Представление о математической модели в курсе алгебры основной школы. Уравнения как математические модели реальных ситуаций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Московской области

Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Ногинский педагогический колледж Московской области

Кафедра естественно-математических дисциплин и информатики

Выпускная квалификационная работа

Представление о математической модели в курсе алгебры основной школы. Уравнения как математические модели реальных ситуаций

Специальность: 050201 «Математика»

студентки АБАШКИНОЙ АННЫ АЛЕКСАНДРОВНЫ

Ногинск, 2009



ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1 МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК МЕТОД НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ

1.2 ПОНЯТИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ПСИХОЛОГИИ

1.3 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ И МОДЕЛИРОВАНИЯ В ОБУЧЕНИИ

1.3.1 ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ. МОДЕЛИРОВАНИЕ

1.3.2 КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ. ВИДЫ МОДЕЛЕЙ

1.3.3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ

2.1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ШКОЛЕ

2.2 ФУНКЦИИ И ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ В ШКОЛЕ

2.3 МОДЕЛЬ КАК СРЕДСТВО ОБУЧЕНИЯ. АНАЛИЗ УЧЕБНИКОВ АЛГЕБРЫ 5-9 КЛАССОВ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЗЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 3



ВВЕДЕНИЕ

Проблема модернизации образования в настоящее время широко обсуждается в теории и практике, особенно с позиции активизации творческой познавательной деятельности учащихся. Активизация познавательной деятельности учащихся - один из дидактических принципов, роль которого существенно возросла в условиях развивающего обучения. Проблема активизации включает в себя средства для осуществления такой деятельности. математический уравнение алгебра

Моделирование - важный метод научного познания и сильное средство активизации учащихся в обучении.

Отмечается, что одной из составляющих математического образования является новое представление о предмете математики. В основе содержания школьных учебников должно быть предусмотрено создание и разработка схем, моделей и их вариантов, создание моделей по известным схемам, приложение уже разработанных схем непосредственно в обучении. Для того чтобы лучше увидеть общие черты усваиваемого действия, надо отвлечься от ненужных в данном случае свойств предметов, а это и значит, что нужно перейти к действию с моделями, свободными от всех других свойств, кроме нужных в данном случае.

К основным целям обучения математике относится формирование умений строить математические модели простейших реальных явлений, исследовать явления по заданным моделям, конструировать приложения моделей; приобщение учащихся к опыту творческой деятельности и формирование у них умения применять его.

Однако вот какой парадокс обнаруживается: то, что учащиеся имеют дело с моделями, изучают модели, они, как правило, не знают. Да откуда им это знать, если в программах и в учебниках понятия модели и моделирования почти отсутствуют?

Массовые обследования учащихся показали, что подавляющее большинство учащихся не могут дать четкого определения понятия модели и моделирования, они лишь указывают на модели геометрических тел, которые обычно стоят в шкафах математических кабинетов.

Все выше сказанное определило актуальность данной работы.

Объект исследования: процесс обучения учащихся построению математических моделей в курсе алгебры 5-9 классов основной общеобразовательной школы.

Предмет исследования: влияние математической модели на формирование понятия уравнения в курсе алгебры 5-9 классов основной школы.

Цель работы: совершенствование методики изучения уравнений как моделей реальных процессов.

В ходе исследования была выдвинута гипотеза: если сформировать умение решать задачи с помощью уравнений, то процесс обучения решению задач будет более эффективным.

С учетом проблемы исследования и для проверки достоверности выдвинутой гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

1) показать возможность влияния математической модели на формирование понятия уравнения;

2) изучение и анализ учебно-методической литературы по теории вопроса и по практическому применению моделирования при решении задач;

3) разработка методических приемов построения математических моделей.



1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1 МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК МЕТОД НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале. Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Процесс моделирования включает три элемента:

1) субъект (исследователь),

2) объект исследования,

3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен» в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Моделирование циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.



1.2 ПОНЯТИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ПСИХОЛОГИИ

Моделирование (от французского «modele» - образец) - исследование психических процессов и состояний при помощи их реальных (физических) или идеальных, прежде всего математических, моделей. Под «моделью» при этом понимается система объектов или знаков, воспроизводящая некоторые существенные свойства системы - оригинала. Наличие отношения частичного подобия позволяет использовать модель в качестве заменителя или представителя изучаемой системы. Относительная простота модели делает такую замену особенно наглядной. Создание упрощенных моделей системы - действенное средство проверки истинности и полноты теоретических представлений в разных отраслях знания.

Первые попытки применения моделирования в психологии связаны с изучением психофизических зависимостей и процессов памяти. За сравнительно короткий срок появились математические модели обучения, информационные модели памяти, восприятия и внимания. Моделирование охватило также наиболее сложные виды интеллектуальной деятельности, такие, как игра в шахматы и решение разнообразных задач. Особенно перспективным оказалось понимание психических процессов по аналогии с процессами, осуществляемыми ЭВМ. Модели психических и психофизиологических функций представляют собой машинные программы, конкретная реализация которых во многом зависит от выбранного языка программирования. Несмотря на ряд примеров успешного моделирования психических и психофизиологических процессов, в целом преобладает мнение, что для создания полноценных психологических теорий использования одного этого метода принципиально недостаточно. С помощью формальных моделей, как правило, не удается дать однозначное описание имеющихся данных. Для того чтобы уменьшить произвольность интерпретации этих данных, необходимо использовать результаты качественного психологического анализа.

1.3 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ И МОДЕЛИРОВАНИЯ В ОБУЧЕНИИ

1.3.1 ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ. МОДЕЛИРОВАНИЕ

Понятие «модель» возникло в процессе опытного изучения мира, а само слово «модель» произошло от латинских слов «modus», «modulus», означающих меру, образ, способ. Почти во всех европейских языках оно употреблялось для обозначения образа или прообраза, или вещи, сходной в каком-то отношении с другой вещью.

Существуют различные точки зрения на определение понятия «модель».

Так, например, В. А. Штофф под моделью понимает такую мысленно представляемую или материально реализованную систему, которая отображает и воспроизводит объект так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте.

А. И. Уемов определяет модель как систему, исследование которой служит средством для получения информации о другой системе.

Чарльз Лейв и Джеймс Марч дают такое определение модели: «Модель - это упрощенная картина реального мира. Она обладает некоторыми, но не всеми свойствами реального мира. Она представляет собой множество взаимосвязанных предположений о мире. Модель проще тех явлений, которые она по замыслу отображает или объясняет».

В. А. Поляков считает, что «модель - это идеальное формализованное представление системы и динамики ее поэтапного формирования. Модель должна интегрировано имитировать реальные задачи и ситуации, быть компактной, адекватно передавать смены состояний и должна совпадать с рассматриваемой задачей или ситуацией».

Иногда под моделью понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты.

Вот некоторые примеры моделей:

1) архитектор готовится построить здание невиданного доселе типа. Но прежде чем воздвигнуть его, он сооружает это здание из кубиков на столе, чтобы посмотреть, как оно будет выглядеть. Это модель.

2) на стене висит картина, изображающая бушующее море. Это модель.

Построение и использование модели в научном познании составляют особый метод - моделирование.

Моделирование в настоящее время получило необычайно широкое применение во многих областях знаний: от философских и других гуманитарных разделов знаний до ядерной физики и других разделов физики, от проблем радиотехники и электротехники до проблем механики и гидромеханики, физиологии и биологии и т. д. моделирование - главный способ познания окружающего мира.

Вопросы моделирования рассматривались в работах философов (В. А. Штоффа, И. Б. Новикова, Н. А. Уемова и других), специалистов по педагогике и психологии (Л. М. Фридмана, В. В. Давыдова, Б. А. Глинского, С. И. Архангельского и других).

«Моделирование - это есть процесс использования моделей (оригинала) для изучения тех или иных свойств оригинала (преобразования оригинала) или замещения оригинала моделями в процессе какой-либо деятельности» (например, для преобразования арифметического выражения можно его компоненты временно обозначить буквами).

«Моделирование - это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система:

1) находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;

2) способная замещать его в определенных отношениях;

3) дающая при ее исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте»

(три перечисленных признака, по сути, являются определяющими признаками модели).

На основании перечисленного можем выделить следующие цели моделирования:

1) понимание устройства конкретной системы, ее структуры, свойств, законов развития и взаимодействия с окружающим миром;

2) управление системой, определение наилучших способов управления при заданных целях и критериях;

3) прогнозирование прямых и косвенных последствий реализации заданных способов и форм воздействия на систему.

1.3.2 КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ. ВИДЫ МОДЕЛЕЙ

Модели классифицируют исходя из наиболее существенных признаков объектов. В литературе, посвященной философским аспектам моделирования, представлены различные классификационные признаки, по которым выделены различные типы моделей. Рассмотрим некоторые из них.

Материальные модели, несмотря на то, что эти модели созданы человеком, существуют объективно. Их назначение специфическое - воспроизведение структуры, характера, протекания, сущности изучаемого процесса - отразить пространственные свойства - отразить динамику изучаемых процессов, зависимости и связи.

Материальные модели неразрывно связаны с воображаемыми (прежде чем что-либо построить, необходимо иметь теоретическое представление, обоснование). Эти модели остаются мысленными даже в том случае, если они воплощены в какой-либо материальной форме. Большинство этих моделей не претендует на материальное воплощение.

Достоинства данной классификации в том, что она дает хорошую основу для анализа двух основных функций модели:

- практической (в качестве орудия и средства научного эксперимента);

- теоретической (в качестве специфического образа действительности, в котором содержатся элементы логического и чувственного, абстрактного и конкретного, общего и единичного).

Рассмотрим еще одну классификацию, предлагаемую Л. М. Фридманом.

Классификация моделей (Фридман Л. М.)
С точки зрения степени наглядности все модели делятся на два класса:
материальные:	идеальные:
Статические (неподвижные):	Динамические (действующие):	Образные (иконические):	Знаковые (знаково-символические):	Мысленные (умственные, воображаемые):
Макеты домов, застройки городов и сел	Для расчета проектируемой гидроэлектростанции строят действующую модель реки и будущей плотины	Рисунки	Уравнения	Любое научное представление о каком-либо явлении в форме его описания на естественном языке
Модели геометрических фигур и тел, изготовленные из дерева, проволоки, стекла	Модель будущего корабля позволяет в обычной ванне изучить некоторые аспекты поведения проектируемого корабля в море или на реке	Чертежи	Выражения
		Схемы	Система уравнений
Пространственные модели молекул и кристаллов в химии	Аналоговые и имитирующие модели	Карты	Запись решения задач по действиям
Модели самолетов, кораблей и других машин		Планы	Формулы

Аналоговые и имитирующие модели воспроизводят то или иное явление с помощью другого, в каком-то смысле более удобного. Таковы, например, электрические модели разного рода механических, тепловых, биологических и прочих явлений. Другим примером может быть модель почки, которую широко используют в медицинской практике. Эта модель -- искусственная почка -- функционирует одинаково с естественной (живой) почкой, выводя из организма шлаки и другие продукты обмена, но, конечно, устроена она совершенно иначе, чем живая почка.

