Математические методы решения профессиональных задач

СТП ИрГТУ 05--04

Размещено на http://www.allbest.ru/

26

СТО ИрГТУ.005-2009

Министерство образования и науки Российской Федерации

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

кафедра химической технологии

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по дисциплине

Математические методы решения профессиональных задач

Выполнил студент группы ХТбз 11-1 - С.С.Зайцев

Нормоконтроль - В.В. Баяндин

Иркутск 2014 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

• Введение
• 1. Решение нелинейных уравнений. Метод касательных (Ньютона)
• 2. Интерполирование функции. Полиномы Ньютона
• 3. Численное интегрирование
• 4. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Метод Эйлера
• 5. Решение задач
• Заключение
• Выводы
• Список использованных источников и литературы
• ВВЕДЕНИЕ
• Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) привело к подлинно революционному преобразованию науки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ.
• В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание, - вычислительный эксперимент, т.е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики. Разработка и исследование вычислительных алгоритмов, и их применение к решению конкретных задач составляет содержание огромного раздела современной математики - вычислительной математики.
• Численные методы дают приближенное решение задачи. Это значит, что вместо точного решения и (функции или функционала) некоторой задачи мы находим решение у другой задачи, близкое в некотором смысле (например, по норме) к искомому. Основная идея всех методов - дискретизация или аппроксимация (замена, приближение) исходной задачи другой задачей, более удобной для решения на ЭВМ, причем решение аппроксимирующей задачи зависит от некоторых параметров, управляя которыми, можно определить решение с требуемой точностью. Например, в задаче численного интегрирования такими параметрами являются узлы и веса квадратурной формулы. Далее, решение дискретной задачи является элементом конечномерного пространства.
• Численное интегрирование (историческое название: квадратура) - вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых, которые являются пределами интегрирования.
• Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.
• Численным интегрированием называют способ подсчёта определенного интеграла функции, при котором не требуется вычислять первообразную функцию. В основе методов численного интегрирования лежит положение о том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и заданной функцией. Численное интегрирование входит в состав множества численных методов (дифференцирования, решение систем уравнений и т.п.), которые представляют собой набор алгоритмов, позволяющих получать приближенное численное решение поставленных математических задач. Как и любой другой численный метод, численное интегрирование позволяет с заданной точностью получить нужные результаты, используя заданные алгоритмы, не прибегая к выполнению аналитических преобразований над входными данными. Это облегчает работу в случае, если выполнение аналитических преобразований достаточно трудоёмко или же исходные данные, то есть функция, подлежащая интегрировании, представляет собой результаты проведения экспериментов, а, следовательно, представлено в некой таблице. Отличие алгоритмов интегрирования функции, заданной таблично, от некоторой функции, заданной формулой, состоит в том, что в первом случае нельзя использовать в качестве априорной информации желаемую погрешность измерений. Это связано с тем, что при анализе апостериорных данных свою роль играют такой параметр, как сглаженность функции, что в свою очередь ведёт к невозможности точного вычисления производных n-го порядка. Однако если правильно выбрать метод численного интегрирования, эта проблема не станет камнем преткновения при проведении вычислений. Методы численного интегрирования, помимо вычислительной математики, широко применяются в электротехнике - при расчете электрических схем, в задачах механики и геометрии - при расчете площадей, объемов, поверхностей, а так же в различных областях промышленности, например, в нефтегазовой промышленности.
• Сущность большинства методов вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции аппроксимирующей функцией, для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях.
• Аппроксимация, или приближение - математический метод, состоящий в замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии рассматриваются аппроксимации кривых ломаными. Некоторые разделы математики целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения функций, численные методы анализа.
• Также в задачах такого рода активно используются интерполяционные методы нахождения значений функции.
• Интерполяция - в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
• Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией кривой. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
• Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.
• На практике чаще всего применяют интерполяцию полиномами. Это связано прежде всего с тем, что полиномы легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество полиномов плотно в пространстве непрерывных функций.
• Для решения нашей задачи необходимо предусмотреть ввод необходимых данных и реализацию контрольно примера.
• 1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ (НЬЮТОНА).
• Метод Ньютона является наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений. Пусть корень , т. е. . Предполагаем, что функция непрерывна на отрезке и дважды непрерывно дифференцируема на интервале . Положим . Проведем касательную к графику функции в точке (рис. 1).
• Рисунок 1 - График функции
• Уравнение касательной будет иметь вид: .
• Первое пересечение получим, взяв абсциссу точки пересечения этой касательной с осью , т. е. положив : .
• Аналогично поступим с точкой , затем с точкой и т. д., в результате получим последовательность приближений , причем
• . (1)
• Формула (1) является расчетной формулой метода Ньютона.
• Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, для которого .
• Сходимость метода. Сходимость метода Ньютона устанавливает следующая теорема.
• Теорема. Пусть - простой корень уравнения и в некоторой окрестности этого корня функция дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая - окрестность корня , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (1) не выходит за пределы этой окрестности и справедлива оценка:
• , (2)
• где .
• Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение.
• Выбор начального приближения. Пусть - отрезок, содержащий корень. Если в качестве начального приближения выбрать тот из концов отрезка, для которого , то итерации (1) сходятся, причем монотонно. Рис. 8 соответствует случаю, когда в качестве начального приближения был выбран правый конец отрезка: (Здесь ).
• Погрешность метода. Оценка (2) неудобна для практического использования. На практике пользуются следующие оценки погрешности:
• . (3)
• Критерий окончания. Оценка (3) позволяет сформулировать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство .

2. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ. ПОЛИНОМЫ НЬЮТОНА

Пусть функция f(x) на отрезке [a, b] задана таблицей

x	x0	x1	…	xn
f(x)	y0	y1	…	yn

Точки x0, x1, …, xn называются узлами интерполяции; значения функции в этих точках f(x0)=y0, f(x1)=y1, …, f(xn)=yn.

Требуется построить интерполирующую функцию F(x), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е. такую, что F(x0)=y0, F(x1)=y1, …, F(xn)=yn.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y=F(x) определенного типа, проходящую через заданную систему точек Mi(xi, yi), i=0, 1, …, n.

СТП ИрГТУ 05--04

Размещено на http://www.allbest.ru/

26

СТО ИрГТУ.005-2009

Рисунок 2 - Интерполяционная кривая, проходящая через заданную систему точек.

(4)

Точки с координатами называются узловыми точками или узлами.

Количество узлов в табличной функции равно N=n+1.

Необходимо найти значение этой функции в промежуточной точке, например, , причем . Для решения задачи используется интерполяционный многочлен.

Интерполяционный многочлен по формуле Ньютона имеет вид:

где n - степень многочлена,

Интерполяционная формула Ньютона формула позволяет выразить интерполяционный многочлен через значение в одном из узлов и через разделенные разности функции , построенные по узлам .

Сначала приведем необходимые сведения о разделенных разностях.

Пусть в узлах

,

известны значения функции . Предположим, что среди точек , , нет совпадающих. Разделенными разностями первого порядка называются отношения

, ,.

Будем рассматривать разделенные разности, составленные по соседним узлам, т. е. выражения

.

По этим разделенным разностям первого порядка можно построить разделенные разности второго порядка:

,

,

Таким образом, разделённая разность -го порядка на участке может быть определена через разделённые разности -го порядка по рекуррентной формуле:

, (5) где , , - степень многочлена.

Максимальное значение равно . Тогда и разделенная разность n-го порядка на участке равна

,

т.е. равна разности разделенных разностей -го порядка, разделенной на длину участка .

