Представление о математической модели в курсе алгебры основной школы. Уравнения как математические модели реальных ситуаций

Решение: пусть х км/ч - скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость лодки по течению (х+3) км/ч, а против течения (х-3) км/ч. По течению реки 25 км лодка прошла за ч, а против течения 3 км - за По условию задачи на весь путь лодка затратила 2ч. Следовательно,

Решив это уравнение, найдем его корни: х₁=2 и х₂=12.

По смыслу задачи скорость лодки в стоячей воде должна быть больше скорости течения. Этому условию удовлетворяет второй корень - число 12 и не удовлетворяет первый.

Ответ: 12 км/ч.

Для тех, кто хочет знать больше.

П.27. Уравнения с параметром

Понятия параметра и решения уравнения с параметром.

Пример. Решить уравнение

bx-3x=b³-3b²+4b-12

с параметром b.

Вынесем в левой части уравнения множитель х за скобки. Получим

(b-3)x=b³-3b²+4b-12, если b-3, то

x=

x=b²+4.

Если b-3=0, то уравнение принимает вид 0х=0. В этом случае любое число является корнем уравнения.

Итак, мы нашли, что b уравнение имеет единственный корень x=b²+4, а при b=3 любое число является корнем уравнения.

Алгебра. 9 класс

под ред. С. А. Теляковского

Оглавление	Анализ содержания	Примеры математических моделей
§5. Уравнения с одной переменной.
П.12. Целое уравнение и его корни	Повторение: целое уравнение. Вводят следующие понятия: - степень уравнения; - биквадратное уравнение.	Пример. Решим уравнение x3-8x2-x+8=0. Разложим левую часть уравнения на множители: x2(x-8)-(x-8)=0, (x-8)(x2-1)=0, (x-8)(x-1)(x+1)=0. Отсюда найдем, что x-8=0, или x-1=0, или x+1=0. Значит, исходное уравнение имеет три корня: x1=8, x2=1, x3= -1.
П.13. Дробные рациональные уравнения	Повторение: - дробные рациональные уравнения; - решении дробных рациональных уравнений. Более сложные примеры решения дробных рациональных уравнений.	Пример. Решим уравнение Общим знаменателем дробей, входящих в уравнение, равен x4-x2-72. Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим 6x2-54+9x=x3. Отсюда х3-6x2-9x+54=0, (x3-6x2)-(9x-54)=0, х2(x-6)-9(x-6)=0, (x-6)(x2-9)=0, (x-6)(x-3)(x+3)=0, х1=6, х2=3, x3= -3. если х=6, то х4-х2-72 0; если х=3, то х4-х2-72=0; если х= -3, то х4-х2-72=0. Значит уравнение имеет единственный корень - число 6. Ответ: 6.
Для тех, кто хочет знать больше.
П.16. Некоторые приемы решения целых уравнений	Специальные приемы для решения уравнений пятой и более высоких степеней. Теорема 1 о корне многочлена. Если число а является корнем многочлена P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an, где a00, То этот многочлен можно представить в виде произведения (x-a)P1(x), где P1(x) - многочлен n - 1-й степени. Теорема 2 о целых корнях целого уравнения. Если уравнение a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0, в котором все коэффициенты - целые числа, причем свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.	Пример. Решим уравнение x5+x-2=0. Если данное уравнение имеет целый корень, то в силу теоремы 2 он является делителем число -2. Проверка убеждает нас, что корнем уравнения является число 1. Покажем, что других корней это уравнение не имеет. Для этого представим его в виде х5= -х+2. Функция у=х5 является возрастающей, а функция у= -х+2 - убывающей. Значит, уравнение x5+x-2=0 имеет единственный корень.
§7. Уравнения с двумя переменными и их системы.
П.17. Уравнения с двумя переменными и его график	Повторение: - решение уравнения с двумя переменными; - равносильные уравнения; - график уравнения с двумя переменными.	Пример: x2+y2= r2, где r-произвольное положительно число.

В курсе алгебры 7-9 классов уравнениям отводится значительное место. По мере того как вводятся новые виды выражений и изучаются тождественные преобразования этих выражений, расширяется круг рассматриваемых уравнений.

Текстовые задачи являются хорошей иллюстрацией применения алгебраического аппарата. В решении текстовых задач можно выделить три этапа: обозначение неизвестного числа буквой и составление уравнения, решение уравнения, истолкование полученного результата в соответствии с условием задачи. Они соответствуют трем этапам решения любой практической задачи - формализации, внутримодельному решению, интерпретация результата.

По мере изучения новых преобразований целых выражений в систему упражнений включаются задания на решение уравнений, в которых эти преобразования находят применение. В систему основных упражнений и упражнений для повторения систематически включаются текстовые задачи, решаемые с помощью уравнений.



Алгебра. 7 класс

А. Г. Мордкович

Оглавление	Анализ содержания	Примеры математических моделей
Глава 1. Математический язык. Математическая модель.
§1. Числовые и алгебраические выражения	Повторение: - числового выражения; - алгебраического выражения. С помощью конкретного примера автор учебника анализирует, какие сведения из математики необходимо вспомнить в процессе выполнения примера: - порядок арифметических действий; - закон сложения (умножения); -операции с дробями; -действия с положительными и отрицательными числами.	3+57; . a+b=b+a (ab=ba);
	Вводятся следующие понятия: - значение числового выражения; - переменная; - значение алгебраического выражения; - допустимые значения переменной; - недопустимые значения переменной.
§2. Что такое математический язык	Перевод высказываний с обычного языка на математический и перевод высказываний с математического на обычный язык. Существование письменной и устной речи в математическом языке.	На обычном языке говорят: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Математик пишет: a+b=b+a. Вот пример обратного перевода. На математическом языке записан распределительный закон: a(b+c)=ab+ac. Осуществляя перевод на обычный язык, получим длинное предложение: «Чтобы умножить число а на сумму чисел b и c, надо число а умножить поочередно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить».
§3. Что такое математическая модель	Знакомство с понятием математическая модель. Три этапа решения задачи: 1 этап. Составление математической модели. 2 этап. Работа с математической моделью. 3 этап. Ответ на вопрос задачи. Описание реальных ситуаций с помощью: - словесной модели; - алгебраической модели; - графической модели.	Пример. Построить график температуры воздуха, если известно Время суток, ч 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 22 24 Температура, °C 5 0 0 -3 -4 -2 0 6 8 5 3 3 Решение. Построим прямоугольную систему координат. По горизонтальной оси (ось абсцисс) будем откладывать значение времени, а по вертикальной оси (ось ординат) - значения температуры. Построим на координатной плоскости точки, координатами которых являются соответствующие числа из таблицы. Всего получается 12 точек (рис.1). Соединив их плавной линией, получим один из возможных графиков температуры (рис.2). Построенный график есть математическая модель, описывающая зависимость температуры от времени. Анализируя этот график, можно описать словами, что происходило с температурой воздуха в течение суток. Ночью с 0 ч до 8 ч утра становилось все холоднее (от 5° в 0 часов до -4° в 8 часов утра). Потом, видимо, выглянуло солнышко и стало теплеть, так что в 11 ч температура была уже не отрицательной, а нулевой (0°). До 16 ч теплело, причем в 16 ч было теплее всего (8°). А затем стало темнеть, температура начала постепенно снижаться и понизилась до 3° в 22 ч. Глядя на график температуры, можно определить какая была наименьшая температура (-4° в 8 часов утра), какая была наибольшая температура (8° в 16 часов), где температура менялась быстрее, где медленнее.
§4. Линейное уравнение с одной переменной	Вводятся понятия: - корень уравнения;	Уравнение 3х=12 имеет корень х=4.
	- линейное уравнение с одной переменной; - коэффициент.	аx+b=0, где a и b-коэффициенты.
	Вводится алгоритм решения линейного уравнения ax+b=0 в случае, когда a0 и алгоритм решения уравнения ax+b=cx+d(ac).
Глава 2. Линейная функция.
§7. Линейное уравнение с двумя переменными и его график.	Вводятся понятия: - линейное уравнение с двумя переменными;	аx+by+c=0, где а, b, c - коэффициенты.
	- решение уравнения ax+by+c=0.
	Учащиеся формулируют алгоритм построения графика линейного уравнения ax+by+c=0. Теорема о графике уравнения ax+by+c=0.	Пример. Построить график уравнения 4х+3у-12=0.

Алгебра. 8 класс

А. Г. Мордкович

Оглавление	Анализ содержания	Примеры математических моделей
Глава 3. Функция y=k/x.
§23. Графическое решение квадратных уравнений	Способы решения квадратных уравнений и анализ всех полученных способов.	Пример. Решить уравнение x2-2x-3=0. 1 способ 2 способ 3 способ 4 способ 5 способ
Глава 4. Квадратные уравнения.
§24. Основные понятия	Вводятся следующие основные понятия: - квадратные уравнения; - приведенное квадратное уравнение; - неприведенное квадратное уравнение; - квадратный трехчлен; - полное квадратное уравнение; - неполное квадратное уравнение; - корень квадратного уравнения; - что значит решить квадратное уравнение.	Пример. Решить уравнение x2-2x-3=0. Решение. 1)Разложим квадратный трехчлен x2-2x-3 на множители способом группировки: x2-2x-3=х2+х-3х-3=х(х+1)-3(х+1)=(х+1)(х-3). Теперь данное уравнение можно переписать в виде (х+1)(х-3)=0. Корни уравнения: х1= -1, х2=3. 2)Разложим квадратный трехчлен x2-2x-3 на множители методом выделения полного квадрата: x2-2x-3= (х2-2х+1)-4=(х-1)2-4=(х-1+2)(х-1-2)=(х+1)(х-3). (х+1)(х-3)=0, х1= -1, х2=3.
§25. Формулы корней квадратных уравнений	Вводится понятие дискриминанта. Вводятся теоремы о числе корней квадратного уравнения и как находить эти корни. Теорема 1. Если D0, то квадратное уравнение ax2+bx+c=0 не имеет корней. Алгоритм решения уравнения ax2+bx+c=0. Также с помощью конкретного примера вводятся понятия параметра и уравнения с параметром.	Пример. Решить уравнение 2x2+4x+7=0. Решение. Здесь а=2, b=4, c=7, D=b2 - 4ac=42-427=16-56= -40. Так как D0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.
§26. Рациональные уравнения	Вводятся следующие понятия: - рациональные выражения; - рациональное уравнение; - посторонний корень; - биквадратное уравнение. Алгоритм решения рационального уравнения. Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной.	Пример. Решить уравнение Опираясь на данный пример, сформулируем следующий алгоритм. Алгоритм решения рационального уравнения 1. Перенести все члены уравнения в одну часть. 2. Преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби 3. Решить уравнение p(x). 4. Для каждого корня уравнения p(x)=0 сделать проверку: удовлетворяет ли он условию q(x)0 или нет. Если да, то это корень заданного уравнения; если нет, то это посторонний корень и в ответ его включать не следует.
§27. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций	Рациональные уравнения могут служить математическими моделями реальных ситуаций - это уже известно из §7 и из учебника «Алгебра-7». В данном параграфе об этом говорится более подробно. С помощью конкретных примеров подробно рассматриваются все три этапа математического моделирования.	Пример. Перегон в 60 км поезд должен был проехать с постоянной скоростью за определенное расписанием время. Простояв у семафора перед перегоном 5 мин, машинист вынужден был увеличить скорость прохождения перегона на 10 км/ч, чтобы наверстать к окончанию прохождения перегона потерянные 5 мин. С какой скоростью поезд должен был пройти перегон по расписанию? Решение. Первый этап. Составление математической модели. Математическая модель задачи - рациональное уравнение Второй этап. Работа с математической моделью. В ходе решения уравнения получаем корни уравнения Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Ответ: 80 км/ч.
§28. Еще одна формула корней квадратного уравнения	Вводятся новые формулы, которые помогают находить корни квадратного уравнения ax2+2kx+c=0.	Если а=1, то получаем:
§29. Теорема Виета	Соотношение между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Теорема 1 (теорема Виета). Пусть x1, x2 - корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0. Тогда сумма корней равна , а произведение корней равно : x1+x2=, x1x2=. Теорема 2. Если x1 и x2 - корни квадратного трехчлена ax2+bx+с, то справедливо тождество ax2+bx+с=a(x-x1)(x-x2). Теорема 3. Если квадратный трехчлен раскладывается на линейные множители, то он имеет корни. Теорема 4. Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители. Теорема 5. Если числа x1 и x2 таковы, что x1+x2= -p, х1x2=q, то эти числа - корни уравнения x2+px+q=0.
§30. Иррациональные уравнения	Иногда математическая модель реальной ситуации представляет собой иррациональное уравнение. Решение иррациональных уравнений методом возведения в квадрат обеих частей уравнения. Данный метод является основным методом решения иррациональных уравнений. Вводятся следующие понятия: - равносильные уравнения; - равносильное преобразование уравнения.

В учебнике по алгебре для 7 класса уже в §2, §3 предлагаются для изучения темы «Что такое математический язык», «Что такое математическая модель» соответственно. Далее весь материал опирается на понятия «математическая модель», «моделирование», выделяются этапы математического моделирования при решении сюжетных задач.

В 8 классе большое внимание уделяется изучению уравнений - математических моделей реальных ситуаций. В данной учебной программе уравнения:

а) выступают как средство решения текстовых задач;

б) выступают как средство исследования функции;

в) уравнение - это ведущее понятия алгебры, особого рода формула, которая сама является объектом изучения в алгебре.

