Дискретне визначення геометричних об'єктів числовими послідовностями

з якої визначаються невідомі коефіцієнти числових послідовностей . (де - корені характеристичних рівнянь, - тангенс кута нахилу дотичної у вузлі).

На рис. 17а подана графічна інтерпретація послідовності на рівномірній сітці дискретного параметру n, на рис. 17б - графічна інтерпретація послідовності , побудованої теж на рівномірній сітці, на рис. 17в - представлена модель результуючої кривої, побудованої на нерівномірній сітці. Знайдені числові послідовності та дискретно визначають криву (з нерівномірним кроком вузлів), що задовольняє вихідні умови, а у разі заміни дискретного параметру n на неперервний t - дають і її неперервний аналог.

Якщо в числових послідовностях треба врахувати зовнішнє навантаження, прикладене до вузлів, то в системі (32) послідовності і необхідно подати у вигляді (15) або (16).

Під час формування дискретно визначених поверхонь з нерівномірним кроком за допомогою подвійних числових послідовностей також може бути використаний параметричний підхід. Сама ж модель буде задаватися сукупністю подвійних числових послідовностей виду:

Якщо в (33) не розглядати вплив формоутворюючого навантаження, то очевидно, що кожна зі складових параметричного виду числової послідовності представляє дискретно визначену поверхню з рівномірним кроком вузлів відносно параметрів n і k. Для кожної із складових необхідно задати початкові умови, тобто вид одновимірних числових послідовностей певного порядку, що будуть визначати функції f₁, f₂, f₃.

Для двовимірних дискретних сіток в роботі також проведено параметричний аналіз вихідних умов моделювання (проходження через певні вузли, наявність дискретних аналогів дотичних площин у певних вузлах), який дозволив правильно підбирати кількість та вид двовимірних числових послідовностей (33).

Дослідження процесів дискретного геометричного формоутворення тривимірних образів представляють також чималий практичний інтерес в таких сферах як теорія пружності, термодинаміка, фізика твердого тіла, теорія електричних та магнітних полів, математична статистика, теорія прогнозування і т.і. Як правило, задачі у цих галузях науки зв'язані з побудовою моделей, що дозволяють розв'язувати складні багатокритеріальні задачі як у дискретному, так і в неперервному вигляді.

У роботі досліджено процеси дискретного формоутворення тривимірних образів у тривимірному просторі, з топологічною схемою, що включає топологічні еквіваленти кубічних комірок, проведено параметричний аналіз вихідних умов моделювання, запропоновано алгоритми формоутворення дискретних зрівноважених граток об'єктів за допомогою геометричної інтерпретації потрійних числових послідовностей.

Проведені у дисертаційній роботі дослідження, дозволили узагальнити процес формоутворення геометричних образів довільного числа вимірів у просторах довільної розмірності за допомогою числових послідовностей. Слід враховувати, виходячи із результатів отриманих вище, що нескінченні числові послідовності можна двояко представити геометрично. Перше представлення було пов'язане з рівномірною координатною сіткою, де фіксувались координати одного, двох, трьох дискретних аргументів і кожного члена нескінченної послідовності. Наприклад:

визначає двовимірну сітку з рівномірним кроком вузлів у тривимірному просторі, де - номер члена послідовності, - член подвійної числової послідовності.

Друге представлення пов'язане з координатними осями, де кожен член послідовності визначає одну координату точки, а номер члена послідовності є дискретним параметром. Прикладом слугує система послідовностей (33), що є дискретною моделлю двовимірного образу, побудованого на нерівномірній сітці.

Під узагальненим поняттям - вимірної числової послідовності слід розуміти функцію дискретних аргументів. Так дискретна функція (34) у багатовимірному просторі набуває вигляду:

Якщо число незалежних дискретних аргументів рівне , то перше представлення багатовимірної числової послідовності дає дискретну модель гіперповерхні у вимірному просторі з рівномірним кроком вузлів вздовж координатних осей. Наприклад, нескінченна числова послідовність задає дискретний точковий каркас гіперплощини, побудованої на рівномірній сітці у чотиривимірному просторі (рис.18).

Дискретні моделі гіперповерхонь, що утворюються таким чином, у разі заміни дискретних параметрів на неперервні легко приводяться до континуальної форми. Але представлені таким чином гіпергратки не завжди є зрівноваженими, оскільки може не виконуватись основний постулат статико-геометричного методу моделювання стосовно рівноваги вузлів. Для забезпечення рівноваги у вузлах модельованих об'єктів скористаємось рекурентною формулою числових послідовностей. Для переходу від замкненого виду до рекурентної формули (скінченно-різницевого рівняння) достатньо записати рівняння для суміжних вузлів послідовності, а потім в отриманій системі рівнянь звільнитись від дискретних параметрів . При цьому, необхідно відслідковувати, щоб розмірність скінченно-різницевого рівняння відповідала розмірності формованого образу. Наприклад, нехай задана чотиривимірна числова послідовність:

де - член послідовності, - нумерація членів послідовності, - коефіцієнти.

