Розвиток теорії та методів оцінювання точності результатів вимірювань з урахуванням концепції невизначеності

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДЕРЖАВНИЙ КОМІТЕТ УКРАЇНИ З ПИТАНЬ ТЕХНІЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ ТА СПОЖИВЧОЇ ПОЛІТИКИ НАЦІОНАЛЬНИЙ НАУКОВИЙ ЦЕНТР “ІНСТИТУТ МЕТРОЛОГІЇ”

УДК 006.91:53.088

РОЗВИТОК ТЕОРІЇ ТА МЕТОДІВ ОЦІНЮВАННЯ ТОЧНОСТІ РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРЮВАНЬ З УРАХУВАННЯМ КОНЦЕПЦІЇ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ

Спеціальність 05.11.15 - метрологія та метрологічне забезпечення

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Захаров Ігор Петрович

Харків - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті радіоелектроніки Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор Руженцев Ігор Вікторович, Харківський національний університет радіоелектроніки, завідувач кафедри “Метрологія та вимірювальна техніка”

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Клейман Олександр Самуїлович, Національний науковий центр “Інститут метрології” Держспоживстандарту України, начальник лабораторії

доктор технічних наук, професор Володарський Євген Тимофійович, Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, професор кафедри автоматизаціїекспериментальних досліджень

доктор технічних наук, професор Щербак Леонід Миколайович, Національний авіаційний університет, професор кафедри інформаційно - вимірювальних систем

Провідна установа: Державне підприємство “Науково-дослідний інститут метрології вимірювальних і управляючих систем (ДП НДІ “Система”) Держспоживстандарту України м. Львів.

Захист дисертації відбудеться „ 27 ” квітня 2006 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.827.01 при Національному науковому центрі “Інститут метрології” за адресою: 61002, Харків, вул. Мироносицька, 42.

З дисертацією можна ознайомиться у бібліотеці Національного наукового центру “Інститут метрології”

Автореферат розісланий „ 27” березня 2006 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради,

к.т.н., доцент І.Ф. Дем'янков

АНОТАЦІЯ

Захаров І.П. Розвиток теорії та методів оцінювання точності результатів вимірювань з урахуванням концепції невизначеності. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 05.11.15 - метрологія та метрологічне забезпечення. Національний науковий центр “Інститут метрології”, Харків, 2006.

У дисертації наведено вирішення актуальної проблеми підвищення достовірності оцінювання точності результатів вимірювань. Головним аспектом цієї проблеми є знаходження достовірних статистичних та нестатистичних оцінок похибки та невизначеності вимірювань за допомогою аналітичних та чисельних методів. Отримано вирази для оцінки результату вимірювань з багаторазовими спостереженнями, які забезпечують підвищення достовірності оцінювання похибки (невизначеності) при довільно заданих законах розподілу вхідних величин. Одержано композиції законів розподілу Стьюдента для корельованих і не корельованих результатів спостережень для нормальних і анормальних законів розподілу. Знайдено достовірні оцінки числа степенів свободи цієї композиції і коефіцієнта покриття при пошуку розширеної невизначеності статистичної оцінки. Розглянуто засади достовірного оцінювання невизначеності основних різновидів вимірювань для довільних законів розподілів з урахуванням можливої кореляції. Розроблено набір рекомендацій з вирішення перерахованих задач, який включає методики оцінювання розширеної невизначеності і технології складання бюджету невизначеності.

Ключові слова: похибка, невизначеність, стандартне відхилення, коефіцієнт покриття, обробка результатів вимірювань, метод Монте-Карло.

ABSTRACT

I.P. Zakharov. Development of the theory and methods of estimation of accuracy of results of measurements taking into account the concept of uncertainty.

The doctoral dissertation on speciality 05.11.15 - metrology and metrological assurance. National Centre of Science “ Institute of Metrology ”, Kharkiv, 2006.

The dissertation gives solving of the actual problem of increase of trustworthiness of measurement results accuracy estimation. The main aspect of this problem is finding the trustworthy the statistical and non-statistical estimation of the error and uncertainty of measurements by means of analytical and numerical methods. спостереження статистичний вимірювання аналітичний

The expression for estimation of the result of measurements with repeated observations which provides increase of reliability of estimation of the error (uncertainty) at one's own choosing set laws of distribution of input quantities is got. The compositions of the laws of Student's distribution for correlated and uncorrelated results of observations for normal and abnormal laws of distribution are got. The reliable estimations of the number of degrees of freedom of this composition and coverage factor are found at search of the expanded uncertainty of statistical estimation. The bases of the reliable estimation of uncertainty of the basic varieties of measurements for the will laws of distributions taking into account the possible correlation are considered. The set of recommendations on the listed problems solving, which includes the methods of estimation of the expanded uncertainty and technology of drawing up the uncertainty budget is developed.

Key words: error, uncertainty, standard deviation, coverage factor, results of measurements processing, Monte Carlo simulation.

АННОТАЦИЯ

Захаров И.П. Развитие теории и методов оценивания точности результатов измерений с учетом концепции неопределенности. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.11.15 - метрология и метрологическое обеспечение. Национальный научный центр “Институт метрологии”, Харьков, 2006.

Проведен анализ современного состояния и основных тенденций оценивания точности результатов измерений. Рассмотрены требования к достоверности оценок точности. Исследована степень достоверности различных статистических и нестатистических оценок точности, применяемых при обработке результатов измерений. Оценены возможности применения аналитических и численных методов для повышения достоверности этих оценок. Проведен анализ отечественных и зарубежных нормативных документов в исследуемой предметной области. Проведено сравнение двух основных подходов к оцениванию точности измерений: классического подхода и подхода неопределенности. Проанализированы общие принципы оценивания неопределенности измерений, порядок вычисления статистических и нестатистических оценок составляющих и их ковариаций, составления бюджета неопределенности, оценивание доверительной погрешности и расширенной неопределенности измеряемой величины. Выявлены основные ограничения обоих подходов, определены направления преодоления этих ограничений с целью повышения достоверности оценивания точности измерений.

