Граничні теореми для бакстерівських сум випадкових функцій та їх застосування для оцінок параметрів

Нехай кореляційна функція - гауссового однорідного випадкового поля неперервна на -вимірному паралелепіпеді , двічі неперервно диференційовна за -тою змінною при , причому

частинні похідні другого порядку за -тою змінною обмежені сталою . Покладемо

Теорема 5.6. Нехай - гауссове однорідне випадкове поле з нульовим математичним сподіванням, кореляційною функцією двічі неперервно диференційовною за змінною при , причому. Тоді для довільного з імовірністю одиниця.

Для оцінювання векторного параметра (тут і далі верхній індекс означає транспонування) за спостереженнями гауссового випадкового поляу точках вигляду координатних осей одиничного -вимірного паралелепіпеда розглянемо статистику Якщо кореляційна функція гауссового однорідного випадкового поля задовольняє умовам теореми 5.6, то і тому, на підставі

цієї теореми, з імовірністю одиниця при. Отже, статистика - сильно конзистентна оцінка параметра .

Наслідок 5.1. Нехай - гауссове однорідне випадкове поле з нульовим математичним сподіванням, яке задовольняє умовам теореми 5.6. Тоді статистика є сильно конзистентною оцінкою параметра і для коефіцієнта довіривиконується нерівність

де- корінь рівняння ;

- замкнена куля у просторі з евклідовою метрикою.

Теорема 5.8. Нехай - гауссове однорідне випадкове поле з нульовим математичним сподіванням, яке задовольняє умовам теореми 5.6. Тоді існує множина імовірності нуль, така, що

Підрозділ 5.3 містить сильно конзистентну оцінку параметра багато- параметричного дробового броунівського руху. Побудовані інтервали надійності для цього параметра та оцінена швидкість збіжності оцінки.

Нехай - багатопараметричний дробовий броунівський рух - гауссове випадкове поле з нульовим математичним сподіванням і кореляційною функцієюде- евклідова норма в

Розглянемо наступні прирости другого порядку випадкового поля на - вимірному паралелепіпеді

Через позначимо рівномірне розбиття -вимірного паралелепіпеда :

- натуральне число. Покладемо

Теорема 5.10. Статистика є сильно конзистентною оцінкою параметра.

Теорема 5.11 дисертації містить інтервал надійності для параметра, а у теоремі 5.12 оцінена швидкість збіжності оцінки до істинного значення параметра з імовірністю одиниця.

У підрозділі 5.4 побудована та досліджена асимптотично незсунена сильно конзистентна оцінка параметра Хюрста (параметра пам'яті) для однієї моделі гауссової стаціонарної випадкової послідовності. Знайдено інтервал надійності та досліджена швидкість збіжності з ймовірністю одиниця.

Нехай - стаціонарна гауссова послідовність з нульовим середнім значенням та кореляційною функцією, яка залежить від параметра Хюрста , і виконується наступні припущення:

1) 2) де- відома неперервно диференційовна і строго монотонна на інтервалі функція, причому 3) для деяких чисел та має місце співвідношення

Задача оцінювання формулюється наступним чином. За спостереженнямиде , потрібно побудувати оцінку параметра Хюрста . Длястаціонарна гауссова послідовність є процесом з довгою пам'яттю.

Пропонована оцінка параметра Хюрста для розглядуваної моделі ґрунтується на статистиці

Теорема 5.13. Нехай стаціонарна гауссова випадкова послідовність задовольняє припущенням 1) - 3). Тоді

з імовірністю одиниця при .

Функція неперервна і строго монотонна на інтервалі . Нехай обернена функція до функції . Спочатку оцінюється параметр а потім за допомогою функції знаходиться оцінка параметра Хюрста . Покладемо

Статистика є незсуненою і сильно конзистентною оцінкою параметра. Множиною визначення функції є інтервал, який ми позначимо через. Покладемо

Теорема 5.14. Статистика , визначена рівністю (5.46), є асимптотично незсуненою та сильно конзистентною оцінкою параметра Хюрста .

Побудовано інтервал надійності. У теоремі 5.15 дисертації оцінена швидкість збіжності оцінки до істинного значення параметра з імовірністю одиниця.

Непараметрична оцінка функції заміни часу за спостереженнями на дискретній підмножині часового проміжку гауссового випадкового процесу де - стаціонарний гауссовий випадковий процес з нульовим середнім значенням та відомою кореляційною функцією, отримана у підрозділі 5.5.