Разделенные разности

являются вполне определенными числами, поэтому выражение (4) действительно является алгебраическим многочленом -й степени. При этом в многочлене (4) все разделенные разности определены для участков ,. При вычислении разделенных разностей принято записывать их в виде таблицы:

Разделенная разность -го порядка следующим образом выражается через значения функции в узлах:

. (6)

Эту формулу можно доказать методом индукции. Нам потребуется частный случай формулы (6):

Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен

Рассмотренная форма полинома Ньютона носит название первой интерполяционной формулы Ньютона, и используется, обычно, при интерполировании вначале таблицы.

3. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Различают метод левых, правых и средних прямоугольников. Суть метода ясна из рисунка. На каждом шаге интегрирования функция аппроксимируется полиномом нулевой степени - отрезком, параллельным оси абсцисс.

Рисунок 3 - Метод левых, правых и средних прямоугольников

Выведем формулу метода прямоугольников из анализа разложения функции f(x) в ряд Тейлора вблизи некоторой точки x = xi.

…

Рассмотрим диапазон интегрирования от xi до xi+h, где h - шаг интегрирования.

Вычислим …=

= = . Получили формулу правых (или левых) прямоугольников и априорную оценку погрешности r на отдельном шаге интегрирования. Основной критерий, по которому судят о точности алгоритма - степень при величине шага в формуле априорной оценки погрешности.

В случае равного шага h на всем диапазоне интегрирования общая формула имеет вид

.

Суть приближенного вычисления заключается в двух операциях: 1. в выборе конечного числа вместо n; 2. в выборе точки в соответствующем отрезке.

В зависимости от выбора мы получаем различные формулы для вычисления интеграла: Формулы левых и правых прямоугольников (7), (8)

(7)

(8)

Формула трапеции:

Формула Симпсона

,

где m=n/2

h=b-a/n

b, a - концы рассматриваемого отрезка.

Для сравнения результатов вычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мя способами следующий интеграл, разделив отрезок [0, ] на 6 равных отрезков:

h=

По формуле левых прямоугольников:

По формуле трапеции:

По формуле Симпсона:

А результат полученный аналитически равен

=1

Следовательно, можно сделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симпсон является более точным, но используется в общем случае при делении рассориваемого отрезка на чётное число промежутков.

Формулы прямоугольников являются наиболее простыми квадратурными формулами. Разобьем отрезок интегрирования [a, b ] на п равных частей длиной . Заметим, что величину h называют шагом интегрирования. В точках разбиения х 0 = а , х 1 = a + h , ..., xn = b отметим ординаты y 0 , y 1 ,…, yn кривой f (x ), т.е. вычислим уi = f (xi ), xi = a+ ih = xi -1 + h (i = ). На каждом отрезке длиной h построим прямоугольник со сторонами h и yi , где i = , т.е. по значениям ординат, вычисленных в левых концах отрезков. Тогда площадь криволинейной трапеции, определяющую величину интеграла, приближенно можно представить в виде суммы площадей прямоугольников (рисунок 3). Отсюда получим формулу прямоугольников:

. (9)

Если при вычислении интегральной суммы брать значения функции f (x ) не в левых, а в правых концах отрезков длиной h , что показано на рисунке 1 пунктирной линией, то получим второй вариант формулы прямоугольников:

. (10)

Третий вариант формулы прямоугольников можно получить при использовании значений функции f (x ), вычисленных в средней точке каждого отрезка длины h (рисунок 3):

. (11)

Формулы (9), (10) и (11) называют формулами левых, правых и центральных прямоугольников соответственно.

Рисунок 4 - сумма площадей прямоугольников.