Следует отметить, что тема «Уравнения» в учебниках А. Г. Мордковича изучается в 7-8 классах, а в 9 классе изучается уже тема «Системы уравнений». А в учебниках под редакцией С. А. Теляковского отсутствуют понятия «математический язык», «математическая модель», изучение темы «Уравнения» начинается в курсе алгебры 7 класса и продолжается до 9 класса включительно, что, на мой взгляд, нецелесообразно, так как нарушается логическая последовательность изучаемой темы. Автор дает материал в готовом виде, материал строится по образцу, что, на мой взгляд, является недостатком, так как у учащихся не формируется способность (рефлексия, анализ, планирование) по совершенствованию знаний.

В учебниках А. Г. Мордковича используется один из принципов РО: знания учащимся «не даются в готовом виде», а предлагается система заданий, при решении которых, учащиеся самостоятельно приходят к теоретическим выводам. Материал излагается доступно для учащихся, выдерживается логическая последовательность, задания строятся по принципу «от простого к сложному». Главная особенность учебников А. Г. Мордковича в том, что он основан на принципах проблемного, развивающего и опережающего обучения.

Все проанализированные учебники написаны в соответствии с действующим стандартом школьного математического образования.

Краткие выводы

Использование моделирования в обучении имеет два аспекта. Во-первых, моделирование служит тем содержанием, которое должно быть усвоено учащимися в результате обучения, теми методами познания, которыми они должны овладеть. Во-вторых, моделирование является учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение. Метод моделирования используется в любой науке, обладает эвристической силой: позволяет свести изучение сложного к простому, т.е. сделать любой сложный объект доступным для тщательного всестороннего изучения.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Явное введение в содержание обучения понятий математической модели и моделирования, выяснение сущности и роли моделирования в математике существенно меняет отношение школьников к учебным занятиям, делает их учебную деятельность более осмысленной и продуктивной.

Для того чтобы учащиеся овладели моделированием как методом научного познания, недостаточно лишь познакомить их с трактовкой понятий модели и моделирования, недостаточно лишь демонстрировать им разные математические модели и показывать процесс моделирования при решении задач. Надо, чтобы школьники сами строили модели, сами изучали какие-то явления с помощью моделирования. Когда учащиеся, решая практическую математическую задачу, понимая, что она представляет собой знаковую модель некоторой реальной ситуации, составляют последовательность различных ее моделей, затем изучают эти модели, решают их и, наконец, переводят полученное решение на язык исходной задачи, то тем самым школьники овладевают методом моделирования. Психологические теории обучения предполагают явное введение действия моделирования в процесс изучения любого фундаментального понятия.

Моделирование как учебное средство может использоваться в следующих целях:

1) построение модели ориентировочной основы умственных действий. Модель ООД может быть построена в виде учебной карты, где схематически перечислены все операции, которые надо выполнить для осуществления изучаемого умственного действия.

2) модели изучаемого раздела (темы) учебной программы в виде некоторой схемы можно использовать для планирования учащимися своей учебной работы, для самоконтроля и самооценки изученного материала.

3) модели изученного материала в виде схемы можно использовать для лучшего его запоминания, для обобщения.

Широкое и разностороннее использование моделирования оказывает позитивное влияние на формирование научного мировоззрения учащихся.

Таким образом, наглядные пособия и моделирование должны широко и разумно использоваться в процессе обучения математике.

Из приведенных ранее выводов и гипотез, я считаю, что в основу педагогического образования нужно вводить термин «моделирование» в явном виде, уделять большое внимание решению задач с помощью уравнений, так как уравнения - это математические модели реальных ситуаций. Явное знакомство учащихся с модельным характером науки, с понятиями моделирования и модели необходимо в целях формирования у них научного мировоззрения. Модели позволяют создавать у учащихся наглядные образы таких объектов изучения, как абстрактные понятия, отношения, которые обычными средствами предметной наглядности создать невозможно.

Таким образом, задачи исследования решены.



СПИСОК ИСПОЗЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобр. учреждений / Под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 2008. - 240 с.

2. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобр. учреждений / Под ред. С. А. Теляковского. - 15-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 2007. - 271 с.

3. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобр. учреждений / Под ред. С. А. Теляковского. - 15-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 2008. - 272 с.

4. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика: Учебник для 6 кл. общеобр. учреждений, 20-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 288 с.

5. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика: Учебник для 5 кл. общеобр. учреждений, 3-21-е изд. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.

6. Глинский Б.А., Грязнов Б.С., Дынин Б.С., Никитин Е.П. Моделирование как метод научного исследования (гносеологический анализ). - М.: МГУ, 1965. - 248 с.

7. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 5 класс, часть 1. - М.: «С-Инфо», «Баласс», 2001. - 176 с.

8. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 5 класс, часть 2. - М.: «С-Инфо», «Баласс», 2001. - 240 с.

9. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс, часть 1. - М.: «С-Инфо», «Баласс», 2003. - 112 с.

10. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс, часть 2. - М.: «С-Инфо», «Баласс», 2003. - 128 с.

11. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс, часть 3. - М.: «С-Инфо», «Баласс», 2002. - 176 с.

12. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 кл.: Учеб.для общеобразоват. учреждений. - 3-е изд., дораб. и испр. - М.: Мнемозина, 2004. - 270 с.

13. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 кл.: Учеб.для общеобразоват. учреждений. - 3-е изд., дораб. и испр. - М.: Мнемозина, 2004. - 264 с.

14. Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1: Учебник для учащихся общеобр. учреждений, 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 160 с.

15. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1: Учебник для учащихся общеобр. учреждений, 10-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 215 с.

16. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1: Учебник для учащихся общеобр. учреждений, 5-е изд. - М.: Мнемозина, 2003. - 192 с.

17. Салмина Н. Г. Виды и функции материализации в обучении. - М.: Изд-во ун-та, 1981. - 136 с.

18. Талызина Н. Ф. Педагогическая психология. Учебное пособие для студентов средних педагогических учебных заведении. - М.: Академия, 1998. - 288 с.

19. Терешин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики. Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 96 с.

20. Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. Учеб. пособие для учителей и студентов педвузов и колледжей. - М.: Школьная пресса, 2002. - 208 с.

21. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике. Пособие для учителей и методистов. - М.: Московский психолого - социальный институт: Флинта, 1988. - 224 с.

22. Штофф В. А. Моделирование и философия. - М.: Наука, 1966. - 21 с.



ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Практическое применение модели как средства обучения (на примере фрагмента урока).

Алгебра. 8 класс.

Тема урока: Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Цели и задачи урока:

Образовательные:

продолжить формирование умений решать квадратные уравнения по формуле;

закрепить умения решать квадратные уравнения и достигнуть понимания решений квадратных уравнений по формуле;

совершенствовать навык составления уравнения по условию задачи, уметь проверять соответствие найденного решения условиям задачи.

Развивающие:

развитие памяти учащихся;

развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач;

развитие любознательности.

Воспитательные:

формирование таких качеств личности, как ответственность, организованность, дисциплинированность, порядочность, правдивость;

содействовать формированию системы знаний, представлений, понятий;

способствовать поддержанию на высоком уровне общей работоспособности для учения.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование урока: заранее подготовленные листочки и копировальная бумага к математическому диктанту.

Использованная литература: Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений/ Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, С. Б. Суворова; под редакцией С. А. Теляковского.

План урока:

1. Организационный момент;

2. Актуализация опорных знаний;

3. Этап изучения нового материала;

4. Решение задач на закрепление пройденной темы;

5. Подведение итогов урока и постановка домашнего задания.

Ход урока:

1. (Подготовка учащихся к восприятию учебного материала) Приветствие, ориентация класса на работу, изложение плана работы на уроке.

2. (Проведение математического диктанта и тренировочных упражнений)

Учитель: Начнем наш урок с написания математического диктанта. На листочках подпишите свои фамилию и имя, а также укажите свой № вариант. (Диктую задания для обоих варианта по 2 раза. Не следует давать под запись условия заданий!)

Вариант I	Вариант II
1.Запишите квадратное уравнение, у которого a=1, b=-8, c=-9. Сколько корней оно имеет?(x2-8x-9=0 D=100;D>02 корня)	1. Запишите квадратное уравнение, у которого a=1, b=-8, c=7. Сколько корней оно имеет? (x2-8x+7=0 D=36;D>02 корня)
2. Найти корни квадратного уравнения 3x2-8x-3=0.(D=100, x1=3, x2=-)	2. Найти корни квадратного уравнения 2x2-3x-2=0.(D=25, x1=2, x2=-)
3. При каком условии квадратное уравнение не имеет корней?(D<0)	3. При каком условии квадратное уравнение имеет единственный корней?(D=0)
4. Решить уравнение x2-16=0 (x=4 или x=-4)	4. Решить уравнение x2-3x=0 (x=0 или x=3)



Учитель: Проверьте еще раз. (Сдают одну (верхнюю часть), а другая (нижняя часть) остается у учащихся).

Давайте сверим ответы с ответами на доске. На листочках ставим «+» или «-», в зависимости от правильности выполнения. Поставьте себе оценки:

все сделано правильно - «5»;

одна ошибка - «4»

сделано два задания это «3».

Давайте сделаем вывод: итак, мы научились решать различные квадратные уравнения.