Методом Монте-Карло получены выражения для оценки результата измерения с многократными наблюдениями, обеспечивающее повышение достоверности оценивания погрешности (неопределенности) при произвольно заданных законах распределения входных величин. На основе совместной функции распределения получены композиции законов распределения Стьюдента для коррелированных и некоррелированных результатов наблюдений для нормальных и анормальных законов распределения. Найдены достоверные оценки числа степеней свободы этой композиции и коэффициента охвата при нахождении расширенной неопределенности статистической оценки.

Разработаны принципы моделирования совместных произвольных законов распределения входных величин с учетом корреляции между ними. Методом Монте-Карло синтезированы модели композиций законов распределения нескольких входных величин, имеющих стандартные законы распределения, используемые при оценивании доверительных границ неисключенных систематических погрешностей (неопределенности типа В) для разных коэффициентов корреляции и соотношения стандартных отклонений. Разработаны рекомендации по оцениванию коэффициентов охвата нестатистических оценок точности результатов измерений при отсутствии логической корреляции между входными величинами. Обосновывается возможность применения метода эксцесса для нахождения расширенной неопределенности измерения при суммировании коррелированных нестатистических оценок точности с различными законами распределения.

Рассмотрены основы достоверного оценивания неопределенности прямых однократных, а также одной и нескольких групп многократных гомоскедастичных и гетероскедастичных измерений с учетом возможной корреляции между результатами наблюдений групп. Разработан набор рекомендаций по решению перечисленных задач, включающий методики оценивания расширенной неопределенности и технологии составления бюджета неопределенности.

Рассмотрены основы достоверного оценивания неопределенности косвенных однократных и многократных измерений с учетом наблюдаемой и логической корреляции между входными величинами для различных видов модельных уравнений. Рассмотрены основы достоверного оценивания неопределенности совместных измерений с учетом обоих типов неопределенности одновременно наблюдаемых величин.

Приведены примеры практического применения полученных в работе результатов при оценивании неопределенности при выполнении метрологических операций. Получены выражения, обеспечивающие взаимный перерасчет характеристик погрешности и неопределенности измерений.

Ключевые слова: погрешность, неопределенность, стандартное отклонение, коэффициент охвата, обработка результатов измерений, метод Монте-Карло.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Підвищення точності вимірювань є однією з найважливіших проблем сучасної метрології. Один із шляхів рішення цієї проблеми - удосконалення методів обробки і оцінювання точності результатів вимірювань. Науковою основою оцінювання точності результатів вимірювань є теорії (концепції) похибок і невизначеності, що мають один математичний апарат - теорію імовірності і математичної статистики, але дещо відрізняються як термінологією, так і підходами до рішення окремих статистичних задач.

Найбільший внесок у розвиток класичного підходу (КП) внесли російські та українські вчені (за алфавітом): Є.Т. Володарський, Є.Ф. Долинський, М.А. Земельман, О.С. Клейман, Ж.Ф. Кудряшова, В.А. Кузнєцов, М.Ф. Маліков, П.В. Новицький, П.П. Орнатський, В.І. Проненко, С.Г. Рабінович, В.Я. Розенберг, Л.З. Румшиський, Ю.М. Туз, В.М. Чинков, Л.М. Щербак та ін., завдяки плодотворній діяльності яких були розроблені наукові основи оцінювання похибок і впроваджені у практику нормативно-технічні документи, багато з яких використовуються у вітчизняній метрологічній практиці дотепер.

Курс України на європейську і міжнародну інтеграцію обумовлює перехід до єдиних стандартів в галузі планування, проведення вимірювань й обробки їх результатів. Ці стандарти є інструментом взаємного визнання результатів вимірювань і гармонізації міждержавних взаємин у виробничих та невиробничих сферах. Прийняття Україною міждержавного документа РМГ 43-2001, введення в дію ДСТУ ISO/IEC 17025 - 2001, а також підписання Угоди про взаємне визнання національних еталонів одиниць і свідоцтв калібрувань і вимірювань, які видаються національними метрологічними інститутами (MRA), поклало початок законодавчому використанню підходу невизначеності (ПН) в Україні.

Одними з перших відобразили у своїх працях (1981-1997) основи концепції ПН (у хронологічному порядку) В.І. Проненко, М.А. Земельман, Л.К. Ісаєв, Л. Лейфер, Ю.В. Тарбєєв, В.А. Слаєв, А.Г. Чуновкіна. Пізніше (2000-2002) з'явилися публікації в українських виданнях О.М. Величко, О.І. Колбасіна, О.В. Прокопова, Б.Ф. Маркова, В.Д. Циделко, Н.А. Яремчук, В.М. Новікова, В.Д. Кукуша, В.П. Чалого. Аналогічні публікації з'явилися в цей же час у країнах ближнього зарубіжжя (Н.Єфремова - Бєларусь; Т. Барашкова, Р. Лаанеотс - Естонія; Х. Радев, В. Богев - Болгарія; Т. Скубис - Польща).

При вирішуванні задач міжнародної єдності вимірювань одним з центральних моментів є підвищення достовірності одержуваних оцінок точності, під якою треба розуміти міру довіри до шуканої оцінки, яка виражається через її відхилення від прийнятого опорного значення. Незважаючи на велику кількість праць, присвячених дослідженням оцінок точності результатів вимірювань, їх достовірність при використанні стандартизованих методик в кілька разів перевищує допустиму, що дорівнює 5-10 %. Це обумовлено як вибором у якості оцінки результату вимірювань з багаторазовими спостереженнями середнього арифметичного, не завжди адекватного закону розподілу результатів спостережень, так і спрощеннями при знаходженні довірчих інтервалів статистичних і нестатистичних оцінок точності результату вимірювання, які найчастіше не враховують законів розподілу аргументів (вхідних величин) рівняння вимірювання (модельного рівняння), співвідношення між їхніми характеристиками розсіювання, наявності кореляції, степені нелінійності рівняння вимірювання, тощо. Такий стан не може вважатися задовільним, особливо коли отримані оцінки застосовуються для характеристики точності проміжних результатів, які використовуються у ланцюзі передачі розміру одиниць.

Невідповідність вимог реальних практичних задач метрологічного забезпечення з рівнем вирішення ряду теоретичних питань висуває проблему розвитку теоретичних і прикладних основ оцінювання характеристик похибки та невизначеності результатів вимірювань, що відповідає потребам усіх індустріальних країн і є економічно важливою та актуальною для України. Ця проблема є нагальною і вимагає свого рішення як для випробувальних і калібрувальних лабораторій України, які акредитуються за ДСТУ ISO/IEC 17025 при проведенні міжлабораторних випробувань, так і для територіальних і національних метрологічних центрів, що мають первинні та вихідні еталони, які беруть участь у регіональних і міжнародних ключових звіреннях.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Дисертація є результатом виконання тематики кафедри метрології та вимірювальної техніки Харківського національного університету радіоелектроніки зі створення процедур планування, проведення та обробки вимірювального експерименту.

Основні результати дисертаційної роботи були використані при виконанні держбюджетних робіт „Розробка інформаційно-вимірювального комплексу для електромагнітного моніторингу навколишнього середовища” (номер держреєстрації 0101U005127), „Розробка енергоефективних і екологічних технологій та технічних засобів використання електромагнітної енергії в промисловому і агропромисловому комплексі” (номер держреєстрації 0101U005128), затверджених листом Міністерства освіти і науки України №15/20-148 від 08.02.2001; “Синтез структури гравіметричного комплексу і розробка завадостійких алгоритмів вимірювань прискорення сили ваги” (номер держреєстрації 0104U03381), у яких дисертант виконував обов'язки наукового керівника розділу; „Розробка методів і засобів підвищення ефективності використання електромагнітної енергії в промисловому та агрокомплексі”, затвердженої наказом Міністерства освіти і науки України №633 від 05.11.2002, а також науково-дослідної роботи №05-05 з ДП Харківстандартметрологія “Розробка методичного документа “Рекомендації щодо оцінювання невизначеності під час виконання метрологічних робіт””, у яких дисертант виконував обов'язки наукового керівника.

Мета і задачі дослідження. Мета - підвищення достовірності оцінок характеристик похибок та невизначеності результатів вимірювань на основі урахування законів розподілу та кореляції даних.

Для досягнення цієї мети в роботі вирішуються такі задачі:

- наукове обґрунтування та аналіз статистичних моделей характеристик розсіювання оцінок результатів вимірювань при обробці даних з обмеженим обсягом і довільними законами розподілу з урахуванням кореляції, що спостерігається між ними;

- обґрунтування достовірних нестатистичних оцінок похибки (невизначеності) вимірювань на основі синтезу імовірнісних моделей невиключених систематичних похибок з урахуванням законів розподілу і логічної кореляції між ними;

- розвиток науково-технічних основ отримання достовірних оцінок довірчих інтервалів похибки (розширеної невизначеності) основних різновидів вимірювань для корельованих та некорельованих вхідних величин їх модельних рівнянь;

- розвиток теоретичних і практичних основ достовірного оцінювання похибок та невизначеності базових метрологічних операцій.

Об'єктом дослідження в дисертаційній роботі є процес оцінювання точності результатів вимірювань при довільних законах розподілу вхідних величин в умовах наявності кореляційних зв'язків між ними.

Предметом дослідження є методи оцінювання характеристик похибки та невизначеності результатів основних різновидів вимірювань.

Методи дослідження. В основу роботи покладені аналітичні методи досліджень, що ґрунтуються на основах теорії ймовірності і математичної статистики, теорії вимірювання, методі максимальної правдоподібності, нейманівському і байєсівському підходах до оцінювання точності вимірювання; методи імітаційного моделювання, дисперсійного і кореляційного аналізу.

Наукова новизна отриманих результатів:

- вперше одержано модель багатомірної функції довільних розподілень статистичних оцінок точності, яка дозволила отримати достовірні інтервальні статистичні оцінки похибки (невизначеності) результатів вимірювань;

- вперше синтезовано імовірнісну модель сумісних анормальних законів розподілу, на основі якої створено науковий підхід щодо визначення нестатистичних оцінок невизначеності результатів вимірювань з корельованими вхідними величинами;

- розвинуто теорію трансформації законів розподілу при нелінійному перетворенні, на основі якої проведено аналіз границь використання критерію застосування закону поширення невизначеності при нелінійній модельній функції для анормальних законів розподілу вхідних величин;

- вперше одержано моделі законів розподілу суми статистичних та нестатистичних оцінок точності і на їх основі розроблено процедуру оцінювання розширеної невизначеності для основних різновидів вимірювань;

- удосконалено метод ексцесів для аналітичного представлення розширеної невизначеності корельованих даних;

- розвинуто методи оцінювання невизначеності вимірювань, викладені в міжнародних документах; удосконалено оцінки розширеної невизначеності при виконанні метрологічних операцій.

Практичне значення отриманих результатів.

Було розроблено та впроваджено в промисловість: загальна методика оцінювання невизначеності вимірювань у процесі виконання метрологічних робіт: ДП „Харківстандартметрологія” (Харків), ДП „Укрметтестстандарт” (Київ), ДП „Кримстандартметрологія” (Сімферополь), НПП Хартрон-Сігма (Харків), ВАТ „АТ НДІРВ” (Харків), філії метрологічного центру НАК „Нафтогаз України” (Боярка, Київської обл.) та методика оцінювання невизначеності в аналітичних вимірюваннях: Український науково-дослідний інститут олії та жирів (Харків), інститут екогігієни і токсикології ім. Л.І. Медведя, (Київ). Основні результати роботи були використані при розробці методичного документа ПМ ХА 33.14052005 “Рекомендації щодо оцінювання невизначеності під час виконання метрологічних робіт”, розробці методичного документа МP 001/03-0-06 з оцінюванню заявленої невизначеності еталонів при їх підготовці до міжнародних і регіональних ключових звірень та з перерахування характеристик невизначеності в характеристики похибки при передачі розміру одиниці від еталона НМІ робочим еталонам відповідно до існуючих повірочних схем. Методика оцінювання невизначеності вимірювань була використана при проведенні семінарів-тренінгів для працівників регіональних центрів стандартизації, метрології та сертифікації Київської, Житомирської, Одеської областей та Кримської АР за темою „Впровадження міжнародних та європейських стандартів з оцінки відповідності та невизначеності в метрологічну практику”; в Харківській філії УкрНДНЦ при проведенні курсів підвищення кваліфікації метрологів; в Університеті економіки та права „Крок” при проведенні лекційних та практичних занять з курсу „Метрологічне забезпечення виробництва” для магістрантів спеціальності „Якість, стандартизація, сертифікація”. Результати дисертаційної роботи були використані також в навчальному процесі за напрямком 0913 “Метрологія і вимірювальна техніка”, зокрема в курсах “Основи метрології та вимірювальної техніки” і “Основи теорії похибок”, що викладаються в Харківському національному університеті радіоелектроніки.

