Граничні теореми для бакстерівських сум випадкових функцій та їх застосування для оцінок параметрів

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 519.21

ГРАНИЧНІ ТЕОРЕМИ ДЛЯ БАКСТЕРІВСЬКИХ

СУМ ВИПАДКОВИХ ФУНКЦІЙ ТА ЇХ

ЗАСТОСУВАННЯ ДЛЯ ОЦІНОК ПАРАМЕТРІВ

01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Курченко Олександр Олексійович

Київ - 2006

АНОТАЦІЇ

Курченко О.О. Граничні теореми для бакстерівських сум випадкових функцій та їх застосування для оцінок параметрів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню умов збіжності бакстерівських сум випадкових процесів і полів та застосуванням для оцінювання параметрів кореляційних функцій. Знайдені умови збіжності у середньому квадратичному і з імовірністю одиниця до детермінованої сталої бакстерівських сум для нелінійних функцій від приростів загального виду гауссових випадкових полів. Встановлені умови збіжності з імовірністю одиниця до детермінованої сталої послідовності білінійних форм від приростів загального виду гауссового векторного випадкового поля. Досліджена збіжність у середньому квадратичному інтегральних сум для випадкових функцій бакстерівського типу. Визначений стохастичний інтеграл з диференціалом по векторному випадковому процесу бакстерівського типу. Встановлена функціональна центральна гранична теорема у просторі Скорохода функцій багатьох змінних для нормованих сум нелінійних функцій від приростів випадкових процесів і полів. Отримана сильно конзистентна оцінка параметра Хюрста дробового броунівського руху, а також побудовані інтервали надійності для цього параметра та доведені твердження про швидкість збіжності із імовірністю одиниця. Для певного класу гауссових однорідних випадкових полів на основі бакстерівських статистик побудовані конзистентні оцінки параметрів кореляційних функцій та знайдені еліпсоїди надійності.

Ключові слова: теорема Леві-Бакстера, гауссове випадкове поле, функціональна центральна гранична теорема, простір Скорохода, конзистентна оцінка, інтервал надійності.

Курченко А.А. Предельные теоремы для бакстеровских сумм случайных функций и их применения для оценок параметров. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.

Получены достаточные условия сходимости в среднем квадратическом и почти наверное к положительной детерминированной постоянной последовательности бакстеровских сумм для нелинейных функций от приращений гауссовских случайных полей определенного класса. Условия сходимости сформулированы в терминах корреляционных функций случайных полей, ранга Эрмита нелинейной функции и порядка приращения. Привлечение приращений старших порядков позволило расширить семейство случайных функций, для которых имеет место сходимость последовательности бакстеровских сумм к детерминированной постоянной. Исследован также случай квадратов приращений для совместно строго субгауссовских случайных полей. Получена теорема бакстеровского типа для квадратов приращений вообще говоря негауссовских случайных полей, заданных на измеримых по Жордану подмножествах эвклидового пространства . Установлены достаточные условия сходимости почти наверное к детерминированной положительной постоянной последовательности билинейных форм от приращений векторного гауссовского случайного поля. При этом ослаблены условия на скорость стремления к нулю последовательности мелкостей разбиений: при определенных условиях бесконечная малость последовательности где последовательность мелкостей разбиений, размерность параметрического пространства, является достаточной для сходимости с вероятностью единица последовательности бакстеровских сумм.

Исследована сходимость в среднем квадратическом интегральных сумм непрерывного в среднем порядка четыре случайного поля по приращениям векторного случайного поля бакстеровского типа. Доказано, что предел в среднем квадратическом таких интегральных сумм - стохастический интеграл вида где непрерывное в среднем порядка четыре на случайное поле, непрерывная на функция, определяемая векторным случайным полем бакстеровского типа. При помощи неравенства для нормы в пространстве Орлича центрированной квадратичной формы гауссовских случайных величин, исследована сходимость в пространстве Орлича к детерминированной постоянной бакстеровских сумм векторного гауссовского случайного поля. Результат о сходимости интегральных сумм применен для определения стохастического интеграла вида с дифференциалом по векторному случайному процессу бакстеровского типа. Доказана формула Ито для такого интеграла. Исследована зависимость предела интегральных сумм от правила выбора промежуточных точек. Определен симметрический стохастический интеграл относительно случайного процесса бакстеровского типа и получен аналог формулы Ито для такого интеграла.

Получена функциональная центральная предельная теорема в пространстве Скорохода функций многих переменных для последовательности ступенчатых случайных полей, построенных при помощи нормированных сумм нелинейных функций и мультииндексной последовательности серий случайных величин, которые в каждой серии имеют совместное гауссовское распределение с нулевым математическим ожиданием. Условия сформулированы в терминах корреляционных матриц серий случайных гауссовских величин и коэффициентов разложения нелинейной функции по многочленам Чебышева-Эрмита. Доказана функциональная центральная предельная теорема в пространстве Скорохода функций без разрывов второго рода для последовательности нормированных случайных процессов, построенных при помощи нелинейной функции от приращений дробного броуновского движения. Оказалось, что для приращений второго порядка и выше, условия этой теоремы выполнены для всех значений параметра Хюрста . Получена также функциональная центральная предельная теорема в пространстве Скорохода для последовательности ступенчатых случайных полей, построенных при помощи бакстеровских сумм гауссовских случайных полей с однородными приращениями.

Результаты о сходимости последовательности бакстеровских сумм применены для оценивания параметров корреляционных функций гауссовских случайных процессов и полей. Построены области надежности для оцениваемых параметров. В частности, получена сильно консистентная оценка параметра Хюрста дробного броуновского движения, а также построены интервалы надежности для этого параметра и доказано утверждение о скорости сходимости с вероятностью единица. Для определенного класса однородных случайных полей, при помощи бакстеровских статистик построены консистентные оценки параметров корреляционных функций и найдены эллипсоиды надежности. В рамках определенной модели, построена асвимптотически несмещенная сильно консистентная оценка параметра памяти гауссовской стационарной случайной последовательности. Найден интервал надежности и оценена скорость сходимости с вероятностью единица. Построена непараметрическая оценка функции замены времени для стационарного гауссовского случайного процесса с нулевым средним и известной корреляционной функцией.