Записуючи значення членів послідовності суміжних з членом (36), та виконуючи ряд перетворень, отримаємо рекурентну формулу послідовності (36):

Вираз (37) є центральною різницею для чотиривимірної гратки і може бути використаний для дискретної інтерполяції вузлів такої гратки. Тоді зусилля, що зрівноважують вузли дискретного образу, заданого чотиривимірною послідовністю (37), можна представити:

Друге представлення багатовимірної числової послідовності дозволяє дискретно формувати багатовиди різної розмірності з крайовими умовами у вигляді дискретних граток, де значення функції є відповідною координатою вузла гратки, а значення аргументів відповідають нумерації в системі визначення вузлів. Система виду:

дискретно визначає певний багатовимірний образ або ДВГО. Розмірності формованого образу відповідає число незалежних дискретних аргументів, а розмірності простору - число функцій.

Тобто, в цьому випадку, можна говорити, що система числових послідовностей (38) є дискретною моделлю - вимірного багатовиду в - вимірному просторі.

Так, наприклад, система чотирьох числових послідовностей представляють модель двовимірного образу у чотиривимірному просторі з рівномірним кроком уздовж однієї з координатних осей, а саме . Графічне представлення дискретної моделі сітки виконано на епюрі Радіщева (рис. 19).

П'ятий розділ присвячений комплексному дослідженню похибок, що виникають у процесі дискретного формування геометричних образів різної розмірності на рівномірній та нерівномірній сітках чи гратках.

Враховуючи прямий зв'язок статико-геометричного методу моделювання дискретно представлених образів з формоутворенням тих же об'єктів за допомогою числових послідовностей, можна сформулювати таке:

Твердження. Якщо координати будь-якої зрівноваженої дискретної структури можна представити як певну числову послідовність або систему числових послідовностей у замкненому вигляді, то похибка дискретного формування відсутня, образ задається абсолютно точно, а проблема згущення сітки або гратки відсутня.

Під час формування одновимірних геометричних образів перехід від лінійного різницевого рівняння рівноваги до замкненого вигляду числової послідовності здійснюється тільки у випадку, коли зовнішнє формоутворююче навантаження у вузлах сітки можна описати неперервною функцією виду . Якщо ж зовнішнє формоутворююче навантаження у вузлах залежить від невідомих параметрів формованого дискретно представленого образу, то перейти від скінченно-різницевого рівняння до замкненого вигляду числової послідовності одразу не вдається.

Існує безліч різних варіантів залежності формоутворюючого навантаження у вузлах від невідомих параметрів модельованої кривої, таких як: координати вузлів, положення дотичних у вузлах, кривина, довжина ланок супровідної ламаної тощо. У разі дискретного представлення вище наведених умов все зводиться до невідомих координат вузлів ДПК або їх різних комбінацій. Так, у випадку залежності навантаження у вузлі ДПК з рівномірним кроком - у моделюванні бере участь один невідомий вузол, дотичну у вузлі визначають координати двох суміжних з ним вузлів, кривину - трьох суміжних вузлів і т. д.

У загальному випадку залежність формоутворюючого навантаження від невідомих параметрів формованої ДПК можна подати у вигляді:

У такому випадку ітераційний процес будується на постійному уточненні значень формоутворюючого навантаження в системі лінійних рівнянь рівноваги, які в свою чергу будуть уточнювати координати моделі, до досягнення заданої точності на певному кроці ітерацій. Відносну похибку можна знайти за формулою

де - похибки на n-ній ітерації,

- координата i-того вузла на n-й ітерації, - на n-1 ітерації.

Процес формування ДПК ведеться в такій послідовності:

1. Враховуючи вихідні дані, формуємо перше наближення образу під дією рівномірного розподіленого навантаження , розв'язуючи систему лінійних рівнянь рівноваги (2).

2. Маючи координати вузлів, перераховуємо зусилля у вузлах сітки і підставляємо їх в загальному вигляді до системи лінійних рівнянь виду:

де - координати вузлів ДПК поточного наближення,

- координати вузлів ДПК попереднього наближення,

- невідомий коефіцієнт пропорційності.

З системи (41) знаходимо уточнені координати формованої ДПК та чергове наближення коефіцієнта пропорційності.

3. Знаходимо відносну похибку за (40).

4. Порівнюємо відносну похибку з припустимою. Якщо , ітераційний процес закінчується. Якщо ітераційний процес продовжуємо, починаючи з п.2.

Разом з тим методом послідовних наближень, знаходиться із заданою точністю невідомий коефіцієнт пропорційності , який змінює структуру лінійного різницевого рівняння (41), а значить рекурентну формулу числової послідовності.

Перехід від рекурентної формули до замкненого виду числової послідовності був описаний вище.

Визначена послідовність дозволяє отримати модель ДВК (рис. 20) із заданою точністю, згідно з вихідними умовами формування.

Метод послідовних наближень працює і тоді, коли вихідні умови формування ДПК не відповідають рівномірному кроку вузлів. При чому, відмінність від процесу формування ДПК з рівномірним кроком полягає тільки в ітераційному наближенні не однієї, а двох координатних складових.

Разом з тим, в оцінці точності дискретного представлення кривої використовують різного роду диференціальні характеристики, такі як: довжина кривої, що не дорівнює довжині хорди ДПК або сумі довжин її ланок, кут нахилу дотичної у певній точці, який не визначається точно на ДПК, радіус кривини у певній точці, який не точно визначається трьома суміжними вузлами і т. і. Позбутися, хоча тільки частково, такого роду похибок можливо шляхом згущення сітки дискретної моделі кривої. Проте, безпідставне (необмежене) згущення кроку дискретизації призводить до наростання похибки округлення.

