Аналитическая геометрия
Декартова, полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат на плоскости. Линии и прямые на плоскости. Угол между прямыми. Общее уравнение прямой. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей. Угол между прямой и плоскостью.
| Рубрика | Математика |
| Вид | методичка |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.06.2014 |
| Размер файла | 687,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Решение.
а) Найдем прямую , проходящую через точку и перпендикулярную плоскости :
.
б) Найдем точку пересечения прямой L и плоскости : (см. задачу 6).
Точка М1 - это искомая проекция.
Задача 9. Найти проекцию точки на прямую :
.
Решение.
а) Проводим плоскость : , .
: .
б) - это искомая проекция.
Задача 10. Найти проекцию прямой : на плоскость .
а) Через прямую проводим плоскость : . Используем условие компланарности трех векторов:
.
После преобразований получим общее уравнение плоскости
.
б) Искомая прямая задается пересечением двух плоскостей: и :
Осталось привести уравнение к каноничному виду.
Задача 11. Найти расстояние от точки до прямой .
а) Найти точку - проекцию точки на прямую .
б) Длина вектора - это искомое расстояние.
Задача 12. Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми и .
а) Через прямую проводим плоскость : .
б) Находим расстояние от любой точки до .
2.35 Примеры решения задач по теме "Аналитическая геометрия"
Задача 1. Даны координаты вершин треугольника A (2;
2), B (-2; - 8), C (-6; - 2).
Требуется составить уравнение высоты BD и определить острый угол между этой высотой и стороной BC.
Решение. Найдём уравнение стороны AC по формуле
или , где угловой коэффициент .
Уравнение высоты BD:
,
где и - координаты точки В. Здесь .
y+8=-2 (x+2) или 2x+y+12=0.
Запишем уравнение стороны BC и найдём
: или
3x+2y+22=0, .
Тогда, поскольку угол DBC= должен быть острым,
и .
Задача 2. Найти проекцию т. M (-3; 3;
3) на прямую
Решение. Через т. М проводим плоскость, перпендикулярную данной прямой. Точка пересечения этой плоскости с данной прямой и будет искомой точкой N.
Направляющий вектор прямой
.
Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно заданной прямой:
4 (x + 3) + 2 (y - 3) - 2 (z - 3) = 0 или 2x - y + z + 6 = 0.
Теперь нужно найти точку пересечения этой плоскости и данной прямой. Для этого решим систему уравнений прямой и плоскости. Решаем методом Крамера.
.
Искомая точка N (-3; 1;1).
Задача 3. Найти точку М пересечения прямой и плоскости 2x + y + 7z - 3 = 0.
Решение. Чтобы найти координаты точки пересечения, нужно решить систему уравнений прямой и плоскости. Это удобно сделать так. Запишем уравнение прямой в параметрической форме:
Подставим выражение x, y, z через параметр t в уравнение плоскости:
2 (3t + 7) + (t + 3) - 7 (2t + 1) - 3 = 0.
Откуда получаем t = 1, поэтому точка пересечения имеет координаты
x = 3 + 7 = 10, y = 1 + 3 = 4, z = - 2 - 1 = - 3, т.е. М (10,4,3).
2.36 Кривые второго порядка
Общее уравнение кривой второго порядка в декартовой системе координат имеет вид
,
A, B, C - одновременно не равны нулю.
Важнейшие случаи общего уравнения кривой II порядка.
1. Эллипс: , (). При - окружность. ;
2. Гипербола: , () с полуосями и ;
3. Парабола: , ();
4. Пара пересекающихся прямых: , ()
, ;
5. Пара параллельных или совпадающих прямых: , ()
;
6. Точка: .
Могут быть случаи, когда нет точек, удовлетворяющих уравнению:
- мнимая кривая II порядка (эллипс мнимый);
- пара мнимых параллельных прямых.
2.36 Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
(*)
В большинстве формул теории линий второго порядка коэффициенты входят деленными на 2, т.е. буквы обозначают половину коэффициента. Первые три члена уравнения называются старшими членами.
Можно записать уравнение (*) следующим образом:
Пусть дано общее уравнение II порядка (*). Требуется упростить это уравнение путём перехода к другой системе координат (с более выгодным расположением осей):
1) добиться, чтобы число членов первой степени стало наименьшим;
2) в группе старших членов избавиться от слагаемого с произведением координат;
3) избавиться от свободного члена.
Для этого воспользуемся параллельным переносом и поворотом координатных осей.
Выведем формулы преобразования координат при параллельном переносе и повороте осей. Пусть точка имеет координаты в "старой системе координат" и - в новой системе координат, полученной путем параллельного переноса и последующего поворота осей.
Параллельный перенос координатных осей
(1)
Поворот координатных осей
Пусть ,
.
,
.
(2)
Формулы (1) и (2) задают старые координаты точки через ее координаты в новой системе.
Рассмотрим приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду на примере.
Пусть дано общее уравнение второго порядка:
. (3)
Произведем параллельный перенос координатных осей в точку по формулам (1):
.
(3')
Чтобы избавиться от членов первого порядка, приравняем коэффициенты при них к нулю:
Решив систему, найдем координаты точки S, нового начала координат: S.
Подставим эти координаты в уравнение (3'). В новых координатах уравнение примет вид:
(4)
Геометрический смысл преобразования - перенести начало координат в центр кривой.
Осталось повернуть оси, чтобы они совпали с осями симметрии кривой. Воспользуемся формулами поворота координатных осей (2).
(5)
Подбираем угол так, чтобы коэффициент при произведении стал равен нулю, т.е. решаем уравнение
.
, .
Определяем и подставляем в (5):
.
Приводим уравнение к каноническому виду, разделив все коэффициенты на 20:
. (6)
Уравнение (6) - это каноническое уравнение эллипса с полуосями 2 (по оси О) и 1 (по оси О).
2.37 Эллипс
Определение. Эллипс - это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости и есть постоянная величина. Точки и называются фокусами.
и - фокальные радиусы точки .
, ,
следовательно ,
.
Вывод уравнения эллипса
Дано: эллипс с фокусами и , - большая полуось, - половина расстояния между фокусами.
Возьмем за ось абсцисс прямую , а точку поместим на середине отрезка . Пусть - произвольная точка плоскости. Пусть , .
По определению эллипса точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда . (7)
Координаты фокусов равны соответственно , , следовательно
, .
Подставим и в (7):
+=. (8)
(8) - уравнение эллипса в заданной системе координат. Преобразуем его к виду = и возведем в квадрат обе части уравнения:
.
;
;
; возведем в квадрат еще раз:
;
;
.
Обозначим , получим .
После приведения к каноническому виду уравнение эллипса запишется так:
. (9)
Эллипс, определяемый уравнением , симметричен относительно и . - центр эллипса, и - большая и малая полуоси эллипса.
При получаем - уравнение окружности.
Определение. Эксцентриситет эллипса - отношение расстояния между фокусами к длине его большей оси: . (10)
Так как , следовательно < 1.
, следовательно, .
Определение. Две прямые, перпендикулярные к большей оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называется директрисами эллипса.
Их уравнения: и . Так как , следовательно, .
2.38 Гипербола
Определение. Гипербола - геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная большой оси гиперболы.
Эта разность по модулю должна быть меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля.
и - фокусные радиусы точки .
, (по определению) следовательно .
Гипербола состоит из двух отдельных частей, называемых ветвями.
Канонический вид уравнения
, (11)
следовательно,
.
Уравнение - это уравнение прямой с угловым коэффициентом .
При
.
Прямые называются асимптотами гиперболы. Отрезки и - оси гиперболы. Уравнение вида задает гиперболу, сопряженную с первой. Гипербола с равными полуосями называется равносторонней:
Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к расстоянию между вершинами:
. (12)
Определение. Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая ее пересекает, расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гиперболы.
Теорема. Для любой точки эллипса и гиперболы справедливо соотношение
, (13)
где - расстояние от точки до фокуса , а - расстояние до соответствующей директрисы.
2.39 Парабола
Определение. Парабола - это геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой:
. (14)
- фокус, - расстояние от фокуса до директрисы - параметр параболы, - фокальный радиус точки.
(15)
каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси О, при ветви параболы направлены вправо. Уравнение
задает параболу, симметричную относительно оси ординат, ветви которой при направлены вверх.
2.40 Примеры решения задач на тему "Кривые второго порядка"
Пример 1: Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса
Решение: Для данного эллипса и поэтому
Следовательно, фокусы имеют координаты и , эксцентриситет
Пример 2: Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса
Решение: Разделив на 36, приведем данное уравнение к виду
Отсюда следует, что большая полуось эллипса , а малая полуось .
При этом ось эллипса и его фокусы расположены на оси .
Найдем по формуле
.
Следовательно, координаты фокусов и , а его эксцентриситет
Пример 3: Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что его большая полуось , а его эксцентриситет . Найти расстояние между фокусами эллипса.
Решение: Воспользуемся формулой, выражающей эксцентриситет через отношение полуосей:
, или , откуда .
В данном случае
Следовательно, каноническое уравнение эллипса
.
Так как , то ; и расстояние между фокусами
Пример 4: Асимптоты гиперболы имеют уравнения , а расстояние между фокусами равно 20. Написать ее каноническое уравнение.
Решение: Разрешим уравнения асимптот относительно и, сравнив с общей формулой асимптот, найдем отношение к :
Кроме того, , т.е. . Так как для гиперболы , то для нахождения и получим систему уравнений
решая которую, найдем . Следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид
Пример 5: Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку и симметрична относительно оси . Написать ее уравнение.
Решение: Так как парабола симметрична относительно оси и проходит через точку с положительной абсциссой, то она имеет вид, представленный на рис.
Подставляя координаты точки в уравнение такой параболы , получим , т.е. .