Ключевые слова: теорема Леви-Бакстера, гауссовское случайное поле, функциональная центральная предельная теорема, пространство Скорохода, консистентная оценка, интервал надежности.

Kurchenko O.O. Limit theorems for Baxter sums of the random functions and their application for estimation of the parameters. Manuscript.

Thesis of the dissertation for obtaining the degree of doctor of sciences of physics and mathematics, speciality 01.01.05 - Theory of Probability and Mathematical Statistics. - Kyiv Taras Schevchenko National Universsity. Kyiv, 2006.

The dissertation focuses on research of the conditions for the convergence of Baxter sums of the random processes fields and appllication for the estimation of the parameters of the correlation functions. The conditions of the convergence in mean square and almost surely to the determinate constant of Baxter sums for nonlinear functions of the general increments of the Gaussian random fields are obtained. The conditions of the convergence almost surely to the determinate constant of the sequence of the bilinear forms of the general increments of the Gaussian vector random field are established. The convergence in mean square of the integral sums for the random functions of Baxter type is examined. The stochastic integral with differential on the vector random process of the Baxter type is defined. The functional central limit theorem in the Skorokhod space of the functions of several variables is proved. The consistent estimate of the Hurst parameter of the fractional Brownian motion is obtained, as well as the confidence region for this parameter is constructed and the statement on the rate of the convergence almost surely is proved. The consistent estimates of the parameters of the correlation functions of the several type of the Gaussian homogeneous random fields are constructed as well as the confiedence ellipsoids are determined.

Key words: Levy-Baxter theorem, Gaussian random field, functional central limit theorem, Skorokhod space, consistent estimate, confidence interval.

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедрі математичного аналізу механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Наукові консультанти: доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Ядренко Михайло Йосипович;

доктор фізико-математичних наук, професор, Козаченко Юрій Васильович, професор кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Офіційні опоненти: - доктор фізико-математичних наук, професор Гусак Дмитро Васильович, провідний науковий співробітник відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України;

- доктор фізико-математичних наук, професор Кнопов Павло Соломонович, завідуючий відділом математичних методів дослідження операцій Інституту кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України;

- доктор фізико-математичних наук, професор Краснитський Сергій Михайлович, професор кафедри інформаційних технологій проектування Київського національного університету технології та дизайну.

Провідна установа: Національний технічний університет „Київський політехнічний інститут” МОН України

Захист відбудеться ”23” жовтня 2006 р. о 14 годині на засіданні с спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (03022, Київ, 22, пр-т Глушкова, 6, механіко-математичний факультет).

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розіслано ”19” вересня 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У граничних теоремах для випадкових процесів і полів можна виділити окремим рядком теореми бакстерівського типу. Започаткував цю царину у 1940 році П.Леві, коли встановив результат такого типу для стандартного броунівського руху. Наступний крок у розвитку цього напрямку зробив Г.Бакстер, який узагальнив результат П.Леві на більш широкий клас випадкових процесів. Після роботи Г.Бакстера збіжність бакстерівських сум для випадкових процесів і полів досліджувалася протягом останніх десятиліть багатьма авторами. У припущеннях гауссовості випадкових процесів теореми бакстерівського типу (відомі також під назвою теореми Леві-Бакстера) отримали В.Г.Алексєєв, Є.Г.Гладишев, І.А.Ібрагімов та Ю.А.Розанов, Ю.М.Рижов, Х.Салама, Е.Гіне та Р.Клейн, А.Врубель. П.Перcі встановив теорему бакстерівського типу для випадкових процесів без припущення гауссовості за рахунок умов на мішані моменти четвертого порядку. Для гауссових випадкових полів (випадкових функцій кількох змінних) та випадкових полів з гауссовими приростами збіжність послідовності бакстерових сум досліджували С.М.Краснитський, С.Берман, Т.В.Арак, П.Стрет, Т.Кавада, С.Део та С.Уонг, Г.А.Шкляр, Чен Ксьонг та Пан Ксіа, К.Гійон. Проводилися також дослідження умов збіжності бакстерівських сум для окремих класів випадкових функцій. Так теореми типу Леві-Бакстера для строго передгауссових випадкових процесів отримали О.П.Бесклінська та Ю.В.Козаченко. Швидкість збіжності у просторі Орліча у теоремах Леві-Бакстера для псевдогауссових випадкових процесів дослідили Л.Б.Вовк та Ю.В.Козаченко. В.В.Булдигін, В.М.Мельник, В.Г.Шпортюк встановили необхідні й достатні умови, за яких дробові поля мають властивість Леві-Бакстера на фіксованій та зростаючій параметричних множинах. В.В.Булдигін та Ю.В.Козаченко отримали умови збіжності послідовності бакстерівських сум до детермінованої сталої для сумісно строго субгауссових випадкових процесів та для сумісно псевдогауссових випадкових процесів.

У сфері бакстерівських теорем залишилися не дослідженими питання про застосування більш загальних приростів, які розширювали б клас випадкових процесів та полів, для яких має місце збіжність послідовності бакстерівських сум до детермінованої додатної сталої, а також про вплив рангу Ерміта нелінійної функції на швидкість збіжності послідовності бакстерівських сум. Не студіювалося питання про збіжність бакстерівських сум для випадкових полів на вимірних за Жорданом множинах.

Границі інтегральних сум за квадратами приростів гауссових випадкових процесів бакстерівського типу досліджували Ю.М.Рижов та Т.Ф.Лін. Ці результати про збіжність інтегральних сум вони застосували для означення

стохастичного інтеграла відносно гауссових випадкових процесів бакстерівського типу та виведення аналога формули Іто. Р.Л.Стратонович помітив, що формула Іто у стохастичному інтегральному численні набирає класичного виду, якщо проміжні точки у відповідних інтегральних сумах вибирати посередині відрізків розбиття. Так визначений стохастичний інтеграл називають інтегралом Стратоновича, або симетричним. Тут залишалися відкритими питання про збіжність інтегральних сум, побудованих за приростами векторного випадкового поля бакстерівського типу та дослідження симетричного стохастичного інтеграла відносно випадкових процесів бакстерівського типу.

Функціональну граничну теорему для послідовності випадкових процесів, побудованих за бакстерівськими сумами квадратів приростів гауссового випадкового процесу отримав Ю.М.Рижов. Функціональну центральну граничну теорему для послідовності випадкових полів, побудованих за сумами квадратів приростів гауссових випадкових полів певного класу довів С. Део. О. Перін застосував функціональну центральну граничну теорему для квадратичної варіації на одиничному відрізку стаціонарного гауссового процесу для оцінювання функції заміни часу. Асимптотичні розподіли, у тому числі функціональні граничні теореми, для нелінійних функціоналів від гауссових випадкових процесів та полів досліджували Р.Л.Добрушин, П. Майор, М.Розенблат, М.С.Такку, П. Бреуер. Перші результати щодо граничної поведінки нелінійних функціоналів від стаціонарної гауссової послідовності отримав Т. Сун. У цій галузі не було достатньо загальної функціональної центральної граничної теореми для послідовності випадкових процесів, побудованих за допомогою нелінійних функцій від приростів випадкових процесів бакстерівського типу. Не було також результату щодо про асимптотичної нормальності послідовності бакстерівських сум, побудованих за допомогою нелінійних функцій від загальних приростів гауссових випадкових полів.

В останні десятиліття, у зв'язку з істотним поширенням математичного моделювання у різних галузях науки і техніки, з'явилися нові моделі оцінювання у статистиці випадкових процесів, що сприяло інтенсивному розвитку цього напрямку. Теорії оцінок параметрів випадкових процесів присвячена монографія А.Я.Дороговцева, в якій викладена математична теорія статистичних оцінок параметрів для широкого класу випадкових процесів. Статистиці випадкових процесів присвячені також монографії І.А.Ібрагімова та Р.З.Хасьмінського, І.Ш.Ібрамхалілова та А.В.Скорохода, Р.Ш.Ліпцера, А.М. Ширяєва, П.С. Кнопова, Ю.А.Кутоянца, І.В.Басава та Пракаса Рао, Ж.Берана, П.Брокуелла і Р.Девіса. Статистичні проблеми для випадкових полів розглядаються у монографії О.В.Іванова та М.М.Леоненка.

М.Арато, А.М.Колмогоров, Я.Г.Сінай вперше застосували статистики бакстерівського типу для оцінювання параметрів випадкових процесів. О.П.Бесклінська та Р.Є.Майборода за допомогою бакстерівських статистик побудували оцінки параметрів та інтервали надійності для деяких параметрів процесів бакстерівського типу, зокрема для процесу Орнштейна-Уленбека. Р.Є.Майборода встановив асимптотичну нормальність бакстерівських оцінок параметрів для певного класу випадкових процесів. Ж.М.Барде застосував бакстерівських підхід для оцінювання параметра Хюрста дробового броунівського руху. Зауважимо, що у статистиці випадкових процесів і полів існують численні моделі оцінювання параметрів, у яких бакстерівські статистики дозволяють отримати конзистентні оцінки та побудувати неасимптотичні області надійності.

Із наведеного вище стану проблеми випливає доцільність проведення дослідження за наступними напрямками:

збіжність бакстерівських сум для нелінійних функцій від приростів загального виду випадкових функцій;

збіжність інтегральних сум, побудованих за випадковими функціями бакстерівського типу;

визначення симетричного стохастичного інтеграла відносно випадкових процесів бакстерівського типу;

функціональна центральна гранична теорема для послідовності випадкових функцій, побудованих за допомогою бакстерівських сум випадкових процесів і полів;

бакстерівський підхід до параметричного оцінювання у статистиці випадкових процесів і полів.

Обрані напрямки дослідження продовжують і доповнюють сучасні важливі спрямування теорії випадкових процесів і полів та статистики випадкових процесів, які інтенсивно розвиваються. Ці галузі теорії імовірностей та математичної статистики відповідають найважливішим проблемам сучасності, оскільки їх застосування у математичних моделях різних галузей науки і техніки невпинно зростає як в Україні, так і за її межами. Отже, тема цієї дисертаційної роботи доцільна й актуальна.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної дослідницької теми №01БФ03806 ”Розвиток теорії випадкових полів та динамічних систем на алгебраїчних структурах”, яка входить до програми ”Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем” (номер державної реєстрації №0101U002472).

Мета та завдання дослідження. Розширити клас випадкових функцій, для яких має місце збіжність бакстерівських сум, та сферу застосувань для оцінок параметрів теорем Леві-Бакстера. Для досягнення поставленої мети у дисертаційній роботі вирішуються наступні завдання:

отримати умови збіжності бакстерівських сум від приростів загального виду гауссових випадкових полів;

отримати теорему Леві-Бакстера для сумісно строго субгауссового випадкового поля; бакстерівський гауссовий стохастичний інтеграл

дослідити збіжність бакстерівських сум для випадкових полів на жорданових множинах;

отримати умови збіжності у середньому квадратичному інтегральних сум, побудованих за приростами випадкового поля бакстерівського типу;

визначити симетричний стохастичний інтеграл з диференціалом від випадкового процесу бакстерівського типу;

отримати функціональну центральну граничну теорему у просторі Скорохода функцій багатьох змінних для послідовності випадкових полів, побудованих за допомогою нормованих сум нелінійних функцій та мультиіндексної послідовності серій гауссових випадкових величин;

отримати функціональну граничну теорему у просторі Скорохода для послідовності нормованих випадкових процесів, побудованих за допомогою нелінійної функції та приростів загального виду дробового броунівського руху;

довести асимптотичну нормальність бакстерівських сум, побудованих за допомогою нелінійних функцій від приростів загального виду гауссових випадкових полів;

застосувати бакстерівські статистики для оцінювання параметра Хюрста дробового броунівського руху;

застосувати бакстерівські статистики для побудови конзистентних оцінок параметрів кореляційних функцій гауссових однорідних випадкових полів та знайти еліпсоїди надійності;

застосувати бакстерівський підхід для побудови конзистентної оцінки параметра пам'яті гауссової стаціонарної випадкової послідовності.

Об'єкт дослідження - випадкові процеси та поля.

Предмет дослідження - бакстерівські суми випадкових процесів та полів.

Методи дослідження. Для досягнення поставленої у дисертаційній

роботі мети, застосовуються методи математичного аналізу, алгебри, теорії імовірностей та математичної статистики, теорії випадкових процесів. Із спеціальних методів використаний метод доведення функціональних граничних теорем, який полягає у доведенні слабкої збіжності послідовності скінченновимірних розподілів та перевірці щільності послідовності мір, а

також прийом Крамера-Уолда, метод моментів, діаграмна формула. Ці методи застосовуються для доведення функціональної центральної граничної теореми у четвертому розділі. Простори Орліча застосовуються у третьому розділі для доведення збіжності у просторі Орліча бакстерівських сум та для побудови областей надійності і дослідження швидкості збіжності оцінок у п'ятому розділі.

Наукова новизна результатів

1. Бакстерівські суми випадкових процесів і полів, предмет дослідження цієї дисертації, будуються за допомогою тих чи інших приростів. У дисертаційній роботі здобувачем запропоновано досить загальне означення приросту функції кількох змінних на багатовимірному паралелепіпеді, заданого за допомогою багатовимірної матриці. Такі прирости загального виду охоплюють всі прирости, за допомогою яких різні автори будували бакстерівські суми. Граничні теореми для бакстерівських сум випадкових полів, визначених за допомогою таких приростів, отримані вперше.

2. Достатні умови збіжності у середньому квадратичному та з імовірністю одиниця бакстерівських сум для квадратів приростів загального виду сумісно строго субгауссових випадкових полів отримані вперше.

3. Теореми Леві-Бакстера для випадкових полів (без припущення гауссовості) на жорданових множинах запропоновані здобувачем вперше.

4. Вдосконалено метод доведення теореми Леві-Бакстера для векторного гауссового випадкового поля, завдяки чому вдалося послабити умови на швидкість збіжності до нуля послідовності дрібностей розбиттів, достатню для збіжності з імовірністю одиниця послідовності бакстерівських сум.

5. Уперше доведена збіжність у середньому квадратичному інтегральних сум за приростами векторного гауссового випадкового поля бакстерівського типу. Аналогічний результат без припущення гауссовості також встановлений вперше.

6. Вперше визначені -зважений та симетричний стохастичний інтеграли відносно випадкового процесу бакстерівського типу та отримані аналоги формули Іто для таких інтегралів.

7. Уперше отримана функціональна центральна гранична теорема у просторі Скорохода для послідовності випадкових полів, побудованих за допомогою нормованих сум нелінійних функцій від випадкових величин із мультиіндексної послідовності серій випадкових величин, які у кожній серії мають сумісний гауссовий розподіл.

8. Уперше отримана функціональна центральна гранична теорема у просторі Скорохода функцій без розривів другого роду для послідовності випадкових процесів, побудованих за допомогою бакстерівських сум дробового броунівського руху.

9. Уперше доведена функціональна центральна гранична теорема у просторі Скорохода для послідовності випадкових полів, побудованих за допомогою нелінійних функцій від приростів гауссових випадкових полів.

10. На основі бакстерівських статистик отримана нова сильно конзистентна оцінка параметра Хюрста дробового броунівського руху, а також побудовані інтервали надійності для цього параметра та доведені твердження про швидкість збіжності із імовірністю одиниця.

11. Для певного класу гауссових однорідних випадкових полів на основі бакстерівських статистик побудовані нові конзистентні оцінки параметрів кореляційних функцій та знайдені еліпсоїди надійності.

12. На основі бакстерівського підходу побудована нова сильно конзистентна оцінка параметра, який входить показником до кореляційної функції багатопараметричного дробового броунівського руху. Визначені інтервали надійності та оцінена швидкість збіжності оцінки.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичне значення. Проте, у дисертації виклад теоретичних положень супроводжується прикладами дробового броунівського руху, випадкового поля Ченцова, багатопараметричного дробового броунівського руху, дробового вінерівського поля з -вимірним параметром Хюрста. Ці випадкові функції широко використовуються у математичних моделях гідромеханіки, метеорології, радіотехніки, фінансової математики та інших галузях науки і техніки. Тому результати можуть знайти застосування у цих галузях знань.

Бакстерівський підхід до оцінювання параметрів випадкових функцій може бути застосований у статистиці випадкових процесів і полів, а також у прикладних математичних моделях гідрології, телекомунікацій, астрономії, агрономії та інших наук.

Особистий внесок здобувача. Всі результати цієї дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно. У співавторстві з науковим консультантом професором Ю.В.Козаченком опубліковані статті [11, 13]. У цих статтях Ю.В.Козаченку належить ідея побудови області надійності. У співавторстві із студентом М.Є.Наумовим опублікована стаття [21] та тези [30], у яких М.Є.Наумов виконав певну обчислювальну роботу. У всіх випадках до дисертації ввійшли лише результати, отримані здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати цієї дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на наукових семінарах кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного

факультету Київського Національного університету імені Тараса Шевченка, відділу теорії ймовірностей і випадкових процесів Інституту математики НАН України, кафедри математичного аналізу і теорії ймовірностей Національного технічного університету “Київський політехнічний інститут”, науковому семінарі з теорії ймовірностей та математичної статистики при математичному факультеті Ягеллонського університету (Краків), а також на наступних міжнародних наукових конференціях:

1. Міжвузівська нарада-семінар “Гауссові процеси: граничні теореми,властивості реалізацій”, Санкт-Петербург, Петропалац, 6 - 15 березня 1982 р.

2. Міжвузівська нарада-семінар молодих вчених “Гауссові процеси й поля”, Москва - Пущино, 4 - 10 травня 1985 року.

3. Четверта Міжнародна Вільнюська конференція з теорії ймовірностей та математичної статистики, Вільнюс, 24 - 29 червня 1985 року.

4. Друга Україно-Угорська конференція “Нові напрямки у теорії ймовірностей та математичній статистиці”, Мукачево, 25 вересня - 2 жовтня 1992 року.

5. П'ята Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, Київ, 16 - 18 травня 1996 року.

6. Шоста Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, Київ, 16 - 19 травня 1997 року.

7. Сьома Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, Київ, 14 - 16 травня 1998 року.

8. Третя Українсько-Скандинавська конференція з теорії ймовірностей та математичної статистики, Київ, 8 - 12 червня 1999 року.

9. Двадцятий Міжнародний семінар з Проблем стійкості для стохастичних моделей, Люблін - Наленьчов, 5 - 11 вересня 1999 року.

10. Восьма Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, Київ, 11 - 14 травня 2000 року.

11. Четверта Міжнародна школа з математичних та статистичних застосувань в економіці, Маларденський університет, Вестерос, Швеція, 10 - 17 січня 2001 року.

12. Міжнародний Математичний Конгрес. Міжнародна конференція “Стохастичний аналіз та його застосування”, Львів, 10 - 17 червня 2001 року.

13. Конференція “Функціональні методи у теорії апроксимації, теорії операторів, стохастичному аналізі та статистиці”, Київ, 19 - 22 жовтня 2001 року.

14. Дев'ята Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, Київ, 16 - 19 травня 2002 року.

15. Міжнародна конференція, присвячена 90-річчю з дня народження Б.В.Гнеденка, Київ, 3 - 7 червня 2002 року.

16. Міжнародна конференція “Дні дробового броунівського руху”,

Гельсинкі, 25 - 26 вересня 2003.

17. Десята Міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука, Київ, НТУУ “КПІ” 13 - 15 травня 2004 року.

18. Конференція „Функціональні методи у теорії апроксимації, теорія операторів, стохастичний аналіз та статистика ІІ” присвячена пам'яті А.Я.Дороговцева (1935 - 2004) 1- 5 жовтня 2004 р., Київ.

Публікації. За результатами цієї дисертаційної роботи опубліковано тридцять шість наукових праць, з яких двадцять одна стаття у фахових виданнях [1 - 21] та п'ятнадцять робіт у тезах міжнародних конференцій [22 - 36].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг роботи складає 352 сторінки, обсяг основної частини 269 сторінок. Список використаних джерел містить 207 найменувань.

Подяки. Автор дисертації висловлює глибоку вдячність своєму Вчителю, науковому керівнику і консультанту Михайлу Йосиповичу Ядренку, який ще у студентські роки заохотив автора до наукових досліджень у галузі бакстерівських теорем для випадкових полів. Михайло Йосипович помер 28 вересня 2004 року. Вічна йому пам'ять.

Я глибоко вдячний моєму науковому консультанту професору Козаченку Юрію Васильовичу за повсякчасну увагу та підтримку у роботі, а також професору Булдигіну Валерію Володимировичу за постановку задачі про функціональну граничну теорему для бакстерівських сум та плідні обговорення результатів.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі подано історико-аналітичний огляд попередніх досліджень за темою дисертації, обґрунтовано актуальність роботи, визначено об'єкт, предмет, мету та задачі дослідження, висвітлено методи, наукову новизну, сформульовано мету дисертаційної роботи, наведено огляд її основних результатів.

У розділі 1 подано огляд літератури за темою дисертації.

У розділі 2 досліджується збіжність бакстерівських сум для нелінійних функцій від приростів загального виду. У підрозділі 2.1 описується клас розглядуваних приростів, наводяться приклади та доводяться потрібні для подальшого властивості цих приростів.

Нехай натуральне число, невід'ємні цілі числа,

вимірна матриця з дійсними елементами.

Означення 2.1. Невід'ємне ціле число називається порядком вимірної матриці (2.1), якщо для довільних невід'ємних цілих чисел сума яких менша числа , виконується рівність але знайдеться хоча б один набір невід'ємних

цілих чисел таких, що Тут Символ назвемо порядком вимірної матриці (2.1), якщо такого невід'ємного цілого числа не існує.

Наприклад, матриця має порядок

Нехай вимірний

паралелепіпед;- дійсна функція змінних; -вимірна матриця.

Означення 2.2. Приростом функції на паралелепіпеді побудованим за допомогою матриці називається число

де Порядком цього приросту називається порядок матриці

Теорема бакстерівського типу являє собою варіант закону великих чисел або посиленого закону великих чисел у схемі серій для залежних випадкових величин. Тому у підрозділі 2.2 досліджуються умови застосування закону великих чисел у схемі серій для нелінійних функцій від залежних гауссових випадкових величин.

Нехай - імовірнісний простір, - центрована гауссова випадкова величина з одиничною дисперсією,

Послідовність многочленів Чебишова-Ермітаутворює повну ортогональну систему функцій у просторі

де - символ Кронекера, рівний одиниці при та нулю при Функція допускає розвинення у ряд за многочленами Чебишова-Ерміта, який збігається за нормою простору де коефіцієнти Чебишова-Ерміта функції

Означення 2.3. Рангом Ерміта функціїназивається невід'ємне ціле число

Нехай - послідовність серій випадкових величин, які у кожній серії мають сумісний гауссовий розподіл з нульовим математичним сподіваннямта кореляційною матрицею з одиничними елементами на головній діагоналі, при Нехай, далі, функція має ранг Ерміта Математичне сподівання випадкової величини дорівнює нулеві, а дисперсія обчислюється за формулою

Покладемо

З урахуванням цих позначень,

Теорема 2.1. Нехай функція

Для збіжності у середньому квадратичному послідовності випадкових величин до сталої необхідно і достатньо щоб для кожного при

Підрозділ 2.3 містить дослідження збіжності бакстерівських сум для нелінійних функцій від приростів гауссових випадкових полів. У підрозділі 2.4 це питання вивчається для квадратів приростів сумісно строго субгауссових полів.

Нехай - відкрита множина в - гауссове випадкове поле з нульовим математичним сподіванням та кореляційною функцією Нехай, далі, - розбиття вимірного паралелепіпеда на паралелепіпеди з ребрами, паралельними координатним осям, -дрібність розбиття де - евклідова норма у просторі Для довільного паралелепіпеда покладемо Для функції та довільного розбиття одиничного паралелепіпеда покладемо де символом позначена міра Лебега у просторі просторі Для паралелепіпедів

Теорема 2.4. Нехай функція. Для того, щоб у середньому квадратичному при необхідно й достатньо, щоб для кожного

Теорема 2.8. Нехай функція

ранг Ерміта функції дорівнює - послідовність рівномірних розбиттів - порядок матриці і виконуються наступні умови: 1) , такі, що для довільного привиконується нерівність;

нехай серед чисел рівно менші одиниці і тоді у середньому квадратичному приПри з імовірністю одиниця.

Наслідок 2.3. Нехай, далі, існує додатна функція така, що для деякого рівномірно на і виконані умови 1), 3) теореми 2.8. Тоді у середньому квадратичному при

Означення 2.5. Булдыгин В.В., Козаченко Ю.В. Метрические характеристики случайных величин и процессов. - Киев: ТвiМС, 1998. - 290 с. Випадкове поле називається сумісно строго субгауссовим, якщо для довільного натурального числа та довільних випадковий вектор є строго субгауссовим.

Теорема 2.10. Нехай - сумісно строго субгауссове випадкове поле і для деякого показника і матриці з означення 2.1 виконуються наступні умови: 1) при Тоді у середньому квадратичному приЯкщо ряд із загальним членом збіжний, з імовірністю одиниця.

Збіжність бакстерівських сум до додатної детермінованої сталої як для гауссових, так і для негауссових випадкових полів на множинах, вимірних у розумінні Жордана, досліджується у підрозділі 2.5.

Нехай - відкрита підмножина евклідового простору; - неперервне в середньому квадратичному випадкове поле з нульовимматематичнимсподіванням та кореляційноюфункцією. Надалі припускаємо, що це випадкове поле має скінченний момент четвертого порядку на множині Для покладемоНехай - розбиття го порядкуДля замкненої вимірної за Жорданом підмножини покладемо

Теорема 2.12. Нехай - неперервне в середньому квадратичному випадкове поле з нульовим математичним сподіванням і для деякого додатного числа існує рівномірна відносно границя Тоді у середньому квадратичному.

Теорема 2.13. Нехай для гауссового випадкового поля з нульовим математичним сподіванням виконуються умови теореми 2.12. Тоді у середньому квадратичному. Якщо ряд із загальним членом збігається, то має місце збіжність з імовірністю одиниця.

Підрозділ 2.6 містить теорему Леві-Бакстера для векторного гауссового випадкового поля.

Нехай - векторне гауссове випадкове поле з нульовим математичним сподіванням та кореляційною матрицею

Нехай, далі, - розбиття відрізка-тої координатної вісі простору ; - розбиття одиничного брусапороджене розбиттями

Нехай вимірна матриця задана набором векторів, в якому вектор має порядок .Покладемо

Теорема 2.14. Нехай неперервне у середньому квадратичному векторне гауссове випадкове поле з нульовим математичним сподіванням і виконуються наступні умови: 1) кореляційні функції раз неперервно диференційовні на множиніі виконується нерівність,

де - евклідова норма в ;

2)виконуються нерівності ;

3)і при Тоді з імовірністю одиниця при У розділі 3 досліджується збіжність у середньому квадратичному інтегральних сум. При цьому розглядаються інтегральні суми неперервного в середньому порядку чотири випадкового поля за приростами векторного випадкового поля бакстерівського типу.

У підрозділі 3.1 отримано нерівність між нормою у просторі Орліча, породженому функцієюі середньоквадратичною нормою лінійної комбінації незалежних передгауссових випадкових величин. Таку ж нерівність встановлено для норми Орліча центрованої квадратичної форми гауссових випадкових величин.

Нехай - імовірнісний простір, Простір класів еквівалентностей випадкових величинназивається простором Орліча, що породжений функцією і позначається . Відомо, що - банаховий простір з нормою

Теорема 3.2. Нехай - гауссовий випадковий вектор з нульовим математичним сподіванням і невиродженою коваріаційною матрицею ; - симетрична матриця і (верхній індекс означає транспонування). Тоді де

У підрозділі 3.2 за допомогою нерівності для норми Орліча центрованої квадратичної форми гауссових випадкових величин доведена збіжність у просторі Орліча до детермінованої сталої бакстерівських сум векторного гауссового випадкового поля. Знайдені умови збіжності у середньому квадратичному інтегральних сум, утворених значеннями у проміжних точках не обов'язково гауссового, неперервного у середньому порядку чотири випадкового поля і приростами векторного гауссового випадкового поля.

Нехай - відкрита множина у векторне гауссове випадкове поле з нульовим математичним сподіванням та кореляційною матрицею

Введемо наступні позначення:

i) - розбиття - вимірного паралелепіпедана паралелепіпеди з ребрами, паралельними координатним осям простору ;

ii) - дрібність розбиття;

iii) - довжини ребер паралелепіпеда;

iv) - набір проміжних точок, що відповідає розбиттю ;

v) ;

vi) - вимірна матриця, задана векторами в якому вектор має порядок ,

Теорема 3.3. Нехай - векторне гауссове випадкове поле з нульовим математичним сподіванням і виконуються наступні умови: 1)

2) для деякого вектора з невід'ємними координатами,

такого що та функцій існує рівномірна відносно границя ;

3) , причому виконується нерівність

Тоді у нормі простору Орліча при , де

Теорема 3.4. Нехай випадкове поле, , неперервне у середньому порядку чотири на та виконуються умови теореми 3.3. Тоді існує границя у середньому квадратичному інтегральних сум

У підрозділі 3.3 досліджується збіжність інтегральних сум з приростами векторного негауссового випадкового поля. Від гауссовості вдалося відмовитися за рахунок умов на моменти четвертого, шостого та восьмого порядків випадкового поля. Результат про збіжність інтегральних сум застосовується для означення стохастичного інтеграла виду з диференціалом по векторному випадковому процесу бакстерівського типу. Доведена формула Іто для такого інтеграла.

Нехай тепер - векторне випадкове поле без припущення гауссовості з нульовим математичним сподіванням та кореляційною матрицею кожна компонента якого має на множинімомент восьмого порядку. Для скінченної множиниз парним числом елементів символом позначимо сукупність всіх можливих розбиттів множини на пари. Визначимо функції наступним чином. Покладемо

Теорема 3.5. Нехай - векторне випадкове поле з нульовим математичним сподіванням, кожна компонента якого має на множині момент восьмого порядку, - вимірний паралелепіпед і виконуються наступні умови:

1)2) для деякого вектора з невід'ємними координатами, такого що та функцій існує рівномірна відносно границя ;

3) де нехай, далі, існують невід'ємні дійсні числа та невід'ємна стала , такі, що для довільних для всіх виконується нерівність

4) існує вектор з невід'ємними координатами, та невід'ємна сталатакі, що для довільних паралелепіпедіввиконуються нерівності:

Тодіу середньому порядку чотири при Тут

Теорема 3.6. Нехай випадкове поле,неперервне у середньому порядку чотири на та виконуються умови теореми 3.5. Тоді для довільного паралелепіпеда, для всіхіснує границя у середньому квадратичному інтегральних сум,

де - набір проміжних точок, що відповідає розбиттю паралелепіпеда.

Означення 3.2. Випадковий процес називається інтегровним відносно випадкового процесу , якщо існує границя у середньому квадратичному де лівий кінець відрізка Цю границю будемо позначати символом і називати стохастичним інтегралом випадкового процесу відносно випадкового процесу.

Теорема 3.7. Нехай функція тричі неперервно диференційовна на та має обмежені на похідні третього порядку. Векторний випадковий процес задовольняє умовам теореми 3.5 при. Тоді векторний випадковий процес інтегровний відносно векторного випадкового процесу на відрізку і

У підрозділі 3.4 досліджена залежність границі інтегральних сум для стохастичного інтеграла від правила вибору проміжних точок. Визначені -зважений та симетричний стохастичний інтеграл відносно випадкового процесу бакстерівського типу та отримані аналоги формули Іто для цих інтегралів.

Нехай - відкрита множина на прямій, та - скалярні випадкові процеси; - розбиття відрізка - приріст випадкового процесу на відрізку; - відповідно лівий та правий кінці відрізка - міра Лебега на прямій відрізка.

Означення 3.3. Для -зваженим стохастичним інтегралом випадкового процесу відносно випадкового процесу на відрізку називається границя в середньому квадратичному якщо така границя існує. Символом позначимо -зважений стохастичний інтеграл випадкового процесу відносно випадкового процесу на відрізку . При цей інтеграл називається симетричним.

Теорема 3.8. Нехай функція тричі неперервно диференційовна на та має обмежені на похідні третього порядку. Скалярний випадковий процесзадовольняє умовам теореми 3.5 при. Тоді для довільного відрізка та довільного числа існує -зважений стохастичний інтеграл випадкового процесу відносно випадкового процесу на відрізку

Об'єктом дослідження у розділі 4 є послідовності східчастих випадкових функцій, побудованих за допомогою бакстерівських сум гауссових випадкових полів. Знайдені умови слабкої збіжності у просторі Скорохода цієї послідовності випадкових функцій до багатопараметричного броунівського руху - поля Ченцова.

Прирости випадкового поля на паралелепіпедах розбиття параметричної множини утворюють серію залежних випадкових величин. Тому спочатку, у підрозділах 4.1 і 4.2, доведена функціональна центральна гранична теорема для послідовності випадкових полів, побудованих за допомогою нормованих сум нелінійних функцій для послідовності мультиіндексних серій випадкових величин, які у кожній серії мають сумісний гауссовий розподіл з нульовим математичним сподіванням. Доведена слабка збіжність скінченновимірних розподілів цієї послідовності випадкових полів до скінченновимірних розподілів випадкового поля Ченцова. Для доведення слабкої збіжності скінченновимірних розподілів використаний прийом Крамера-Уолда та метод моментів. Аналіз поведінки моментів проведений за допомогою діаграмної формули, яка виражає математичне сподівання добутку многочленів Ерміта від гауссових випадкових величин через їх взаємні кореляції. Доведена щільність послідовності мір.

Нехай - послідовність серій випадкових величин, які у кожній серії мають сумісний гауссовий розподіл з нульовим математичним сподіванням та - вимірною кореляційною матрицею

де Нехай, далі, функціямає ранг Ерміта Для точки покладемо

У просторі Скорохода розглянемо послідовність випадкових функційНехай- гауссове випадкове поле Ченцова, - міра, породжена цим полем у просторі Скорохода Виявляється, що за деяких умов тобто послідовність розподілів випадкових функцій слабко збігається у просторі Скорохода до міри у цьому просторі.

Теорема 4.1. Нехай функція має ранг Ерміта і виконуються наступні умови: 1) для довільних паралелепіпедів без спільних внутрішніх точок, для довільних та натурального числа існує скінченна границяде символ Кронекера; 4) Тоді існує скінченна границя і скінченновимірні розподіли випадкових полів слабко збігаються до скінченновимірних розподілів поля Ченцова.

Теорема 4.2, у якій стверджується слабка збіжність послідовності ймовірнісних мір до імовірнісної міри, містить додаткові умови на нелінійну функцію .

Означення 4.2 Taqqu M.S. Law of the iterated logarithm for sums of non-linear functions of Gaussian variables that exhibit a long range dependence // Z. W. und verw. Gebite. - 1977. - Vol. 40. - P. 203 - 238.. Нехай - гауссова стандартна випадкова величина, функціїтакі, що. Кажуть, що набір функційналежить класу , якщо:

1) для довільного гауссового векторавиконується рівність

Теорема 4.2. Нехай виконані умови теореми 4.1, функція. Тоді тобто послідовність розподілів у просторі Скорохода випадкових полів слабко збіжна до розподілу , породженого полем Ченцова.

У підрозділі 4.3 встановлена функціональна гранична теорема у просторі

Скороходадля послідовності східчастих випадкових процесів, побудованих за допомогою нелінійних функцій та -приростів випадкового процесу дробового броунівського руху. Отримані наслідки для випадку функцій та приростів другого порядку.

Нехай- випадковий процес дробового броунівського руху, тобто гауссовий випадковий процес з нульовим математичним сподіванням та кореляційною функцієюдеНехай для кожного натурального числа -рівномірне розбиття відрізка з кроком ; - вектор го порядку;-приріст випадкового процесу на відрізку

У просторі Скорохода розглянемо послідовність випадкових процесівде

Теорема 4.3. Нехай функція має ранг Ерміта , задовольняє умовам теореми 4.2 і виконуються наступні умови:

1)2)де - коефіцієнти Чебишова-Ерміта функції,

Тоді послідовність розподілів у просторі Скорохода випадкових процесів слабко збіжна до розподілу , породженого стандартним броунівським рухом

Наслідок 4.2 Послідовність випадкових величин

асимптотично нормальна із середнім нуль і дисперсією .

Підрозділ 4.4 містить функціональну центральну граничну теорему для послідовності східчастих полів, побудованих за допомогою нелінійної функції та -приростів гауссового поля для матриці , визначеної рівністю (2.4). Розглянуто приклад застосування цієї теореми для випадкового поля багатопараметричного дробового броунівського руху.

Нехай- гауссове випадкове поле з нульовим математичним сподіванням та кореляційною функцією -вимірна матриця (2.4), яка задає приріст порядку випадкового поля на -вимірному паралелепіпеді Через позначимо рівномірне розбиття одиничного -вимірного паралелепіпеда

Розглянемо послідовність східчастих випадкових полів

Означення 4.3. Неперервне у середньому квадратичному випадкове поле називається випадковим полем з однорідними -приростами, якщо для довільних з додатними координатами існує функція така, що

Теорема 4.4. Нехай - гауссове випадкове поле з однорідними -приростами, нульовим математичним сподіванням, кореляційною функцією, функція має ранг Ерміта і виконуються наступні умови:

1) кореляційна функція раз неперервно диференційовна при і для деякого показника, сталої має місце нерівність, де - евклідова норма в;

2)3)

4) існує скінченна границя ,

де ;5) де- стандартна гауссова випадкова величина; Тоді скінченновимірні розподіли випадкових полів слабко збігаються до скінченновимірних розподілів поля Ченцова

Наслідок 4.3. Нехай виконуються умови теореми 4.4. Тоді послідовність випадкових величин асимптотично нормальна із середнім нуль та дисперсією одиниця.

Теорема 4.5. Нехай випадкове поле і функція задовольняють умовам теореми 4.4 і, крім того, функція задовольняє умовам теореми 4.2. Тоді послідовність розподілів у просторі Скорохода випадкових полів слабко збігається до розподілу випадкового поля Ченцова

У розділі 5 збіжність бакстерівських сум застосовується для оцінювання параметрів кореляційних функцій гауссових випадкових процесів і полів. Побудовані області надійності для параметрів, що оцінюються.

У підрозділі 5.1 розглядається оцінка параметра Хюрста дробового броунівського руху за спостереженнями випадкового процесу на дискретній підмножині одиничного відрізка. Побудовані інтервали надійності, отримані твердження про швидкість збіжності з імовірністю одиниця.

Нехай для натурального числа ,

приріст дробового броунівського руху на відрізку. Нехай

послідовність бакстерівських сум дробового броунівського руху. Покладемо

Зокрема,.

Безпосередній підрахунок дозволяє отримати наступні формули для математичного сподівання та дисперсії випадкової величини Для довільного має місце збіжність з імовірністю одиниця. Функція неперервна і спадна на інтервалі, Нехай - функція, обернена до функції Покладемо Тоді з ймовірністю одиниця при .

Теорема 5.2. Статистика сильно конзистентною оцінкою параметра Хюрста.

Теорема 5.4. Нехай фіксовані,.

Тоді інтервал ,

де

є інтервалом надійності для параметра Хюрста з коефіцієнтом довіри .

Теорема 5.5. Нехай фіксовані,

Тоді існує додатна стала та множина ймовірності нуль, такі, що

У підрозділі 5.2 на основі бакстерівських статистик побудовані конзистентні оцінки параметрів гауссових однорідних випадкових полів певного класу. Знайдено еліпсоїди надійності.

Нехай- однорідне гауссове випадкове поле з нульовим математичним сподіванням і кореляційною функцією. Для рівномірного розбиття з крокомвідрізка-тої координатної осі, , розглянемо прирости першого порядку

вектор, який лежить на -тій координатній осі,. Для кожного покладемо

...