Разрывные и непрерывные функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Разрывные функции

1.1 Основные понятия

Введем основные понятия, используемые в работе.

Дана функция определенная в окрестности точки .

Производной функции в точке называется предел в точке (конечный) отношения приращения функции к приращению аргумента, т.е.

Производная функции в точке обозначается символом

Если не существует, то функция не имеет производной в точке .

Если точка не является предельной для области определения , то не имеет смысла.

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т.е.

Так как (будучи значением функции) есть некоторое действительное число, то функция , непрерывная в точке , имеет конечный предел в этой точке, равный .

Если не имеет смысла, т.е. если не есть предельная точка множества значений аргумента, то говорят о непрерывности в точке не имеет смысла с точки зрения принятого определения.

1.2 Точки разрыва функции

Если точка является предельной для области определения функции и если условие непрерывности

не выполняется, то точка называется точкой разрыва функции , а функция называется разрывной в точке .

Условие непрерывности может не выполняться, если:

1) Не существует конечный предел в точке;

2) Точка не принадлежит области определения функции;

3) Существует конечный предел функции в точке , не равный значению функции в точке :

Отметим следующие типы точек разрыва:

1. Если существует правый и левый конечные пределы функции в точке и если эти пределы различны:

то точка называется точкой разрыва первого рода (рис. 1).

разрывные непрерывные функции производные

Рис.1.

Так как

то функция в точке разрыва первого рода не имеет предела. Сама точка может принадлежать, а может и не принадлежать области определения функции.

Пример 1. Положим

.

Имеем:

не существует.

Точка есть точка разрыва первого рода.

Пример 2.

Функция определена всюду, кроме точки . Исследуем поведение функции в окрестности точки .

Имеем:

Точка точка разрыва первого рода. (рис.2)

Рис.2

2. Функция, имеющая бесконечный предел в точке ( - действительное число), является разрывной в этой точке.

Пример 1. Положим . Имеем: ; точка 0 есть точка разрыва. (рис. 3)

Рис. 3

Пример 2. Положим

Имеем

.

Тогда точка 5 есть точка разрыва функции (рис.4)

Рис.4

3. Функция в точке имеет различные односторонние пределы, причем хотя бы один из них бесконечен.

Пример 1. Положим

.

Имеем:

(рис. 5)

Точка есть точка разрыва функции второго рода.

Рис.5

Пример 2. Положим

Имеем:

Точка есть точка разрыва функции второго рода (рис.6)

Рис.6

4. Хотя бы один из односторонних пределов не существует. Такая точка разрыва называется обычно точкой разрыва второго рода. В этом случае не существует .

Пример 1. Функция

имеет точку 0 точкой разрыва второго рода, т.к. не существует ни конечного, ни бесконечного предела в точке 0.

Пример

Имеем:

(рис.7)

Исследуем поведение функции в окрестности точки .

Имеем:

В точке функция имеет разрыв второго рода.

Исследуем поведение функции в окрестности точки

Имеем:

В точке функция имеет разрыв второго рода.

Рис.7

5. Существует предел

в этом случае точка является точкой разрыва (рис. 8).

Рис.8

6. Если существует конечный предел но точка не принадлежит области определения функции , то точка есть точка разрыва (рис. 9)

Рис.9

7. Если существует правый и левый конечные пределы функции в точке и если эти пределы равны:

то точка называется точкой устранимого разрыва. Если доопределить такую функцию, положив

то получится функция, непрерывная в точке .

Пример 1.

Функция определена всюду, кроме точки . Исследуем поведение функции в окрестности точки (рис.10)

Имеем:

В точке функция имеет точку устранимого разрыва.

Рис.10

Пример 2. функция определена всюду, кроме точки . (рис.11) Точка является двусторонней предельной точкой. Исследуем поведение функции в окрестности данной точки.

Имеем:

следовательно, ,следовательно, точка является точкой устранимого разрыва.



