Дискретне визначення геометричних об'єктів числовими послідовностями

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

УДК 515.2

ДИСКРЕТНЕ ВИЗНАЧЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБ'ЄКТІВ ЧИСЛОВИМИ ПОСЛІДОВНОСТЯМИ

Спеціальність 05.01.01. - “Прикладна геометрія, інженерна графіка”

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Пустюльга Сергій Іванович

Київ 2006

Дисертацією є рукопис.

Дисертація виконана в Луцькому державному технічному університеті (ЛДТУ) Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант: - академік АН Вищої школи України, доктор технічних наук, професор КОВАЛЬОВ Сергій Миколайович, завідувач кафедри нарисної геометрії, інженерної та машинної графіки Київського національного університету будівництва і архітектури.

Офіційні опоненти: - заслужений діяч науки і техніки України, академік АІН України, доктор технічних наук, професор НАЙДИШ Володимир Михайлович, завідувач кафедри прикладної геометрії і інформаційних технологій проектування Таврійської державної агротехнічної академії (м. Мелітополь);

- доктор технічних наук, професор ПУГАЧОВ Євген Валентинович, професор кафедри архітектури Національного університету водного господарства та природокористування (м. Рівне);

- доктор технічних наук, професор МАРТИН Євген Володимирович, професор кафедри нарисної геометрії та графіки Національного університету “Львівська політехніка” (м. Львів).

Провідна установа: Національний авіаційний університет Міністерства освіти і науки України, кафедра прикладної геометрії та комп'ютерної графіки, м. Київ.

Захист відбудеться “2” березня 2006р. о 13⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.056.06 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою: 03680, Київ, Повітрофлотський проспект, 31, а.466.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою: 03680, Київ, Повітрофлотський проспект, 31.

Автореферат розіслано “31”січня 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д26.056.06________________В.О. Плоский

Загальна характеристика роботи

Сутність наукової проблеми. На сучасному етапі ефективне рішення будь-яких наукових чи інженерних проблем практично неможливе без побудови та аналізу геометричних моделей об'єктів, певних явищ, процесів тощо. Основна перевага саме таких моделей - адекватність і наочність, тобто створювана модель із заданою точністю відображає характерні риси явища і разом із тим є максимально доступною під час досліджень. Нерідко геометрична модель може мати універсальний характер для просторів довільного числа вимірів і використовуватись для розрахунку та досліджень різних явищ, процесів. У наявній геометричній літературі під час моделювання різного роду процесів використовують два типи геометричних моделей: неперервні та дискретні.

Значна кількість практичних задач пов'язана саме з дискретним геометричним моделюванням об'єктів, явищ, процесів, хоча б на початкових стадіях моделювання, оскільки дискретна інформація найбільш прийнятна для роботи ЕОМ. Враховуючи досить умовний поділ на дискретні та неперервні моделі, в багатьох практичних задачах важливим є наявність ефективних методів, математичних алгоритмів переходу від дискретних геометричних моделей до неперервних моделей тих же об'єктів і навпаки.

Таким чином, наукова проблема полягає в необхідності створення нової геометричної теорії дискретного формування n-вимірних геометричних образів, яка у своїй основі забезпечила б найбільш ефективний перехід до неперервних аналогів створюваних моделей.

Сучасний стан проблеми. Дискретне геометричне моделювання, як напрямок прикладної геометрії, виникло в Україні, має певну історію і активно розвивається в сучасний період. Праці вчених в області дискретної геометрії, хоча досить умовно, можна розділити на:

- роботи з дискретного представлення неперервних геометричних образів (дискретизації), коли на неперервному образі визначається множина точок або ліній, розміщення яких відповідає певним вимогам;

- роботи з дискретного формоутворення чи моделювання криволінійних геометричних образів, коли вихідні дані і результати моделювання мають дискретний вигляд.

Слід виділити два підходи до дискретного геометричного моделювання, що посіли визначальне місце в сучасній геометричній літературі й активно розвиваються з одного боку Київською школою, а з іншого - Мелітопольською школою прикладної геометрії.

Підхід вчених Київської школи, як правило, пов'язаний із формоутворенням дискретних геометричних образів з певними властивостями статико-геометричним методом, теоретична база якого створена професором С.М. Ковальовим на основі статичної інтерпретації методу скінченних різниць.

Підхід науковців Мелітопольської школи прикладної геометрії пов'язаний з дискретним геометричним моделюванням (ДГМ) образів, теоретичні положення якого були введені професором В.М. Найдишем. В основу напрямку ДГМ покладені алгоритми згущення на базі геометричних співвідношень, тотожностей, базисних функцій інтерполяції вихідного точкового масиву до досягнення необхідної точності. При цьому утворюється нова множина дискретних елементів із певними властивостями.

І статико-геометричний метод формоутворення дискретних образів, і методи дискретної інтерполяції та апроксимації, що розвиваються вченими Мелітопольської школи, є цілком самостійними методами, які активно застосовуються на практиці, а результати, отримані обома методами, підтверджують їх достовірність і ефективність.

Оскільки одним із напрямків цих досліджень є саме статико-геометричний метод формування дискретних образів, то слід відзначити, що практично всі наукові роботи, у яких цей метод є теоретичною основою, стосуються одновимірних та двовимірних геометричних образів. Роботи з формоутворення дискретних образів розмірністю вище двох трапляються в окремих задачах і не мають узагальнюючої теоретичної основи. Разом з тим, не вичерпані формоутворюючі можливості статико-геометричного методу для побудови дискретних моделей кривих ліній та поверхонь. Відсутній в літературі єдиний метод переходу від дискретно представлених образів, сформованих статико-геометричним методом, до їх неперервних аналогів. Відсутні в геометричній літературі роботи з комплексного дослідження похибок статико-геометричного методу формоутворення дискретних геометричних об'єктів.

