Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 512.548

БАГАТОМІСНА АСОЦІАТИВНІСТЬ І ПОВ'ЯЗАНІ З НЕЮ ГРУПОЇДИ

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ІВАЩУК ОЛЕНА ВОЛОДИМИРІВНА

Київ - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Вінницькому державному педагогічному університеті імені Михайла Коцюбинського МОН України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Сохацький Федір Миколайович, Вінницький фінансово-економічний університет, професор кафедри економічної кібернетики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Воробйов Микола Тимофійович, Вітебський державний університет імені П.М. Машерова, завідувач кафедри алгебри і методики викладання математики;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Дереч Володимир Дмитрович, Вінницький національний технічний університет, доцент кафедри вищої математики.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка.

Захист відбудеться “30” травня 2006 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “ 26 ” квітня 2006 року.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

асоціат оборотність поліагрупа ізотопія

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У другій половині 20-го століття стрімко зросла ефективність застосування теорії бінарних груп у найрізноманітніших галузях науки таких як кристалографія, алгебра, геометрія, теорія кодувань, комбінаторика, фізика, диференційна геометрія тощо. До того ж ці застосування посилювались значними успіхами в розвитку теорії груп. Природно, що постало питання про розширення отриманих завдяки теорії груп ефективних методів дослідження. І зрозуміло, що перш за все постало питання про узагальнення поняття бінарної групи. До таких узагальнень можна віднести напівгрупи, квазігрупи, груди та напівгруди тощо.

Ще одним досить розповсюдженим узагальненням стало поняття n-арної групи. Їх вивчення було розпочато на початку XX сторіччя в праці В. Дьорнте Dцrnte W. Untersushingen ьber einen verallgeweinerten Gruppenbegriff //Math.Zeitschrift. - 1928. - Bd.29. - S.1 - 19. за ініціативою Емми Ньотер. Першою монографією, в якій присвячено окрему главу з цієї тематики, є монографія А.К. Сушкевича Сушкевич А. К. Теория обобщенных групп//Харьков - Киев: ДНТВУ, 1937. - 176 с.. А саме, глава VІІ присвячена вивченню n-арних операцій. В першій частині цієї глави вивчаються n-арні групи (косий елемент, первісні та похідні n-арні групи), а в другій частині - груди, що є частково асоціативними групоїдами, тобто групоїдами з тернарними операціями, в яких дужки можна “пересувати” з початкового на кінцеве місце.

Наступною вагомою працею у вивчені асоціативних багатомісних операцій стала об'ємна праця Е. Поста Post E.L. Polyadic groups//Trans. Amer. Math.Soc. - 1940. - Vol.48, No 2. - P. 208 - 350., в якій значно розвинута теорія n-арних груп.

Використовуючи властивості n-квазігруп, А.А. ГвараміяГварамия А.А. Автоматы с квазигруппой входных сигналов// Сообщ. АН ГрузССР. - 1985. - Т.117, No1. - C. 25 - 28. одержав важливі результати з теорії автоматів, В.Д. Білоусов і А.С. Бектєнов Белоусов В.Д., Бектенов А.С. Пространственные сети и их координатизация// АН МССР. - Кишинёв, 1979. - С. 32. описали просторові сітки, а властивості n-груп були застосовані Д. Вакарєловим Вакарелов Д. Тернарни групи// Годишник Софийск. ун-та. Мат. фак.1966 - 1967. - 1968. - Т. 61. - С. 71 - 105. у геометрії та Дж.В. Гржималою-Бусе Grzymala-Busse G. W. Automorphisms of Polyadic Automata// J. Assoc. Computing Machinery. - 1969. - Vol. 16, No2. - P.208 - 219. при вивченні поліадичних автоматів.

Надалі в ряді праць показано, що n-групи є абстрактним аналогом багатомісних підстановок відносно їх послідовного виконання. Інакше кажучи, кожна множина всіх багатомісних підстановок деякої послідовності множин відносно їх послідовного виконання (композиції) є n-групою і навпаки, кожна n-група ізоморфна деякій n-групі багатомісних підстановок. При цьому n-арну групу одразу ще В. Дьорнте визначив, говорячи сучасною термінологією, як асоціативну квазігрупу. Асоціативність визначалась подібно до бінарного випадку: результат дворазового застосування операції до однієї і тієї ж послідовності елементів не залежить від розташування дужок. Проте, на відміну від бінарного випадку, для багатомісних операцій асоціативність визначається не однією тотожністю, а серією таких тотожностей, кожна з яких дозволяє “пересувати” дужки з і-того на j-те місце і називається тотожністю (і,j)-асоціативності. Ф.М. Сохацьким Сохацкий Ф.Н. Об ассоциативности многоместных операций// Дискретная математика. - 1992. - Т.4, Вып.1. - С. 66-84. знайдено залежність між тотожностями (і,j)-асоціативності і встановлено, що вивчення всіх (і,j)-асоціативних групоїдів, які мають принаймні один оборотний елемент, зводиться до вивчення асоціатів та поліагруп, які є n-напівгрупами та n-групами, коли степінь асоціативності дорівнює одиниці, тобто асоціати і поліагрупи є частково асоціативними багатомісними групоїдами. Перші пропозиції щодо вивчення частково асоціативних групоїдів також з'явились разом із групами. Це груди, яким присвячено половину глави книги А.К. Сушкевича, що написана на основі статті Ганса Прюфера Prьfer Heinz. Theorie der Abelschen Gruppen, I//Gundeigenschaften, Math.Zeitschrift. - 1924. - Bd. 20. - S. 165 - 187..