Как видим, понятие модели в науке и технике имеет множество различных значений, среди ученых нет единой точки зрения на классификацию моделей, в связи с этим невозможно однозначно классифицировать и виды моделирования.

Классификацию можно проводить по различным основаниям:

1) по области использования;

2) по фактору времени;

3) по отрасли знаний;

4) по форме представления.

1.3.3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Математическое моделирование -- частный случай моделирования. Является важнейшим видом знакового моделирования и осуществляется средствами языка математики. Знаковые образования и их элементы всегда рассматриваются вместе с определенными преобразованиями, операциями над ними, которые выполняет человек или машина (преобразования математических, логических, химических формул и т. п.).

Понятия «математическая модель» и «моделирование» широко используются в науке и на производстве. Роль знаковых моделей особенно возросла с расширением масштабов применения ЭВМ при построении знаковых моделей. Современная форма «материальной реализации» знакового (прежде всего, математического) моделирования - это моделирование на цифровых электронных вычислительных машинах, универсальных и специализированных.

Математическое моделирование предполагает использование в качестве специфического средства исследования оригинала его математическую модель, изучение которой дает новую информацию об объекте познания, его закономерностях (Н.П. Бусленко, Б. А. Глинский, Б.В. Гнеденко, Л.Д. Кудрявцев, И.Б. Новик, Г.И. Рузавин, К.А. Рыбников, В.А. Штофф). Предметом исследования при математическом моделировании является система «оригинал - математическая модель», где системообразующей связью выступает изоморфизм структур оригинала и модели. Структура служит инвариантным аспектом системы, раскрывающим механизм ее функционирования (Н.Ф. Овчинников).

Известно, что для математического исследования процессов и явлений, реально происходящих в действительности, надо суметь описать их на языке математики, то есть построить математическую модель процесса, явления. Математические модели и являются объектами непосредственного математического исследования.

Математической моделью называют описание какого-либо реального процесса или некоторой исследуемой ситуации на языке математических понятий, формул и отношений.

Математическая модель - это упрощенный вариант действительности, используемый для изучения ее ключевых свойств. Математическая модель, основанная на некотором упрощении, идеализации, не тождественна объекту, а является его приближенным отражением. Однако благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для анализа универсальным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта.

Математической моделью, с формальной точки зрения, можно назвать любую совокупность элементов и связывающих их операций. С содержательной точки зрения интересны модели, являющиеся изоморфным отображением реальных или реализуемых объектов, процессов и явлений.

С математическими моделями тесно связан математический метод познания отображаемых моделью объектов - метод математического моделирования.

Соотношение между элементами a, b и c, выражаемое формулой - это математическая модель. Она изоморфно отображает операцию объединения двух «куч камней» с их числами a и b в общую «кучу камней», которых окажется . В этом смысле операция сложения изоморфна этому слиянию.

Этот пример поясняет общий математический метод познания. Он состоит в построении для объекта, процесса или явления изоморфной математической модели, изучении этой математической модели и переносе в силу изоморфизма результатов, полученных для модели, на исходный объект. Другими словами, метод математического моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо объекта выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследуемые задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект.

Математическое моделирование - приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Это мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления.

Математическое моделирование расширяет творческие возможности специалиста в решении целого ряда задач, существенно изменяет его профессиональную подвижность. Современному специалисту следует «хорошо знать» математику, то есть не просто уметь использовать ее для различных расчетно-вычислительных операций, а понимать математические методы исследования и их возможности. Только понимание сущности математического моделирования позволяет адекватно использовать этот метод в профессиональной деятельности.

Краткие выводы

1. В ходе изучения психолого-педагогической, методической литературы были рассмотрены различные определения понятия «модель» и «моделирование» и их классификации. Из всех определений этих понятий можно выделить основные черты модели:

· модель замещает объект-оригинал;

· сохраняет некоторые важные свойства объекта-оригинала;

· результаты исследования модели переносятся на оригинал.

В свою очередь под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей.

Из всего многообразия моделей большинство специалистов выделяют два класса моделей:

1) материальные (реально существующие, построенные из каких-либо вещественных предметов: из металла, дерева, стекла и других материалов);

2) идеальные (воображаемые, основанные на мысленном представлении).

2. Математическое моделирование, как частный случай моделирования, предполагает использование в качестве средства исследования оригинала его математическую модель, с помощью которой появляется возможность сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для анализа универсальным математическим аппаратом.



2. УРАВНЕНИЯ КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

2.1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ШКОЛЕ

Развитие у учащихся правильных представлений о природе математики и отражении математической наукой явлений и процессов реального мира является программным требованием к обучению математике. Доминирующим средством реализации этой программной цели является метод математического моделирования.

Этот метод имеет своей основой моделирование (математическое и предметное). Применительно к обучению математике воспользуемся определением моделирования, которое предлагает И. Г. Обойщикова, и будем понимать под моделированием обобщенное интеллектуальное умение учащихся, состоящее в замене математических объектов, их отношений, способов деятельности моделями в виде изображений отрезками, числовыми лучами, схемами, значками.

Для моделирования привлекаются различные математические объекты: числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, функции, уравнения алгебраические или дифференциальные и их системы, неравенства, системы неравенств (а также неравенств и уравнений), ряды, геометрические фигуры, разнообразные граф-схемы, диаграммы Венна, графы.

