Геометричне моделювання скалярних і векторних полів на базі узагальнено-тривекторного числення

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Авторефереат

Геометричне моделювання скалярних і векторних полів на базі узагальнено-тривекторного числення

Спеціальність 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка

МАЛКІНА Віра Михайлівна

Донецьк - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійській державній агротехнічній академії Міністерства аграрної політики України.

Науковий консультант: - доктор технічних наук, професор

Найдиш Андрій Володимирович,

завідувач кафедри прикладної математики

і обчислювальної техніки,

Таврійська державна агротехнічна академія,

(м. Мелітополь);

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор

Скідан Іван Андрійович,

завідувач кафедри нарисної геометрії

та інженерної графіки, Донецький національний технічний університет, (м. Донецьк);

- доктор технічних наук, професор

Куценко Леонід Миколайович,

професор кафедри пожежної і аварійно-

рятувальної техніки, Академія пожежної безпеки України, (м. Харків).

- доктор технічних наук, професор

Корчинський Володимир Михайлович,

завідувач кафедри електронних засобів телекомунікацій, Дніпропетровський національний університет, (м. Дніпропетровськ).

Провідна установа: Національний технічний університет України (Київський політехнічний інститут), кафедра нарисної геометрії, інженерної і машинної графіки, Міністерство освіти і науки України, (м. Київ)

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Практика висуває перед прикладними науками все більш складні задачі, пов'язані з моделюванням явищ і процесів, пред'являючи при цьому до моделей і моделюючого апарата цілу низку вимог, наприклад, диференціального, позиційного, геометричного характеру.

Таким чином, існує наукова проблема побудови більш повних, точних і адекватних моделей, що описують явища і процеси векторної і скалярної природи, та відповідного до них моделюючого апарату, який дозволить враховувати всі різновиди властивостей досліджуваного явища або процесу.

Загальна постановка задачі моделювання векторних або скалярних полів із заданими диференціально-геометричними властивостями складається в побудові такого поля, яке у деякій області задовольняє заданим диференціальним умовам, а на краю цієї області має визначені диференціальні і позиційні властивості. Розробка методів моделювання таких полів важлива для теорії і практики, тому, що дозволяє одержати розв'язки багатьох прикладних і наукових задач, таких як задачі теорії пружності, теорії теплопровідності, теорії коливань та ін. Складність поставленої задачі полягає в необхідності врахувати при побудові геометричної моделі диференціальних умов, які відображають фізику процесу, геометричну форму області, у якій досліджується процес, різноманіття крайових умов на краю цієї області.

Відомі методи моделювання, в тому числі і геометричні, які можна використовувати для моделювання вищезгаданих процесів і явищ, вирішують задачі побудови скалярних і векторних полів, орієнтованих на конкретні природні процеси в конкретних областях, не мають загальних підходів для моделювання як векторних так і скалярних полів із заданими диференціальними і позиційно-геометричними умовами, не дозволяють повною мірою врахувати складні диференціальні і позиційні вимоги, які пред'являються до моделі. Крім того, можна сказати, що в зазначеній загальній постановці вченими прикладної геометрії задача моделювання векторних полів не вирішувалася. Пристосувати вже відомі і розроблені методи геометричного моделювання до розв'язання таких задач не уявляється можливим.

На наш погляд це пояснюється відсутністю відповідного моделюючого геометричного апарата, в рамках якого було б можливо враховувати складні диференціальні і геометричні умови, і який би забезпечив спільні підходи до моделювання процесів і скалярної, і векторної природи.

Актуальність теми. Актуальність запропонованої теми випливає з постановки вище вказаної проблеми і полягає в необхідності побудови спеціального моделюючого апарата, на основі якого стане можливою розробка загальних підходів і методів для моделювання векторних, скалярних і векторно-скалярних полів із заданими диференціальними і позиційними властивостями у вигляді спеціальних векторних або скалярних апроксимуючих поліномів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Теоретичні дослідження в роботі виконані в рамках державної науково-технічної програми №5 “Моделювання явищ і процесів в АПК” (№ держреєстрації 0102U000695) Таврійської державної агротехнічної академії.

У процесі впровадження результатів дослідження вирішувалися задачі в рамках науково-виробничої програми створення та вдосконалення автомобільних двигунів у роботі відділу головного конструктора ГРП “Авто-ЗАЗ-Мотор” (м. Мелітополь), у науково-виробничій програмі конструювання термозахисних покрить космічних апаратів (ДКБ “Південне” м. Дніпропетровськ), у науково-дослідній програмі підприємства ЗАТ “Київпромзв'язокбуд” (м. Київ) при проектуванні будівельних блоків і конструкцій, у навчальному процесі ТДАТА (м. Мелітополь).

Мета і задачі дослідження. Розробити основи нового геометричного апарату на базі запропонованих у роботі функцій узагальнено-тривекторного аргументу для моделювання векторних і скалярних полів із заданими позиційно-диференціальними властивостями.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі:

- виконати аналіз існуючих методів моделювання, векторних і скалярних полів за наперед заданими умовами;

- розробити теоретичні основи узагальнено-тривекторного числення;

- на підставі побудованого числення розробити нові методи розв'язання прикладних задач моделювання векторних і скалярних полів із заданими позиційними і диференціальними властивостями;

- виконати програмну реалізацію;

- здійснити практичне впровадження.

Об'єкт дослідження. Процеси векторної, скалярної і векторно-скалярної природи.

Предмет дослідження. Геометричні моделі векторних і скалярних полів із визначеними диференціальними і позиційними властивостями.

Методика дослідження. У процесі розв'язання задач, поставлених у роботі, використовувалися методи диференціальної та аналітичної геометрії, теорії апроксимації, обчислювальні методи, методи функціонального і математичного аналізу, теорії функцій комплексної змінної, методи теорії гіперкомплексних чисел.

Теоретичною базою для даних досліджень послужили праці вчених:

- в області геометричного моделювання поверхонь, векторних і скалярних полів із заданими диференціальними властивостями: праці Балюби І.Г., Ваніна В.В., Гумена М.С., Джапарідзе І.С., Іванова Г.С., Ковальова С.М., Ковальова Ю.М., Корчинського В.М., Котова І.І., Куценка Л.М., Михайленка В.Є., Найдиша А.В., Найдиша В.М., Обухової В.С., Павлова А.В., Підгорного О.Л., Підкоритова А.М., Пилипаки С.Ф., Пугачова Є.В., Рвачева В.Л., Скідана І.А., Юрчука В.П. і їхніх учнів;

- в області моделювання кривих ліній поверхонь із заданими диференціальними властивостями: праці Гаспара Монжа, Фур'є, Чебишева П.Л., Ейлера, Даламбера, Лагранжа, Якобі;

- в області прикладної математики: теорія гіперкомплексних чисел, а саме, кватерніонів Гамільтона; дослідження тривекторних і векторних полів у працях Вінберга Є.Б., ідеї і праці Титаренка М.С., праці Ж. Органа, П.С. Александрова, Я. Фарадея, О. Хевісайда.

Наукова новизна отриманих результатів:

1. Вперше розроблені на базі узагальнено-тривекторного числення теоретичні основи геометричного моделювання векторних і скалярних полів, а саме:

- вперше введена і досліджена спеціальна параметризація нових геометричних об'єктів на основі введення поняття узагальнений тривектор і побудови системи спеціальних операцій над цими об'єктами, що у сукупності складає основу узагальнено-тривекторного числення;

- вперше розроблено на базі узагальнено-тривекторного числення основи аналізу узагальнено-тривекторних функцій.

2. У сукупності це дозволило вперше розробити загальний метод геометричного моделювання векторних і скалярних полів із заданими позиційними і лінійними диференціальними властивостями на базі узагальнено-тривекторних апроксимуючих поліномів.

3. На основі загального методу моделювання векторних і скалярних полів вперше розроблені методи побудови геометричних моделей у вигляді О-тривекторних поліномів для таких задач:

- метод розв'язання задачі про деформацію пружного тіла в переміщеннях при довільних крайових умовах;

- метод розв'язання задачі про прогин пластини при різних способах закріплення країв і довільному способі розподілення навантаження;

- метод розв'язання задачі теплопровідності стаціонарної і нестаціонарної при різних видах крайових умов;

- метод розв'язання задачі при коливанні твердого тіла.

Перераховані методи відрізняються від відомих тим, що побудовані на базі спеціальних О-тривекторних рядів, дозволяють отримати розв'язки на областях довільної конфігурації, дозволяють будувати модель з необхідною точністю та є загальними для різних видів крайових умов.

Для кожного із перерахованих методів розроблена відповідна програмна реалізація і рекомендації щодо їх застосування для розв'язання практичних задач.

У роботі захищаються наукові положення, що складають наукову новизну і практичну цінність дослідження.

Робота виконана в рамках напрямків досліджень спеціальності 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка, а саме: розроблений у роботі метод моделювання скалярних і векторних полів за заданими диференціально-геометричними умовами відповідає напрямку паспорту спеціальності конструювання кривих ліній та поверхонь за заданими вимогами; побудований у роботі моделюючий апарат на базі узагальнено-тривекторного числення відповідає напрямку паспорту багатовимірна прикладна геометрія як метод геометричного моделювання багатопараметричних процесів та явищ; розроблені у роботі методи розв'язання прикладних задач відповідає напрямку паспорту геометричні методи оптимізації в різних галузях науки і техніки.

Практичне значення отриманих результатів полягає в підвищенні точності моделювання, зниженні часових і матеріальних витрат за рахунок одержання більш адекватних, точних і ефективних моделей, що описують складні диференціальні умови з урахуванням позиційних характеристик. Новий загальний метод моделювання векторних і скалярних полів із заданими диференціальними і геометричними властивостями, та відповідні алгоритми, програмна реалізація і рекомендації для практичного застосування, дають можливість будувати апроксимуючі моделі з заданою точністю, дозволяють більш повно враховувати різноманітність граничних умов і різнорідні властивості явищ і процесів, які моделюються.

Практичні рекомендації застосування запропонованих у роботі методів дозволяють вирішувати інженерні і практичні задачі, а саме:

- методика розрахунку і її програмна реалізація, що прийняті до впровадження для прогнозування розподілу температурного поля усередині ребер охолодження різних профілів в автомобільних двигунах, розроблювальних на ГРП “Авто-ЗАЗ-Мотор” (м. Мелітополь);

- розрахункові методики і їхня програмна реалізація, що прийняті до впровадження в Державному конструкторському бюро “Південне” при моделюванні теплових полів термозахисних покрить космічних апаратів;

- методика розрахунків і програмна реалізація задачі прогнозування поля напружень і поля переміщень усередині будівельних конструкцій у вигляді балок складного профілю, що прийняті до впровадження в ЗАТ “Київпромзв'язокбуд” (м. Київ);

- практичні і теоретичні результати досліджень, що використовуються в навчальному процесі Таврійської державної агротехнічної академії (м. Мелітополь) в курсах “Прикладна математика”, “Математичне програмування і моделювання виробничих систем”.

Особистий внесок здобувача в роботах, опублікованих у співавторстві. Особисто автором розроблені всі теоретичні і прикладні питання, що складають наукову новизну досліджень. У спільній публікації з Найдишем В.М. [20] особисто автором розроблена система нових операцій над тривекторами і досліджені властивості цих операцій; у спільній публікації з Найдишем А.В. [21] побудовано лінійний простір, породжений тривектором і досліджені властивості базису цього простору; у спільних публікаціях з Найдишем А.В. [26] розроблено новий метод побудови моделей векторних і скалярних полів із заданими диференціальними і позиційними властивостями у вигляді спеціальних О-тривекторних рядів.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертації обговорювалися і доповідалися на наступних конференціях і семінарах: на міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Донецьк, 2000р.); на VI міжнародній конференції по математичному моделюванню (м. Херсон 2003р.), на міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м.Львів, 2003р.), на VII і VIII Міжнародних науково-практичних конференціях “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Мелітополь, 2003р., 2004р.); на науковому семінарі кафедри нарисної геометрії, інженерної і комп'ютерної графіки КНУБА під керівництвом академіка Михайленка В.Є. (м. Київ, 2003-2004р.р.); на міському семінарі по прикладній геометрії під керівництвом професора Л.М. Куценка (м. Харків, 2003р.); на науковому семінарі кафедри нарисної геометрії ДонНТУ під керівництвом проф. Скідана І.А. (м. Донецьк, 2004р.); на пленарних засіданнях щорічної науково-методичної конференції ТДАТА (м. Мелітополь 2002р., 2003р., 2004р.).

Публікації. За результатами наукових досліджень опубліковано 29 наукових праць, з них 25 друкованих праць у збірниках, рекомендованих ВАК України, 2 - тези конференцій.

Структура й обсяг дисертації.

Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаних джерел з 436 найменувань і додатка. Роботу складають 425 сторінок машинописного тексту, 83 рисунки, 12 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі сформульована суть наукової проблеми, обґрунтована її актуальність, сформульовані мета і задачі дослідження, викладені наукова новизна і практична значимість отриманих результатів.

Розділ 1 - “Аналіз існуючих методів моделювання векторних і скалярних полів”. Загальна постановка задачі моделювання векторних і скалярних полів із заданими диференціально-геометричними властивостями складається в побудові такого поля, що у деякій області задовольняє заданому диференціальному рівнянню, а на границі цієї області має визначені диференціальні і позиційні властивості. теплопровідність пружність ламе диференціація

Аналіз відомих методів моделювання таких, як - точні методи (метод Фур'є, метод розподілу змінних, метод інтегральних перетворень, метод потенціалів), варіаційні методи (метод Рітца, метод Л.В. Канторовича та ін.), чисельні методи (метод скінчених елементів, метод сіток та ін.) показав, що методи моделювання полів із заданими диференціально-геометричними властивостями не є загальними для моделювання і векторних, і скалярних полів, а також виявляються малоефективними у випадках, коли області розв'язку задачі мають складну конфігурацію, а диференціальні умови на границі - комбінований або складний вигляд.

На наш погляд, це обумовлено наступними причинами. У постановці таких задач присутня інформація двох типів - аналітична і геометрична. Аналітична інформація - диференціальне рівняння задачі і вид крайових умов. Геометрична - форма області розв'язання задачі та її границі . Аналітична інформація характеризує фізику процесу, геометрична - форму і геометричні властивості області, у якій досліджується процес. Саме врахування геометрії області є проблематичним і викликає найбільші складнощі при розв'язанні задач класичними методами. Отже, необхідно залучати геометричні прийоми та засоби, що дозволять більш ефективно включати геометричну інформацію в алгоритм розв'язання і одержувати більш адекватні моделі.

У прикладній геометрії методи розв'язання таких задач розроблені в працях Балюби І.Г., Ваніна В.В., Гумена М.С., Джапарідзе І.С., Іванова Г.С., Ковальова С.М., Ковальова Ю.М., Корчинського В.М., Котова І.І., Куценка Л.М., Михайленка В.Є., Найдиша А.В., Найдиша В.М., Обухової В.С., Павлова А.В., Підгорного О.Л., Підкоритова А.М., Пугачова Є.В., Рвачева В.Л., Скідана І.А., Хомченка А.Н., Юрчука В.П. і їхніх учнів.

Однак перераховані методи, як правило, орієнтовані на задачі конкретного типу і на області визначеної конфігурації. Тому необхідна розробка більш загальних методів, що дозволяють розв'язувати вказані вище задачі на областях довільної конфігурації і при довільних диференціальних умовах.

Якщо для моделювання скалярних полів, що задовольняють заданим диференціально-позиційним умовам розроблено досить багато методів, у тому числі і геометричних, то для моделювання векторних і векторно-скалярних полів, що задовольняють визначеним умовам, такі задачі, в основному, вирішували без застосування геометричних методів. Це можна пояснити складністю самої задачі, і можливо, відсутністю необхідного геометричного апарату.

Для моделювання векторних полів пропонуються наступні методи: векторний аналіз і теорія поля; теорія функцій комплексного змінного; апарат тривекторів; теорія гіперкомплексних чисел, зокрема, теорія кватерніонів Гамільтона. Проаналізуємо ці методи.

Істотним недоліком апарату векторів і теорії поля є той факт, що відома операція множення векторів (векторний добуток) не має властивості комутативності, що не дозволяє однозначно визначати операцію ділення, ввести оператор диференціювання для векторних функцій по векторній змінній.

Векторна інтерпретація комплексного числа широко використовується в задачах моделювання різних векторних полів. Однак, наявність у комплексному числі лише двох змінних обмежує коло задач побудови векторних полів, розв'язуваних за допомогою функцій комплексної змінної.

Широкі можливості для розв'язання запропонованих задач, на наш погляд, відкривають ідеї теорії тривекторів і теорії кватерніонів Гамільтона. Однак можливості застосування тривекторів звужує той факт, що властивості тривекторів і операцій над тривекторами випливають з тензорного трактування цього об'єкта. Трактування тривектора, як геометричного об'єкта, дозволяє ввести зовсім інші, відмінні від відомих, операції над тривекторами, що випливають з його геометричної суті і відкриває нові можливості для моделювання, що і пропонується в роботі.

Термін “кватерніон”, введений Гамільтоном у його роботах, присвячених пошуку розширення числового поля комплексних чисел, у надії одержати тривимірні поля або поля більш високих вимірностей, що володіють деякими властивостями, аналогічними властивостям поля комплексних чисел. Істотним недоліком апарата кватерніонів є відсутність комутативності добутку кватерніонів, це не дає можливості ввести оператор диференціювання по кватерніонній змінній, операцію інтегрування і т.п. і побудувати аналіз кватерніонних функцій, подібно аналізу функцій комплексної змінної.

Таким чином, для побудови складних моделей явищ і процесів векторної і векторно-скалярної природи необхідно побудувати спеціальний апарат векторно-скалярних функцій, що допускають операції диференціювання й інтегрування, на базі яких можлива побудова векторних або скалярних полів із заданими диференціальними властивостями. У роботі пропонується такий апарат - узагальнено-тривекторне числення.

Проведений аналіз відомих методів розв'язку задач моделювання векторних, скалярних і векторно-скалярних полів із заданими диференціально-позиційними характеристиками дозволяє зробити наступні висновки:

існуючі методи моделювання полів із заданими диференціально-позиційними властивостями виявляються неефективними при розв'язанні задач на областях складної конфігурації та при складних комбінованих диференціально-позиційних умовах;

не розроблені теоретичні основи геометричного моделювання векторних і скалярних полів із заданими диференціальними умовами, відсутній відповідний для розв'язання цієї проблеми геометричний апарат;

відсутня теоретична база для моделювання процесів і явищ векторно-скалярної природи.

Вказані причини визначають необхідність розробки нового числення, яке складає основу геометричного моделювання скалярних, векторних і векторно-скалярних полів із заданими диференціальними й позиційними властивостями на базі побудованого в цій роботі апарату аналітичних узагальнено-тривекторних функцій.

Сутність запропонованого числення складає геометричний апарат, основа якого полягає в створенні нового геометричного об'єкта - узагальнений тривектор (О-тривектор) - і розробці системи операцій над О-тривекторами.

Розробка аналізу аналітичних функцій О-тривекторного аргументу, надасть можливості моделювати векторні, скалярні і векторно-скалярні поля з заданими диференціальними властивостями у вигляді апроксимуючих О-тривекторних поліномів. Конструювання спеціальної метрики в просторі функцій-розв'язків дозволить моделювати векторні, скалярні і векторно-скалярні поля з заданими позиційними властивостями на областях складної конфігурації. Програмна реалізація методу забезпечить застосування сучасних комп'ютерних технологій.

Отже, для побудови нового моделюючого апарата необхідно розробити відповідне числення, яке буде базою для розробки загального та окремих методів моделювання. Як відомо, основу числення складає деяка група об'єктів і система операцій над цими об'єктами. Для більшої ефективності моделюючого апарату слід будувати таку систему операцій над об'єктами, яка може забезпечити побудову алгебри.

У другому розділі роботи “Побудова апарату тривекторів” розглядається питання про розвинення можливостей відомого математичного об'єкта - тривектор за рахунок його нової геометричної інтерпретації і введення відмінних від відомих операцій над тривекторами, що у сукупності дозволять розробити алгебру тривекторів, яка є основою для побудови нового моделюючого апарату векторних і скалярних полів.

Як відомо, тривектор - це упорядкована трійка векторів ,, які мають загальний початок точку О (рис.1). Позначати тривектор будемо або Вектори назвемо векторами-компонентами тривектора . Два тривектори і рівні між собою, якщо рівні їхні відповідні вектори-компоненти.

Нульовим тривектором назвемо тривектор, усі вектори-компоненти якого є нульовими векторами

Пропонуються наступні операції над тривекторами.

Сумою двох тривекторов і будемо називати тривектор , вектори-компоненти якого визначаються як .

Операція суми тривекторів має наступні властивості:

- комутативність;

- асоціативність.

Добуток тривектора на скаляр - це тривектор, який дорівнює сумі однакових тривекторів, тобто Добуток тривектора на скаляр має властивість дистрибутивності

, .

Тривекторний добуток тривекторів і - це тривектор , вектори-компоненти якого визначаються співвідношеннями

, , ,

де символ “ ” позначає векторний добуток векторів.

Як доведено в роботі, тривекторний добуток тривекторів має наступні властивості:

- комутативність;

- дистрибутивність;

, де - скаляр.

Тривекторний добуток тривекторів, у загальному випадку, не має властивості асоціативності, тобто .

Запропоновані операції задовольняють необхідним вимогам і є базовими для побудови комутативної неасоціативної алгебри тривекторів.

Введемо низку скалярних величин, що характеризують геометричні властивості тривекторної піраміди :

- змішаний добуток векторів , , , величина, пропорціональна об`єму піраміди-тривектора ;

- величина, яка дорівнює сумі квадратів довжин бічних ребер піраміди-тривектора ;

, де (). Величина пропорціональна сумі квадратів площ бічних граней піраміди-тривектора .

Скаляри , будемо називати геометричними інваріантами тривектора . Тривектор, у якого будемо називати виродженим.

Деякий тривектор назвемо часткою від ділення двох тривекторів якщо У роботі доведено правило визначення векторів-компонентів такого тривектора

(1)

де

Тривектор однозначно визначений у випадку, коли тобто, коли інваріант тривектора-знаменника відмінний від нуля.

Тривекторну одиницю визначимо як частку , де - невироджений тривектор. Компоненти-вектори тривекторної одиниці визначаються за співвідношеннями, які випливають з (1). Зазначимо, що кожному тривектору відповідає своя тривекторна одиниця .

У роботі доведено, що існують особливі ненульові тривектори (дільники нуля), добуток яких є нульовий тривектор.

Назвемо цілопоказниковим -м ступенем тривектора , тривектор який визначимо як -кратний тривекторний добуток на себе. Через відсутність асоціативності тривекторного добутку, варто строго визначити поняття -ого ступеня тривектора в такий спосіб .

У роботі доведене Твердження 1: У загальному випадку, тривектори і лінійно незалежні. Тривектори виражаються у вигляді лінійної комбінації тривекторів , тобто

де коефіцієнти залежать від геометричних інваріантів , , тривектора Вирази для коефіцієнтів визначаються в матричній формі

Скалярним добутком тривекторів і назвемо скаляр, який дорівнює сумі скалярних добутків відповідних векторів-компонентів

Скалярний добуток тривекторів має наступні властивості:

- комутативність;

- дистрибутивність;

( - скаляр).

У роботі доведено, що при довільних цілих і скалярний добуток виражається через геометричні тривекторні інваріанти ,. Зокрема, ; ; ;; .

У роботі доведене Твердження 2: Тривектор можна подати у вигляді лінійної комбінації тривекторів , тобто де - константи, які залежать від .

Зокрема, ; ; .

Нормою тривектора назвемо величину, визначену зі співвідношення . Таке визначення норми коректне, тому що виконуються всі необхідні умови норми, які випливають з властивостей скалярного добутку тривекторів.

Отже, простір тривекторів є нормованим простором, а це дозволяє оцінити міру близькості двох тривекторів за допомогою величини , яка характеризує відстань між тривекторами.

У загальному випадку, довільний тривектор є дев`ятивимірним об'єктом, а сам простір тривекторів є дев`ятивимірним. Отже, тривектор може бути єдиним чином поданий у вигляді розкладання за деяким тривекторним базисом , тобто у вигляді . У якості тривекторного базису можна запропонувати базис, складений з дев'яти вироджених тривекторів вигляду

Можна побудувати множину інших тривекторних базисів таких, що відрізняються положенням у просторі. Тривектор у кожному такому базисі буде мати своє розкладання. Однак з множини різних базисів , можна виділити особливий базис.

У роботі доведене Твердження 3: Для будь-якого невиродженого тривектора існує єдина система базисних тривекторів , з визначеною орієнтацією ортів , відносно тривектора , така, що тривектор у цьому базисі подається у вигляді , інші тривектори базису в розкладанні відсутні. Надалі такий базис будемо позначати .

Розглянемо лінійну оболонку, побудовану на тривекторах , , що є лінійним підпростором простору усіх тривекторів. Елементами цього лінійного простору будуть алгебраїчні тривекторні поліноми вигляду Такий лінійний простір будемо називати простором, породженим тривектором і позначати . Базисом простору є тривектори і . Тривектори представляють інший базис , відмінний від базису , елементи якого мають властивості, ідентичні властивостям базисних векторів евклідового простору:

З того, що вимірність простору дорівнює вимірності евклідового простору , випливає можливість встановити взаємно однозначну відповідність між простором і простором . Будь-який тривектор з відповідає векторові з простору і навпаки. Таким чином, множину тривекторів , породжену тривектором , можна трактувати, як множину звичайних векторів з простору, стосовно яких введена особлива операція добутку, яка задовольняє умові комутативності, на відміну від відомої операції векторного добутку.

Можливості для моделювання, що надає побудований апарат тривекторів можна продемонструвати на наступному прикладі. Пропонується виділити область у формі тетраедра усередині напружено здеформованого середовища (рис. 3). По трьох ребрах, що сходяться в одній вершині, побудуємо вектори і . На бічні грані тетраедра діють зовнішні сили і , унаслідок чого виникають деформації, і вершини піраміди (кінці векторів ) переміщуються на вектори відповідно. У роботі доведено, що зв'язок між тривектором сил і тривектором деформації виражається співвідношенням, що є тривекторною моделлю закону Гука

Відсутність асоціативності добутку тривекторів обмежує можливості застосування побудованої алгебри тривекторів. Це не дозволяє ввести визначення аналітичної функції від тривекторного аргументу і використати тривектори для побудови моделей, у яких є присутнім оператор диференціювання. Для усунення цього недоліку пропонується нова, нетрадиційна операція - узагальнений добуток тривекторів. Таким чином приходимо до ідеї розширення (узагальнення) поняття тривектора та всього побудованого тривекторного числення. Таким розвитком стало побудоване в роботі числення узагальнених тривекторів.

Розділ 3 - “Побудова числення узагальнених тривекторів” присвячений: побудові нових об'єктів (узагальнених тривекторів) і системи операцій над ними; введенню поняття аналітичних узагальненно-тривекторних функцій і дослідженню їх властивостей; дослідженню узагальнено-тривекторних ступеневих рядів, які виступають в ролі апроксимантів для скалярних і векторних полів.

Узагальненим тривектором (О-тривектором) назвемо об'єкт, який є результатом об'єднання деякого тривектора з простору і скаляра . Узагальнений тривектор будемо позначати де в дужки виділяють окремо тривекторну та скалярну частини.

Під “сумою” маємо на увазі об'єднання в один об'єкт елементів різної істотності подібно поєднанню в комплексних числах дійсної та уявної частин, або аналогічно поєднанню у кватерніоні векторної та скалярної частин. Таким чином, звичайний тривектор і звичайний скаляр є окремими випадками узагальнених тривекторів. У звичайному евклідовому просторі можна представляти тривекторам частину О-тривектора. Для скалярної частини, іноді, зручно використовувати тимчасовий вимір.

Запропонований апарат буде ефективним, якщо на його основі побудована відповідна алгебра. Введемо систему О-тривекторних операцій таким чином, щоб було можливим побудувати алгебру О-тривекторів.

Будемо вважати, що два О-тривектора рівні, якщо рівні їхні тривекторам і скалярні частини відповідно. Назвемо нульовим елементом узагальнений тривектор з нульовою тривекторами і скалярною частинами Одиничний О-тривектор визначаємо у вигляді .

Введемо наступні операції над узагальненими тривекторами.

Сума О-тривекторів

У роботі доведено, що операція додавання має властивості:

- комутативність;

- асоціативність.

Добуток О-тривекторів

, (3)

де - тривекторна частина добутку;

- тривектор, отриманий як результат тривекторного добутку тривекторних частин співмножників;

- тривектори, отримані як добутки скалярних частин на тривекторні частини співмножників;

- скалярна частина добутку О-тривекторів;

- скалярний добуток тривекторних частин О-тривекторів-співмножників;

- добуток скалярних частин О-тривекторів - співмножників.

У роботі доведено, що операція множення О-тривекторів має властивості:

- комутативність;

- асоціативність;

- дистрибутивність.

Множина О-тривекторів із введеними операціями додавання і множення являє собою асоціативну алгебру.

Доповнивши простір тривекторів множиною скалярів, одержимо чотиривимірний простір узагальнених тривекторів .

Побудуємо базис простору у вигляді узагальнених тривекторів таких, що де - тривектори, що утворять базис простору тривекторів . Доповнимо цей базис одиничним О-тривектором . В сукупності, одержимо базис простору , що складається з О-тривекторів

Попарні добутки базисних О-тривекторів задовольняють співвідношенням

Довільний О-тривектор простору можна представити у вигляді розкладання за базисом

Операцію ділення О-тривекторів введемо як операцію, зворотню множенню. Назвемо О-тривектор часткою від ділення двох О-тривекторів, тобто , якщо виконується умова .

У роботі доведено, що в просторі узагальнених тривекторів існують дільники нуля. Зокрема, дільниками нуля є О-тривектори ,

Назвемо скалярним добутком двох О-тривекторів і величину , де - скалярний добуток тривекторів і ; - добуток скалярів і .

У роботі доведено, що скалярний добуток має властивості:

- комутативність;

( - скаляр);

- дистрибутивність;

, тоді і тільки тоді, коли .

Назвемо нормою О-тривектора величину . Таке визначення норми коректне, що випливає з властивостей скалярного добутку О-тривекторів.

Назвемо границею О-тривекторної послідовності такий О-тривектор , що

Назвемо О-тривектор змінним, якщо , де - змінні.

Визначимо -ий ступінь О-тривектора як -кратне О-тривекторне множення на себе. Якщо О-тривектор має вигляд

то, як доведено в роботі, функції знаходять за співвідношеннями, де Доведення спирається на формулу Сильвестра і теорему Келлі-Гамільтона.

Розглянемо О-тривекторну функцію вигляду , де - змінний О-тривектор. Нехай значення змінних змінюються неперервно. Позначимо приріст О-тривектора де - прирісти відповідних змінних ( не є дільником нуля). Приріст О-тривекторної функції позначимо .

Введемо поняття похідної від функції по аргументу за аналогією з поняттям похідної від відомої скалярної функції комплексної змінної

Функцію назвемо аналітичною функцією О-тривекторного аргументу, якщо у деякій області існує її похідна (4), що не залежить від шляху диференціювання.

Введемо поняття часткових похідних від функції за аргументами у такий спосіб

У роботі доведене Твердження 4: (необхідна і достатня умова аналітичності О-тривекторної функції). Якщо - деяка функція вигляду

то необхідними і достатніми умовами аналітичності функції є умови

; ; ; .

У роботі доведені наступні властивості аналітичної функції .

Властивість 1. Сума аналітичних О-тривекторних функцій є функція аналітична.

Властивість 2. Добуток аналітичних О-тривекторних функцій є аналітичною функцією.

Розглянемо О-тривекторний ступеневий ряд, що являє собою суму добутків чотирьох скалярних рядів на відповідні елементи О-тривекторного базису

Якщо у (5) всі чотири скалярних ряди збігаються, тоді О-тривекторний ступеневий ряд будемо називати рядом, який збігається.

Розглянемо функцію , яка подана у вигляді ступеневого О-тривекторного ряду, який збігається

У роботі доведено, що аналітичну функцію подається у вигляді ступеневого О-тривекторного ряду, який збігається.

Введемо поняття інтеграла від аналітичної О-тривекторної функції. Нехай у визначена деяка О-тривекторна аналітична функція . Розглянемо О-тривекторну криву . Розіб'ємо її на нескінченно велике число малих частин З нескінченно малою похибкою замінимо дуги приростами Виберемо усередині кожного елемента розбивки точку - О-тривектор та обчислимо в точках значення функції. Елемент розбивки будемо називати диференціалом дуги і позначати . Такий диференціал виражається через диференціал О-тривектора . Диференціалові поставимо у відповідність результат дії деякої операції над О-тривекторами . Це може бути О-тривекторна, тривекторна або скалярна операція. Складемо суму добутків у вигляді . Нехай існує границя цієї суми при і вона скінченна, при розбивці області на нескінченну кількість елементарних частин, при якому максимальний розмір елемента розбивки прямує до нуля. Назвемо її інтегралом від функції . Інтеграл від функції по О-тривекторній кривій будемо записувати у вигляді .

Якщо О-тривекторна крива побудована на О-тривекторах з нульовою скалярною частиною, то, як доведено у роботі, інтеграл від функції по кривій прийме вигляд

Отже, інтеграл від аналітичної функції по тривекторній кривій є сума звичайних криволінійних інтегралів, помножених на відповідні базисні О-тривектори.

У роботі доведено, що умовою незалежності інтеграла (6) від шляху інтегрування є умови аналітичності підінтегральної функції

За аналогією з можливістю подавання деяких скалярних функцій у вигляді ступеневих рядів, у роботі вводяться поняття тригонометричних і експоненціальної О-тривекторних функцій.

Експонентою О-тривектора назвемо функцію , яка подана у вигляді О-тривекторного ряду , який збігається.

Синусом О-тривектора і косинусом О-тривектора назвемо функції, які подані у вигляді відповідних О-тривекторних рядів, які збігаються

.

У роботі доведено ряд співвідношень для функцій О-тривекторного аргументу:

Назвемо спеціальним О-тривектор, який має вигляд

У роботі доведено, що спеціальний О-тривектор можна представити у вигляді

.

Вираз (7) назвемо експоненціальною формою подання спеціального О-тривектора. За аналогією з теорією комплексних чисел, у роботі вводиться поняття модуля й аргументу спеціального О-тривектора.

Аналітичні О-тривекторні функції мають особливі властивості, що дозволяє використовувати їх при побудові моделей векторних, скалярних і векторно-скалярних полів, які задовольняють заданим диференціальним умовам. Розглянемо аналітичну функцію від тривекторного аргументу

де - тривекторна частина функції ;

- скалярна частина функції .

Представимо похідну функції по змінному аргументу у вигляді

У роботі доведені наступні властивості функцій і .

Властивість 1. .

Властивість 2. .

Властивість 3. .

Розглянемо векторні поля, породжені О-тривекторною функцією тривекторного аргументу Як доведено в роботі, тривекторну частину можна подати у вигляді

У роботі доведено, що кожне з чотирьох полів задає потенціальне векторне поле.

Кожне О-тривекторне поле являє собою добуток деякої аналітичної скалярної функції, постійної на сім'ї паралельних площин, на вектор нормалі до цих площин (рис. 4), таке поле постійне на кожній площині з сім'ї відповідних паралельних площин.

Зробимо узагальнення вищерозглянутого. Нехай, деяке поле представлено у вигляді добутку скалярної функції на деякий вектор , перпендикулярний до сім'ї площин Побудуємо поля і як результат множення на вектори, перпендикулярні до і перпендикулярні між собою. Як доведено в роботі, поле є потенціальним, поля і є соленоїдальними. Такі поля будемо називати елементарними потенціальними і соленоїдальними О-тривекторними полями.

У роботі доведене Твердження 5: Довільне неперервне векторне поле , обмежене в області , можна як завгодно точно наблизити поліномом за елементарними О-тривекторними полями у вигляді

де , ,

- коефіцієнти в розкладанні функцій за поліномами ,

Доведене твердження є аналогом в О-тривекторному численні відомої теореми Вейєрштраса про наближення скалярної функції алгебраїчними поліномами. Це твердження дозволяє для неперервного поля у деякій області будувати апроксимуюче векторне поле за допомогою поліномів за елементарними О-тривекторними полями, подібно тому, як апроксимують звичайні скалярні функції за допомогою алгебраїчних поліномів.

У дисертації розроблено низка способів побудови за допомогою аналітичних О-тривекторних функцій векторних і скалярних полів, що задовольняють наступним диференціальним рівнянням

Використовуючи ці способи і результати Твердження 5, можна для деякого неперервного поля побудувати апроксимуюче поле, що задовольняє заданому лінійному векторному диференціальному рівнянню. Для цього необхідно: 1) побудувати повний набір базисних О-тривекторних функцій, що задовольняють заданому диференціальному рівнянню; 2) спираючись на Твердження 5, побудувати апроксимуюче векторне поле, яке так само буде задовольняти заданому диференціальному рівнянню.

У роботі пропонується розвинути ідею Гамільтона про подання деяких інваріантних диференціальних операторів типу дивергенція, ротор, градієнт, оператор Лапласа у символічному вигляді. Якщо деякий тривектор представити як символічний запис диференціального оператора , то дію оператора на функцію можна задати у вигляді

Розвиваючи цю ідею і використовуючи властивості тривекторних операцій, побудуємо наступні диференціальні оператори

Такий підхід дозволяє звести задачу пошуку поля, яке задовольняє заданому векторному диференціальному рівнянню, до задачі розв'язання тривекторного рівняння.

Наприклад, як доведено в роботі, для рівняння, яке описує процес деформації пружного тіла ( - скаляр), поле можна побудувати як результат дії на скалярну бігармонічну функцію деякого диференціального оператора вигляду

Такий підхід дозволяє розробити алгоритми побудови необхідного набору векторних полів, які задовольняють заданому векторному диференціальному рівнянню і побудувати на їх основі апроксимуюче векторне поле у вигляді ряду за такими полями.

На базі апроксимуючих О-тривекторних поліномів, запропонованих у роботі, розроблений загальний метод моделювання скалярних і векторних полів за наперед заданими диференціально-геометричними умовами.

У четвертому розділі роботи “Розв'язок прикладних задач за допомогою аналітичних О-тривекторних функцій”, спираючись на апарат аналітичних функцій О-тривекторного аргументу, пропонується загальний метод побудови векторних і скалярних полів із заданими диференціальними і позиційними властивостями. На основі запропонованого загального методу розроблені методи розв'язання прикладних задач математичної фізики і теорії пружності. Наводяться тестові приклади розв'язків таких задач, дається порівняння результатів розв'язку методом, запропонованим у роботі, з відомими методами, що підтверджує достовірність отриманих результатів.

Сформулюємо загальну задачу побудови векторного або скалярного поля за наперед заданими диференціально-позиційними умовами (рис. 5, рис. 6). Необхідно побудувати скалярне або векторне поле , яке задовольняє наступним умовам:

скалярна функція (або векторна ) задовольняє диференціальному рівнянню усередині заданої області при

(9)

де - заданий лінійний диференціальний (векторний або скалярний) оператор;

функція (або ) задовольняє крайовим і початковим умовам

,

де - заданий лінійний диференціальний оператор;

,

де - заданий лінійний диференціальний оператор.

Розв'язок представленої задачі будуємо у вигляді апроксимуючої функції. Як відомо, побудова апроксиманта за заданим критерієм має на увазі визначення метрики, відповідної цьому критерієві. У будь-якому методі побудови апроксимуючої функції тими або іншими способами враховується метрика простору, яка обумовлена постановкою задачі.

Виходячи з цих ідей, розв'язок загальної задачі будемо шукати у вигляді такого апроксимуючого ряду

У роботі пропонується метод побудови апроксимуючого векторного або скалярного поля у вигляді спеціального ряду Фур'є (12) за деяким ортонормованим базисом . Для задоволення умовам (13) функції повинні бути ортогональні у сенсі такого скалярного добутку, що відповідає метриці (14). Тобто скалярний добуток будуємо за співвідношенням

Тоді, побудована апроксимуюча функція буде збігатися до розв'язку задачі у сенсі, визначеному метрикою, тобто, при досить великих , з як завгодно малою похибкою , функція буде задовольняти умовам (10), (11). Це випливає зі збіжності по мірі рядів типу Фур'є. Запропонований метод у загальному випадку не є стійким, тому що ряди Фур'є, в загальному випадку, не є рядами, що збігаються рівномірно.

Алгоритм загального методу моделювання полів за наперед заданими диференціально-позиційними умовами на базі О-тривекторних функцій:

1. Будуємо повний лінійно-незалежний набір функцій , , де або скалярні функції, або елементарні О-тривекторні функції.

2. Відповідно до позиційних вимог задачі (10)-(11) формуємо метрику простору розв'язків у вигляді (14). Визначаємо операцію скалярного добутку елементів простору у вигляді (15), який відповідає метриці (14).

3. Будуємо базисний набір ортонормованих функцій , , (векторних або скалярних), використовуючи алгоритм ортогоналізації Грама-Шмідта, на основі скалярного добутку, визначеного в пункті 3 алгоритму.

4. Будуємо ряд Фур'є за ортонормованим базисом, побудованим у п. 3 алгоритму

Розв'язок задачі має вигляд часткової суми ряду (16).

Зауваження. Повний набір базисних лінійно-незалежних функцій (векторних або скалярних полів) рекомендується брати в найбільш простому для інтегрування і диференціювання вигляді, наприклад у вигляді , (для скалярних полів). Елементарні векторні поля пропонується будувати у вигляді відповідно до Твердження 5.

Якщо диференціальне рівняння задачі (8) є однорідним, тобто , то накладемо вимогу, щоб апроксимуючий поліном (12) задовольняв рівнянню (9) точно. Для цього базисні функції будуємо таким чином, щоб вони задовольняли рівнянню (9). Для визначення таких базисних функцій використовуємо способи побудови векторних і скалярних полів із заданими диференціальними властивостями на основі аналітичних О-тривекторних функцій, що запропоновані у 3-му розділі роботи.

На основі загального методу моделювання векторних і скалярних полів, запропонованого в роботі, розроблені методи розв'язання конкретних прикладних і практичних задач, а саме метод розв'язання задачі теорії пружності в постановці Ламе, методи розв'язання крайових задач еліптичного, гіперболічного, параболічного типів.

Задача про деформації пружного тіла. Необхідно побудувати модель векторного поля переміщень , що повинне задовольняти векторному рівнянню

, (17)

де - постійні Ламе,

і одному з типів крайових умов:

а) у переміщеннях ;

б) у напруженнях ;

в) змішані крайові умови

Метод розв'язання задачі теорії пружності, розроблений на основі алгоритму загального методу з урахуванням особливостей задачі.

1. Повний набір елементарних векторних полів, які задовольняють рівнянню (17) будуємо за наступною схемою:

а) будуємо набір О-тривекторних гармонічних функцій у вигляді

,

б) будуємо набір бігармонічних функцій .

в) на базі функцій будуємо елементарні поля , що одержані як результат дії на функції диференціального оператора вигляду (7).

2. Для проведення процесу ортогоналізації задаємо операцію скалярного добутку двох полів у залежності від типу крайових умов:

3. Будуємо набір ортонормованих векторних полів , у сенсі визначеного скалярного добутку.

4. Будуємо розв'язок задачі у вигляді поля

де коефіцієнти в (18) знаходять за співвідношеннями:

а) ;

б) , де , - поля напружень, що відповідають ортогоналізованим полям

У роботі наведені розв'язки плоскої задачі теорії пружності у постановці Ламе при різних типах крайових умов. Наведено порівняння розв'язку тестових задач з відомими методами, а саме з методом -функцій, з методом функцій напружень Ері. Тестові приклади підтвердили достовірність отриманих результатів.

Задача про прогин тонкої пластини. Необхідно побудувати модель поверхні , що характеризує положення точок тонкої пластини, із закріпленими краями при дії на пластину деякого навантаження . Тобто, необхідно побудувати функцію , що усередині деякої області задовольняє диференціальному рівнянню , де - функція, що характеризує розподіл навантаження, і крайовим умовам , , де - диференціальний оператор, що характеризує спосіб закріплення країв пластини .

1. Базисні функції будуємо у виді , .

2. Скалярний добуток має вигляд

.

3. Розв'язок задачі будуємо у вигляді ,

.

У роботі приводяться тестові приклади розв'язання задачі про прогин пластини і порівняння з розв'язками відомими методами, а саме з методом Бубнова-Гальоркіна, з методом -функцій. Тестові приклади підтвердили достовірність отриманих результатів.

Задача теплопровідності. Необхідно побудувати модель скалярного поля розподілу температури усередині області , якщо відомі тепловий режим на границі області і розподіл температури в області в початковий момент часу. Тобто, функція повинна задовольняти усередині області при диференціальному рівнянню ( - коефіцієнт, що характеризує теплофізичні властивості речовини), початковим умовам і крайовим умовам

Метод розв'язання задачі теплопровідності побудований на основі алгоритму загального методу з урахуванням особливостей поставленої задачі.

1. Базисні функції , будуємо як скалярні складові О-тривекторної функції , , за умови, що О-тривекторні аргументи функції і задовольняють співвідношенням

2. Скалярний добуток базисних функцій визначаємо у вигляді

3. Розв'язок будуємо у вигляді часткової суми ряду (16),

Запропонованим методом розв'язані наступні задачі - нестаціонарна однорідна задача теплопровідності, стаціонарна неоднорідна задача теплопровідності, неоднорідна нестаціонарна задача теплопровідності.

Наведено тестові приклади розв'язку задачі теплопровідності і наведене порівняння з відомими методами, а саме з методом поділення змінних, з методом -функцій. Тестові приклади підтвердили достовірність отриманих результатів.

Задача про коливання твердого тіла. Необхідно побудувати модель нестаціонарного скалярного поля, яке характеризується положенням точок тіла, що коливається. Тобто, необхідно побудувати функцію , що усередині області , при задовольняє рівнянню , початковим умовам і крайовим умовам .

Метод розв'язання задачі про коливання твердого тіла будуємо на основі алгоритму загального методу з урахуванням особливостей задачі.

...