Одна з перших задач, які виникають - це знаходження системи аксіом для поліагруп.

В.Д. Білоусов Белоусов В.Д. Скрещенные изотопии квазигрупп// Квазигруппы и их системы. - Кишинёв: Штиинца, 1990. - С. 14-20., узагальнюючи поняття ізотопії, ввів поняття схрещеної ізотопії для квазігрупових операцій і знайшов будову схрещених автотопій довільної групи. Виявилось, що всі ліві і всі праві квазігрупи схрещено ізотопні між собою. Це означає, що з метою описання квазігруп класу досить описати схрещені ізотопії, які є між класом добре вивчених квазігруп, наприклад групами, та квазігрупами класу .

Ф.М. Сохацький Сохацький Ф.М. Про схрещену ізотопію та схрещений ізоморфізм// Труды института прикладной математики и механики НАН Украины. - 2005. - Вып.11. - С. 23 - 33. ввів поняття схрещеної ізотопії та схрещеного ізоморфізму для багатомісних операцій і встановив основні їх властивості. Подібно до бінарного випадку природним є питання про описання схрещених ізотопій та схрещених ізоморфізмів між багатомісними групами (поліагрупами) та фіксованими класами групоїдів.

Зі сказаного випливає актуальність теми, що вивчається.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження багато-місної асоціативності й ізотопії є частинами наукових планів Вінницького державного педагогічного університету ім. М. Коцюбинського та державних наукових тем, які викону-вались у цьому університеті під науковим керівництвом Ф.М. Сохацького: 1) №44/5 АН “Дослідження багатомісних функцій за допомогою суперпозицій” (1990 - 1994 роки); 2) №82 “Дослідження багатомісних функцій та операцій над ними” (1995 - 1996 роки); 3) №44/2 “Дослідження багатомісних функцій та відповідних алгебр” (1997 - 1999 роки); 4) №95 “Дослідження багатомісних функцій та відношень алгебраїчними методами” (2000- 2001 роки).

Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є вивчення багатомісних асоціатів, напівгруп та їх узагальнень. Об'єктом дослідження є багатомісна асоціативність і відповідні групоїди. Завдання досліджень: встановити критерії оборотності елементів в асоціатах та описати аксіоматики майже поліагруп; вивчити властивості схрещеної ізотопії та схрещених ізоморфів поліагруп.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати цієї дисертації є новими. Відмітимо деякі основні результати, одержані автором дисертації, зазначаючи при цьому ступінь новизни: встановлено низку критеріїв кратної r оборотності елемента в не бінарному асоціаті сорту (r,s,n) (узагальнено результати Ф.М. Сохацького, Л.М. Глускіна); встановлено на мові оборотних елементів аксіоматику майже поліагруп, поліагруп, багатомісних груп (узагальнено результати Ф.М. Сохацького, А.М. Гальмака, С.А. Русакова, В.І. Тютіна, В. Дудека, К. Глазека, Б.Гляйхгевіхта, Н. Целакоського); знайдено аксіоматики майже поліагруп і багатомісних груп через нейтральні операції (узагальнено результати В. Дудека, Д. Ушана і М. Жижович); встановлено аксіоматику майже поліагруп на мові нейтральних, симетричних та дзеркальних операцій (узагальнено результати Д. Ушана і Р. Каліча); доведено, що асоціат, внутрішньо схрещено ізотопний до квазігрупи, є поліагрупою; доведено, що для довільного і=0,1,...,n і-схрещений ізотоп максимального типу квазігрупи є квазігрупою тоді і тільки тоді, коли і-те ділення і-тої компоненти і-схрещеної ізотопії є і-ортогональним до певного (зазначеного) ізотопа даної (n+1)-арної квазігрупи (узагальнено результати В.Д. Білоусова); знайдено будову різних видів схрещених ізотопій та автотопій поліагруп; доведено, що група унітарних автотопій багатомісної групи, похідної від бінарної групи, співпадає з групою автоморфізмів цієї бінарної групи; доведено співпадання понять сильного схрещеного ізоморфізму та ізоморфізму у випадках: а) коли тип сильного схрещеного ізоморфізму не містить 1 або n-1, б) коли поліагрупи є медіальними і числа з множини {1,...,n-1}, які не належать типу сильного схрещеного ізоморфізму, є взаємно простими; знайдено будову сильного схрещеного ізоморфізму медіальних поліагруп; знайдено критерії комутативності та медіальності схрещеного ізоморфу поліагрупи.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер і можуть бути застосованими в алгебрі та в інших галузях науки. А саме, в алгебрі при вивченні перетворень множин; в багатозначній логіці при вивченні розкладів багатомісних функцій за допомогою суперпозицій; в дискретній математиці при вивченні гіперкубів тощо.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації належать дисертантці. Проте за результатами дисертації опубліковано дві статті ([1], [5]) і деякі з тез у співавторстві з Ф.М.Сохацьким. Результати співавтора в даній роботі не використовуються. В статті [1] постановка задачі і допоміжні твердження (наслідок 1, лема 1) належать Сохацькому Ф.М., розв'язання задачі належить Іващук О.В. В праці [5] Іващук О.В. належать пункти 3, 4 про комутативність та медіальність схрещених ізоморфів поліагруп, Сохацькому Ф.М належить пункт 5 про нейтральні елементи схрещених ізоморфів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, включених до цієї дисертації висвітлено на звітних наукових конференціях Вінницького державного педагогічного університету 1995, 1996 років, на ІІ міжнародній алгебраїчній конференції в Україні, присвяченій пам'яті Л.М. Калужніна (Вінниця, 1999), на ІІ математичній конференції республіки Молдова (Кишинів, 2004), на V міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Одеса, 2005), на декількох алгебраїчних семінарах з алгебри і дискретної математики при Вінницькому державному педагогічному університеті імені Михайла Коцюбинського, алгебраїчних семінарах при Інституті математики АН Молдови у Кишиневі (2005) і Інституті математики НАН України у Києві (2005).