Математическое моделирование находит применение при решении многих сюжетных задач. Уже уравнение, составленное по условию задачи, является ее алгебраической моделью. Моделированию, особенно алгебраическому и аналитическому, следует уделить в школе должное внимание, так как математические модели используются для решения (или хотя бы облегчения решения) сюжетных задач. Кроме того, при построении модели используется такие операции мышления, как анализ через синтез, сравнение, классификация, обобщение, которые являются операциями мышления, и способствует его развитию. Составление математической модели задачи, перевод задачи на язык математики исподволь готовит учащихся к моделированию реальных процессов и явлений в их будущей деятельности.

При решении сюжетных задач особенно часто используются их алгебраические и аналитические модели. Такой моделью может быть функция, описывающая явление или процесс, уравнение, система уравнений, неравенство, система неравенств, система уравнений и неравенств и др. При составлении модели задача, таким образом, переводится на язык алгебры или математического анализа.

Рассмотрим пример математической модели.

Задача. Турист проехал 2200 км, причем на теплоходе проехал вдвое больше, чем на автомобиле, а на поезде в 4 раза больше, чем на теплоходе. Сколько километров проехал турист отдельно на каждом виде транспорта?

Решение. Примем расстояние, которое проехал турист на автомобиле за x км. Известно, что на теплоходе проехал вдвое больше, чем на автомобиле, то есть 2x км. На поезде проехал в 4 раза больше, чем на теплоходе, то есть км.

Весь путь - это сумма расстояний, которые проехал турист на каждом из видов транспорта и он равен 2200 км. Получим следующее уравнение:

- это и есть математическая модель данной задачи.

Отметим, что в общем случае процесс моделирования состоит из следующих этапов:

1 этап. Постановка задачи и определение свойств оригинала, подлежащих исследованию.

2 этап. Констатация затруднительности или невозможности исследования оригинала.

3 этап. Выбор модели, достаточно хорошо фиксирующей существенные свойства оригинала и легко поддающейся исследованию.

4 этап. Исследование модели в соответствии с поставленной задачей.

5 этап. Перенос результатов исследования модели на оригинал.

6 этап. Проверка этих результатов.

На сегодняшний день наиболее распространенной является трехэтапная схема процесса математического моделирования:

1) перевод предложенной задачи с естественного языка на язык математических терминов, то есть построение математической модели задачи (формализация);

2) решение задачи в рамках математической теории (решение внутри модели);

3) перевод полученного результата (математического решения) на язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация полученного решения).

Наиболее ответственным и сложным является первый этап - само построение математической модели. Оно осуществляется логическим путем на основе глубокого анализа изучаемого явления (процесса) и требует умения описать явление (процесс) на языке математики.

Рассмотрим на примере реализацию всех этапов процесса математического моделирования.

Задача. Два автомобиля выехали одновременно из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 540 км. Первый автомобиль ехал со скоростью, на 10 км/ч большей, чем второй, и прибыл в пункт В на 45 мин раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля.

I этап. Формализация. Построим математическую модель задачи.

Обозначим за x км/ч - скорость второго автомобиля, тогда скорость первого автомобиля равна (x+10) км/ч.

ч - время, потраченное на весь путь вторым автомобилем.

ч - время, потраченное на весь путь первым автомобилем.

Известно, что второй автомобиль потратил на путь на 45 мин больше, чем первый. .

.

Полученное уравнение является математической моделью данной задачи.

II этап. Внутримодельное решение.

Перенесем все слагаемые в одну часть .

Приведем слагаемые к общему знаменателю .

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Получим следующую систему:

.

Получили, что и .

III этап. Интерпретация. Переведем результат с математического языка на язык исходной задачи.

Так скорость автомобиля не может быть отрицательным числом, то условию задачи соответствует только один корень , т.е. скорость второго автомобиля равна 80 км/ч, а скорость первого 90 км/ч.

Учителю следует добиться от учащихся четкого понимания значения и содержания каждого из выше описанных этапов процесса математического моделирования. Это нужно для того, чтобы школьники усвоили, что они решают не просто математическую задачу, а конкретную жизненную ситуацию математическими методами. Тогда учащиеся смогут увидеть в математике практическое значение, и не будут воспринимать ее как абстрактную науку.

Метод математического моделирования является мощным инструментом для исследования различных процессов и систем. Понятие математической модели и некоторые общие положения, связанные с ним, должны в той или иной форме иллюстрироваться на протяжении всего курса математики, а разделы школьной программы, посвященные задачам на работу, движение, проценты, прогрессии могут рассматриваться как введение в метод математического моделирования.

2.2 ФУНКЦИИ И ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ В ШКОЛЕ

Терешин Н. А. выделяет следующие дидактические функции математического моделирования:

1. Познавательная функция.

Методической целью этой функции является формирование познавательного образа изучаемого объекта. Это формирование происходит постоянно при переходе от простого к сложному.

Здесь мысль учащегося направляется по кратчайшим и наиболее доступным путям к целостному восприятию объекта. Реализация познавательной функции не предопределяет процесса научного познания, ценность этой функции состоит в ознакомлении учащихся с наиболее кратчайшим и доступным способом осмысления изучаемого материала.

2. Функция управления деятельностью учащихся.

Математическое моделирование предметно и потому облегчает ориентировочные, контрольные и коммуникационные действия. Ориентировочным действием может служить, например, построение чертежа, соответствующего рассматриваемому условию, а также внесение в него дополнительных элементов.

Контролирующие действия направлены на обнаружение ошибок при сравнении выполненного учащимися чертежа (схемы, графика) с помещенными в учебнике или на выяснение тех свойств, которые должны сохранить объект при тех или иных преобразованиях.

Коммуникационные действия отвечают той стадии реализации функции управления деятельностью учащихся, которая соответствует исследованию полученных ими результатов. Выполняя эти действия, учащийся в свете собственного опыта объясняет другим или хотя бы самому себе по построенной модели суть изучаемого явления или факта.