Рис.11

Итак, мы рассмотрели разрывные функции и выдели семь типов точек разрыва, в которых функция не имеет производную.



2. Непрерывные функции

2.1 Функции, не имеющие производной. Правая и левая производные

Введем два новых определения. Если ? стремится к нулю, принимая только положительные значения, то предел отношения

(если он существует) называется производной справа или правой производной от функции ѓ() в точке ?, а если ? стремится к нулю, принимая только отрицательные значения, то предел этого же отношения (если он существует) есть производная слева или левая производная. Производную справа обозначают символом , а производную слева - символом .

Если производная справа и производная слева равны между собой, то функция, очевидно, имеет производную в точке ₀ в обычном смысле слова.

Наиболее простые примеры функций, имеющих в некоторой точке правую и левую производные, не совпадающие между собой, дают нам функции, графики которых представляют собой ломаные линии.

В самом деле, пусть ₁, ₂, … , _к, … , _s - некоторое число различных точек на оси . Построим ломаную так, чтобы ее вершины имели абсциссы, равные х₁, ₂, … , _к, … , _s (рис. 12). Функция ѓ(), графиком которой является эта ломаная *), не имеет производной в точках ₁, ₂, … , _к, … , _s .

*) Очевидно, каждая прямая, перпендикулярная к оси Ох, пересекает ломаную не более чем в одной точке, и ломаная представляет собой график некоторой однозначной функции.

Для того чтобы это доказать, рассмотрим какую-нибудь точку Q с абсциссой _к. График функции в окрестности этой точки имеет вид, изображенный на рис. 13.

Рис.12

Рис.13

Для всякой прямой линии секущая в некоторой ее точке, а, следовательно, и касательная (как предельное положение этой секущей), совпадают с самой прямой; значит, угол секущей, а, следовательно, и касательной к прямой с осью , есть тот же самый, что и угол самой прямой с осью х.

Обозначим угол прямой AQ с осью через б и угол прямой QB с осью через в. Проводим секущую через точку Q и точки М₁ и М₂, находящиеся слева и справа от Q. Левая секущая совпадает с прямой AQ, а правая - с прямой QB.

Ясно, что если рассматривать Q как точку прикосновения, то у секущей будет два предельных положения, или, как иногда говорят, кривая в этой точке будет иметь правую касательную, совпадающую с прямой QB, и левую касательную, совпадающую с прямой AQ. Угол между осью и левой касательной, очевидно, равен б, а угол между осью и правой касательной равен в. Так как б и в различны, то и

tg б ? tg в.

Таким образом, в точке Q у нашей линии нет определенной касательной, а так как производная равна тангенсу угла касательной с осью , то производная слева не равна производной справа и не существует в точке Q.

Рассмотрим еще один пример функций с различными производными слева и справа. Пусть требуется найти производную от функции

y=ѓ()=².

Функция, очевидно, определена в промежутке -1??+1. График ее изображен на рис. 14. Кривая заканчивается в точках М(-1, +1) и N(+1, +1), так как для ||>1 функция не определена.

Рис. 14

Находим производную в точке х:

Полагая х=0, находим значение производной в точке О(0, 0):

Чтобы найти предел, мы умножаем и числитель, и знаменатель на

²:

Так как рассматривается арифметическое (положительное) значение квадратного корня, то ²=?, если ?х>0, но ²=-?, если ?<0.

Следовательно, если ?>0, то

а если ?<0, то

Мы видим, что производная слева не равна производной справа, а потому наша функция не имеет производной. Точка (0, 0) есть угловая точка, в которой кривая не имеет определенной касательной.

Возможны случаи, что отношение не имеет определенного предела ни тогда, когда ?>0, принимая только положительные значения, ни тогда, когда ?>0, принимая только отрицательные значения. В этом случае функция не будет иметь в данной точке производной ни в обычном смысле слова, ни в правой, ни в левой.