Особистий внесок здобувача. Основні теоретичні дослідження виконані автором самостійно. У роботах у співавторстві здобувачеві належить участь у розробці нових наукових ідей та проведенні теоретичних досліджень; в постановці задач та обґрунтуванні методик їх розв'язування; розробленні моделей; узагальненню окремих положень як методів оцінювання невизначеності результатів вимірювань. Серед публікацій із співавторами здобувачеві належить: [1] формули для моментів перехідних характеристик та постійних часу вимірювальних перетворювачів, що моделюються ланками аперіодичного типу, включаючи ланки чистого запізнювання; [2] - графічний та аналітичний методи вирішення задачі трансформування закону розподілення похибки при нелінійному перетворенні, показано, що запропоновані методи можна застосовувати для генерації випадкових чисел за довільним законом; [3] - чисельний метод, який дозволяє розширити застосування відомих критеріїв виявлення грубих похибок і промахів на довільні закони розподілу; [4] залежність довірчого коефіцієнту композиції законів розподілу арксинуса від співвідношення їх середніх квадратичних відхилень; [5] методика оцінювання випадкової похибки визначення постійних часу аперіодичних вимірювальних перетворювачів; [6] чисельний метод, який дозволяє оцінювати довірчі границі випадкової похибки при статистичній обробці результатів спостережень, що розподілені за довільним законом, для різних оцінок результатів вимірювань та оцінок їх розсіювання; [7] - методика аналізу похибок вимірювання коефіцієнта несинусоїдальності напруги електричної мережі на основі методу Монте-Карло; [8] - застосовано метод Монте-Карло для синтезу достовірних оцінок і критеріїв, які використовуються на всіх етапах статистичної обробки результатів вимірювань; [9] - аналітичний вираз для коефіцієнта, який забезпечує найбільш ефективну оцінку результату прямого вимірювання з багатократними спостереженнями, загальна методика застосування методу Монте-Карло для реалізації алгоритмів статистичної обробки результатів вимірювань; [17] - сформульовані основні задачі ідентифікації динамічних характеристик засобів вимірювальної техніки; [19] - методика дослідження методом Монте-Карло можливості застосування критерію допустимості лінеаризації нелінійних функцій для подальшої метрологічної обробки результатів вимірювань з урахуванням закону розподілення аргументів при непрямих вимірюваннях; [25] - процедура оцінювання невизначеності при ідентифікації динамічних характеристик засобів вимірювальної техніки з урахуванням кореляції між оцінками сталих часу.

Апробація результатів дисертації відбувалася на: Всесоюзному симпозіумі “Проблемы радиоизмерительной техники”, 1989 (Горький); Всесоюзній науково-технічній конференції “Метрологическое обеспечение и стандартизация”, 1990 (Москва); Республіканській науково-технічній конференції “Теория и практика измерений параметров электромагнитных колебаний и линий передачи”, 1991 (Харків); Всесоюзній науково-технічній конференції “Радиоизмерения - 91”, 1991 (Севастополь); Х Всеакадемічній (міжнародній) школі з проблем метрологічного забезпечення та стандартизації “Метрологическое обеспечение и стандартизация”, 1992 (Мінськ); 2-й Кримський конференції “СВЧ техника и спутниковый прием”, 1992 (Севастополь); 1-4 Міжнародних науково-технічних конференціях “Метрология и измерительная техника”, 1999-2004 рр. (Харків); 2, 5, 7-10 Міжнародних конференціях “Теория и техника передачи, приема и обработки информации”, 1995, 1999, 2001-2004 рр. (Харків-Туапсе); 6 и 7 Міжнародних конференціях УАДО “Образование и виртуальность”, 2002, 2003 рр. (Харків Ялта); 4-th International Conference on Measurement “Measurement-2003”, (Smolenice, Slovak Republic); Міжнародному науково-технічному семінарі “Математические методы при обеспечении качества и взаимного признания результатов измерения”, 2004 (Санкт-Петербург, Росія); 10-th IMEKO TC7 International Symposium “Advances of Measurement Science”, 2004 (Санкт-Петербург, Росія); 2-му Науково-технічному семінарі “Неопределенность измерения: нормативные, научные, методические и производственные аспекты”, 2005 (Харків); 15-th Scientific symposium with international participation “Metrology and assurance 2005”, (Sozopol, Bulgaria); 2-му Міжнародному радіоелектронному форумі “Прикладна радіоелектроніка. Стан і перспективи розвитку”, 2005 (Харків).

Публікації. З теми дисертації опубліковано понад 70 робіт, з яких 27 відповідають вимогам ВАК для захисту дисертації (26 статей у фахових журналах та збірниках України, 1 стаття в журналі “Вимірювальна техніка” (Російська Федерація), причому, 15 з них без співавторів.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, шістьох розділів, висновків, списку використаних джерел та 6 додатків. Повний обсяг дисертації складає 351 сторінок друкованого тексту, містить 53 рисунка, 151 таблицю. Список використаних літературних джерел містить 176 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність проблеми дослідження, показано зв'язок роботи з науковими проблемами, планами, темами, наведено відомості про наукову новизну та практичне значення отриманих результатів і їх впровадження.