Значущість проблеми. У теоретичному плані створення нової теорії формоутворення дискретних образів за допомогою апарату числових послідовностей, в поєднанні з класичним методом скінченних різниць та статико-геометричним методом моделювання, відкриває нові можливості для вирішення конкретних проектних задач, в аналізі та управлінні певними процесами.

У техніці та архітектурі запропонована теорія, в ряді конкретних випадків, дозволить точніше, ефективніше враховувати поставлені інженерами вимоги до тих чи інших об'єктів, значно спростити математичний вигляд моделі та скоротити строки проектування.

Актуальність теми. Статико-геометричний метод формоутворення дискретних структур, в основі якого лежить статична інтерпретація чисельного методу скінченних різниць є найбільш наочним і зрозумілим методом дискретного моделювання неперервних образів, а в цілому ряді випадків враховує статичні особливості того чи іншого об'єкта, оскільки базується на геометричній моделі розрахунку зрівноважених сіток або ґраток, що формуються під дією зовнішнього формоутворюючого навантаження, прикладеного до вузлів моделі. Тому розвиток і узагальнення цього методу моделювання є актуальним, а проведені дослідження можуть значно розширити коло практичних задач для його застосування.

Оскільки процес дискретного моделювання неперервних образів статико-геометричним методом на практиці, як правило, пов'язаний із похибками, то актуальним є проведення досліджень та вироблення єдиного комплексного підходу до оцінки точності створюваної дискретної моделі. Це дозволить, по-перше, формувати дискретні образи з наперед заданою точністю, а, по-друге, створювати дискретні моделі неперервних образів, з раціональною дискретизацією сіток або ґраток.

Відзначимо також, що в основу математичного апарату статико-геометричного методу покладено розв'язання систем лінійних рівнянь, який має ряд недоліків. По-перше, системи лінійних рівнянь, особливо, коли мова йтиме про багатовимірні образи, є громіздкими, а їх кількість ускладнює процес отримання результату на ЕОМ. По-друге, розв'язок систем лінійних рівнянь, що визначає координати вузлів сітки чи ґратки дискретного образу не дає інформації про геометричні властивості, особливості моделі в цілому, або її локальних ділянок. По-третє, у разі необхідності переходу в практичних задачах до неперервних аналогів сформованих дискретних геометричних образів важко підібрати ефективні інтерполяційні алгоритми навіть для двовимірних образів, не кажучи вже про образи вищої розмірності. Тому актуальною є розробка нової геометричної теорії формоутворення дискретних геометричних образів, яка прямо була б пов'язана зі статико-геометричним методом, відтворювала всі його позитивні геометричні властивості і разом з тим містила у собі методи дискретного визначення модельованих об'єктів, тобто методи переходу до неперервних аналогів сформованих дискретних моделей.

Таким чином, дисертаційна робота спрямована, з одного боку, на розширення формоутворюючих можливостей статико-геометричного методу та узагальнення його застосування для формоутворення дискретних образів довільної розмірності, а з іншого - на створення нової теорії формування дискретно визначених геометричних об'єктів за допомогою математичного апарату числових послідовностей стосовно задач техніки та архітектури.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційні дослідження проведено відповідно до тематики наукової роботи кафедри нарисної геометрії Київського національного університету будівництва та архітектури, держбюджетної тематики кафедри інженерної та комп'ютерної графіки Луцького державного технічного університету “Автоматизація проектування кривих поверхонь”, угоди про наукову співпрацю Луцького державного технічного університету з ВАТ “ЛуАЗ” (N 15-200/02, від 04.04.2002р.), потреб регіональних будівельних компаній в розробці нових ефективних геометричних моделей та технологій зведення великопрогонних покриттів архітектурних споруд.

Метою роботи є створення нової геометричної теорії дискретного формування геометричних образів різної розмірності на основі синтезу формоутворюючих властивостей методу скінченних різниць, статико-геометричного методу моделювання з використанням математичного апарату числових послідовностей.

Задачі досліджень обумовлені метою роботи і в теоретичному плані полягають у наступному:

1. Розширення формоутворюючих можливостей статико-геометричного методу дискретного моделювання кривих ліній та поверхонь на рівномірній сітці за рахунок як варіювання функції зовнішнього формоутворюючого навантаження, так і за рахунок представлення різної статичної інтерпретації залежності останнього від координат вузлів формованої сітки.

2. Розробці методів дискретного визначення кривих ліній на рівномірній сітці за допомогою геометричної інтерпретації математичного апарату одновимірних числових послідовностей за заданих початкових і крайових умов, без урахування та з урахуванням функції зовнішнього формоутворюючого навантаження і подальшим переходом до неперервних аналогів кривих.

3. Розробці методів формування коефіцієнтів скінченно-різницевих рівнянь усіх видів топологічно правильних сіток для моделювання дискретних каркасів криволінійних поверхонь.

4. Розробці методів дискретного формоутворення двовимірних образів на рівномірній сітці за допомогою геометричної інтерпретації математичного апарату подвійних числових послідовностей за заданих початкових та крайових умов, без урахування і з урахуванням функції формоутворюючого навантаження та подальшим переходом до неперервних аналогів формованих сіток.

5. Розробці методів формування дискретно визначених кривих ліній та поверхонь з вихідними умовами, що не обмежені рівномірним кроком вузлів за допомогою геометричної інтерпретації систем числових послідовностей з подальшим переходом до неперервних аналогів модельованих образів.

6. Розробці методів формоутворення дискретних граток тривимірних образів за допомогою апарату тривимірних числових послідовностей або систем послідовностей, а на їх основі - формування n-вимірних дискретних образів у просторах довільного числа вимірів.

7. Розробці методів формування дискретних аналогів одновимірних та двовимірних образів на рівномірній і нерівномірній сітках із заданою точністю та раціональною дискретизацією неперервних образів.

8. Аналізі впливу похибок на моделювання зрівноважених дискретних структур у просторах довільного числа вимірів, а на їх основі - згущення вузлів гіперграток з використанням систем багатовимірних числових послідовностей.