Публікації. Основні результати дисертаційних досліджень опубліковано в роботах [1] - [11], список яких подано в кінці автореферату.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, 3 розділів, висновків та списку використаної та цитованої літератури з 74 джерел, обсяг якого 7 сторінок. Обсяг роботи 127 сторінок машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність дисертаційного дослідження, визначено мету, об'єкти дослідження, охарактеризовано основні результати дисертації.

У першому розділі зроблено огляд літератури, виділено напрямки дослідження, дано означення основних понять та подано допоміжні результати.

Нехай (Q;f) є (n+1)-арним групоїдом і нехай запис x позначає послідовність x_p, x_p+1,..., x_m при pm і порожню послідовність при p>m, а запис позначає послідовність a,..., a (k-разів).

Операція f називається: 1) (i,j)-асоціативною, якщо для довільних x₀,..., x_nQ має місце рівність f(x,f(x),x)=f(x,f(x),x);2) i-оборотною, якщо для будь-яких a₀,..., a_i-1, a_i+1,..., a_n, bQ рівняння f(a,x,a)=b має єдиний розв'язок; 3) оборотною або квазігруповою, якщо вона є i-оборотною для всіх i{0,...,n}.

Групоїд (Q;f) називається: асоціатом сорту (r,s,n), де r ділить s та s ділить n, якщо операція f є (i,j)-асоціативною для всіх (i,j) таких, що ij (mod s) та ij0 (mod r); квазігрупою, якщо операція f є оборотною; майже поліагрупою сорту (r,s,n), якщо він є асоціатом сорту (r,s,n) та операція f є i-оборотною для всіх i кратних r; NP-поліагрупою, якщо він є майже поліагрупою сорту (s,s,n); поліагрупою сорту (r,s,n), якщо він є квазігруповим асоціатом сорту (r,s,n); поліагрупою сорту (s,n), якщо він є поліагрупою сорту (1,s,n); (n+1)-групою, якщо він є поліагрупою сорту (1,1,n); похідним (майже похідним) від бінарної групи (Q;+), якщо для довільних x₀, x₁,…, x_nQ виконується рівність f(x)=x₀+x₁+...+x_n (f(x)=x₀+x₁+...+x_n+a, aQ).

Перетворення (x) множини Q, яке визначається рівністю (x):=f(,x,), i=0,1,...,n, називається і-тим зсувом групоїда (Q;f).

Нехай (Q;f) є асоціатом сорту (r,s,n). Елемент a Q називається: i-оборотним, якщо ним визначений i-тий зсув є підстановкою множини Q, i=0, 1,...,n; внутрішньо оборотним, якщо він є i-оборотним для деякого i кратного r та 1in-1; початково (кінцево) оборотним, якщо він є 0-оборотним (відповідно n-оборотним); кратно r оборотним, якщо він є i-оборотним для всіх i кратних r; оборотним, якщо він є i-оборотним для всіх i{0,...,n}.

Оборотні елементи відіграють важливу роль при вивченні асоціатів, позаяк в цьому випадку можна знайти будову операції в асоціаті:

Теорема (Ф.М. Сохацький, 1992). Нехай групоїд (Q;f) є асоціатом сорту (r,s,n), тоді для довільного кратно r оборотного елемента 0Q існує єдина четвірка операцій (+,,a,g) арностей 2, 1, 0, r-1, відповідно, таких, що виконуються умови: 1) (Q;+) є моноїдом з нейтральним елементом 0 і оборотним елементом a; 2) є автоморфізмом моноїда (Q;+); 3) виконуються співвідношення:; 4) розклад операції f має вигляд; 5) g(0,...,0)=0 навіть при r=1.

При цьому (Q;+) називається моноїдом розкладу асоціату, четвірка (+, ,a,g) - розкладом асоціату. При r=1 майже поліагрупа сорту (r,s,n) є поліагрупою сорту (s,n), операція g є нульарною і співпадає з нейтральним елементом моноїду (Q;+), тому четвірці (+, ,a,g) відповідає трійка (+, ,a), яку називають розкладом поліагрупи.

Нехай (Q;f) є (n+1)-арним групоїдом і n>1. Нехай e є відображенням множини Q^n-1 в множину Q, i, j {0,...,n} та i<j. Тоді, слідуючи Д. Ушану, відображення e назвемо: 1) лівою (i,j)-нейтральною операцією, якщо виконується тотожність ; 2) правою (i,j)-нейтральною операцією, якщо виконується тотожність ; 3) (i,j)-нейтральною операцією, якщо вона є одночасно лівою (i,j)-нейтральною та правою (i,j)-нейтральною. Ліву (0,n)-нейтральну операцію називатимемо також ліво нейтральною операцією, а праву (0,n)-нейтральну операцію називатимемо право нейтральною операцією. Операцію назвемо нейтральною, якщо вона є і ліво і право нейтральною. Операція g називається комутативною, якщо для всіх перестановок множини {0,1,...,n} має місце тотожність. Операція e_i арності n+1 називається i-тим селектором, якщо e_i(x₀,…x_n)=x_i для всіх x₀,…,x_nQ, i=0,…,n.