Перший розділ роботи присвячено аналізу проблеми, вибору та обґрунтуванню напрямку наукових досліджень.

Відмічено, що точність результатів вимірювань визначає вірогідність прийнятих рішень, рівень матеріальних витрат у виробничій та невиробничій сферах, єдність вимірювань, надійність оцінок їх результатів. Найбільш очевидним шляхом підвищення точності результатів вимірювань є вдосконалення методів і засобів вимірювальної техніки (ЗВТ). Однак цей шлях пов'язаний з істотними матеріальними витратами на розробку еталонної бази та модернізацію парку робочих ЗВТ. Інший варіант рішення цієї проблеми полягає в удосконаленні методів обробки результатів вимірювань і підвищенні достовірності оцінювання їх точності. Цей шлях є однією з ознак єдності вимірювань “похибки вимірювань мають бути відомими та з заданою ймовірністю не виходити за встановлені границі”. Проте тільки існуюче правило округлення при вираженні похибки вимірювань, яке обумовлює достовірність оцінювання похибок до 17 %, призводить до розбігу довірчої ймовірності 0,91...0,98 (при номінальному значенні 0,95), що знижує надійність одержуваного результату. Так, виконання цього правила може привести до значних матеріальних втрат при передачі великих партій продукції (особливо, коли мова йде про торгівлю електроенергією та енергоносіями). Аналіз класів точності ЗВТ показує, що відносна різниця між ними становить від 17 до 40 відсотків, тому підвищення точності оцінювання похибки ЗВТ у межах похибки округлення при проведенні державних випробувань або метрологічної атестації дозволяє в ряді випадків підвищити клас точності ЗВТ без додаткових витрат на їх модернізацію. Достовірність оцінювання точності важлива й тому, що похибки (невизначеності) результатів вимірювань у ряді випадків є вхідними даними при аналізі похибок інших вимірювань і, трансформуючись рівнянням вимірювання, впливають на похибку (невизначеність) їх результату.

В дисертації проведено порівняння двох основних підходів до оцінювання точності вимірювань: КП і ПН. Аналізуються закордонні та вітчизняні нормативні документи з оцінювання невизначеності вимірювань. Констатується, що паралельний розвиток двох підходів до оцінювання точності вимірювань, який спостерігається протягом останньої чверті століття, завершується переходом від концепції похибок до концепції невизначеності при вирішенні питання міжнародної стандартизації оцінювання точності вимірювань. Аналіз двох концепцій показує їх відмінності (крім термінологічних) в основних постулатах вимірювання, переліку характеристик точності, способах підсумовування їх складових та одержання інтервальних оцінок точності результату вимірювань. Це призводить до кількісних розходжень при оцінюванні точності вимірювань, які варто оцінити. Крім того, на етапі переходу від КП до ПН доцільно одержати та використовувати в метрологічній практиці формули й коефіцієнти взаємного перерахування характеристик невизначеності та похибки вимірювань.

Проведено огляд сучасного стану достовірності оцінювання точності результатів вимірювань. Аналізується достовірність статистичних оцінок похибки й невизначеності. Показано, що вони базуються на припущенні нормального закону розподілу результатів багаторазових спостережень. Це припущення обумовлює прийняття середнього арифметичного як достовірної оцінки результату таких вимірювань та виразу Бесселя в якості оцінки середнього квадратичного відхилення (СКВ) (стандартної невизначеності типу А). В якості довірчого коефіцієнту приймається коефіцієнт із розподілу Стьюдента. Показано, що у випадку відхилення реального закону розподілу від нормального застосування цих виразів є некоректним і призводить до збільшення похибки оцінок точності в чотири рази вже при двадцяти спостереженнях та необмеженому зростанню похибки з ростом кількості спостережень. Аналізується діапазон застосування інших оцінок результатів (медіана, центр розмаху) і точності вимірювання (середнє абсолютне відхилення, розмах), у тому числі й комбінованих (зважених). При знаходженні інтервальних оцінок суми декількох складових випадкової похибки застосовуються наближені вирази, які засновані на дослідженнях Велча і Сатерсвейта. Вони були отримані в 30-х 40-х роках минулого століття, коли їх коректність неможливо було перевірити шляхом постановки чисельного експерименту, тому їх достовірність має бути встановлена із застосуванням комп'ютерного моделювання з використанням сучасних інформаційних технологій.

Здійснюється оцінка достовірності нестатистичних оцінок точності. До їх числа відносяться довірчі границі та СКВ невиключених систематичних похибок (НСП) і стандартна невизначеність типу В. Показано, що для рівня довіри 0,95 як при оцінюванні похибки, так і при оцінюванні невизначеності нехтують законом розподілу складових, що призводить до похибок оцінювання сумарної НСП від 20 до 40 %. Розгляд питання про знаходження нестатистичних оцінок точності за наявності логічної кореляції між складовими найчастіше обмежується випадком, коли коефіцієнт кореляції дорівнює ±1(строга кореляція). Все перелічене ставить задачу розробки методології достовірного оцінювання нестатистичних оцінок точності з урахуванням законів розподілу вхідних величин та довільної логічної кореляції між ними.

При підсумовуванні статистичних і нестатистичних оцінок виникає питання про вибір довірчого коефіцієнта (коефіцієнта покриття). Значення цього коефіцієнта буде залежати не тільки від законів розподілу складових похибки результату вимірювання, але й виду модельного рівняння. Аналізуються формули, що застосовуються в КП і ПН для цих випадків. Показано, що їх застосування дає похибку оцінювання інтервальних показників точності в десятки відсотків. Ставиться задача створення теорії одержання достовірних оцінок довірчих інтервалів похибки й розширеної невизначеності основних різновидів вимірювань для корельованих і не корельованих даних.

Розглянуто методи підвищення достовірності статистичних і нестатистичних оцінок точності результатів вимірювань. Аналіз аналітичних і чисельних методів показує універсальність і більш високу точність останніх. Порівняння різних варіантів чисельних методів (дискретного рівняння згортки, методу Монте-Карло і методу часткових приростів) показує перевагу методу Монте-Карло як у сенсі досяжної точності, так й у сенсі можливості роботи з корельованими вхідними величинами. Прикладом ефективного використання чисельних методів є розробка робочою групою 1 об'єднаного комітету з настанов у метрології (JCGM) Додатку 1 до GUM, що містить чисельні методи трансформування розподілів. На жаль, запропонований в ньому метод Монте-Карло не завжди може бути рекомендований для використання в практичній метрології при безпосередньому оцінюванні результатів вимірювань і відповідних характеристик точності. Причинами цього є істотна трудомісткість чисельних методів, що вимагають до того ж наявності комп'ютерної техніки й відповідної кваліфікації персоналу; власна невизначеність чисельних методів, пов'язана із стохастичністю природи обчислень та випадковістю реалізації вибірки; ускладнення при моделюванні корельованих негаусових вхідних величин; необхіднисть сертифікованих програм.

Тому на основі досліджень за допомогою методу Монте-Карло варто розробити систему рекомендацій і критеріїв для розв'язання задач оцінювання точності основних різновидів вимірювань. Для побудови залежності одержуваних характеристик від виду закону розподілу (з метою створення методів достовірної та ефективної статистичної обробки результатів вимірювального експерименту) останній доцільно характеризувати числовим параметром. Розглядаються різні варіанти рішення цієї задачі: застосування “універсального” параметрично керованого закону розподілу (функція Йордану, закон ГАНКА, узагальнений нормальний закон, тощо); синтез набору законів розподілу відомої форми, що визнаються значенням характерного параметра (ексцесу, коефіцієнта ексцесу, контрексцесу, показника форми і т.п.).

Аналізуються основні метрологічні операції, стан питання оцінювання точності їх реалізації. Так, наприклад, при знаходженні ефективної оцінки опорного значення ключових звірень (KCRV) виникають ускладнення, коли функції щільності розподілу ймовірності вимірюваних величин не є гаусовими і модель для KCRV не є лінійною. Ставиться задача вдосконалення теоретичних і практичних основ достовірного оцінювання похибки та невизначеності метрологічних операцій.

Відзначається, що для впровадження КН у вітчизняну метрологічну практику необхідно здійснити розробку національних нормативно-методичних документів, які б регламентували загальні питання оцінювання невизначеності при виконанні випробувань і калібрувань, методику оцінювання заявлених невизначеностей національних еталонів України й процедуру оцінювання та вирази невизначеності при виконанні метрологічних робіт для конкретних видів вимірювань.

Другий розділ присвячено синтезу та аналізу достовірних статистичних оцінок точності результатів вимірювань.

Статистична обробка вимірювань з багаторазовими спостереженнями дозволяє істотно зменшити випадкову складову похибки їх результату. При знаходженні інтервальних оцінок результату цих вимірювань (довірчого інтервалу, розширеної невизначеності) при обмеженій кількості спостережень використається tрозподіл, який для нормального закону результатів спостережень відомий як закон розподілу Стьюдента. Для довільних законів розподілу результатів спостережень проведено наукове обґрунтування побудови статистичних моделей tрозподілів, на основі аналізу яких для рівня довіри 0,95 запропоновано вираз для довірчого коефіцієнта як залежність від ексцесу розподілу E та числа степенів свободи н у вигляді

, (1)

; .

Аналіз статистичних моделей різних оцінок результату прямих вимірювань і характеристик його розсіювання дозволив визначити комбіновану (з середнього арифметичного та медіани чи центра розмаху) оцінку результату багаторазових вимірювань та її стандартного відхилення, що забезпечують мінімальні значення довірчих границь випадкової похибки (розширеної невизначеності) для довільних законів розподілу результатів спостережень.

У випадку непрямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями необхідно здійснювати композицію декількох законів розподілів Стьюдента з різним числом степенів свободи н та різним відношенням середніх квадратичних відхилень (СКВ). Тому актуальною задачею є оцінка числа степенів свободи такої композиції. На основі спільної функції розподілу отримані композиції законів розподілу Стьюдента для корельованих і некорельованих результатів спостережень для нормальних і анормальних законів розподілу. Аналізуються наближені вирази для ефективного числа степенів свободи н_eff композиції законів розподілу Стьюдента, які даються в роботах Велча та Саттерсвейта.

Оцінка степеня наближення при використанні цих виразів і знаходження виразу, що забезпечує найкраще наближення, здійснювалося за допомогою рішення наступних задач: чисельне моделювання композиції двох законів розподілу Стьюдента з різним числом степенів свободи н₁ та н₂ і відношенням СКВ S₂/S₁; оцінювання числа степенів свободи отриманої композиції; знаходження достовірних оцінок довірчих коефіцієнтів і числа степенів свободи для композиції законів розподілу Стьюдента.

Моделювання композиції законів розподілу Стьюдента здійснювалося методом Монте-Карло. Для його реалізації здійснювалась генерація двох вибірок випадкових величин об'ємом 310⁵ кожна, що підкоряються розподілу Стьюдента, із заданим числом степенів свободи та заданим відношенням СКВ S₂/S₁. Підсумовування цих вибірок дає вибірку випадкової величини, закон розподілу якої відповідає шуканій композиції. Особливість розподілів Стьюдента полягає в тому, що при н?2 дисперсійна оцінка ширини розкиду перестає існувати. Оцінка ексцесу, через яку можна оцінити число степенів свободи, перестає існувати вже при н=4. Через це параметри отриманої композиції можуть бути оцінені лише з використанням довірчих або ентропійних оцінок. Тому для заданої довірчої імовірності (р=0,95) здійснювалося оцінювання довірчого коефіцієнта k отриманої композиції. Для підвищення точності знаходження цієї оцінки й визначення ступеня її розсіювання чисельний експеримент проводився 100 разів з наступним усередненням. При цьому власна невизначеність отриманої оцінки довірчого коефіцієнта склала не більше 0,0005. Залежність довірчого коефіцієнта композиції від параметрів н₁ та н₂ для різних співвідношень S₂/S₁ .