9. Розробці алгоритмів автоматизованого геометричного моделювання кузовних панелей автомобілів, з раціональною дискретизацією криволінійних поверхонь.

10. Розробці алгоритмів автоматизованого формування моделей залізобетонних оболонок за заданими геометричними параметрами елементів паркетування.

Об'єктом дослідження є методи дискретного геометричного моделювання (формоутворення) геометричних образів довільної розмірності.

Предметом дослідження є створення теорії дискретного формоутворення об'єктів за допомогою геометричної інтерпретації математичного апарату числових послідовностей, на основі синтезу формоутворюючих властивостей методу скінченних різниць та статико-геометричного методу моделювання.

Методи дослідження. Розв'язання сформульованих задач виконувалося на базі засобів аналітичної, диференціальної, обчислювальної геометрій, теорії кривих ліній та поверхонь, у тому числі у багатовимірних просторах, теорії числових послідовностей, теорії ДГМ та засобів комп'ютерного моделювання. геометричний дискретний моделювання математичний

Теоретичною та інформаційною базою проведення досліджень є, в основному, праці вчених-геометрів, а також вчених у суміжних галузях науки і техніки:

- з геометричного конструювання кривих ліній та поверхонь: Ю.І. Бадаєва, В.В. Ваніна, В.М. Верещаги, Г.Г. Власюк, В.Я. Волкова, С.М.Грибова, М.С. Гумена, Г.С. Іванова, С.М. Ковальова, Ю.М. Ковальова, В.М. Корчинського, І.І. Котова, Л.М. Куценка, В.Г. Лі, Є.В. Мартина, В.Є. Михайленка, В.О.Надолінного, А.В. Найдиша, В.М. Найдиша, В.С. Обухової, В.А. Осипова, А.В.Павлова, О.Л. Підгорного, С.Ф. Пилипаки, Є.В. Пугачова, М.М. Рижова, І.А.Скидана, А.М. Тевліна, П.В. Філіпова, В.І. Якуніна, С. Кунса, Д. Фергюсона та інших;

- з теорії дискретного геометричного моделювання та формоутворення: В.М. Верещаги, С.М. Грибова, С.М. Ковальова, В.Г. Лі, В.Є. Михайленка, А.В.Найдиша, В.М. Найдиша, Є.В. Пугачова та інших;

- з багатовимірної геометрії: Ю.Х. Атасяна, В.Я. Волкова, М.С. Гумена, Д.З.Гордєвського, Є.В. Мартина, Б.А. Розенфельда, П.В. Філіпова та інших;

- з теорії числових послідовностей та рядів: П.С. Александрова, О.А. Іванова, В.А. Ільїна, Л.Д. Кудрявцева, А.П. Натансона, С.М. Нікольського, Т.С. Піголкіної та інших;

- з чисельних математичних методів, обчислювальної геометрії та комп'ютерного моделювання: Ю.І. Бадаєва, М.С. Бахвалова, Ю.С. Зав'ялова, С.М.Грибова, М.М. Калиткіна, В.М. Корчинського, Л.М. Куценка, В.М. Найдиша, В.А. Осипова, А.А. Самарського, Є.А. Стародєтко, Т. Шуп, М. Коснара, П. Безьє, Ф.Препарата та інших.

Наукова новизна одержаних результатів, що виносяться на захист:

1. Автором розроблено методи, які дозволяють розширити формоутворюючі можливості статико-геометричного методу моделювання кривих ліній та поверхонь на рівномірній сітці за рахунок як варіювання функції зовнішнього формоутворюючого навантаження, так і різного представлення статичної інтерпретації залежності формоутворюючого навантаження від координат вузлів формованої сітки.

2. Розроблено методи дискретного визначення кривих ліній на рівномірній сітці за допомогою геометричної інтерпретації математичного апарату одновимірних числових послідовностей за заданих початкових і крайових умов, з подальшим переходом до неперервних аналогів кривих.

3. Розроблено методи формування коефіцієнтів скінченно-різницевих рівнянь усіх видів топологічно правильних сіток для моделювання дискретних каркасів криволінійних поверхонь.

4. Вперше розроблено методи дискретного формоутворення двовимірних образів на рівномірній сітці за допомогою геометричної інтерпретації математичного апарату подвійних числових послідовностей за заданих початкових та крайових умов з подальшим переходом до неперервних аналогів формованих сіток.

5. Вперше в прикладній геометрії розроблено методи формування дискретно визначених кривих ліній та поверхонь з вихідними умовами, що не обмежені рівномірним кроком вузлів за допомогою геометричної інтерпретації систем числових послідовностей з подальшим переходом до неперервних аналогів модельованих образів.

6. Вперше розроблено методи формоутворення дискретних граток тривимірних образів за допомогою апарату тривимірних числових послідовностей або систем послідовностей, а на їх основі - формування n-вимірних дискретних образів у просторах довільного числа вимірів.

7. Розроблено методи та алгоритми формування дискретних аналогів одновимірних та двовимірних образів на рівномірній і нерівномірній сітках із заданою точністю та раціональною дискретизацією відповідних образів.

8. Вперше розроблено методи аналізу впливу похибок на моделювання зрівноважених дискретних структур у просторах довільного числа вимірів, а на їх основі - згущення вузлів гіперграток з використанням систем багатовимірних числових послідовностей.

Вірогідність та обґрунтованість одержаних результатів підтверджуються коректністю теоретичного аналізу, виведенням аналітичних залежностей та комп'ютерною візуалізацією геометричних образів у процесі моделювання.

Практичне значення результатів. Створена нова геометрична теорія дискретного формоутворення геометричних образів за допомогою математичного апарату числових послідовностей дозволяє розв'язувати широкий набір задач у різних галузях науки і техніки, зокрема в машинобудуванні та архітектурі, з максимально простим і ефективним переходом від дискретних моделей до неперервних, і навпаки.

Результати роботи впроваджені в ВАТ “ЛуАЗ” під час проектування кузовних деталей автомобіля “ЛуАЗ-1301”, у Тзов “Завод будівельних конструкцій”, м. Луцьк, будівельній компанії “АЕРОБУД-ЗАХІД”, м. Львів, компанії “ЛІКО-ХОЛДІНГ”, м. Київ, під час створення моделей криволінійних оболонок із заданими параметрами елементів паркету та навчальному процесі ЛДТУ.

Особистий внесок здобувача. Ідеї роботи, наукові дослідження, їх аналіз, геометричні моделі, розробка методів, алгоритмів виконана здобувачем самостійно. Програмна реалізація алгоритмів виконана у співавторстві з аспірантом В.П.Самчуком.

У спільних публікаціях з аспірантами та здобувачами автора Клаком Ю.В., Самчуком П.В., Самчуком В.П., Самольяновою О.Ю., Придюком В.М. та студентами Лавренчук І.І., Тепляковою Т.І., Ачкасовим Д.О., Копчунь А.А., Прибиш А.Г., Самостяном В.Р. автору належать ідеї, геометричні моделі та алгоритми розрахунків, участь аспірантів, здобувачів, студентів полягала в обробці та обговоренні отриманих результатів. Наукові матеріали, які належать іншим співавторам публікацій в дисертаційну роботу не включені.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи та робота в цілому пройшли апробацію на: н.-м. конференції “Компьютеризация и специализация обучения графическим дисциплинам”. Новочеркаськ, 1990 р., Республіканській н.-м. конференції “Совершенствование методики преподавания графических дисциплин и машинной графики”, Ровно, 1990 р.- 2 доп.; Всесоюзному науково-метод. семінарі “Инженерная и машинная графика”, Полтава, 1991 р.; Міжнародній науково-технічній конференції “Автоматизація і діагностика в механообробці”, Луцьк, 1993 р. - 2 доп.; 3-му Міжнародному симпозіумі “Некласичні проблеми теорії тонкостінних елементів конструкцій”, І.-Франківськ, 1995 р.; 1-му науковому симпозіумі “Сучасні проблеми інженерної механіки”, Луцьк, 2000 р.; Міжнародній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання”, Львів, 2003 р. - 3 доп.; першій науково-практичній конференції “Геометрическое и компьютерное моделирование: энергосбережение, экология, дизайн”, Сімферополь, 2004 р., Міжнародній н.-п. конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання”, Харків, 2005 р. - 2 доп.; другій науково-практичній конференції “Геометричне та комп'ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн”, Сімферополь, 2005 р.- 3 доп.; наукових семінарах каф. нарис. геометрії, інж. та машинної графіки КНУБА, 2004-2005 рр. - 2 доп., науково-технічних конференціях ЛДТУ, 1993-2005рр. - 8 доп.; розширеному міжкафедральному науковому семінарі ЛДТУ, 2005р; розширеному науковому семінарі кафедри прикладної геометрії і інформаційних технологій проектування Таврійської державної агротехнічної академії, 2005р.

Публікації. Основний зміст дисертації опубліковано в 50 роботах (34 - у збірках наукових праць та фахових виданнях України), без співавторів - 10.

Структура та об'єм дисертаційної роботи. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, загальних висновків, списку використаних джерел з 261 найменування, 6 додатків; має повний обсяг 322 с., з них основної частини 315 с.(в тому числі 20 таблиць, 142 рисунки).

Основний зміст роботи

У вступі розкрито сутність наукової проблеми, аналізується її сучасний стан і значущість. Обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету та задачі досліджень, викладено наукову новизну і практичне значення одержаних результатів, висвітлено інформацію з апробації результатів роботи.

У першому розділі розглянуто та проаналізовано сучасний стан наукових досліджень стосовно дискретного моделювання геометричних образів. Згідно з поставленою метою проведено аналіз розробок, пов'язаних з дискретним геометричним трактуванням чисельних методів, а саме - методу скінченних різниць для дискретної інтерполяції множин точок, зі статико-геометричним методом дискретного формоутворення геометричних образів, основою якого є статична інтерпретація класичного методу скінченних різниць, з геометричною інтерпретацією математичного апарату числових послідовностей, з дослідженнями точності дискретного представлення та дискретного моделювання геометричних об'єктів.

Другий розділ присвячений розвитку методів дискретного формування одновимірних образів на рівномірній сітці.

Узагальнюючи статико-геометричний метод професора С.М. Ковальова, можна навести таке твердження. Будь-яка дискретна система, яка складається з вузлів та прямолінійних зв'язків між ними в просторі довільного числа вимірів може бути представлена, як зрівноважена система сил, де внутрішні зусилля у в'язях R_n, що пропорційні довжинам в'язей, урівноважуються зовнішніми зусиллями P_i, прикладеними до вузлів (рис. 1).

Система рівнянь рівноваги вузлів такої моделі буде лінійна, оскільки координатні складові зусиль лінійно залежать від координат сусідніх вузлів і запишеться: (1)

де u₁, u₂, …, u_n - узагальнені координати вузлів сусідніх від і-го,

u_i - координати і-го вузла,

?₁, ?₂,…?_n - коефіцієнти лінійних різницевих операторів, що показують дольову участь сусідніх вузлів у формуванні і-го, які прийнято подавати у вигляді обчислювальних шаблонів,

kР_і - зовнішнє навантаження, прикладене до і-го вузла.

Якщо записати систему лінійних рівнянь рівноваги (1) для всіх вузлів дискретної структури, то можна відзначити, що управляючими параметрами моделі є, з одного боку, зовнішнє навантаження kР_і, прикладене до вузлів, а з іншого - коефіцієнти лінійних різницевих операторів ?_n.

Розглядаючи процеси дискретного формоутворення статико-геометричним методом одновимірних образів на рівномірній сітці, в роботі доведено прямий взаємозв'язок між характером зовнішнього формоутворюючого навантаження і геометричною формою дискретного аналога кривої y=f(x). Для найпростішої триточкової залежності між суміжними вузлами дискретного аналогу кривої, функцію навантаження у вузлі можна представити:

Проведені дослідження дозволили розширити формоутворюючі можливості статико-геометричного методу, в плані побудови моделей дискретних аналогів кривих, вузли яких знаходяться у рівновазі, відмінних від парабол n-го порядку, а саме кривих гіперболічного (рис. 2), еліптичного типу та періодичних кривих.

Другою групою управляючих параметрів є коефіцієнти в лінійних різницевих операторах або коефіцієнти обчислювальних шаблонів, що показують дольову участь певних вузлів у формуванні ДПК.

Якщо прийняти у виразі (2), що зовнішнє зусилля kP_i, прикладене до і-го вузла, пропорційне одній із сил в'язі, наприклад, то рівняння системи (2) запишеться у вигляді:

з обчислювальним шаблоном виду.

Цей обчислювальний шаблон є не що інше як наближена формула для диференціювання, з використанням лівих різниць.

До системи рівнянь вигляду (4) можна ввести додатковий параметр kQ:

звільнившись від якого, матимемо систему різницевих рівнянь вигляду:

Коефіцієнти лінійних різницевих операторів, представлених шаблонами вищих порядків, можна отримати за аналогією з трикутником Паскаля, де кожен елемент нижнього рядка визначається як різниця двох елементів, що стоять над ним.

За аналогією, в роботі були побудовані обчислювальні шаблони для наближеного диференціювання з використанням правих та центральних різниць. Різна статична інтерпретація відношень між вузлами дозволила збільшити кількість вільних параметрів для моделювання дискретних аналогів одновимірних образів, підбираючи які, ми тим самим, можемо управляти процесом формоутворення ДПК.

Як приклад, були проаналізовані варіанти формування дискретних плоских структур за допомогою триточкової залежності за різних значень формоутворюючих навантажень у вузлах та різних значень коефіцієнтів ?. Так, якщо ?????, то формуються дискретні множини (рис. 3), які мають осцилюючий характер. При ?????? (рис. 4) формуються ДПК, що нагадують неперервні функції, відмінні від парабол n-го порядку.

На питання, в чому ж причина такої різної поведінки дискретних точкових множин в процесі формоутворення, які межі значень сукупності управляючих коефіцієнтів у представлених лінійних різницевих операторах при моделюванні тих чи інших дискретних множин - відповідь була знайдена в теорії одновимірних числових послідовностей.

Перш за все, треба обмежити геометричне представлення послідовностей. Будемо зв'язувати з членами послідовностей, в даному випадку, не числа (точки) на числовій осі, а вертикальні відрізки в координатній площині, де номер члена послідовності можна прийняти за абсцису члена послідовності, а значення члена - за ординату. Дійсно, якщо припустити, що існує функція , яка не втрачає змісту за цілих значень x, то достатньо вказати саму функцію та число членів послідовності - послідовність буде задана у вигляді a_п= f(п).

Числові послідовності в математичній літературі задаються або наборами чисел, або рекурентними залежностями виду:

із заданими початковими умовами і коефіцієнтами , або аналітично (в замкненій формі) а_п =f (п), де загальний член послідовності знаходиться за його номером п.

Оскільки існує прямий взаємозв'язок між лінійними різницевими рівняннями статико-геометричного методу формоутворення образів та рекурентними формулами числових послідовностей, то основне завдання полягало в знаходженні ефективних алгоритмів переходу від рекурентних формул числових послідовностей до їх замкненого виду.

Для того, щоб процес дослідження взаємозв'язку між числовими послідовностями і дискретними кривими був коректним, необхідно розмежувати три поняття: дискретно представлені, дискретно задані та дискретно визначені криві.

У роботі професора А.В. Найдиша наведені чіткі визначення щодо понять дискретно представлених та дискретно заданих кривих ліній. Дискретно представлена крива (ДПК) вважається дискретно заданою (ДЗК), якщо заданий її точковий ряд і алгоритм побудови будь-якої точки. У разі невиконання другої умови - ДПК вважається тільки представленою.

Виходячи з цього, саму послідовність чисел в загальному випадку не можна графічно інтерпретувати як дискретно задану криву, послідовність тільки її представляє. Разом з тим відомі послідовності, тобто точкові ряди, члени яких заздалегідь належать неперервним кривим. Прикладом можуть слугувати арифметичні прогресії різних порядків, точкові ряди яких заздалегідь розміщені на відповідних параболах.

Тоді можна зробити припущення, що, маючи певні послідовності, записані аналітично в замкненій формі виду, у випадку звільнення від дискретного параметру n дадуть неперервні криві, а самі послідовності будуть визначати дискретні аналоги кривих.

З іншого боку, послідовність, де m - коефіцієнт, а n - дискретний параметр, за різних значень коефіцієнта m, представляє дискретні точкові множини, що належать одній кривій, де m - величина кроку між точками.

У випадку прямування кроку m до нуля точкові множини будуть зазнавати згущення, числова послідовність дискретно визначатиме неперервну криву, а сам процес згущення ще раз доводить правильність переходу до неперервного аналога кривої. Оскільки робота присвячена саме формоутворенню дискретних геометричних образів, то в ній введено і доведено справедливість поняття дискретно визначених геометричних об'єктів.

Визначення. Дискретно визначені криві (ДВК) - це дискретно представлені аналітично числовими послідовностями криві, які у разі заміни дискретного параметру n неперервним x дають рівняння неперервних кривих з дійсними значеннями функції або на всій числовій осі, або на певному інтервалі і проходять через точки дискретно представлених кривих.

Враховуючи різні можливі варіації коефіцієнтів у триточкових обчислювальних шаблонах (рис. 5), в роботі запропоновано єдину методику переходу від рекурентних формул числових послідовностей, що є аналогами лінійних різницевих рівнянь статико-геометричного методу, до їх замкненого виду, з урахуванням дії зовнішнього формоутворюючого навантаження та заданими як початковими, так і крайовими умовами.