Узагальнюючи поняття ізотопії, В.Д. Білоусов увів поняття схрещеної ізотопії бінарних операцій і дослідив її властивості. Ф.М. Сохацьким введено поняття схрещеної ізотопії, слабкого і сильного схрещених ізоморфізмів для багатомісних операцій. А саме, операцію g арності n+1 називають i-схрещено ізотопною типу , де , або схрещено ізотопною типу (m,) до (n+1)-арної операції f, якщо i_m=i та існують вибірка підстановок та m-оборотна операція h арності k+1 множини Q такі, що

Пару (;h) називають схрещеною ізотопією типу (m,) арності k+1. Якщо k=n, то i-схрещену ізотопію називають схрещеною ізотопією максимального типу. При схрещена ізотопія типу (m,) називається слабким схрещеним ізоморфізмом. Слабкий схрещений ізоморфізм (;h) називають сильним, якщо операція h є селекторноподібною, тобто якщо для довільної підстановки множини Q і для всіх x з Q має місце рівність . Пара (;h) називається схрещеною автотопією типу (m,), якщо g=f.

У другому розділі досліджується оборотність елементів в асоціатах, розглянуто різні підходи до вивчення аксміоматик багатомісних груп і встановлено аксіоматики майже поліагруп на мові оборотних елементів, на мові нейтральних операцій і на мові нейтральних, симетричних і дзеркальних операцій. Наведено наслідки з одержаних теорем для поліагруп і (n+1)-арних груп.

Основними результатами підрозділу 2.1 є три критерії кратної r оборотності елемента в асоціаті сорту (r,s,n):

Теорема 2.1.4. Нехай (Q;f) є асоціатом сорту (r,s,n), де n>1, і нехай i, j - довільні цілі невід'ємні числа, які кратні r і менші за n. Тоді елемент aQ є кратно r оборотним в (Q;f) тоді і тільки тоді, коли існують елементи з Q такі, що для всіх xQ виконуються рівності

f()=x та .

Теорема 2.1.5. Елемент a буде кратно r оборотним в асоціаті (Q;f) сорту (r,s,n) тоді і тільки тоді, коли він є початково та кінцево оборотним.

Теорема 2.1.8. В довільному не бінарному асоціаті сорту (r,s,n) кожний внутрішньо оборотний елемент є кратно r оборотним.

В підрозділі 2.2 встановлено аксіоматику майже поліагруп через оборотні елементи. Основні результи цього підрозділу викладено в наступних теоремах.

Теорема 2.2.3. В довільному асоціаті сорту (r,s,n) рівносильними є такі твердження: асоціат є майже поліагрупою; моноїд рoзкладу асоціату є групою; кожен елемент асоціату є кратно r оборотним.

Теорема 2.2.4. Нехай i та j - довільні цілі невід'ємні числа, які кратні r і менші за n>1, тоді в будь-якому асоціаті (Q;f) сорту (r,s,n) рівносильними є такі умови: 1) асоціат є майже поліагрупою; 2)кожен елемент асоціату є кратно r оборотним; 3) кожен елемент асоціату є початково і кінцево оборотним; 4) кожен елемент асоціату є внутрішньо оборотним; 5)для кожного елемента y асоціату існують елементи з Q такі, що для довільного x з Q мають місце рівності

З пункту 5) цієї теореми при i=0 та j=n одержимо результати Ф.М. Сохацького. При r=1 майже поліагрупа є поліагрупою, кратно r оборотний елемент - оборотним, тому в цьому випадку з теореми 2.2.4 матимемо аксіоматику поліагруп:

Наслідок 2.2.5. Нехай i та j - довільні цілі невід'ємні числа, які менші за n>1, тоді в будь-якому асоціаті (Q;f) сорту (s,n) рівносильними є такі умови: 1) асоціат є поліагрупою; 2) кожен елемент асоціату є оборотним; 3) кожен елемент асоціату є початково і кінцево оборотним; 4) кожен елемент асоціату є внутрішньо оборотним; 5) для кожного елемента y асоціату існують елементи з Q такі, що для довільного x з Q мають місце рівності

При s=1 поліагрупа є (n+1)-арною групою, а асоціат сорту (1,n) є (n+1)-арною напівгрупою. Таким чином, із наслідку 2.2.5 одержимо аксіоматику для (n+1)-арних груп:

Наслідок 2.2.6. Нехай i та j - довільні цілі невід'ємні числа, які менші за n>1, тоді в довільній напівгрупі арності n+1 рівносильні такі умови: 1) напівгрупа є (n+1)-групою; 2) кожен елемент напівгрупи є оборотним; 3) кожен елемент напівгрупи є початково і кінцево оборотним; 4) кожен елемент напівгрупи є внутрішньо оборотним; 5) для кожного елемента y напівгрупи існують елементи з Q такі, що для довільного x з Q мають місце рівності .

Результати наслідку 2.2.6, крім пункту 5, можна також отримати із праць А.М. Гальмака (1994), С.А. Русакова (1992), В.T. Тютіна (1985), Н. Целакоського і В. Дудека, К. Глазека, Б.Гляйхгевіхта (1977).

