Зображення інверсних напівгруп частковими підстановками

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ЗОБРАЖЕННЯ ІНВЕРСНИХ НАПІВГРУП ЧАСТКОВИМИ ПІДСТАНОВКАМИ

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

Волошина Тетяна Володимирівна

Київ-2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, Доцент Ганюшкін Олександр Григорович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри алгебри та математичної логіки

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Понізовський Йосип Соломонович, Санкт-Петербурзький державний гідрометеорологічний університет, професор кафедри математики

доктор фізико-математичних наук, професор Усенко Віталій Михайлович, Луганський державний педагогічний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри алгебри та математичного аналізу

Провідна установа: Львівський національний університет імені Івана Франка, кафедра алгебри і топології, м. Львів.

Захист відбудеться " 27 " травня 2002 року о 14.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 02127, м. Київ-127, пр. акад. Глушкова, 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий " 25 " квітня 2002 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Плахотник В.В.

АННОТАЦІЇ

Волошина Т.В. Зображення інверсних напівгруп частковими підстановками. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, 2002.

Дисертаційна робота присвячена вивченню зображень частковими підстановками скінченної симетричної інверсної напівгрупи ISn, моногенних інверсних напівгруп та напівгрупи PGL(V) усіх часткових лінійних перетворень скінченновимірного векторного простору.

Запропоновано конструкцію побудови замкнених інверсних піднапівгруп із найменшим ідемпотентом у довільній інверсній напівгрупі. Вона використана для опису всіх з точністю до еквівалентності ефективних транзитивних зображень моногенних інверсних напівгруп різних типів, напівгруп ISn та PGL(V) у термінах замкнених інверсних піднапівгруп. Встановлено необхідну умову точності ефективного транзитивного зображення інверсної напівгрупи з умовою обриву спадних ідемпотентних ланцюгів. Узагальнено поняття імпримітивного підстановочного зображення групи на випадок інверсної напівгрупи.

Для перерахованих вище інверсних напівгруп дано опис всіх із точністю до еквівалентності ефективних транзитивних зображень, досліджено існування точного ефективного транзитивного зображення, описані всі примітивні зображення.

Ключові слова: інверсна напівгрупа, моногенна інверсна напівгрупа, інверсна симетрична напівгрупа, ефективне транзитивне зображення, часткова підстановка, примітивне зображення, замкнена інверсна піднапівгрупа, часткове лінійне перетворення, скінченновимірний векторний простір.

Волошина Т.В. Представления инверсных полугрупп частичными подстановками. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, г. Киев, 2002.

Диссертационная работа посвящена изучению представлений частичными подстановками конечной симметрической инверсной полугруппы ISn, моногенных инверсных полугрупп и полугруппы PGL(V) всех частичных линейных преобразований конечномерного векторного пространства.

В диссертации рассмотрены различные подходы к теории транзитивных представлений инверсных полугрупп. Предложена конструкция построения замкнутых инверсных подполугрупп с наименьшим идемпотентом в произвольной инверсной полугруппе. С ее помощью получено полное описание замкнутых инверсных подполугрупп в моногенных инверсных полугруппах разных типов, в полугруппах ISn и PGL(V). Для описания замкнутых инверсных подполугрупп в моногенных инверсных полугруппах устанавливаются свойства подполугруппы идемпотентов для каждого типа моногенной инверсной полугруппы.

Установлены условия, которым должны удовлетворять замкнутые инверсные подполугруппы, для того, чтобы эффективные транзитивные представления инверсной полугруппы на множествах правых w -классов по этими подполугруппам были эквивалентными. Дано описание всех с точностью до эквивалентности эффективных транзитивных представлений моногенных инверсных полугрупп разных типов; получен критерий эквивалентности двух эффективных транзитивных представлений полугрупп ISn и PGL(V) в терминах замкнутых инверсных подполугрупп.

В частности, доказано, что два представления моногенной инверсной полугруппы на множествах правых w -классов по разным собственным замкнутым инверсным подполугруппам эквивалентны только тогда, когда обе подполугруппы содержат только идемпотенты. Получен критерий эквивалентности представлений моногенной инверсной полугруппы на множествах правых w -классов по идемпотентным замкнутым инверсным подполугруппам.

Получено необходимое условие точности эффективного транзитивного представления инверсной полугруппы, удовлетворяющей условие обрыва убывающих идемпотентных цепей. Это позволило существенно сузить область поиска точных эффективных транзитивных представлений инверсных полугрупп разных типов. Дано описание всех точных эффективных транзитивных представлений моногенных инверсных полугрупп разных типов. Получен критерий точности представления инверсной симметрической полугруппы ISn и полугруппы PGL(V) всех частичных линейных отображений конечномерного векторного пространства V на множестве правых w -классов по замкнутой инверсной подполугруппе; доказана эквивалентность всех точных эффективных транзитивных представлений этих полугрупп.

Обобщено понятие импримитивного подстановочного представления группы на случай инверсной полугруппы. Получены необходимые и достаточные условия импримитивности эффективных транзитивных представлений инверсных полугрупп, удовлетворяющих определенные условия. Дано описание всех примитивных подстановочных представлений моногенных инверсных полугрупп разных типов, полугрупп ISn и PGL(V) в терминах замкнутых инверсных подполугрупп.

Ключевые слова: инверсная полугруппа, моногенная инверсная полугруппа, инверсная симметрическая полугруппа, эффективное транзитивное представление, частичная подстановка, примитивное представление, замкнутая инверсная подполугруппа, частичное линейное преобразование, конечномерное векторное пространство.

Voloshyna T.V. Representations of inverse semigroups by partial permutations. - Manuscript.

Thesis of a dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics by speciality 01.01.06 - algebra and number theory. - Kyiv national Taras Shevchenko University, Kyiv, 2002.

The dissertation is devoted to investigation of representations of the finite symmetric inverse semigroup ISn, monogenic inverse semigroups and the semigroup PGL(V) of all partial linear transformations of a finite-dimensional vector space by partial permutations.

A method of construction of closed inverse subsemigroups with the least idempotent in any inverse semigroup is offered. This method is used for description of all effective transitive representations of monogenic inverse semigroups of different types, semigroups ISn and PGL(V) in terms of closed inverse subsemigroups up to equivalence. The necessary condition of faithfulness of an effective transitive representation of an inverse semigroup satisfying the descending chain condition for idempotents is received. The concept of imprimitive permutational representation of a group is generalized for a case of an inverse semigroup.

For set forth above inverse semigroups the description of all effective transitive representations up to equivalence is given. The existence of a faithful effective transitive representation is investigated. All primitive representations are described.

Key words: inverse semigroup, monogenic inverse semigroup, symmetric inverse semigroup, effective transitive representation, partial permutation, primitive representation, closed inverse subsemigroup, partial linear transformation, finite-dimensional vector space.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

інверсний напівгрупа транзитивний зображення

Поняття напівгрупи відіграє важливу роль у різних розділах математики, перш за все тому, що операція множення перетворень асоціативна. Внаслідок цього кожна замкнена відносно операції множення множина перетворень є напівгрупою. Оскільки, з точністю до ізоморфізму, напівгрупами перетворень вичерпуються всі напівгрупи, теорію напівгруп можна розглядати як абстрактну теорію перетворень. Таким чином асоціативність множення перетворень лежить у фундаменті тісних зв'язків теорії напівгруп з різними областями сучасної математики - геометрією, функціональним аналізом, теорією графів, теорією динамічних систем, абстрактною теорією автоматів та ін.

Хоча перші роботи про напівгрупи датуються самим початком XX століття (Сегьє, Діксон) і навіть кінцем XIX століття (у роботі Г.Фробеніуса розглядався один спеціальний клас моногенних напівгруп), змістовна історія теорії напівгруп починається лише з кінця 20-их років минулого століття з робіт українського математика А.К.Сушкевича. Підсумком досліджень А.К.Сушкевича в теорії напівгруп стала його відома монографія. Періодом остаточного формування теорії напівгруп як розділу сучасної алгебри можна вважати проміжок часу з кінця 30-тих і до початку 60-тих років минулого століття. У цей час вивченням напівгруп почали активно займатися такі математики як А.І.Мальцев, Д.Ріс, М.Шютценберже, А.Кліффорд, Г.Тьєррен, Дж.Грін, Р.Круазо та ін. У публікаціях цього періоду, присвячених напівгрупам, містяться результати, які зараз стали вже класичними. Підсумком цього періоду розвитку теорії напівгруп стали монографія Є.С.Ляпіна та двотомної монографії А.Кліффорда і Г.Престона.

У 50 роки починається систематичне дослідження окремих важливих класів напівгруп, зокрема регулярних та інверсних. Поняття інверсної напівгрупи було введено В.В.Вагнером у 1952 і незалежно Г.Престоном у 1954 році. З того часу теорія інверсних напівгруп перетворилася у самостійний розділ теорії напівгруп із власною проблематикою та методами досліджень. Не останню роль у зростанні інтересу до інверсних напівгруп відіграє їх близькість до груп. В.В.Вагнер називав ці напівгрупи “узагальненими групами”, оскільки було встановлено ізоморфність кожної інверсної напівгрупи піднапівгрупі напівгрупи всіх часткових взаємно однозначних відображень деякої множини. Цей факт носить назву теореми Вагнера-Престона, і є аналогом відомої теореми Келі в теорії груп. Вона відводить інверсній симетричній напівгрупі IS(M) роль у теорії інверсних напівгруп, аналогічну ролі симетричної групи S(M) у теорії груп.

Актуальність теми. Вивчення зображень алгебраїчних систем певного класу алгебраїчними системами якогось іншого класу є важливим методом як вивчення властивостей алгебраїчних систем вихідного класу, так і встановлення зв'язків між системами різних типів. Загальновідома роль, яку відіграло вивчення лінійних зображень груп. Дослідження різних типів зображень напівгруп відігравали велику роль у теорії напівгруп уже на початковому етапі її становлення як самостійного розділу алгебри. Крім того, останнім часом помітно зріс інтерес до більш глибокого вивчення конкретних напівгруп. Відзначимо, зокрема, такі роботи .

Теорію зображень інверсних напівгруп взаємно однозначними частковими перетвореннями множини започаткували В.В.Вагнер5 і Г.Престон. Вже згадана теорема Вагнера-Престона вказує на те, що вивчення таких зображень (ми будемо називати їх зображеннями частковими підстановками множини) є природним для інверсних напівгруп.

Один із підходів до теорії зображень інверсних напівгруп взаємно однозначними частковими перетвореннями множини, який буде суттєво використовуватися у даній роботі, розроблено Б.М.Шайном. Одночасно і незалежно від Б.М.Шайна інший підхід до теорії таких зображень інверсних напівгруп було розроблено в роботі Й.С.Понізовського.

Незважаючи на все це зображення частковими підстановками конкретних інверсних напівгруп та властивості цих зображень вивчені недостатньо. Тому вивчення підстановочних зображень інверсних напівгруп і повний опис таких зображень для класичних напівгруп належить до одного з центральних напрямків розвитку алгебраїчної теорії напівгруп, і тема дисертаційної роботи є актуальною.

Зв'язок теми з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана із тематикою досліджень кафедри алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка, зокрема із держбюджетною темою “Теорія алгебраїчних систем та їх зображень і її застосування” (номер державної реєстрації 0197U003160)

Мета роботи. Метою дисертаційної роботи є:

Дати опис замкнених інверсних піднапівгруп із найменшим ідемпотентом у довільній інверсній напівгрупі. Використовуючи цю конструкцію описати усі ефективні транзитивні зображення моногенних інверсних напівгруп різних типів, скінченної симетричної інверсної напівгрупи ISn та напівгрупи PGL(V) усіх часткових лінійних відображень скінченновимірного векторного простору у термінах замкнених інверсних піднапівгруп.

Описати з точністю до еквівалентності усі ефективні транзитивні зображення моногенних інверсних напівгруп різних типів у термінах замкнених інверсних піднапівгруп, встановити критерій еквівалентності двох таких зображень для інверсних напівгруп ISn та PGL(V).

Одержати необхідну умову точності ефективного транзитивного зображення інверсної напівгрупи з умовою обриву спадних ідемпотентних ланцюгів. Дати опис усіх точних ефективних транзитивних зображень моногенних інверсних напівгруп різних типів, інверсних напівгруп ISn та PGL(V).

Узагальнити поняття імпримітивності підстановочного зображення групи на випадок зображення інверсної напівгрупи . Встановити необхідні і достатні умови імпримітивності ефективних транзитивних зображень інверсних напівгруп, що задовольняють певні умови. Дати опис усіх примітивних підстановочних зображень моногенних інверсних напівгруп різних типів, інверсних напівгруп ISn та PGL(V) у термінах замкнених інверсних піднапівгруп.

Об'єкт дослідження - зображення інверсних напівгруп частковими підстановками.

Предмет дослідження - зображення конкретних інверсних напівгруп (напівгруп ISn, PGL(V) та моногенних інверсних напівгруп) частковими підстановками.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи теорії напівгруп та теорії груп. При дослідженні зображень напівгрупи PGL(V) усіх часткових лінійних відображень скінченновимірного векторного простору V у підрозділах 3.4, 4.4, 5.4 та 6.4 використовуються також методи лінійної алгебри.

Наукова новизна. У дисертаційній роботі автором вперше одержано нові теоретичні результати. Основними серед них є наступні:

Запропоновано конструкцію побудови усіх замкнених інверсних піднапівгруп із найменшим ідемпотентом у довільній інверсній напівгрупі. Описані усі замкнені інверсні піднапівгрупи у моногенних інверсних напівгрупах різних типів, у скінченній симетричній інверсній напівгрупі ISn та у напівгрупі PGL(V) усіх часткових лінійних відображень скінченновимірного векторного простору V.

Описані з точністю до еквівалентності усі ефективні транзитивні зображення моногенних інверсних напівгруп різних типів у термінах замкнених інверсних піднапівгруп; встановлено критерій еквівалентності двох таких зображень для напівгруп ISn та PGL(V).

Встановлено необхідну умову точності ефективного транзитивного зображення інверсної напівгрупи з умовою обриву спадних ідемпотентних ланцюгів. Дано опис усіх точних ефективних транзитивних зображень моногенних інверсних напівгруп різних типів, напівгруп ISn та PGL(V).

Узагальнено поняття імпримітивності підстановочного зображення групи на випадок зображення інверсної напівгрупи. Встановлені необхідні і достатні умови імпримітивності ефективних транзитивних зображень інверсних напівгруп, що задовольняють певні умови. Дано опис усіх примітивних підстановочних зображень моногенних інверсних напівгруп різних типів, напівгруп ISn та PGL(V) у термінах замкнених інверсних піднапівгруп.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають перш за все теоретичне значення і є певним внеском у теорію інверсних напівгруп. Отримані результати можуть бути використані при подальшому дослідженні різних інверсних напівгруп, а також при вивченні зображень частковими підстановками інверсних напівгруп, що задовольняють більш загальні умови.

Апробація роботи. Результати дисертаційної роботи доповідались на засіданнях семінару з теорії груп та напівгруп при кафедрі алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка (неодноразово); Конференції молодих алгебраїстів, присвяченій 40-річчю кафедри алгебри та математичної логіки, м. Київ (вересень 1999р.), Третій міжнародній алгебраїчній конференції в Україні, м. Суми (липень 2001р.), засіданні Київського алгебраїчного семінару (грудень 2001р.)

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 4 наукових статтях у фахових виданнях, а також у 1 тезах доповіді наукової конференції. Список цих робіт подано в кінці автореферату.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи отримано автором особисто.

Структура і об'єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів основної частини, висновків і списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації складає 120 сторінок друкованого тексту. Список використаних джерел обсягом 4 сторінки містить 47 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі подано загальну характеристику роботи, обґрунтовано актуальність теми, охарактеризовано наукову новизну одержаних результатів.

Перший розділ дисертації присвячений історії досліджень та огляду літератури з питань, пов'язаних з тематикою дисертації.

Другий розділ носить допоміжний характер і містить основні поняття та результати, які використовуються в роботі. Розглянуто також різні підходи до теорії транзитивних зображень інверсних напівгруп, дано опис орбіт зображення Вагнера-Престона у термінах відношень Гріна.

Наведемо означення та результати, потрібні для формулювання основних результатів.

Напівгрупа S називається інверсною, якщо для кожного a О S існує єдиний b О S, для якого aba = a і bab = b. Такий елемент будемо позначати через a -1 і називати інверсним до a. Напівгрупу усіх часткових взаємно однозначних відображень деякої множини X в саму себе будемо називати інверсною симетричною напівгрупою на множині X, і позначати IS(X) або ISn, якщо n = | X | < Ґ. Елементи IS(X) будемо називати частковими підстановками множини X.

Через w будемо позначати природний частковий порядок на S:a w b : Ы aa -1 = ab -1. Підмножину H Н S інверсної напівгрупи S будемо називати замкненою, якщо {hОS | $p ОH p w h} = H.

Через E(S) будемо позначати множину ідемпотентів напівгрупи S, а через E min (S) - множину усіх примітивних ідемпотентів інверсної напівгрупи S. Якщо | Emin | = 1, то єдиний елемент з Emin будемо позначати emin.

Підстановочним зображенням інверсної напівгрупи S будемо називати довільний її гомоморфізм j в IS(X). Для a О S через dom a і ran a позначаються відповідно область визначення та область значень a як часткової підстановки.

Зображення j : S ® IS(X) інверсної напівгрупи S називають транзитивним на множині X, якщо для кожної пари x1, x2 О X існує часткова підстановка h О H множини X, що h ( x1 ) = x2 ; і ефективним, якщо dom x = X.

Й.С.Понізовський 14 у 1964 році довів, що ефективне зображення інверсної напівгрупи S є прямою сумою однозначно визначеної родини ефективних транзитивних зображень цієї напівгрупи. Тому природно при дослідженні ефективних зображень інверсних напівгруп спочатку обмежитися розглядом лише транзитивних зображень.

Одним із підходів до теорії транзитивних зображень інверсних напівгруп, який буде суттєво використовуватися у даній роботі, розроблено Б.М.Шайном13.

Нехай H - замкнена інверсна піднапівгрупа інверсної напівгрупи S, pH:= {(s, t )О S ґ S | st -1О H } - головна часткова права конгруенція, X - множина pH -класів, які надалі будемо називати правими w -класами. Зображення jH : S ® IS(X) інверсної напівгрупи S частковими підстановками множини X, де дія jH (S ) визначається правилом: для x О X і s О S xjH (s ) = (xs )w, називається зображенням напівгрупи S на правих w -класах за замкненою інверсною піднапівгрупою H. У 1962 році Б.М.Шайн13 довів, що кожне ефективне транзитивне зображення інверсної напівгрупи S еквівалентне зображенню напівгрупи на множині правих w -класів за деякою замкненою інверсною піднапівгрупою.

Одночасно і незалежно від Б.М.Шайна інший підхід до теорії транзитивних зображень інверсних напівгруп було розроблено в роботі Й.С.Понізовського14. Цей підхід у багатьох питаннях значно конструктивніший і прозоріший, однак він застосований не до всіх інверсних напівгруп, а лише для тих, у яких довільна послідовність виду e1S Й e2S Й ј, де ei О E(S), містить скінченну кількість різних членів.

У підрозділі 2.3. розглядаються точні підстановочні зображення інверсних напівгруп, зокрема, зображення Вагнера-Престона з одноіменної теореми. Встановлено, що орбіти цього зображення інверсної напівгрупи збігаються з її R-класами (теорема 2.9). Також має місце теорема.

Теорема 2.10. Нехай Oe - орбіта зображення Вагнера-Престона інверсної напівгрупи S, що містить ідемпотент e. Тоді обмеження зображення Вагнера-Престона на орбіту Oe еквівалентне зображенню je напівгрупи S на множині правих w -класів за замкненою інверсною піднапівгрупою ( e)w.

Крім того, в даному підрозділі отримано допоміжні результати, які використовуються для опису всіх точних ефективних транзитивних зображень інверсних напівгруп у розділі 5.

Підрозділ 2.4. містить основні означення та факти, які використовуються при вивченні моногенних інверсних напівгруп.

У третьому розділі описано конструкцію побудови усіх замкнених інверсних піднапівгруп із найменшим ідемпотентом у довільній інверсній напівгрупі. З її допомогою здійснено повний опис замкнених інверсних піднапівгруп у моногенних інверсних напівгрупах різних типів, у скінченній симетричній інверсній напівгрупі ISn та у напівгрупі PGL(V) усіх часткових лінійних відображень скінченновимірного векторного простору V.

У підрозділі 3.1. основним результатом є теорема 3.1.

Нехай (S, N) - точне підстановочне зображення інверсної напівгрупи S на непорожній множині N. Для довільної підмножини M Н N позначимо через =N \ M, а через S(M) - симетричну групу на M.

Виберемо довільну непорожню підмножину M Н N, для якої множина SM ={t О S : M t = M} непорожня. Розглянемо гомоморфізм jM : SM ® S(M), визначений таким чином: SM ' t a tЅM. Позначимо HM =jM (SM).

Теорема 3.1. Нехай S - інверсна напівгрупа, що діє точно на непорожній множині N. Для довільної підмножини M Н N, такої, що SM ={t О S : M t = M}№Ж, і для довільної підгрупи H Ј HM j M-1(H) є замкненою інверсною піднапівгрупою напівгрупи S. З іншого боку, будь-яка власна замкнена інверсна піднапівгрупа напівгрупи S, що має найменший ідемпотент, буде мати такий вигляд.

Підрозділ 3.2. присвячено опису замкнених інверсних піднапівгруп у моногенних інверсних напівгрупах різних типів. Спочатку у пункті 3.2.1. встановлюються властивості піднапівгрупи ідемпотентів для кожного типу моногенної інверсної напівгрупи, які використовуються при доведенні теорем 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 та 3.6.

Нагадаємо, що інверсна напівгрупа S називається інверсною моногенною, якщо існує такий a О S, що найменша інверсна піднапівгрупа з S, яка містить a, збігається з S. Елемент a називається інверсним твірним напівгрупи S, і будемо писати S = бaс.

Із точністю до ізоморфізму кожна моногенна інверсна напівгрупа або вільна, або належить до одного і тільки до одного з наступних типів (натуральні числа k, l вибираються найменшими з можливих)15:

типу (k, l) , якщо виконується співвідношення a k = a k+l;

типу (k, w ) , якщо виконується співвідношення a ka -1 = a -1a k ;

типу (k, Ґ ) , якщо виконується співвідношення a k = a k+1a -1 ;

Для моногенної інверсної напівгрупи S = бaс будемо позначати ідемпотенти ek = a ka -k, fk = a -ka k для k і 1 і e0 = f0 = L - приєднану одиницю напівгрупи.

Легко переконатися, що моногенна інверсна напівгрупа S типу (k, l), де l > 1, і типу (k, w) містить єдиний примітивний ідемпотент, який будемо позначати через emin. Розглянемо для S точне підстановочне зображення (S, N), і нехай M = dom emin. Тоді SM = S. Розглянемо гомоморфізм jM : SM ® S(M), визначений таким чином: SM ' t a tЅM.

Теорема 3.2. Якщо S - моногенна інверсна напівгрупа типу (k, l), де l > 1, то jM (S ) є циклічною групою Cl порядку l. Для довільних l1| l і H = Cl1 Ј Cl напівгрупа j M-1(H) є замкненою інверсною піднапівгрупою напівгрупи S. Кожна замкнена інверсна піднапівгрупа S або має такий вигляд, або міститься в E(S) і має вигляд H = (e)w, де e О E(S) \ { emin }.

Теорема 3.3. H є замкненою інверсною піднапівгрупою моногенної інверсної напівгрупи S типу (k, 1) тоді і лише тоді, коли H має вигляд H = ( e)w, де e О E (S ). Усі такі власні замкнені інверсні піднапівгрупи ідемпотентні.

Теорема 3.4. Якщо S - моногенна інверсна напівгрупа типу (k, w), то jM (S ) є нескінченною циклічною групою, і для довільної підгрупи H Ј jM (S ) напівгрупа j M-1(H) є замкненою інверсною піднапівгрупою напівгрупи S. Кожна замкнена інверсна піднапівгрупа напівгрупи S має такий вигляд або міститься в E(S) і має вигляд H = (e)w, де e О E(S) \ { emin }.

Напівгрупи ідемпотентів моногенної інверсної напівгрупи типу (k, Ґ) та вільної моногенної інверсної напівгрупи нескінченні і не задовольняють умову обриву спадних ідемпотентних ланцюгів. Тому теорема 3.1 не дає повного опису замкнених інверсних піднапівгруп для цих інверсних напівгруп.

Теорема 3.5. Нехай S =<a> - моногенна інверсна напівгрупа типу (k, Ґ) і Kl - найменша інверсна піднапівгрупа S, яка містить al і E(S). Тоді для кожного натурального l Kl буде замкненою, і піднапівгрупами виду Kl вичерпуються всі замкнені інверсні піднапівгрупи напівгрупи S, які не містяться в E(S). Усі ідемпотентні замкнені інверсні піднапівгрупи мають вигляд (e)w, де e О E(S), або збігаються з E(S).

Теорема 3.6. Нехай S =<a> - вільна моногенна інверсна напівгрупа і Kl - найменша інверсна піднапівгрупа з S, яка містить al і E(S). Тоді для кожного натурального l Kl буде замкненою, і піднапівгрупами виду Kl вичерпуються всі замкнені інверсні піднапівгрупи напівгрупи S, які не містяться в E(S). Кожна ідемпотентна замкнена інверсна піднапівгрупа є піднапівгрупою одного з наступних видів:

(e)w, де e О E(S);

Heo := (f1, f2, f3, …)w, Hei := (ei, eif1, eif2, …)w, де i О N;

Hfo := (e1, e2, e3, …)w, Hfi := (fi, fie1, fie2, …)w, де i О N;

E(S).

Усі перераховані піднапівгрупи є замкненими та інверсними, і містяться в E(S).

Підрозділ 3.3. присвячено опису замкнених інверсних піднапівгруп у скінченній симетричній інверсній напівгрупі ISn. Позначимо N = { 1, 2, …, n}.

Теорема 3.7. Для кожної підмножини M Н N і підгрупи G Ј S (M ) піднапівгрупа H = G Е IS буде замкненою інверсною піднапівгрупою в ISn. З іншого боку, кожна замкнена інверсна піднапівгрупа в ISn має такий вигляд.

У підрозділі 3.4. розглядаються замкнені інверсні піднапівгрупи напівгрупи PGL(V) усіх часткових лінійних відображень скінченновимірного векторного простору V.

Множину усіх лінійних взаємно однозначних відображень виду s : W1 ® W2, де W1, W2 - підпростори однакової розмірності n-вимірного векторного простору V над полем P, будемо називати напівгрупою часткових лінійних відображень скінченновимірного векторного простору V і позначати PGL(V). Для групи GL(V) усіх невироджених лінійних операторів у векторному просторі V справедливе включення GL(V) Н PGL(V).

Областю визначення довільного ідемпотента із напівгрупи PGL(V) є деякий підпростір векторного простору V. Природний частковий порядок w на множині ідемпотентів напівгрупи PGL(V) збігається з відношенням включення на відповідній множині областей визначення ідемпотентів. Оскільки кожен спадний ланцюг W1 Й W2 Й … Й Wk підпросторів n-вимірного векторного простору V обривається не пізніше, ніж на ( n+1)-ому кроці, кожен спадний ланцюг ідемпотентів із PGL(V) теж обривається.

Теорема 3.9. Для кожного підпростору W векторного скінченновимірного простору V і кожної підгрупи G групи невироджених лінійних перетворень GL(W) множина H = { s О PGL(V) | s|W О G } є замкненою інверсною піднапівгрупою інверсної напівгрупи PGL(V). Кожна замкнена інверсна піднапівгрупа інверсної напівгрупи PGL(V) має такий вигляд.

У четвертому розділі встановлюються умови, які повинні задовольняти замкнені інверсні піднапівгрупи, для того, щоб ефективні транзитивні зображення інверсної напівгрупи на множинах правих w -класів за цими піднапівгрупами були еквівалентними. Дано опис з точністю до еквівалентності усіх ефективних транзитивних зображень моногенних інверсних напівгруп різних типів; встановлено критерій еквівалентності двох ефективних транзитивних зображень для напівгруп ISn та PGL(V).

Нагадаємо, що два зображення j : S ® ISХ і y : S ® ISY напівгрупи S називаються еквівалентними, якщо існує таке взаємно однозначне відображення q множини X на Y , що для x, xў ОX і s О S рівність xj(s) = xў виконується в тому і тільки в тому випадку, коли (q (x))y(s) = q (xў).

У підрозділі 4.1. встановлено необхідну умову еквівалентності зображень інверсної напівгрупи на множинах правих w -класів за замкненими інверсними піднапівгрупами, що містять найменші ідемпотенти.

Теорема 4.1. Нехай (S, N) - точне підстановочне зображення інверсної напівгрупи на непорожній множині N, K1 = jM1-1( H1 ) та K2 = jM2-1( H2 ) - її замкнені інверсні піднапівгрупи, що містять найменші ідемпотенти, області визначення яких M1 і M2 відповідно. Якщо зображення інверсної напівгрупи S на множині правих w -класів за замкненими інверсними піднапівгрупами K1 та K2 еквівалентні, то H1 і H2 подібні як групи підстановок.

У підрозділі 4.2. описано нееквівалентні ефективні транзитивні зображення моногенної інверсної напівгрупи S = <a>. У підрозділі 3.2. (лема 3.8) доведено, що у моногенних інверсних напівгрупах усіх типів є замкнені інверсні піднапівгрупи вигляду ( e )w, де e О E( S ), що містять виключно ідемпотенти. Поряд з ними у моногенних інверсних напівгрупах усіх типів, окрім типу (k, 1) існують також неідемпотентні замкнені інверсні піднапівгрупи. Критерії еквівалентності зображень інверсної напівгрупи S = <a> за такими піднапівгрупами різні.

Замкнені інверсні піднапівгрупи інверсної напівгрупи S будемо називати спряженими, якщо зображення напівгрупи S на множинах правих w -класів за цими піднапівгрупами еквівалентні.

Доведено (твердження 4.2), що два зображення моногенної інверсної напівгрупи S = <a> за різними власними замкненими інверсними піднапівгрупами K1 і K2 еквівалентні лише тоді, коли обидві піднапівгрупи K1 і K2 містять лише ідемпотенти. Тому далі розглядаються лише ідемпотентні замкнені інверсні піднапівгрупи.

Теорема 4.3. Нехай S = <a> - моногенна інверсна напівгрупа типу (k, a), де a О N И {w, Ґ }, g i = a ni a -ni -mi a mi , i = 1,2, - два різні ідемпотенти з S, Ki = ( gi )w. Піднапівгрупи K1 і K2 будуть спряженими (і зображення S на множині правих w -класів за цими піднапівгрупами - еквівалентними) тоді і тільки тоді, коли ni + mi і k, i = 1,2 або n1+m1 = n2+m2.

Теорема 4.4. Нехай S = <a> - вільна моногенна інверсна напівгрупа, g i = a ni a -ni -mi a mi , i = 1,2, - два різні ідемпотенти з S, Ki = ( gi )w. Піднапівгрупи K1 і K2 будуть спряженими (і зображення S на множині правих w -класів за цими піднапівгрупами - еквівалентними) тоді і тільки тоді, коли n1+m1 = n2+m2.

Теорема 4.5. Нехай S = <a> - вільна моногенна інверсна напівгрупа.

Зображення S на множинах правих w -класів за піднапівгрупами Heo := (f1, f2, f3, …)w, Hei := (ei, eif1, eif2, …)w, i О N, еквівалентні.

Зображення S на множинах правих w -класів за піднапівгрупами Hfo := (e1, e2, e3, …)w, Hfi := (fi, fie1, fie2, …)w, i О N, еквівалентні.

Зображення S на множинах правих w -класів за піднапівгрупами Hei , Hfj , i, jОN И {0}, нееквівалентні.

Зображення S на множинах правих w -класів за піднапівгрупами (e)w, де eО E( S ), і (L )w, де L := { ei | iО N } Н E(S), e1 > e2 > e3 > ЧЧЧ, нееквівалентні.

У підрозділі 4.3. отримано критерій еквівалентності двох ефективних транзитивних зображень скінченної інверсної симетричної напівгрупи ISn на множинах правих w -класів за замкненими інверсними піднапівгрупами.

Теорема 4.6. Зображення інверсної симетричної напівгрупи ISn на множинах правих w -класів за замкненими інверсними піднапівгрупами H1 = G1 Е IS і H2 = G2 Е IS, де G1 Ј S (M1 ), G2 Ј S (M2 ), будуть еквівалентними тоді і тільки тоді, коли G1 і G2 подібні групи підстановок.

Підрозділ 4.4. присвячено встановленню критерію еквівалентності двох ефективних транзитивних зображень напівгрупи усіх часткових лінійних відображень скінченного векторного простору PGL(V) на множинах правих w -класів за замкненими інверсними піднапівгрупами.

Теорема 4.7. Зображення інверсної напівгрупи PGL(V) на множині правих w -класів за замкненими інверсними піднапівгрупами H1 = { s О PGL(V) | s|W1 О G1 } і H2 = { s О PGL(V) | s|W2 О G2 }, де G1 Ј GL (W1 ), G2 Ј GL (W2 ), будуть еквівалентні тоді і тільки тоді, коли існує такі лінійний ізоморфізм t : W1 ® W2 і ізоморфізм y : G1 ® G2, що для всіх g1 О G1, a О W1 t ( a g1 ) = (t ( a )) y (g1) .

У п'ятому розділі встановлено необхідну умову точності ефективного транзитивного зображення інверсної напівгрупи, що задовольняє умову обриву спадних ідемпотентних ланцюгів. Дано опис усіх точних ефективних транзитивних зображень моногенних інверсних напівгруп різних типів, напівгруп ISn та PGL(V).

Нагадаємо, що зображення j інверсної напівгрупи S називається точним, якщо воно є ін'єктивним. У підрозділі 5.1. розглядаються зображення інверсної напівгрупи S на множині правих w -класів за деякою замкненою інверсною піднапівгрупою H.

Теорема 5.1. Нехай S - інверсна напівгрупа і кожний спадний ланцюг ідемпотентів із S обривається, а jH - її точне зображення на множині правих w -класів за замкненою інверсною піднапівгрупою H. Тоді найменший ідемпотент піднапівгрупи H буде примітивним для напівгрупи S.

Теорема 5.1 дозволяє суттєво звузити область пошуку точних ефективних транзитивних зображень інверсних напівгруп різних типів.

Наступний підрозділ 5.2. присвячений опису усіх точних ефективних транзитивних зображень моногенних інверсних напівгруп різних типів.

Теорема 5.2. Моногенні інверсні напівгрупи типу (k, w) і (k, l), l > 1, мають точне ефективне транзитивне зображення тоді й лише тоді, коли k = 1.

Теорема 5.3. Зображення моногенної інверсної напівгрупи S = < a > типу (k, 1) на множині правих w -класів за піднапівгрупою H буде точним тоді і тільки тоді, коли H = (e)w, де ідемпотент e - примітивний, тобто має вигляд e = e i fk - i - 1, 0Ј i Ј k - 1 . Для різних ідемпотентів такі зображення будуть еквівалентними.

Теорема 5.4. Моногенна інверсна напівгрупа S = < a > типу (k, 8) має точне ефективне транзитивне зображення тоді і тільки тоді, коли k = 1. Зображення моногенної інверсної напівгрупи S = < a > типу (1, 8) на множині правих w -класів за замкненою інверсною піднапівгрупою H буде точним тоді і тільки тоді, коли H = (e)w, де e О E (S ). Для різних ідемпотентів такі зображення будуть еквівалентними.

Теорема 5.5. Вільна моногенна інверсна напівгрупа S = < a > точного ефективного транзитивного зображення не має.

У підрозділі 5.3. отримано критерій точності зображення інверсної симетричної напівгрупи ISn на множині правих w -класів за замкненою інверсною піднапівгрупою; встановлено, що усі точні ефективні транзитивні зображення напівгрупи ISn еквівалентні її стандартному зображенню частковими підстановками множини { 1, 2, … , n }.

Теорема 5.6. Зображення інверсної симетричної напівгрупи ISn на множині правих w -класів за замкненою інверсною піднапівгрупою H = G Е IS буде точним тоді і тільки тоді, коли | M | = 1. Кожне точне ефективне транзитивне зображення напівгрупи ISn еквівалентне стандартному зображенню ISn частковими підстановками на множині { 1, 2, … , n }.

У підрозділі 5.4. отримано критерій точності зображення інверсної напівгрупи PGL(V) усіх часткових лінійних відображень скінченновимірного векторного простору на множині правих w -класів за замкненою інверсною піднапівгрупою; встановлено, що усі точні ефективні транзитивні зображення напівгрупи PGL(V) еквівалентні.

Теорема 5.7. Зображення інверсної напівгрупи PGL(V) усіх часткових лінійних відображень скінченновимірного векторного простору на множині правих w -класів за замкненою інверсною піднапівгрупою H = { s ОPGL (V ) | s |W ОG }, де G Ј GL (W ), буде точним тоді і тільки тоді, коли підпростір W - одновимірний, а G = {1}. Усі точні ефективні транзитивні зображення напівгрупи PGL(V) еквівалентні.

У шостому розділі узагальнено поняття імпримітивного зображення групи на випадок підстановочного зображення інверсної напівгрупи. Встановлено необхідні і достатні умови імпримітивності ефективних транзитивних зображень інверсних напівгруп, що задовольняють певні умови. Дано опис усіх примітивних підстановочних зображень моногенних інверсних напівгруп різних типів, напівгруп ISn та PGL(V) у термінах замкнених інверсних піднапівгруп.

Зображення ( S, X ) інверсної напівгрупи S частковими підстановками множини X будемо називати імпримітивним, якщо існує таке нетривіальне розбиття множини X = , що для довільного s О S з того, що x1, x2 належать одній підмножині Xi і x1, x2 О dom s, випливає, що s (x1), s (x2) також належать одній підмножині Xj. У противному разі зображення назвемо примітивним.

У підрозділі 6.1. встановлено необхідні і достатні умови імпримітивності ефективних транзитивних зображень інверсних напівгруп, що задовольняють певні умови.

Для замкненої інверсної піднапівгрупи H інверсної напівгрупи S DH :={ s О S | ss -1 О H } позначимо область визначення конгруенції pH. Розглянемо зображення jH інверсної напівгрупи S на множині X правих w -класів за замкненою інверсною піднапівгрупою H. Якщо H = S, то | X | = 1 і, очевидно, відповідне зображення примітивне. Тому надалі будемо вважати H власною замкненою інверсною піднапівгрупою. Легко бачити, що H Н SM Н DH.

Теорема 6.2. Зображення інверсної напівгрупи S на множині X правих w -класів за власною замкненою інверсною піднапівгрупою H = j M-1(G), що містить найменший ідемпотент eH з dom eH = M і задовольняє умову H М SM М DH, буде імпримітивним.

Теорема 6.3. Зображення інверсної напівгрупи S на множині X правих w -класів за власною замкненою інверсною піднапівгрупою H = j M-1(G), що містить найменший ідемпотент eH з dom eH = M і задовольняє умову SM. = DH, буде примітивним тоді і тільки тоді, коли G або максимальна підгрупа групи HM :=jM (SM), або збігається з цією групою.

Теореми цього підрозділу використовуються при дослідженні підстановочних зображень різних інверсних напівгруп на предмет імпримітивності. Зокрема, підрозділ 6.2. присвячено опису усіх примітивних підстановочних зображень моногенних інверсних напівгруп різних типів.

Теорема 6.4. Зображення моногенної інверсної напівгрупи S = < a > типу (k, l) на множині правих w -класів за замкненою інверсною піднапівгрупою H буде примітивним тоді і тільки тоді, коли задовольняє одну з наступних умов:

H = S;

якщо 1 = n + m < k і H = (en fm)w;

H = j M-1(Cl1 ), де l1 - найбільший дільник l, відмінний від l.

Теорема 6.5. Зображення моногенної інверсної напівгрупи S = < a > типу (k, w) на множині правих w -класів за замкненою інверсною піднапівгрупою H буде примітивним тоді і тільки тоді, коли задовольняє одну з наступних умов:

H = S; якщо 1 = n + m < k і H = (en fm)w;

H = j M-1(< al | M >), де l - просте, M = dom emin .

Теорема 6.6. Зображення моногенної інверсної напівгрупи S = < a > типу (k, 8) на множині правих w -класів за замкненою інверсною піднапівгрупою H буде примітивним тоді і тільки тоді, коли задовольняє одну з наступних умов:

H = S; якщо 1 = n + m < k і H = (en fm)w;

...