):

550	550	551	550	551	562	550	562	561	530	542	535	542
539	537	543	540	556	546	556	556	534	548	533	558	560
558	548	540	541	551	549	551	550	552	568	538	551	547
552	559	557	546	552	550	557	547	552	554	547	554	567
558	563	562	569	552	554	549	545	560	539	549	539

Вариант №11

Имеются данные о коэффициенте эксплуатации насосных скважин в различных нефтеносных районах страны:

0,90	0,79	0,84	0,86	0,88	0,90	0,89	0,85	0,91	0,98	0,91	0,80	0,87
0,89	0,88	0,78	0,81	0,85	0,88	0,94	0,86	0,80	0,86	0,91	0,78	0,86
0,91	0,95	0,97	0,88	0,79	0,82	0,84	0,90	0,81	0,87	0,91	0,90	0,82
0,85	0,90	0,82	0,85	0,90	0,96	0,98	0,89	0,87	0,99	0,85

Вариант №12

50 сверл были подвергнуты испытанию на твердость. При этом фиксировалась твердость лапки. Результаты испытания следующие:

14,5	14,6	15,1	15,5	16,3	16,8	17,9	16,3	14,5	14,9	13,6	15,4	16,9
15,4	14,3	15,5	11,3	15,5	17,1	16,8	12,2	15,2	15,7	11,6	16,9	15,7
17,7	16,6	16,2	15,5	12,8	14,2	15,5	16,1	14,3	16,5	14,5	17,9	17,8
16,9	11,7	13,2	14,9	19,8	16,6	17,9	14,9	15,2	17,3	16,9

Вариант №13

Даны значения обследуемого признака Х -- себестоимости единицы продукции (в руб.):

73	77	78	88	76	78	86	77	75	90	88	84	79
87	83	79	73	84	86	85	74	77	74	88	81	87
85	76 ...

Подобные документы

• Методы решения задач математического моделирования

  Основные понятия математического моделирования, характеристика этапов создания моделей задач планирования производства и транспортных задач; аналитический и программный подходы к их решению. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
  
  курсовая работа [2,2 M], добавлен 11.12.2011
  

• Численное решение обратных задач по восстановлению граничных условий уравнения параболического типа

  Рассмотрение общих сведений обратных задач математической физики. Ознакомление с методами решения граничных обратных задач уравнений параболического типа. Описание численного решения данных задач для линейно упруго-пластического режима фильтрации.
  
  диссертация [2,8 M], добавлен 19.06.2015
  

• Роль математики в развитии человечества

  Значение математики в нашей жизни. История возникновения счета. Развитие методов вычислительной математики в настоящее время. Использование математики в других науках, роль математического моделирования. Состояние математического образования в России.
  
  статья [16,2 K], добавлен 05.01.2010
  

• Методика решения задач по геометрии с применением тригонометрии

  Развитие аналитического, логического, конструктивного мышления учащихся и формирование их математической зоркости. Изучение тригонометрии в курсе геометрии основной школы, методы решения нестандартных задач из курса 8 класса и из альтернативных учебников.
  
  курсовая работа [396,0 K], добавлен 01.03.2014
  

• Численные методы решения задач строительства автомобильных дорог

  Проектирование методов математического моделирования и оптимизации проектных решений. Использование кусочной интерполяции при решении задач строительства автомобильных дорог. Методы линейного программирования. Решение специальных транспортных задач.
  
  методичка [690,6 K], добавлен 26.01.2015
  

• Решение задач по курсу статистики

  Что такое абсолютные и относительные величины. Применение абсолютной и относительной величины в статистике. Прикладные варианты использования методов математической статистики в различных случаях решения задач. Опыт построения статистических таблиц.
  
  контрольная работа [39,6 K], добавлен 12.12.2009
  

• Основы высшей математики и математической статистики

  Сущность предела функции, ее производной и дифференциала. Основные теоремы о пределах и методы их математического вычисления. Производная, ее физический и геометрический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости, основные правила дифференцирования.
  
  презентация [128,4 K], добавлен 24.06.2012
  

• Изучение показательной и логарифмической функции в школьном курсе математики

  Анализ основных понятий, утверждений, связанных с показательной и логарифмической функциями в курсе математики. Изучение методик решения типовых задач. Подбор и систематизация задач на нахождение и использование показательной и логарифмической функций.
  
  курсовая работа [1,5 M], добавлен 20.07.2015
  

• Обучение детей решению арифметических задач

  Рассмотрение видов арифметических задач, используемых в работе с дошкольниками. Этапы обучения решению арифметических задач. Изучение структуры, модели записи математического действия. Алгоритм решения задач. Роль данных занятий в общем развитии ребенка.
  
  презентация [379,7 K], добавлен 19.06.2015
  

• Методы Ритца и Галеркина

  Изучение прямых методов решения вариационных и краевых задач математического анализа. Основные идеи методов Ритца и Галеркина для нахождения приближенного обобщенного решения задачи минимизации функционала. Особенности, сходство и отличие данных методов.
  
  презентация [187,9 K], добавлен 30.10.2013
  

• Математические методы и модели в решении задач по экономике

  Анализ межотраслевых связей, коэффициентов прямых и полных затрат труда. Определение оптимального плана выпуска продукции и решения с использованием двойственных оценок. Элементы теории игр, моделирование производственных процессов. Функция Кобба-Дугласа.
  
  контрольная работа [113,9 K], добавлен 19.01.2015
  

• Идеальное - реально

  Сущность и методологические проблемы математической физики. Особенности математического моделирования жёсткости прокатного калиброванного валка. Основные положения и свойства идеальной математики. Порядок устройства и структурные элементы идеальных чисел.
  
  доклад [350,5 K], добавлен 10.10.2010
  

• Способы решения функциональных уравнений

  Виды и методы решения функциональных уравнений, изучаемых в школьном курсе математики, с применением теории матриц, элементов математического анализа и сведения функционального уравнения к известному выражению с помощью замены переменной и функции.
  
  курсовая работа [472,1 K], добавлен 07.02.2016
  

• Моделирование задач с использованием математического программирования

  Математическое программирование - область математики, в которой изучаются методы решения задач условной оптимизации. Основные понятия и определения в задачах оптимизации. Динамическое программирование – математический метод поиска оптимального управления.
  
  презентация [112,6 K], добавлен 23.06.2013
  

• Применение аппарата математического анализа при решении задач с параметрами

  Общая характеристика факультативных занятий по математике, основные формы и методы проведения. Составление календарно-тематического плана факультативного курса по теме: "Применение аппарата математического анализа при решении задач с параметрами".
  
  курсовая работа [662,1 K], добавлен 27.09.2013
  

• Применение систем компьютерного моделирования (СКМ) для исследования математической модели RLC-цепи

  Применение системы MathCAD при решении прикладных задач технического характера. Основные средства математического моделирования. Решение дифференциальных уравнений. Использование системы MathCad для реализации математических моделей электрических схем.
  
  курсовая работа [489,1 K], добавлен 17.11.2016
  

• Исследование возможности применения методов математического моделирования к прогнозированию результатов единого государственного экзамена

  Рассмотрение понятия и сущности математического моделирования. Сбор данных результатов единого государственного экзамена учеников МБОУ "Лицей №13" по трем предметам за 11 лет. Прогнозирование результатов экзамена на 2012, 2013, 2014 учебные годы.
  
  курсовая работа [392,4 K], добавлен 19.10.2014
  

• Роль математического моделирования технологических процессов в проектировании, строительстве и эксплуатации городских водохозяйственных систем

  Системы водоснабжения и канализации как главный элемент водохозяйственной системы. Этапы математического моделирования технологических процессов. Скважинный водозабор как единая инженерная система, проблемные вопросы переоценки запасов подземных вод.
  
  презентация [9,0 M], добавлен 18.09.2017
  

• Сравнительный анализ методов оптимизации

  Оптимизация как раздел математики, ее определение, сущность, цели, формулировка и особенности постановки задач. Общая характеристика различных методов математической оптимизации функции. Листинг программ основных методов решения задач оптимизации функции.
  
  курсовая работа [414,1 K], добавлен 20.01.2010
  

• Методические особенности обучения решению текстовых задач учащихся начальной школы

  Понятие текстовой задачи, ее роль в процессе обучения математике. Изучение основных способов решения текстовых задач, видов их анализа. Применение метода моделирования в обучении решению данных заданий. Описание опыта работы учителя начальных классов.
  
  дипломная работа [69,6 K], добавлен 13.01.2015
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам