Діагональна редукція матриць над кільцями

Описано нові класи некомутативних кілець елементарних дільників.

Доведена "слабка" діагональна редукція матриць над регулярним кільцем.

Роботи автора за темою дисертації

1. Комарницький М.Я., Забавський Б.В. Про адекватні кільця // Вісник Львівського університету. 1988. 39-43.

2. Забавский Б.В. О некоммутативных кольцах с элементарными делителеми // Укр. мат. журн. 1990. 42, №6. 847-850.

3. Забавский Б.В. Строгая факториальность и факториальный радикал Джекобсона // Мат. исслед. 1990. 118. 36-41.

4. Забавський Б.В., Комарницький М.Я. Деякі властивості максимальних і простих ідеалів комутативної області Безу // Вісник Львівського університету, 1990. 34. 53-56.

5. Забавський Б.В. Про комутативні кільця елементарних дільників // Вісник Львівського університету. 1990. 34. 51-52.

6. Забавський Б.В. Про PP-квазідуо кільце

7. елементарних дільників // В збірнику: Алгебра і топологія, Київ, ІСДО, 1993, 40-49.

8. Забавський Б.В. Про прості одинично регулярні кільця елементарних дільників // Математичні студії, 1993. №2. 21-22.

9. Забавський Б.В. Адекватні кільця елементарних дільників зі скінченним числом мінімальних простих ілеалів // В збірнику: Алгебра і топологія, Львів, ЛДУ, 1996. 74-79.

10. Забавський Б.В. Некоммутативный аналог теорем Коена // Укр. мат. журн., 1996. 48, №5. 707-710.

11. Забавський Б.В. Узагальнені адекватні кільця // Укр. мат. журн., 1996. 48, №4. 554-557.

12. Забавський Б.В. Кільця, над якими довільна матриця допускає діагональну редукцію елементарними перетвореннями // Математичні студії, 1997. 8, №2. 136-139.

13. Забавський Б.В., Гаталевич А.І. Про мінімальні прості ідеали комутативних кілець Безу // Укр. мат. журн., 1999, 51, №7. 1001-1005.

14. Забавський Б.В., Романів О.М. Кільця з елементарною редукцією матриць // Укр. мат. журн., 2000. 52, № 12. 1641-1649.

15. Забавський Б.В., Гаталевич А.І. Максимально неголовні праві ідеали кілець Безу // Математичні методи та фізико-механічні поля, 2000. 43, №2. 40-44.

16. Забавський Б.В., Романів О.М. Комутативні 2-Евклідові кільця // Математичні студії, 2001. Т.15, №2. 140-144.

17. Забавський Б.В. Редукція матриць над правими кільцями Безу скінченного стабільного рангу // Математичні студії. 2001. 16, №2. 115-116.

18. Забавський Б.В. Факторіальний аналог дистрибутивних областей Безу // Укр. мат. журн. 2001. 53, №11, 1564-1567.

19. Забавський Б.В. Редукція матриць над кільцями Безу стабільного рангу не більше 2 // Укр. мат. журн. 2003. 55, №4. 550-554.

20. Забавский Б.В. Простые кольца элементарных делителей // Математичні студії, 2004. Т.22, №2. 129-133.

21. Забавський Б.В. Редукція матриць і одночасна редукція пари матриць над кільцями // Математичні студії, 2005. Т.24, №1. 3-11.

22. Zabavsky B.V. Rings with elementary reduction matrix // Ring Theory Conf., 1996, Miskolc, July 15-20. 1996. II. 14.

23. Zabavsky B.V. Rings with elementary reduction matrix // Міжнародна алгебраїчна конференція, Санкт-Петербург. -1997. -143.

24. Zabavsky B., Romaniv O. Noncommutative rings with elementary reduction of matrices // Вопросы алгебры, Гомель, 1999. 14. 79-85.

25. Zabavsky B.V. Elementary reduction of matrices over adequate domain} // Математичні студії. 2002. 17. №2 115-116.

26. Zabavsky B.V. Diagonalization of matrices over ring with finite stable rank // Вісник Львівського університету. 2003. 61. 206-210.

27. Zabavsky B. About a commutative Bezout ring with compact minimal spectrum // Second Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova, Chisinau. 2004. 326.

28. Zabavsky B. A simple elementary divisor domain // Second Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova, Chisinau. 2004. 327.

29. Zabavsky B.V. Diagonalization of matrices // Математичні студії. 2005. Т.23, №1. 3-10.

30. Zabavsky B.V. Diagonalizability theorem for matrices over rings with finite stable range // Alg. and Discr. Math. 2005. №1. 151-165.

31. Zabavsky B.V. Almost diagonal matrices over n-simple Bezout domains // Groups and group rings XI, Bedlewo, Poland, June 4-11, 2005. 22.

32. Zabavsky B.V. A commutative elementary divisor domain of stable range 1 in localization // 5 Міжнародна алгебраїчна конференція, Одеса. 2005. 237-238.

