Реалізації алгебр Лі груп локальних перетворень та груповий аналіз нелінійних диференціальних рівнянь

Размещено на http://allbest.ru

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Реалізації алгебр Лі груп локальних перетворень та груповий аналіз нелінійних диференціальних рівнянь

1.ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

алгебраїчний диференціальний рівняння

Актуальність теми. Вирішення багатьох фундаментальних проблем різної природи потребує побудови і розв'язування математичних моделей процесів, що досліджуються. У багатьох випадках поняттю “математична модель процесу” відповідають деякі цілком визначені диференціальні рівняння, відомі розв'язки яких дозволяють з певною точністю описати даний процес. Як правило, диференціальні рівняння і додаткові умови (початкові, крайові) випливають як із загальних законів (наприклад, законів зберігання), так і зі специфічних законів, які притаманні кожному конкретному процесові (вони відображають його найбільш характерні риси). Найбільш прості і, в той же час, найменш точні формулювання законів приводять до лінійних задач. Hаступному (більш точному) наближенню реального процесу відповідає нелінійна математична модель, для дослідження якої (на відміну від лінійних моделей) в арсеналі дослідника є досить обмежений математичний аппарат.

У той же час точні розв'язки (в замкненому вигляді) диференціальних рівнянь завжди відігравали і продовжують відігравати велику роль у формуванні правильного розуміння якісних особливостей багатьох явищ і процесів в різних областях природознавства. Точні розв'язки нелінійних диференціальних рівнянь дозволяють розібратися в механізмі таких складних нелінійних ефектів, як просторова локалізація процесів перенесення, множинність або відсутність стаціонарних станів при певних умовах, існування режимів із загостренням тощо.

Більшість рівнянь прикладної та теоретичної фізики, хімії, біології містять парaметри або функції, які знаходяться експериментально і тому не є строго фіксованими. У той же час рівняння, які моделюють реальні явища та процеси, повинні бути досить простими для того, щоб їх можна було успішно проаналізувати та розв'язати. В якості одного із можливих критеріїв простоти можна взяти вимогу, щоб модельне рівняння допускало розв'язок у замкненому вигляді. З іншого боку, особливий інтерес для різних застосувань викликають рівняння, що залежать від довільних функцій або містять багато вільних параметрів, які можна задавати за розсудом дослідника. А для таких рівнянь відсутні загальні методи точного інтегрування.

Ця ситуація суттєво змінюється, якщо нелінійне диференціальне рівняння, яке відповідає деякій моделі, має нетривіальні симетрійні властивості. У цьому випадкові для аналізу і побудови точних розв'язків рівняння можна використовувати методи групового аналізу диференціальних рівнянь.

У дисертаційній роботі розглядаються задачі, що належать до класичних проблем сучасного групового аналізу диференціальних рівнянь, на яких ми зупиняємося нижче.

Витоки теорії групового аналізу диференціальних рівнянь знаходяться у фундаментальних роботах Софуса Лі та його учнів. Саме Лі створив і першим використав (для двовимірного рівняння теплопровідності) механізми теоретико-групової редукції, коли розв'язок досліджуваного диференціального рівняння шукається у вигляді підстановки спеціальної будови (анзацу).

Подальший розвиток теоретико-групових методів дослідження диференціальних рівнянь, перш за все, пов'язаний з роботами Г. Біркгофа, Л.І. Сєдова, А. Моргана, В.Г. Костенка, Л.В. Овсяннікова, Н.Х. Ібрагімова та ряду інших математиків. Підсумком цього періоду є опублікування в 1978 році відомої монографії Л.В. Овсяннікова, після чого в математичній науці остаточно оформився важливий напрямок, який за пропозицією Л.В. Овсяннікова отримав назву ”Груповий аналіз диференціальних рівнянь”. Слід відзначити, що суттєвий вклад в розвиток як класичних, так і некласичних групових методів дослідження диференціальних рівнянь було зроблено Київською школою математиків, яку в середині сімдeсятих років минулого століття створив і очолив В.І. Фущич.

Однією з основних задач класичного групового аналізу диференціальних рівнянь є вивчення дії групи перетворень, яку допускає дане диференціальне рівняння (система рівнянь), на множині розв'язків рівняння. Дія групи інваріантності вносить у множину розв'язків певну алгебраїчну структуру, яку в подальшому можна використовувати для вирішення ряду проблем.

Як правило, під час побудови математичних моделей різних процесів отримуються диференціальні рівняння, симетрійні властивості яких невідомі. Тому принципово важливою є чисто технічна задача знаходження найбільш широкої (максимальної) групи симетрії, яку допускає задане диференціальне рівняння (система рівнянь). На сьогоднішній день вивчено симетрійні властивості багатьох відомих модельних рівнянь механіки, газової динаміки, квантової фізики. Відзначимо, що вагомий вклад у розв'язування цієї проблеми внесли вчені Росії (перш за все Л.В. Овсянніков і його учні) та України (В.І. Фущич і його учні). Виявилося, що багато модельних диференціальних рівнянь допускають нетривіальні групи інваріантності. Це означає, що явно чи неявно під час відбору диференціального рівняння в якості математичної моделі деякого реального процесу певну роль відіграє симетрія.

За наявності ж у диференціального рівняння нетривіальних симетрійних властивостей конструктивним стає використання методу симетрійної редукції для побудови його точних розв'язків. Так, із використанням вказаного методу було отримано класи багатопараметричних точних розв'язків ряду нелінійних диференціальних рівнянь. Слід підкреслити, що груповому аналізові важливих модельних рівнянь присвячено ряд відомих монографій українських математиків В.І. Фущича, А.Г. Нікітіна, Р.З. Жданова, А.Ф. Баранника, Л.Ф. Баранника, М.І. Сєрова та В.М. Штеленя.

Не дивлячись на те що у вирішенні проблеми симетрійної редукції нелінійних диференціальних рівнянь досягнуто значного прогресу, її розв'язання для ряду рівнянь і систем рівнянь залишається актуальним і сьогодні. Особливо це має місце тоді, коли інші відомі методи інтегрування нелінійних диференціальних рівнянь виявляються малоефективними або й взагалі не можуть бути використаними. А, як відзначав один із фундаторів методу оберненої задачі розсіювання В.Є. Захаров у передмові до російського видання відомої монографії Ф. Калоджеро та А. Дегаспіса, до ряду важливих задач нелінійної математичної фізики, які мають універсальне значення (зокрема, до рівнянь Янга-Міллса у просторі Мінковського), математика ще не знайшла ефективних підходів.

