Метод граничних значень в теорiї розширень симетричних операторiв в просторах з iндефiнiтною метрикою

Размещено на http://allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

01.01.01- математичний аналіз

МЕТОД ГРАНИЧНИХ ЗНАЧЕНЬ В ТЕОРІЇ РОЗШИРЕНЬ СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРІВ В ПРОСТОРАХ З ІНДЕФІНІТНОЮ МЕТРИКОЮ

Виконав Деркач Володимир Олександрович

Київ - 2003



АНОТАЦІЯ

Деркач В.О. Метод граничних значень в теорiї розширень симетричних операторiв в просторах з iндефiнiтною метрикою. - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.01 - математичний аналiз. - Iнститут математики НАН України, Київ, 2002.

Дисертацiя присвячена розвитку метода граничних операторiв в теорiї розширень симетричних операторiв в просторах з iндефiнiтною метрикою. Для нещiльно визначених симетричних операторiв в просторах Крейна отримано опис рiзних класiв узагальнених резольвент. Дослiджено множину самоспряжених розширень симетричного оператора, енергетична форма якого має скiнченне число вiд'ємних квадратiв, зокрема, його екстремальнi розширення розширення Фрiдрiхса i розширення Крейна-фон-Неймана) охарактерiзовано в термiнах функцiї Вейля. Отримано параметризацiю узагальнених резольвент операторiв iз скiнченним числом вiд'ємних квадратiв, при цьому iстотну роль вiдiграють введенi в дисертацiї новi узагальненi класи функцiй Стiлт'єса. Побудовано аналог теорiї зображень симетричних операторiв у просторах Крейна як з власним, так i невласним масштабним пiдпростором. Отриманi результати застосованi до повної та зрiзаної проблем моментiв в узагальнених класах Неванлiни i Стiлт'єса, до абстрактної iнтерполяцiйної проблеми i iнтерполяцiйної проблеми Шура-Неванлiни-Пiка в узагальнених класах Шура.

вейль крейн резольвента



1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним з фундаментальних розділів сучасного аналізу є теорія самоспряжених розширень симетричних операторів у гільбертовому просторі, яка знаходить застосування як в класичних задачах аналізу (проблема моментів, інтерполяційна задача Неванлінни-Піка, тощо), так і при дослідженні граничних задач для диференційних рівнянь. Підвалини цієї теорії були закладені у класичних роботах Д. Гільберта, Г. Вейля, Дж.фон Неймана, М. Стоуна і К. Фpідpіхса. Подальший розвиток ця теорія отримала в роботах М.А. Наймарка по теорії спектральних функцій симетричного оператора і М.Г. Крейна по теорії узагальнених резольвент і теорії зображень симетричного оператора. Широке застосування у роботах М.Г. Крейна отримали різні аналітичні методи. Зокрема, істотну роль відіграє введена ним Q-функція симетричного оператора, яка є унітарним інваріантом простого симетричного оператора у гільбертовому просторі.

Інший підхід до теорії самоспряжених розширень симетричних операторів пов'язаний з методом абстрактних граничних операторів, отримавшим останнього часу істотного розвитку в роботах Ф.С. Рофе-Бекетова, М.Л. Горбачука, А.В. Штрауса, А.Н. Кочубея, В.М.Брука, В.О. Михайлеця, Л.И. Вайнермана, В.Е. Лянце, О.Г. Сторожа та інших. Він грунтується на абстрактному варіанті формули Гріна і є зручним для застосування до граничних задач для дифференційних рівнянь. В рамках цього підходу в роботах В.О. Деркача и М.М. Маламуда була введена абстрактна функція Вейля симетричного оператора, яка для оператора Штурма-Ліувілля співпадає з класичною функцією Вейля-Тітчмарша, а для довільного симетричного оператора з Q-функцією М.Г. Крейна. Застосування метода граничних операторів дозволило, з одного боку спростити доведення більшості існуючих результатів в теорії розширень, а с другого - отримати нові, зокрема, описати невід'ємні самоспряжені розширення невід'ємного симетричного оператора в термінах граничного оператора і функції Вейля, отримати нову формулу для резольвентної матриці, розв'язати задачу Крейна про існування самоспряжених розширень у симетричного оператора із скінченним числом лакун.

В одній з закритих робіт Л.С. Соболева 1940 року по балистиці виникла необхідність розглядати самоспряжені оператори в просторах з індефінітною метрикою. Початок теорії таких операторів було покладено Л.С. Понтрягіним, який довів теорему про існування максимального невід'ємного інваріантного подпростору у самоспряженого оператора в просторі із скінченним від'ємним індексом. У подальшому такі простори отримали назву просторів Понтрягіна. Спектральна теорія самоспряжених операторів і теорія розширень ізометричних і симетричних операторів в просторах Понтрягіна була розвинена в роботах Й.С. Іохвідова, М.Г. Крейна и Г. Лангера. Функціональна модель циклічного самоспряженого оператора в просторах Понтрягіна була побудована П. Йонасом, Г. Лангером і Б. Тексторіусом. Інша модель, яка грунтується на теорії просторів Понтрягіна с репродуційними ядрами, була запропонована в одній з робіт Д. Алпая, П. Брайнсмы, А. Дайксмы и Х. де Сноо.

У зв'язку із задачами теорії операторних жмутків в 60-і роки отримала розвиток теорія самоспряжених операторів в просторах з нескінченним від'ємним індексом, так званих просторів Крейна. Проблеми теорії розширень симетричних операторів в просторах Крейна досліджувались в роботах Г. Лангера, П.Йонаса, А. Дайксмы, Х. де Сноо, Б. Чургуса, Б. Наймана та ін. Проте зауважимо, що можливості застосування метода Дж. фон Неймана в індефінітному випадку є обмеженими класом стандартних операторів, тобто операторів, які мають регулярний дефектний підпростір. Як відомо, навіть у просторах Понтрягіна існують симетричні оператори, які не є стандартними.

Спектральна теорія так званих дефінізовних (зокрема, невід'ємних) операторів у просторі Крейна була побудована Г. Лангером. Опис невід'ємних самоспряжених розширень щільно заданого симетричного оператора в просторі Крейна було отримано П. Йонасом і Г. Лангером. Для нещільно заданих операторів такий опис було отримано лише для операторів із одновимірним дефектом.

Одним з джерел проблем для теорії розширень симетричних операторів є класичні задачі анализу. В 60-ті роки В. Адамяном, Д. Аровим і М.Г. Крейном було показано, що задача Такагі про найкращу апроксимацію в класі раціональних функцій приводить до задачі теорії унітарних розширень ізометричного оператора в просторі Понтрягіна.

Широке коло таких задач аналіза, пов'язаних з теорією розширень симетричних операторів в просторах Понтрягіна, було розглянуто в циклі з 4-х робіт М.Г. Крейна і Г. Лангера. Опис розв'язків в ціх задачах зводиться до опису, так званих, L-резольвент деякого модельного симетричного оператора, діючого в просторі Понтрягіна. В свою чергу, для опису L-резольвент застосовується теорія L-резольвентної матриці, узагальнення якої на індефінітний випадок також було отримано М.Г. Крейном і Г. Лангером. Відмітимо однако, що аналогічні задачі в узагальнених класах Стілт'єса раніше не розглядались.

У зв'язку із сказаним виявляється актуальним дослідити можливості застосування методу граничних операторів в теорії розширень симетричних операторів в просторах з індефінітною метрикою і в теорії L-резольвентної матриці, а также застосувати отримані результати до інтерполяційних задач в узагальнених класах Неванліни, Стілт'єса і Шура.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відповідності до планів наукової роботи кафедри математичного аналізу і теорії функцій Донецького Національного Університету, держбюджетна тема 96-1/вв/19 «Гармонічний аналіз функцій і операторів», з планами співробітництва з Фінською Академією Наук (проект 49349) і в рамках INTAS (проект 93-0249) «Hilbert and Krein space operators and functional models». Напрямок досліджень, обраний в дисертації, передбачено планами наукової роботи Донецького Національного Університета.

Мета та задачі дослідження:

- застосувати метод абстрактних граничних операторів до проблем теорії розширень симетричних операторів в просторах з індефінітною метрикою,

- ввести аналог функції Вейля і в її термінах описати спектри власних розширень симетричного оператора;

- дати опис в термінах абстрактних граничних умов всіх узагальнених резольвент симетричних операторів в просторах Крейна, зокрема невід'ємних операторів або операторів, енергетична форма яких має скінченне число від'ємних квадратів;

- описати L-резольвенти симетричних операторів в просторах Крейна як для власного, так і для невласного масштабного подпростору L, дослідити властивості L-резольвентної матриці, розширити клас характеристичних функцій необмежених операторів Крейна, знайти зв'язок L-резольвентної матриці з теорією характеристичних функцій;

- застосувати отримані результати про L-резольвенти симетричних операторів до проблем аналізу, таких як індефінітні проблеми моментів Гамбургера і Стілт'єса (повні та зрізані), абстрактна проблема інтерполяції і інтерполяційна проблема Шура-Неванліни-Піка в узагальнених класах Шура.

Наукова новизна отриманих результатів.

1. Для симетричного оператора в просторі Крейна визначене поняття граничної трійки і відповідної функції Вейля. В термінах граничних операторів і функції Вейля отримано опис і характеристику спектра, власних і приєднаних векторів власних розширень симетричного оператора, з'ясовано структуру забороняючого лінеала.

2. В термінах абстрактних граничних умов отримано опис узагальнених резольвент симетричних операторів в просторах Крейна. Основна теорема про узагальнені резольвенти доводиться двома різними методами. Один з них грунтується на теоремі Азізова-Арова про реалізацію характеристичних функцій J-унітарних вузлів, інше спирається на метод зціплень граничних просторів. Всі об'єкти формули Крейна охарактеризовані в термінах граничних операторів. Застосування техніки граничних операторів дозволяє навести просту трактовку узагальненої резольвенти як розвєязку абстрактної спектральної задачі із спектральним параметром у граничній умові.

3. Для симетричних операторів, енергетична форма яких має скінченне число від'ємних квадратів визначені екстремальні розширення (розширення Фрідріхса і розширення Крейна-фон-Неймана). Отримано опис його самоспряжених розширень, з тією ж властивістю. Отримано опис узагальнених резольвент операторів із скінченним числом від'ємних квадратів, при цьому істотну роль відіграють введені в дисертації нові узагальненні класи функцій Стілт'єса.

4. Введено поняття самоспряженого операторного вузла (S-вузла) в просторі Крейна та відповідної характеристичної функції. Встановлено взаємно-однозначну відповідність між множиною S-вузлів і множиною унітарних вузлів, для якої відповідні характеристичні функції співпадають з точністю до дробно-лінійного перетворення аргумента. Побудована функціональна модель S-вузла в просторі Понтрягіна, доведена теорема множення характеристичних функцій, отримано критерій регулярності факторизації.

5. Побудовано аналог теорії зображень симетричних операторів у просторах Крейна як з власним так і невласним масштабом. Отримані формули для обчислення L-резольвентних матриць в термінах граничних операторів. Показано, що L-резольвентна матриця співпадає з характеристичною функцією деякого S-вузла, ассоційованного з масштабом L. Розв'язано зворотну задачу теорії резольвентної матриці.

6. Отримано критерій розв'язності та опис розв'язків повної та зрізаної проблем моментів в узагальнених класах Неванліни і Стілт'єса.

7. Розглянуто індефінітний варіант абстрактної інтерполяційної проблеми, що в дефінітному випадку була поставлена В. Кацнельсоном, А. Хейфецом і П. Юдицьким. Встановлено взаємно-однозначну відповідність між множиною розв'язків абстрактної інтерполяційної проблеми і множиною унітарних розширень деякого модельного ізометричного оператора. Ці результати застосовані до інтерполяційної проблеми Шура-Неванліни-Піка в узагальнених класах Шура. Отримано параметризацію множини всіх розв'язків інтерполяційної проблеми Шура-Неванліни-Піка.

Всі результати, викладені у роботі є новими.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер. Вони можуть бути використані в теорії інтерполяційних задач, в теорії сінгулярних збурень самоспряжених операторів в гільбертових просторах, в теорії граничних задач для диференційних рівнянь.

Особистий вклад здобувача. Викладені в дисертації результати отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися на таких наукових конференціях і семінарах:

· 1-й - 5-й (1990-95 г.), 9-й (1999г.) и 10-й (2000) Кримських Осінніх Математичних Школах з спектральних та еволюційних задач;

· на Міжнародному Конгресі з Індустріальної і Прикладної Математики (Гамбург, Германія, 1995),

· на Міжнародних Конференціях з Теорії Операторів (Тімішоара, Румунія, 1996; 1998)

· на міжнародній конференції «Aspects of Spectral Theory» (Відень, Австрія, 1996 г.),

· на міжнародній конференції з теорії операторів та її застосувань, присвяченій М.Г. Крейну (Одеса, 1997 г.),

· на міжнародних семінарах «International Workshop on Operator Theory and its Applications» (Гронінген, Нідерланди, 1998; м. Бордо, Франція, 2000 г.);

· на Міжнародному Семінарі ім. І.Г. Петровського (Москва, Росія, 2001);

· на Міжнародній конференції з функціонального аналізу (Киев, Україна, 2001);

· на семінарі в Інституті Математики НАН України (1993 г., 2000 г., керівники - академік НАН України Ю.М. Березанський, проф. М.Л. Горбачук);

· на семінарі з теорії операторів в Технічному університеті м. Берлін (1992 г., 1996 г., 2001 г., керівники - проф. Ферстер, проф. П. Йонас);

· на семінарі з теорії операторів у Вільному Університеті м. Амстердам (1997р.,керівники - проф. І.Ц. Гохберг, проф. М.А. Кашук);

· на семінарі з теорії операторів в Університеті м. Беер-Шева (2000 р., керівник - проф. Д. Алпай).

2. ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації, коротко викладені основні її результати та роз'яснено позначення: С - комплексна площина, D, T - одиничний круг та одиничне коло в C; dom A, ran A, ker A - область визначення, область значень, ядро оператора A; (A), (A), (A) - множина регулярних точок, точок регулярного типа і спектр оператора A; A| - звуження лінійного оператора A на лінеал L.

Розділ 1 містить огляд літератури з теорії розширень симетричних операторів у гільбертових просторах і просторах Крейна. Зокрема наводиться метод Дж. фон Неймана в теорії розширень симетричних операторів і альтернативний до нього метод граничних значень, започаткований в роботах Дж. Келкіна, М.Ш. Бірмана і М.І. Вішика, висвітлене застосування цього метода до теорії узагальнених резольвент, приведені результати робіт М.Г. Крейна, Г. Лангера в індефінітній проблемі моментів і В. Адамяна, Д. Арова і М.Г. Крейна в проблемі Шура-Такагі. Подаються необхідні для подальшого відомості про оператори у просторах з індефінітною метрікою і узагальнені класи Неванліни, Стілт'єса і Шура.

Лінійний простірз індефінітним скалярним добутком називають простором Крейна, якщо він допускає ортогональний розклад має скінченну розмірність.

Узагальнений клас Неванліни N складається з значних оператор-функцій Q(z) мероморфних в C, таких що ядро

N(z,):=

має від'ємних квадратів в області голоморфності Z(Q) функції Q(z). Останнє означає, що для довільного набора точок zZ(Q) і векторів h (одного такого набору точно ) від'ємних власних значень. Кожна функція класу N допускає інтегральне зображення

Q(z)=C+Dz+

де C=C*, D(), (t) - неспадна -значна функція.

K(w,z)= (z,)

Має від'ємних квадратів в околі . Клас співпадає із звичайним класом Шура стискаючих оператор-функцій в D. До цього класу належить добуток Бляшке-Потапова



, ,

де D, P- ортопроектори ??(j=1,…,n). Фактор називають елементарним, якщо Pмає ранг 1. Кількість елементарних множників Бляшке називають ступінню добутку Бляшке-Потапова. У відповідності до теореми Крейна-Лангера кожна функція з класу S допускає ліву факторизацію Крейна-Лангера

s(z)=, ker s{0},

де - добуток Бляшке-Потапова ступіню , а належить до класу .

Наводяться результати М.Г. Крейна, Г. Лангера і Т.Я. Азізова про операторні представлення функцій із узагальнених класів Неванліни, Стілт'єса і Шура за допомогою операторів, діючих у просторах Понтрягіна і Крейна.

Підрозділ 2.1 містить основні відомості про лінійні відношення. Лінійним відношен-ням у просторі Крейна називають підпростір A. Ототожнюючи лінійний оператор A з його графіком, будемо вважати частиною множини (0) всіх замкнених лінійних відношень в . Спряжене лінійне відношення визначається рівністю

={{g,g'}: [g', f]=[g,f'] A}.

Лінійне відношення A називають симетричним (самоспряженим) в {,[.,.]}, якщо (). Для лінійного відношення A символи dom A, ran A, ker A, (A), (A), (A) мають такий самий сенс, як і для лінійного оператора, mul A позначає многозначну частину відношення A. Дефектні підпростори симетричного відношення A

У підрозділі 2.2 вводиться основне для подальшого поняття граничної трійки симетричного відношення A у просторі Крейна {,[.,.]}.

Означення 1. Сукупність {}, у якій - гільбертів простір, а - лінійні оператори з називатимемо граничною трійкою для , якщо:

; (1)

В дефінітному випадку поняття граничної трійки (простору граничних значень) застосовувалось в роботах Ф.С. Рофе-Бекетова, М.Л. Горбачука, А.В. Штрауса, А.Н. Кочубея, В.М. Брука та ін. Для операторів з нещільною областю означення, діючих у гільбертовому просторі це поняття було узагальнено М.М. Маламудом. Розширення () оператора A називають власним, якщо воно є замкненим і . Два власних розширення оператора A називають діз'юнктними, якщо . З кожною граничною трійкою природно пов'язані два самоспряжених розширення і лінійне відношення, яке називатимемо забороняючим лінеалом.

Рівність встановлює бієктивну відповідність між множиною власних розширень оператора A і множиною ().

Розширення є самоспряженим тоді і тільки тоді, коли відношення є самоспряженим,

розширення є оператором тоді і тільки тоді, коли ={0}.

У випадку, коли оператор A має самоспряжене розширення з непустою резольвентною множиною (), доведено, що у оператора A існує гранична трійка, конструкція якої грунтується на розкладі

, }.

Лемма 1. Рівності

,

коректно визначають голоморфні в оператор функції із значеннями в [], відповідно. При цьому має місце співвідношення

().

У підрозділі 2.3 вводиться поняття абстрактної функції Вейля симетричного оператора у просторі Крейна.

Означення 2. Функцією Вейля симетричного оператора A, відповідаючою граничній трійці {} називатимемо оператор-функцію , визначену рівністю

.

З Леми 1 випливає, що є голоморфною в оператор функцією із значеннями в і для всіх виконується рівність



.

Для операторів, діючих у просторі Понтрягіна остання рівність означає, що фун-кція є Q-функцією оператора A, відповідаючою самоспряженому розширенню . При цьому належить до класу , якщо оператор A є простим, тобто

N} =.

Спектр власного розширения може бути описаний в термінах функції Вейля . В дефінітному випадку відповідний опис отримано у спільних роботах автора з М.Маламудом.

Теорема 1. Нехай {} - гранична трійка відношення , - відповідна функция Вейля, , (H). Тоді:

,

;

,

.

У підрозділі 2.3 отримано також опис кореневих підпросторів самоспряженого відношення , які в індефінітному випадку можуть відрізнятися від відповідних власних підпросторів. А саме, в умовах Теореми 1 вектори складають ціпку власних і приєднаних векторів розширення , відповідаючих власному числу , якщо вектори складають ціпку власних і приєднаних векторів жмутка .

У підрозділі 2.3 отримано опис забороняючого лінеала у простішому випадку, коли відношення є дефінізуємим, а його власний підпростір у співпадає з кореневим і є регулярним. Нагадаємо, що самоспряжене відношення з непустою резольвентною множиною називають дефінізуємим, якщо існує поліном p, такий що . Як показано Г.Лангером, дефінізуєме відношення у просторі Крейна має спектральну функцію , визначену на напівкільці інтервалів

і їх доповнень в R. Множина критичних точок відношення є скінченною. Критичну точку називають регулярною, якщо для деякого околу точки сукупність операторів є обмеженною, у противному випадку точку називають сінгулярною і пишуть .

Теорема 2. Нехай ={} - гранична трійка відношення , - відповідна функция , - дефінізуєме відношення, таке що і . Тоді:

Функція Вейля має представлення

=,



де , а задовільняє умові

;

складається з таких векторів для яких

;

для всіх [0] існує границя

={,}.

Теорема 2 є узагальненням відповідної теореми для гільбертових просторів, отриманої М.М. Маламудом. У розділі 3 досліджуються узагальнені резольвенти симетричних операторів у просторі Крейна. Для цього вводиться до розгляду розширений клас , який є поповненням класу невласними елементами, тобто функціями, приймаючими значення у множині лінійних відношень.

Означення 4. Пару , яка складається з […] - значних функцій, голоморфних в області, називатимемо -парой, якщо:

;



Виконується умова симетрії

(C);

Існує число С, таке що

, .

Дві пари називаються еквівалентними, якщо існує обмежена і обернена оператор-функція , така що

, .

Позначимо через множину класів еквівалентності -пар.

Означення 5. Голоморфну в околі точки С оператор-функцію R називатимемо узагальненой резольвентой симетричного лінійного відношення A, якщо існує простір Крейна і самоспряжене розширення відношення A в просторі Крейна =, таке що і має місце представлення

R=, ().

де - ортопроектор в ?на. Представлення резольвенти

R=



називатимемо мінімальним, якщо

+=?.

Узагальнену резольвенту R будемо відносити до класу , якщо розширення є оператором в її мінімальном представленні і будемо називати її -регулярною, якщо в цьому мінімальному представленні простір є простором Понтрягіна .

Теорема 3. Нехай ={} - гранична трійка відношення , - відповідна функція Вейля, . Тоді:

1)Формула

R =

встановлює бієктивну відповідність між множиною узагальнених резольвент і множиною оператор-функцій голоморфних в точці із значеннями в […];

Кожна узагальнена резольвента R допускає представлення

R = (2),

де - -пара голоморфна в точці і задовільняюча умові

(3)



І навпаки, кожна -пара голоморфна в точці і задовільняюча цій умові визначає узагальнену резольвенту класу ;

Для довільного Rh є розв'язком абстрактної граничної задачі із спектральним параметром в граничній умові (яка для щільно визначених операторів має вигляд)

(4).

Перше твердження цієї теореми спирається на теорему Азізова-Арова про реалізацію довільної голоморфної функції як характеристичної функції унітарного узла у просторі Крейна. Для доведення другого твердження застосовується спеціальна конструкція зціплень симетричних операторів, для побудови якої істотно використовується техніка граничних операторів. Зв'язок узагальнених резольвент з граничними задачами із спектральним параметром в гільбертовому випадку було знайдено А.В. Штраусом і В.М. Бруком.

При описi узагальнених резольвент класу природно виникає додаткова умова на -пару , яка вперше була знайдена Р.Неванлiною в його дослiдженнях по зрiзанiй проблемi моментiв.

Теорема 4. Нехай в умовах Теореми 3

.

Тодi формула (2) визначає узагальнену резольвенту оператора A класу , тодi i тiльки тодi, коли -пара



є голоморфною в точцi , задовiльняє (3) i умовi

(5)

В Роздiлi 3 розроблена теорiя розширень симетричних операторiв iз скiнченним числом вiд'ємних квадратiв у просторi Крейна . При цьому значну роль вiдiграють введенi в роботi узагальненi класи Стiлт'єса.

Означення 5. Нехай , є гiльбертiв простiр. Будемо казати, що узагальнена неванлiнiвська функцiя належить до узагальненого класу Стiлт'єса , якщо

Подiбним чином, сiм'ю вiдносять до класу , якщо . Ясно, що класи спiвпадають при з класами Крейна-Лангера , а при з класами , якi були введенi i дослiдженi М.М. Маламудом i автором в [1], [7], [29].

Про симетричне лiнiйне вiдношення H кажуть, що воно має лакуну , якщо для всiх виконується нерiвнiсть

Як доведено М.Г.Крейном, в класi самоспряжених розширень вiдношення H, зберiгаючих лакуну iснують екстремальнi розширення i , характеризуємi нерiвностями

(6)



Для симетричного лiнiйного оператора H, дiючого у гiльбертовому просторi, позначимо через число вiд'ємних квадратiв форми на domH.

В пiдроздiлi 4.2 показано, що симетричний лiнiйний оператор H, задовiльняючий умовi , є напiвобмеженим знизу. З цього випливає, що iснує Фрiдрiхсове розширення оператора H, яке має вiд'ємних власних значень , i, таким чином, оператор H має лакуну .

Визначимо Крейнiвське розширення оператора H як екстремальне розширення оператора H з лакуною , у вiдповiдностi до умови (6). Ясно, що Крейнiвське розширення може бути отримано, якщо попередню процедуру узагальнити на випадок лiнiйних вiдношень i застосувати до лiнiйного вiдношення

(7)

Так як лiнiйне вiдношення теж має вiд'ємних квадратiв, а є його Фрiдрiхсовим розширенням, то

.

У наступнiй Пропозицiї екстремальнi розширення i охарактеризованi в термiнах функцiї Вейля.

Пропозицiя 2. Нехай H - симетричний лiнiйний оператор iз скiнченним числом вiд'ємних квадратiв, - гранична трiйка лiнiйного вiдношення , - вiдповiдна функцiя Вейля голоморфна в лакунах , , .

Тодi:

(8)

Iснують сильнi резольвентнi границi

Экстремальнi розширення i мають вигляд

(9)

Розширення i ( i ) є трансверсальними, тодi i тiльки тодi,коли

В пiдроздiлi 4.3 вводиться клас симетричних лiнiйних операторiв iз скiнченним числом вiд'ємних квадратiв у просторi Крейна. У випадку щiльно визначених операторiв такий клас розглядався Б. Чургусом i Г. Лангером.

Означення 6. Будемо казати, що замкнене симетричне лiнiйне вiдношення A в просторi Крейнамає -властивiсть , якщо:

(A1) A має скiнчений дефект m;

(A2) Форма має вiд'ємних квадратiв;

(A3) A має самоспряжене розширення , таке що .

Множину самоспряжених розширень лiнiйного оператора A, якi мають -властивiсть , позначимо через . Зокрема, лiнiйнi оператори A з -властивiстю є невiд'ємними . Визначимо екстремальнi розширення i оператора A рiвностями , , де J - довiльна фундаментальна симетрiя в просторi Крейна , а , - екстремальнi розширення симетричного лiнiйного оператора H, який дiє у гiльбертовому просторi i має вiд'ємних квадратiв. Показано, що це означення не залежить вiд вибору фундаментальної симетрiї J. У наступнiй Теоремi екстремальне розширення охарактеризовано в термiнах функцiї Вейля.

Теорема 5. Нехай A - симетричний оператор в просторi Крейна з -властивiстю , - гранична трiйка для , така що i - вiдповiдна функцiя Вейля оператора A. Тодi:

,

.

Подiбним чином, Крейнiвське розширення лiнiйного оператора A може бути охарактеризовано в термiнах поведiнки в нулi вiдповiдної функцiї Вейля. Будемо казати, що узагальнена резольвента належить до класу , якщо допускає мiнiмальне представлення

,

таке що має -властивiсть.

Теорема 6. Нехай A - симетричний оператор в просторi Крейна з -властивiстю - гранична трiйка для , така що , i - вiдповiдна функцiя Вейля оператора A. Тодi формула (2) встановлює взаємно-однозначну вiдповiднiсть мiж множиною i множиною -пар , таких що

Обмежуючи себе випадком канонiчних розширень оператора A, отримаємо

Наслiдок 6. В умовах Теореми 6 вiдображення встановлює бiєктивну вiдповiднiсть мiж множиною всiх самоспряжених розширень оператора A, якi мають -властивiсть, i множиною всiх невiд'ємних лiнiйних вiдношень, таких що .

У пiдроздiлi 4.5 всi попереднi результати перенесенi на випадок симетричних лiнiйних операторiв A в просторi Крейна, для яких форма має k вiд'ємних квадратiв на .

У пiдроздiлi 4.6, як приклад, розглянуто диференцiйний оператор Лагерра

,

дiючий у просторi з iндефiнiтною метрiкою.

Як вiдомо, при a>-1 полiноми Лагерра-Сонiна є власними функцiями самоспряженного оператора Aa асоцiйованого з диференцiйним виразом la i граничною в гiльбертовому просторi L2(R+,w) i утворюють ортонормовану систему у гiльбертовому просторi L_2(R+,w). У випадку a<-1 полiноми Лагерра-Сонiна, вже не належать до простору L_2(R+,w), але, як було вiдзначено А.М. Кралом i Р.Д. Мортоном, є ортогональними по вiдношенню до iндефiнiтної метрики. В Теоремi 4.6.3 сконструйовано поповнення простору, яке виявляється простором Понтрягина з iндексом . В наступнiй Теоремi розглядаються

властивостi оператора Лагерра в цьому просторi.

Теорема 7 Нехай -n-1<ф<-n. Тодi:

1) Мiнiмальний оператор Лагерра A є эрмiтовим нещiльно заданим оператором в просторi з iндексами дефекта (1,1);

2) Спiввiдношення визначають граничну трiйку вiдповiдна функцiя Вейля M(z) обчислюється за формулою

M(z)=-B(z,-a)/Г(a+1)

де Г(а+1), В(z,-a) - функцiї Ейлера, i належить до класу Nк.

3) Самосопряженi розширення оператора A, вiдмiннi вiд, вiдповiдають граничним умовам

4) власнi функцiї розширення спiвпадають з полiномами Лагерра-Сонина Ln(x).

У Роздiлi 5 введено нове визначення характеристичної функцiї лiнiйного оператора (лінійного вiдношення) у просторi Крейна, яке грунтується на поняттi граничного вiдображення. На теперiшнiй час теорiя характеристичних функцiй операторiв «близьких до унiтарних», започаткована М.С. Лiвшiцем, пiсля робiт М.С. Бродського, I.Ц. Гохберга, М.Г. Крейна, Ю.Л. Шмульяна та iн. перетворилась на завершену теорiю унiтарних вузлiв, яка має тiснi стосунки з теорiєю лiнiйних систем. Розвиток теорiї унiтарних вузлiв в просторах з iндефiнiтною метрiкою пiдсумовано в монографiї Д. Алпая, А. Дiйксми, Дж. Ровняка i Х. де Сноо.

Нагадаємо деякi поняття з теорiї унiтарних вузлiв. Нехай H,-простори Крейна i U - унiтарний оператор з H+H_- в H+H_+. Тодi четвiрка (H,H_-,H_+, U), називаєтся унiтарним вузлом. Вузол називають простим, якщо не iснує пiдпростору в просторi H, який приводить U.

Оператор-функцiю називають характеристичною функцiєю (ХФ) вузла. ХФ простих вузлiв, для яких простори гiльбертовими, а H є простором Понтрягiна, виявляються функцiями класу Sк. Обернено, кожна функцiя s класу Sк є ХФ деякого простого унiтарного вузла, основний простiр якого є простором Понтрягiна. В роботах О.В. Кужеля, А.В. Штрауса, Е.Р. Цекановського, С.Н. Набоко та iн. розроблено рiзнi пiдходи до теорiї характеристичних функцiй операторiв «близьких до симетричних», але клас функцiй, якi можуть бути реалiзованi як характеристичнi, для кожного з цiх пiдходiв залишався вужчим, нiж клас характеристичних функцiй унiтарних вузлiв. Запропоноване нижче означення характеристичної функцiї дозволяє побудувати теорiю самоспряжених вузлiв на тому ж рiвнi загальностi, що i теорiя унiтарних вузлiв.

Означення 7.Нехай A и A* - замкненi лiнiйнi вiдношення у просторi Крейна H, якi мiстяться в лiнiйному вiдношеннi S*, -допомiжнi простори Крейна. Лiнiйне вiдображення B=B+B_-(взагалi кажучi,многозначне) називатимемо граничним вiдображенням для пари лiнiйних вiдношень A и A*, якщо:

1) ker B_+=A*, ker B_=A;

2) ranB_+=H_+, ran B_=H_;

Iз тотожностi (12), зокрема, випливають наступнi тотожностi на яких грунтувалось визначення граничного вiдображення А.В. Штрауса.

У наступному Означеннi вводиться поняття S-вузла, яке є аналогом поняття унiтарного вузла.

Означення 9. П'ятiрку яка складається з просторiв Крейна H, H_, H_+, лiнiйного вiдношення A i граничного вiдображения B (для пари A и A*) називатимемо S-вузлом, якщо - i є r(A). S-вузол називатимемо самоспряженим, якщо H_=H_+, будемо називати характеристичною функцiєю (ХФ) S-вузла Мiж множиною S-вузлiв i множиною унiтарних вузлiв iснує бiєктивна вiдповiднiсть.

Теорема 8. Нехай - S-вузол. Тодi:

1) Лiнiйне вiдношення U є графiком зв'язуючого оператора унiтарного вузла

2) Оператор U допускає блочне представлення

3) ХФ W(z) S-вузла i ХФ унiтарного вузла пов'язанi рiвнiстю

У пiдроздiлi 5.3 розглянуто аналiтичнi властивостi ХФ S-вузла i побудована його функцiональна модель. Визначимо два ядра, пов'язанi з ХФ W(z),

S-вузол називатимемо внутрiшньо зв'язаним, зовнiшньо зв'язаним або простим, якщо

вiдповiдно.

Теорема 9. Нехай {H, Н_,H+,B} - S -вузол i W(z)- характеристична функцiя S-вузла. Тодi

ядра допускають факторизацiї i мають скiнченне число вiд'ємних квадратiв в r(A), r(-A*), вiдповiдно. Якщо S-вузол є внутрiшньо зв'язаний (зовнiшньо зв'язаний або простий).

Оскiльки ядро має k вiд'ємних квадратiв, то iснує простiр Понтрягiна S(W) з репродуцiйним ядром, тобто:

1) множина - є щiльною в S(W);

2) для всiх має мiсце репродуцiйна тотожнiсть.

У пiдроздiлi 5.3 побудовано функцiональну модель S-вузла.

Визначимо оператор в S(W) i матриць-функцiю W(z) рiвнiстями

Теорема 10. Нехай W(z) - характеристична функцiя S-вузла основний простiр якого є простором Понтрягiна H. Покладемо. Тодi:

1) Вiдображення B є граничним для лiнiйного вiдношення A i спiвпадає з вiдображенням;

2) Сукупнiсть складає S-вузол, характеристична функцiя якого спiвпадає з W(z).

У пiдроздiлi 5.4 визначено зчiплення S-вузлiв i доведена теорема множення характеристичних функцiй.

У роздiлi 6 побудовано аналог теорiї зображень симетричних операторiв у просторах Крейна як з власним, так i невласним масштабом. Для гiльбертових просторiв теорiя зображень симетричних операторiв з власним масштабом була побудована М.Г. Крейном, з невласним - Ю.Л. Шмульяном, для симетричних операторiв з iндексом (1,1) у просторах Понтрягiна i власного масштаба така теорiя була розвинута М.Г. Крейном i Г. Лангером.

Нехай L - гiльбертiв пiдпростiр в K i G - оператор вкладення L в простiр Крейна K. Точку лC називатимемо L-регулярною точкой лiнiйного оператора A, якщо має мiсце рiвнiсть

Позначимо через с(A,L) множину L-регулярних точок оператора A i покладемо Визначимо двi голоморфнi в с(A,L) оператор-функцiї P(л) i Q(л) iз значеннями в [K,L]: P(л) - косий проектор з K на L, вiдповiдаючий розкладу (16), а

Для всiх множина значень оператора спiвпадає з пiдпростором Матриць-функцію W(л) називатимемо L-резольвентною матрицею, якщо має місце тотожність

.



Факторизація ядра дозволяє побудувати функціональну модель оператора A у просторі з репродуційним ядром. В цій роботі встановлено дві важливі формули. Перша - це є аналог фомули Дж. Фон Неймана

dom ,

який в дефінітному випадку було отримано в спільній роботі з М. Маламудом. Наступна теорема дозволяє описати всі резольвентні матриці за допомогою граничних трійок.

Теорема 12. Нехай A - симетричний оператор в K, L - пiдпростiр в K, - гранична трiйка вiдношення Тодi оператор-функцiя

є L-резольвентною матрицею .

Резольвентна матриця є аналогом матриці Неванліни в проблемі моментів. За її допомогою можна описувати так звані L-резольвенти симетричних операторiв у просторах Крейна, а саме формула

встановлює бiєктивну вiдповiднiсть мiж множиною L-резольвент , і множиною сiмей .

Резольвентні матрицi симетричного оператора у гiльбертовому просторi вивчались в роботах М.Г. Крейна i Ш.Н. Саакяна. Цими авторами було показано, що L-резольвентна матриця є характеристичною функцiєю для так званого Y-вузла, введеного М.С. Бродським, I.Ц. Гохбергом i М.Г. Крейном. У наступній теоремі наведена проста конструкцiя S-вузла, характеристична функцiя якого спiвпадає з L-резольвентною матрицею. В дефiнiтному випадку цей результат отримано у спiльнiй роботi автора з М.М. Маламудом [7].

Теорема 13. Нехай A - симетричний оператор в просторi Понтрягiна H, L - гiльбертiв простiр в H, G:L H, -- гранична трiйка для A*. Тодi:

с(A,L)= с(Т) ;

Сукупнiсть де оператори B_ визначенi для всiх f є H рiвнiстями складає S-вузол; характеристична функцiя вузла спiвпадає з L-резольвентною матрицею W

У пiдроздiлах 6.2-6.4 цi результати узагальненi на випадок невласного масштабного простору, який мiститься в просторi неперервних функцiоналiв над Отримано опис матриць-функцiй, якi є резольвентними матрицями щiльно визначених операторiв у просторi Понтрягiна.

Теорема 14. Нехай W(z) - матриць-функцiя iз значеннями в [H,L] голоморфна на множинi. Тодi:

1) Лiнiйне вiдношення A визначає оператор в H(W), спряжений до якого є простий, щiльно визначений симетричний оператор в H(W);

2) Гранична трiйка для A* може бути задана у виглядi, при цьому W(z) є резольвентною матрицею оператора A, яка вiдповiдає граничнiй трiйцi П і деякому лiнеалу.

У роздiлi 7 отриманi вище результати застосовуються до дослiдження рiзних проблем аналiза, таких як повна i зрiзана проблеми моментiв в класах iндефiнiтних абстрактної проблеми iнтерполяцiї і iнтерполяцiйної проблеми Неванліни-Піка.

Класична проблема моментів полягає в тому, що треба знайти таку міру , для якої виконується наступна рівність

для заданих дійсніх . Ця проблема є розв'язною, якщо відповідна ганкелева блочна матриця

є позитивною. Ця проблема може бути переформульована в термінах ассоційованної функції

,

яка є функцією класу Неванліни. Відомо, що проблема є еквівалентною проблемі асимптотичного розкладу для функції F()

F()=- при .

В пiдроздiлi 7.1 розглянуто зрiзану iндефiнiтну проблему : Для даної послiдовностi матриць описати множину матриць-функцiй , якi допускають представлення.

Повна iндефiнiтна проблема моментів була розглянута М.Г. Крейном і Г. Лангером в 1979 р. Ми даємо рiшення проблеми TMP у випадку . Нехай простiр полiномiв формального ступеню n, з коефiцiєнтами в який має скалярний добуток.

Нехай A це оператор множення (Af)(t)=tf(t) в просторi Понтрягiна визначений на множинi dom A полiномiв формального ступеню n-1. Ясно, що A - симетричний оператор з нещiльною областю визначення iз iндексами дефекта (m,m).

Виберемо масштабний пiдпростiр L, який складається з постiйних вектор-функцiй i оператор вкладення G:

Пропозиція 5. Нехай s i det . Тодi формула

F(z)=G*G

встановлює взаємно-однозначну вiдповiднiсть мiж множиною всiх розвязків F(z) проблеми моментiв i множиною узагальнених резольвент оператора A. Прямi обчислення з урахуванням формули eqref{5.24} приводять до наступного вигляду функцiї Вейля.

Теорема 15. Нехай матриця має точно к вiд'ємних власних значень і . Тоді формула

=-

встановлює взаємно-однозначну вiдповiднiсть мiж множиною всiх розв'язків F(z) проблеми моментiв i множиною сімей , для яких виконана умова

Застосування Теореми 6 приводить до наступного опису рішень проблеми .

Розглянемо наступну задачу : Для даної послiдовностi матриць описати множину матриць-функцiй , котрi допускають представлення.

Якщо , то симетричний оператор A, побудований в пiдроздiлi 6.1, має -властивiсть. Якщо матриця є оберненою, то функцiя Вейля оператора A виду поводиться як i, тому. В силу Теореми 5 це означає, що вiдповiдне розширення oператора A є Фрiдрiхсовським. Таким чином, з Теореми 6 отримуємо наступне твердження.

Теорема 17. Нехай матриця має точно к вiд'ємних власних значень і ,

.

Тоді:

Задача є невизначенною і для функції Вейля існує скінченна границя

;

для деяких матричних поліномів наступна формула

=-

встановлює взаємно-однозначну відповідність між множиною всіх розв'язків проблеми моментів і множиною , для яких і виконана умова .

У пiдроздiлi 7.3 розглядається абстрактна iнтерполяцiйна проблема в узагальнених класах Шура. Для стандартного класу Шура цю проблему було поставлено i розв'язано В.Е. Кац-нельсоном, А. Хейфецом i П. Юдицьким. Вона мiстить у собi бiльшiсть класичних iнтерполяцiйних задач, таких як проблема моментiв, бiдотична проблема Шура-Неванлiни-Пiка та iншi.

Нагадаємо, що [H]-значну оператор-функцiй s(z) голоморфну в деякому околi точки 0, вiдносять до класу, якщо має вiд'ємних квадратiв в околi. Клас S спiвпадає iз звичайним класом Шура стискаючих оператор-функцiй в D. До цього класу належить добуток Бляшке-Потапова. Фактор називають елементарним, якщо ортопроектор P має ранг 1. Кiлькiсть елементарних множникiв Бляшке називають ступiнню добутку Бляшке-Потапова.

Кожна функцiя s iз S допускає мероморфне продовження в круг D. Нехай це область голоморфностi s(z). Поряд iз ядром розглянемо ядро яке має точно вiд'ємних квадратiв в і (s) i простiр Понтрягина D(s) з репродуцiйним ядром D_s(z,w). Розглядається наступна.

Проблема AIP( ). Нехай H, L - гiльбертови простори, T, Рє[H], M1є[H,L], M2є[H,L] - оператори, такi що виконується тотожнiсть.

Потрiбно знайти матриць функцiю s є i вiдображення Ф:HD(s), таке що мають мiсце.

Теорема 20. Нехай . Тодi формули встановлюють бiєктивну вiдповiднiсть мiж множиною всiх рiшень{s,Ф} Проблеми AIP( ) i множиною всiх L-регулярних унiтарних розширень U оператора V, таких що рiшення є рiшенням Проблеми тодi i тiльки тодi, коли розширення U є L-мiнiмальним.

Розглянемо абстрактну iнтерполяцiйну проблему в класi.

Проблема AIP(,-k). Нехай H, L - гiльбертови простори, T, Рє[H], M1є[H,L], M2є[H,L] - оператори, такi що виконується тотожнiсть. Потрiбно знайти матриць функцiю s є S i вiдображення Ф:HD(s), таке що мають мiсце.

Покладемо. Для розв'язностi Проблеми AIP( ,-k) необхiдно виконання нерiвностей.

Цiлком невизначений випадок Проблеми AIP( ,-k) характеризується умовою.

Теорема 21. Нехай виконанi умови. Тодi формули встановлюють одно-однозначну вiдповiднiсть мiж множиною всiх рiшень {s,Ф} Проблеми AIP( ,-k) i множиною всiх L-регулярних унiтарних розширень U оператора V, таких що ри цьому пара {s,Ф} виявляється рiшенням Проблеми Проблеми AIP( ,-k) тодi i тiльки тодi, коли розширення U є L-мiнiмальним.

У пiдроздiлi 7.3 розглянуто iндефiнiтну iнтерполяцiйну проблему Шура-Неванлiни-Пiка. Позначимо через клас [L]-значних функцiй (z) мероморфних в D, сумарна полюсна кратнiсть яких в D дорiвнює , введений В.М. Адамяном, Д.З. Аровим i М.Г. Крейном в 1971р. Як відомо S([L]) .

Проблема SNP . Данi , i внутрiшня матриць-функцiя . Знайти , таку що

.

Якщо є добутком Бляшке-Потапова, то задача SNP зводиться до iндефiнiтної дотичної iнтерполяцiйної проблеми, розглянутої ранiше А.А. Нудельманом (а також А.А. Амiршадяном i автором). Iнтерполяцiя на спектрi внутрiшньої функцiї вперше була дослiджена Д. Сарасоном у зв'язку з задачею узагальненої операторной iнтерполяцiї. В запропонованiй вище постановцi задача SNP при вивчалась в роботах Дж. Болла и Дж. Хелтона (1987р.), де для доведення її розв'язностi використовувался iндефiнiтний варiант теореми Бьорлiнга-Лакса. У випадку повний опис розв'язкiв Проблеми SNP було отримано Д.З. Аровим.

Асоцiюємо з внутрiшньою функцiєю гiльбертiв простiр [-]. Нехай це ортогональний проектор в на . Визначимо оператори P: , N: рівністями

P=I-NN*, = ().

Визначимо оператори рiвнiстями

Пропозиція 7. Справедливiсть тотожностi дозволяє поставити у вiдповiднiсть iнтерполяцiйнiй Проблемi SNP абстрактну iнтерполяцiйну Проблему AIP( ), яка визначається рiвнiстями. У наступнiй теоремi встановлено взаємно-однозначну вiдповiднiсть мiж множиною рiшень ціх проблем.

