Аналитическая геометрия
Декартова, полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат на плоскости. Линии и прямые на плоскости. Угол между прямыми. Общее уравнение прямой. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей. Угол между прямой и плоскостью.
| Рубрика | Математика |
| Вид | методичка |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.06.2014 |
| Размер файла | 687,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Теория
для подготовки к зачету по алгебре и аналитической геометрии для
студентов I к., II семестр (заочное отделение)
(специальноcть - математика)
Содержание
- 1. Системы координат
- 1.1 Декартова система координат на плоскости
- 1.2 Полярная система координат на плоскости
- 1.3 Декартова система координат в пространстве
- 1.4 Цилиндрическая система координат в пространстве
- 1.5 Сферическая система координат в пространстве
- 2. Аналитическая геометрия
- 2.1 Линии на плоскости
- 2.2 Линии первого порядка. Прямые на плоскости
- 2.3 Угол между прямыми
- 2.4 Общее уравнение прямой
- 2.5 Неполное уравнение первой степени
- Уравнение прямой "в отрезках”
- 2.6 Совместное исследование уравнений двух прямых
- Нормаль к прямой
- 2.7 Угол между двумя прямыми
- 2.8 Каноническое уравнение прямой
- 2.9 Параметрические уравнения прямой
- 2.10 Нормальное (нормированное) уравнение прямой
- 2.11 Расстояние от точки до прямой
- 2.12 Уравнение пучка прямых
- 2.13 Примеры задач на тему "прямая на плоскости"
- 2.14 Векторное произведение векторов
- 2.15 Свойства векторного произведения
- 2.16 Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
- 2.17 Смешанное произведение трёх векторов
- Геометрический смысл смешанного произведения
- Выражение смешанного произведения через координаты векторов
- Примеры решения задач по теме: "Векторная алгебра".
- 2.18 Поверхности в пространстве
- Плоскость
- 2.19 Неполные уравнения плоскости
- 2.20 Уравнение плоскости в "отрезках"
- 2.21 Угол между плоскостями
- 2.22 Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой
- 2.23 Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
- 2.24 Расстояние от точки до плоскости
- 2.25 Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду
- 2.26 Примеры задач на тему "Плоскость"
- 2.27 Линии в пространстве. Прямая в пространстве
- 2.28 Канонические уравнения прямой в пространстве
- 2.29 Параметрические уравнения прямой
- 2.30 Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
- 2.31 Угол между двумя прямыми в пространстве
- 2.32 Угол между прямой и плоскостью
- 2.33 Условие принадлежности двух прямых одной плоскости
- 2.34 Некоторые задачи на построение прямых и плоскостей
- 2.35 Примеры решения задач по теме "Аналитическая геометрия"
- 2.36 Кривые второго порядка
- 2.36 Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
- 2.37 Эллипс
- Вывод уравнения эллипса
- 2.38 Гипербола
- 2.39 Парабола
- 2.40 Примеры решения задач на тему "Кривые второго порядка"
1. Системы координат
1.1 Декартова система координат на плоскости
Декартова система координат хорошо известна. И всё же сформулируем подробнее, каким образом она задаётся на плоскости, и какие величины в результате однозначно определяют положение точки на плоскости. Не будем, однако, слишком углубляться в терминологию, т.к. используемые понятия просты и подробно изучаются в курсе средней школы.
Как уже было замечено в гл.1, § 6, задать декартову систему координат на плоскости означает зафиксировать, во-первых, точку начала координат, а во-вторых, две перпендикулярные направленные оси (так называемые, оси координат). Причём, эти оси занумерованы. И, конечно, понадобится единичный отрезок, чтобы численно обозначать расстояние между двумя точками.
Таким образом, положение любой точки на плоскости однозначно определено двумя числами: первое число - величина проекции точки на первую ось (взятая с плюсом, если проекция попала на "положительную" часть оси, или с минусом, если на "отрицательную”), а второе - величина проекции на вторую ось.
Стандартным образом декартова система координат обозначается Oxy, оси нумеруются таким образом, что поворот от первой оси ко второй осуществляется против часовой стрелки. Координаты точки - (x,y).
1.2 Полярная система координат на плоскости
Для того, чтобы задать полярную систему координат на плоскости, надо зафиксировать, во-первых, точку начала координат, а во-вторых, луч, выходящий из этой точки. Необходимо также определить единичный отрезок и положительное направление отсчета угла между лучом и отрезком, соединяющим начало координат с какой-либо точкой плоскости.
Положение точки на плоскости задаётся двумя числами. Первое - расстояние от точки до начала координат, а второе - угол между зафиксированным лучом и отрезком, соединяющим точку и начало координат.
Обычно направление отсчета угла выбирают против часовой стрелки. Стандартное обозначение координат точки в полярной системе - (с,ц). Очевидно, с0.
Существуют формулы перехода между заданными стандартным образом декартовой и полярной системами координат. Если они друг другу соответствуют (т.е. должны совпадать начала координат в обеих системах, луч полярной системы координат должен совпадать с "положительной" частью первой оси декартовой системы, должны быть одинаковыми единичные отрезки), то
x = с•cosц,
y = с•sinц.
В других случаях формулы зависят от постановки задачи, но получить их легко из геометрических соображений.
С помощью этих формул можно осуществлять переход между двумя системами координат, преобразовывать координаты точек, уравнения кривых и т.д.
В полярной системе координат очень просто выглядят уравнения прямых, проходящих через начало координат и окружностей с центром в этой точке. Кроме того, уравнения многих стандартных, часто используемых, кривых принято (с точки зрения простоты) записывать в полярных координатах.
1.3 Декартова система координат в пространстве
Декартовы координаты в пространстве задаются с помощью точки начала координат и трёх взаимно-перпендикулярных направленных прямых. Прямые занумерованы, задан единичный отрезок. Положение любой точки в пространстве однозначно определено тремя числами: первое число - величина проекции точки на первую ось, второе - величина проекции на вторую ось, третье - на третью.
аналитическая геометрия прямая плоскость
1.4 Цилиндрическая система координат в пространстве
Цилиндрическая система координат в пространстве - "родственница” полярной системы координат на плоскости. Чтобы получить цилиндрическую систему надо на плоскости ввести полярную систему координат и добавить вертикальную координатную ось. Т.о., координаты точки - три числа: первые два - полярные координаты проекции нашей точки на плоскость, третье - величина проекции точки на вертикальную ось.
Из геометрических соображений можно получить формулы перехода между цилиндрической и декартовой системами координат. В случае, изображённом на рисунке, формулы перехода такие:
x = с?cosц,
y = с?sinц,
z = z.
1.5 Сферическая система координат в пространстве
Сферическая система координат вводится следующим образом: фиксируем плоскость, на ней - точку О начала координат, а из точки О выпускаем луч, перпендикулярный плоскости, и луч, лежащий в плоскости. Положение точки М задаётся тремя числами: первое - расстояние от начала координат О до точки М; второе - угол между проекцией отрезка ОМ на плоскость и лежащим в плоскости лучом; третье - угол между перпендикулярным плоскости лучом и отрезком ОМ.
Из геометрических соображений можно получить формулы перехода между сферической и декартовой системами координат. В случае, изображённом на рисунке, формулы перехода такие:
x = с?sinи?cosц,
y = с?sinи?sinц,
z = с?cosи.
Линии на плоскости 12
Линии первого порядка. Прямые на плоскости. 14
Угол между прямыми 16
Общее уравнение прямой 17
Неполное уравнение первой степени 18
Уравнение прямой "в отрезках" 18
Совместное исследование уравнений двух прямых 19
Нормаль к прямой 20
Угол между двумя прямыми 21
Каноническое уравнение прямой 21
Параметрические уравнения прямой 22
Нормальное (нормированное) уравнение прямой 23
Расстояние от точки до прямой 24
Уравнение пучка прямых 26
Примеры задач на тему "прямая на плоскости" 28
2. Аналитическая геометрия
2.1 Линии на плоскости
Пусть х и у - две произвольные переменные.
Определение: Соотношение вида F (x,y) =0 называется уравнением, если оно справедливо не для всяких пар чисел х и у.
Пример: 2х + 7у - 1 = 0, х2 + y2 - 25 = 0.
Если равенство F (x,y) =0 выполняется для любых х, у, то, следовательно, F (x,y) = 0 - тождество.
Пример: (х + у) 2 - х2 - 2ху - у2 = 0
Говорят, что числа х0 и у0 удовлетворяют уравнению, если при их подстановке в это уравнение оно обращается в верное равенство.
Важнейшим понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии.
Определение: Уравнением данной линии называется уравнение F (x,y) =0, которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой из точек, не лежащих на этой линии.
Линия, определяемая уравнением y = f (x), называется графиком функции f (x). Переменные х и у - называются текущими координатами, т.к. являются координатами переменной точки.
Несколько примеров определения линий.
1) х - у = 0 => х = у. Это уравнение определяет прямую:
2) х2 - у2 = 0 => (х-у) (х+у) = 0 => точки должны удовлетворять либо уравнению х - у = 0, либо уравнению х + у = 0, что соответствует на плоскости паре пересекающихся прямых, являющихся биссектрисами координатных углов:
3) х2 + у2 = 0. Этому уравнению удовлетворяет только одна точка О (0,0).
4) с=а cosи. Это уравнение задает окружность, имеющую радиус-вектор , наклоненный под углом к оси Ох.
Предметом изучения аналитической геометрии являются алгебраические линии - это такие линии, которые в декартовой прямоугольной системе координат определяются уравнением вида: .
Примеры: Ах+Ву+С=0,Ах2+Ву2+Сху+Dх+Еу+F=0
Уравнение Ах+Ву+С=0 - общее уравнение первой степени.
Примеры неалгебраических линий: y - sinx = 0,Ах + Ву + С = 0.
Определение: Линия, определяемая в декартовой системе координат алгебраическим уравнением n-ой степени, называется линией n-ого порядка.
Теорема: Если в декартовой системе координат линия определяется уравнением n-ой степени, то в другой декартовой системе координат она также определяется уравнением n-ой степени, т.е. порядок линии не зависит от выбора системы координат.
2.2 Линии первого порядка. Прямые на плоскости
Пусть задана декартова система координат и некоторая прямая; б - угол наклона прямой к оси Ох.
Определение: Тангенс угла б наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом этой прямой: k = tgб.
= (1)
Формула (1) - определение углового коэффициента по известным двум точкам прямой.
Пусть прямая, неперпендикулярная оси Ох, имеет угловой коэффициент k и отсекает на оси Оу отрезок ОВ= b.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1). Пусть М (х, у) - точка с переменными координатами (переменная точка). Рассмотрим точку В (0, b). По формуле (1) угловой коэффициент равен
(2)
Преобразуем формулу (2) к виду
или
(3)
Если точка М не принадлежит данной прямой, то уравнение (3) не выполнится, следовательно, (3) - это уравнение прямой (по определению).
Уравнение (3) определяет прямую, имеющую угловой коэффициент k, и отсекающую на оси Oу отрезок b, и называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
2). Пусть известна одна точка М1 (х1, у1) и угловой коэффициент k:
По формуле (1), если М (х, у) - переменная точка,
(4)
или
(5)
Уравнение (5) - это уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М1 .
3) Пусть известны точки М1 (х1, у1) и М2 (х2, у2), принадлежащие прямой. Найти уравнение этой прямой.
По формуле (1) - . Отсюда, с учетом (5), получим
=
или, поделив обе части равенства на ,
. (6)
Уравнение (6) - это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
2.3 Угол между прямыми
Пусть существуют две прямые, неперпендикулярные оси Ох; k1 и k2 - угловые коэффициенты этих прямых. Пусть ц - угол между заданными прямыми.
б1 - угол наклона первой прямой к оси Ох;
б2 - угол наклона второй прямой к оси Ох.
.
tg ц = tg =,
т.к. и =>
(6)
При = (прямая перпендикулярна оси Ох) формула (6) теряет смысл.
1. Условие параллельности двух прямых. Обозначим две прямые и .
| | .
2. Условие перпендикулярности двух прямых:
.
2.4 Общее уравнение прямой
Теорема. В декартовой системе координат каждая прямая определяется уравнением первой степени и обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.
Доказательство. Пусть существует прямая . Если не перпендикулярна оси Ох, то она определяется уравнением первой степени y = kx + b. Если прямая перпендикулярна оси Ох, то для всех точек, принадлежащих прямой, выполняется равенство x = a, что также является уравнением первой степени.
Обратно. Пусть дано уравнение
Ax + By + C = 0. (7)
а). Если B?0, то можно записать или .
Обозначим и . Тогда - уравнение прямой.
б). Если В = 0, то А ? 0. => x = .
Пусть ? a => х = а - уравнение прямой, параллельной оси Oу.
Уравнение Ах + Ву + С = 0 называется общим уравнением прямой, поскольку определяет все виды прямых без исключения.
2.5 Неполное уравнение первой степени
Рассмотрим три случая, когда уравнение является неполным.
1. С = 0 => Ах + Ву = 0 - прямая проходит через начало координат.
2. В = 0 (А ? 0) => Ах+ С = 0 - прямая параллельна оси Оу.
3. А = 0 (В ? 0) => Ву + С = 0 - прямая параллельна оси Ох.
Уравнение прямой "в отрезках”
Пусть дано уравнение Ах + Ву + С = 0, где А ? 0, В ? 0, С ? 0.
Преобразуем его к виду Ах + Ву = - С и разделим на (-С):
или .
Обозначим а ? , b ? .
- уравнение прямой в отрезках. (8)
Числа a и b в уравнении (8) имеют геометрический смысл. Это величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях.
Убедимся в этом. Найдем координаты точки пересечения прямой с осью Ох:
у=0 х = а, у = 0.
Аналогично находится длина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу.
2.6 Совместное исследование уравнений двух прямых
Каждое уравнение определяет прямую на плоскости. Совместное решение этих уравнений определяет общую точку этих прямых.
1). Пусть . Определитель системы , система имеет единственное решение.
Это значит, что прямые пересекаются в одной точке. Координаты точки пересечения находятся по формулам Крамера.
2). Пусть . Тогда возможны два случая:
а) => общих точек нет, прямые параллельны;
б) => уравнения равносильны, т.е. определяют одну и ту же прямую.
Два уравнения определяют одну прямую, если их коэффициенты пропорциональны.
Нормаль к прямой
Пусть прямая L задана общим уравнением:
Ах + Ву + С = 0. (9)
Пусть т. М0 (х0, у0) L. =>
Ах0 + Bу0 + C = 0. (10)
Вычтем (10) из (9):
А (х - х0) + В (у - у0) = 0 (11)
Выражение (11) можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: и . Так как , то , и вектор является нормалью к прямой L.
2.7 Угол между двумя прямыми
Пусть прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями:
А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0.
Нормали к прямым: и .
Угол между прямыми можно определить как угол между нормалями к этим прямым:
Тогда условие параллельности прямых - это условие коллинеарности нормалей:
.
Условие перпендикулярности прямых - это перпендикулярность нормалей:
=> А1А2 + В1В2 = 0.
2.8 Каноническое уравнение прямой
Определение. Любой вектор, отличный от нулевого, параллельный заданной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.
Пусть на прямой задана точка , а вектор - направляющий вектор прямой . Точка принадлежит прямой, если вектор параллелен вектору :
. (12)
Уравнение (12) называется каноническим уравнением прямой на плоскости. Угол между прямыми, заданными каноническими уравнениями, определяется как угол между направляющими векторами этих прямых:
.
Условием параллельности прямых будет условие коллинеарности их направляющих векторов:
||.
Условие перпендикулярности прямых равносильно условию равенства нулю скалярного произведения их направляющих векторов:
.
2.9 Параметрические уравнения прямой
Пусть .
Если величины х и у рассматривать как координаты точки М при каждом значении t, то такие уравнения называются параметрическими уравнениями траектории точки М. Аргумент t - переменный параметр.
В каноническом уравнении прямой (12) примем одну из величин (правую или левую часть равенства) за параметр t. Получим два уравнения
или . (13)
Уравнения (13) - это параметрические уравнения прямой на плоскости. Если принять, что параметр t - время, то параметрические уравнения приобретают физический смысл. Они определяют закон движения точки по прямой L.
2.10 Нормальное (нормированное) уравнение прямой
Пусть существует прямая L. Проведем вектор , перпендикулярный , через начало координат. Р - точка пересечения прямой и нормали.
На нормали введем положительное направление от О к Р.
Пусть - полярный угол нормали,
- полярный угол вектора . Обозначим |ОР| = р. Выберем на прямой точку М (х, у). Проекция вектора на нормаль определяется как
npn= p (14)
Найдем выражение npn через координаты точки М. Пусть - полярные координаты точки М.
npn=
.
npn= (15)
Из (1) и (2) => или (16)
Уравнение (16) - это нормальное уравнение прямой.
2.11 Расстояние от точки до прямой
Пусть М* - любая точка плоскости, d - её расстояние от данной прямой.
Определение. Отклонением точки М* от данной прямой называется число (+d), если М* лежит по ту сторону от прямой, куда указывает положительное направление нормали, и (-d) - в обратном случае.
= ±d
Теорема. Пусть точка М* (х*, у*) произвольная точка плоскости, L - прямая, заданная уравнением xcosб + ysinб - р = 0. Отклонение точки М* от этой прямой задается формулой
. (17)
Доказательство. Проекция точки М* на нормаль - точка . Отклонение точки М* от прямой
д= PQ = OQ - OP.
Но OQ = npn, а ОР = р д = npn* - р
npn= .
Таким образом, отклонение точки М* от прямой легко вычисляется, если прямая задана нормальным уравнением. Достаточно лишь подставить в нормальное уравнение прямой координаты точки.
Пусть прямая задана общим уравнением: Ах + Ву + С = 0, а
x cosб + y sinб - р = 0 - её нормальное уравнение.
Поскольку два уравнения определяют одну прямую, их коэффициенты должны быть пропорциональны. Уравнение
(18)
совпадает с нормальным уравнением. Тогда
;
.
Отсюда можно найти :
- нормирующий множитель уравнения прямой.
Определим знак нормирующего множителя:
µС = - р < 0.
Следовательно, знак µ противоположен знаку С в уравнении. (Если С = 0 - знак µ произвольный).
2.12 Уравнение пучка прямых
Определение. Совокупность всех прямых, проходящих через некоторую точку S (х0, у0), называется пучком прямых с центром S.
Теорема. Пусть и - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке S,
б и в - числа не равные нулю одновременно. Тогда
б (А1х + В1у + С1) + в (А2х + В2у + С2) = 0 (*)
это уравнение прямой, проходящей через точку S.
Доказательство.
Докажем, что соотношение (*) является уравнением 1-ой степени.
Запишем его в виде
и покажем, что и не обращаются в ноль одновременно.
Докажем от противного:
пусть .
тогда и .
Следовательно, . Но этого не может быть, т.к. по условию прямые пересекаются. Наше предположение оказалось неверно, и не равны нулю одновременно, т.е. равенство (*) - уравнение с двумя переменными (х, у). Это уравнение 1-ой степени, которое определяет прямую. Остается доказать, что эта прямая проходит через точку S. Пусть х0, у0 - координаты точки S. Они удовлетворяют каждому из двух уравнений прямых, следовательно, для любых значений и выполняется равенство
б (А1х0 + В1у0 + С1) + в (А2х0 + В2у0 + С2) = 0. (**)
Значит, все прямые, определяемые уравнением (*) при различных значениях и , проходят через точку S. Теорема доказана.
Пусть требуется найти прямую пучка (*), проходящую через заданную точку М* (х*, у*). Должно выполняться равенство
б (А1х*+В1у*+С1) + в (А2х*+В2у*+С2) = 0.
Для любого значения можно принять . Тогда из уравнения
А1х*+В1у*+С1+ л (А2х*+В2у*+С2) = 0 можно найти , а уравнение
А1х+В1у+С1 + л (А2х+В2у+С2) = 0 определяет искомую прямую.
2.13 Примеры задач на тему "прямая на плоскости"
Задача 1. Расстояние от точки до прямой.
Пусть прямая L задана уравнением . Точка М* (4,3) - произвольная точка плоскости. Найти отклонение и расстояние точки М* от прямой L.
Решение. Приведем уравнение прямой к нормальному виду. Найдем нормирующий множитель:
.
Умножив уравнение прямой на нормирующий множитель, получим нормальное уравнение прямой:
.
Подставив в нормальное уравнение прямой координаты точки М*, получим отклонение точки от прямой:
.
Расстояние .
Задача 2. Проекция точки на прямую.
Найти проекцию точки Р (4,9) на прямую, проходящую через точки А (3, 1) и В (5,2).
Решение.
1). Построим прямую L1, проходящую через две заданные точки:
.
2). Через точку Р (4,9) проведем прямую L2, перпендикулярную прямой L1.
Используем уравнение . Угловой коэффициент k найдем из условия перпендикулярности прямых:
.
Уравнение прямой L2: .
3). Найдем точку пересечения прямых L1 и L2. Для этого решим систему уравнений, задающих эти прямые.
=> .
Проекцией точки Р на прямую L1 является точка P1 (7,3).
Задача 3. Дана прямая . Составить уравнение прямой L "в отрезках".
Решение. Уравнение прямой преобразуем к виду
и разделим на (-15):
.
Точки пересечения данной прямой с координатными осями (-5, 0) и (0,3).
2.14 Векторное произведение векторов
Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки.
Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор такой, что:
1) ,
2) и , (14)
3) образуют правую тройку векторов.
Понятие векторного произведения также пришло из механики: если - это сила, приложенная в точке М, вектор =, то векторное произведение - это момент силы относительно точки О.
(15)
2.15 Свойства векторного произведения
Геометрические свойства
1. Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны:
||.
Доказательство. Пусть угол между векторами и равен .
a) Докажем, что
.
или 1800 .
б) Докажем, что
.
если .
Если , или .
2. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Доказательство. Из курса геометрии
Из свойства 2 следует, что , где - единичный вектор, перпендикулярный векторам и и образующий с ними правую тройку:
а) =1,б) , ,
в) , , - правая тройка.
Алгебраические свойства
3. Антикоммутативность: =
Доказательство. Модули векторов и равны по определению векторного произведения. Проверим их направление:
а) || равенство выполняется;
б) и не параллельны. Но || по определению векторного произведения, тогда либо , либо . Пусть , а . Тройка векторов правая, а тройка - левая. Следовательно, и = .
4. Ассоциативность относительно умножения на число.
,
проверяем модуль:
а) , ,
где - угол между векторами и , а - угол между векторами и .
=>
поверяем направление:
б) если
если и .
5. Дистрибутивность относительно сложения векторов
2.16 Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
Теорема 1. Пусть векторы и имеют координаты
.
Векторное произведение этих векторов имеет координаты
. (16)
Можно расписать определители:
(16')
или представить в виде
. (16'')
Доказательство. Рассмотрим векторные произведения базисных векторов:
(17)
.
Разложим векторы и по базису :
.
На основании свойств векторного произведения мы можем перемножать правые части почленно:
с учетом формул (17).
Пример 1. Найти координаты векторного произведения векторов
.
Решение. Пусть .
.
Пример 2: Даны три точки: .
Найти площадь треугольника АВС ().
Решение.
.
Найдем координаты векторов .
.
.
2.17 Смешанное произведение трёх векторов
Даны при произвольных вектора .
Определение. Если результат векторного произведения скалярно умножить на вектор , то - это смешанное произведение векторов .
Геометрический смысл смешанного произведения
Теорема 2. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенному на приведённых к общему началу векторах, взятому со знаком <+>, если - правая тройка векторов, и со знаком <->, если тройка - левая.
Если векторы - компланарны, то объем равен нулю, и .
Доказательство. Пусть S - площадь параллелограмма, построенного на векторах , - единичный вектор, перпендикулярный к векторам и образующий с ними правую тройку. (Вектор - орт векторного произведения .)
Из геометрического свойства 2 векторного произведения
(18)
- высота параллелепипеда, построенного на векторах , с основанием S.
, а , если правая тройка, то есть той же ориентации, что и .
, а , если тройка левая.
Если векторы - компланарны, то .
Следствие 1.
.
Доказательство. Скалярное произведение векторов коммутативно, следовательно
.
По теореме 2:
, .
Далее будем обозначать смешанное произведение , так как .
Следствие 2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.
Выражение смешанного произведения через координаты векторов
Теорема 3. Пусть векторы имеют в ортонормированном базисе координаты . Тогда смешанное произведение этих векторов можно представить в виде
.
Доказательство. .
По теореме о векторном произведении:
.
Умножим векторное произведение скалярно на вектор :
.
По следствию 2 необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя, составленного из координат векторов:
компланарны.
Пример 3. Даны четыре точки: . Найти объем тетраэдра АВСD.
Решение. Объем тетраэдра равен одной шестой объема параллелепипеда с теми же основанием и высотой:
.
Координаты векторов .
По теореме 3
.
Примеры решения задач по теме: "Векторная алгебра".
Задача 1. Разложить вектор по векторам
Решение. Разложить вектор по векторам - значит представить его в виде
(1)
где - неизвестные пока числа. Переходя в равенстве (1) к координатам векторов, получим
Как известно у равных векторов равны соответствующие координаты,
(2)
Решив систему (2), найдём . Следовательно, .
Задача 2. Найти вектор коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
Решение. В силу коллинеарности векторов и вектор можно представить в виде где - пока неизвестный множитель. Для его определения используем второе условие:
.
Отсюда , поэтому .
Задача 3. Найти вектор , перпендикулярный векторам и и образующий с осью Ох тупой угол, если .
Решение. Найдём вектор
.
Так как перпендикулярен векторам и , то он коллинеарен вектору . Следовательно, .
По условию т.е. или . Вектор образует тупой угол с осью Ох, поэтому его проекция на эту ось должна быть отрицательной, отсюда и .
Поверхности в пространстве 40
Плоскость 41
Неполные уравнения плоскости 43
Уравнение плоскости в "отрезках" 44
Угол между плоскостями 45
Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой 45
Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. 46
Расстояние от точки до плоскости 47
Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду 48
Примеры задач на тему "Плоскость" 49
2.18 Поверхности в пространстве
Пусть - переменные.
Выражение называется уравнением, если оно выполняется не для любых значений .
Уравнению поверхности удовлетворяют только точки поверхности и никакие другие точки пространства.
Определение. Поверхность - это геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению .
Пример: уравнение задает сферу с центром в точке (), радиусом .
Алгебраические поверхности определяются в декартовой системе координат алгебраическими уравнениями вида:
Уравнение - общее уравнение первой степени.
Плоскость
Теорема. В декартовой системе координат каждая плоскость определяется уравнением первой степени. И обратно: в декартовой системе координат каждое уравнение первой степени определяет плоскость.
Доказательство. Пусть существует произвольная плоскость . Пусть точка . Пусть задан вектор . Пусть - произвольная точка пространства с переменными координатами. Условие принадлежности точки М плоскости - это перпендикулярность векторов и :
.
Выразим условие принадлежности т. к плоскости через координаты векторов и .
Условие перпендикулярности векторов:
(*)
это и есть уравнение плоскости , поскольку ему удовлетворяют только точки плоскости. Преобразуем его:
= 0 или
. (1)
Уравнение (1) - это общее уравнение плоскости. Таким образом, плоскость действительно определяется уравнением первой степени.
Докажем второе утверждение. Пусть дано произвольное уравнение первой степени (1):
.
Пусть - решение данного уравнения.
Тогда равенство - тождество. (2)
Вычтем тождество (2) из уравнения (1), получим
. (3)
Это уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и имеющей нормаль (см. уравнение (*)).
Уравнение (1) равносильно уравнению (3), т.к. они получаются друг из друга путем почленного вычитания тождества. Следовательно, уравнение (1) является уравнением той же плоскости. Теорема доказана.
Рассмотрим два общих уравнения плоскостей. Пусть они определяют одну и ту же плоскость
(4)
Тогда нормали и коллинеарны, а, следовательно, коэффициенты уравнений пропорциональны: .
Умножим первое уравнение системы на и вычтем его из второго уравнения. Получим: .
Вывод. Если два уравнения определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны.
2.19 Неполные уравнения плоскости
Неполные уравнения получаются, когда какие-либо коэффициенты уравнения равны нулю.
1. D=0, - плоскость проходит через начало координат.
2. A=0, , плоскость параллельна оси Ох.
3. B=0, плоскость параллельна оси .
4. С=0, плоскость параллельна оси .
5. A=0, B=0 плоскость параллельна плоскости .
6. A=0, C=0 плоскость параллельна плоскости .
7. B=0, C=0 плоскость параллельна плоскости .
8. A=B=D=0 Это плоскость .
9. A=C=D=0 Плоскость .
10. B=C=D=0 Плоскость .
2.20 Уравнение плоскости в "отрезках"
Пусть дано общее уравнение плоскости. Преобразуем это уравнение, разделив его на (-D):
,
. (5)
Уравнение (5) - это уравнение плоскости "в отрезках". Коэффициенты a, b, с определяют отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.
2.21 Угол между плоскостями
Пусть заданы две плоскости и , имеющие нормали соответственно . Угол между плоскостями определяется как угол между нормалями к этим плоскостям.
. (6)
Условие параллельности двух плоскостей - это условие коллинеарности нормалей:
.
Условие перпендикулярности плоскостей - это перпендикулярность нормалей:
.
2.22 Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой
Даны три точки, не лежащие на одной прямой: , .
Пусть - произвольная точка пространства.
Точка принадлежит плоскости () тогда и только тогда, когда векторы компланарны.
Условие компланарности трех векторов - это равенство нулю их смешанного произведения:
. (7)
Уравнение (7) - это уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
2.23 Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Размещено на http://www.allbest.ru/
Пусть существует плоскость . Проведем нормаль через начало координат О. Пусть заданы - углы, образованные нормалью с осями координат. . Пусть - длина отрезка нормали до пересечения с плоскостью. Считая известными направляющие косинусы нормали , выведем уравнение плоскости .
Пусть ) - произвольная точка плоскости. Вектор единичной нормали имеет координаты . Найдем проекцию вектора на нормаль.
.
Поскольку точка М принадлежит плоскости, то
.
(8)
Это и есть уравнение заданной плоскости, называющееся нормальным.
2.24 Расстояние от точки до плоскости
Пусть дана плоскость , М* - точка пространства, d - её расстояние от плоскости.
Определение. Отклонением точки М* от плоскости называется число (+d), если M* лежит по ту сторону от плоскости, куда указывает положительное направление нормали , и число (-d), если точка расположена по другую сторону плоскости:
.
Теорема. Пусть плоскость с единичной нормалью задана нормальным уравнением:
.
Пусть М* - точка пространства Отклонение т. M* от плоскости задаётся выражением
. (9)
Доказательство. Проекцию т. * на нормаль обозначим Q. Отклонение точки М* от плоскости равно
.
;
;
(9)
Правило. Чтобы найти отклонение т. M* от плоскости, нужно в нормальное уравнение плоскости подставить координаты т. M*. Расстояние от точки до плоскости равно .
2.25 Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду
Пусть одна и та же плоскость задана двумя уравнениями:
- общее уравнение,
- нормальное уравнение.
Поскольку оба уравнения задают одну плоскость, их коэффициенты пропорциональны:
.
Первые три равенства возведем в квадрат и сложим:
.
Отсюда найдем - нормирующий множитель:
. (10)
Умножив общее уравнение плоскости на нормирующий множитель, получим нормальное уравнение плоскости:
.
2.26 Примеры задач на тему "Плоскость"
Пример 1. Составить уравнение плоскости , проходящей через заданную точку (2,1,-1) и параллельной плоскости .
Решение. Нормаль к плоскости : . Поскольку плоскости параллельны, то нормаль является и нормалью к искомой плоскости . Используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку (3), получим для плоскости уравнение:
Ответ:
Пример 2. Основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость , является точка. Найти уравнение плоскости .
Решение. Вектор является нормалью к плоскости . Точка М0 принадлежит плоскости. Можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через заданную точку (3):
Ответ:
Пример 3. Построить плоскость , проходящую через точки и перпендикулярную плоскости : .
Следовательно, чтобы некоторая точка М (x, y, z) принадлежала плоскости , необходимо, чтобы три вектора были компланарны:
=0.
Осталось раскрыть определитель и привести полученное выражение к виду общего уравнения (1).
Пример 4. Плоскость задана общим уравнением:
.
Найти отклонение точки от заданной плоскости.
Решение. Приведем уравнение плоскости к нормальному виду.
,
.
Подставим в полученное нормальное уравнение координаты точки М*.
.
Ответ: .
Пример 5. Пересекает ли плоскость отрезок .
Решение. Чтобы отрезок АВ пересекал плоскость, отклонения и от плоскости должны иметь разные знаки:
.
Пример 6. Пересечение трех плоскостей в одной точке.
.
Система имеет единственное решение, следовательно, три плоскости имеют одну общую точку.
Пример 7. Нахождение биссектрис двугранного угла, образованного двумя заданными плоскостями.
Пусть и - отклонение некоторой точки от первой и второй плоскостей.
На одной из биссектральных плоскостей (отвечающей тому углу, в котором лежит начало координат) эти отклонения равны по модулю и знаку, а на другой - равны по модулю и противоположны по знаку.
1)
это уравнение первой биссектральной плоскости.
2)
это уравнение второй биссектральной плоскости.
Пример 8. Определение местоположения двух данных точек и относительно двугранных углов, образованных данными плоскостями.
Пусть . Определить: в одном, в смежных или в вертикальных углах находятся точки и .
1) Находим и , и - это отклонения точек А и В от плоскостей и .
а). Если и лежат по одну сторону от и от , то они лежат в одном двугранном углу.
б). Если и лежат по одну сторону от и по разные от , то они лежат в смежных углах.
в). Если и лежат по разные стороны от и , то они лежат в вертикальных углах.