3. Интерпретационная функция.

Известно, что один и тот же объект можно выразить с помощью различных моделей. Например, окружность можно задать с помощью пары объектов (центр и радиус), уравнением относительно осей координат, а также с помощью рисунка или чертежа. В одних случаях можно воспользоваться ее аналитическим выражением, в других - геометрической моделью. Рассмотрение каждой из этих моделей является ее интерпретацией; чем значимей объект, тем желательней дать больше его интерпретаций, раскрывающих познавательный образ с разных сторон.

Можно также говорить об эстетических функциях моделирования, а также о таких, как функция обеспечения целенаправленного внимания учащихся, запоминания и повторения учащимися учебного материала и т. д.

Кроме этих функций можно выделить еще одну - не менее важную - эвристическую. Математическая модель, выступая как выражение количеством качества объекта, позволяет экспериментировать с его количественной стороной, дает возможность определить границы устойчивости, нормальный и оптимальный режимы функционирования, еще глубже проникнуть в качественный аспект объекта -- показать его внутренние закономерности. В этом и раскрывается эвристическая функция математического моделирования и его возможности для решения проблем разных наук: биологии, химии, физики, медицины и других.

Применение нескольких функций математической модели способствует наиболее плодотворному мышлению учащегося, так как его внимание легко и своевременно переключается с модели на полученную с ее помощью информацию об объекте и обратно. Такое переключение сводит к минимуму отвлечение умственных усилий учащихся от предмета их деятельности.

2.3 МОДЕЛЬ КАК СРЕДСТВО ОБУЧЕНИЯ. АНАЛИЗ УЧЕБНИКОВ АЛГЕБРЫ 5-9 КЛАССОВ

Моделирование может использоваться в обучении для многих целей.

Для фиксации и наглядного представления ориентировочной основы действия. ООД может быть представлена в виде схемы пошаговой программы операций, в виде направленного графа или в какой-либо другой форме.

Для фиксации и наглядного представления изучаемых абстрактных понятий. Такие модели служат очень хорошим средством для организации познавательной деятельности учащихся.

Для фиксации и наглядного представления общих способов действий по решению широкого класса задач. Универсальным средством для такого выделения является построение моделей этих общих способов, осуществляемое самими учащимися по специальным заданиям учителя.

Во всех перечисленных выше целях моделирование используется не только как средство фиксации, но и как средство наглядности.

Человек, который понял, усвоил сущность данной модели, становится как бы её создателем, и тем самым она также приобретает для него свойства наглядности.

Наглядность же моделей имеет обобщенный характер. Модель дает возможность создать не просто наглядный образ какого-то объекта, при этом все остальные свойства, несущественные в данном случае, отбрасываются и поэтому не мешают восприятию нужных, существенных свойств.

Модели позволяют создавать у учащихся наглядные образы таких объектов изучения, как абстрактные понятия, отношения, которые обычными средствами предметной наглядности создать невозможно.

Однако надо иметь в виду, что создание наглядных образов с помощью моделей требует от учащихся определенных знаний теоретического характера и активной познавательной работы с этими моделями. Эта работа имеет наибольший эффект в том случае, когда сами учащиеся принимают непосредственное участие в разработке и построении моделей, а не только в изучении уже готовых моделей.

Сравнительный анализ учебников.

Математика. 5 класс

Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд

Оглавление	Анализ содержания	Примеры математических моделей
§2. Сложение и вычитание натуральных чисел.
П.10. Уравнение	Вводятся понятия: - уравнение;	х+2=5
	- корень уравнения;	Корнем уравнения x+2=5 является число 3.
	- решить уравнение;	x+12=78 x=78-12 x=66.
	-как найти неизвестное слагаемое;
	- как найти неизвестное уменьшаемое;
	- как найти неизвестное вычитаемое.

Математика. 6 класс

Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд

Оглавление	Анализ содержания	Примеры математических моделей
§8. Решение уравнений.
П.42. Решение уравнений	Вводятся правила решения уравнений (метод весов).

Математика. 5 класс

И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович

Оглавление	Анализ содержания	Примеры математических моделей
Глава 1. Натуральные числа.
§14. Уравнения	Вводятся понятия: - уравнение;	Уравнение - так называют равенство, из которого находят неизвестную величину, обозначенную, как правило, буквой латинского алфавита.
	- решить уравнение.	7x=21, x=217, x=3.
§16. Математический язык	Перевод математических записей на обычный язык и наоборот.
§17. Математическая модель	Вводится понятие математическая модель.

Математика. 6 класс

И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович

Оглавление	Анализ содержания	Примеры математических моделей
Глава 2. Преобразование буквенных выражений.
§19. Решение уравнений	Вводятся понятия: - постоянная величина; - переменная величина.
	Вводятся два способа решения уравнений. 1 способ: - перенести все слагаемые из правой части уравнения в левую часть, меняя при переносе знаки на противоположные; - привести подобные слагаемые; - слагаемое, не содержащее переменную, перенести в правую часть уравнения, поменяв его знак на противоположный; - разделить правую часть уравнения на коэффициент при переменной.
	2 способ: - слагаемые, содержащие переменную, перенести в левую часть уравнения, а числа - в правую часть, не забывая при переносе менять знаки на противоположные; - привести подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения; - разделить число в правой части уравнения на коэффициент при переменной.
§20. Решение задач на составление уравнений	На примере конкретной задачи выделяют 3 этапа математического моделирования: 1) Составление математической модели (составление уравнения по условию задачи); 2) Работа с математической моделью (решение уравнения); 3) Ответ на вопрос задачи.	Задача 594. В одном бидоне молока в 3 раза больше, чем в другом. Когда из одного бидона перелили в другой 5 л, молока в бидонах стало поровну. Сколько литров молока было в каждом бидоне первоначально?