Нехай задана рекурентна формула числової послідовності виду:

за заданих коефіцієнтів в обчислювальних шаблонах.

Як початкові умови необхідно задати два перших члени послідовності а₀=т, а₁=t, а як крайові - а₀=т, а_N=t. Спробуємо рекурентну формулу послідовності (8) привести до замкненої форми, де загальний член послідовності а_п був би виражений через функцію параметра п.

Розглянемо спочатку числову послідовність (8) без параметра формоутворюючого навантаження .

Hехай знайдеться така геометрична прогресія b_п=q^п, яка б відтворювала рекурентну властивість (9). Тоді, припустивши, що q0, вираз (9) запишеться:

звідки знаходимо знаменник геометричної прогресії.

Якщо,, то, опускаючи ряд перетворень, за початкових значень b₀=т, b₁=t, послідовність (9) аналітично виразиться

Якщо , то корені рівняння (10) будуть комплексно спряжені, а аналітичний вираз послідовності матиме вигляд:

Якщо , то рівняння (10) має кратний корінь, а послідовність буде представлена:

Для всіх трьох випадків виведено замкнений вид числових послідовностей за заданих крайових умов, наприклад, послідовність (13), за заданих b₀=т, b_N=t, набуде вигляду:

Врахування функції зовнішнього формоутворюючого навантаження у разі переходу від рекурентних формул числових послідовностей до замкненого вигляду в роботі проводиться двома шляхами. Для випадків (13), (14) замкнена форма числових послідовностей відповідно матиме вигляд:

Аналізуючи вирази (15,16), можна зробити висновок, що вони не втрачають змісту у випадку заміни дискретного параметра послідовності на неперервний, а значить наведена методика дозволяє не тільки зв'язати статико-геометричний метод моделювання кривих з одновимірними числовими послідовностями та їх неперервними аналогами, маючи повну інформацію про геометричні властивості формованого об'єкта, а й розв'язувати задачі формоутворення одновимірних образів, з рівновагою у вузлах, без складання та розв'язання громіздких систем лінійних рівнянь.

Для випадків (11), (12) врахування функції зовнішнього формоутворюючого навантаження у рекурентних формулах пропонується вести шляхом збільшення порядку аналогічних скінченно-різницевих рівнянь, а замкнений вид числових послідовностей представляти у вигляді:

де - невідомі параметри, що залежать від вихідних умов формоутворення.

У роботі проведені дослідження всього спектра обчислювальних шаблонів (рис. 5), інтервалів значень коефіцієнтів або їх сукупностей у лінійних різницевих операторах, щодо переходу від рекурентних формул числових послідовностей до їх замкненого виду. Запропоновані методики чітко пояснюють особливості процесів формоутворення як дискретно представлених (рис. 3), в області дійсних значень, так і дискретно визначених (рис. 4) кривих ліній.

Якщо ж змінити геометричну інтерпретацію числових послідовностей, що описують дискретні множини точок (рис. 3), і зобразити останні з урахуванням комплексних значень у тривимірному просторі, осями координат якого слугуватимуть: дискретний параметр числової послідовності, числовий ряд дійсних значень та числовий ряд уявних значень функції, отримаємо моделі неперервних спіралеподібних кривих з довільними параметрами затухання та прямолінійною чи криволінійною напрямною віссю (рис. 6).

Третій розділ присвячений дискретному визначенню відсіків поверхонь на регулярній сітці у тривимірному просторі.

Процес формування дискретних каркасів відсіків поверхонь статико-геометричним методом на регулярній сітці багато в чому схожий із дискретним формоутворенням кривих ліній у двовимірному просторі, але має і певні особливості.

Дискретно поданий відсік поверхні з певними крайовими умовами може бути сформований за принципом натягу нерозтяжної сітки під дією зосереджених зусиль у вузлах з певною конфігурацією клітин та регулярним кроком вздовж напрямків дискретизації.

В основу формоутворення таких зрівноважених дискретних структур статико-геометричним методом покладено двовимірні лінійні різницеві оператори (обчислювальні шаблони), які характеризують дольову участь сусідніх вузлів у формуванні центрального.

Основою для утворення будь-якого двовимірного обчислювального шаблону є одновимірний шаблон виду. Суперпозиція двох таких шаблонів дає двовимірний обчислювальний шаблон (рис. 7). Перехід від обчислювального шаблону рис. 7 до шаблону рис. 8 здійснюється шляхом розв'язку системи рівнянь виду (при цьому для спрощення двовимірну індексацію замінимо одновимірною):

Звільнившись від параметра k, отримаємо скінченно-різницеве рівняння, в основі якого лежить шаблон (рис. 8). Графічну інтерпретацію переходу від шаблону (рис.7) до шаблону (рис. 8) представлено на рис. 9, з якого видно, що коефіцієнти лінійних різницевих операторів визначаються як різниця двох сусідніх елементів у взаємноперпендикулярних напрямках, наприклад, коефіцієнт вузла 3 буде визначатись: (0-1)+(0-0)=1, вузла 5 - (-1-1)+(-1-1)=-4, вузла 9 - (0-1)+(0-0)=1 і т.д.

Продовжуючи процес введення додаткових параметрів і звільняючись від них, можна отримати системи рівнянь, які дискретно описують формоутворення двовимірних образів з прямокутною або квадратною в плані сіткою.

Загальний принцип переходу до обчислювального шаблону вищого порядку визначається за допомогою формули

Використовуючи такий підхід, пропонується обчислювальні шаблони n-го порядку для складання систем скінченно-різницевих рівнянь, що описують формування дискретних каркасів криволінійних поверхонь, представляти у вигляді “піраміди” коефіцієнтів (рис. 11), в якій кожен наступний рівень організовується за наведеним принципом. Така “піраміда” є тривимірним узагальненням двовимірного трикутника Паскаля.

“Піраміди” коефіцієнтів у роботі побудовані для всіх видів топологічно правильних сіток, що стало черговим етапом узагальнення статико-геометричного методу формування дискретних структур, а саме - двовимірних образів у тривимірному просторі. Запропоновані алгоритми формування коефіцієнтів скінченно-різницевих рівнянь усіх видів топологічно правильних сіток графічно представлені “пірамідами” коефіцієнтів, які наочно демонструють зростання порядку скінченно-різницевих рівнянь, і, як наслідок, точності формування двовимірних сіток.

Оскільки вид сітки принципово не впливає на процеси формоутворення двовимірних образів, подальші дослідження в роботі проводяться з використанням тільки сіток з чотирикутними клітинами.

Розглядаючи чотирикутну в плані сітку зазначимо, що дискретний каркас криволінійної поверхні можна отримати шляхом розв'язання системи лінійних рівнянь, що представляються п'ятиточковим обчислювальним шаблоном, виду:

Як зазначалось вище, управління формою дискретних структур можна здійснювати за допомогою зовнішніх зусиль kР_i,j, прикладених до вузлів або за рахунок коефіцієнтів в обчислювальних шаблонах.

Якщо прийняти, що зовнішнє навантаження, прикладене до i,j - го вузла, пропорційне одній із сил у в'язі, наприклад:

то різницеве рівняння системи (19) набуде вигляду:

До системи лінійних рівнянь (21) можна ввести додатковий параметр навантаження kQ

звільнившись від якого, матимемо систему різницевих рівнянь виду:

які можна представити відповідним обчислювальним шаблоном.

Продовжуючи, за даною схемою, включення і звільнення від параметра навантаження, можна отримувати обчислювальні шаблони з цілим набором управляючих коефіцієнтів, наприклад, 13- точковий обчислювальний шаблон з 5-ма управляючими параметрами (рис. 12), змінюючи які, можна отримати широкий спектр зрівноважених двовимірних дискретних структур, без використання складних функцій зовнішнього навантаження.

Приклади побудови ДПП за різних фіксованих значень управляючих параметрів наведені на рис. 13.

У роботі запропоновано методи формування дискретних двовимірних образів на рівномірній сітці за допомогою подвійних числових послідовностей, що занумеровані двома індексами. З подвійними числовими послідовностями будемо зв'язувати не числа в координатній площині, а вертикальні відрізки у тривимірному просторі, де подвійний номер члена послідовності можна прийняти за абсцису і ординату члена послідовності, а значення члена - за аплікату.

Подвійні послідовності, як і одновимірні, можуть задаватися числовим рядом, або рекурентними залежностями, або у замкненій формі, тобто аналітично, де загальний член послідовності знаходиться за індексами n і k. Саме аналітичний вираз подвійних послідовностей є найбільш цікавим з погляду побудови дискретних моделей криволінійних поверхонь, оскільки у разі виконання ряду умов він приводить до отримання неперервних аналогів двовимірних образів.

Якщо припустити, що існує функція виду z=f(x,y), яка не втрачає змісту при цілих значеннях x, достатньо вказати саму функцію та число членів подвійної послідовності - послідовність буде задана у вигляді а_n,k=f(n,k).

Розв'язання оберненої задачі приведе до неперервної функції z (x,y) і дасть можливість говорити про визначення дискретної поверхні за допомогою подвійної числової послідовності.

Як і для одновимірних числових послідовностей, такий перехід є “природним”, оскільки у випадку представлення дискретної функції, де m - коефіцієнт, що визначає величину кроку між вузлами, а n і k - дискретні параметри, процес згущення (при прямуванні m до нуля) приводить дискретні функції до неперервних.

Враховуючи прямий зв'язок між статико-геометричним методом формоутворення двовимірних образів та утворенням останніх подвійними числовими послідовностями, рекурентну формулу числової послідовності в загальному випадку можна представити у такому вигляді:

за заданих коефіцієнтів та заданих початкових умов.

Змінні прямо залежать від коефіцієнтів двовимірних обчислювальних шаблонів, які показують дольову участь суміжних вузлів сітки у формуванні центрального вузла.

Треба відзначити, що, як і для одновимірних образів, для визначеності рекурентної формули подвійної послідовності (24) необхідно задання початкових умов, при чому для кожного з видів обчислювальних шаблонів, як і для кожного з видів шуканої сітки, кількість та геометрія розташування заданих умов є різною.

Так, наприклад, для рекурентної формули послідовності, побудованої на основі двовимірного обчислювального шаблону (рис. 8) необхідно, як початкові умови на чотирикутній сітці, визначити дві “паралельні” одновимірні послідовності z_0,k і z_1,k (рис.14). У дисертаційній роботі запропоновано методи поетапного знаходження всіх членів подвійної числової послідовності, виражених тільки через початкові умови. Запропоновано трикутник коефіцієнтів, що дозволяє визначити члени будь-якого стовпчика розрахункової схеми, наприклад, члени подвійної послідовності стовпчика z_6,k визначаються:

Разом із тим, у роботі наведено метод прямого переходу від рекурентної формули подвійних числових послідовностей до їх замкненого виду, що дало можливість формувати дискретно визначені зрівноважені відсіки поверхонь без складання і розв'язання систем лінійних рівнянь, визначати геометричні властивості формованих об'єктів, ефективно переходити до їх неперервних аналогів. Основна суть запропонованого методу полягає у наступному.

Нехай початкові умови задані одновимірними числовими послідовностями, виду:

які дискретно визначають дві параболи 3-го порядку. Загальний член z_n,k цієї подвійної послідовності, після низки перетворень, запишеться:

Зрозуміло, що подвійна послідовність (27) дискретно визначає поверхню 4-го порядку. У разі заміни дискретних параметрів n і k на неперервні, відповідно x і y, послідовність (27) перетвориться у рівняння неперервної поверхні 4-го порядку.