Линии в пространстве. Прямая в пространстве 53
Канонические уравнения прямой в пространстве 54
Параметрические уравнения прямой 56
Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки 56
Угол между двумя прямыми в пространстве 57
Угол между прямой и плоскостью 57
Условие принадлежности двух прямых одной плоскости 58
Некоторые задачи на построение прямых и плоскостей 59
Примеры решения задач по теме "Аналитическая геометрия" 65
2.27 Линии в пространстве. Прямая в пространстве
В аналитической геометрии каждая линия рассматривается как пересечение двух поверхностей и соответственно определяется заданием двух уравнений.
Пусть F1 (x, y, z) =0 и F2 (x, y, z) =0 - уравнения двух поверхностей.
Система уравнений определяет линию, являющуюся их пересечением.
Следовательно, прямую можно задать системой двух уравнений плоскостей:
(1)
Это возможно только в том случае, когда плоскости не совпадают и не параллельны, т.е. когда нормали 1= и 2= не коллинеарны.
Система (1) - это общее уравнение прямой в пространстве.
Через каждую прямую проходит бесконечное множество плоскостей (пучок плоскостей).
Определение. Cовокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L, называется пучком плоскостей с центром в L.
Умножим уравнения системы (1) соответственно на коэффициенты и , одновременно не равные нулю.
- уравнение плоскости, проходящей через прямую L.
(Докажите самостоятельно аналогично доказательству для пучка прямых)
Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку , называется связкой плоскостей с центром в точке M0.
2.28 Канонические уравнения прямой в пространстве
Пусть - направляющий вектор прямой L, а - точка, принадлежащая прямой. Пусть - точка с переменными координатами.
Чтобы точка принадлежала прямой L, вектор должен быть коллинеарным вектору :
. (2)
Уравнения (2) - это канонические уравнения прямой в пространстве. Пусть прямая L задана общим уравнением:
Найти канонические уравнения прямой L.
1). Найдем точку . Для этого нужно задать одну из координат, а две другие определить из решения системы (1).
2). Найдем направляющий вектор прямой .
и и .
, по определению векторного произведения
.
Зная координаты точки, принадлежащей прямой, и координаты ее направляющего вектора, можно составить канонические уравнения прямой в виде (2).
2.29 Параметрические уравнения прямой
Получаются из канонических уравнений прямой. Пусть
.
Тогда можно записать три уравнения:
(3)
Система (3) - это параметрические уравнения прямой L, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор . Параметрические уравнения прямой имеют физический смысл: они описывают движение точки вдоль заданной прямой из начального положения , где - проекции вектора скорости точки на координатные оси.
2.30 Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
Пусть заданы две точки, лежащие на прямой: и .
В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор :
.
Подставляем в канонические уравнения (2) координаты одной из точек, например М1, и координаты направляющего вектора:
. (4)
Получили уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
2.31 Угол между двумя прямыми в пространстве
Определение угла между двумя прямыми сводится к определению угла между их направляющими векторами:
(5)
Составьте самостоятельно условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
2.32 Угол между прямой и плоскостью
Пусть заданы плоскость : Ax + By + Cz + D = 0
и прямая L: .
Пусть - угол между нормалью к плоскости 1= и направляющим вектором прямой . Тогда угол между плоскостью и прямой L - дополнительный к этому углу: . Тогда
. (6)
1). Условие параллельности прямой и плоскости: =0
2). Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
3). Условие принадлежности прямой плоскости. Пусть - любая точка прямой. Чтобы прямая лежала в плоскости должны выполняться два условия:
а) направляющий вектор прямой должен быть перпендикулярен нормали к плоскости:
=0,б) произвольная точка прямой должна лежать в плоскости:
.
2.33 Условие принадлежности двух прямых одной плоскости
Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Пусть прямые заданы каноническими уравнениями:
: ; : .
Для принадлежности прямых и одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора , и были компланарны:
. (7)
Очевидно, что в этом случае прямые или параллельны, или пересекаются.
Для того чтобы прямые пересекались, нужно, чтобы выполнялось условие (7), а направляющие векторы прямых не были параллельны, то есть нарушалось хотя бы одно из равенств:
.
2.34 Некоторые задачи на построение прямых и плоскостей
Задача 1. Найти уравнение плоскости , проходящей через точку и перпендикулярной заданной прямой : .
Кратко: -?: , .
Решение.
Т.к. , то нормалью к плоскости можно считать направляющий вектор прямой: = . Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через заданную точку.
: .
Задача 2. Найти уравнение плоскости , проходящей через заданную прямую
: и точку .
Кратко. -?: , .
По условию задачи нам известны две точки, лежащие в плоскости: , , и вектор , параллельный плоскости. Произвольная точка будет принадлежать плоскости, если векторы будут компланарны:
.
Это и есть уравнение искомой плоскости. Раскрыв определитель, можно получить общее уравнение плоскости.
Задача 3. Построить плоскость , проходящую через две заданные параллельные прямые :
и : .
-?: , , .
Эта задача может решаться аналогично предыдущей. Известны две точки и , лежащие в плоскости, и вектор ( или ), параллельный плоскости. Произвольная точка будет принадлежать плоскости, если выполняется условие компланарности трех векторов:
- это уравнение искомой плоскости.
Аналогично решается задача построения плоскости , проходящей через две пересекающиеся прямые.
Задача 4. Найти уравнение прямой , проходящей через заданную точку и перпендикулярной плоскости :
Решение. Так как прямая L перпендикулярна плоскости , то ее направляющий вектор параллелен нормали к плоскости. Следовательно, нормаль к плоскости может служить направляющим вектором прямой L. Запишем каноническое уравнение прямой:
.
Задача 5. Построить прямую , перпендикулярную двум скрещивающимся прямым.
: и : ,
и проходящую через заданную точку .
Решение. Так как прямая L перпендикулярна к прямым L1 и L2, то ее направляющий вектор можно найти как векторное произведение направляющих векторов этих прямых:
.