Перш за все, у зв'язку з можливістю використання теоретико-групових методів для аналізу та інтегрування диференціальних рівнянь, які допускають нетривіальні групи інваріантності, важливою є задача виділення із заданого класу рівнянь тих, що мають найвищі симетрійні властивості, тобто задача грyпової класифікації диференціальних рівнянь. Розв'язування цієї задачі є важливим не лише із суто математичних міркувань, a й мотивується можливістю використання отриманих результатів у різних прикладних проблемах.

Як відзначалося вище, модельні диференціальні рівняння часто містять параметри або функції, які не є строго фіксованими (вони містять деякий довільний елемент). Саме повний опис таких специфікацій довільного елемента даного диференціального рівняння, для яких це рівняння допускає найбільш широкі групи інваріантності, і складає суть задачі групової класифікації диференціальних рівнянь.

Історія розв'язування задачі групової класифікації диференціальних рівнянь бере початок ще з робіт С. Лі, де він, зокрема, довів теорему, яка стверджує, що лінійне диференціальне рівняння другого порядку з двома незалежними змінними допускає не більш ніж трипараметричну групу нетривіальних перетворень.

Сучасну постановку задачі групової класифікації диференціальних рівнянь було здійснено в 1959 році Л.В. Овсянніковим у відомій класичній статті, де він запропонував метод (Лі-Овсяннікова) для її розв'язування та здійснив групову класифікацію нелінійного рівняння теплопровідності. Ця стаття поклала початок численним циклам робіт з групової класифікації диференціальних рівнянь. Відзначимо, що стійкий інтерес до розв'язування задачі групової класифікації спостерігається й в останні роки (див., наприклад, роботи С.В. Мелешка, А.Г. Нікітіна, Р.Вілтшіра (R.Wiltshire), Р.З. Жданова, П. Олвера, Ф. Гунгора (F. Gыngor) та інших).

Але, як показує аналіз відомих робіт з групової калсифікації диференціальних рівнянь, використання методу Лі-Овсяннікова дозволяє здійснити повне розв'язання цієї задачі лише для тих рівнянь, які містять довільні функції однієї змінної. Очевидним є те, що подальший прогрес у розв'язуванні задачі групової класифікації вимагає нових підходів до роз'язування цієї проблеми.

Нарешті, щe однією важливою задачею групового аналізу диференціальних рівнянь, на якій ми тут зупиняємося, є задача побудови найбільш загального диференціального рівняння з частинними похідними, яке допускає в якості групи інваріантності деяку відому групу локальних перетворень. Добре відомо, що найбільш загальний розв'язок цієї задачі передбачає побудову повної множини диференціальних інваріантів певного порядку для даної групи локальних перетворень, знаючи яку, можна визначити структуру всіх диференціальних рівнянь, які допускають цю групу в якості групи інваріантності.

В.І. Фущич та І.А. Єгорченко знайшли повну множину диференціальних інваріантів другого порядку для відомих реалізацій (зображень) алгебр Лі груп Евкліда, Пуанкаре та Галілея в класі лінійних диференціальних операторів першого порядку. Повне ж розв'язання вказаної задачі для деякої групи локальних перетворень передбачає наявності повного переліку реaлізацій алгeбри Лі цієї групи в класі векторних полів Лі. Тому, Дж. Рідо (G. Rideau) та П.Вінтернітц, вивчаючи найбільш загальний вигляд хвильових і еволюційних рівнянь у двовимірному пpосторі-часі, які інваріантні відносно груп Пуанкаре та Галілея, попередньо провели опис реалізацій алгебр Лі цих груп в одному класі векторних полів Лі й отримали ряд нових, ще невідомих реалізацій. Саме бажання отримати ще невідомі у певному сенсі нелінійні реалізації алгебр Лі важливих груп локальних перетворень і було спонукальним мотивом появи ряду робіт В.І. Фущича, Р.З. Жданова, В.М. Бойка та інших, в яких були побудовані нові реалізації алгебр Лі груп Пуанкаре P(1,2), P(1,3) та Галілея G(1,1), G(1,3). У зв'язку з цим природно виникає інтерес до розв'язування задачі повного опису реалізацій алгебр Лі найбільш важливих і відомих груп локальних перетворень в класі лінійних диференціальних операторів першого порядку, які у подальшому можуть розглядатися як алгебри інваріантності диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Таким чином, подальше розвинення методів класичного групового аналізу диференціальних рівнянь є важливим і актуальним на сучасному етапі розвитку загальної теорії диференціальних рівнянь і набуває особливо важливого значення тоді, коли інші методи дослідження і розв'язування диференціальних рівнянь є неефективними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в Інституті математики НАН України в рамках тем “Аналітичні та симетрійні методи досліджень диференціальних моделей математичної фізики” (номер держреєстрації 0198U001993) та “Теоретико-груповий аналіз нелінійних проблем математичної фізики, хімії, біології та економіки” (номер держреєстрації 0101U000098).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є повне розв'язання задачі групової класифікації для нелінійних (квазілінійних) рівнянь еволюційного типу найбільш загального вигляду у двовимірному просторі-часі, симетрійна редукція до систем звичайних диференціальних рівнянь і побудова інваріантних розв'язків SU(2) рівнянь Янга-Міллса в просторі Мінковського та повний опис в одному класі векторних полів Лі реалізацій алгебр Лі ряду важливих груп локальних перетворень, які розглядаються як групи інваріантності диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Для цього поряд з класичними методами групового аналізу диференціальних рівнянь, відомими методами інтегрування звичайних диференціальних рівнянь та рівнянь з частинними похідними, використовуються новий підхід до групової класифікації диференціальних рівнянь та лінійна конструкція конформно-інваріантних анзаців для довільного векторного поля, яким відповідає редукція конформно-інваріантних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними до систем звичайних диференціальних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше одержано такі результати.

Запропоновано й обгрунтовано новий конструктивний метод розв'язування задачі групової класифікації диференціальних рівнянь.

Повністю розв'язано задачу групової класифікації для двовимірного рівняння теплопровідності з нелінійним джерелом загального вигляду.

Повністю розв'язано задачу групової класифікації для загального двовимірного квазілінійного рівняння еволюційного типу.

Побудовано універсальну лінійну конструкцію конформно-інваріантних анзаців для довільного векторного поля, яким відповідає редукція конформно-інваріантних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними до систем звичайних диференціальних рівнянь.

З використанням побудованих анзаців отримано багатопараметричні сім'ї конформно-інваріантних розв'язків системи рівнянь Максвелла у вакуумі.

Здійснено повну процедуру симетрійної редукції SU(2) рівнянь Янга-Міллса в просторі Мінковського до систем звичайних диференціальних рівнянь за підгрупами групи Пуанкаре та розширеної групи Пуанкаре.

Отримано багатопараметричні сім'ї точних розв'язків SU(2) рівнянь Янга-Міллса в просторі Мінковського.

Проведено повний опис коваріантних реалізацій алгебр Лі групи Пуанкаре P(n,m), розширеної групи Пуанкаре та конформної групи C(n,m) у випадку однієї залежної функції.

Побудовано усі реалізації алгебр Лі груп O(3), O(4) та O(1,2), O(2,2) в класі векторних полів Лі у довільному скінченновимірному просторі дійсних змінних.

Знайдено нові коваріантні реалізації алгебр Лі груп Евкліда E(3), E(4) та Пуанкаре P(1,2), P(2,2) у випадку довільної скінченної кількості залежних змінних.

Отримано нові (нековаріантні) реалізації алгебр Лі груп Пуанкаре та Галілея в просторах малої розмірності, що дало можливість побудувати ще невідомі класи пуанкаре- та галілей-інваріантних диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку у двовимірному просторі-часі.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Її результати та розвинені в ній методи можна використати в подальших дослідженнях нелінійних диференціальних рівнянь. При вирішенні прикладних проблем її результати можна застосовувати для дослідження конкретних модельних диференціальних рівнянь.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що виносяться на захист, одержано здобувачем самостійно. В роботах, які опубліковано разом з іншими авторами і включено до автореферату, особистий внесок дисертанта такий. У роботах [10, 16] В.І. Фущичу належить загальна постановка задач, дисертанту--розробка методів дослідження і доведення теорем. У роботах [2, 4, 5, 6, 18] В.І. Фущичу належить загальна постановка задач, дисертанту-- розробка методів дослідження, доведення теорем і симетрійна редукція диференціальних рівнянь, Р.З. Жданову-- уточнення методів дослідження й обговорення отриманих результатів. У роботах [1, 3, 13, 17, 20, 22, 28, 29] Р.З. Жданову належать обговорення постановки задач, методів дослідження та отриманих результатів, дисертанту- -розробка методів дослідження та розв'язання задач. В оглядах [21] та [22] дисертанту належать результати II, III, V та I, II, III частин відповідно. У роботах [23, 24] А.М. Самойленку належать обговорення результатів й уточнення деяких формулювань тверджень, дисертанту-- розробка методів дослідження і розв'язання задачі групової класифікації. А.О. Абраменко [24], А.М. Онищенку [21] та В.Ф.Смалію [7] належить перевірка складних технічних викладок.

Апробацiя результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на Всеукраїнській конференції “Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях” (Львів, 1995), V Міжнародній конференції ім. академіка М.Кравчука (Київ, 1996), Українській конференції “Моделирование и исследование устойчивых систем” (Київ, 1996), Міжнародній конференції “Modelling and Investigation of Systems Stability” (Київ, 1997), I, II, III та IV Міжнародних конференціях “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (Київ, 1995, 1997, 1999, 2001), XXXI Симпозіумі з математичної фізики (Торунь, Польща, 1999), VIII Міжнародній конференції “Modern Group Analysis” (Уфа, Росія, 2000), XVI Міжнародному симпозіумі з нелінійної акустики (Москва, Росія, 2002), Міжнародній конференції “Inverse Problem and Nonlinear Equations” (Харьків, 2002).

Окрім цього, результати дисертації були предметом доповідей на наукових семінарах відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України (керівники член-кореспондент НАН України, професор Фущич В.І., професор Нікітін А.Г., 1995-2002), на науковому семінарі з нелінінійного аналізу Інституту математики НАН України (керівник академік НАН України, професор Скрипник І.В., 1999), на семінарі відділу звичайних диференціальних рівнянь та теорії нелінійних коливань Інституту математики НАН України (керівник академік НАН України, професор Самойленко А.М., 2001), на науковому семінарі “Алгебраїчні питання функціонального аналізу”' Інституту математики НАН України (керівник професор Самойленко Ю.С., 2001, 2002), на об'єднаному семінарі з математичної фізики відділів математичних методів в статистичній механіці та прикладних досліджень Інституту математики НАН України (керівники член-кореспондент НАН України, професор Петрина Д.Я. та професор Нікітін А.Г., 2002).

Публiкацiї. Основні результати дисертації опубліковано в 24 роботах [1-24] у профільних наукових виданнях. Частково вони також висвітлені в статтях [25-29] в інших математичних часописах та в матеріалах [30, 31] міжнародних конференцій.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація містить зміст, вступ, п'ять розділів, висновки, список використаних джерел, що містить 212 найменувань, три додатки та 11 таблиць. Повний обсяг дисертації 347 сторінок, з них список використаних джерел, додатки та таблиці займають 54 сторінки.

Подяки. Я із вдячністю згадую свого першого наукового керівника члена-кореспондента НАН України, професора Фущича В.І., котрий сформулював ряд задач, розв'язання яких увійшло в дану роботу. Я висловлюю щиру подяку академіку НАН України, професору Самойленку А.М., який зацікавився науковою тематикою дисертанта і підтримка якого сприяла завершенню роботи над дисертацією. Також я дуже вдячний доктору фіз.-мат. наук Жданову Р.З. за довголітню плідну наукову співпрацю; професору Нікітіну А.Г. та всім співробітникам відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України за постійний інтерес до моїх результатів, підтримку і допомогу.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність, розкрито суть, мету і наукову новизну проведених досліджень та коротко викладено зміст основної частини роботи.

Кожен розділ роботи починається з короткого вступу, в якому перераховано задачі, що в ньому розглядаються, і подано зміст розділу за підрозділами. В заключному підрозділі кожного розділу сформульовано висновки зі стислим викладенням отриманих в розділі результатів.

Розділ 1, що складається з чотирьох підрозділів, присвячений розв'язуванню задачі групової класифікації диференціальних рівнянь.

У першому підрозділі, перш за все, здійснено постановку задачі групової класифікації нелінійних рівнянь еволюційного типу

(1)

які є основним об'єктом досліджень першого та другого розділів дисертації.

Щодо рівняння (1) ця задача звучить так: описати всі нелінійні рівняння вигляду (1), які мають найвищі симетрійні властивості.

Подальший огляд і аналіз робіт, в яких досліджувалася групова класифікація нелінійних рівнянь вигляду (1), показав, що повністю ця задача була розв'язана лише для рівнянь, які містять довільні функції одного аргументу, оскільки класичний метод розв'язування задачі групової класифікації (метод Лі-Овсяннікова) є ефективним у тих випадках, коли вдається здійснити повний аналіз деякого класифікуючого співвідношення (як правило, це є звичайне диференціальне рівняння або система звичайних диференціальних рівнянь для визначення значень функцій, що входять в досліджуване рівняння). Якщо ж досліджуване рівняння містить функції двох або більше змінних, повний аналіз відповідної системи визначальних рівнянь (яка вже є системою диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку), взагалі кажучи, стає неможливим.

Так, Л.В. Овсянніков (Журн. прикл. мех. и техн. физ., № 3 (1960), С.126-145), прoвів повну групову клaсифікацію лінійного рівняння другого порядку гіперболічного типу

увівши до розгляду інваріанти Лапласа h = A_t +AB-C, k=B_x +AB-C цього рівняння і взявши в якості класифікуючого співвідношення не наслідки системи визначальних рівнянь, а відношення інваріантів Лапласа.

З іншого боку, в груповому аналізі диференціальних рівнянь є добре відомим ряд положень, на яких і грунтується новий підхід, який запропоновано нами для розв'язування задачі групової класифікації диференціальних рівнянь з частинними похідними у просторах з невеликою кількістю незалежних змінних. У прикладанні до рівняння (1) він полягає у виконанні такого алгоритму.

На першому кроці із використанням інфінітезимального методу Лі знаходимо систему визначальних рівнянь для інфінітезимального оператора, що генерує групу cиметрії досліджуваного рівняння. Визначальні рівняння, які явно залежать від довільних функцій та їх похідних, називаємо класифікуючими. Інтегруючи ті iз визначальних рівнянь, які не залежать від довільних функцій, одержуємо найбільш загальний вигляд інфінітезимального оператора, що допускається досліджуваним рівнянням. Також, використовуючи прямий чи інфінітезимальний методи, будуємо групу еквівалентності E даного рівняння.

На другому кроці, просуваючись поетапно, проводимо групову класифікaцію досліджуваних рівнянь, які допускають алгебри інваріантності невисоких розмірностей (наприклад, не вищих за 3). Для цього попередньо будуємо реалізації одно-, дво- та тривимірних алгебр Лі в класі знайдених на першому кроці інфінітезимальних операторів з точністю до еквівалентності, яку визначають перетворення із групи E. Підставляючи значення функцій в отриманих базисних операторах реалізацій в класифікуючі рівняння, знаходимо відповідні значення довільних функцій у відповідних інваріантних рівняннях. Тут же вилучаємо ті із реалізацій, які не можуть бути алгебрами інваріантності рівнянь досліджуваного вигляду. Тим самим ми залишаємося саме в рамках задачі групової класифікації диференціальних рівнянь заданого вигляду. Зауважимо, що поступове підвищення розмірності алгебр інваріантності приводить до зменшення ступеню довiльності функцій, що входять в диференціальні рівняння досліджуваного вигляду.

Третій крок передбачає завершення групової класифікації даного рівняння. Для цього використовуємо як класичнi методи (якщо довільні функції в рівняннях є вже функціями одного аргументу), так і подальше розширення вже відомих реалізацій алгебр Лі до реалізацій алгебр Лі вищих розмірностей, які можуть бути алгебрами інваріантності рівнянь досліджуваного вигляду.

Результатом групової класифікації повинен бути перелік нееквівалентних рівнянь досліджуваного вигляду з наведеними максимальними алгебрами інваріантності цих рівнянь. Основна відмінність запропонованого методу від методу Лі-Овсяннікова полягає у тому, що в класичному методі на чільному місці знаходяться специфікації довільних функцій, від яких приходять до відповідних їм алгебр Лі операторів симетрії, а в запропонованому методі вирішальну роль в груповій класифікації відіграють саме алгебри Лі операторів симетрії (реалізації алгебр Лі), які і визначають відповідні специфікації довільних функцій в досліджуваному рівнянні.

На закінчення підрозділу в якості ілюстративного прикладу використання запропонованого методу проведено групову класифікацію рівняння (2), i показано, що отриманий результат збігається з результатом відповідної класифiкаційної теореми Л.В. Овсяннікова.

Другий і третій підрозділи першого розділу присвячені розв'язуванню задачі групової клаcифікації рівняння теплопровідності з нелінійним джерелом

У першому пункті другого підрозділу виконано перший крок алгоритму методу.

Твердження 1.2.1. Група симетрії рівняння (3) генерується інфінітезимальними операторами вигляду, де функції a, b, f, F задовольняють рівність

Твердження 1.2.2.

Як випливає із твердження 1.2.1, коли на функцію F не накладено ніяких додаткових умов, окрім її гладкості за аргументами, оператор Q є нульовим, а рівняння (3) у загальному випадкові не допускає ніякої групи інваріантності. Також очевидно, що безпосередній аналіз і побудова розв'язків рівняння (5) (класифікуючого рівняння) є неможливими. Тому у другому пункті підрозділу здійснено другий крок алгоритму методу. Перший класифікаційний результат є наслідком такої теореми.

Теорема 1.2.1. Існують перетворення (6) із групи E, які зводять оператор (4) до одного із таких операторів:

Наслідок 1.2.1. Якщо нелінійне рівняння вигляду (3) допускає одновимірну алгебру інваріантності , то з точністю до еквівалентності воно збігається з одним із таких трьох рівнянь. Далі проведено опис реалізацій двовимірних дійсних алгебр Лі (які з точністю до ізоморфізму вичерпуються двома алгебрами ( ) та ( )) в класі операторів (4) з точністю до еквівалентності, яку визначає дія перетворень (6) із групи E. Подальший розгляд цих реалізацій як алгебр інваріантності нелінійних рівнянь вигляду (3) привів до такого результату. Далі ми використовуємо такі позначення:

Теорема 1.2.2У третьому пункті другого підрозділу завершено виконання другого кроку алгоритму методу. Тут описано усі нелінійні рівняння вигляду (3), які інваріантні відносно тривимірних алгебр Лі операторів симетрії . Зокрема виявилося, що існує лише одне рівняння заданого вигляду, яке інваріантне відносно напівпростої алгебри Лі операторів симетрії. Ця алгебра є ізоморфною алгебрі sl(2,R) ( ).

Теорема 1.2.3. Нелiнiйнi рівняння вигляду (3), які допускають алгебри інваріантності ізоморфні напівпростим алгебрам Лі, з точністю до еквівалентності вичерпуються рівнянням, де G -- довільна гладка функція змінної . У випадку довільного значення функції G максимaльною алгеброю інваріантності цього рівняння є така реалізація алгебри sl(2,R):

Також тут отримано ще 27 нееквівалентних нелінійних рівнянь вигляду (3), максимальними алгебрами інваріантності яких є тривимірні розв'язні алгебри Лі операторів симетрії.

Завершення групової класифікації нелінійних рівнянь вигляду (3) проведено в трьох пунктах третього підрозділу, де отримано перелік нееквівалентних рівнянь вигляду (3) з найвищими симетрійними властивостями.

Теорема 1.3.1. З точністю до еквівалентності нелінійні рівняння вигляду (3), які допускають алгебри інваріантності, ізоморфні алгебрам Лі операторів симетрії з нетривіальним розкладом Леві, вичерпуються рівнянням Бюргерса , максимальна алгебра інваріантності якого є ізоморфною алгебрі .

Виявляється, що саме рівняння Бюргерса, яке знайшло широкі застосування у фізиці, має найвищі симетрійні властивості серед рівнянь досліджуваного вигляду. Ще одинадцять нелінійних рівнянь вигляду (3) є інваріантними відносно чотиривимірних розв'язних алгебр Лі операторів симетрії.

Основним об'єктом досліджень другого розділу дисертації є групова класифікація нелінійних рівнянь вигляду (7), яка розв'язується в перших двох підрозділах розділу.

У підрозділі 2.1, який розбито на два пункти, проводиться опис рівнянь, які інваріантні відносно алгебр Лі операторів симетрії з нетривіальним розкладом Леві. У першому пункті підрозділу проведено попередню групову класифікацію рівняння (7).

Твердження 2.1.1. Група симетрії рівняння (7) генерується інфінітезимальними операторами вигляду, де дійсні гладкі функції a, b, c, F, G задовольняють такі дві рівності:

Теорема 2.1.1. Iснують заміни змінних (9), які зводять оператор (83) в один із таких двох операторів.

Наслідок 2.1.1. Якщо нелінійне рівняння вигляду (7) допускає одновимірну алгебру інваріантності A₁, то з точністю до еквівалентності воно збігається з одним із таких двох рівнянь.

Опис рівнянь, які інваріантні відносно алгебр Лі операторів симетрії з нетривіальним розкладом Леві проведено у другому пункті першого підрозділу. Для цього спочатку проведено опис рівнянь досліджуваного вигляду, які інваріантні відносно напівпростих алгебр Лі операторів симетрії. Далі де .

Якщо в інваріантних рівняннях функції і є довільними функціями своїх аргументів, то відповідні реалізації алгебри sl(2,R) є максимальними алгебрами інваріантності цих рівнянь. Максимальною алгеброю інваріантності рівняння (третього в перелікові) є п'ятивимірна алгебра Лі операторів симетрії, ізоморфна алгебрі , де sl(2,R) збігається з реалізацією (14), а .

Теорема 2.1.4. В класі операторів (8), окрім отриманих реалізацій алгебр so(3) та sl(2,R), не існують іншi реалізації напівпростих алгебр Лі, які були б алгебрами інваріантності нелінійних рівнянь вигляду (7).

Оскільки рівняння, які отримано в теоремах 2.1.2, 2.1.3, містять довільні функції однієї змінної, то для їх аналізу було використано стандартний метод Лі-Овсяннікова. В результаті досліджeння було отримано, що нелінійні рівняння вигляду (7), максимальними алгебрами інваріантності яких є алгебри Лі операторів симетрії з нетривіальним розкладом Леві, з точністю до еквівалентності сімома рівняннями.

Опис нелінійних рівнянь вигляду (7), які інваріантні відносно розв'язних алгебр Лі операторів симетрії проведено в другому підрозділі розділу. Для цього у першому пункті підрозділу проведено попередню класифікацію таких рівнянь. Тут отримано, що з точністю до еквівалентності існують п'ять та двадцять вісім нелінійних рівнянь вигляду (7), які інваріантні відповідно відносно дво- та тривимірних розв'язних алгебр Лі операторів симетрії.

Завершення групової класифікації нелінійних рівнянь вигляду (7), які інваріантні відносно розв'язних алгебр Лі операторів симетрії, здійснено у дрyгому пункті підрозділу. Тут описано всі такі рівняння з найвищими симетрійними властивостями. Виявилося, що з точністю до еквівалентності такі рівняння вичерпуються тридцятьма рівняннями, максимальними алгебрами інваріантності яких є чотиривимірні розв'язні алгебри Лі операторів симетрії, та трьома відомими рівняннями із теорії фільтрації максимальними алгебрами інваріантності яких є п'ятивимірні розв'язні алгебри Лі операторів симетрії. Проблемі використання високих симетрійних властивостей нелінійних рівнянь вигляду (7) для побудови їх точних розв'язків присвячений третій підрозділ другого розділу. У першому пункті підрозділу розглянуто класичну симетрійну редукцію i побудовано точні розв'язки для ряду рівнянь вигляду (7), максимальними алгебрами інваріантності яких є чотиривимірні розв'язні алгебри Лі операторів симетрії. Так, зокрема, для рівняння отримано такі нетривіальні точні розв'язки:

Повний перелік результатів cиметрійної редукції розглянутих рівнянь подано в додатку 1.

У другому пункті третього підрозділу розглянуто питання про можливості використання некласичних (Q-умовних) локальних симетрій для інтегрування рівнянь еволюційного типу частинним випадком яких є розглянуті вище рівняння.

Згідно із загальною процедурою пошуку Q-умовних симетрій, оператори умовної симетрії розглядалися у вигляді, де T=1 або T=0, X=1.

Теорема 2.3.1. Нехай рівняння вигляду (17) є умовно інваріантним відносно оператора (18), в якому T =0, X=1. Тоді визначальнe для функції U(t,x,u) рівняння є еквівалентним рівнянню (17).

Згідно з результатaми теореми 2.3.1 проблема знаxодження нових (неліївських) операторів симетрії (18) (T=0, X=1) для рівняння вигляду (17) є еквівалентною задачі побудови нових (які не можна отримати в класичному підході Лі) розв'язків цього рівняння. Далі показано, що коли в (18) T=1, то для ряду розглянутих рівнянь оператори Q-умовної симетрії збігаються з операторами класичної (в сенсі Лі) симетрії цих рівнянь. Отже, не зважаючи на певний прогрес у використанні некласичних симетрій для побудови нових розв'язків ряду нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними, метод класичної симетрійної редукції залишається основним генератором точних розв'язків для рівнянь з нетривіальними симетрійними властивостями.