Наведена методика дозволяє як початкові умови розглядати будь-які пари плоских одновимірних геометричних об'єктів та їх комбінації. А наявність вільних параметрів у початкових умовах дає можливість будувати дискретні моделі поверхонь з певними наперед заданими вимогами.

У роботі наведено методи формоутворення зрівноважених дискретних структур за допомогою подвійних числових послідовностей і за заданих крайових умов. Очевидно, що математичний апарат числових послідовностей не забезпечить проходження дискретно визначеної поверхні через довільні ряди точок на чотирьох краях прямокутного відсіку, оскільки замкнений вид послідовності практично дає функцію неперервного аналога поверхні. У зв'язку з цим пропонуються алгоритми побудови подвійних числових послідовностей, представлених у замкненій формі, за двома довільними крайовими умовами, основну сутність яких розкриває наступна властивість.

Властивість. Якщо задані дві довільні одновимірні послідовності на краях сітки, є алгоритм побудови подвійної послідовності за двох перших початкових умов , , то завжди можна знайти коефіцієнти другої початкової одновимірної послідовності , які утворять єдину подвійну послідовність, що забезпечить виконання крайових умов.

Так, наприклад, якщо крайові умови задані одновимірними послідовностями виду:

то, опускаючи низку перетворень, загальний член шуканої подвійної числової послідовності можна представити:

Подвійна числова послідовність (29) дискретно визначає поверхню 3-го порядку (рис. 15), члени якої задаватимуть координати вузлів, що перебувають у рівновазі, а заміна дискретних параметрів п і k, відповідно на неперервні х і у, призведе до функції, що описує її неперервний аналог.

У роботі розроблено методи врахування у виразах подвійних числових послідовностей, які математично описують процеси формування зрівноважених дискретних сіток, зовнішнього формоутворюючого навантаження. Основна сутність підходу полягає у поступовому визначенні рекурентних формул членів подвійної числової послідовності, з урахуванням дії зовнішнього навантаження на кожен вузол сітки, та знаходженні закономірностей формування кожного члена. Побудований трикутник коефіцієнтів при членах зовнішнього навантаження, дозволив описати навантаження у кожному вузлі сітки функціонально та ввести його у замкнений вид числових послідовностей.

Так, наприклад, за заданих початкових умов у вигляді одновимірних числових послідовностей 2-го порядку та функціонально розподіленому навантаженні, описаному дискретним аналогом гіпара, загальний член подвійної числової послідовності виразиться:

і дискретно визначить поверхню 4-го порядку, вузли якої знаходяться у рівновазі (рис. 16).

За такого підходу в аналітичному виразі числової послідовності з'являються додаткові параметри управління формою дискретного каркаса поверхні, що дає можливість, при розв'язанні задач формоутворення, суттєво спрощувати вид вихідних одновимірних послідовностей, які дискретно визначають початкові умови.

У роботі також розроблено методи врахування в подвійних числових послідовностях навантаження, пропорційного одній із сил у в'язі виду (20). Виявлено закономірності формування рекурентних формул членів подвійних числових послідовностей, а через рекурентні формули - виведено замкнений вид подвійних числових послідовностей та досліджені властивості коефіцієнта пропорційності при моделюванні дискретних сіток. Так наприклад, за початкових умов формоутворення зрівноваженої сітки, заданих у вигляді одновимірних послідовностей 2-го порядку, замкнений вид подвійної числової послідовності має вигляд:

Запропонований підхід дозволив суттєво розширити клас дискретних моделей поверхонь, вузли яких перебувають у рівновазі, а в ряді випадків ефективно переходити до їх неперервних аналогів.

У четвертому розділі досліджено процеси формування дискретних об'єктів з вихідними умовами, що не обмежені рівномірним кроком вузлів.

Під час моделювання дискретних аналогів кривих ліній з нерівномірним кроком геометрична інтерпретація одновимірних числових послідовностей повинна бути дещо відкоригована порівняно з інтерпретацією, запропонованою вище. Числові послідовності будемо інтерпретувати не як певну функцію від порядкового номера члена послідовності, а як множину точок, задану системою послідовностей x_n, y_n, z_n, m_n… Так дискретно представлена крива на площині може задаватись: множиною пар чисел, системою двох рекурентних залежностей, або системою двох послідовностей, заданих у замкненій формі: , .

Саме останній випадок має геометричну цінність, оскільки у разі заміни дискретного параметру n на неперервний t можна отримувати неперервні аналоги дискретно визначених, параметрично представлених кривих.

Слід відзначити, що при формоутворенні дискретної кривої з наперед заданими властивостями та з нерівномірним кроком визначальне значення мають аналітичні вирази послідовностей з рівномірним кроком, які формують шукану криву. Знаходження аналітичного виразу числових послідовностей і в роботі пропонується вести двома шляхами:

1. Формувати дискретно визначену криву за наперед заданими умовами без урахування зовнішнього формоутворюючого навантаження у вузлах, одночасно, відповідно до кількості і характеру вихідних умов, збільшуючи порядок різницевих рівнянь, а значить кількість членів, що беруть участь у формуванні одновимірних числових послідовностей та .

2. Формувати ту ж дискретно визначену криву з урахуванням функціонально розподіленого навантаження, не змінюючи при цьому основну частину аналітичної форми одновимірних послідовностей.

І перший, і другий, розроблені у роботі, шляхи моделювання кривих заслуговують на увагу, взаємопов'язані і можуть використовуватись відповідно до поставлених у практичних розрахунках задач.

У роботі проведено параметричний аналіз вихідних умов моделювання дискретних аналогів кривих (проходження через задані вузли, наявність дискретних аналогів дотичних у певних вузлах), який дозволив правильно вибирати порядок одновимірних числових послідовностей, що беруть участь у формоутворенні. Так, система рівнянь для загального випадку моделювання кривої за заданими вихідними даними без урахування функції зовнішнього формоутворюючого навантаження на вузли в роботі представлена:

...