Тогда можно составить каноническое уравнение искомой прямой:
.
Задача 6. Найти точку пересечения прямой :
и плоскости .
Решение. Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, нужно решить совместно уравнения прямой и плоскости :
Для этого приведем уравнение прямой к параметрическому виду:
(*) и подставим выражения в уравнение плоскости.
Решим полученное уравнение с одной неизвестной t, а найденное значение подставим в (*). Полученные значения будут координатами искомой точки пересечения.
Задача 7. Через точку провести прямую, перпендикулярную заданной прямой :
.
Решение.
1). Сначала через точку проведем плоскость , перпендикулярную прямой :
.
2) Найдем точку пересечения прямой и плоскости : . Для этого решим систему уравнений прямой и плоскости:
3). Через две точки и проведем прямую L:
.
Задача 8. Найти проекцию точки на плоскость : .
...Подобные документы
Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Биссектриса углов между прямыми. Деление отрезка в заданном отношении. Виды неполных уравнений. Понятие направляющего вектора. Расстояние от точки до прямой.
презентация [490,5 K], добавлен 10.11.2014Возможные случаи ориентации прямой и плоскости для заданного уравнения. Условия их перпендикулярности и параллельности. Скалярное произведение перпендикулярных векторов. Координаты точки, лежащей на прямой. Угол между прямой и плоскостью, его определение.
презентация [65,2 K], добавлен 21.09.2013Метод координат. Основные задачи аналитической геометрии на прямой и на плоскости. Основные линии второго порядка. Алгебраическая и геометрическая интерпретация векторов. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве. Общее уравнение плоскости.
учебное пособие [687,5 K], добавлен 04.05.2011Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно горизонтальной, фронтальной и профильной прямым. Угол в точке пересечения прямой с плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Метод прямоугольного треугольника.
курсовая работа [647,0 K], добавлен 14.11.2014Перпендикулярные прямые в пространстве. Определение и признак прямой, перпендикулярной к плоскости. Теорема о перпендикулярности двух параллельных, двух перпендикулярных прямых к плоскости. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.
презентация [160,5 K], добавлен 20.11.2014Уравнения линии на плоскости, их формы. Угол между прямыми, условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и главные геометрические свойства.
лекция [160,8 K], добавлен 17.12.2010Написание уравнения прямой, проходящей через определенную точку и удаленной от начала координат на заданное расстояние. Расчет длины высот параллелограмма. Построение плоскости и прямой, определение точки пересечения прямой и плоскости и угла между ними.
контрольная работа [376,1 K], добавлен 16.06.2012Понятие параллельности как отношения между прямыми. Случаи расположения прямой и плоскости. Признаки параллельности прямой и плоскости. Основные свойства двух прямых. Отсутствие общих точек у прямой и плоскости. Признаки параллельности плоскостей.
презентация [1,5 M], добавлен 14.10.2014Особенности применения координатного метода при изучении стереометрии в 10-11-х классах. Определение расстояния от точки до прямой и до плоскости в пространстве, а также между скрещивающимися прямыми. Нахождение углов между двумя прямыми и плоскостями.
статья [2,1 M], добавлен 04.12.2012Способы задания прямой на плоскости. Уравнение с угловым коэффициентом. Рассмотрение частных случаев. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Построение графика прямой, проходящей через две точки. Рассмотрение примера.
презентация [104,9 K], добавлен 21.09.2013Общее и каноническое уравнение прямой, декартова прямоугольная система. Перпендикулярность вектора к прямой и параметрические уравнения. Угловой коэффициент и наклон прямой к оси. Тангенс угла наклона и представление отрезка, отсекаемого линией.
лекция [124,0 K], добавлен 17.12.2011Перпендикулярные прямые в пространстве. Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Признаки перпендикулярности плоскостей. Построение перпендикуляра в многомерных пространствах.
презентация [1,6 M], добавлен 14.12.2012Метод координат как глубокий и мощный аппарат. Основные особенности декартовых координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Понятие вектора как направленного отрезка. Рассмотрение координат вектора и важнейших в аналитической геометрии вопросов.
курсовая работа [573,7 K], добавлен 27.08.2012Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной заданному вектору, плоскости в отрезках, проходящей через три точки. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
презентация [106,9 K], добавлен 21.09.2013Определение связи между полярными и прямоугольными координатами. Рассмотрение уравнений прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Представление в исследуемой системе координат спирали Архимеда. Построение графиков функций.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 10.02.2012Аналитическая геометрия. Декартова система координат, линии на плоскости и кривые второго порядка. Поверхности в трехмерном пространстве. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Элементы математического анализа. Основные правила комбинаторики.
отчет по практике [1,1 M], добавлен 15.11.2014Понятие числовой прямой. Типы числовых промежутков. Определение координатами положения точки на прямой, на плоскости, в пространстве, система координат. Единицы измерения для осей. Определение расстояния между двумя точками плоскости и в пространстве.
реферат [123,9 K], добавлен 19.01.2012Доказательство теоремы о том, что любая точка перпендикуляра, проходящего через середину данного отрезка, равноудалена от его концов, и что если данная точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на прямой, перпендикулярной данному отрезку.
презентация [71,5 K], добавлен 02.12.2010Правые и левые ориентации. Стороны прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Деформации базисов и ориентации. Отношение одноименности отличных от нуля векторов прямой, деформируемости базисов. Задание направления движения по окружности в плоскости.
контрольная работа [448,0 K], добавлен 09.04.2016Способы определения плоскости. Прямые в пространстве, признаки их параллельности, пересечения, скрещивания. Принадлежность прямой плоскости, их параллельность и скрещивание. Перпендикулярность прямой и плоскости. Взаимодействие плоскостей в пространстве.
презентация [1,4 M], добавлен 13.04.2016