В учебной программе Н. Я. Виленкина не включены такие темы, как «Математический язык», «Математическая модель» и др., но, тем не менее, учащиеся применяют различные модели на уроках математики.

В учебнике И. И. Зубаревой, А. Г. Мордковича в курс математики 5 класса вводятся такие понятия, как математический язык и математическая модель, которые получают свое развитие в 6 классе. В 6 классе при решении задач с помощью уравнений учащиеся знакомятся с этапами математического моделирования, и уравнение является в данном случае моделью реальной ситуации.

Математика. 5 класс

Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон

Оглавление	Анализ содержания	Примеры математических моделей
1 часть. §2. Математические модели.
П.1. Перевод условия задачи на математический язык	Для того чтобы построить математическую модель, надо научиться переводить условие задачи с обычного языка на математический язык.
П.2. Работа с математическими моделями	После перевода текста задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математической моделью - к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям.	Найти неизвестные числа х и 3х, если выполняется равенство х+3х=60. Равенства такого вида еще не встречались. Но найти нужные числа можно, если это равенство записать по-другому, преобразовать. Здесь помогут известные свойства чисел - свойство единицы и распределительный закон. В самом деле: х+3х=1х+3х=(1+3)х=4х. Поэтому равенство можно записать в виде: 4х=60, х=604, х=15. Значит, в соревнованиях участвовало 15 девочек. А число мальчиков, участвовавших в соревнованиях, равно 3х, или 45.

Математика. 6 класс

Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон

Оглавление	Анализ содержания	Примеры математических моделей
3 часть. §3. Уравнения.
П.4. Понятие уравнения	Вводятся понятия: - уравнение;	2y+3=y2, 0,06=(n-0,1)(n-0,2)
	- корень уравнения;	Число 3 - корень уравнения 2х=6
	- множество значений переменной;
	- что значит решить уравнение;	Решить уравнение - значит найти множество его корней.
П.5. Решение уравнений	Самый простой способ решения состоит в том, чтоб данное уравнение преобразовывают к более простому или более удобному виду по уже известным алгоритмам. Используется метод проб и ошибок при решении уравнения, а также метод перебора.
П.6. Решение задач с помощью уравнений	Вводится: - три этапа математического моделирования; -три этапа решения задач с помощью уравнений; - алгоритм решения задач с помощью уравнений.

В учебнике 5 класса уже во втором параграфе предлагается для изучения тема «Математические модели», поэтому далее весь материал опирается на понятие «математическая модель» и «моделирование».

В 6 классе выделяются этапы процесса математического моделирования, в соответствии с этим выделяются этапы решения задач с помощью уравнений.

В 6 классе продолжается обучение методу математического моделирования. При изучении темы «Решение уравнений» рассматриваются различные по сюжету задачи, которые решаются с помощью уравнений.

Система задач, приведенная в учебниках позволяет достаточно полно раскрыть методы исследования математических моделей, большое внимание уделяется решению задач с помощью уравнений, так как уравнения - это особый вид моделей, изучаемых в 5-6 классах. На основе этих упражнений учащиеся должны научиться понимать ценность решения сюжетных задач, видеть их практическую значимость, а также понимать значение математической модели, уметь строить ее, искать наиболее рациональный способ ее исследования и правильно делать вывод о проделанной работе, в том числе правильно формулировать ответ на задачу.

Алгебра. 7 класс

под ред. С. А. Теляковского

Оглавление	Анализ содержания	Примеры математических моделей
§3. Уравнения с одной переменной.
П.6. Уравнение и его корни	Вводятся понятия: - уравнениями с одной переменной или уравнениями с одним неизвестным; - какое число называют решением уравнения или корнем уравнения. - равносильные уравнения и свойства, которые используются при решении уравнений. При решении уравнений используются следующие свойства: 1.Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному; 2.Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.	Задача. На нижней полке в 4 раза больше книг, чем на верхней. Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то книг на полках станет поровну. Сколько книг на верхней полке? Решение: обозначим буквой х число книг на верхней полке. Тогда число книг на нижней полке равно 4х. Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то на нижней полке останется 4х-15 книг, а на верхней будет х+15 книг. По условию задачи после такой перестановки книг на полках окажется поровну. Значит, 4х-15=х+15, 4х-х=15+15, 3х=30, х=10.
П.7. Линейное уравнение с одной переменной	- определение линейного уравнения с одной переменной; - сколько может иметь корней линейное уравнение.	Пример. Решить уравнение 4(x+7)=3-x. Раскроем скобки: 4х+28=3-х. Перенесем слагаемое -х в левую часть уравнения, а слагаемое 28 в правую часть, изменив при этом их знаки: 4х+х=3-28. Приведем подобные слагаемые: 5х=-25. Разделим обе части уравнения на 5: х= -5. Применяя свойства уравнений и выполняя тождественные преобразования, мы последовательно заменяли одно уравнение другим, равносильным ему. Значит, корнем уравнения 4(х+7)=3-х является число -5.
П.8. Решение задач с помощью уравнений	Алгоритм решения задач с помощью уравнений. При решении задач с помощью уравнений поступают следующим образом: обозначают некоторое неизвестное число буквой и, используя условие задачи, составляют уравнение; решают это уравнение; истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи.	Задача 1. В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине и сколько в ящике? Решение: Пусть в корзине было х яблок, тогда в ящике было 2х яблок. После того как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в корзине стало х-10 яблок, а в ящике стало 2х+10 яблок. По условию задачи в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине. Значит, 5(х-10)=2х+10. Решим составленное уравнение: 5х-50=2х+10, 5х-2х=10+50, 3х=60, х=20. Следовательно, в корзине было 20 яблок. Так как 2х=220=40, то в ящике было 40 яблок. Ответ: 20 яблок и 40 яблок.
§15. Линейные уравнения с двумя переменными и их системы.
П.40. Линейное уравнение с двумя переменными	Определения: - линейное уравнение с двумя переменными; - что называют решением уравнения с двумя переменными. Понятие равносильных уравнений с двумя переменными и свойства уравнений с двумя переменными.	Задача. Группу из 35 туристов решили расселить на теплоходе в трехместные и четырехместные каюты так, чтобы в каютах не оставалось свободных мест. Сколько трехместных и двухместных кают надо заказать? Решение: Допустим, что надо заказать х трехместных и у четырехместных кают. Тогда 3х+4у=35. Требуется найти все пары натуральных значений переменных х и у, удовлетворяющие этому уравнению. Из уравнения 3х+4у=35 находим, что у= Подставляя в это равенство вместо х последовательно числа 1, 2, 3 и т.д., найдем, при каких натуральных значениях х соответствующие значения у являются натуральными числами: если х=1, то у=8; если х=5, то у=5; если х=9, то у=2. Других пар натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению 3х+4у=35, нет, так как при других натуральных значениях х соответствующее значение у является либо дробным положительным числом, либо отрицательным числом. Значит, надо заказать соответственно трехместных и четырехместных кают либо 1 и 8, либо 5 и 5, либо 9 и 2.
П.41. График линейного уравнения с двумя переменными	Определение графика линейного уравнения с двумя переменными.	Пример 1. Построить график уравнения 3x-4y=12. Пример 2. Построить график уравнения 0,5х= -1,5.