Как пример такого случая рассмотрим функцию =ѓ(), определенную двумя равенствами:

= sin при ?0,

= ѓ()=0 при =0,

Вычислим производную этой функции при х=0. Составим приращение ?:

?= ѓ(+?)- ѓ();

при =0 будем иметь:

[?]_х=0= ѓ(?)- ѓ(0).

Так как

ѓ()= sin , ѓ(?) =? sin ,

и согласно принятому условию ѓ(0)=0, то

[?]_х=0= [ѓ(?)]_x=0=? sin ,

а потому,

_x=0= sin .

Итак, значение производной в точке (0, 0) должно быть равным

Но так как sin при ?>0 не стремится ни к какому пределу, то при =0 не существует ни левой, ни правой касательной.

2.2 Функции, не имеющие производной ни в одной точке

До сих пор мы рассматривали примеры функций, которые не имеют производных лишь в отдельных точках; однако, существуют такие непрерывные функции, которые не имеют производных ни в одной точке. Такие функции могут быть заданы аналитически, но для этого приходится использовать теорию бесконечных рядов.

Приведем пример функции подобного типа *), заданной с помощью последовательности функций: ѓ₀(), ѓ₁(), … , ѓ_n(), …

Рассмотрим сначала вспомогательную функцию ₀(), положив ее равной расстоянию точки х до ближайшей целочисленной точки. Функция ₀() имеет график, изображенный на рис. 15. Функция ₀() - периодическая с периодом 1, т.е. ₀(+1)= ц₀(). Кроме того, ₀() линейна на каждом отрезке вида , где s - некоторое целое число. Угловой коэффициент графика ₀() внутри каждого отрезка равен +1 или -1.

Рис. 15

Рассмотрим теперь последовательность вспомогательных функций:

*) Этот пример принадлежит голландскому ученому Ван-дер-Вардену

График каждой функции _n() имеет вид, изображенный на рис. 16.

Рис. 16

Функция имеет период , так как

и она линейна на каждом отрезке вида , причем угловой коэффициент графика будет снова +1 или -1.

Положим теперь

ѓ₀()=₀(),

ѓ₁()=₀()+₁(),

ѓ₂()=₀()+₁()+₂(),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ѓ_n()=₀()+₁()+ … +_n().

Рассмотрим бесконечную последовательность этих функций:

ѓ₀(), ѓ₁(), … , ѓ_n(), …

Покажем начала, что последовательность {ѓ_п()} - равномерно сходящаяся на всяком отрезке. В самом деле, рассмотрим разность



ѓ_n+р()- ѓ_n()=_n+1()+_n+2()+ … +_n+р().

Так как ₀() для любого меньше, чем 1, то _n() для любого меньше, чем , а тогда

В правой части этого неравенства находится убывающая прогрессия, сумма которой S меньше суммы бесконечно убывающей прогрессии такого же вида:

S

и

Следовательно, если n достаточно велико, то при произвольном p и любом x величина меньше любого наперед заданного числа. А это на основании критерия Коши и значит, что последовательность {ѓ_п()} равномерно сходится к некоторой функции ѓ(). Так как ѓ₀()=₀() и функции ѓ₀(), ѓ₁(), … , ѓ_n() представляют собой суммы конечного числа непрерывных функций, то сами они тоже непрерывна, а, следовательно, и предельная функция непрерывна.

Покажем, что функция ѓ()= не имеет производной ни в одной точке. Рассмотрим произвольную точку . Всегда найдется последовательность вложенных друг в друга отрезков ?_n вида



?_n=

(где s_n - целые числа), заключающих точку . Длина отрезка ?_n будет равна , и поэтому на каждом таком отрезке найдется некоторая точка на расстоянии от х, равном . Обозначим эту точку на отрезке ?_n через х_n .

Рассмотрим теперь для вспомогательных функций _k отношение

Возможны два случая: k>n и kn.