Рисунок 5 - сумма площадей прямоугольников

Формула трапеций. Здесь на каждом элементарном интервале [xi -1 , xi ] длины h точки с координатами (xi -1 , yi -1 ) и (xi , yi ) соединяются отрезком (рисунок 4). Тогда площадь трапеции, построенной на этом интервале, определяется произведением 0,5h (yi -1 + yi ). Суммируя площади элементарных трапеций для i = получим приближенное значение интеграла:

. (12)

Рисунок 6 - сумма площадей трапеций

Формула Симпсона. Разобьем интервал интегрирования на 2n равных частей длиной . На каждом отрезке [xi , xi+2 ] подынтегральную функцию f (х ) заменим параболой, проходящей через точки (xi , yi ), (xi +1 , yi +1 ), (xi +2 , yi +2 ). Тогда приближенное значение интеграла определяется формулой Симпсона:

. (13)

При вычислениях на ЭВМ более удобна следующая формула:

Метод Симпсона - один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования, он дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно.

нелинейный уравнение дифференциальный полином

4. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. МЕТОД ЭЙЛЕРА

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной, имеет вид

(14.1)

Решением обыкновенного дифференциального уравнения (14.1) называется функция , подстановка которой в уравнение обращает его в тождество: .

График решения  называется интегральной кривой.

Задача Коши для дифференциального уравнения (14.1) состоит в том, чтобы найти решение уравнения (14.1), удовлетворяющее начальному условию

(14.2)

Пару чисел  называют начальными данными. Решение задачи Коши называется частным решением дифференциального уравнения (14.1) при условии (14.2).

Частному решению соответствует одна из интегральных кривых, проходящая через точку .

Условия существования и единственности решения задачи Коши содержатся в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция  ? правая часть дифференциального уравнения (14.1) - непрерывна вместе со своей частной производной  в некоторой области  на плоскости. Тогда при любых начальных данных  задача Коши (14.1), (14.2) имеет единственное решение .

При выполнении условий теоремы через точку на плоскости проходит единственная интегральная кривая. Будем считать, что условия теоремы существования и единственности выполняются.

Численное решение задачи Коши (14.1), (14.2) состоит в том, чтобы получить искомое решение  в виде таблицы его приближённых значений для заданных значений аргумента  на некотором отрезке :

(14.3)

Точки (8.3) называют узловыми точками, а множество этих точек называют сеткой на отрезке . Будем использовать равномерную сетку с шагом : ;

 или

Приближённые значения численного решения задачи Коши в узловых точках  обозначим через .

Таким образом, .

Для любого численного метода решения задачи (14.1), (14.2) начальное условие (14.2) выполняется точно, т. е.

Величина погрешности численного метода решения задачи Коши на сетке отрезка  оценивается величиной ,

т. е. расстоянием между векторами приближённого решения  и точного решения  на сетке по m-норме. Говорят, что численный метод имеет p-й порядок точности по шагу  на сетке, если расстояние  можно представить в виде степенной функции от : , где  - некоторая положительная постоянная, зависящая от правой части уравнения (8.1) и от рассматриваемого метода. В данном случае очевидно, что когда шаг  стремится к нулю, погрешность  также стремится к нулю.

Метод Эйлера

Простейшим численным методом решения задачи Коши (14.1), (14.2) является метод Эйлера, называемый иногда методом ломаных Эйлера.

Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке  есть .

Найдём ординату  касательной, соответствующей абсциссе . Так как уравнение касательной к кривой в точке  имеет вид , то .

Угловой коэффициент в точке  также находится из данного дифференциального уравнения . На следующем шаге получаем новую точку , причём и .

Продолжая вычисления в соответствии с намеченной схемой, получим формулы Эйлера для  приближённых значений решения задачи Коши с начальными данными  на сетке отрезка  с шагом :

, (14.4)

Графической иллюстрацией приближённого решения является ломаная, соединяющая последовательно точки , которую называют ломаной Эйлера

СТП ИрГТУ 05--04

Размещено на http://www.allbest.ru/

26

СТО ИрГТУ.005-2009

Рисунок 7 - Графическая иллюстрация приближённого решения дифференциального уравнения методом Эйлера

Оценим погрешность метода Эйлера на одном шаге. Для этого запишем разложение точного решения задачи Коши в точке  по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

, .

Погрешность метода на одном шаге имеет порядок  так как

После  шагов погрешность вычисления значения в конечной точке отрезка возрастёт не более чем в  раз. Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством

или представить в виде

, где

Это означает, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. В частности, при уменьшении шага  в 10 раз погрешность уменьшится примерно в 10 раз.

Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом , в точке  проводят с помощью приближённого равенства - правила Рунге:

, (14.5)

где  - порядок точности численного метода. Таким образом, оценка полученного результата по формуле (14.5) вынуждает проводить вычисления дважды: один раз с шагом , другой ? с шагом .

5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Тема 1: Решение нелинейных уравнений. Метод касательных (Ньютона).

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить корни уравнения методом касательных с точностью е=0,0001.

3) Нарисовать схему применения метода к каждому корню уравнения.

Тема 2: Интерполирование функции. Полиномы Ньютона.

Задание:

1) Найти приближенное значение функции при заданном значении аргумента с помощью соответствующего интерполяционного полинома Ньютона, если функция задана в равноотстоящих узлах;



Тема 3: Численное интегрирование.

1) Задание: Состоит из двух пунктов (a и b).

2) Найти приближенное значение интеграла по формулам левых и правых прямоугольников с точностью .

3) Найти приближенное значение интеграла по формуле средних прямоугольников с точностью .

4) Найти приближенное значение интеграла по формуле трапеции с точностью .

5) Найти приближенное значение интеграла по формуле Симпсона с точностью .

6) Сравнить полученные результаты.

Интегралы для вычисления определяются исходя их номера варианта

( - номер варианта или последние (одна или две) цифры зачетки студента).

Тема 4: Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Задача Коши.

Задание: Найти приближенные значения решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) на отрезке с шагом при начальном условии используя

1) метод Эйлера;

2) усовершенствованный метод ломаных;

3) метод Эйлера-Коши;

4) метод Эйлера с уточнением;

5) метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Для тестовых примеров найти относительные погрешности и сравнить полученные результаты. Построить графики точного и численного решений.

Оценить погрешность приближенного решения заданного уравнения в выбранной точке, построить график численного решения.

Вариант
8

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проблема повышения качества вычислений, как несоответствие между желаемым и действительным, существует и будет существовать в дальнейшем. Ее решению будет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается как в совершенствовании методов организации информационных процессов, так и их реализации с помощью конкретных инструментов - сред и языков программирования.

Целю данной работы являлось ознакомление с программным обеспечением Mathcad. Решением с помощью данной программы нелинейных уравнений методом касательных Ньютона; интерполированием функций. Проведено численное интегрирование, найдено приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.

ВЫВОДЫ

Метод Ньютона (метод касательных)

Преимущества и недостатки метода:

Плюсы-

Быстрая сходимость

Не нужно знать интервал, только начальное приближение

Применим для функция нескольких переменных

Минусы-

Нужно уметь вычислять производную

Производная не должна быть равна нулю

Может зацикливаться

Интерполирование функции. Полиномы Ньютона.

Основной недостаток интерполирования с помощью многочленов - неустранимые колебания, которые претерпевает кривая в промежутках между узлами. При этом повышение степени интерполяционного полинома для большинства решаемых уравнений приводит не к уменьшению, а к увеличению погрешности.

Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Задача Коши.

При приближенное решение сходится к точному равномерно с первым порядком точности. То есть, метод дает весьма низкую точность вычислений

Численное интегрирование

Основной критерий, по которому судят о точности алгоритма - степень при величине шага в формуле априорной оценки погрешности.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. - М.: Наука, 2007. - 708 с.

2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов. [Текст] / Н.Ш. Кремер, 3-е издание - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. C.412.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. [Электронный ресурс] / Н.Н. Калиткин. - М.: Питер, 2001. С.504.

4. Численное интегрирование [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://ru. wikipedia.org/wiki/Численное_интегрирование

Размещено на Allbest.ru

...