У роботі наведено єдину методику вибору раціонального кроку сітки ДПК з урахуванням різного роду диференціальних характеристик кривої. Основна сутність методики полягає у поступовому згущенні заданого інтервалу формоутворення, в результаті якого будуть поступово уточнюватись диференційні характеристики дискретно представленої кривої.

Відносну похибку формоутворення будемо оцінювати за формулою:

де і - дискретні аналоги певної диференційної характеристики на n-му і n+1-му кроках згущення інтервалу.

Графічна інтерпретація зміни відносних похибок у процесі наближень носить гіперболічний характер з асимптотою, що збігається з віссю абсцис, а побудований графік (рис. 21) дозволяє за заданою відносною похибкою вибирати раціональний крок дискретизації кривої для досягнення потрібного результату.

Процес формування дискретних аналогів поверхонь багато в чому схожий з процесом формування ДПК, хоча є і певні відмінності. Ті дискретні каркаси двовимірних образів, що можуть бути описані подвійними числовими послідовностями у замкненому вигляді, абсолютно точно визначають поверхні, а проблема згущення дискретної сітки для таких образів відсутня.

При цьому вирішальну роль у визначенні подвійних числових послідовностей відіграють або початкові, або крайові умови. Наприклад, відсік поверхні гіперболічного параболоїда на будь-якому опорному контурі у вигляді просторового чотирикутника, тобто з будь-якими крайовими умовами, однозначно моделюється певними подвійними числовими послідовностями, побудованими на основі методу скінченних різниць.

Згущуючи каркас даної дискретно представленої поверхні, в усіх вузлах сітки будемо отримувати абсолютно точні результати, незалежно від числа проведених згущень.

Якщо крайові умови під час формування дискретного каркасу поверхні не відповідають „природі” лінійного різницевого оператора, що лежить в основі замкненої форми відповідної подвійної числової послідовності, похибка дискретного формоутворення завжди буде присутня і залежатиме від кроку дискретизації сітки на відсіку. Із зменшенням кроку дискретизації координати точок дискретної моделі відсіку поверхні будуть наближатись до “ідеалу”.

У роботі проведено дослідження залежності між показником відхилення крайових умов дискретних моделей поверхонь від “ідеалу”, числом кроків згущення сітки та похибкою дискретного формування. Оскільки при заданих довільних крайових умовах відсіку, континуального аналогу (“ідеалу”) практично не існує, відносна похибка дискретного геометричного формування (степінь наближення) оцінюється як різниця значень координат попереднього і поточного кроку згущення сітки.

Як „ідеальні” поверхні, можна приймати дискретні каркаси, які описуються подвійними числовими послідовностями у замкненому вигляді.

Пропонується наступна методика оцінки точності дискретного геометричного формування поверхонь.

Обираємо опорний контур формування відсіку, який дозволяє створити дискретний каркас “ідеальної” поверхні. Змінюємо положення однієї із сторін опорного контуру, вигинаючи її, з певним приростом координати серединної точки. Користуючись системою скінченно-різницевих рівнянь, формуємо на вигнутому опорному контурі сітку з одним внутрішнім вузлом і обчислюємо його координати. Згущуємо інтервали i та j у два, чотири, вісім, шістнадцять і т.д. разів, фіксуючи, як змінюються координати центрального вузла сітки.

У разі згущення сітки, сформованої на опорному контурі, різниця між координатами центрального вузла попереднього і поточного кроку згущення весь час зменшується, прямуючи до 0. Під час проведення розрахунків була виявлена наступна властивість, яка підтверджується експериментально (було проведено по 10 комп'ютерних експериментів з опорними контурами 5-ти поверхонь).

Властивість. Значення координат центрального вузла згущеного дискретного каркасу відсіку поверхні на рівномірній сітці залишаються незмінними при вигинанні однієї із сторін опорного контуру на певну величину, декількох, чи всіх сторін на ту ж величину.

Для побудови тривимірного графіка залежності між сумарним відхиленням опорного контуру, кроком згущення сітки та похибкою дискретного формування скористаємося рівнянням поверхні похибок, що має вигляд:

Побудована поверхня дає можливість за заданою допустимою похибкою визначити для якого сумарного відхилення контуру від “ідеалу” потрібно вибрати певний крок дискретизації відсіку. Ізолінію (рис. 22) поверхні похибок для заданої допустимої величини можна представити у вигляді:

Дискретна модель поверхні, із заданими вихідними умовами і заданою відносною похибкою, представлена на рис. 23.

У роботі наведена методика дослідження точності формування дискретних каркасів поверхонь з нерівномірною сіткою. Якщо за “ідеальний” дискретний каркас взяти двовимірний образ, описаний системою числових послідовностей (33), то під час формоутворення дискретної сітки з будь-якими крайовими умовами статико-геометричним методом, за показник відхилення крайових умов від “ідеальних” приймаємо сумарні відхилення серединних точок заданих опорних контурів кожної складової які є дискретними каркасами поверхонь на рівномірній сітці

де - сумарні відхилення серединних точок опорних контурів відповідних координатних складових.

За відносну похибку моделювання приймемо різницю відстані між положенням центрального вузла сітки з нерівномірним кроком поточного і попереднього етапу згущення вузлів, взятої у процентному відношенні

де - координати центрального вузла сітки з нерівномірним кроком поточного і попереднього етапів згущення.

Можливі різні комбінації щодо вигинання опорного контуру дискретної моделі образу, наприклад, відхилення на певну величину опорного контуру тільки по одній складовій по двох - або по трьох . При цьому справедлива властивість, яка доповнює попередню.

Властивість. Значення відносної похибки (44) положення центрального вузла на будь-якому кроці згущення залишається незмінним під час вигинання опорного контуру однієї складової на певну величину, опорних контурів двох чи трьох координатних складових сумарно на ту ж саму величину.

На кожному кроці згущень, за (44) обчислюються відносні похибки, інтерполяційні поліноми, що їх описують, і будується поверхня похибок (рис. 22), яка дозволяє із заданою точністю будувати дискретні каркаси поверхонь з нерівномірним кроком сітки.

Запропонована методика оцінки точності геометричного формування двовимірних образів з нерівномірним кроком дозволяє за заданою відносною похибкою моделі вибирати раціональний крок дискретизації поверхонь (рис. 24).

У роботі узагальнено вплив похибок на формування образів довільної розмірності у p-вимірному евклідовому просторі. Суттєвою особливістю є те, що у процесі дискретного формування багатовидів у p-вимірному просторі за моделі абсолютно точних дискретних каркасів приймаються багатовимірні числові послідовності виду (38), які мають довільні крайові умови у вигляді “ідеальних” граток. Для забезпечення єдиного підходу до оцінки точності дискретного формування гіперсіток як крайові умови запропоновано приймати образи розмірністю n-1. Так чотиривимірний дискретний образ у п'ятивимірному просторі має крайові умови у вигляді тривимірних дискретних граток.

У шостому розділі описано програмне забезпечення процесів формоутворення дискретних моделей об'єктів та впровадження результатів досліджень у виробництво.

Зрозуміло, що на сучасному етапі теоретичні дослідження, що проведені у роботі, з узагальнення статико-геометричного методу формоутворення дискретних образів довільної розмірності, використання математичного апарату числових послідовностей, як нового методу формування і дискретних моделей об'єктів, і їх неперервних аналогів, оцінки похибок моделювання тих чи інших образів втратили б свою змістовність і ефективність без застосування ЕОМ.

Процес дискретного формоутворення геометричних образів, особливо коли мова йде про моделі великої розмірності, які сформовані на нерівномірній сітці чи гратці, потребує розрахунків значної кількості дискретної інформації, а різноманітні вихідні умови моделювання вимагають постійного коригування алгоритмів, графічної візуалізації образів, оцінки похибок формування.

Запропонований у роботі програмний комплекс моделювання геометричних образів різної розмірності, створений на базі оболонки MathCAD, має модульну структуру і є універсальним, оскільки модулі легко адаптуються до розв'язання великої кількості прикладних задач у різноманітних галузях сучасного виробництва. Особливістю програмного комплексу є те, що кожен із модулів забезпечує процеси паралельного формоутворення об'єктів як статико-геометричним методом, так і методом формування тих же об'єктів за допомогою математичного апарату числових послідовностей, з постійним контролем і порівнянням результатів обох методів на кожному етапі геометричного моделювання. Програмний комплекс складається із чотирьох модулів, кожен з яких розрахований на формування дискретних моделей кривих ліній, дискретних сіток на криволінійних поверхнях, тривимірних дискретних граток та дискретних моделей N-вимірних образів у просторах довільного числа вимірів (в цьому програмному продукті розмірність образів та розмірність просторів обмежена числом 8). На основі проведених у роботі досліджень, отриманих теоретичних результатів, розроблена методика, алгоритми та програмне забезпечення процесів моделювання кузовних поверхонь автомобілів на початкових стадіях проектування, з раціональною дискретизацією елементів панелей. Методика та програмне забезпечення впроваджені на підприємстві ВАТ “ЛуАЗ”. Приклади створення геометричних моделей елементів кузова автомобіля ЛуАЗ-1301, з раціональною дискретизацією панелей, а саме, капота та дверей задка, наведено на рис. 25.

Загальновідомо, що застосування просторових конструкцій типу оболонок є ефективним при покрівлі великопрогонних споруд у будівництві. Раціональність використання оболонок порівняно з плоскими покрівлями відзначається цілим рядом позитивних факторів, а саме: зниженням матеріаломісткості на 20-30%, зменшенням маси покрівлі до 40%, збільшенням виробничих площ до 5%, а також значним підвищенням архітектурно-художньої виразності споруди. Однак широке використання таких типів покрівель в сучасних спорудах обмежене, оскільки потребує, з одного боку, використання достатньо складної оснастки для виготовлення елементів покриття, а з іншого - складних розрахунків, які неможливі без ретельного дослідження геометричних аспектів проектування. Саме врахування геометричних особливостей конструкції, використання методів наближеного паркетування криволінійних поверхонь і є основою для розрахунків та технології зведення оболонок. У роботі запропонована конструкція щита трансформованої опалубки багаторазового використання, на яку автор отримав авторське свідоцтво, для виготовлення елементів криволінійних збірних оболонок, а розроблені методика та програмне забезпечення геометричних розрахунків дозволили створювати моделі оболонок із заданими параметрами елементів паркету, які можна отримати за допомогою щита. Результати були впроваджені в трьох будівельних компаніях м. Львова, м. Києва, м. Луцька, про що є відповідні довідки у додатках. Здійснено впровадження результатів роботи і в навчальний процес у навчальному посібнику “Основи дискретної геометрії кривих ліній і поверхонь”.