Пусть k>n. Число будет представлять собой целое число периодов функций

_n+1(), …,_n+р(), …;

следовательно, для k>n имеем

,

а тогда

Пусть kn. Тогда на отрезке ?_k= функция линейна, а, следовательно, она будет линейна и на части отрезка ?_n, являющемся частью отрезка ?_k. При этом угловой коэффициент графика, как мы знаем, равен +1 или -1. Следовательно, для kn

Перейдем теперь к вычислению такого же отношения для функции

ѓ_k()=₀()+₁()+ … +_k().

В этом случае мы имеем:

Предположим теперь, что kn; тогда

т.е. рассматриваемое отношение равно некоторому четному числу при нечетном n и нечетному числу при четном n, причем это число одно и то же для любых k>n и зависит только от n.

Из того, что не зависит от k, следует, что и соответствующее отношение для предельной функции

являющееся пределом

при k>, также равно некоторому четному числу для нечетного n и равно нечетному числу для четного n.

Следовательно, это отношение не имеет предела при n>.

Но, с другой стороны, при n>, стремится к ; следовательно, если бы функция имела в точке производную, то существовал бы и предел отношения

при n>, а мы видели, что его не существует.

Следовательно, в точке х не имеет производной, но так как - произвольная точка оси , то построенная функция не имеет производной ни в одной точке.

Первый пример функции, не имеющей производной ни в одной точке, был построен Вейерштрассом.

Функция Вейерштрасса задается рядом

,

где - произвольное нечетное число, а - положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется рядом поэтому функция определена и непрерывна при всех вещественных . Тем не менее, эта функция не имеет производной по крайней мере при

Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке , строят две последовательности и сходящиеся к точке , и доказывают, что отношения

имеют разные знаки, по крайней мере, при и

Более простой пример, основанный на той же идее, в котором периодические функции заменены периодическими ломаными, был построен Б. Л. Ван-дер-Варденом.

Пусть - функция, равная для каждого действительного числа х абсолютной величине разности между числом и ближайшим к нему целым числом.

Рис. 17

Эта функция линейна на каждом отрезке вида где n-целое; она непрерывна и имеет период, равный единице.

Пусть тогда функция Ван-дер-Вардена задается равенством

Эта функция непрерывна на всей числовой оси и ни в одной точке не имеет конечной производной. Первые три частные суммы полученного ряда изображены на рис. 17.

2.3 Функции комплексного переменного

Определения производной и дифференциала функции комплексного переменного дословно совпадают с соответствующими определениями для функций действительного переменного. Поэтому почти все основные теоремы и формулы дифференциального исчисления без изменения распространяются и на функции комплексного переменного.

Однако дифференцируемые функции комплексного переменного обладают по сравнению с дифференцируемыми функциями действительного переменного многими дополнительными свойствами, причина появления которых заключается в том, что условие для существования производной функции комплексного переменного, как будет видно из дальнейшего, является несравненно более ограничительным, чем условие для существования производной функции действительного переменного.

Дадим независимому переменному приращение и вычислим вызванное этим приращением приращение однозначной функции

Если существует предел отношения при стремлении к нулю по любому закону, то этот предел называется производной функции в точке ?? и обозначается

Требование существования предела отношения и его независимость от закона стремления к нулю накладывает на функцию значительно более сильные ограничения, чем аналогичное требование для функции действительного переменного . Так, если функция имеет производную, то это значит, что существует предел отношения при приближении точки к точке по двум направлениям: слева (при ) и справа (при ), и что эти пределы совпадают. Требование же существования производной для функции комплексного переменного означает существование предела отношения при приближении точки к точке по любому пути, в частности, по любому из бесконечного множества различных лучей, и совпадение всех этих пределов.

Пусть

Тогда



Где

И

В этих обозначениях

Пусть функция имеет производную в точке; тогда предел (1) существует и не зависит от закона стремления к нулю; в частности, при , т.е. при приближении точки по прямой, параллельной оси (рис.18), получим:

Выбрав т.е. устремляя точку по прямой, параллельной оси (рис. 19), получим:

Так как предел отношения не должен зависеть от закона стремления к нулю, то из (2) и (3) следует, что

Или

Эти условия, называемые условиями Коши-Римана или условиями Даламбера-Эйлера, должны быть выполнены в каждой точке, в которой функция имеет производную.