Аксіоматика майже поліагруп і багатомісних груп через нейтральні операції наведена в підрозділі 2.3.

Теорема 2.3.1. Нехай числа i з {0,...,n-1} та j з {1,...,n} кратні r. Асоціат сорту (r,s,n), де n>1, є майже поліагрупою тоді і тільки тоді, коли він має ліву (i,n)-нейтральну та праву (,j)-нейтральну операції.

Наведемо декілька наслідків із теореми 2.3.1:

Наслідок 2.3.2. Не бінарний асоціат є майже поліагрупою тоді і тільки тоді, коли він містить нейтральну операцію.

Наслідок 2.3.4. Нехай i з {0,...,n-1} та j з {1,...,n} і n>1. Напівгрупа арності n+1 є (n+1)-групою тоді і тільки тоді, коли вона має ліву (i,n)-нейтральну та праву (0,j)-нейтральну операції.

З цього наслідку при i=0, j=1 та i=n-1, j=n одержимо відповідні результати В. Дудека для (n+1)-арних груп. Ще ряд означень майже поліагруп дає така теорема:

Теорема 2.3.5. Нехай числа i з {0,...,n-1} та j з {1,...,n}, де n>1, є кратними r. Асоціат (Q;f) сорту (r,s,n) є майже поліагрупою тоді і тільки тоді, коли існують відображення відповідно множин Q^n-1, Q^n-1 і Q в множину Q такі, що виконуються тотожності:

Наслідок 2.3.6. Нехай i з {0,...,n-1} та j з {1,...,n}, де n>1. Напівгрупа (Q;f) арності n+1 є групою тоді і тільки тоді, коли існують відображення , ', відповідно множин Q^n-1, Q^n-1 і Q в множину Q такі, що виконуються тотожності (1) і (2).

З наслідку 2.3.6 при i=n-1, j=n, при i=0, j=1 та при i=0, j=n одержимо результати Д. Ушана і М. Жижович (2002) для (n+1)-арних груп.

В підрозділі 2.4 наведена аксіоматика майже поліагруп, яка встановлена на мові нейтральних, симетричних та дзеркальних операцій.

У своїх роботах Д. Ушан (2003) ввів дві різні операції арності n, які в групах узагальнюють унарну операцію взяття оберненого елемента, проте не дав їм назви. Зберігаючи позначення Д.Ушана, відповідно до властивостей дамо цим операціям назви. А саме, відображення ^-1 множини Qⁿ в Q назвемо: 1)ліво симетричною операцією, якщо виконується тотожність для деякої ліво нейтральної операції; 2) право симетричною операцією, якщо має місце тотожність для деякої право нейтральної операції; 3) симетричною, якщо вона є ліво і право симетричною; 4) ліводзеркальною операцією, якщо виконується тотожність; 5) праводзеркальною операцією, якщо має місце тотожність; 6) дзеркальною, якщо вона є ліво і право дзеркальною.

Основним результатом даного підрозділу є така теорема:

Теорема 2.4.1. В асоціаті арності більше двох наступні твердження рівносильні: 1) aсоціат є майже поліагрупою; 2) iснують право симетрична і право нейтральна операції; 3) iснують ліво симетрична і ліво нейтральна операції; 4) iснують праводзеркальна і ліво нейтральна операції; 5) iснують ліводзеркальна і право нейтральна операції.

Дана теорема узагальнює результати Д. Ушана (2003) для (n+1)-арних груп і Д. Ушана, Р.Каліча (2001) для NP-поліагруп.

Результати цього розділу опубліковано в працях [1]-[3], [6]-[9].

У третьому розділі вивчаються властивості схрещеної ізотопії та схрещеного ізоморфізму поліагруп, з їх допомогою встановлюються зв'язки між поліагрупами й іншими групоїдами.

Властивості схрещеної ізотопії поліагруп вивчаються в підрозділі 3.1. При i=0 схрещену ізотопію назвемо початковою, при i=n - кінцевою, а в інших випадках - внутрішньою. Встановлено, що

Лема 3.1.1. Групоїд, який i-схрещено ізотопний до i-оборотного групоїда, є i-оборотним.

Теорема 3.1.2. Асоціат, який є внутрішньо схрещено ізотопним до квазігрупи, є поліагрупою.

Теорема 3.1.4. Асоціат, який є початково (кінцево) схрещено ізотопним до квазігрупи, є поліагрупою тоді і тільки тоді, коли кожен його елемент є кінцево (відповідно початково) оборотним.

Дві операції f і g назвемо i-ортогональними і писатимемо, якщо для кожна із систем рівнянь

має єдиний розв'язок.

Оскільки довільний групоїд, який є i-схрещено ізотопним максимального типу до квазігрупи, необов'язково є квазігрупою, то з'ясуємо умови, за яких це відбувається. Позначимо через h⁽ⁱ⁾ i-те ділення операції h .

Теорема 3.1.5. Нехай пара (,h) є i-схрещеною ізотопією максимального типу (n+1)-арного групоїда (Q;g) та (n+1)-арної квазігрупи (Q;f). Групоїд (Q;g) є квазігрупою тоді і тільки тоді, коли.

Основним результатом підрозділу 3.2 є структура відрізкових схрещених ізотопій поліагруп і багатомісних груп.

Лема 3.2.1. Нехай (Q;g) та (Q;f) є поліагрупами, (Q;) та (Q;+) є їх групами розкладу і нехай є головною компонентою їх схрещеної ізотопії не максимального типу, тоді існують ізоморфізм групи (Q;) на групу (Q;+) і елемент c з Q такі, що .