Висновки

У дисертаційному дослідженні розв'язано наукову проблему створення нової геометричної теорії дискретного формування геометричних образів різної розмірності на основі синтезу дискретних формоутворюючих властивостей класичного методу скінченних різниць, статико-геометричного методу моделювання та геометричної інтерпретації математичного апарату числових послідовностей.

Складовими частинами розв'язку проблеми є наступні найбільш вагомі результати.

1. Розроблено методи, що дозволяють розширити формоутворюючі можливості статико-геометричного методу моделювання кривих ліній та поверхонь на рівномірній сітці за рахунок представлення різної статичної інтерпретації залежності формоутворюючого навантаження від координат вузлів формованої сітки. Розроблені методи дають можливість зв'язати статико-геометричний підхід до формування дискретних аналогів кривих ліній та поверхонь з класичним методом скінченних різниць і спрямовані на формоутворення образів достатньо широкого класу.

2. Вперше в прикладній геометрії розроблено методи дискретного визначення кривих ліній на рівномірній сітці за допомогою геометричної інтерпретації математичного апарату одновимірних числових послідовностей за заданих початкових і крайових умов. Ці методи дозволяють формувати дискретні каркаси кривих, вузли яких перебувають у рівновазі, без складання та розв'язання громіздких систем лінійних рівнянь, з подальшим переходом до неперервних аналогів модельованих кривих. Розроблено методи врахування функції зовнішнього формоутворюючого навантаження у виразах одновимірних числових послідовностей, що моделюють дискретні аналоги кривих ліній за заданими початковими або крайовими умовами. Методи дозволяють формувати дискретні каркаси кривих ліній з широким набором вихідних умов формоутворення.

3. Розроблено методи формування коефіцієнтів скінченно-різницевих рівнянь усіх видів топологічно правильних сіток для моделювання дискретних каркасів криволінійних поверхонь, процеси формування графічно представлено “пірамідами коефіцієнтів”, які наочно демонструють зростання порядку лінійних різницевих операторів під час формування дискретних аналогів двовимірних образів. Це дає можливість контролювати точність формування дискретно представлених поверхонь, ефективно використовувати різні типи обчислювальних шаблонів для розв'язання конкретних практичних задач.

4. Вперше розроблено методи дискретного формоутворення двовимірних образів на рівномірній сітці за допомогою геометричної інтерпретації математичного апарату подвійних числових послідовностей за заданих початкових та крайових умов, з подальшим переходом до неперервних аналогів формованих сіток без застосування складних алгоритмів згущення. Розроблено методи врахування функції формоутворюючого навантаження у виразах подвійних числових послідовностей та статичної інтерпретації коефіцієнтів різницевих операторів під час формування дискретних каркасів двовимірних образів на рівномірній сітці. Це дає можливість збільшити кількість вільних параметрів управління формою дискретних каркасів, а відтак розширює варіативність створюваних моделей.

5. Вперше у прикладній геометрії розроблено методи формування дискретно визначених кривих ліній та поверхонь з вихідними умовами, що не обмежені рівномірним кроком вузлів за допомогою геометричної інтерпретації систем числових послідовностей. Запропоновані методи дозволяють формувати дискретні каркаси кривих та поверхонь без розв'язання систем лінійних рівнянь і переходити до параметрично представлених функцій, що описують неперервні аналоги каркасів.

6. Вперше розроблено методи формоутворення дискретних граток тривимірних образів за допомогою апарату тривимірних числових послідовностей або систем послідовностей, а на їх основі - формування n-вимірних дискретних образів у просторах довільного числа вимірів, що узагальнює геометричну теорію дискретного формування образів числовими послідовностями.

7. Розроблено методи та алгоритми формування дискретних аналогів одновимірних та двовимірних образів на рівномірній і нерівномірній сітках із заданою точністю та раціональною дискретизацією елементів каркасів. Побудовані графіки похибок дозволяють за заданою точністю вибирати раціональний крок дискретизації кривих та поверхонь.

8. Вперше розроблено методи аналізу впливу похибок на моделювання зрівноважених дискретних структур у просторах довільного числа вимірів, а на їх основі - згущення вузлів гіперграток з використанням систем багатовимірних числових послідовностей.

9. На основі проведених досліджень розроблено алгоритми та програмне забезпечення автоматизованого геометричного моделювання кузовних панелей автомобілів, з раціональною дискретизацією криволінійних поверхонь.

10. Розроблено алгоритми та програмне забезпечення автоматизованого формування моделей залізобетонних оболонок за заданими геометричними параметрами елементів паркетування. Запропоновані алгоритми, конструкція щита, дозволяють спростити та уніфікувати процеси проектування та виготовлення залізобетонних оболонок.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Пустюльга С.И., Лавренчук И.И., Теплякова Т.И. Вопросы точности аппроксимации при моделировании трансформируемой опалубки многоразового использования. // Прикл. геометрия и инж. графика. К., 1987. Вып. 43. С. 37-38.

2. Михайленко В.Е., Пустюльга С.И. Геометрическое конструирование опалубки из трансформируемых щитов для возведения оболочек двоякой кривизны. // Прикл. геометрия и инж. графика. К., 1987. Вып. 44. С. 3-7.

3. Пустюльга С.И., Ачкасов Д.О. Формообразование сборных оболочек двоякой кривизны с учетом унификации плит паркета.// Прикл. геометрия и инж. графика. К., 1988. Вып. 45. С. 112-114.