Рис. 18

Рис.19

При некоторых добавочных ограничениях, например, если потребовать существование полных дифференциалов функций , можно доказать, что условие Коши-Римана не только необходимы, но и достаточны для дифференцируемости функции .

Действительно, если функции имеют полный дифференциал, то

где и Каково бы ни было , имеем

Заменив на основании условий Коши-Римана в числителе правой части

,

Получим

Так как , то

Но величина стремится к нулю при , т.е. при .

Следовательно, по какому бы закону приращение ни стремилось к нулю, из (5) получим

и достаточность условий Коши-Римана для существования доказана. Мы снова пришли к формуле (2), которая показывает, что дифференцирование функции по комплексному переменному (если оно возможно) равносильно вычислению частной производной по .

Если функция дифференцируема не только в данной точке, но и в некоторой окрестности этой точки, то она называется аналитической в данной точке.

Функция, аналитическая во всех точках некоторой области, называется аналитической или голоморфной в этой области.

Пример 1. Выяснить, является ли аналитической функция

Решение. Если откуда

Следовательно, условие Коши-Римана не выполнено. Значит, функция не дифференцируема ни в одной точке плоскости.

Пример 2. Доказать, что функция

является аналитической на .

откуда

следовательно, функция непрерывна на .

Условия Коши-Римана аналитичности функции

выполнены, следовательно, функция является аналитической на .

Таким образом, мы рассмотрели непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке, правую и левую производные и функции комплексного переменного.



Заключение

В данной работе мы изучили и рассмотрели на примерах функции, не имеющие производной: разрывные и непрерывные. Раскрыли основные понятия функций.

Рассматривая разрывные функции, мы выдели семь типов точек разрыва, в которых функция не имеет производную:

1. Если существует правый и левый конечные пределы функции в точке и если эти пределы различны:

то точка называется точкой разрыва первого рода.

2. Функция, имеющая бесконечный предел в точке ( - действительное число), является разрывной в этой точке.

3. Функция в точке имеет различные односторонние пределы, причем хотя бы один из них бесконечен.

4. Хотя бы один из односторонних пределов не существует. Такая точка разрыва называется обычно точкой разрыва второго рода. В этом случае не существует .

5. Существует предел

в этом случае точка является точкой разрыва.

6. Если существует конечный предел но точка не принадлежит области определения функции , то точка есть точка разрыва.

7. Если существует правый и левый конечные пределы функции в точке и если эти пределы равны:

то точка называется точкой устранимого разрыва. Если доопределить такую функцию, положив

то получится функция, непрерывная в точке .

Также мы рассмотрели непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке на примере функции Ван-дер-Вардена, правую и левую производные и функции комплексного переменного (условие Коши-Римана).



Список литературы

1. Виленкин А. XIII конференция юных математиков в Батуми // Квант. - 1982. - №4

2. Виноградов И.В. Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.

3. Гребенча М.К., Новоселов С.И. Курс математического анализа. Часть 1. - М.: Высшая школа, 1960

4. Гусак Г.М., Капуцкая Д.А. Математика для подготовительных отделений вуза. - Минск.: Вышэйшая школа, 1989

5. Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного с элементами операционного исчисления. - С.-П.: Лань, 2002

6. Мартынов Б. О максимумах функции Ван-дер-Вардена // Квант. - 1982. - №6

7. Немыцкий В.В, Слудская М.И., Черкасов А.Н. Курс математического анализа. Том 1. - М.: ГИТТЛ, 1940

8. Немыцкий В.В, Слудская М.И., Черкасов А.Н. Курс математического анализа. Том 1. - М.: ГИТТЛ, 1957

9. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. - М.: Физматлит, 2001

10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. - М.: Физматлит, 2001

Размещено на Allbest.ru

...