З цієї леми слідує, що існування схрещеної ізотопії не максимального типу між поліагрупами спричинює ізоморфізм їх груп розкладу. Ф.М. Сохацьким (1997) показано, що між поліагрупами, що визначені над ізоморфними групами, також можна встановити взаємнооднозначну відповідність при якій відповідні поліагрупи є ізоморфними. Це означає, що з точністю до ізоморфізму досить описати схрещену ізотопію поліагруп, які визначені над неізоморфними групами. Оскільки між такими поліагрупами не може існувати схрещеного ізоморфізму не максимального типу, то надалі розглядатимемо схрещені ізотопії поліагруп, які визначені над однією і тією ж групою і будемо позначати її через (Q;+), а її нейтральний елемент - через 0. Адитивне позначення не означає, що група комутативна.

Схрещену ізотопію (;h) назвемо a-зведеною, якщо елемент a є m-нейтральним елементом операції h, тобто для всіх x з Q. Зауважимо, що довільну схрещену ізотопію (;h) можна подати у a-зведеній формі для довільного елемента a з Q. Таким чином, для описання всіх схрещених ізотопій досить описати зведені схрещені ізотопії. Тут ми обмежимося їх вивченням.

Нехай , тоді i-схрещену ізотопію назвемо відрізковою типу, якщо її тип є відрізком розширеного натурального ряду: , +1,..., p-1, p. Для зазначеної схрещеної ізотопії має місце

Теорема 3.2.2. Нехай (Q;g) та (Q;f) є (n+1)-арними поліагрупами з розкладами (+, ,b) і (+, ,a) відповідно і нехай 0 позначає нейтральний елемент групи (Q;+). Пара (;h) є відрізковою i-схрещеною 0-зведеною ізотопією не максимального типу поліагрупи (Q;g) на поліагрупу (Q;f) тоді і тільки тоді, коли існують: автоморфізм групи (Q;+), елементи c, a₀,..., a_n множини Q такі, що виконуються співвідношення

Наслідок 3.2.3. Нехай (Q;g) та (Q;f) - (n+1)-арні групи, які є похідними від бінарної групи (Q;+) з нейтральним елементом 0. Пара (;h) є відрізковою i-схрещеною 0-зведеною ізотопією не максимального типу (n+1)-арної групи (Q;g) на (n+1)-арну групу (Q;f) тоді і тільки тоді, коли існують: автоморфізм групи (Q;+), елементи c, a₀,..., a_n множини Q такі, що виконуються співвідношення

У підрозділі 3.3 вивчаються схрещені ізотопії медіальних поліагруп. Знайдено будову довільної схрещеної ізотопії не максимального типу медіальних поліагруп:

Теорема 3.3.1. Нехай (Q;g) та (Q;f) є медіальними (n+1)-арними поліагрупами з розкладами (+, ,b) і (+, ,a) відповідно і нехай 0 позначає нейтральний елемент групи (Q;+). Пара (;h) є 0-зведеною схрещеною ізотопією не максимального типу (m,) поліагрупи (Q;g) на поліагрупу (Q;f) тоді і тільки тоді, коли існують деякий автоморфізм групи розкладу і елементи множини Q такі, що мають місце співвідношення .

При одержимо:

Наслідок 3.3.2. Нехай (Q;g) та (Q;f) є (n+1)-арними групами похідними від бінарної комутативної групи (Q;+) і нехай 0 позначає нейтральний елемент групи (Q;+). Пара (;h) є 0-зведеною схрещеною ізотопією не максимального типу , де , (n+1)-арної групи (Q;g) на (n+1)-арну групу (Q;f) тоді і тільки тоді, коли існують деякий автоморфізм групи розкладу і елементи множини Q такі, що мають місце співвідношення .

В підрозділі 3.4 досліджуються схрещені автотопії поліагруп, вводиться поняття унітарної схрещеної автотопії поліагрупи, доведено, що однотипні унітарні схрещені автотопії поліагрупи відносно операції їх послідовного застосування утворюють підгрупу групи схрещених автотопій даної поліагрупи, знайдена будова схрещених автотопій різних видів.

Теорема 3.4.1. Нехай (Q;f) є (n+1)-арною поліагрупою з розкладом (+, ,a) і нехай 0 позначає нейтральний елемент групи (Q;+). Пара (;h) є відрізковою i-схрещеною 0-зведеною автотопією не максимального типу поліагрупи (Q;f) тоді і тільки тоді, коли існують: автоморфізм групи розкладу, елементи множини Q такі, що виконуються співвідношення .

Схрещену автотопію (;h) поліагрупи (Q;f) з розкладом (+, ,a) назвемо унітарною, якщо всі її компоненти є унітарними відносно групи (Q;+), зокрема h(0,...,0)=0.

Теорема 3.4.2. Однотипні унітарні схрещені автотопії поліагрупи відносно операції їх послідовного застосування утворюють підгрупу групи схрещених автотопій даної поліагрупи.

Наслідок 3.4.3. Нехай (Q;f) є (n+1)-арною поліагрупою з розкладом (+, ,a) і нехай 0 позначає нейтральний елемент групи (Q;+). Пара (;h) є унітарною відрізковою 0-зведеною i-схрещеною автотопією не максимального типу поліагрупи (Q;f) тоді і тільки тоді, коли її головна компонента є автоморфізмом групи (Q;+) і мають місце співвідношення .

Теорема 3.4.6. Група унітарних автотопій багатомісної групи, похідної від бінарної групи, співпадає з групою автоморфізмів цієї бінарної групи.

Комутативність групи розкладу дозволяє знайти будову не лише відрізкових, а й довільних схрещених автотопій медіальної поліагрупи.

Теорема 3.4.7. Нехай (Q;f) є медіальною (n+1)-арною поліагрупою з розкладом (+, ,a) і нехай 0 позначає нейтральний елемент групи (Q;+). Пара (;h) є 0-зведеною схрещеною автотопією не максимального типу , де , поліагрупи (Q;f) тоді і тільки тоді, коли існують деякий автоморфізм групи розкладу і елементи множини Q такі, що мають місце співвідношення .

Наслідок 3.4.8. Нехай (Q;f) є медіальною (n+1)-арною поліагрупою з розкладом (+, ,a) і нехай 0 позначає нейтральний елемент групи (Q;+). Пара (;h) є 0-зведеною унітарною схрещеною автотопією не максимального типу (m,) поліагрупи (Q;f) тоді і тільки тоді, коли її головна компонента є автоморфізмом групи (Q;+) і мають місце співвідношення .

В підрозділі 3.5 вивчаються властивості сильного схрещеного ізоморфізму поліагруп.

Теорема 3.5.1. Множина квазігрупових операцій арності не менше три не замкнена відносно взяття сильного схрещеного ізоморфного образу.

Легко бачити, що звичайний ізоморфізм є i-схрещеним ізоморфізмом довільного типу і для всіх i=0, 1,..., n. Для цього досить взяти за h відповідний селектор. Далі ми з'ясуємо, за яких умов i-схрещено ізоморфні поліагрупи є ізоморфними.

Теорема 3.5.2. Якщо тип сильного схрещеного ізоморфізму не містить 1 або n-1, то сильно схрещено ізоморфні поліагрупи є ізоморфними.

В підрозділі 3.6 знайдена будова сильного схрещеного ізоморфізму медіальних поліагруп і з'ясовано умови, за яких схрещено ізоморфні медіальні поліагрупи є ізоморфними.

Теорема 3.6.1. Нехай (Q;g) та (Q;f) є (n+1)-арними медіальними поліагрупами з розкладами (+, ,b) і (+, ,a) відповідно. Вибірка (,h) є сильним схрещеним ізоморфізмом не максимального типу, де , поліагрупи (Q;g) на поліагрупу (Q;f) тоді і тільки тоді, коли існують деякий автоморфізм групи (Q;+) і елемент cQ такі, що мають місце співвідношення .

Наслідок 3.6.2. Якщо числа з множини {1,...,n-1}, які не належать типу сильного схрещеного ізоморфізму, є взаємно простими, то сильно схрещено ізоморфні (n+1)-арні медіальні поліагрупи є ізоморфними.

Теорема 3.6.3. Нехай i є довільним числом із множини {0,...,n}, тоді довільна поліагрупа, яка є сильно i-схрещено ізоморфною максимального типу до групоїда (Q;e_i), є (n+1)-групою.

В підрозділі 3.7 досліджують умови, за яких схрещений ізоморф поліагрупи є комутативним. Нехай позначає тотожню підстановку. Схрещений ізоморфізм (,h) назвемо головним.

Теорема 3.7.3. Слабкий головний схрещений ізоморф (,h)f не максимального типу (m,), поліагрупи (Q;f) з розкладом (+, ,a) є комутативним тоді і тільки тоді, коли: 1) група (Q;+) є комутативною; 2) , якщо, де || позначає порядок автоморфізма ; 3) розклад операції h має вигляд … для довільних p та b Q.

При b=0 теорема 3.7.3 є критерієм сильного схрещеного ізоморфу поліагрупи.

Наслідок 3.7.4. Нехай i=0,1,…,n. Якщо i-схрещений ізоморф не максимального типу деякої поліагрупи є комутативною поліагрупою, то він є майже похідним від бінарної комутативної групи.

В підрозділі 3.8 встановлено критерій медіальності схрещеного ізоморфу поліагрупи. Нагадаємо, що операція g є медіальною, коли має місце тотожність .

Основним результатом цього підрозділу є така теорема:

Теорема 3.8.2. Нехай пара (,h) є головним слабким схрещеним ізоморфізмом не максимального типу (m,), де :=(i₀,i₁,...,i_k), (n+1)-арного групоїда (Q;g) та (n+1)-арної поліагрупи (Q;f) з розкладом (+,,a) і нехай n>2k. Групоїд (Q;g) буде медіальним тоді і тільки тоді, коли існують ендоморфізми ₀,..., _m-1, _m+1,..., _k, автоморфізм _m і елемент b групи (Q;+) такі, що: 1) група розкладу (Q;+) є комутативною; 2) для довільних y₀, y_l,..., y_kQ виконується співвідношення h(y₀,y₁,...,y_n)=₀y₀+₁y₁+...+_ky_k+b; 3) для довільних r=0,1,...,k та p виконуються співвідношення _r^p=^p_r, (_rⁱ+ⁱ)_m=_m(ⁱ_r+ⁱ); 4) для довільних r_l, r₂{0,...,m-1,m+1,...,k} має місце залежність

_r(ⁱ_r+)+_r=_r(ⁱ_r+)+_r.

Ця теорема при b=0 є критерієм медіальності сильного схрещеного ізоморфу поліагрупи.

Результати цього розділу опубліковано в працях [4], [5], [10], [11].

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота носить теоретичний характер і присвячена вивченню багатомісної асоціативності, тобто асоціатівності багатомісних групоїдів, та описанню зв'язків з іншими групоїдами. А саме, встановлено низку критеріїв оборотності елемента в асоціаті; знайдено аксіоматики класу майже поліагруп, яка є узагальненням різних підходів до вивчення аксіоматик багатомісних груп; вивчено властивості схрещеної ізотопії і схрещеного ізоморфізму поліагруп; встановлено зв'язок між схрещеним ізоморфізмом та ізоморфізмом для поліагруп; описано схрещені ізоморфізми різних видів не максимального типу і схрещені ізотопії (схрещені автотопії) не максимального типу поліагруп; описано схрещені ізоморфізми не максимального типу між поліагрупами і комутативними та медіальними групоїдами.

Здобуті в дисертації результати можуть бути застосованими в алгебрі при вивченні перетворень множин, а також для подальших досліджень властивостей бінарних і багатомісних квазігруп та груп; в багатозначній логіці при вивченні розкладів багатомісних функцій за допомогою суперпозицій; в дискретній математиці при вивченні гіперкубів тощо.

Усі результати дисертації є строго логічно обґрунтованими та якісно відрізняються від одержаних попередниками.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Sokhatsky F.M., Yurevych O. Invertible elements in associates and semigroups. 2// Quasigroups and Related Systems. - 1999. - Vol.6. - P. 61 - 70.

[2] Юревич О. В. Критерії оборотності елементів в асоціатах// Укр. мат. журн. - 2001. - T.53, N 11. - C. 1556 - 1563.

[3] Юревич О.В. Про аксіоматики майже поліагруп// Науковий часопис НПУ iменi М.П. Драгоманова. Сер. фiзико-математичнi науки. - 2004. - N 5. - С. 128 - 141.

[4] Юревич О.В. Про схрещену ізотопію поліагруп// Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины.-2005.-Вып.11.- С. 34-49.

[5] Sokhatsky F.M., Yurevych O.V. On Commutativity and Mediality of Polyagroup Cross Isomorphs// Buletinul Academiei de Stiinte a Republicii Moldova. Matematica. - 2005. - Vol.3(49).- P. 141-152.

[6] Сохацький Ф.М., Юревич О.В. До означення поліагрупи// Тези допов. звітної наук. конф.

виклад. та студ. Вінницького педін. за 1994 рік (травень 1995).-Вінниця: Вінницький держ. пед. ін-т ім. М.Коцюбинського, 1995.-С. 19.

[7] Сохацький Ф.М., Юревич О.В. До оборотності елемента в асоціаті// Тези доповідей звітної наукової конференції викладачів та студентів за 1995 рік (травень 1996).-Вінниця: Вінницький держ. пед. ін-т ім. М.Коцюбинського, 1996.- С. 30.

[8] Yurevych O. About Invertible Elements in Associates// Друга міжнародна алгебр. конфер. в Україні, присв. пам'яті Л.А.Калужніна (Київ-Вінниця, 9-16 травня 1999).-Вінниця: ВДПУ, 1999.-С.50.

[9] Yurevych O. Usan's axiomatics for polyagroups// Second Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova (August 17-19, 2004).-Chisinau: Institute of Mathematics and Computer Science, 2004.-P. 325.

[10] Yurevych O. On crossed isotopy// Fifth International Algebraic Conference in Ukraine (July 20-27, 2005).- Odessa: I.I.Mechnikov National University, 2005.- P. 236-237.

[11] Sokhatsky F., Yurevych O. On crossed isomorphism// Fifth International Algebraic Conference in Ukraine (July 20-27, 2005).- Odessa: I.I.Mechnikov National University, 2005.- P. 200.

АНОТАЦІЯ

Іващук О.В. Багатомісна асоціативність і пов'язані з нею групоїди. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

Дисертація присвячена дослідженню (i,j)-асоціативних групоїдів з кратно r оборотними елементами (майже поліагруп). Узагальнено різні підходи до вивчення аксіоматик бінарних та багатомісних груп і встановлено аксіоматику майже поліагруп. Наведено три види аксіоматик: на мові оборотних елементів, на мові нейтральних операцій, на мові нейтральних, симетричних та дзеркальних операцій, з яких слідують вже відомі і нові аксіоматики (n+1)-арних груп. Доведено низку критеріїв оборотності елемента в асоціатах.

Вивчено властивості схрещеної ізотопії і схрещеного ізоморфізму поліагруп. А саме, доведено, що: групоїд, який є i-схрещено ізотопним до i-оборотного групоїда, є i-оборотним; якщо 0<i<n, то асоціат, який є i-схрещено ізотопним до квазігрупи, є поліагрупою; множина квазігрупових операцій арності не менше трьох не замкнена відносно взяття сильного схрещеного ізоморфного образу. Знайдено будову відрізкових схрещених ізотопій (автотопій) поліагруп та схрещених ізотопій (автотопій) медіальних поліагруп, а також структуру сильного схрещеного ізоморфізму медіальних поліагруп. З'ясовано умови, за яких схрещений ізоморфізм співпадає з ізоморфізмом. Встановлено умови, при яких схрещений ізотоп квазігрупи є квазігрупою, схрещений ізоморф поліагрупи є комутативним і є медіальним.

...