Діагональна редукція матриць над кільцями

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 512.552.12

ДІАГОНАЛЬНА РЕДУКЦІЯ МАТРИЦЬ НАД КІЛЬЦЯМИ

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

ЗАБАВСЬКИЙ БОГДАН ВОЛОДИМИРОВИЧ

Київ 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка на кафедрі алгебри і логіки

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор Комарницький Микола Ярославович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри алгебри і логіки

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Дубровін Микола Іванович, Володимирський державний університет (Росія), завідувач кафедри вищої математики

доктор фізико-математичних наук, професор Кашу Олексій Іванович, Інститут математики і інформатики АН Молдови, головний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук Сергейчук Володимир Васильович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник

Провідна установа: Ужгородський національний університет, кафедра алгебри Міністерство освіти і науки України, (м.Ужгород)

Захист відбудеться 26 грудня 2005 року о 14.00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 01127, м.Київ, проспект академіка Глушкова, 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 62).

Автореферат розіслано 23 листопада 2005 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Плахотник В.В.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми

Задача про діагоналізацію матриць є класичною. Своїм прототипом вона має теорему Гауса про еквівалентність довільної матриці над полем до діагональної матриці з одиницями та нулями на головній діагоналі. Перші результати такого типу щодо цілих чисел були отримані в 1861 році Смітом (Smith H.J.S. On systems of linear indeterminate equations and congruences // Ph. Trans. Roy. Soc. (1861). -151, №2. - P.293-326). Він довів, що кожна матриця з цілочисельними елементами шляхом елементарних перетворень рядків і стовпців зводиться до діагонального вигляду, причому кожен діагональний елемент є дільником наступного (у зв'язку з цим діагональну форму матриці з умовою подільності діагональних елементів часто називають формою Сміта). Пізніше теорема Сміта була поширена на різні класи кілець, які, взагалі кажучи, не співпадають. Так Діксон (Dickson L.E. Algebras and Their Arithmetics // University of Chicago Press, Chicago, 1923), Веддербарн (Wedderburn J.H.M. Non-commutative domains of integrity // J. Reine Andrew Math. (1932), -167, №1, --P.129-141), ван дер Варден (Van der Warder B.L. Moderne Algebra, -Berlin, New-York, Springer, (1930)) і Джекобсон (Jacobson N. Pseudo-linear transformations // Ann. of Math.,-1937,-38, -P.484-507) поширили теорему на різні класи комутативних і некомутативних кілець головних ідеалів без дільників нуля, а Тейхмюллер (Teichmuller O. Der Elementarteilsatz fьr nichtkommutative Ringe // Abh. Preuss. Acad. Wiss. Phys.-Math., -1937, -169-177) одержав повний розв'язок для некомутативних кілець головних ідеалів без дільників нуля (а в іншому формулюванні Aсано (Asano K. Neichtkommutative Hauptidealringe // Act. Sci. Ind. 696, Hermann, Paris,-1938). Ці результати в найбільш повному вигляді викладені в монографії Джекобсона (Джекобсон Н. Теория колец.- М.: Издательство иностранной литературы, 1947).

Всі ці результати спричинили до введення Капланським поняття кільця елементарних дільників (Kaplansky I. Elementary divisors and modules // Trans. Amer. Maht. Soc. -1949. - 66. -P.464-491). Він також показав, що над кільцем елементарних дільників довільний скінченно зображуваний модуль розкладається в пряму суму циклічних модулів. У випадку комутативних кілець доведено і зворотнє твердження: якщо скінченно зображуваний модуль над кільцем розкладається в пряму суму циклічних модулів, то це кільце є кільцем елементарних дільників (Larsen M., Lewis W., Shores T. Elementary divisor rings and finitely presented modules // Trans. Amer. Math. Soc. -1974. - 187. -P.231-248). Цей результат є частковим розв'язком загальної проблеми Уорфілда: над якими кільцями кожний скінченно зображуваний модуль розкладається в пряму суму циклічних підмодулів (Warfield R.B. Decomposibility of finitely presented modules // Proc. Amer. Math. Soc., -1970, -25, -№2, 167-172). Отже, у випадку комутативних кілець проблема Уорфілда еквівалентна проблемі описання кілець елементарних дільників. В некомутативному випадку вона до кінця ще не розв'язанa. Повне розв'язання цієї проблеми для класу узагальнено однорядних кілець отримано Дроздом (Дрозд Ю.А. Об обобщенно однорядных кольцах // Мат. заметки.-1975.-18.-№5.-705-710). Зауважимо, що близькими задачами займався Кириченко (Кириченко В.В. Обобщенно однорядные кольца // Мат. сборник.-1976.-99.-№4.-559-581). Інші характеристики кілець, які мають вищезгадувані властивості, надані Капланським (Kaplansky I. Elementary divisors and modules // Trans. Amer. Maht. Soc. -1949. - 66. -P.464-491) і Ляфоном (Lafon J.P. Modules de presentation finite et de type fini sur un anneau-arithmetique // Sump. mubh. Ist. naz. alta.-mat. Conv. nov. 1971-maggio,-1972,-11, 121-141) та іншими, як пише Фейс (Фейс С.Л. Алгебра: кольца, модули и категории. Т.1.-М.: Мир.-1978.-688): "Наскільки їх можна вважати "відповідями" на дане питання, залежить від смаків тих чи інших спеціалістів".

Важливу роль у вивчені кілець елементарних дільників відіграють кільця Ерміта (зокрема при розв'язанні питання про можливість діагональної редукції матриць), оскільки умова Ермітовості присутня в усіх теоремах про кільця елементарних дільників.

Зауважимо, що кільце Ерміта є кільцем скінченно породжених головних ідеалів, тобто кільцем, в якому довільний скінченно породжений правий або лівий ідеал є головним (такі кільця узагальнюють кільця головних ідеалів). Тому актуальною є задача вивчення кілець скінченно породжених головних ідеалів. Основними прикладами кілець скінченно породжених головних ідеалів є кільце неперервних дійсних функцій над цілком регулярним Хаусдорфовим простором (Gillman L., Henriksen M. Rings of continuous functions in which every finitely generated ideal is principal // Trans. Amer. Math. Soc.,-1956,-82, 366-394), кільце многочленів (степеневих рядів) над полем раціональних чисел з вільним цілим членом (Henriksen M. Some remarks about elementary divisor rings // Michigan Math. J. -1955/56. - 3. -P.159-163), кільце всіх цілих алгебраїчних чисел (Lafon J.P. Modules de presentation finite et de type fini sur un anneau-arithmetique // Sump. mubh. Ist. naz. alta.-mat. Conv. nov. 1971-maggio,-1972,-11, -121-141), кільце цілих функцій в комплексній площині (Helmer O. The elementary divisor for certain rings without chain conditions // Bull. Amer. Math. Soc.,-1943,-49, №2, -225-236). Оскільки клас комутативних кілець скінченно породжених головних ідеалів без дільників нуля аксіоматизований, то він ультразамкнутий (Cohn P.M. Bezout rings and their subrings // Proc. Cambridge Phil. Soc.,-1968,-64, 251-264). Цей факт дозволяє за допомогою ультрадобутку будувати нові приклади комутативних кілець скінченно породжених головних ідеалів.

Казімірський (Казимирский П.С. Некоторые вопросы линейной алгебры // Автореферат кандидатской дисертации, Львов, 1957), Кон (Cohn P.M. Unique factorization domains // Amer. Math. Monthly,-1973,-80, 1-17) і Амітцур (Amitsur S.A. Remarks of principal ideal rings // Osaka Math.Journ. -1963, -15, -59-69) незалежно один від одного показали, що якщо в кільці скінченно породжених правих головних ідеалів відсутні дільники нуля, то перетин довільних двох головних правих ідеалів є головним правим ідеалом. Тому кільце скінченно породжених правих головних ідеалів без дільників нуля є правим кільцем Безу. Назва цих кілець виражає той факт, що довільні два взаємно прості елементи задовільняють "тотожність" Безу au-bv=1. В останні роки під кільцями Безу, як правило, розуміють кільця скінченно породжених головних як правих, так і лівих ідеалів.

Оскільки кільце елементарних дільників є кільцем Ерміта, то воно є кільцем Безу. Виникає запитання: чи довільне кільце Безу є кільцем елементарних дільників? Гілман і Хенріксен (Gillman L., Henriksen M. Rings of continuous functions in which every finitely generated ideal is principal // Trans. Amer. Math. Soc.,-1956,-82, 366-394) побудували приклад комутативного кільця Безу, яке не є кільцем елементарних дільників. Більше того, було побудовано приклад комутативного кільця Ерміта, яке не є кільцем елементарних дільників. Тобто класи кілець Безу, Ерміта і елементарних дільників не співпадають. Тому природньо виникає задача: при яких умовах кільце Безу є кільцем Ерміта? Зауважимо, що, як показали Менал, Монказі (Menal P., Moncasi J. On regular rings with stable range 2 // J. Pure Appl. Algebra. -1982, - 24. - P.25-40), регулярне кільце є кільцем елементарних дільників тоді і тільки тоді, коли воно є кільцем Ерміта. Аналогічний результат для напівгрупових кілець отримав Чоунард (Chouinard L.C. Hermite semigroup rings // Pacific. J. Math.,-1982,-101, 125-139), а для комутативних адекватних кілець - Леві, Шорес, Ларсен (Larsen M., Lewis W., Shores T. Elementary divisor rings and finitely presented modules // Trans. Amer. Math. Soc. -1974. - 187. -P.231-248). Тобто для таких класів кілець відповідь на запитання, чи дане кільце Безу є Ермітовим, одночасно є відповіддю на питання, чи є дане кільце кільцем елементарних дільників? Зауважимо, що, як показав Амітцур (Amitsur S.A. Remarks of principal ideal rings // Osaka Math.Journ. -1963, -15, -59-69), якщо в кільці Безу відсутні дільники нуля, то таке кільце є кільцем Ерміта. Більше того, якщо всі дільники нуля кільця Безу лежать в радикалі Джекобсона, то і тоді дане кільце є кільцем Ерміта (Kaplansky I. Elementary divisors and modules // Trans. Amer. Maht. Soc. -1949. - 66. -P.464-491).

Хенріксен поставив питання: чи буде напівлокальне комутативне кільце Безу кільцем Ерміта (Henriksen M. Some remarks about elementary divisor rings // Michigan Math. J. -1955/56. - 3. -P.159-163)? В 1974 році було доведено, що комутативне кільце Безу зі скінченним числом мінімальних простих ідеалів є кільцем Ерміта (Larsen M., Lewis W., Shores T. Elementary divisor rings and finitely presented modules // Trans. Amer. Math. Soc. -1974. -187. -P.231-248). А звідси, як наслідок, отримується позитивна відповідь на питання Хенріксена. В той же час в іншому напрямку активно вивчалися кільця з компактним простором мінімальних простих ідеалів. У зв'язку з цим Хенріксен поставив питання, чи буде кільце Безу з компактним простором мінімальних простих ідеалів кільцем Ермiта (Shores T. Wiegand R. Decomposition of modules and matrices // Bull. Amer. Math. Soc. -1973. - 79, № 6. -P.1277-1280). В цiй самій роботі Хенріксен, вивчаючи питання замкнутості кілець елементарних дільників відносно гомоморфних образів, ставить питання: якщо R - комутативне кільце Безу таке, що R/J(R) є кільцем Ерміта, то чи буде R кільцем Ерміта?

Досліджуючи одинично регулярні кільця, Хенріксен (Henriksen M. On a class of regular rings that are elementary divisor rings // Arch. Math.,-1973,-24, №2, 133-141) показав, що довільна матриця над таким кільцем еквівалентна діагональній. В цій самій роботі він поставив питання про описання регулярних кілець елементарних дільників (в сенсі Хенріксена), тобто кілець, над якими довільна матриця еквівалентна діагональній матриці. Менал, Монказі (Menal P., Moncasi J. On regular rings with stable range 2 // J. Pure Appl. Algebra. -1982, - 24. - P.25-40) довели, що над регулярним кільцем довільна матриця еквівалентна діагональній матриці тоді і тільки тоді, коли це кільце є кільцем Ерміта. В той же час з'ясувалося, що існують цілі класи регулярних кілець, наприклад, клас сепаративних регулярних кілець, над якими лише квадратні матриці еквівалентні діагональним матрицям (Ara P., Goodearl K., O'Meara K.C., Pardo E. Diagonalization of matrices over regular rings // Linear Algebra and Appl., -1987, -265, -147-163). Зауважимо, що даний факт властивий також напівланцюговим кільцям ( Levy L.S. Sometimes only square matrices can be diagonalized // Proc. Amer. Math. Soc.,-1975,-52, 18-22). Пізніше виявилося, що існують регулярні кільця, над якими матриці лише певних розмірів еквівалентні діагональним (Chen H. Generalized stable exchange rings // South Asian Bull. Math.,-2000,-24, 19-24). Тому природньо виникає питання про зведення до діагонального вигляду вже не всіх матриць, а лише матриць певного вигляду або матриць певних розмірів.

Більшість відомих класів кілець елементарних дільників суттєво залежить від умов обриву зростаючих ланцюгів ідеалів. Перший приклад класичного кільця елементарних дільників, в якому не виконується умова обриву зростаючих ланцюгів ідеалів, був знайдений Вандерберном ще в 1915 році. Таким виявилось кільце аналітичних функцій (Wedderburn J.H.M. On matrices whose coefficients are functions of single variable // Trans. Amer. Math. Soc.,-1915,-16,№2,328-332). В більш абстрактній формі цей приклад дозволив Хелмеру (Helmer O. The elementary divisor for certain rings without chain conditions // Bull.Amer.Math.Soc.,-1943,-49, 225-236) ввести новий клас кілець елементарних дільників, який отримав назву класу адекватних кілець. Адекватні кільця з дільниками нуля в радикалі Джекобсона розглядав Капланський. Гілман і Хенріксен показали, що комутативне регулярне кільце є адекватним (Gillman L., Henriksen M. Some remarks about elementary divisor rings // Trans. Amer. Math. Soc.,-1956,-82, 362-365). В той самий час структурна будова таких кілець ще мало досліджена. Серед відомих результатів відмітимо такі: кожний ненульовий простий ідеал адекватного кільця міститься в єдиному максимальному ідеалі; напівлокальне кільце адекватне тоді і тільки тоді, коли воно є або перетином скінченного числа попарно незалежних кілець нормування без дільників нуля з спільним полем дробів, або скінченна пряма сума кілець нормування (Larsen M., Lewis W., Shores T. Elementary divisor rings and finitely presented modules // Trans. Amer. Math. Soc. -1974. -187. -P.231-248). В 1974 році побудовано приклад неадекватного комутативного кільця без дільників нуля, в якому довільний ненульовий простий ідеал міститься в єдиному максимальному ідеалі (Brewer J.W., Conrad P.F., Montgomery Lattice-ordered groups and conjecture for adequate domains // Proc. Amer. Math. Soc.,-1974,-43, №1, 31-35). Перший приклад неадекватного кільця Безу без дільників нуля, яке є кільцем елементарних дільників, знайшов Хенріксен (Henriksen M. Some remarks about elementary divisor rings // Michigan Math. J. -1955/56. - 3. -P.159-163).

Питання замкненості класів кілець елементарних дільників і адекватних кілець відносно розповсюдження алгебраїчних конструкцій також розглядалося. Наприклад, Дубровін довів замкненість класу комутативних кілець елементарних дільників відносно переходу до проективних границь відносно проективних систем певного типу (Дубровин Н.И. Проэктивный предел колец элементарных делителей // Мат. Сборник.-1982.-119.-№1.-88-95).

Деякі автори накладали обмеження на потужність кільця або на потужність його максимального спектру. Так в монографії Капланського (Kaplansky I. Infinite Abelian Groups // Michigan Univer. of Michigan Press, 1969) сформульовано, а пізніше (Brewer J.W., Naude C., Naude G. On Bezout domains, elementary divisor rings, and pole assignability // Commun. algebra,-1984,-12, №24, 2987-3003) доведено, що комутативне кільце Безу без дільників нуля, множина максимальних ідеалів якого не більш, ніж злічена, зобов'язана бути кільцем елементарних дільників. В цій самій роботі показано, що комутативне кільце Безу вимірності Круля 1 є адекватним. Тут ще встановлено еквівалентність проблеми елементарних дільників для кілець Безу без дільників нуля з проблемою досяжності полюсів для лінійних систем над такими кільцями. В 1974 році встановлено, що комутативне кільце Безу, в якому кожний елемент належить лише скінченній множині максимальних ідеалів, є кільцем елементарних дільників (Larsen M., Lewis W., Shores T. Elementary divisor rings and finitely presented modules // Trans. Amer. Math. Soc. -1974. -187. -P.231-248).

Зауважимо, що в 1978 році (Fischer T. The prime spectrum of a Bezout ring // Commen. Alg.,-1978,-6, 1715-1739) було побудовано приклад комутативного кільця Безу без дільників нуля R, в якому існує головний ідеал I, такий що простір мінімальних простих ідеалів кільця R/I не є компактним, що є негативною відповіддю на таку проблему: нехай R редуковане когерентне кільце і нехай I скінченно породжений ідеал R; чи є простір мінімальних простих ідеалів кільця R/I компактним? Шорес і Віганд довели, що кожне комутативне кільце Безу з нетеровим спектром є кільцем елементарних дільників (Shores T. Wiegand R. Decomposition of modules and matrices // Bull. Amer. Math. Soc. -1973. - 79, № 6. -P.1277-1280).

Зворотні матриці є найбільш зручними у прикладних задачах, а саме тоді, коли вони можуть бути зображені у вигляді скінченого добутку елементарних матриць. Такий розклад можливий для всіх зворотніх матриць над полем, над кільцем цілих чисел або, ще загальніше, над будь-яким Евклідовим кільцем. Але у загальному випадку не всі зворотні матриці породжуються елементарними матрицями (Cooke G.A. A weakening of the euclidean property for integral domains and applications to algebraic number theory. I) // J. fur die Reine and Angw. Math., -1976, -282, -133-156). Тому актуальною є задача дослідження таких кілець. Дослідження у цьому напрямку започатковані Коном (Cohn P.M. On a generalization of the Euclidean algorithm // Proc. Cambridge Phill. Soc.,-1961,-57, 18-30) і продовжені Бергманом. Куке (Cooke G.A. A weakening of the euclidean property for integral domains and applications to algebraic number theory. I) // J. fur die Reine and Angw. Math., -1976, -282, -133-156) і Богі ( Bougaut B. Anneaux Quasi-Euclidiens // These de docteur troisieme cycle, -1976, -67) досліджували, які з класів кілець цілих алгебраїчних чисел містяться у описаному класі кілець. Романів (Романів О.М. Кільця елементарних дільників і зв'язані з ними алгебраїчні структури. Автореферат канд. дисертації, 1999) довів, що ліве головне -Евклідове кільце без дільників нуля є кільцем, над яким довільна матриця за допомогою елементарних перетворень рядків і стовпчиків зводиться до канонічного діагонального вигляду (при певних обмеженнях на елементарні дільники).

У зв'язку з цими дослідженнями відзначимо такий факт. В алгебраїчній K-теорії поширене поняття K₁-функтора, який співставляє кожному кільцю його групу Уайтхеда. В комутативному випадку група Уайтхеда розкладається в пряму суму групи одиниць кільця і фактор-групи спеціальної лінійної групи за підгрупою, породженою елементарними матрицями. Зрозуміло, що над розглянутими вище кільцями група Уайтхеда ізоморфна групі одиниць кільця.

Некомутативні кільця елементарних дільників досліджувались фрагментарно. Крім наведених результатів, що стосуються регулярних кілець (Henriksen M. On a class of regular rings that are elementary divisor rings // Arch. Math.,-1973,-24, №2, 133-141) і кілець головних ідеалів (Джекобсон Н. Теория колец.- М.: Издательство иностранной литературы, 1947), потрібно відмітити результати Кона (Cohn P.M. Right principal Bezout domains // J. London Math. Soc., 35, №2, (1987), 251-162), який показав що праве головне кільце Безу без дільників нуля є кільцем елементарних дільників з деякою умовою подільності на діагональні елементи. Дубровін (Дубровин Н.И. О кольцах с элементарными делителями // Известия вузов. Математика,-1986.-№11,-14-20) показав, що напівлокальне і напівпервинне кільце Безу R є кільцем елементарних дільників тоді і тільки тоді, коли для довільного елемента aR існує елемент b R, такий що RaR=bR=Rb. Комарницький і автор довели, що в правому квазі-дуо-кільці елементарних дільників також виконується відзначена умова (Забавский Б.В., Комарницкий Н.Я. Дистрибутивные области с элементарными делителями // Укр. мат. журн.-1990.-42.-№7.-1000-1004). Це дозволило Туганбаєву показати, що довільне дистрибутивне кільце елементарних дільників є дуо-кільцем (Туганбаев А.А. Кольца элементарных делителей и дистрибутивные кольца // Успехи математических наук.-1991.-46.-6.-219-220}.

Обмеженість нових результатів про кільця елементарних дільників наштовхнуло автора пов'язати методи діагональної редукції різноманітних класів матриць з сучасними досягненнями алгебраїчної K-теорії. Першим і основним поняттям, використаним не тільки автором, було поняття стабільного рангу кільця, яке є одним із найважливіших інваріантів K-теорії. Воно вперше було введене Басом (Bass H. K-theory and stable algebra // Inst. Hautes Etudes. Sci. Publ. Math.,-1964,-22, 485-544). Перелічимо результати, які надали поштовху дослідженням автора в галузі теорії елементарних дільників на базі алгебраїчної K-теорії.

Капланський вказав, що регулярне кільце є одинично регулярним тоді і тільки тоді, коли його стабільний ранг рівний 1. Менал, Монказі ( Menal P., Moncasi J. On regular rings with stable range 2 // J. Pure Appl. Algebra. -1982, -24. - P.25-40) довели, що стабільний ранг Ермітового кільця не перевищує2. Пізніше було показано (Ara P., Goodearl K., O'Meara K.C., Pardo E. Separative cancellation for projective modules over exchange rings // Israel J. Math., -1998, -105, -105-137. }, що стабільний ранг сепаративного регулярного кільця рівний 1,2,. Зауважимо, що задача про існування регулярного кільця скінченного стабільного рангу 3 є відкритою. У відзначених роботах також доведено, що якщо сепаративне регулярне кільце має скінченний стабільний ранг, то кільце є Ермітовим, а отже, діагоналізовним кільцем. Естесом та Омом (Estes D., Ohm J. Stable range in commutative rings // J. Algebra, -1967, -7, -343-362) було показано, що комутативне кільце головних ідеалів без дільників нуля стабільного рангу 1 є Евклідовим. Васерштейном (Vaserstein L.N. Bass's first stable range condition // J. of Pure and Appl. Alg.,1984,-34,319-330) наведено приклади кілець стабільного рангу 1, а також їх найпростіші властивості. Відзначимо, що комутативне кільце Безу стабільного рангу 1 є кільцем елементарних дільників (Brewer J.W., Naude C., Naude G. On Bezout domains, elementary divisor rings, and pole assignability // Commun. algebra,-1984,-12,№24, 2987-3003). Гаталевич (Гаталевич А.І. Діагоналізація матриць над кільцями // Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидаиа фізико-математичних наук, Київ, 1998) поширив цей результат на випадок дуо-кілець.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Робота виконана на кафедрі алгебри і логіки механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка. Дослідження, які складають основу даної дисертаційної роботи, проводились у відповідності з держбюджетною науково-дослідною темою кафедри алгебри і логіки Львівського національного університету імені Івана Франка "Арифметичні, геометричні та логічні проблеми теорії алгебраїчних структур" (номер державної реєстрації 0104U002129).

Мета і задачі дослідження.

Метою дисертаційної роботи є:

Створення методу редукції матриць над кільцями на основі поняття стабільного рангу з метою розв'язання відомих задач Хенріксена як для некомутативних, так і для комутативних кілець. Зокрема, отримати відповіді на такі запитання:

Чи буде напівлокальне праве (ліве) кільце Безу правим (лівим) кільцем Ерміта? (Зауважимо, що питання Хенріксена стосується лише комутативних кілець).

Якщо R - праве кільце Безу і R/J(R) - праве кільце Ерміта, то чи буде R - правим кільцем Ерміта?

(Зауважимо, що питання Хенріксена тут також стосується лише комутативних кілець.)

Чи буде комутативне кільце Безу з компактним простором мінімальних простих ідеалів кільцем Ерміта?

Описати регулярні кільця, над якими довільна матриця еквівалентна діагональній матриці. кільце матриця хенріксен безу

Дослідження та встановлення нових властивостей кілець Безу.

Пошук нових класів як комутативних, так і некомутативних кілець елементарних дільників.

Oписання класу кілець, над якими довільна матриця зводиться до канонічного діагонального вигляду лише елементарними перетвореннями рядків та стовпчиків.

Знаходження критерію того, щоб просте кільце Безу без дільників нуля було кільцем елементарних дільників.

Наукова новизна одержаних результатів.

Введено поняття n-Ермітового кільця і з'ясовано його зв'язок з поняттям стабільного рангу. Отримана відповідь на запитання: коли комутативне кільце Безу є кільцем Ерміта? Як наслідок, одержана ствердна відповідь на проблеми Хенріксена. У випадку регулярних кілець скінченного стабільного рангу описано широкий клас матриць, які діагоналізуються. У випадку довільних регулярних кілець показана можливість "слабкої" діагональної редукції матриць. Це дає часткову відповідь на питання Хенріксена у випадку неодиничного регулярного кільця.

На основі введеного поняття максимально неголовного ідеалу побудована теорія кілець, які є дистрибутивними в локалізації стосовно мультиплікативної множини, породженої всіма атомами кільця. На основі цих результатів описано нові класи кілець елементарних дільників. Зокрема, остаточно описані прості кільця елементарних дільників без дільників нуля (2-прості кільця Безу).

Введено поняття кільця з елементарною редукцією матриць. У випадку комутативних кілець встановлено, що 2-Евклідове кільце є кільцем з елементарною редукцією матриць. Більше того, показано, що у випадку кілець елементарних дільників редукцію матриць можна здійснювати елементарними перетвореннями аж до матриць другого порядку.

Всі отримані в дисертаційній роботі результати є новими.

Теоретична та практична цінність отриманих результатів.

Результати і методи дисертації можуть бути застосовані в К-теорії для виявлення зв'язків між теорією кілець і алгебраїчною топологією. Вони також можуть бути використані в теорії кілець і модулів для вивчення питань розкладності певних класів модулів (зокрема скінченно зображуваних модулів). Дані результати можуть застосовуватись і в теорії систем, зокрема в питаннях досяжності і спостережності полюсів.

Вони також можуть бути використані в навчальному процесі при читанні курсів "Загальна алгебра" та різноманітних спеціальних курсів на механіко-математичних і фізико-математичних факультетах вищих навчальних закладів України.

Апробація результатів роботи.

Основні результати дисертаційної роботи доповідались на таких конференціях, симпозіумах і семінарах:

VІ симпозіумі з теорії кілець, алгебр і модулів (Львів, 1990);

Міжнародній конференції з алгебри, присвяченій пам'яті А.І. Ширшова (Барнаул, 1991);

Всеукраїнській науковій конференції, присвяченій 70-річчю від дня народження проф. П.С. Казімірського (Львів, 1995);

Всеукраїнській науковій конференції, присвяченій пам'яті проф. Л.Калужніна (Київ, 1995);

Міжнародній конференції "Ring Theory" (Угорщина, 1996);

Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам'яті проф. Д.Фадеєва (Санкт-Петербург, 1997);

Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам'яті проф. Л.Глускіна (Слов'янськ, 1997);

Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій 70-річчю з дня народження акад. Я. Підстригача (Львів, 1998);

II Міжнародній науковій конференції, присвяченій пам'яті проф. Л.А.Калужніна (Вінниця, 1999);

III Міжнародній алгебраїчній конференції (Суми, 2001);

IV Міжнародній алгебраїчній конференції (Львів, 2004);

ІІ конференції математичного товариства (Молдова, 2004);

ХІ Міжнародній алгебраїчній конфренції "Групи і групові кільця" (Польща, 2005);

V Міжнародній алгебраїчній конференції (Одеса, 2005).

Крім того, результати дисертаційної роботи неодноразово доповідались на алгебраїчних семінарах Львівського національного університету імені Івана Франка та Київського національного університету імені Тараса Шевченка, на семінарі відділу топології інституту математики НАН України, на алгебраїчних семінарах відділу алгебри Інституту прикладних проблем механіки і математики НАН України, на алгебраїчному семінарі Кишинівського університету (Молдова).

Публікації.

Основні результати дисертації опубліковано в 31 науковій роботі - [1]-[31]. З них 22 наукові роботи надруковані у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, у тому числі 7 статей у співавторстві.

Особистий внесок здобувача.

Усі результати, які виносяться на захист, отримані автором самостійно. В тих роботах, які написані у співавторстві, на захист виносяться лише результати, отримані автором самостійно. У роботі [1] автору належать доведення всіх тверджень і теорем. Співавтор ввів у цій роботі поняття адекватного елемента, а також побудував приклад кільця, яке задовольняє умови твердження 7. У роботі [4] автору належать усі доведення результатів, а співатору належать приклади, які ілюструють ці твердження. У роботі [12] автору належать теореми 6, 8 (інші твердження, які належать співавтору, у дисертаційну роботу не включені). У праці [13] автору належать доведення теорем 4, 7, твердження 6 (всі інші твердження цієї роботи не включені в текст дисертації). У роботі [14}] автору належить доведення твердження 1. У праці [15] автору належать твердження 4, 5. У статті [23] автору належить зауваження 1, яке й включене в дисертацію.

Структура і об'єм роботи.

Робота розпочинається зі вступу, в якому викладено історичні зауваження до досліджень та наводяться пояснення взаємозв'язків результатів дисертації з дослідженнями інших математиків. Тут також включено інформацію про публікації, особистий внесок здобувача та апробацію результатів дисертаційної роботи.

Змістовна частина дисертації складається з трьох розділів: кільця скінченного стабільного рангу; кільця Безу; кільця елементарних дільників. Розділ "Кільця скінченного стабільного рангу" складається з 6 підрозділів, розділ "Кільця Безу" - з 3 підрозділів, розділ "Кільця елементарних дільників" - з 9 підрозділів.

Загальний обсяг дисертаційної роботи складає 282 сторінки. Обсяг роботи без висновків та списку літератури 253 сторінки. Список літератури складається з 253 найменувань.

Основний зміст дисертації

В даній дисертації досліджуються проблеми діагональної редукції матриць над різними класами кілець скінченного стабільного рангу. В розділі 3 вводиться нове поняття правого (лівого) n-Ермітового кільця. Такі кільця є правими (лівими) кільцями Безу. У випадку кільця Безу поняття n-Ермітового кільця є ліво-право симетричним. Одним з основних результатів першого підрозділу розділу 3 є така теорема.

Теорема 3.1.7. Кожне праве (ліве) кільце Безу стабільного рангу n є правим (лівим) (n+1)-Ермітовим кільцем.

Звідси випливають такі результати:

Наслідок 3.1.12. Праве (ліве) кільце Безу стабільного рангу 1 є правим (лівим) Ермітовим кільцем.

Наслідок 3.1.13. Напівлокальне праве (ліве) кільце Безу є правим (лівим) Ермітовим.

Наслідок 3.1.13 дає відповідь на питання 2, постaвлене Хенріксеном (Henriksen M. Some remarks about elementary divisor rings // Michigan Math. J. -1955/56. - 3. -P.159-163) для некомутативних кілець. Зауважимо, що це питання поставлене Хенріксеном лише для комутативних кілець і розв'язане в 1974 році (Larsen M., Lewis W., Shores T. Elementary divisor rings and finitely presented modules // Trans. Amer. Math. Soc. -1974. - 187. -P.231-248), хоча воно є актуальним і в загальному. У класі комутативних кілець відповіддю на відкрите питання, коли комутативне кільце Безу є кільцем Ерміта, є такий результат.

Теорема 3.1.16. Комутативне кільце Безу є Ермітовим кільцем тоді і тільки тоді, коли його стабільний ранг не перевищує 2.

В якості безпосереднього наслідку звідси можна одержати важливий результат другого підрозділу розділу 3, а саме:

Теорема 3.2.2. Нехай R - комутативне кільце Безу з компактним простором мінімальних простих ідеалів, тоді R є Ермітовим кільцем.

Цей результат дає відповідь на питання Хенріксена, відмічене в роботі Shores T. Wiegand R. Decomposition of modules and matrices // Bull. Amer. Math. Soc. -1973. - 79, № 6. -P.1277-1280. Зауважимо, що його незалежно анонсував також Кошу (Couchom F. The -dimension of commutative arithmetic ring // Commun. in Algebra. -2004. -v.31. -7. -1-14).

Основним результатом третього підрозділу розділу 3 є така теорема.

Теорема 3.3.1. Нехай R - регулярне кільце стабільного рангу n. Тоді для довільної km матриці A над кільцем R, де |k-m|=n, існують такі унімодулярні матриці PGE_k(R) та QGE_m(R), що матриця PAQ є діагональною.

Щойно сформульовані теореми можна розглядати як часткову відповідь на відому відкриту задачу, поставлену Хенріксеном (Henriksen M. On a class of regular rings that are elementary divisor rings // Arch. Math.,-1973,-24, №2, 133-141) : описати регулярні кільця, над якими довільна матриця еквівалентна діагональній. Зауважимо, що існують сепаративні регулярні кільця, над якими лише квадратні матриці діагоналізуються (Ara P., Goodearl K., O'Meara K.C., Pardo E. Diagonalization of matrices over regular rings // Linear Algebra and Appl., -1987, -265, -147-163), тому актуальність теореми 3.3.1 не викликає сумнівів.

Капланський довів, що над прямо скінченним Ермітовим кільцем кільце матриць довільного порядку є прямо скінченним (Kaplansky I. Elementary divisors and modules // Trans. Amer. Maht. Soc. -1949. - 66. -P.464-491). Цей факт відіграє основну роль при розв'язанні задачі 1 монографії Гудьорла (Goodearl K.R. Von Neumann regular rings // Pitman, London-San Francisco-Melbourne, 1979), а саме: якщо R - прямо скінченне регулярне кільце, то чи буде кільце матриць R_n прямо скінченним при всіх n. З іншого боку, в сучасних алгебраїчних дослідженнях виявилося, що існують кільця, над якими діагональною редукцією володіють лише квадратні матриці (Levy L.S. Sometimes only square matrices can be diagonalized // Proc. Amer. Math. Soc.,-1975,-52, 18-22), тобто такі кільця не є Ермітовими. Більше того, вони можуть бути навіть не кільцями Безу. Але, як зауважив Капланський, у випадку кілець без дільників нуля і, як довели Шорес, Левіс, Ларсен (Larsen M., Lewis W., Shores T. Elementary divisor rings and finitely presented modules // Trans. Amer. Math. Soc. -1974. - 187. -P.231-248), у випадку комутативних кілець діагональна редукція квадратних матриць забезпечує діагональну редукцію всіх матриць. Враховуючи це, в четвертому підрозділі розділу 3 доведено такі основні результати.

Теорема 3.4.1. Нехай R квазі-дуо-кільце, над яким довільна квадратна матриця володіє канонічною діагональною редукцією. Тоді R є Ермітовим кільцем.

Теорема 3.4.5. Нехай R прямо скінченне кільце, над яким довільна квадратна матриця володіє діагональною редукцією. Тоді кільце матриць R_n є прямо скінченним.

Основним результатом п'ятого підрозділу розділу 3 є відповідь на питання 3, поставлене Хенріксеним (Henriksen M. Some remarks about elementary divisor rings // Michigan Math. J. -1955/56. -3. -P.159-163): якщо R - комутативне кільце Безу, факторкільце R/J(R) якого є Ермітовим, то чи буде кільце R Ермітовим? В цьому підрозділі дається позитивна відповідь на сформульоване питання, причому результат наводиться як наслідок більш загального твердження, що стосується некомутативних кілець.

Теорема 3.5.1. Нехай R - праве (ліве) кільце Безу і R/J(R) - праве (ліве) Ермітове кільце. Тоді R є правим (лівим) Ермітовим кільцем.

Як наслідок отримується результат (для комутативних кілець), якого й очікував сам Хенріксен (Henriksen M. Some remarks about elementary divisor rings // Michigan Math. J. -1955/56. - 3. -P.159-163).

Теорема 3.5.2. Комутативне кільце Безу R є кільцем елементарних дільників тоді і тільки тоді, коли R/J(R) кільце елементарних дільників.

У шостому підрозділі розділу 3 вивчаються численні властивості кілець стабільного рангу 1.

Основними результатами даного підрозділу слід вважати такі:

Теорема 3.6.4. Кожне праве кільце Бeзу без дільників нуля стабільного рангу 1 є правим 2-Евклідовим кільцем.

Теорема 3.6.6. Кільце головних ідеалів без дільників нуля стабільного рангу 1 є Евклідовим кільцем.

Сформульовані результати узагальнюють відомі результати Брунгса (Brungs H.H. Left Euclidean rings // Pacific. J. Math.,-1973,-45, N1, 27-33) для квазікомутативних кілець та результати Естеса і Ома (Estes D., Ohm J. Stable range in commutative rings // J. Algebra, -1967, -7, -343-362) для комутативних кілець стабільного рангу 1.

Важливу роль в сучасній теорії кілець відіграють дистрибутивні кільця (Tuganbaev A.A. Semidistributive Modules and Rings // Kluwer Academic Publ. Netherland, 1998). На даний час роль "елементарних" об'єктів, до яких у багатьох випадках в теорії кілець зводиться вивчення більш складних об'єктів, відіграють дистрибутивні кільця. Проте слід зауважити, що у випадку некомутативних кілець клас дистрибутивних кілець є досить вузьким і специфічним. Так, наприклад, праві дистрибутивні кільця Безу без дільників нуля можна вивчати як квазідуо-кільця Безу. Звідси бачимо, що кільця головних ідеалів без дільників нуля, взагалі кажучи, не є дистрибутивними.

Перший підрозділ розділу 4 присвячений побудові нового класу кілець, який узагальнює дистрибутивні кільця Безу без дільників нуля, на основі вивчення структури максимально неголовних правих ідеалів майже атомного кільця Безу без дільників нуля.

Праві кільця Безу відрізняються від кілець головних ідеалів наявністю неголовних правих ідеалів. Враховуючи індуктивність множини неголовних правих ідеалів кільця стосовно теоретико множинного включення, мoжна стверджувати існування максимально неголовних правих ідеалів. В першому підрозділі вивчаються численні властивості максимально неголовних ідеалів.

Основним результатом даного підрозділу є така теорема.

Теорема 4.1.9. Нехай R - майже атомне кільце Безу без дільників нуля, в якому довільний максимально неголовний правий ідеал є двобічним. Тоді в R довільний максимально неголовний правий ідеал є максимально неголовним лівим ідеалом.

Адекватні кільця історично складають перший клас кілець елементарних дільників, ширший за клас кілець головних ідеалів. Але, як вже відзначалося, структурна будова таких кілець є мало відомою. В даному підрозділі вивчаються адекватні кільця з дільниками нуля через введення поняття всюди адекватного кільця. Такими є кільця, в яких довільний елемент (зокрема і нуль) є адекватним. Відзначимо ще такий результат.

Теорема 4.2.13. Комутативне кільце Безу зі скінченним числом мінімальних простих ідеалів є всюди адекватним тоді і тільки тоді, коли воно є скінченною прямою сумою кілець нормування.

В третьому підрозділі розділу 4 вивчаються властивості максимальних і простих ідеалів комутативного кільця Безу без дільників нуля, а також наведені приклади кілець Безу, які ілюструють ці результати.

Розділ 5 присвячений кільцям елементарних дільників. Тут описані прості кільця елементарних дільників без дільників нуля, кільця, над якими довільна матриця зводиться до канонічного діагонального вигляду елементарними перетвореннями. Також наведені нові класи кілець елементарних дільників.

Основним результатом першого підрозділу розділу 5 є теорема, яка описує прості кільця елементарних дільників без дільників нуля.

Теорема 5.1.2. Просте кільце Безу без дільників нуля є кільцем елементарних дільників тоді і тільки тоді, коли воно є 2-простим.

Хенріксен довів, що над одинично регулярним кільцем довільна матриця еквівалентна діагональній матриці (тобто може бути діагоналізованою) без умов повної подільності діагональних елементів в діагональній формі цієї матриці. Разом з тим актуально, коли таке кільце є кільцем елементарних дільників в класичному сенсі. Відповіддю на сформульоване питання у випадку простого одинично регулярного кільця служить така теорема.

Теорема 5.1.8. 2-просте одинично регулярне кільце є кільцем елементарних дільників.

Важливий і популярний клас кілець складають Евклідові кільця. Наявність алгоритму Евкліда робить їх зручними в задачах, пов'язаних з матричними обчисленнями. Відомо, що над Евклідовим кільцем довільна матриця зводиться до канонічного діагонального вигляду елементарними перетвореннями. Тому природньою і важливою є задача вивчення кілець, над якими довільна матриця зводиться до канонічного діагонального вигляду лише елементарними перетвореннями. Ці кільця вперше введені автором і отримали назву кілець з елементарною редукцією матриць (Zabavsky B.V. Rings with elementary reduction matrix // Ring Theory Conf., 1996, Miskolc, July 15-20.-1996.-II.-14).

Основним результатом другого підрозділу розділу 5 є такий результат.

Теорема 5.2.1. 2-Евклідове комутативне кільце є кільцем з елементарною редукцією матриць.

Теорема 5.2.3. Якщо R - праве -Евклідове кільце Безу, то R - ліве -Евклідове кільце.

Зауважимо, що умова -евклідовості кільця є необхідною умовою того, щоб кільце R було кільцем з елементарною редукцією матриць. Більше того, всі відомі приклади комутативних -Евклідових кілець є 2-Евклiдовими і побудова -Евклідового кільця, яке не є 2-Евклідовим кільцем, є складною відкритою задачею (Cooke G.A. A weakening of the euclidean property for integral domains and applications to algebraic number theory. I) // J. fur die Reine and Angw. Math., -1976, -282, -133-156). Прикладом кільця елементарних дільників, над яким матриці, взагалі кажучи, не зводяться до канонічного діагонального вигляду елементарними перетвореннями відомі (Bougaut B. Anneaux Quasi-Euclidiens // These de docteur troisieme cycle,-1976, 67). В той же час виявляється, що елементарні перетворення відіграють все-таки велику роль в процесі зведення матриць до канонічного діагонального вигляду. Це підтверджують такі основні результати.

Теорема 5.2.4. Нехай R - кільце елементарних дільників, тоді для довільної n m матриці A (n>2,m>2) мoжна знайти такі унімодулярні матриці PGE_n(R) та QGE_m(R), що де _i - повний дільник _i+1, 1 is-1 і A₀ є 2k або k2 матрицею при деякому kN.

Тобто над кільцем елементарних дільників довільна матриця порядку nm, де (n>2, m>2) шляхом елементарних перетворень рядків і стовпчиків зводиться до канонічного діагонального вигляду. Для матриць певного конкретного вигляду не можна обійтись без елементарних перетворень, зокрема має місце така теорема.

Теорема 5.2.5. Нехай R - кільце елементарних дільників. Тоді для довільної nm матриці A, де m-n=2 можна знайти такі унімодулярні матриці PGL_n(R) та QGE_m(R), що де _i - повний дільник _i+1, 1 ir-1.

У випадку комутативних адекватних кілець для неособливих матриць маємо таке твердження.

Теорема 5.2.6. Нехай R комутативне адекватне кільце, тоді для довільної неособливої матриці порядку n можна знайти такі унімодулярні матриці PGE_n(R) та QGL_n(R), що де _i - повний дільник _i+1, 1 in-1.

Основним результатом третього підрозділу розділу 5 є така теорема.

Теорема 5.3.1. Локально зліченне кільце Безу є кільцем елементарних дільників.

Ця теорема є узагальненням відомого результату Капланського (Kaplansky I. Infinite Abelian Groups // Michigan Univer. of Michigan Press, 1969) і Казімірського (Казимирский П.С. Теорема об элементарных делителях в коммутативной области Безу // XVII Весоюзная алгебраическая конференция, Тезисы сообщений, ч.2.-Минск.-1983, -81) про те, що комутативне кільце Безу без дільників нуля, множина максимальних ідеалів якого є не більш ніж зліченна, є кільцем елементарних дільників.

Некомутативні кільця елементарних дільників ще мало вивчені. Відомі класи таких кілець доволі вузькі і специфічні. В четвертому підрозділі розділу 5 описані нові класи некомутативних кілець елементарних дільників. В цьому підрозділі доведено, що кільце Безу з єдиним максимально неголовним ідеалом, в якому виконується умова Дубровіна, є кільцем елементарних дільників.

Як уже відзначалось, існують регулярні кільця, над якими лише матриці певного вигляду і розміру еквівалентні діагональним. Тому актуальною є задача про еквівалентність за Крулем матриць над регулярним кільцем до діагональних матриць. Відповідь на це питання дає такий основний результат п'ятого підрозділу розділу 5.

Теорема 5.5.1. Нехай R - регулярне кільце, A - матриця порядку mn над R і A₁ - матриця, отримана приєднанням до матриці A m нульових стовпчиків. Тоді існують такі унімодулярні матриці P та Q відповідних розмірів, що матриця PA₁Q є діагональною.

Як відомо, дистрибутивне кільце елементарних дільників є дуо кільцем (Tuganbaev A.A. Semidistributive Modules and Rings // Kluwer Academic Publ. Netherland, 1998). Крім того, відомо, що в дистрибутивних кільцях виконується умова L (Lam. T., Dugas A. Quasi-Duo Rings and Stable Range Descent // J. Pure Appl. Alg. -2005. -195. -243-259). В шостому підрозділі 5 розділу показано, що у кільцях елементарних дільників з умовою L виконується умова Дубровіна. Основним результатом даного підрозділу є така теорема.

Теорема 5.6.1. Нехай R - кільце елементарних дільників, в якому виконується умова L. Тоді в R виконується умова Дубровіна.

Сьомий підрозділ можна розглядати як застосування результатів розділу 4 (а саме, його першого підрозділу) до питання діагональної редукції матриць над майже атомними кільцями Безу без дільників нуля з умовою Дубровіна стабільного рангу1.

У восьмому підрозділі розділу 5 показано, що кільця, які розглядаються в роботі (Czucs J. Diagonalization theorem for matrices over certain domains // Acta. sci. math., -1974, -36, №12, -193-201), є кільцями стабільного рангу 1 в локалізації по скрутах в сенсі Комарницького. Звідси, у випадку таких напівпростих кілець Безу без дільників нуля, отримано, що діагональна редукція в локалізації піднімається до діагональної редукції матриць над основним кільцем.

Дев'ятий підрозділ розділу 5 присвячений питанню одночасного приведення пари матриць до спеціального трикутного вигляду над всюди адекватним кільцем. Це дозволило перенести відомі результати Ньюмена про дільники матриці над кільцями головних ідеалів на всюди адекватні кільця і, зокрема, на комутативні регулярні кільця.

Висновки

Питання редукції матриць безумовно заслуговують уваги спеціалістів. Можливості їх застосувань в різних галузях математики сьогодні не потребують додаткової аргументації.

В дисертації отримано ряд результатів про будову кілець Безу скінченного стабільного рангу, багато з яких є розв'язками відомих проблем теорії кілець. Зокрема:

Доведено, що праве кільце Безу стабільного рангу 1 є правим кільцем Ерміта.

Доведено, що напівлокальне праве кільце Безу є правим кільцем Ерміта.

Встановлено, що комутативне кільце Безу є кільцем Ерміта тоді і тільки тоді, коли воно є кільцем стабільного рангу 2.

Доведено, що комутативне кільце Безу з компактним простором мінімальних простих ідеалів є кільцем Ерміта.

Показано, що праве кільце Безу таке, що фактор-кільце по радикалу Джекобсона є правим кільцем Ерміта, є також правим кільцем Ерміта.

Описано матриці певного вигляду, які діагоналізуються над довільним регулярним кільцем скінченного стабільного рангу.

Показана пряма скінченність кілець матриць над прямо скінченними кільцями, які можуть бути діагоналізовані.

Доведено, що праве кільце Безу без дільників нуля стабільного рангу 1 є правим 2-Евклідовим кільцем.

Показано, що кільце головних ідеалів без дільників нуля стабільного рангу 1 є Евклідовим кільцем.

Побудовано факторіальний аналог дистрибутивних кілець.

Описано прості кільця елементарних дільників без дільників нуля, як 2-прості кільця.

Показано, що 2-просте одинично регулярне кільце є кільцем елементарних дільників.

Розвинута теорія адекватних кілець і побудована теорія узагальнено адекватних і всюди адекватних кілець, як комутативних кілець елементарних дільників.

Побудована теорія кілець, над якими довільна матриця діагоналізується лише елементарними перетвореннями.

Доведено, що комутативне 2-Евклідове кільце є кільцем, над яким довільна матриця діагоналізується лише елементарними перетвореннями.

Показано, що праве -Евклідове кільце Безу є лівим -Евклідовим, що уточнює структурну будову правих головних кілець Безу без дільників нуля.

Доведено, що над кільцем елементарних дільників редукція матриць не елементарними перетвореннями має місце лише для матриць порядку 12, 21 і 22.

Показано, що локальне злічене кільце Безу є кільцем елементарних дільників.

...