Учитель: На повторение решим следующее уравнение. (Записано на доске)

Учитель: …работает на доске с подробным объяснением. Все остальные записывают в тетрадях условие и решают вместе с нами.

Учитель: Какой мы можем сделать вывод? Мы умеем решать и более сложные квадратные уравнения.

3. Этап изучения нового материала.

Учитель: Ребята, вы учились решать разнообразные квадратные уравнения с применением разных формул не зря, а для решения большого аппарата задач.

Учитель: Запишите тему нашего урока «Решение задач с помощью квадратных уравнений». Перед нами стоит задача: совершенствовать навык составления уравнения по условию задачи и умение проверять соответствие найденного решения условиям задачи.

Учитель: Рассмотрим применение квадратных уравнений при решении задачи №560 из учебника Теляковского.

Для начала, давайте вспомним основные этапы решения задачи на составление уравнения. Нам известны три этапы. Какие это этапы?

Ученик: 1. Анализ условия, составление математической модели.

2. Работа с моделью.

3. Запись ответа.

Учитель: Возвращаемся к нашей задаче.

Учитель: …, прочитай, пожалуйста, условие.

Ученик: найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см².

Учитель: Будем решать с помощью уравнения.

Зарисуйте в своих тетрадях таблицу.

длина	ширина	площадь	периметр

Как вам известно, за неизвестное берется наименьшее, а наименьшее у нас по условию задачи - ширина. Запишем.

Как теперь найти площадь, зная длину и ширину?

Ученик: S=a·b, где a- длина прямоугольника, b -ширина прямоугольника.

Кроме того, знаем, что S=60 см².(Заполним таблицу)

Теперь давайте дадим полное пояснение нашим действиям:

Пусть x см - ширина прямоугольника, тогда его длина (x+4)см. Площадь равна x(x+4)см², что по условию задачи составляет 60см².

Получаем следующее уравнение:

x(x+4)=60

x²+4x-60=0

D₁=64

Обратите внимание: на то, что x=-10 не удовлетворяет условию задачи, так как ширина не может выражаться отрицательным числом.

Условию удовлетворяет только x=6. Получаем, ширина 6 см, тогда длина прямоугольника 6+4=10 (см).

Учитель: Вспомним, как находится периметр прямоугольника?

Ученик:

Учитель: Получаем 2(6+10)=2·16=32 (см). Это и есть периметр.

Ответ: 32 см.

4. Решение задач на закрепление пройденной темы.

5. Подведение итогов урока и постановка домашнего задания.

Вы, наверное, обратили внимание, что были прорешаны задачи разного характера и решение каждый раз сводилось к решению квадратных уравнений.

Кроме того, заметили, что встречались как геометрические задачи, для которых требовалось алгебраическое решение, так и алгебраические задачи с геометрическим решением.

Для дальнейшего совершенствования навыка составления уравнений по условию задачи и закрепления запишите в дневниках задание на дом: п.23, №559, №561.



ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Конспект урока.

Алгебра. 9 класс.

Тема: Решение задач с помощью уравнений и систем уравнений.

Цели:

Приведение в систему всех полученных знаний за курс основной школы, закрепление основных умений и навыков по решению текстовых задач.

Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при решении текстовых задач.

Развивать навыки самоконтроля.

Тип урока: обобщающий урок-практикум.

Оборудование: презентация, раздаточный материал.

Содержание урока:

1. Сообщение темы и цели практикума.

2. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.

3. Инструктирование по выполнению заданий практикума.

4. Выполнение заданий в группах.

5. Проверка и обсуждение полученных результатов.

6. Постановка домашнего задания.

7. Резервные задания.

Ход урока:

Основное содержание учебного материала	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
1. Сообщение темы и цели практикума
	После проверки готовности класса к уроку сообщает, что сегодня проводится заключительный урок итогового повторения решения задач с помощью уравнений и систем уравнений по всему курсу алгебры. Ставится задача: привести в систему все полученные знания, закрепить основные умения и навыки по решению текстовых задач.	Записывают тему урока
2. Актуализация опорных знаний и умений учащихся
Устные упражнения. Слайд №2. 1. Составьте уравнение для решения задачи: а) У хозяйки было 20 кур и цыплят. Кур было в 4 раза меньше, чем цыплят. Сколько цыплят было у хозяйки? б) В книге 60 страниц. Прочитали в 2 раза больше страниц, чем осталось прочитать. Сколько страниц осталось прочитать? 2. Составьте систему уравнений с двумя переменными для решения задачи: В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и кроликов.	Вызывает учащихся для составления уравнений. Выясняет вместе с учащимися, можно ли задачу под буквой а) решить арифметически. Выясняет вместе с учащимися, можно ли эту задачу решить арифметически, с помощью одного линейного уравнения.	Учащиеся отвечают на вопросы учителя. Учащиеся составляют систему уравнений и записывают ее на доске (по желанию) и в тетрадях. Контролируют ответы одноклассников. Учащиеся отвечают на вопросы учителя.
3. Инструктирование по выполнению заданий практикума
Таблица с инструкцией Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов: анализ задачи; схематическая запись задачи; поиск способа решения задачи; осуществление решения задачи; проверка решения задачи; исследование задачи; формулирование ответа задачи; анализ решения задачи. Слайд №3. Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами А и В по течению реки за 2 ч, а против течения - за 3 ч. Какое время затратит бревно на путь от А до В?	Напоминает, как пользоваться инструкцией на примере задачи Отмечает, что теперь сами учащиеся должны проявить подобные умения при выполнении заданий практикума. Передает задания каждой группе из 4-5 человек и двойные листы с копиркой для оформления решений каждым учеником.	Читают инструкцию, отвечают на вопросы учителя
4. Выполнение заданий в группах
Раздаточный материал с заданиями для групп. Содержание 2-х вариантов заданий: Вариант №1: 1.На турбазе имеются палатки и домики; всего их 25. В каждом домике живут 4 человека, а в каждой палатке 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если на турбазе отдыхают 70 человек? 2. Бригада лесорубов должна заготовить 600 м3 дров. Первые 8 дней бригада работала по плану, а затем перевыполняла план ежедневно на 10 м3. Поэтому уже за 2 дня до срока бригада заготовила 640 м3 дров. Какова ежедневная норма (в кубических метрах) по плану? Вариант №2: 1.У причала находилось 6 лодок, часть из которых была двухместными, а часть - трехместными. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько двухместных и сколько трехместных лодок было у причала? 2.Бригада рабочих должна была за несколько дней изготовить 216 деталей. Первые три дня бригада выполняла установленную ежедневную норму, а потом стала изготавливать на 8 деталей в день больше плана. Поэтому за 1 день до срока было изготовлено 232 детали. Сколько деталей в день стала изготавливать бригада?	Управляет самостоятельной работой учащихся	Выполняют задания с использованием таблиц с инструкцией
5. Проверка и обсуждение полученных результатов
Слайды с ответами к заданиям.	Собирает копии решений и готовит учащихся к проверке выполненной работы Включает слайды. Проверяет работы с помощью консультантов из каждой группы и с учетом самооценок подводит итоги работы. Собирает раздаточный материал	Копии решений сдают учителю Осуществляют самопроверку и самооценку выполнения заданий. Получают разъяснения по возникающим при этом вопросам
6. Постановка домашнего задания
Решить задачи из Сборника заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс Л.В.Кузнецова, Е.А.Бунимович, Б.П. Пигарев, С.Б. Суворова. № 594, с.162; № 599, с.163.	Дает пояснения по домашнему заданию. Сообщает, что следующий урок будет уроком обзорного повторения по теме и “Решение задач с помощью уравнений и систем уравнений” подготовки к итоговой контрольной работе	Записывают домашнее задание
7. Резервные задания
Слайды №6, 7, 8. Задача 1. Двое очистили 400 картофелин; один очищал 3 штуки в минуту, другой - 2. Второй работал на 25 мин больше, чем первый. Сколько времени работал каждый? Задача 2. Купили два сорта краски. Первого сорта на 3600р., а второго - на 2400р. При этом краски второго сорта купили на 6 кг больше, чем первого, но килограмм краски второго сорта на 100р. дешевле килограмма краски первого сорта. Сколько было куплено килограммов краски первого сорта? Задача 3. Два туриста, сменяясь, перенесли рюкзак на расстояние 11 км. При этом каждый нес рюкзак по одному часу. Какова скорость второго туриста, если 3 км он проходил на 6 мин медленнее, чем первый турист проходил 2 км?	Использует для обеспечения занятости и развития наиболее подготовленных учащихся



ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Конспект урока.

Алгебра. 7 класс.

Тема: Решение задач с помощью уравнений.

Номер урока по теме: 2

Цель:

· Обучение решению текстовых задач с помощью уравнений, развитие мышления учащихся;

· Формирование приемов умственной и исследовательской деятельности;

· Формирование умений и навыков моделирования реальных объектов и явлений;

· Воспитание у учащихся навыков учебного труда.

Ожидаемые результаты: активизация мыслительной деятельности учащихся в ходе составления различных уравнений при решении задач. Ученики повысят свое самоуважение, почувствуют себя более компетентными.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний учащихся.

3. Решение задач.

4. Самостоятельная работа.

5. Итог урока.

6. Домашнее задание.

Ход урока:

1. Организационный момент. Сообщение темы урока, целей.

2. Актуализация знаний учащихся.

Фронтальная работа. Репродуктивный метод.

Для подготовки учащихся к решению задач повторить и систематизировать их знания и умения в ходе работы с графиком движения, моделируя события.

Учитель: Каким способом можно описать процесс движения?

Ученик: текстом, рисунком, таблицей, графиком.

Учитель: На рисунке изображен график движения туриста. Опишите движение туриста.

Ученик: Сколько часов в пути находился турист? Сколько длился привал? Скорость до привала и после? На сколько скорость до привала больше скорости после привала?

Учитель: Постройте график движения туриста, который вышел одновременно с первым из пункта В в пункт А, но двигался равномерно без остановок и завершил движение одновременно с первым туристом.

Ученики: выполняют построение

Учитель: По рис 2. опишите движение объектов.

Ученик: Из п. А и в одновременно навстречу друг другу выехали автобус и бензовоз. Расстояние между пунктами 400 км. Автобус находился в пути 4 ч. Бензовоз на один час больше.

Учитель: На какие еще вопросы можно ответить по графику?

Ученик: На каком расстоянии от п. А произошла встреча? Через сколько часов встретились автомобили?

3. Решение задач.

Фр.- инд. работа. Практический метод, частично-поисковый.

а	V, км\ч.	t, ч.	S, км.
1.	35
2.	45	На 1 ч.

Учитель: Движение объектов описано с помощью таблицы. Используя ее смоделируйте движение.

Ученик: Из двух пунктов навстречу друг другу выехали два мотоциклиста, причем 1 выехал на 1 час раньше. Расстояние между пунктами 195 км.

Ученик: Из одного пункта в противоположных направлениях выехали два мотоциклиста и разъехались на 195. Причем, мотоциклист со скоростью 45 км\ч. находился в пути на один час меньше.

Учитель: Можно ли данное описание считать задачей?

Ученик: Нет. Необходимо поставить вопрос.

а	V, км\ч.	t, ч.	S, км.
1.	35	?	? ?
2.	45	? на 1ч.

Учитель: Решите задачу с помощью уравнения.

На доске оформить предложенные учениками уравнения.

V

t

S

V

t

S

V

t

S

1

35

х

35х

1

35

х+1

35(х+1)

1

35

х:35

х

2

45

х-1

45(х-1)

2

45

х

45х

2

45

(195-х):45

195-х

35х+ 45(х-1)=195 35(х+1)+ 45=195

Учитель: Выберите вопрос на который будете отвечать, решая задачу, и воспользуйтесь одним из составленных уравнений (для решения уравнений вызвать к доске учащихся). Возможно, третье уравнение никто не выбрал, тогда обсудить почему? И как его решить?

Заполнить таблицу ответов:

	V, км\ч.	t, ч.	S, км.
1.	35	3	105 90
2.	45	2

4. Этап самостоятельной работы, (самостоятельная работа с последующей проверкой). Метод самоконтроля.

	V, км\ч.	t, ч.	S, км.
1.	35	на 1ч.	на 15 км.
2.	45

Учитель: Рассмотрите движение, описанное в таблице. Что изменилось в условии? Составьте задачу, используя таблицу. Поставить один вопрос и решить задачу с помощью уравнения.

Проверка:

1. 35х-45(х-1)= 15;

2. 35х=45(х-1)= 15;

3.

4. 35(х+1)-45х=15;

5.

6.

Учитель: Какое из предложенных уравнений вы составили, что обозначили через х?

Обсуждение.

Составить таблицу ответов. Внести в таблицу ответы, полученные при решении задачи.

	V, км\ч.	t, ч.	S, км.
1.	35	3	105 90
2.	45	2

Учитель: Почему получилась такая же таблица ответов, как и в предыдущей задаче?

Ученик: Мы рассматривали то же самое движение. Величины не изменились, изменилась связь между расстояниями объектов.

Учитель: Как по известному уравнению установить связь между величинами? Например:

В	V	t	S
1	35
2	45

35х+45(5-х)= 195

Используя уравнение, заполнить таблицу, выявить связь между величинами

5. Итог урока.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводится итог урока.

· Какое движение рассматривалось в задачах?

· Что менялось в условии задачи? (Связь между величинами).

· Что оставалось неизменным? (Скорость).

Вывод: Используя одно и тоже движение объектов, можно составить разные задачи, изменяя связь между величинами.

6. Домашнее задание.

Используя рассмотренное на уроке движение, составить задачу, в которой исходные данные - скорость объектов- станут искомыми. И решить задачу двумя способами: арифметическим и алгебраическим.

Размещено на Allbest.ru

...