Саме проблемі симетрійної редукції конформно-інваріантних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними присвячено два наступних розділи дисертації.

У третьому розділі проведено побудову універсальної лінійної конструкції конформно-інваріантних анзаців, яким відповідає редукція ряду відомих систем диференціальних рівнянь з частинними похідними до систем звичайних диференціальних рівнянь.

Для цього у першому підрозділі проведено аналіз загальної процедури симетрійної редукції і показано, що коли локальна група перетворень G генерується інфінітезимальними операторами вигляду

Відомі ж реалізації в класі векторних полів Лі груп P(1,3), , C(1,3) можна подати у вигляді, У формулах (20) -- cуть -матриці, що реалізують зображення алгебри Лі o(1,3) групи перетворень Лоренца O(1,3), тобто мають місце комутаційні співвідношення

де -- тензор простору Мінковського ; E-- одинична -матриця,

символ означає скалярний добуток. Тут і далі, піднімання та опускання індексів здійснюється за допомогою метричного тензора простору Мінковського , а за індексами, що повторюються, передбачено підсумовування в межах їх зміни: від 0 до 3 за індексами та від 1 до 3 за індексом a. Число k-- деяке цілком визначене число, яке називається степенем конформності алгебри c(1,3).

Оскільки основною метою третього розділу є побудова конформно-інваріантних анзаців, яким відповідає симетрійна редукція до систем звичайних диференціальних рівнянь (в аназаці (19) є вектор-функцією однієї змінної), то в другому підрозділі здійснено опис підалгебр рангу 3 (s=3) алгебр Лі p(1,3), , c(1,3) груп P(1,3),, C(1,3) з точністю до конформної спряженості.

Безпосередній побудові конформно-інваріантних анзаців присвячений третій підрозділ розділу. Тут, з використанням базису алгебри o(1,3), який складають мариці () для кожної із підалгебр рангу 3 алгебр p(1,3), , c(1,3) здійснено побудову відповідних анзаців (19), в яких матрицю взято у вигляді, де є довільні гладкі функції, визначені в деякій відкритій області

Явний вигляд функцій у кожному анзаці було знайдено в результаті інтегрування відповідної системи рівнянь, де визначаються виглядом базисних операторів кожної підалгебри конформної алгебри рангу 3, H-- матриця. При цьому для інтегрування другої групи рівнянь (23) було використано результати наступного твердження, що значно скоротило об'єм обрахунків.

Теорема 3.3.1. Друга група рівнянь (23) зводиться до такої системи диференціальних рівнянь з частинними похідними для визначення значень функцій.

В (24) =0,1,2,3; a=1,2,3. Вигляд лінійних опеpаторів та функцій визначається базисними операторами деякої підалгебри рангу 3 алгебри c(1,3).

У четвертому підрозділі третього розділу, в якості ілюстративного прикладу, лінійну конструкцію конформно-інваріантних анзаців було використано для симетрійної редукції системи рівнянь Максвелла у вакуумі. Це дозволило побудувати десять сімей точних розв'язків рівнянь (25), які не можна отримати прямою редукцією за раxунок зменшення кількості незалежних змінних.

Четвертий розділ дисертації присвячений симетрійній редукції і побудові точних розв'язків SU(2) рівнянь Янга-Міллса в просторі Мінковського. Класичні рівняння Янга-Міллса SU(2) калібровної теорії в просторі Мінковського R^1,3 складають систему дванадцяти нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку.

У цьому розділі роботи індекси їх піднімання та опускання здійснюється за допомогою метричного тензора простору Мінковського, -- вектор-потенціали поля Янга-Міллса (надалі ми називаємо їх просто полями Янга-Міллса).

Максимальною (в сенсі Лі) групою інваріантності рівнянь (26) є група C(1,3) SU(2), де C(1,3)-- 15-параметрична група локальних перетворень, а SU(2)-- нескінченно-параметрична унітарна група калібровних перетворень.

Оскільки група C(1,3) генерується операторами вигляду (20), то є можливість використання побудованих в третьому розділі анзаців для симетрійної редукції рівнянь (26). Але пряме використання побудованих анзацiв для симетрійної редукції рівнянь (26) є досить незручним. Тому у першому підрозділі проведено зведення P(1,3)- та -інваріантних анзаців до більш зручного (коваріантного) вигляду. Так, зокрема, використання процедури розмноження розв'язку перетвореннями із групи Лоренца дозволило подати P(1,3)-інваріантні анзаци для полів Янга-Міллса. Тут довільні параметри, які задовольняють співвідношення. В (27), (28) функції мають цілком конкретний вигляд для кожної із підалгебр рангу 3 алгебри p(1,3).

Коваріантна форма P(1,3)- та -інваріантних анзаців дозволила провести в другому підрозділі симетрійну редукцію рівняння (26) у загальному вигляді.

Аналіз редукованих систем та побудовy точних розв'язків рівнянь Янга-Міллса (26) проведено в третьому підрозділі четвертого розділу. Для інтегрування редукованих систем було використано метод, який полягає у зведенні цих систем до систем з меншою кількістю рівнянь за допомогою спеціально підібраних підстановок. В результаті було побудовано 28 сімей багатопараметричних неабелевих розв'язків рівнянь Янга-Міллса (26).

Також тут розглянуто деякі узагальнення отриманих розв'язків системи (26).

П'ятий розділ дисертації присвячений побудові реалізацій в класі лінійних диференціальних операторів (векторних полів Лі) алгебр Лі ряду груп локальних перетворень простору залежних та незалежних змінних (груп Пуанкаре P(n,m), Евкліда E(k) та їх природних узагальнень-- груп Галілея, розширених груп Евкліда та Пуанкаре, конформних груп). Особлива увага тут звернута на коваріантні реалізації алгебр Лі груп P(1,2), P(2,2), E(3), E(4), які є групами інваріантності ряду важливих модельних диференціальних рівнянь та систем диференціальних рівнянь.

Перший підрозділ розділу має допоміжний характер. У ньому введено в розгляд основні поняття та означення, які використовуються у подальшому.

Нехай є p +q-вимірний простір дійсних змінних та , які надалі ми розрізняємо як незалежні та залежні ( ) змінні, G-- локальна група перетворень, яка діє в V й векторні поля Лі якої мають вигляд, де -- деякі дійсні гладкі функції змінних та , визначені в деякій області просторy V, i=1,2,…, p, j=1, 2,…, q.

Розрізняючи змінні x та u, ми враховуємо, що G є групою інваріантності деякої системи диференціальних рівнянь з частинними похідними для

Добре відомо, що дослідження зображень групи перетворень Лі G зводиться до вивчення зображень її алгебри Лі AG. У нашому випадкові базисними елементами алгебр Лі є диференціальні оператори першого порядку (векторні поля Лі) вигляду (32). Довільна алгебра Лі однозначно визначається певним набором дійсних чисел (структурними константами). Тобто, якщо, то існують N² дійсних чисел таких, що для довільних базисних елементів алгебри AG має місце рівність

Означення 5.1.1. Якщо N лінійно незалежних диференціальних операторів першого порядку Q_a вигляду (32) задовольняють комутаційні співвідношення (33), то кажуть, що оператори Q_a реалізують зображення векторними полями Лі алгебри Лі AG або є реалізацією алгебри Лі AG в класі векторних полів Лі.

Надалі ми реалізації алгебри Лі AG в класі векторних полів Лі називаємо просто реалізаціями алгебри Лі AG. З означення випливає, що проблема oпису усіх реалізацій даної алгебри Лі AG зводиться до розв`язування співвідношень (33) в класі лінійних диференціальних операторів першого порядку (32) для фіксованих структурних констант .

Відомо, що співвідношення (33) не змінюються в результаті довільної невиродженої заміни змінних x, u, де -- гладкі визначені в V функції. Звідси випливає, що на множині реалізацій векторними полями Лі алгебри AG можна ввести таке бінарне відношення: двi реалізації та алгебри AG називаються еквівалентними, якщо існують такі оборотні перетворення (34), які трансформують ці реалізації однa в одну. Ці перетворення утворюють групу (її називають групою дифеоморфізмів), а бінарне відношення є відношенням еквівалентності, яке розбиває множину всіх реалізацій алгебри AG на класи A₁, A₂,…, A_r еквівалентних реалізацій. Отже, для опису всіх реалізацій алгебри AG достатньо побудувати по одному представникові кожного iз цих класів A_j, j=1,…, r.

У випадку розгляду реалізацій алгебри Пуанкаре p(n,m), V=X U R^n,mR^q є n+m+q-вимірним простoром дійсних змінних x_i (i=1, …, n, n+1, …, n+m) та u_j (j=1, …, q), де R^n,m-- псевдоевклідовий простір з метричним тензором

У випадку алгебри Евкліда e(p) V = X U R^pR^q, але R^p-- евклідовий простір. Нехай де -- гладкі в V = X U функції, i=1,2,…, n, =1,2, …, p, j=1,2,…, q, n p, M-- матриця складена з коефіцієнтів в операторах (36) біля похідних :

Лема 5.1.1. Якщо rank M=n (np), то існують такі перетворення (34), які зводять оператори P_i (36) до oператорів P_i = ,(i=1,2, …, n).

Означення 5.1.6. Реалізації алгебр Евкліда e(p) та Пуанкаре p(n,m) (n+m=p) будемо називати коваріантними, якщо базисні елементи P_i (i=1, …, p) задовольняють умову rank M=p, де M-- матриця (37), складена для операторів P_i.

У другому підрозділі розділу проведено опис коваріантних реалізацій алгебр p(n,m), , c(n,m) для випадку однієї залежної змінної. Тут де -- псевдоевклідовий простір дійсних змінних з метричним тензором (35), .

Основні, принципово нові результати отримані в наступних твердженнях.

Теорема 5.2.1. Довільнa коваріантнa реалізація алгебри p(n,m), де , є еквівалентною стандартній реалізації, де -- метричний тензор (35).

Наслідок 5.2.1. Довільнa коваріантнa реалізація розширеної алгебри Пуанкаре , де , є еквівалентною реалізації. Тут -- метричний тензор (35).

Наслідок 5.2.2. Довільнa коваріантнa реалізація конформної алгебри c(n,m), де , є еквівалентною одній із таких реалізацій:

1) оператори мають вигляд (38), а оператори

2) оператори мають вигляд (38), де , а оператори

Теорема 5.2.2. Довільна коваріантна реалізація алгебри Пуанкаре p(2,2) є еквівалентною реалізації

У третьому підрозділі розглянуто коваріантні реалізації алгебр Евкліда e(3) та e(4) для випадку довільної кількості залежних змінних.

Тут де -- m-вимірний евклідовий простір дійсних змінних -- простір дійсних змінних які ми, як і раніше, розрізняємо як незалежні x та залежні u=u(x) змінні. При цьому m=3 для алгебри e(3) та m=4 для алгебри e(4).

Принципово важливим тут є результат такого твердження.

Теорема 5.3.1. Нехай диференціальні оператори першого порядку задовольняють комутаційні співвідношення алгебри Лі групи поворотів O(3). Тоді вони всі є або нульовими, тобто , a=1,2,3, або існують перетворення з групи дифеоморфізмів, які зводять їх до однієї із двох трійок операторів:

Далі, грунтуючись на результатах цієї теореми, проведено опис коваріантних реалізацій алгебри e(3), усіх довільних реалізацій алгебри o(4) та ряду реалізацій алгебри e(4).

У четвертому підрозділі розглянуто коваріантні реалізації алгебр Лі груп Пуанкаре P(1,2) та P(2,2). Тут центральною є така теорема.

Теорема 5.4.1. Нехай диференціальні оператори задовoльняють комутаційні співвідношення алгебри Лі псевдоортогональної групи O(1,2). Тоді існують перетворення із групи дифеоморфізмів, які зводять дані оператори до однієї із таких трійок операторів.

Виходячи із результатів цієї теореми, далі проведено опис коваріантних реалізацій алгебр p(1,2), усіх довільних реалізацій алгебри o(2,2) та ряду реалізацій алгебри p(2,2).

П'ятий і шостий підрозділи п'ятого розділу присвячені розв'язуванню задачі опису найбільш загального вигляду диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку у двовимірному просторі-часі, які інваріантні відносно груп Пуанкаре та Галілея.

Оскільки Д.Рідо та П.Вінтернітц (J.Math. Phys., 1990, 31, P. 1095-1105) розв'язали цю задачу для коваріантних реалізацій алгебр p(1,1), , c(1,2), то в п'ятому підрозділі проведено опис лише нековаріантних реалізацій цих алгебр в просторі двох незалежних та однієї залежних змінної.

Теорема 5.5.1. З точністю до еквівалентності нековаріантні реалізації алгебр p(1,1) та вичерпуються реалізаціями

Також тут отримано і повний опис реалізацій алгебри p(1,2) в просторі трьох незалежних та однієї залежних змінної.

Далі результати теореми 5.5.1 використано для опису найбільш загального вигляду диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку, які допускають отримані реалізації (39)-(41) алгебр p(1,1) та в якoсті алгебр інваріантності. Так, зокрема, рівняння, інваріантне відносно реалізації (39), має вигляд ( J₁, J₂, J₃, J₄, J₅ ) =0, де

Аналогічнy задачy опису галілей-інваріантних рівнянь в двовимірному просторі часі розглянуто в шостому підрозділі п'ятого розділу. Тут, перш за все, було проведено повний опис усіх нееквівалентних реалізацій класичної та розширеної класичної алгебр Галілея, а також їх природних узагальнень. Зокрема, доведено таку теорему.

Теорема 5.6.1. Нееквівалентні реалізації класичної алгебри Галілея вичерпуються pеалізаціями

Далі отримані реалізації були використаними для опису галілей-інваріантних диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена розробці і розвиненню методів сучасного групового аналізу диференціальних рівнянь. Автором вперше одержано такі наукові результати:

Запропоновано й обгрунтовано новий конструктивний метод розв'язування задачі групової класифікації диференціальних рівнянь.

Повністю розв'язано задачу групової класифікації для двовимірного рівняння теплопровідності з нелінійним джерелом загального вигляду.

Повністю розв'язано задачу групової класифікації для загального двовимірного квазілійного рівняння еволюційного типу.

Побудовано універсальну лінійну конструкцію конформно-інваріантних анзаців для довільного векторного поля, яким відповідає редукція конформно-інваріантних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними до систем звичайних диференціальних рівнянь.

З використанням побудованих анзаців отримано багатопараметричні сім'ї конформно-інваріантних розв'язків системи рівнянь Максвелла у вакуумі.

Здійснено повну процедуру симетрійної редукції SU(2) рівнянь Янга-Міллса в просторі Мінковського до систем звичайних диференціальних рівнянь за підгрупами групи Пуанкаре та розширеної групи Пуанкаре.

Отримано багатопараметричні сім'ї точних розв'язків SU(2) рівнянь Янга-Міллса в просторі Мінковського.

Проведено повний опис коваріантних реалізацій алгебр Лі групи Пуанкаре P(n,m), розширеної групи Пуанкаре та конформної групи C(n,m) у випадку однієї залежної функції.

Побудовано усі реалізації алгебр Лі груп O(3) ,O(4) та O(1,2), O(2,2) в класі векторних полів Лі у довільному скінченновимірному просторі дійсних змінних.

Знайдено нові коваріантні реалізації алгебр Лі груп Евкліда E(3), E(4) та Пуанкаре P(1,2), P(2,2) у випадку довільної скінченної кількості залежних змінних.

Отримано нові (нековаріантні) реалізації алгебр Лі груп Пуанкаре та Галілея в просторах малої розмірності, що дало можливість побудувати ще невідомі класи пуанкаре-та галілей-інваріантних диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку у двовимірному просторі-часі.

Запропонований в роботі метод групової класифікації диференціальних рівнянь дозволяє розширити коло рівнянь, для яких повне розв'язання задачі групової класифікації є конструктивним. Результати групової класифікації нелінійних рівнянь еволюційного типу дозволяють здійснити повний груповий аналіз таких рівнянь з нетривіальними симетрійними властивостями, що є особливо актуальним внаслідок використання рівнянь цього типу для опису процесів різної природи.

Побудована лінійна конструкція конформно-інваріантних анзаців, яким відповідає симетрійна редукція конформно-інваріантних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними до систем звичайних диференціальних рівнянь, значно скорочує об'єм рутинної обчислювальної роботи, яку потрібно виконати під час дослідження конкретних систем. Зокрема, її використання дозволилo здійснити побудову ряду багатопараметричних сімей точних розв'язків SU(2) рівнянь Янга-Міллса в просторі Мінковського, для яких використання інших методів інтегрування виявилося малоефективним.

Нарешті, нові реалізації алгебр Лі ряду груп локальних перетворень можуть бути використаними для побудови загальних класів диференціальних рівнянь з частинними похідними, які матимуть нетривіальні симетрійні властивості.

Запропоновані й розвинені в дисертаційній роботі методи дозволяють здійснити суттєве просування у вирішенні ряду класичних проблем сучасного групового аналізу диференціальних рівнянь.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Zhdanov R.Z., Lagno V.I. On separability criteria for a time-invariant Fokker-Planck equation// Доп. АН України. -- 1993.-- № 2.-- P.18-21.

Fushchych W.I., Lagno V.I., Zhdanov R.Z. On nonlinear representation of the conformal algebra AC(2,2) // Доп. АН України. -- 1993. -- № 9. -- C.44-47.

Zhdanov R.Z., Lahno V.I. On the new exact solutions of the Yang-Mills equations// Доп. АН України.-- 1994. -- № 8. -- C.26-31.

Fushchych W., Zhdanov R. and Lagno V. On linear and non-linear representations of the generalized Poincarй groups in the class of Lie vector fields // J. Nonlin. Math. Phys. -- 1994. -- 1, №3. -- P.295-308.

Zhdanov R.Z., Lahno V.I., Fushchych W.I. Reduction of the self-dual Yang-Mills equations. I. The Poincarй group // Укр. мат. журн. -- 1995. -- 47, №4. -- C.456-462.

Lahno V., Zhdanov R., Fushchych W. Symmetry reduction and exact solutions of the Yang-Mills equations// J. Nonlin. Math. Phys. -- 1995. -- 2, № 1. -- P.51-72.

Лагно В.I., Смалiй В.Ф. -інваріантні анзаци для поля Максвелла // Доп. НАН України.-- 1996. -- № 12. -- С. 49-54.

Лaгно В.І. Про нові зображення груп Пуанкаре та Евкліда // Доп. НАН України.-- 1996. -- № 8. -- C.14-18.

Lahno V. On Poincarй-invariant reduction and exact solutions of the Yang-Mills equations // J. Nonlin. Math. Phys. -- 1996. -- 3, №3-4. -- P.291-295.

...