4. Пустюльга С.И., Клак Ю.В., Копчунь А.А., Прибиш А.Г. Аппроксимация криволинейных поверхностей отсеками поверхностей Каталана применительно к проектированию опалубки. Рукопись деп. в УкрНИИНТИ, 1988, N2450, УК-88. 14 с.

5. Пустюльга С.И., Самчук П.В., Клак Ю.В., Прибиш А.Г. Вопросы паркетирования поверхностей двоякой кривизны применительно к проектированию опалубки. Рукопись деп. в УкрНИИНТИ, 1989, N2482, УК-89. 17 с.

6. Пустюльга С.И. и др. Опалубка для оболочек криволинейной формы (авторське свідоцтво №1622554). Госком изобретений. 1990.

7. Пустюльга С.И., Бурчак И.Н., Самчук П.В. Управление формой дискретных сетей посредством аффинных преобразований. //Совершенст. методики преподавания граф. дисциплин и маш. граф. Респ. конф., Ровно: Облполиграфиздат, 1990. Ч.2. С. 91-92.

8. Пустюльга С.И., Самчук П.В., Павлюк И.В Управление формой дискретних сетей посредством преобразований. Всесоюз. наук. мет. семінар. Полтава, 1991. С. 45.

9. Ковальов С.М., Пустюльга С.І., Самчук П.В. Локальне коректування дискретних сіток. // Прикладна геометрія та інженерна графіка. К., 1991. Вип.52. С. 8-11.

10. Самчук П.В., Пустюльга С.И., Бурчак И.Н. Формирование дискретных сетей по наперед заданным требованиям. // Прикл. геометрия и инж. графика. 1991. Вып. 51. С. 73-76.

11. Ковалев С.Н., Пустюльга С.И., Самчук П.В. Учет влияния геометрии опорного контура на моделирование дискретно заданных поверхностей. // Прикладная геометрия и инженерная графика. К., 1992. Вып. 53. С. 12-17.

12. Пустюльга С.І., Павлюк І.В., Гордєєва Е.П., Клак Ю.В. Визначення форми поверхонь методом поперечних перерізів. Міжнародна науково-технічна конференція “Автоматизація і діагностика в механообробці”, Луцьк, 1993. С. 47.

13. Пустюльга С.И., Павлюк И.В., Клак Ю.В. Моделирование дискретных аналогов семейства интегральных кривых. Міжнародна науково-технічна конференція “Автоматизація і діагностика в механообробці”, Луцьк, 1993. С.48.

14. Пустюльга С.І. Геометричне моделювання процесів формоутворення поверхонь складної форми. Тези доповіді 8-ї науково-технічної конференції ЛІІ, Луцьк, 1993. С. 183.

15. Пустюльга С.І., Клак Ю.В. Формоутворення дискретних сіток з наперед заданими умовами. Тези доповіді 10-ї науково-технічної конференції ЛІІ, Луцьк, 1995. С. 101.

16. Божидарник В.В., Пустюльга С.І., Клак Ю.В. Геометрична інтерпретація формоутворення поверхонь складної форми, що моделюють оболонки. 3-ій міжнародний симпозіум “Некласичні проблеми теорії тонкостінних елементів конструкцій”. Збірник наукових праць ІФДТУНГ, І.Франківськ, 1995. С. 28-29.

17. Клак Ю.В., Пустюльга С.І., Дослідження коефіціентів матриці впливу при моделюванні алгебраїчних поверхонь. Тези 10-ї науково-технічної конференції ЛІІ, Луцьк, 1995. С. 51-52.

18. Ковальов С.М., Пустюльга С.І., Клак Ю.В. Математичне моделювання дискретних каркасів поверхонь складної форми. Збірник наукових праць ЛІІ, Луцьк, 1997. Ч.2. С. 95-99.

19. Пустюльга С.І., Самчук В.П. Моделювання континуальних аналогів дискретних кривих за допомогою характеристичних многокутників. // Прикладна геометрія та інженерна графіка. К., 1999. Вып.65. С. 111-114.

20. Пустюльга С.І., Клак Ю.В. Формування дискретного точкового каркасу порцій поверхонь за Кунсом.// Прикладна геометрія та інженерна графіка. К., 1999. Вип.66. С. 126-129.

21. Пустюльга С.І., Самольянова О.Ю. Геометрична інтерпретація матриць розмірності 2 як коефіцієнтів рівнянь лінійних перетворень. Наукові нотатки ЛДТУ. Вип.6. Луцьк, 2000. С. 168-181.

22. Пустюльга С.І., Клак Ю.В. Матричне представлення криволінійних поверхонь. Тези 1-го наукового симпозіуму “Сучасні проблеми інженерної механіки”, Луцьк, 2000. С. 51-52.

23. Пустюльга С.І., Самольянова О.Ю. Геометрична інтерпретація матриць розмірності 3 елементи якої є коефіцієнтами рівнянь лінійних перетворень. Наукові нотатки ЛДТУ. Вип.7. Луцьк, 2000. С. 193-204.

24. Пустюльга С.І., Клак Ю.В. Геометричні властивості добутків матриць-стрічок в статичних розрахунках оболонок. //Математичні проблеми механіки неоднорідних структур, -Львів, 2000. Т.1. С. 379-382.

25. Пустюльга С.І., Самольянова О.Ю. Геометрична інтерпретація лінійчатих дискретно представлених поверхонь.// Прикладна геометрія та інженерна графіка. К., 2000. Вип.67. С. 146-149.

26. Пустюльга С.І., Клак Ю.В. Дослідження геометричних властивостей матриць довільної розмірності. Наукові нотатки ЛДТУ. Вип.6. Луцьк, 2000. С. 181-191.

27. Пустюльга С.І., Клак Ю.В., Бондарєв В.М. Властивості комплексів операцій над матрицями під час формоутворення геометричних моделей оболонок. Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій. Збірник наукових праць, Львів, Каменяр. 2002. Вип. 5. С. 172-174.

28. Ковальов С.М., Пустюльга С.І., Самчук В.П. Дослідження взаємозв'язку характеру функціонально заданого навантаження з формою модельованої ДПК.Наукові нотатки ЛДТУ. Луцьк, Вип. 13. 2003. С. 151-159.

29. Пустюльга С.І., Самчук В.П., Придюк В.М. Дискретне представлення кола на основі статико-геометричного методу. Наукові нотатки ЛДТУ. Вип.13.Луцьк, 2003. С. 255-264.

30. Пустюльга С.І. Дискретні моделі кривих ліній з нерівномірним кроком вздовж осі абсцис. Міжнародна конф. Сучасні проблеми геометричного моделювання. Львів, 2003. С. 65-69.

31. Пустюльга С.І., Клак Ю.В. Геометричні властивості добутків матриць довільної розмірності. Міжнародна конф. Сучасні проблеми геометричного моделювання.Львів, 2003. С. 70-72.

32. Пустюльга С.І., Самчук В.П. Формування дискретно поданих кривих під навантаженням, що залежить від метричних параметрів кривих. // Прикладна геометрія та інженерна графіка. К., 2003. Вип.72. С. 178-181.

33. Ковальов С.М., Ботвіновська С.І., Пустюльга С.І., Самчук В.П. Дискретна параболічна інтерполяція на площині. Сучасні проблеми геометричного моделювання. Львів, 2003. С. 60-64.

34. Пустюльга С.І. Вплив формоутворюючого навантаження на моделювання дискретно визначених кривих за допомогою числових послідовностей. // Первая научно- практ. конф. в Симферополе “Геометрическое и компьютерное моделирование…”Сборник научных трудов КНУТД. Киев, 2004. С. 115- 120.

35. Пустюльга С.І. Взаємозв'язок між числовими послідовностями, дискретними функціями та їх неперервними моделями. Наукові нотатки ЛДТУ. Вип.14. Луцьк, 2004. С. 244-251.

36. Пустюльга С.І., Самчук В.П., Придюк В.М., Клак Ю.В. До питання дискретного моделювання двовимірних образів у тривимірному просторі.Наукові нотатки ЛДТУ. Вип.14.Луцьк, 2004. С. 251-257.

37. Пустюльга С.І. Дискретне моделювання лінійних комплексів загального виду. // Геометричне та комп'ютерне моделювання. Харків, 2004. Вип. 5. С. 54-62.

38. Пустюльга С.І., Самчук В.П. Дискретна інтерполяція двовимірних образів на основі статико-геометричного методу. // Геометричне та комп'ютерне моделювання. Харків, 2004. Вип. 6. С. 58-67.

39. Пустюльга С.І., Клак Ю.В. Параметризація вихідних даних при дискретному моделюванні двовимірних образів. Тези 19-ї науково-техн. конф. ЛДТУ, Луцьк, 2004. С. 8-9.

40. Пустюльга С.І Принципи узагальнення статико-геометричного підходу до моделювання дискретних структур.// Прикладна геометрія та інженерна графіка. К., 2004. Вип.74. С. 114-121.

41. Пустюльга С.І., Придюк В.М. Узагальнення підходів статико-геометричного методу до моделювання образів довільної розмірності. // Наукові нотатки ЛДТУ. Вип.15.Луцьк, 2004. С. 265-271.

42. Ковальов С.М., Вязанкін В.О., Пустюльга С.І. Статична і геометрична інтерпретація трьох точкових різницевих операторів для одновимірного інтерполювання вперед і назад.// Праці ТДАА, Прикладна геометрія та інженерна графіка, Мелітополь, 2004. Т.28. С. 21-25.

43. Ковалев С.Н., Пустюльга С.И. Место числових последовательностей в дискретном геометрическом моделировании. // Геометричне та комп'ютерне моделювання. Харків, 2005. Вип.10. С. 10-15.

44. Пустюльга С.І., Клак Ю.В. Дискретне моделювання криволінійних поверхонь із заданими параметрами елементів паркету. // Вторая научно- практ. конф. в Симферополе “Геометрическое и компьютерное моделирование…”Сборник научных трудов КНУТД. Киев, 2005. С. 103-108.

45. Пустюльга С.І., Придюк В.М., Самчук В.П., Клак Ю.В., Самостян В. Формування одновимірних числових послідовностей, що моделюють криві із заданими крайовими умовами // Наукові нотатки ЛДТУ. Вип.16. Луцьк, 2005. С. 198-204.

46. Пустюльга С.І., Придюк В.М. Автоматизація процесу геометричного моделювання кузовних деталей автомобілів. // Вторая научно- практ. конф. в Симферополе “Геометрическое и компьютерное моделирование…”Сборник научных трудов КНУТД. Киев, 2005. С. 108-114.

47. Пустюльга С.І. Формування подвійних числових послідовностей при заданих крайових умовах// Наукові нотатки ЛДТУ. Вип.16. Луцьк, 2005. С. 205-209.

48. Пустюльга С.І. Вираження аналогів лівих, правих і центральних різниць через числові послідовності // Геометричне та комп'ютерне моделювання. Харків, 2005. Вип.12. С. 87-93.

49. Пустюльга С.І. Похибки, що виникають при моделюванні дискретно представлених кривих ліній // Вторая научно- практ. конф. в Симферополе “Геометрическое и компьютерное моделирование…”Сборник научных трудов КНУТД. Киев, 2005. С. 60-66.

50. Пустюльга С.І Формування подвійних числових послідовностей для моделювання ДВП при заданих початкових умовах.// Прикладна геометрія та інженерна графіка. К., 2005. Вип.75. С. 146-152.

Анотація

Пустюльга С.І. Дискретне визначення геометричних об'єктів числовими послідовностями. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 05.01.01. Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Київський національний університет будівництва та архітектури. - Київ, 2006р.

Дисертаційна робота присвячена створенню нової геометричної теорії дискретного формування геометричних образів різної розмірності на основі синтезу дискретних формоутворюючих властивостей класичного методу скінченних різниць, статико-геометричного методу моделювання та геометричної інтерпретації математичного апарату числових послідовностей.

Розроблено геометричні методи, які дозволяють розширити формоутворюючі можливості статико-геометричного методу моделювання кривих ліній та поверхонь на рівномірній сітці. Запропоновано методи формування коефіцієнтів скінченно-різницевих рівнянь усіх видів топологічно правильних сіток для моделювання дискретних каркасів криволінійних поверхонь. Розроблені геометричні методи дискретного визначення образів довільної розмірності на рівномірній та нерівномірній сітках за допомогою геометричної інтерпретації математичного апарату багатовимірних числових послідовностей або систем послідовностей. Розроблено методи аналізу впливу похибок на моделювання зрівноважених дискретних структур у просторах довільного числа вимірів, а на їх основі - метод раціонального згущення вузлів гіперграток з використанням систем багатовимірних числових послідовностей.

Результати досліджень впроваджено в практику проектування поверхонь кузовних деталей автомобілів, в архітектурно-будівельну практику та в навчальний процес.

Ключові слова: дискретне визначення об'єктів, числові послідовності, статико-геометричний метод моделювання, дискретне формування, зрівноважені дискретні структури, раціональне згущення вузлів.

Аннотация

Пустюльга С.И. Дискретное определение геометрических объектов числовыми последовательностями. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.01.01. Прикладная геометрия, инженерная графика. - Киевский национальный университет строительства и архитектуры. - Киев, 2006г.

Диссертационная работа посвящена созданию новой геометрической теории дискретного формирования геометрических образов произвольной размерности на основе синтеза дискретных формобразующих свойств классического метода конечных разностей, статико-геометрического метода моделирования и геометрической интерпретации математического аппарата числовых последовательностей.

Разработаны геометрические методы, которые позволяют расширить формообразующие возможности статико-геометрического метода моделирования кривых линий и поверхностей на равномерной сетке. Предложены методы формирования коэффициентов конечно-разностных уравнений всех видов топологически правильных сеток для моделирования дискретных каркасов криволинейных поверхностей. Разработаны геометрические методы дискретного определения образов произвольной размерности на равномерной и неравномерной сетках с помощью геометрической интерпретации математического аппарата многомерных числовых последовательностей или систем последовательностей. Разработаны методы анализа влияния погрешностей на моделирование уравновешенных дискретных структур в пространствах произвольного числа измерений, а на их основе - метод рационального сгущения узлов гиперрешеток с использованием систем многомерных числовых последовательностей.

Результаты исследований внедрены в практику проектирования поверхностей кузовных деталей автомобилей, в архитектурно-строительную практику и в учебный процесс.

Ключевые слова: дискретное определение объектов, числовые последовательности, статико-геометрический метод моделирования, дискретное формирование, уравновешенные дискретные структуры, рациональное сгущение узлов.

Annotation

S.I. Pustyulga. Discrete determination of geometrical objects by numerical sequences. - Manuscript. The competition thesis for scientific degree of Doctor Technical Sciences in speciality 05.01.01. Applied geometry, engineering graphic.- Kyiv National University of Building and Architecture Kyiv, 2006.

The dissertation is devoted to creation of a new geometrical theory of the discrete forming of geometrical appearances of arbitrary dimensions on the basis of synthesis of discrete forming properties of classic method of finite differences, statics-geometrical method of modelling and geometrical interpretation of mathematical body of numerical sequences.

Geometrical methods enabling to extend forming possibilities of statics-geometrical method of curve lines and surfaces on an even net are developed. The methods of forming of coefficients of finite difference equotions of all kinds of topologically correct nets for modelling of discrete frameworks of curvilinear surfaces are offered. The geometrical theory of discrete determination of appearances of arbitrary dimensions on even and uneven nets by geometrical interpretation of mathematical body of multidimensional numerical sequences or systems of sequences is developed. The methods of analysis of influence of errors on modelling of the balanced discrete structures in spaces of arbitrary number of measurings are developed, and, on their basis, - rational condensing of sites of hypergrates with the use of the systems of multidimensional numerical sequences.

The results of researches are inculcated in practice of designing of surfaces of basket details of cars, in architectural and building practice and educational process.

Keywords: discrete determination of objects, numerical sequences, statics-geometrical method of modelling, discrete forming, balanced discrete structures, rational condensing of sites.

Размещено на Allbest.ru

...