Анотація

Забавський Б.В. Діагональна редукція матриць над кільцями. - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.06 - алгебра i теорiя чисел. - Київський унiверситет iменi Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Клас кілець Безу відіграє важливу роль при дослідженнях діагональної редукції матриць над кільцями. Особливо важливими є кільця Безу стабільного рангу 1 і 2. В дисертації доведено, що кожне праве кільце Безу стабільного рангу 1 є правим кільцем Ерміта. Показано, що кожне напівлокальне праве кільце Безу є правим кільцем Ерміта. Встановлено критерій ермітовості комутативних кілець Безу: комутативне кільце Безу є кільцем Ерміта тоді і тільки тоді, коли його стабільний ранг не перевищує 2. Показано, що комутативне кільце Безу з компактним простором мінімальних простих ідеалів є кільцем Ерміта. Доведено, що праве кільце Безу, фактор-кільце якого за радикалом Джекобсона є правим кільцем Ерміта, є також правим кільцем Ерміта. Показано, що кільце матриць над прямо скінченним кільцем, над яким довільна квадратна матриця діагоналізується, є прямо скінченним. Доведена діагональна редукція матриць певного вигляду над регулярним кільцем скінченного стабільного рангу, а також "слабка" діагональна редукція матриць над довільним регулярним кільцем. Перелічені результати дають відповіді на питання, сформульовані Хенріксеном. Показано, що клас простих кілець елементарних дільників без дільників нуля збігається з класом 2-простих кілець Безу без дільників нуля. Доведена "можлива" редукція матриць над 3-простим кільцем Безу без дільників нуля. Показано, що праве кільце Безу без дільників нуля стабільного рангу 1 є правим 2-Евклідовим і що кільце головних ідеалів без дільників нуля стабільного рангу 1 є Евклідовим кільцем.

Збудована теорія факторіального аналогу дистрибутивних кілець без дільників нуля як майже атомних кілець Безу без дільників нуля, в яких кожний максимально неголовний правий ідеал є двобічним. В цьому класі кілець описано нові класи кілець елементарних дільників. Побудовано теорію узагальнено адекватних і всюди адекватних кілець, як природного узагальнення адекватних кілець.

В класі кілець елементарних дільників виділено новий підклас кілець (а саме, кільця з елементарною редукцією матриць), над якими довільна матриця діагоналізується лише елементарними перетвореннями. Показано, що комутативне 2-Евклідове кільце є кільцем з елементарною редукцією матриць. Показано, що над кільцем елементарних дільників редукцію матриць до порядку 2 можна здійснити елементарними перетвореннями. Побудована теорія однобічної елементарної редукції матриць над адекватним кільцем, а також матриць спеціального вигляду над довільним кільцем елементарних дільників.

Встановлена можливість діагональної редукції матриць над напівпростим кільцем Безу без дільників нуля, яке є кільцем стабільного рангу 1 в локалізації за скрутами в сенсі Комарницького. Показана діагональна редукція матриць над локально зліченним кільцем Безу. Доведено, що кільце елементарних дільників з умовою L є дистрибутивним.

Ключовi слова: кільце Ерміта, кільце Безу, стабільний ранг, кільце елементарних дільників, прямо скінченне кільце, регулярне кільце, просте кільце, n-просте кільце, Евклідове кільце, 2-Евклідове кільце, -Евклідове кільце, кільце з елементарною редукцією матриць, дистрибутивне кільце, квазідуо-кільце, скінченно зображуваний модуль.

Annotation

Zabavsky B.V. Diagonal reduction of matrices over rings. - Manuscript.

Thesis of the dissertation for obtaining of the degree of doctor of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 - algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2005.

The class of Bezout ring plays an important role in investigations of diagonal reduction of the matrices over rings. Of special importance are the Bezout rings of stable rank 1 and 2. In the thesis it is proved that the right (left) Bezout ring of stable rank 1 is a right (left) Hermitian ring. As a consequence, it is shown that any semilocal right (left) Bezout ring is a right (left) Hermitian ring. A criterion is established for a commutative ring to be Hermitian: any commutative Bezout ring is an Hermitian ring if and only if its stable rank is 2. As a consequence, it is shown that any commutative Bezout ring with a compact space of minimal simple ideals is an Hermitian ring. It is proven that any right (left) Bezout ring whose quotient ring by the Jacobson radical is right (left) Hermitian, is also Hermitian. It is proved that any matrix ring over directly finite ring such that every matrix over it is diagonalizable, is directly finite.

A diagonal reduction is proved for matrices of certain form over a regular ring of finite stable rank as well as a "weak" diagonal reduction of matrices over arbitrary regular ring. The above results provide answers to questions posed by Henriksen. It is shown that the class of simple elementary divisor domains coincides with the class of 2-simple Bezout domains. A "possible" reduction of matrices over 3-simple Bezout domain is shown. It is shown that any a right Bezout domain of stable rank 1 is a right 2-Euclidean and any principal ideal domain is Euclidean. We construct a theory of factorial counterpart of distributive domains as almost atomic Bezout domains in which any maximal non-principal right ideal is two-sided. On this base, in the given class of rings, new classes of elementary divisor rings are described. We construct a theory of generalized adequate and everywhere adequate rings as a natural generalization of adequate rings.

In the class of elementary divisor rings a subclass of rings (rings with elementary reduction of matrices) over which any matrix can be diagonalizable only by elementary transformations. It is shown that any commutative 2-Euclidean ring is a ring with elementary reduction of matrices. It is shown that, over any elementary divisor ring, a reduction of matrices up to order 2 can be realized by elementary transformations. Also, a one-sided elementary reduction of non-singular matrices over an adequate ring as well as matrices of special forms over an arbitrary elementary divisor ring is shown.

A diagonal reduction is shown for matrices over semisimple Bezout domains which is a ring of stable rank 1 in localization by torsions in the sense of Komarnyts'kyi. It is proved a diagonal reduction of matrices over locally countable Bezout ring. It is proved that any elementary divisor ring with condition L is distributive.

Key words: Hermitian ring, Bezout ring, stable rank, elementary divisor ring, directly finite ring, regular ring, n-simple ring, Euclidean ring, 2-Euclidean ring, -Euclidean ring, adequate ring, ring with elementary reduction of matrices, distributive ring, quasi-duo ring, finitely representable module.

Аннотация

Забавский Б.В. Диагональная редукция матриц над кольцами. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени доктора физико-математичеcких наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет шимени Тараса Шевченка, Киев, 2005.

Класс колец Безу играет важную роль в исследованиях диагональной редукции матриц над кольцами. Особенно важными являются кольца Безу стабильного ранга 1 и 2. В диссертации доказано, что любое правое кольцо Безу стабильного ранга 1 является правым кольцом Эрмита. Также показано, что любое полулокальное правое кольцо Безу является правым кольцом Эрмита. Установлен критерий Эрмитовости коммутативных колец Безу: коммутативное кольцо Безу является кольцом Эрмита тогда и только тогда, когда его стабильный ранг не больше 2. Показано, что коммутативное кольцо Безу с компактным минимальным простым спектром является Эрмитовым кольцом. Показано, что правое кольцо Безу, фактор-кольцо которого по радикалу Джекобсона является правым кольцом Эрмита, само является правым кольцом Эрмита. Показано, что кольцо матриц над прямо конечным кольцом, над которым произвольная квадратная матрица диагонализируется, является прямо конечным. Доказана диагональная редукция матриц определенного вида над регулярным кольцом конечного стабильного ранга, а также "слабая" диагональная редукция матриц над произвольным регулярным кольцом. Перечисленные результаты дают ответы на вопросы, сформулированные Хенриксоном. Показано, что класс простых колец элементарных делителей без делителей нуля совпадает с классом 2-простых колец Безу без делителей нуля. Показана "возможная" редукция матриц над 3-простым кольцом Безу без делителей нуля. Показано, что правое кольцо Безу без делителей нуля стабильного ранга 1 является правым 2-Евклидовым кольцом и что кольцо главных идеалов без делителей нуля стабильного ранга 1 является Евклидовым.

Построена теория факториального аналога дистрибутивных колец без делителей нуля, как почти атомных колец Безу без делителей нуля, в которых произвольный максимально неглавный правый идеал является двусторонним. На основании этого в данном классе колец описано новые классы колец элементарных делителей. Построена теория обобщенно адекватных колец и везде адекватных колец, как естественное обобщение адекватных колец.

В классе колец элементарных делителей выделен подкласс колец (кольца элементарной редукцией матриц), над которыми любая матрица диагонализируется только элементарными преобразованиями. Показано, что коммутативное 2-Евклидовое кольцо является кольцом с элементарной редукцией матриц. Показано, что над кольцом элементарных делителей редукцию матриц до порядка 2 можно осуществить элементарными преобразованиями. Показана односторонняя элементарная редукция неособенных матриц над адекватным кольцом, а также матриц специального вида над произвольным кольцом элементарных делителей.

Показана диагональная редукция матриц над полупростым кольцом Безу без делителей нуля, которое является кольцом стабильного ранга 1, в локализации по кручениях в смысле Комарницкого. Показана диагональная редукция матриц над локально счетным кольцом Безу. Доказано, что кольцо элементарных делителей с условием L является дистрибутивным.

Ключевые слова: кольцо Эрмита, кольцо Безу, стабильный ранг, кольцо элементарных делителей, прямо конечное кольцо, регулярное кольцо, n-простое кольцо, Евклидовое кольцо, 2-Евклидовое кольцо, -Евклидовое кольцо, адекватное кольцо, кольцо с элементарной редукцией матриц, дистрибутивное кольцо, квазидуо-кольцо, конечно представимый модуль.

Размещено на Allbest.ru