Нехайде - стаціонарний випадковий процес з нульовим математичним сподіванням і кореляційною функцією - функція заміни часу і виконані наступні припущення:

(Р1) для деяких дійсних чисел івиконується

співвідношення

(Р2) при існує друга похідна і для деякого числа

(Ф)для всіх

Для натурального числа покладемо Розглянемо наступну оцінку для функції заміни часу у точці за спостереженнями випадкового процесу у точках

Теорема 5.18. Нехай виконуються припущення (Р1), (Р2), (Ф). Тоді для кожногоє конзистентною у середньому квадратичному оцінкою . При має місце співвідношення

ВИСНОВКИ

У дисертації розроблена система граничних теорем для бакстерівських сум випадкових функцій та їх застосування для оцінювання параметрів у статистиці випадкових процесів і полів. Це виявляється у наступних основних результатах.

Означені прирости функції багатьох змінних на багатовимірному паралелепіпеді та доведені їх певні властивості. Використання приростів загального виду у теоремах бакстерівського типу для випадкових процесів та полів розширює клас випадкових функцій, для яких послідовність бакстерівських сум збігається у тому чи іншому сенсі до детермінованої додатної сталої.

Отримані умови застосування закону великих чисел у схемі серій для нелінійних функцій від залежних гауссових випадкових величин. Ці умови наведені у термінах коефіцієнтів Чебишова-Ерміта нелінійної функції та кореляційних матриць серій гауссових випадкових величин.

Досліджена збіжність до детермінованої сталої у тому чи іншому сенсі бакстерівських сум для нелінійних функцій від приростів гауссових випадкових полів та квадратів приростів сумісно строго субгауссових випадкових полів.

Отримані теореми бакстерівського типу для негауссових випадкових полів на вимірних за Жорданом множинах.

Встановлені умови збіжності з імовірністю одиниця до детермінованої сталої послідовності білінійних форм від приростів векторного гауссового випадкового поля. У порівнянні з бакстерівськими теоремами для нелінійних функцій від приростів гауссових випадкових полів, послаблені умови на швидкість збіжності до нуля послідовності діаметрів розбиттів: за певних умов, при , де - вимірність параметричного простору, має місце збіжність із імовірністю одиниця бакстерівських сум.

Знайдена границя у середньому квадратичному інтегральних сум, утворених значеннями у проміжних точках не обов'язково гауссового, неперервного у випадкового поля і приростами векторного гауссового випадкового поля бакстерівського типу. Досліджена також збіжність інтегральних сум із приростами векторного випадкового поля (не обов'язково гауссового) бакстерівського типу.

Визначений стохастичний інтеграл із диференціалом по векторному випадковому процесу бакстерівського типу. Встановлена формула Іто для такого інтеграла. Визначені -зважений та симетричний стохастичний інтеграли відносно випадкового процесу бакстерівського типу та отримані аналоги формули Іто для таких інтегралів.

Отримана функціональна центральна гранична теорема у просторі Скорохода функцій багатьох змінних для послідовності випадкових полів, побудованих за допомогою нормованих сум нелінійних функцій та мультиіндексної послідовності серій випадкових величин, які у кожній серії мають сумісний гауссовий розподіл з нульовим математичним сподіванням. Для цього доведена слабка збіжність скінченновимірних розподілів цих полів до скінченновимірних розподілів випадкового поля Ченцова та щільність послідовності мір у просторі Скорохода . Умови сформульовані в термінах кореляційних матриць серій випадкових гауссових величин та коефіцієнтів розкладу нелінійної функції за многочленами Чебишова-Ерміта.

Отримана функціональна центральна гранична теорема у просторі Скорохода функцій без розривів другого роду для послідовності східчастих випадкових процесів, побудованих за допомогою нелінійної функції та -приростів дробового броунівського руху. Розглянуто наслідок цієї теореми у випадку функції При цьому виявилося, що для приростів першого порядку умови теореми виконуються лише для , а для -приростів другого і вище порядків твердження функціональної граничної теореми має місце для всіх значень параметра Хюрста .

Доведена функціональна центральна гранична теорема у просторі Скорохода для послідовності східчастих випадкових полів, побудованих за допомогою нелінійних функцій від приростів гауссових випадкових полів. Розглянуто приклад застосування отриманого результату для багатопараметричного дробового броунівського руху і показано, що у цьому випадку умови теореми виконуються для всіх значень параметра

Теореми бакстерівського типу для гауссових випадкових процесів і полів із використанням А-приростів успішно застосовуються у статистиці випадкових процесів для оцінювання параметрів кореляційних функцій. При цьому, на відміну від інших методів, вдається побудувати неасимптотичні області надійності для цих параметрів.

Отримана сильно конзистентна оцінка параметра Хюрста дробового броунівського руху, а також побудовані інтервали надійності для цього параметра та доведені твердження про швидкість збіжності із імовірністю одиниця.

Для певного класу гауссових однорідних випадкових полів на основі бакстерівських статистик побудовані конзистентні оцінки параметрів кореляційних функцій та знайдені еліпсоїди надійності.

Побудована сильно конзистентна оцінка параметра, що входить до кореляційної функції багатопараметричного дробового броунівського руху. Визначені інтервали надійності для цього параметра та оцінена швидкість збіжності оцінки.

У межах певної моделі побудована та досліджена асимптотично незсунена сильно конзистентна оцінка параметра пам'яті гауссової стаціонарної випадкової послідовності. Знайдений інтервал надійності та досліджена швидкість збіжності з імовірністю одиниця.

Побудована непараметрична оцінка функції заміни часу стаціонарного гауссового випадкового процесу з нульовим середнім значенням та відомою кореляційною функцією.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Курченко O.O. Теорема бакстеровского типа длявекторного гауссовского случайного поля// Теор. вер. и матем. статистика. - 1984. - Вып. 30. - C. 107 - 113.

2. Курченко O.O. Предел интегральных сумм и функционалы типа Леви-Бакстера// Теор. вер. и матем. статистика. - 1985. - Вып. 33. - C. 53 - 57.

3. Курченко O.O. Предел интегральных сумм, связанных с процесами бакстеровского типа// Теория случ. проц. - 1987. - Вып. 15. - C. 60-64.

4. Курченко O.O. Симметрическийстохастическийинтеграл по бакстеровским процессам// Теор.вер. и матем. статистика.- 1989. - Вып. 40. - C. 51 - 56.

5. Курченко O.O. Нерівності для норми Орліча лінійної форми передгауссівських випадковихвеличин// Теор. ймов. та матем. статистика. - 1994. - Вип. 50. - C. 97 - 100.

6. Курченко O.O. Одна гранична теорема для гауссового поля// Теорія ймовірностей та матем. статистика. - 1995. - Вип. 53. - C. 76 - 79.

7. Курченко O.O. Варіанттеореми Леві-Бакстера для гауссівського випадкового поля// Вісн. Київського університету, сер. фізико- матем. науки, - 1997. - № 1. - С. 97 - 107.

8. Курченко O.O. Границі -варіації гауссівського випадкового поля// Доп. НАН України. - 1999. - № 8. - C. 17 - 20.

9. Курченко O.O. Збіжність F-варіації гауссового випадкового поля// Теор. ймов. та матем. статистика. - 1999. - Вип. 60. - C. 98 - 108.

10. Курченко O.O. Функціональна центральна гранична теорема для бакстерівських сум дробового броунівського руху// Теор. ймов. та матем. статистика. - 1999. - Вип. 61. - C. 86 - 90.

11. Kozachenko Yu.V., Kurchenko O.O. An estimate for the multiparameter FBM// Theory of Stochastic Processes. - 1999. - Vol. 5 (21), No 3 - 4. - P. 113 - 119.

12. Курченко O.O. Центральна гранична теорема для бакстерівських сум гауссівських випадковихполів// Доп. НАН України - 2000. - № 3. - C. 19 - 23.

13. Козаченко Ю. В., Курченко O.O. Оцінювання параметрів гауссівських однорідних випадкових полів// УМЖ. - 2000. - Том 52, № 8. - C. 1082 - 1088.

14. Курченко O.O. Збіжність у просторі однієї послідовності випадкових полів// Теор. ймов. та матем. статистика. - 2001. - Вип. 64. - C. 82 - 91.

15. Kurchenko O.O. Estimation for the function of a time deformation in the mode of the stationary reduction// Theory of Stochastic Processes. - 2001. - Vol. 7 (23). - P. 231 - 235.

16. Курченко O.O. Принцип інваріантності у схемі серій для нелінійних функцій від гауссових випадкових величин// Доп. НАН України. - 2002. - № 1. - C. 43 - 47.

17. Курченко O.O. Одна сильно консистентна оцінка параметра Хюрста дробового броунівського руху // Теор. ймов. та матем. статистика. - 2002. - Вип. 67. C. 45 - 54.

18. Kurchenko O.O. Confidency intervals and rate of convergency for the estimates of Hurst parameter of the FBM// Theory of Stochastic Process. - 2002, Vol. 8 (24). - P. 242 - 249.

19. Курченко O.O. Одна оцінка параметра пам'яті стаціонарної гауссівської випадкової послідовності// Вісник Київського університету ім. Тараса Шевченка. Математика. Механіка. - 2003. - Вип. 9 -10. - C. 53 - 56.

20. Курченко O.O. Збіжність бакстерівських сум для випадкових полів на жорданових множинах// Вісник Київського університету, Серія: фізико-математичні науки. - 2002 - Вип. 5. - C. 83 - 89.

21. Курченко О.О., Наумов М.Є. Одна сильноконсистентнаоцінка параметра ARIMA(0,D,0) процесу // Вісник Київського університету ім. Тараса Шевченка. Математика. Механіка. - 2005. - Вип. 13. - C. 38 - 40.

22. Курченко O.O. Предел интегральных сумм типаЛеви-Бакстера // Тезисы Четвертой Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике. - Том 2. - Вильнюс: - 1985. - С. 89 - 90.

23. Курченко О.О. Одна гранична теорема для гауссівського випадкового поля // П'ята Міжнародна Наукова Конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - Київ. - 1996. - С. 225.

24. Курченко О.О. Одна версія теореми Бакстера длягауссівського випадкового поля // Шоста Міжнародна Наукова Конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - Київ. - 1997. - С. 239.

25. Курченко О.О. Границі для простих приростів гауссового випадкового поля // Сьома Міжнародна Наукова Конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - Київ. - 1998. - С. 258.

26. Курченко О.О. Одна непараметричнаоцінка в моделі стаціонарної звідності // Восьма Міжнародна Наукова Конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - Київ. -2000. - С. 447.

27. Курченко О.О. Одна оцінка параметра Хюрста дробового броунівського руху // Conf. Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics. Abstracts. - Kyiv. - 2001. - C. 39 - 40.

28. Курченко О.О. Теореми Леві-Бакстера і оцінка параметра Хюрста дробового броунівського руху // Дев'ята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - Київ. -2002. - С. 435.

29. Курченко О.О. Одна оцінка параметра пам'яті стаціонарної гауссівської випадкової послідовності // Десята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - Київ. - 2004. - С. 608.

30. Курченко О.О., Наумов М.Є.Одна сильно консистентна оцінка параметра ARIMA(0,d,0) процесу // Conf. Functional Methods in Appr. Th., Operator Th., Stoch. Analysis and Statistics II dedicated to the memory of A. Ya. Dorogovtsev (1935 - 2004) Abstracts. - Kyiv. - 2004. - C. 72.

31. Курченко О.О. Оцінювання функції заміни часу для процесу дробового броунівського руху // International conference Modern problems and new trends in probability theory. Abstracts I. - Chernivtsi. - 2005. - C. 138.

32. Kurchenko O.O. The limit of integral sums for a vector valued Gaussian random field // Proc. of the Second Ukrainian - Hungrian Conference. - Mukachevo. - 1995. - P. 128 - 130.

33. Kurchenko O.O. Convergence of theF-variation for Gaussian Random Fields // Abstracts of the Third Ukrainian-Scandinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics. - Kyiv. - 1999. - P. 85.

34. Kurchenko O.O. Central limit theorem for the quadratic variation of the Gaussian random field // Abstracts of communications. XX International Seminar on Stability Problems for Stoch. Models. - Lublin - Naleczow. - 1999. - P. 102.

35. Kurchenko O.O. Functional central limit theorem for Baxter sums of Gaussian random fields // The International Conference “Stochastic Analysis and its Applications”. Abstracts of Communications. - Lviv. - 2001. - P. 42.

36. Kurchenko O.O. Estimates of Hurst parameter of the FBM //International Gnedenko Conference. Abstracts. - Kyiv. - 2002. - P. 92.

Размещено на Allbest.ru