Следовательно, искомое уравнение
фокус этой параболы , уравнение директрисы
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Биссектриса углов между прямыми. Деление отрезка в заданном отношении. Виды неполных уравнений. Понятие направляющего вектора. Расстояние от точки до прямой.
презентация [490,5 K], добавлен 10.11.2014Возможные случаи ориентации прямой и плоскости для заданного уравнения. Условия их перпендикулярности и параллельности. Скалярное произведение перпендикулярных векторов. Координаты точки, лежащей на прямой. Угол между прямой и плоскостью, его определение.
презентация [65,2 K], добавлен 21.09.2013Метод координат. Основные задачи аналитической геометрии на прямой и на плоскости. Основные линии второго порядка. Алгебраическая и геометрическая интерпретация векторов. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве. Общее уравнение плоскости.
учебное пособие [687,5 K], добавлен 04.05.2011Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно горизонтальной, фронтальной и профильной прямым. Угол в точке пересечения прямой с плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Метод прямоугольного треугольника.
курсовая работа [647,0 K], добавлен 14.11.2014Перпендикулярные прямые в пространстве. Определение и признак прямой, перпендикулярной к плоскости. Теорема о перпендикулярности двух параллельных, двух перпендикулярных прямых к плоскости. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.
презентация [160,5 K], добавлен 20.11.2014Уравнения линии на плоскости, их формы. Угол между прямыми, условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и главные геометрические свойства.
лекция [160,8 K], добавлен 17.12.2010Написание уравнения прямой, проходящей через определенную точку и удаленной от начала координат на заданное расстояние. Расчет длины высот параллелограмма. Построение плоскости и прямой, определение точки пересечения прямой и плоскости и угла между ними.
контрольная работа [376,1 K], добавлен 16.06.2012Понятие параллельности как отношения между прямыми. Случаи расположения прямой и плоскости. Признаки параллельности прямой и плоскости. Основные свойства двух прямых. Отсутствие общих точек у прямой и плоскости. Признаки параллельности плоскостей.
презентация [1,5 M], добавлен 14.10.2014Особенности применения координатного метода при изучении стереометрии в 10-11-х классах. Определение расстояния от точки до прямой и до плоскости в пространстве, а также между скрещивающимися прямыми. Нахождение углов между двумя прямыми и плоскостями.
статья [2,1 M], добавлен 04.12.2012Способы задания прямой на плоскости. Уравнение с угловым коэффициентом. Рассмотрение частных случаев. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Построение графика прямой, проходящей через две точки. Рассмотрение примера.
презентация [104,9 K], добавлен 21.09.2013Общее и каноническое уравнение прямой, декартова прямоугольная система. Перпендикулярность вектора к прямой и параметрические уравнения. Угловой коэффициент и наклон прямой к оси. Тангенс угла наклона и представление отрезка, отсекаемого линией.
лекция [124,0 K], добавлен 17.12.2011Перпендикулярные прямые в пространстве. Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Признаки перпендикулярности плоскостей. Построение перпендикуляра в многомерных пространствах.
презентация [1,6 M], добавлен 14.12.2012Метод координат как глубокий и мощный аппарат. Основные особенности декартовых координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Понятие вектора как направленного отрезка. Рассмотрение координат вектора и важнейших в аналитической геометрии вопросов.
курсовая работа [573,7 K], добавлен 27.08.2012Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной заданному вектору, плоскости в отрезках, проходящей через три точки. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
презентация [106,9 K], добавлен 21.09.2013Определение связи между полярными и прямоугольными координатами. Рассмотрение уравнений прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Представление в исследуемой системе координат спирали Архимеда. Построение графиков функций.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 10.02.2012Аналитическая геометрия. Декартова система координат, линии на плоскости и кривые второго порядка. Поверхности в трехмерном пространстве. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Элементы математического анализа. Основные правила комбинаторики.
отчет по практике [1,1 M], добавлен 15.11.2014Понятие числовой прямой. Типы числовых промежутков. Определение координатами положения точки на прямой, на плоскости, в пространстве, система координат. Единицы измерения для осей. Определение расстояния между двумя точками плоскости и в пространстве.
реферат [123,9 K], добавлен 19.01.2012Доказательство теоремы о том, что любая точка перпендикуляра, проходящего через середину данного отрезка, равноудалена от его концов, и что если данная точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на прямой, перпендикулярной данному отрезку.
презентация [71,5 K], добавлен 02.12.2010Правые и левые ориентации. Стороны прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Деформации базисов и ориентации. Отношение одноименности отличных от нуля векторов прямой, деформируемости базисов. Задание направления движения по окружности в плоскости.
контрольная работа [448,0 K], добавлен 09.04.2016Способы определения плоскости. Прямые в пространстве, признаки их параллельности, пересечения, скрещивания. Принадлежность прямой плоскости, их параллельность и скрещивание. Перпендикулярность прямой и плоскости. Взаимодействие плоскостей в пространстве.
презентация [1,4 M], добавлен 13.04.2016