Алгебра. 8 класс

под ред. С. А. Теляковского

Оглавление	Анализ содержания	Примеры математических моделей
§5. Арифметический квадратный корень.
П.13. Уравнение x2=a	Возможные случаи решения уравнения x2=a, где а - произвольное число. Если а0, то уравнение x2=a корней не имеет. Если а=0, то уравнение имеет единственный корень, равный нулю. Если а0, то уравнение имеет два корня.	Примеры: х2=49; х2=2.
§8. Квадратные уравнения и его корни.
П.21. Неполные квадратные уравнения	Определение: - квадратное уравнение; - приведенное квадратное уравнение; - неполное квадратное уравнением.	Пример. Решим уравнение -3x2+15=0. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на -3: -3х2= -15, х2=5. Отсюда х= или х=
П.22. Формула корней квадратного уравнения	Способ решения уравнения выделением квадрата двучлена. Решение квадратного уравнения ax2+bx+c=0. Вводится понятие дискриминанта и его формула. Вводится формула корней квадратного уравнения. Различные возможные случаи в зависимости от значения дискриминанта (D). Решение квадратного уравнения по формуле , где D=b2-4ac.	Пример. Решим уравнение 12x2+7x+1=0. Найдем дискриминант: D = 72-4121=1, D0. Применим формулу корней квадратного уравнения: х= х= Ответ: х1=; х2=
П.23. Решение задач с помощью квадратных уравнений	Многие задачи в математике, физике, технике решаются с помощью квадратных уравнений.	Задача. Найдем катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 4 см меньше другого, а гипотенуза равна 20 см. Решение: пусть меньший катет равен х см. Тогда больший катет равен (х+4) см. По теореме Пифагора: х2+(х+4)2=202.
П.24. Теорема Виета	Вводятся: - теорема Виета с доказательством; - теорема, обратная теореме Виета.	Пример. Решим уравнение x2+3x-40=0. D=25-432=1 - положительное число. Значит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведенное квадратное уравнение х2 - Значит, сумма корней уравнения 3х2-5х+2=0 равна , а произведение равно
§9. Дробные рациональные уравнения.
П.25. Решение дробных рациональных уравнений	Примеры решения дробных рациональных уравнений. Действия, которые целесообразно использовать при решении дробных рациональных уравнений.	Пример. Решить дробное рациональное уравнение Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дроби, т.е. на выражение х(х-5). Упростив уравнение, получим квадратное уравнение х2-3х-10=0. Его корни - числа -2 и 5. При х=5 общий знаменатель обращается в нуль, поэтому число 5 не является корнем уравнения. Итак, корнем уравнения служит только число -2.
П.26. Решение задач с помощью рациональных уравнений	Решение многих задач приводится к дробным рациональным уравнениям.	Задача. Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. ...

Подобные документы

• Дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов

  Понятие и типы математических моделей, критерии их классификации. Примеры использования дифференциальных уравнений при моделировании реальных процессов: рекламная компания, истечение жидкости, водяные часы, невесомость, прогиб балок, кривая погони.
  
  курсовая работа [410,0 K], добавлен 27.04.2014
  

• Математические модели естествознания

  Основные модели естествознания, подходы к исследованию явлений природы, её фундаментальных законов на основе математического анализа. Динамические системы, автономные дифференциальные уравнения, интегро-дифференциальные уравнения, законы термодинамики.
  
  курс лекций [1,1 M], добавлен 02.03.2010
  

• Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа

  Тригонометрические уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Анализ материала по тригонометрии в различных учебниках. Виды тригонометрических уравнений и методы их решения. Формирование навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств.
  
  дипломная работа [1,9 M], добавлен 06.05.2010
  

• Формирование функциональной математической модели

  Сущность математического моделирования. Аналитические и имитационные математические модели. Геометрический, кинематический и силовой анализы механизмов подъемно-навесных устройств. Расчет на устойчивость мобильного сельскохозяйственного агрегата.
  