Теорема 22. Нехай .Тодi:

1) Якщо s є розв'язком задачi SNP , то вiдображення Ф приймає значення в D(s) i пара {s,Ф} є розв'язком задачi AIP( ), при цьому для вiдображення Ф виконується узагальнена рiвнiсть Парсеваля

2) Обернено, якщо {s,Ф} є розв'язком задачi AIP( ), то s - розв'язок задачi SNP .

З Теорем 22 і 20 випливає наступний опис розв'язків Задачi SNP

Теорема 23. В умовах Теореми 22 формула встановлює однозначну вiдповiднiсть мiж множиною всiх розв'язків Задачi SNP i множиною всiх L-мiнiмальних унiтарних розширень U оператора V.

Таким чином, для опису рiшень Проблеми SNP досить обмежитись L-мiнiмальними (а не L-регулярними) розширеннями U оператора V. Оскiльки застосований нижче пiдхiд дозволяє лише описувати L-резольвенти K-мiнiмальних унiтарних розширень U оператора V, то представляють iнтерес якi-небудь достатнi умови, для яких кожне K-мiнiмальне розширення U є L-мiнiмальним.

Пропозиція 8. Нехай є добутком Бляшке-Потапова (можливо нескiнченного ступеню) i U є регулярним унiтарним розширенням оператора V, таким що .Тодi розширення U є K-мiнiмальним, тодi i тiльки тодi, коли U є L-мiнiмальним.

Використання формули для узагальнених резольвент i формули для резольвентної матрицї дозволяє отримати наступний опис рiшень Проблеми SNP.

Теорема 24. Нехай P i матриць-функцiя визначена рiвнiстю

Тодi формула

встановлює одно-однозначну вiдповiднiсть мiж множиною всiх розв'язків.

Проблеми SNP i множиною всiх функцiй класу Шура , для яких і формула:



Простi приклади показують, що умова може не виконуватись для тих , для яких є власним значенням вiдповiдного розширення U.

У тому випадку, коли theta є добутком Бляшке-Потапова, можна вказати умови на , достатнi для попадання s у клас .

Наслідок 2. Нехай в умовах Теореми 24 є добутком Бляшке-Потапова, нулi якого задовiльняють умовi . Тодi Проблема SNP є розв'язною i функцiя s(z), визначаємая рiвнiстю, є рiшенням Проблеми SNP для , для яких

Розглянемо наступну iнтерполяцiйну проблему Шура-Неванлiни-Пiка в класi .

Проблема SNP. Данi k,, i внутрiшня матриць-функцiя . Знайти , таку що

.

Ассоцiюємо з Проблемою SNP абстрактну Проблему AIP,-k) з даними виду i визначимо P рiвнiстю.

Пропозиція 9. Для розв'язностi Проблеми SNP необхiдно виконання умов.

Покладемо

Теорема 25. Нехай P, , ,



Тодi формула

встановлює одно-однозначну вiдповiднiсть мiж множиною всiх розв'язків Проблеми SNP i множиною всiх функцiй класу Шура , для яких .

Так само, як i в Наслiдку 2 умову в Теоремi 25 можна опустити, якщо є добутком Бляшке-Потапова.



ВИСНОВКИ

В роботi отриманi такi новi результати.

1) Для симетричного оператора в просторi Крейна визначено поняття граничної трiйки i вiдповiдної абстрактної функцiї Вейля. В термiнах граничних операторiв i функцiї Вейля отримано опис i характеристику спектра, власних i кореневих пiдпросторiв власних розширень симетричного оператора

2) Приведена класифiкацiя i отримано опис рiзних класiв узагальнених резольвент симетричних операторiв в просторi Крейна, якi мають принаймнi одне самосопряжене розширення з непустою резольвентною множиною. Всi об'єкти формули Крейна охарактерiзованi в термiнах граничних операторiв. Застосування технiки граничних операторiв дозволяє навести просту трактовку узагальненої резольвенти як розв'язку абстрактної спектральної задачi iз спектральним параметром у граничнiй умовi.

3) Введенi до розгляду узагальненi класи функцiй Стилт'єса i отриманi їх iнтегральнi представлення. Для симетричних операторiв, енергетична форма яких має скiнченне число вiд'ємних квадратiв визначенi екстремальнi розширення (розширення Фрiдрiхса i розширення Крейна-фон-Неймана). Отримано опис його самоспряжених розширень, з тiєю ж властивiстю. Отримано параметризацiю узагальнених резольвент операторiв iз скiнченним числом вiд'ємних квадратiв, при цьому iстотну роль вiдiграють введенi в дисертацiї узагальненнi класи функцiй Стiлт'єса.

4) Введено поняття самоспряженого операторного вузла (S-вузла) в просторi Крейна та вiдповiдної характеристичної функцiї. Встановлено взаємно-однозначну вiдповiднiсть мiж множиною S-вузлiв i множиною унiтарних вузлов, для якої вiдповiднi характеристичнi функцiї спiвпадають з точнiстю до дробно-лiнiйного перетворення аргумента. Побудована функцiональна модель S-вузла в просторi Понтрягiна, доведена теорема множення характеристичних функцiй.

5) Побудовано аналог теорiї зображень симетричних операторiв у просторах Крейна як з власним так i невласним масштабним пiдпростором. Отримано явну формулу для обчислення L-резольвентної матрицi в термiнах граничних операторiв. Показано, що L-резольвентна матриця симетричного оператора у просторi Крейна спiвпадає з характеристичною функцiєю деякого S-вузла, ассоцiйованного з масштабом L. Розв'язано зворотну задачу теорiї резольвентної матрицi щiльно визначенного симметричного оператора iз скiнченними iндексами дефекта, дiючого в просторi Понтрягина.

6) Отримано критерiй розв'язностi та опис розв'язкiв повної та зрiзаної проблем моментiв в узагальнених классах Неванлiни i Стiлт'єса.

7) Розглянуто iндефiнiтний варiант абстрактної iнтерполяцiйної проблеми, що в дефiнiтному випадку була поставлена В. Кацнельсоном, А. Хейфецом i П. Юдицьким. Встановлено взаємно-однозначну вiдповiднiсть мiж множиною розв'язкiв абстрактної iнтерполяцiйної проблеми i множиною унiтарних розширень деякого модельного iзометричного оператора. Цi результати застосованi до iнтерполяцiйної проблеми Шура-Неванлiни-Пiка в узагальнених класах Шура. Отримано параметризацiю множини всiх розв'язкiв iнтерполяцiйної проблеми Шура-Неванлiни-Пiка.



СПИСОК РОБІТ, ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Деркач В.А., Маламуд М.М. О функции Вейля и эрмитовых операторах с лакунами// ДАН СССР. - 1987. - т.293, No.5. - C. 1041-1046.

Деркач В.O. Розширення eрмiтова оператора у просторi Крейна// Доповiдi АН Укр.РСР,Сер.А. - 1988. - No.5. - С. 5-8.

...