Показані апроксимуючі залежності, отримані як коефіцієнти Стьюдента із числом степенів свободи, обумовлених виразами Велча-Саттерсвейта, наведеними в МІ 2083-90 й GUM. Відносні похибки апроксимації дані в другому стовпці цієї таблиці, з якої видна істотна відмінність цих залежностей при малих значеннях н₁ та н₂, особливо при наближенні S₂/S₁ до одиниці.

Для оцінювання числа степенів свободи отриманої композиції необхідно здійснити зворотне перетворення коефіцієнтів Стьюдента t_0,95(н) в число степенів свободи н. Апроксимацію цієї залежності було знайдено на основі виразу (1) для рівня довіри 0,95 у вигляді:

н={1,96/[t_0,95(н)-1,96]+0,87}/0,822, (2)

Похибка апроксимації (2) для н=2 становить 4 %, для не більше ±0,22 %.

Залежність числа степенів свободи н композиції законів розподілу Стьюдента від н₁ та н₂ для різних співвідношень S₂/S₁ знайдена за запропонованою методико. Наведені аналогічні залежності, отримані за формулами, наведеними у МІ 2083-90 й GUM. Аналіз таблиці показує, що число степенів свободи композиції, отримане по формулах МІ 2083-90 й GUM відрізняється від числа степенів свободи, отриманого методом Монте-Карло майже в 2 рази. Ця відмінність і призводить до неправильної оцінки довірчого коефіцієнта для композиції законів розподілу Стьюдента. Достовірну оцінку довірчого коефіцієнта для композиції законів розподілу Стьюдента шукали на основі виразу, що застосовується в ГОСТ 8.207-76

k=[ t_0,95(н₁)+ t_0,95(н₂) S₂/S₁]/(1+ S₂/S₁) (3)

і запропонованої формули:

. (4)

Залежності довірчого коефіцієнта k, розрахованого за формулами (3) і (4), від параметрів н₁ та н₂ для різних співвідношень S₂/S₁ .

Знайдено оцінки числа степенів свободи цієї композиції та коефіцієнта покриття при знаходженні розширеної невизначеності статистичної оцінки. На основі аналізу сумісного закону розподілу Стьюдента за допомогою отриманої емпіричної формули (4) для різних законів розподілу результатів спостережень синтезовано вирази для достовірного коефіцієнта покриття композиції законів розподілу некорельованих вхідних величин, що здійснює його апроксимацію з похибкою не більше ±8 %. Показано, що використання для цієї мети виразів, рекомендованих у нормативних документах, призводить до похибок у десятки-сотні відсотків навіть для нормального закону розподілу генеральної сукупності.

При проведенні непрямих багаторазових вимірювань можна зустрітися з попарною кореляцією вхідних величин. У цьому випадку МІ 2083-90 рекомендує при обробці застосовувати метод приведення, а GUM ураховує кореляцію у вигляді додаткового члена при підсумовуванні дисперсій відповідно до закону поширення невизначеності. Однак метод приведення можна здійснити тільки в тому випадку, коли кількість спостережень для всіх вхідних величин однакова, а при знаходженні розширеної невизначеності відповідно до GUM формула Велча-Саттерсвейта не працює. Аналіз результатів статистичного моделювання композиції законів розподілу характеристик розсіювання результатів вимірювань двох корельованих вхідних величин з однаковою кількістю спостережень n дозволив установити, що коефіцієнт покриття такої композиції визначається як коефіцієнт із розподілу Стьюдента із числом степенів свободи, рівним n -1.

У третьому розділі проведено моделювання достовірних нестатистичних оцінок точності результатів вимірювань. При цьому необхідно враховувати наявність логічної кореляції, обумовленої використанням при визначенні вхідних величин одного вимірювального приладу, еталона одиниць вимірювання або одних довідкових даних, що мають значну невизначеність. Автором запропоновано принципи моделювання спільних довільних законів розподілу вхідних величин з урахуванням кореляції між ними, що включають наступні операції.

1. Генерування двох послідовностей нормально розподілених некорельованих випадкових чисел о₁ і о₂ з нульовим математичним очікуванням та одиничним СКВ.

2. Формування із цих послідовностей третьої послідовності

,

корельованої з о₁ із коефіцієнтом кореляції с. Їх спільна функція розподілу g(о₁, о₃) для різних коефіцієнтів кореляції.

3. Здійснення перетворення від о₁ і о₃ у вигляді інтегральної функції нормованого нормального розподілу х=G_н(о) з одержанням послідовностей рівномірно розподілених у діапазоні від 0 до 1 корельованих випадкових чисел з₁ і з₂ з коефіцієнтом кореляції с_1,2, близьким за значенням до вихідного коефіцієнта с.

4. Одержання нормованих рівномірно розподілених випадкових чисел і з нульовим математичним очікуванням та одиничним СКВ.

5. Реалізація методу зворотних функцій для одержання двох послідовностей корельованих випадкових чисел і із заданими законами розподілу

,

де - інтегральна функція заданого закону розподілу. На рис. 4в показані двомірні функції із законом розподілу арксинуса для різних значень коефіцієнтів кореляції.

Запропонований алгоритм дозволяє здійснювати генерацію попарно корельованих випадкових чисел із заданими коефіцієнтами кореляції й будь-якими, навіть не однаковими, законами розподілу.

Дослідження показали, що методична систематична складова похибки відтворення коефіцієнта кореляції, що обумовлена нелінійністю перетворення вихідних законів розподілу, не перевищує при одержанні рівномірних законів розподілу 0,018 у діапазоні і досягає максимуму в точках . Здійснення методу зворотних функцій для одержання корельованих вхідних величин, розподілених за законом арксинуса, збільшує максимальне значення додаткової систематичної похибки відтворення коефіцієнта кореляції до 0,043. Випадкова складова реалізації моделювання визначалася за 50 вибірками об'ємом 10⁶ значень, і її стандартне відхилення не перевищило 0,00015.

На основі синтезованої моделі отримано закони розподілу суми двох корельованих величин, розподілених рівномірно та за законом арксинуса, з різним співвідношенням СКВ S₂/S₁ , для яких оцінено значення коефіцієнтів покриття. Найбільш характерні гістограми цих композицій наведені на рис. 5. За отриманими композиціями оцінено значення коефіцієнтів покриття для рівня довіри 0,95 і ексцесів розподілу, що характеризують їх форму.

Моделювання методом Монте-Карло отримано композиції декількох рівномірних, нормальних законів розподілу та законів арксинуса. Їх аналіз дозволив розробити рекомендації з оцінювання коефіцієнтів покриття нестатистичних оцінок точності результатів вимірювань при відсутності логічної кореляції. Були проведені обчислення коефіцієнта покриття композиції некорельованих рівномірно та нормально розподілених складових невизначеності із стандартними відхиленнями , з блоком корельованих рівномірно розподілених складових із стандартним відхиленням .

При реалізації методу Монте-Карло випадкова складова його реалізації визначалася по 50 вибіркам об'ємом 10⁶ значень, і її стандартне відхилення не перевищило 0,00015.

На рис. 7-а зображені залежності коефіцієнта покриття від коефіцієнта кореляції блоку для різних відношень стандартних відхилень корельованих величин у₁/у₂ для відношення стандартних відхилень нормально (рівномірно) розподілених внесків і корельованого блоку у_н/у_У й у_р/у_У відповідно.

Обґрунтовується можливість одержання коефіцієнтів покриття композиції корельованих і некорельованих рівномірно та нормально розподілених складових невизначеності за допомогою методу ексцесів підсумовування складових невизначеності. Суть методу полягає в обчисленні ексцесу E сумарної функції розподілу через значення ексцесів окремих законів розподілу та їх стандартне відхилення. Після визначення сумарного ексцесу необхідно одержати значення коефіцієнта покриття для композиції. Це можна зробити, скориставшись емпіричним виразом k=f(E), отриманим за експериментальною залежністю.

Апроксимація цієї залежності досягається поліноміальним виразом

k=0.0576E³ 0,0597E² + 0,1824 E + 2,0479.

Похибка визначення коефіцієнта покриття методом ексцесів не перевищує 4 %.

У четвертому розділі розглянуто достовірні інтервальні оцінки точності прямих однократних вимірювань та однієї і декількох груп багаторазових рівноточних і нерівноточних вимірювань. Наведено приклади складання бюджету невизначеності з оцінюванням розширеної невизначеності аналітично та методом Монте-Карло.

При оцінюванні невизначеності прямих одноразових вимірювань варто мати на увазі, що в якості вхідних величин в їх модельне рівняння, крім величини, що вимірюється безпосередньо, входять поправки до результату вимірювання на відомі систематичні ефекти, а також основні та додаткові абсолютні похибки ЗВТ. Всі невизначеності оцінюються за типом В. Їх закон розподілу обирається на основі апріорної інформації. Всі коефіцієнти чутливості дорівнюють одиниці, тому всі внески невизначеності дорівнюють стандартним невизначеностям вхідних величин. Розширена невизначеність визначається відповідно до рекомендацій, наведених в третьому розділі. При відсутності кореляції отримано залежність коефіцієнту покриття від співвідношення невизначеності нормально та рівномірно розподілених вкладів невизначеності .

При одержанні розширеної невизначеності результатів прямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями необхідно використовувати композицію закону розподілу Стьюдента з набором корельованих або некорельованих законів розподілу (рівномірних, нормальних, законів арксинуса). Для визначення достовірних значень довірчого коефіцієнта (коефіцієнта покриття), що виходить у цьому випадку, використовувався метод Монте-Карло. Для цього генерувалася вибірка випадкових чисел (об'ємом 310⁵), що має закон розподілу Стьюдента із числом степенів свободи від 2 до 30 і стандартним відхиленням S_S, і вибірки, розподіленої по одному з перелічених законів. Сума членів цих вибірок являє собою вибірку значень стандартного відхилення результату вимірювань, за якою визначалися довірчий інтервал (розширена невизначеність) і довірчий коефіцієнт (коефіцієнт покриття) для довірчої ймовірності (рівня довіри) 0,95.

Для підвищення точності й можливості оцінювання власної невизначеності одержаних результатів цей чисельний експеримент повторювався 100 разів з подальшим усередненням. Невизначеність чисельного методу в цьому випадку була менш 0,0005.

Проведено порівняння апроксимації отриманого значення коефіцієнта покриття з коефіцієнтом Стьюдента із числом ефективних степенів свободи відповідно до методики GUM, а також виразами (3) і (4). Аналіз отриманих результатів показує, що найбільш достовірним апроксимуючим виразом для коефіцієнта покриття є запропонований вираз (4). Похибка апроксимації при його застосуванні не перевищує 4,5 %.

Досліджується підвищення достовірності оцінювання невизначеності декількох груп прямих вимірювань. В метрології ця модель вимірювань використовується при проведенні міжлабораторних випробувань. В GUM задача обробки декількох груп спостережень (згрупованих послідовностей) розглядається на прикладі застосування методів дисперсійного аналізу ANOVA до найпростішого випадку врівноваженої одноетапної згрупованої структури без урахування в результатах спостережень невизначеностей типу В. При цьому за найкращу оцінку приймають середнє арифметичне всіх отриманих результатів спостережень. Однак така оцінка є ефективною тільки для випадку рівноточних вимірювань. Аналізуються методи оцінювання невизначеності декількох груп прямих вимірювань, що базуються на законах поширення невизначеності та розподілів результатів спостережень у групах за наявності невизначеностей обох типів. У настанові з оцінювання результатів ключових звірень для підвищення ефективності обробки нерівноточних груп прямих вимірювань застосовується середньозважена оцінка (методика А), у якій враховується тільки невизначеність типу А в групах. Знаходиться оцінка невизначеності середньозваженої оцінки вимірюваної величини з урахуванням невизначеності типу А и В для кожної групи спостережень.