  курсовая работа [636,8 K], добавлен 18.12.2015
  

• Математические методы и модели

  Оценка надежности аналитической методики. Дисперсионный анализ результатов опытов и аппроксимация результатов эксперимента. Расчет линейного уравнения связи. Определение полного квадратного уравнения. Вычисление типа и объема химического реактора.
  
  курсовая работа [229,2 K], добавлен 06.01.2015
  

• Математическое определение системы и моделей. Теория и методология моделирования

  Процесс выбора или построения модели для исследования определенных свойств оригинала в определенных условиях. Стадии процесса моделирования. Математические модели и их виды. Адекватность математических моделей. Рассогласование между оригиналом и моделью.
  
  контрольная работа [69,9 K], добавлен 09.10.2016
  

• Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе

  Теоретические аспекты обучения решению уравнений в 8 классе. Основные направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры. Методика изучения квадратных уравнений. Методико-педагогические основы обучения решению квадратных уравнений.
  
  курсовая работа [134,3 K], добавлен 01.07.2008
  

• Текстовые задачи в курсе алгебры основной школы

  Понятие текстовых задач, их типология, роль и место в курсе школьной алгебры. Психолого-педагогические основы формирования умения решать текстовые задачи, этапы и методы обучения. Разработка системы задач по алгебре для самостоятельного решения учащимися.
  
  дипломная работа [770,9 K], добавлен 30.03.2011
  

• Разностные уравнения и их применение в экономике

  Обзор применения аппарата разностных уравнений в экономической сфере. Построение моделей динамики выпуска продукции фирмы на основе линейных разностных уравнений второго порядка. Анализ модели рынка с запаздыванием сбыта, динамической модели Леонтьева.
  
  практическая работа [129,1 K], добавлен 11.01.2012
  

• Решение задач с использованием системы MathCAD и Scilab

  Математические модели технических объектов и методы для их реализации. Анализ электрических процессов в цепи второго порядка с использованием систем компьютерной математики MathCAD и Scilab. Математические модели и моделирование технического объекта.
  
  курсовая работа [565,7 K], добавлен 08.03.2016
  

• Методы решения нелинейных дифференциальных уравнений

  Решение уравнения гармонического осциллятора при помощи разложения в ряд Тейлора. Применение метода индуцированной алгебры. Решение уравнения гармонического осциллятора при помощи метода индуцированной алгебры. Сравнение работоспособности методов решений.
  
  курсовая работа [92,0 K], добавлен 24.05.2012
  

• Исследование математической модели популяционной динамики

  Изучение актуальной задачи математического моделирования в биологии. Исследование модифицированной модели Лотки-Вольтерра типа конкуренция хищника за жертву. Проведение линеаризации исходной системы. Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений.
  
  контрольная работа [239,6 K], добавлен 20.04.2016
  

• Математические модели задач линейного программирования

  Знакомство с особенностями построения математических моделей задач линейного программирования. Характеристика проблем составления математической модели двойственной задачи, обзор дополнительных переменных. Рассмотрение основанных функций новых переменных.
  
  задача [656,1 K], добавлен 01.06.2016
  

• Применение систем компьютерного моделирования (СКМ) для исследования математической модели RLC-цепи

  Применение системы MathCAD при решении прикладных задач технического характера. Основные средства математического моделирования. Решение дифференциальных уравнений. Использование системы MathCad для реализации математических моделей электрических схем.
  
  курсовая работа [489,1 K], добавлен 17.11.2016
  

• Методика формирования умений решать уравнения и неравенства с параметрами в курсе основной общеобразовательной школе

  Основные направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики, ее связь с числовой и функциональной системой. Особенности изучения, аналитический и графический методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметры.
  
  курсовая работа [235,2 K], добавлен 01.02.2015
  

• Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями

  Градиентные уравнения и уравнения в вариациях, функционалы метода наименьших квадратов. Численное решение градиентных уравнений: полиномиальные системы, метод рядов Тейлора и метод Рунге-Кутта. Числовые модели осциллирующих процессов в живой природе.
  
  реферат [221,4 K], добавлен 10.08.2010
  

• Решение численными методами краевой задачи математической физики

  Аналитическое решение уравнения для вынужденных поперечных колебаний консольного стержня. Численное решение уравнения с помощью метода "бегущего счёта". Вывод уравнения движения из основных законов физики. Построение дискретной модели и выбор сетки.
  
  курсовая работа [1,0 M], добавлен 25.02.2013
  

• Математическая модель цифрового устройства игры "Крестики-нолики" с человеком

  Проектирование математической модели. Описание игры в крестики-нолики. Модель логической игры на основе булевой алгебры. Цифровые электронные устройства и разработка их математической модели. Игровой пульт, игровой контроллер, строка игрового поля.
  
  курсовая работа [128,6 K], добавлен 28.06.2011
  

• Математическое моделирование деформаций грунтового основания сваи сложной конфигурации

  Основные положения теории математического моделирования. Структура математической модели. Линейные и нелинейные деформационные процессы в твердых телах. Методика исследования математической модели сваи сложной конфигурации методом конечных элементов.
  
  курсовая работа [997,2 K], добавлен 21.01.2014
  

• Математические методы и модели

  Математическое моделирование задач коммерческой деятельности на примере моделирования процесса выбора товара. Методы и модели линейного программирования (определение ежедневного плана производства продукции, обеспечивающей максимальный доход от продажи).
  
  контрольная работа [55,9 K], добавлен 16.02.2011
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам