Статистические методы решения инженерных задач

Таблица 37

	1,1	1,4	1,7	2,1	2,6	4,7	6,1	7,0	10	12,8
	25	22,7	22,1	19,8	17	12,3	10,7	10	8,2	6,7
	0,04	0,044	0,045	0,05	0,059	0,081	0,093	0,1	0,12	0,15
	0,004	0,001	0,005	0,009	0,022	0,012	0,007	0,02	0,03
	0,3	0,3	0,4	0,5	2,1	1,4	0,9	3	2,8
	0,013	0,003	0,012	0,018	0,01	0,008	0,008	0,007	0,011

Отношения , полученные для формулы мало отличаются друг от друга, чем для формулы . Поэтому по методу конечных разностей в качестве лучшей выбираем формулу . К такому же выводу мы пришли, применяя метод необходимых условий. Итак, зависимость скорости резания от площади поперечного сечения стружки при обработке хромоникелевой стали выражается формулой . Оценки и неизвестных параметров истинного уравнения регрессии находим, решая систему нормальных уравнений (78):

Для начисления сумм, входящих в систему, составляем расчетную табл. 38.

Таблица 38

1,1	25	0,04	0,044	1,21
1,4	22,7	0,044053	0,061674	1,96
1,7	22,1	0,045549	0,076923	2,89
2,1	19,8	0,050505	0,106061	4,41
2,6	17	0,058824	0,152941	6,76
4,7	12,3	0,081301	0,382114	22,09
6,1	10,7	0,093458	0,570093	37,21
7,0	10	0,1	0,7	49
10	8,2	0,121951	1,21951	100
12,8	6,7	0,149254	1,910448	163,84
39,6		0,784595	5,223764	389,37

Решаем систему уравнений:

, , .

Уравнение регрессии примет вид:

.

Оценим силу корреляционной связи между скоростью резания и площадью поперечного сечения стружки хромоникелевой стали. Вычислим индекс корреляции по формуле (84):

, где ,

(так как ). Для нахождения и составляем расчетную табл. 39.

Таблица 39

1,1	25	19	36	91,2025
1,4	22,7	18	22,09	52,5625
1,7	22,1	17,2	24,01	44,2225
2,1	19,8	16,2	12,96	18,9225
2,6	17	15,1	3,61	2,4025
4,7	12,3	11,7	0,36	9,9225
6,1	10,7	10,2	0,25	22,5625
7,0	10	9,4	0,36	29,7025
10	8,2	7,5	0,49	52,5625
12,8	6,7	6,3	0,16	76,5625
			100,29	400,625

Тогда .

Связь между скоростью резания и площадью поперечного сечения стружки хромоникелевой стали сильная.

Проверяем адекватность полученного уравнения регрессии по критерию Фишера-Снедекора. Находим статистику

.

При уровне значимости и числах степеней свободы , по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора находим . Так как , то модель адекватна. Следовательно, зависимость скорости резания от площади поперечного сечения стружки при обработке хромоникелевой стали по данным выборки описывается уравнением .

Варианты заданий по лабораторной работе №5

Вариант №1

При исследовании зависимости между средней заработной платой на одного работника (тыс. руб.) и выпуском продукции на одного работника (тыс. руб.) по заводу Пластмасс получены следующие данные:

	21,07	23,07	28,69	22,42	21,41	18,49	21,64	39,19	51,96	42,36	51,80	50,45
	30,2	47,0	29,6	39,5	43,9	47,6	46,6	28,7	10,8	16,97	20,10	23,80

Вариант №2

Данные о производстве дизтоплива (тыс. руб.) и себестоимости единицы продукции (тыс. руб.) по ПО «Уренгойгазпром» приведены в таблице:

	5	6	8	13	34	72	95	113	127	90
	143	125	87	45	33	27	16	25	24	27

Вариант №3

При обработке металлов резанием устанавливается зависимость скорости резания металла от различных характеристик резца и стружки. Зависимость скорости резания (м/мин.) и площади поперечного сечения стружки (мм²) пр обработке хромоникелевой стали заданы таблицей:

	1,1	1,4	1,7	2,1	2,6	4,7	6,1	7	10	12,8
	25	22,7	22,1	19,8	17	12,3	10,7	10	8,2	6,7

Вариант №4

Данные зависимости мощности на долоте (кВт) от осевой статистической нагрузки на забой (тс) при бурении пород Подольского горизонта Туймазинского месторождения приведены в таблице:

	1	3	5	7	9	11	13	15	17
	12,5	17,8	37	41,9	45	47	39	32	23

Вариант №5

Зависимость скорости отскока инструмента (м/с) при ударно-вращательном бурении от коэффициента пластичности долот задана таблицей:

	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5
	1,2	0,6	0,21	0,9	0,8	0,75

Вариант №6

Данные о количестве выпускаемых деталей (тыс. руб.) и полных затратах на их изготовление (сотни руб.) на однотипных предприятиях приведены в таблице:

	1	2	4	9	13	18	20
	26	22	19	12	9	8	6

Вариант №7

При исследовании зависимости времени на обработку одной детали (мин.) от стажа работы (в годах) на Тюменском моторостроительном объединении в цехе резиново-технических и пластмассовых изделий на слесарном участке получены следующие данные:

	1	2	3	4	5	6	7
	5	3,33	2,9	2,2	2,1	2	2

Вариант №8

Зависимость удельного момента на долоте (кгс·м/тс) от осевой статистической нагрузки на забой (тс) при бурении пород задана таблицей:

	1	3	5	7	9	11	13	15
	22,5	11,5	6	5,5	2,6	2,4	2,1	2

Вариант №9

Результаты измерений зависимости фазовой проницаемости воды от нефтенасыщенности породы приведены в таблице:

	0,25	0,35	0,45	0,55	0,65	0,75	0,85
	0,65	0,45	0,25	0,15	0,10	0,05	0,07

Вариант №10

В результате исследований установлено, что между овальностью колец после их обработки и термической обработки , существует связь, которая задана таблицей:

	5	10	15	20	25
	21	29,3	36	38	39,2

Вариант №11

При исследовании зависимости между выпуском готовой продукции (тыс. руб.) и коэффициентом использования техники (%) получены следующие данные:

	73	75	79	82	83	86	80	85	95	93	97	77
	14	21	29	30	315	35	34	41	38	39	46	27

Вариант №12

Давление (кг) воздуха парашют возрастает при увеличении скорости (м/сек.) падения следующим образом:

	2,23	3,28	4,65	6,5	8,1
	0,3	0,6	1,2	2,4	4,2

Вариант №13

Прочность бетона (кг/см²) при испытании цилиндрических образцов в зависимости от отношения высоты к диаметру оказалась равной:

	0,5	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0
	290	250	216	206	200	195	190

Вариант №14

Зависимость между размером предприятия по стоимости основных средств (млн. руб.) и себестоимостью единицы продукции (руб.) характеризуется следующими данными:

	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	7,5
	15	11	12	10,8	10	9	8

Вариант №15

Зависимость между ростом производительности труда на одного работающего (тыс. руб.) и выпуском товарной продукции (тыс. руб.) ремонтного цеха машиностроительного завода характеризуется следующими данными:

	1,5	2,9	3,0	3,1	3,2	3,4	3,5	3,6	4,2
	580	618	658	670	662	699	717	775	786

Вариант №16

Зависимость себестоимости продукции (тыс. руб.) от затрат на единицу продукции (тыс. руб.) по объединению «Сибкомплектмонтаж» характеризуется следующими данными:

	0,1	0,4	1	4	6	10	20	25
	2248	1950	1500	1020	906	290	175	121

Вариант №17

Компрессорную скважину исследовали на приток нефти (т/сут.) при различных режимах работы с замером забойных давлений (атм) глубинным манометром. Результаты исследований приведены в таблице:

	5	15	25	35	45	55
	1,25	1,3	5,25	11,25	17,25	21,25

Вариант №18

Зависимость между стоимостью основных средств предприятия (млн. руб.) и выработкой продукции (тыс. руб.) на одного работника характеризуется следующими данными:

	1	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5
	4	6	6,8	7,9	8,7	9	9,5

Вариант №19

Ниже приводятся данные удельного момента на долото (кг·м/тс) и осевой статистической нагрузки на забой (тс) при бурении пород на одном из месторождений Тюменской области:

	1	3	5	7	9	11	13	15	17
	25	15	12	8	10	5	4,5	3	2,8

Вариант №20

Зависимость между мощностью предприятия (млн. ед. продукции в год) и фактическими капитальными вложениями (млн. руб.) характеризуется следующими данными:

	1	2	3	4	5	6
	1,2	2,6	3,8	4,6	4,9	5,4

Вариант №21

Результаты изучения зависимости между среднемесячной производительностью труда рабочего (руб.) и себестоимостью одной тонны продукции (руб.) приведены в следующей таблице:

	21	24	30	34	35	36	39	40
	20	13	12	13	11	10	11	10

Вариант №22

Энерговооруженность труда на одного рабочего (тыс. кВт-час) и производительность труда одного рабочего (тыс. штук) изделий на ряде предприятий характеризуется следующими данными:

	3	3,05	3,6	4,25	4,45	4,55
	1	1,5	1,8	2,5	3	4

Вариант №23

Зависимость между стоимостью основных средств предприятий и месячным выпуском продукции характеризуется следующими данными:

Стоимость основных средств, (млн. руб.)	1	2	3	4	5	6	7
Месячный выпуск продукции, , (тыс. руб)	10	12	28	40	42	52	54

Вариант №24

Зависимость между капитальными вложениями (млн. руб.) и мощностью предприятий данного типа (млн. тонн) продукции задана таблицей:

	1	2	3	4	5	6
	0,9	2,59	3,67	4,45	4,95	5,20

Вариант №25

Распределение однотипных предприятий по объему произведенной за день продукции и себестоимости единицы продукции в условных единицах приведено в таблице:

	50	100	150	200	250	300
	140	120	118	110	115	100

Вариант №26

Результаты исследования зависимости объема зоны разрушения (см³) от предела текучести (кг/мм²) известняков приведены в таблице в таблице:

	12,5	37,5	62,5	87,5	112,5	137,5	187,5
	0,19	0,13	0,11	0,10	0,08	0,07	0,06

Вариант №27

Зависимость перепада давления (кг/см²) (разность между гидростатическим и пластовым давлением) от времени сек. при бурении в песчанике задана таблицей:

	0,025	0,074	0,125	0,175	0,225	0,275	0,325
	95	73	52	45	35	33	31

Вариант №28

Зависимость среднемесячной заработной платы рабочих (тыс. руб.) нефтеперерабатывающего завода от их квалификации (разряд) характеризуется следующими данными:

	1	2	3	4	5	6	7
	0,8	1,2	1,8	2,9	4,2	5,9	12,5

Вариант №29

Зависимость между размером предприятия по стоимости основных средств (млн. руб.) и себестоимостью единицы продукции (тыс. руб.) характеризуется следующими данными:

	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	6,0	9	10
	14	11	10	8	605	5	4,5	4

Вариант №30

Зависимость между фазовой проницаемостью нефти и насыщенностью породы нефтью характеризуется следующими данными:

	0,35	0,45	0,55	0,65	0,75	0,85
	0,05	0,1	0,15	0,45	0,55	0,75

§21. Множественная регрессия

Производственные взаимосвязи, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. Например, овальность после чистового шлифования зависит от припуска на чистовое шлифование и от овальности после предварительного шлифования. Себестоимость продукции зависит от стоимости материала, основной зарплаты рабочих, премиальных, расходов на содержание оборудования, отчислений на соцстрахование. В связи с этим возникает задача исследования зависимости между факторными признаками (называемыми также регрессорами или предикторами) , , . . ., и результативным признаком . Для этого используется множественный регрессионный анализ.

Построение многофакторной регрессионной модели начинается с установления формы связи, используя графический метод для пространства и метод перебора различных уравнений. От правильности выбора вида уравнения зависит, насколько построенная модель будет адекватна не только имеющимся экспериментальным данным, но и истинной зависимости между изучаемыми показателями. При прочих равных условиях предпочтение отдается модели, зависящей от меньшего числа параметров, так как для их оценки требуется меньшее количество эмпирических данных.

После выбора формы многофакторной регрессионной модели проводят отбор факторных признаков и включение их в модель. Принято считать, что в уравнение множественной регрессии можно включать только независимые друг от друга факторные признаки . Практически факторные признаки зависят либо слабо, либо сильно. Поэтому вопрос о включении факторных признаков в уравнение регрессии решает следующим образом. Пусть, например, имеется три факторных признака , , , влияющих на результативный признак и модель является линейной. Чтобы выяснить, какие факторные признаки включить в модель, находят коэффициенты парной корреляции , , . Если их значения меньше , то их можно включить в модель. Если же их значение больше , то следует какие-то из этих факторов исключить из модели. Пусть, например, . Ясно, что какой-то из признаков или надо исключить из модели. Для этого находят парные коэффициенты корреляции между каждым из факторов и и результативным признаком , то есть вычисляют и . Затем сравнивают и . Пусть оказалось, что . Это означает, что факторный признак сильнее связан с результативным признаком , чем признак . Поэтому фактор следует включить в модель, а исключить из нее. Этот вывод подтверждаем путем вычисления коэффициентов частной корреляции и . При исключении факторов из модели можно руководствоваться правилом. Если , где

,(89)

то один из факторов, либо , либо следует исключить.

Рассмотрим случай построения многофакторной модели, когда результативный признак зависит от двух факторных признаков и . Если зависимость между ними носит линейный характер, то уравнение регрессии записывают в виде

. (90)

Коэффициенты уравнения регрессии (90) , , находят по методу наименьших квадратов, решая систему нормальных уравнений

. (91)

Коэффициенты , , можно находить по формулам

, (92)

, (93)

. (94)

Здесь , , -- коэффициенты парной корреляции между признаками и , и , и ; , , -- средние квадратические отклонения; , , -- средние признаков , , .

Если уравнение линейной регрессии имеет вид

(95)

то коэффициенты , , , . . ., находят решая систему нормальных уравнений

 (96)

В матричной форме система (96) примет вид

(97)

где -- матрица значений факторных признаков или матрица плана размерности ; -- транспортированная матрица ; -- матрица коэффициентов системы нормальных уравнений (96) размерности ; -- матрица-столбец значений результативного признака размерности ; -- матрица-столбец свободных членов системы (97) размерности . Для оценки надежности коэффициентов , , , . . ., находят средние квадратические ошибки этих коэффициентов, то есть находят . Пусть -- матрица коэффициентов при переменных системы (97), обратная матрице . Тогда средние квадрвтические ошибки коэффициентов вычисляют по формуле

(98)

где

, -- диагональный элемент матрицы , соответствующий факторному признаку .

Пример.

По опытным данным найдены

,

и уравнение регрессии . Вычислить средние квадратические ошибки коэффициентов уравнения регрессии.

Воспользуемся формулой (98). Учитывая условие задачи, находим

, , , . Тогда

, ,

, .

Записываем уравнение регрессии и под коэффициентами их полученные ошибки:

(25,826) (0,871) (0,436) (0,533)

§22. Измерение тесноты связи множественной линейной регрессии

За меру тесноты линейной связи между факторными и результативным признаками в совокупности принимают множественный или совокупный коэффициент корреляции , который вычисляют по формуле:

(99)

где

-- остаточная дисперсия;

-- общая дисперсия результативного признака.

Множественный коэффициент корреляции можно рассчитать, используя парные коэффициенты корреляции. Так, например, для линейной множественной регрессии между , , коэффициент вычисляют по формуле

.(100)

Множественный коэффициент корреляции можно получить на основе вычисления определителей, составленных из парных коэффициентов корреляции:

, , (101)

Множественный коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

1. Коэффициент множественной корреляции заключен в пределах .

2. Если , то линейная корреляционная связь между признаками и отсутствует, но другая зависимость (функциональная или нелинейная корреляционная) между ними может существовать.

3. Если , то между факторами и существует функциональная линейная зависимость.

Величину множественного коэффициента корреляции корректируют, т.к. при малом числе наблюдений значение получается завышенным. Корректировку осуществляют по формуле

, (102)

где -- скорректированное значение , -- число наблюдений, -- число факторных признаков. Корректировка не производится при условии, если . Для коэффициента множественной корреляции определяют среднеквадратическую ошибку по формуле:

(103)

Если выполняется неравенство , то с вероятностью можно считать значимым

Наряду с определением показателя, отражающего тесноту связи результативного признака с факторными, вместе взятыми, определяют степень влияния каждого фактора в отдельности на изменение результативного фактора с помощью коэффициентов частной корреляции. Если уравнение множественной линейной регрессии между факторами , и имеет вид (90), то коэффициенты частной корреляции рассчитывают по формулам:

, (104)

, (105)

Если линейная регрессия имеет вид

, (106)

то частные коэффициенты корреляции находят по формуле:

, (107)

где . Для общего случая

(108)

Если в корреляционную модель включено факторных признаков, воздействующих на результативный признак , то коэффициент частной корреляции, например, для первого фактора можно определить по формуле

, (190)

где

-- средний квадрат отклонений фактических значений признака от значений, по формуле с учетом всех факторных признаков;

-- средний квадрат отклонений фактических значений признака от значений, вычисленных по формуле, включающей все факторы кроме первого.

Коэффициенты частной корреляции изменяются от 0 до 1 и обладают всеми свойствами парного коэффициента корреляции. Коэффициенту частной корреляции приписывается тот же знак, который имеет в уравнении множественной линейной регрессии коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке

§23. Проверка адекватности модели множественной регрессии

Адекватность модели означает не только количественное, но, прежде всего, качественное соответствие описания объекта. Для проверки соответствия полученного уравнения множественной линейной регрессии опытным данным используют коэффициент множественной регрессии . Если , то модель полностью не адекватна. Если , то модель в общем и в целом воспроизводит свойства моделируемого объекта. Количественным показателем адекватности модели служит коэффициент детерминации , который показывает долю дисперсии, объясняемой данной моделью в общей дисперсии. Адекватность построенной модели может быть проверена по критерию Фишера-Снедекора. Для этого вычисляют статистику по формуле

(110)

где -- объем выборки; -- число факторных признаков, включенных в модель. Затем находят при заданном уровне значимости и числах степеней свободы , по таблице критических точек распределения Фишера . Если , то модель регрессии согласуется с опытными данными, если же , то модель регрессии не согласуется с данными эксперимента.

Адекватность модели множественной регрессии можно определять по средней ошибке аппроксимации

(111)

§24. Экономическая интерпретация уравнения регрессии

Заключительным этапом, завершающим построение регрессионной модели, является интерпретация полученного уравнения регрессии, то есть перевод его с языка статики и математики на язык экономиста. Интерпретация начинается с выяснения, как каждый факторный признак, входящий в модель, влияет на величину результативного признака. Чем больше величина коэффициента регрессии, тем сильнее фактор влияет на результативный признак . Знаки коэффициентов регрессии говорят о характере влияния на результативный признак. Если коэффициент имеет знак (+), то с увеличением данного фактора результативный фактор возрастает. Если коэффициент имеет знак (-), то с увеличением данного фактора результативный признак уменьшается. Интерпретация знаков зависит от экономической сущности результативного признака. Если величина результативного признака должна изменяться в сторону увеличения (объем реализованной продукции, фондоотдача, производительность труда и т.д.), то плюсовые знаки коэффициентов свидетельствуют о положительном влиянии соответствующих факторов. Если величина результативного признака изменяется в сторону снижения (себестоимость продукции, материалоемкость, простои оборудования и т.д.), то в этом случае положительное влияние на результативный признак будут оказывать факторы, коэффициенты, которых отрицательны.

Если экономический анализ подсказывает, что факторный признак должен влиять положительно, а коэффициент при нем имеет знак (-), то необходимо проверить расчеты. Так получается за счет допущенных ошибок при решении и в силу наличия взаимосвязей между факторными признаками, включенными в модель, влияющих в совокупности на результативный признак.

При построении регрессионной модели можно рекомендовать следующий алгоритм выполнения операций (рис.12):

Контрольные вопросы.

1. Рассказать о механизме включения факторных признаков в модель множественной линейной регрессии.

2. Как найти коэффициенты , , уравнения регрессии ?

3. Записать модельное уравнение множественной линейной регрессии для случая, когда в модель включено четыре фактора.

4. Записать систему нормальных уравнений для уравнения .

5. Как определяется надежность коэффициентов уравнения множественной линейной регрессии?

6. Как решается вопрос об измерении тесноты связи между факторными и результативными признаками в случае множественной линейной регрессии?

7. Как осуществляется корректировка множественного коэффициента корреляции?

8. Как определить степень влияния каждого факторного признака в отдельности, включенного в модельное уравнение множественной линейной регрессии, на изменение результативного признака?

9. Рассказать, как осуществляется проверка адекватности модели множественной линейной регрессии.

10. Рассказать об экономической интерпретации уравнения множественной линейной регрессии.

Лабораторная работа №6.

Построение модели множественной линейной регрессии.

Цель работы: овладение способами построения модели множественной линейной регрессии, выработка умений и навыков нахождения параметров уравнения, оценки надежности уравнения регрессии и его параметров, проведения экономической интерпретации полученных результатов.

Содержание работы: на основании опытных данных требуется:

1. Определить форму связи между факторными и результативными признаками, построив корреляционные поля на плоскости для каждой пары факторов. Записать уравнение модели множественной регрессии.

2. Произвести отбор факторов, включаемых в модель.

3. Определить тесноту связи между факторами, включенными в модель множественной линейной регрессии.

4. Найти оценки уравнения регрессии по методу наименьших квадратов.

5. Проверить адекватность полученного модельного уравнения регрессии тремя способами:

- с помощью коэффициента детерминации ;

- по критерию Фишера;

- с помощью средней ошибки аппроксимации.

6. Определить воздействие неучтенных в модели факторов.

7. Дать экономическую интерпретацию найденных оценок уравнения регрессии.

Задачи. Исходные данные для признаков , , , приведены в табл. 40:

Таблица 40

Признаки	Значение признаков на различных НГДУ
	0,92	0,93	0,89	0,90	0,90	0,89	0,92	0,91	0,93	0,89
	45	47	42	46	43	45	48	46	48	44
	69	71	64	66	65	63	68	66	69	65
	35	36	31	33	34	32	38	34	37	33

В таблице обозначено: -- коэффициент эксплуатации скважин; -- дебит скважин (тн/сут.); -- уровень автоматизации труда (%); -- производительность труда (тн/чел.).

Определим форму связи. Для чего строим корреляционные поля (рис. 13-18).

Размещено на http:www.allbest.ru/

Рис. 13



Рис. 14

Рис. 15

Размещено на http:www.allbest.ru/

Рис. 16

Рис. 17



Рис. 18

По построенным корреляционным полям можно предположить, что зависимость между факторными признаками , , и результативным признаком может носить прямолинейный характер. Решим вопрос о включении факторных признаков , , в уравнение линейной регрессии. Найдем коэффициенты парной корреляции по формуле (53). Предварительно составим расчетную таблицу 41. Пользуясь таблицей 41 и формулами (49) -- (50), находим:

, .

, .

, .

, .

.

По найденным коэффициентам парной корреляции видно, что сильно коррелируют между собой факторы или .Для решения вопроса о том, какой из факторов или следует исключить из модели множественной линейной регрессии, вычислим коэффициенты парной корреляции и :

Так как _,то между признаками и связь сильнее, чем между и .Этот факт подтверждается путем вычисления коэффициентов частной корреляции и по формуле (104):

Поэтому из модели множественной линейной регрессии исключаем фактор . Тогда в модель будут включены факторы и и уравнение регрессии запишется в виде

.

Включение фактора в модель обосновано значимостью коэффициента парной корреляции :

Для выяснения вопроса о силе линейной связи между факторами, включенными в модель, вычисляем множественный коэффициент корреляции R по формуле (100):

Так как в нашем примере объем выборки небольшой (), то произведем корректировку R по формуле (102):

Проверяем значимость по критерию Стьюдента. Вычисляем среднеквадратическую ошибку по формуле (103):

Вычисляем статику



По таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне значимости с числом степеней свободы находим Так как , то делаем вывод, что значим.

Для нахождения оценок , , уравнения регрессии решаем систему нормальных уравнений по формуле (91):

(112)

Решив эту систему, получаем ,,.

Тогда уравнение регрессии, устанавливающее зависимость производительности труда от коэффициента эксплуатации и дебита скважин запишется в виде .

Проверяем адекватность уравнения регрессии. Используем коэффициент детерминации , полагая . Для полученной модели . Это означает, что полученная модель приблизительно на 66% объясняет изменение производительности труда в зависимости от изменения включенных в модель факторов и , что является не плохим показателем.

Проведем проверку модели на адекватность по критерию Фишера-Снедекора. Найдем статистику по формуле (110), полагая в ней :

.

По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора при уровне значимости и числах степеней свободы , (p -- число факторов , включенных в модель, n -- объем выборки) находим . Так как , то найденное уравнение регрессии, устанавливающее зависимость производительности труда на десяти нефтегазодобывающих управлениях (НГДУ) от коэффициента эксплуатации скважин и дебита скважин , значимо описывает опытные данные и может быть принято для руководства.

Оценим адекватность уравнения регрессии по средней ошибке аппроксимации , которую вычислим по формуле (111):

.

Для нахождения суммы, входящей в формулу, составляем расчетную табл. 42.

Таблица 42

35	35,2	0,2	0,000114
36	36,8	0,8	0,017778
31	31,5	0,5	0,005952
33	33,8	0,8	0,019394
34	32,7	1,3	0,049706
32	32,6	0,6	0,008
38	36,3	1,7	0,076053
34	34,7	0,7	0,014412
37	37,1	0,1	0,00027
33	32,2	0,8	0,019394
			0,211073

По табл. 42 находим:

.

Среднеквадратическая ошибка небольшая, что дает основание считать, что построенная модель адекватно описывает опытные данные.

Итак, все три метода проверки модели на адекватность подтвердили гипотезу о том, что уравнение регрессии в целом статистически значимо и хорошо соответствует данным наблюдений.

Дадим экономическую интерпретацию найденных коэффициентов уравнения регрессии. Значение свободного члена характеризует влияние неучтенных в модели факторов, в частности фактора (уровень автоматизации труда ). Знак минус говорит о том, что отсутствие этого фактора в модели отрицательно сказывается на повышении производительности труда. Величина коэффициента показывает, что при увеличении коэффициента эксплуатации на 0,01 производительность труда увеличивается в среднем на 86,3271 тн/чел. Коэффициент показывает, что при увеличении дебита скважин на одну тонну производительность труда увеличивается в среднем на 0,360611 тн/чел.

Варианты заданий к лабораторной работе № 6.

Варианты №1-№10

Данные экспериментального определения производительности труда () в зависимости от коэффициента эксплуатации скважин (), дебита скважин (), уровня автоматизации труда () приведены в табл. 43. Пользуясь данными табл. 43, выполнить задание (по образцу приведенного выше примера) по вариантам, номера предприятий (НГДУ) для которых указаны в табл. 44.

Таблица 43

Факторы	Значения факторов на различных НГДУ
	Номера НГДУ
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
	0,93	0,95	0,94	0,89	0,91	0,90	0,92	0,93	0,89	0,90	0,90	0,89	0,92	0,91	0,9	0,89
	51	40	46	40	49	43	45	44	42	46	40	49	50	46	48	51
	71	74	72	65	68	67	69	72	65	68	65	66	71	67	70	65
	35	32	30	31	33	30	34	35	31	33	32	32	31	34	35	30

Здесь: - коэффициент эксплуатации скважин (в долях),

- дебит скважин (тн/сут.),

- уровень автоматизации труда (%),

- производительность труда (тн/чел.).

Таблица 44

Варианты	Номера предприятий	Варианты	Номера предприятий
1	1-3, 7-12, 16	6	4-6, 10-16
2	1-3, 7-9, 13-16	7	1-6, 13-16
3	1-6, 10-12, 16	8	7-16
4	1-3, 10-16	9	4-9, 13-16
5	4-12, 16	10	1-9, 16

Вариант №11.

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость среднего дебита действующих скважин по нефти (), от фонда действующих нагнетательных скважин на конец года (), средней приемистости нагнетательных скважин () и фонда механизированных скважин на конец года () приведены в табл. 45.

Таблица 45

(т/сут.)	(шт.)	(м3/сут.)	(шт.)
3,5	3	31	26
3,5	5	30	27
3,6	6	29	26
3,6	6	24	26
3,5	7	23	25
3,5	7	20	25
3,4	7	20	25
3,3	8	20	24
3,4	8	17	24
3,3	8	17	24
3,2	8	17	23
3,2	8	17	23
3,1	7	16	22
3,2	7	19	22
3,1	8	18	21
3,1	8	16	21
3,0	8	16	20
3,1	8	16	20
3,0	8	15	19
3,0	8	15	19

Вариант №12.

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость добычи жидкости с начала разработки (), от годовой добычи жидкости из перешедших скважин (), среднегодовой обводненности () и от среднего дебита действующих скважин по жидкости () приведены в табл. 46.

Таблица 46

(тыс. т)	(тыс. т)	(%)	(т/сут.)
107	34,5	2,8	3,9
142	34,4	2,8	4
176	34,3	2,7	4
210	34,2	2,6	4,1
244	34,1	2,5	4,1
278	34	2,4	4,1
312	33,8	2,4	4,3
346	33,7	2,3	4,3
379	33,6	2,2	4,2
413	33,4	2,2	4,4
446	33,2	2,1	4,4
479	33,1	2,0	4,6
512	32,9	2,0	4,5
545	32,7	1,9	4,7
577	32,5	1,8	4,7

Вариант №13

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость добычи нефти с начала разработки (), от суммарной добычи нефти из скважин предыдущего года (), падение добычи нефти () и фонда добывающих скважин на конец года () приведены в табл. 47.

Таблица 47

(тыс.т)	(тыс.т)	(тыс.т)	(шт.)
100,5	30,4	-0,5	27
102	33	-0,9	26
133,1	32,1	-1	26
163,1	31,1	-0,9	25
192,6	30,2	-0,9	25
220,9	29,3	-0,9	25
248,5	28,4	-0,9	24
275,1	27,5	-0,8	24
301	26,7	-0,8	23
326,1	25,9

Подобные документы

• Методы решения задач математического моделирования

  Основные понятия математического моделирования, характеристика этапов создания моделей задач планирования производства и транспортных задач; аналитический и программный подходы к их решению. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
  
  курсовая работа [2,2 M], добавлен 11.12.2011
  

• Численное решение обратных задач по восстановлению граничных условий уравнения параболического типа

  Рассмотрение общих сведений обратных задач математической физики. Ознакомление с методами решения граничных обратных задач уравнений параболического типа. Описание численного решения данных задач для линейно упруго-пластического режима фильтрации.
  
  диссертация [2,8 M], добавлен 19.06.2015
  

• Роль математики в развитии человечества

  Значение математики в нашей жизни. История возникновения счета. Развитие методов вычислительной математики в настоящее время. Использование математики в других науках, роль математического моделирования. Состояние математического образования в России.
  
  статья [16,2 K], добавлен 05.01.2010
  

• Методика решения задач по геометрии с применением тригонометрии

  Развитие аналитического, логического, конструктивного мышления учащихся и формирование их математической зоркости. Изучение тригонометрии в курсе геометрии основной школы, методы решения нестандартных задач из курса 8 класса и из альтернативных учебников.
  
  курсовая работа [396,0 K], добавлен 01.03.2014
  

• Численные методы решения задач строительства автомобильных дорог

  Проектирование методов математического моделирования и оптимизации проектных решений. Использование кусочной интерполяции при решении задач строительства автомобильных дорог. Методы линейного программирования. Решение специальных транспортных задач.
  
  методичка [690,6 K], добавлен 26.01.2015
  

• Решение задач по курсу статистики

  Что такое абсолютные и относительные величины. Применение абсолютной и относительной величины в статистике. Прикладные варианты использования методов математической статистики в различных случаях решения задач. Опыт построения статистических таблиц.
  
  контрольная работа [39,6 K], добавлен 12.12.2009
  

• Основы высшей математики и математической статистики

  Сущность предела функции, ее производной и дифференциала. Основные теоремы о пределах и методы их математического вычисления. Производная, ее физический и геометрический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости, основные правила дифференцирования.
  
  презентация [128,4 K], добавлен 24.06.2012
  

• Изучение показательной и логарифмической функции в школьном курсе математики

  Анализ основных понятий, утверждений, связанных с показательной и логарифмической функциями в курсе математики. Изучение методик решения типовых задач. Подбор и систематизация задач на нахождение и использование показательной и логарифмической функций.
  
  курсовая работа [1,5 M], добавлен 20.07.2015
  

• Обучение детей решению арифметических задач

  Рассмотрение видов арифметических задач, используемых в работе с дошкольниками. Этапы обучения решению арифметических задач. Изучение структуры, модели записи математического действия. Алгоритм решения задач. Роль данных занятий в общем развитии ребенка.
  
  презентация [379,7 K], добавлен 19.06.2015
  

• Методы Ритца и Галеркина

  Изучение прямых методов решения вариационных и краевых задач математического анализа. Основные идеи методов Ритца и Галеркина для нахождения приближенного обобщенного решения задачи минимизации функционала. Особенности, сходство и отличие данных методов.
  
  презентация [187,9 K], добавлен 30.10.2013
  

• Математические методы и модели в решении задач по экономике

  Анализ межотраслевых связей, коэффициентов прямых и полных затрат труда. Определение оптимального плана выпуска продукции и решения с использованием двойственных оценок. Элементы теории игр, моделирование производственных процессов. Функция Кобба-Дугласа.
  
  контрольная работа [113,9 K], добавлен 19.01.2015
  

• Идеальное - реально

  Сущность и методологические проблемы математической физики. Особенности математического моделирования жёсткости прокатного калиброванного валка. Основные положения и свойства идеальной математики. Порядок устройства и структурные элементы идеальных чисел.
  
  доклад [350,5 K], добавлен 10.10.2010
  

• Способы решения функциональных уравнений

  Виды и методы решения функциональных уравнений, изучаемых в школьном курсе математики, с применением теории матриц, элементов математического анализа и сведения функционального уравнения к известному выражению с помощью замены переменной и функции.
  
  курсовая работа [472,1 K], добавлен 07.02.2016
  

• Моделирование задач с использованием математического программирования

  Математическое программирование - область математики, в которой изучаются методы решения задач условной оптимизации. Основные понятия и определения в задачах оптимизации. Динамическое программирование – математический метод поиска оптимального управления.
  
  презентация [112,6 K], добавлен 23.06.2013
  

• Применение аппарата математического анализа при решении задач с параметрами

  Общая характеристика факультативных занятий по математике, основные формы и методы проведения. Составление календарно-тематического плана факультативного курса по теме: "Применение аппарата математического анализа при решении задач с параметрами".
  
  курсовая работа [662,1 K], добавлен 27.09.2013
  

• Применение систем компьютерного моделирования (СКМ) для исследования математической модели RLC-цепи

  Применение системы MathCAD при решении прикладных задач технического характера. Основные средства математического моделирования. Решение дифференциальных уравнений. Использование системы MathCad для реализации математических моделей электрических схем.
  
  курсовая работа [489,1 K], добавлен 17.11.2016
  

• Исследование возможности применения методов математического моделирования к прогнозированию результатов единого государственного экзамена

  Рассмотрение понятия и сущности математического моделирования. Сбор данных результатов единого государственного экзамена учеников МБОУ "Лицей №13" по трем предметам за 11 лет. Прогнозирование результатов экзамена на 2012, 2013, 2014 учебные годы.
  
  курсовая работа [392,4 K], добавлен 19.10.2014
  

• Роль математического моделирования технологических процессов в проектировании, строительстве и эксплуатации городских водохозяйственных систем

  Системы водоснабжения и канализации как главный элемент водохозяйственной системы. Этапы математического моделирования технологических процессов. Скважинный водозабор как единая инженерная система, проблемные вопросы переоценки запасов подземных вод.
  
  презентация [9,0 M], добавлен 18.09.2017
  

• Сравнительный анализ методов оптимизации

  Оптимизация как раздел математики, ее определение, сущность, цели, формулировка и особенности постановки задач. Общая характеристика различных методов математической оптимизации функции. Листинг программ основных методов решения задач оптимизации функции.
  
  курсовая работа [414,1 K], добавлен 20.01.2010
  

• Методические особенности обучения решению текстовых задач учащихся начальной школы

  Понятие текстовой задачи, ее роль в процессе обучения математике. Изучение основных способов решения текстовых задач, видов их анализа. Применение метода моделирования в обучении решению данных заданий. Описание опыта работы учителя начальных классов.
  
  дипломная работа [69,6 K], добавлен 13.01.2015
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам