Розвиток теорії та методів оцінювання точності результатів вимірювань з урахуванням концепції невизначеності

У цьому випадку коефіцієнт покриття k можна визначати як коефіцієнт Стьюдента з ефективним числом степенів свободи, розрахованим за отриманою формулою

.

Коли результати вимірювання у групах рівноточні, число степенів свободи буде дорівнювати

,

або, для рівних

п_j ,

тобто у m раз більше, ніж для кожної групи прямих вимірювань.

При цьому отримані середньозважені значення розглядаються як однорідні. Для перевірки їх однорідності пропонується застосовувати критерій Граббса. Він розрахований на нормальний закон розподілу середніх арифметичних груп спостережень. Методом Монте-Карло отримані критичні значення параметру в для законів, відмінних від нормального (рис. 10). Невизначеності отриманих значень не перевищують 0,0005.

Для відшукання розширеної невизначеності можна використати процедуру Монте-Карло, що також може бути застосовна при відмінності законів розподілів результатів спостережень лабораторій від нормального.

Застосування процедури Монте-Карло полягає в наступному.

1. Генерується m вибірок з великою кількістю M (до 10⁶) випробувань із параметрами (закон розподілу, математичне очікування та стандартне відхилення), характерними для результатів вимірювань, отриманих кожною лабораторією.

2. Для кожного випробування визначають значення шуканого параметра, (середнє арифметичне, середньозважене, медіана або інша оцінка, що вважається ефективною в цьому випадку).

3. З отриманих в такий спосіб М оцінок шуканого параметра визначають середнє арифметичне, прийняте за оцінку найкращого результату об'єднаних вимірювань, і його стандартне відхилення, прийняте за стандартну невизначеність результату.

4. Здійснюють ранжування оцінок шуканого параметра, одержуючи його інтегральну функцію розподілу G(y). Після цього обчислюють найменшу оцінку його розширеної невизначеності за формулою

U=[G(pM+0,95M)-G(pM)],

де p - значення ймовірності, яке змінюють від 0 до 0,05.

З одержаного в такий спосіб набору значень розширеної невизначеності вибирають найменше значення, яке і приймають за найкраще значення розширеної невизначеності результату вимірювань.

У ряді випадків деякі із груп даних можуть бути попарно корельованими. Розглянуто питання пошуку достовірної оцінки в цьому випадку, яку будемо визначати у вигляді сукупного середнього. Для цієї оцінки отримано залежність значення вагового коефіцієнту від коефіцієнту кореляції с між даними груп та співвідношенням їх невизначеностей u(x₂)/u(x₁)

(5)

З виразу (5) випливають відомі формули для сукупного середнього при відсутності кореляції. Для будь-яких значень с при u(x₂)=u(x₁) (рівноточні вимірювання) одержуємо для щ=0,5 формулу середнього арифметичного.

Для значень щ відношення невизначеності сукупного середнього u(y₀) до невизначеності звичайної оцінки u(y) буде дорівнювати

Аналіз отриманої залежності показує, що неврахування кореляції між законами розподілу в групах може привести до необмеженого збільшення невизначеності оцінки результату вимірювання при наближенні коефіцієнта кореляції до значень ±1.

У п'ятому розділі розглянуто достовірні інтервальні оцінки точності непрямих вимірювань.

При оцінюванні невизначеності непрямих некорельованих вимірювань при незначній нелінійності моделі коефіцієнт покриття вибирається з композиції законів розподілу Стьюдента та законів розподілу НСП (відповідно до рекомендацій розділу 2). При оцінюванні невизначеності непрямих вимірювань з корельованими вхідними величинами варто групувати їх таким чином, щоб корельовані між собою вхідні величини перебували в одному блоці. Тоді для кожного такого блоку можна оцінити його внесок невизначеності (наприклад, u1,2(y). 3) в невизначеність вихідної величини u(y), їх число степенів свободи (н1,2 ) і закон розподілу. При цьому варто мати на увазі, що для корельованих величин, розподілених за нормальним законом, закон розподілу їх суми буде також нормальним із стандартним відхиленням, визначеним за загальною формулою. Для корельованих величин, розподілених за будь-яким законом, з коефіцієнтом кореляції рівним 1 розподіл їх суми буде також підкорятися тому ж закону.

Оцінка вимірюваної величини та невизначеність типу А при багаторазових вимірюваннях має бути отримана тільки методом приведення. Однак для оцінювання невизначеності за типом В метод приведення непридатний. У цьому випадку також некоректно користуватися методами оцінювання невизначеності вимірювань, що рекомендовані загальним алгоритмом GUM, оскільки через нелінійність функції перетворення закон розподілу вихідної величини може бути не тільки анормальним, але й асиметричним.

Слід зазначити, що якщо у вхідних величин відсутні невизначеності типу В, то задача оцінювання результату вимірювання і його стандартної та розширеної невизначеності може бути досить надійно вирішена методом приведення.

При наявності у вхідних величин невизначеностей обох типів варто застосовувати метод Монте-Карло так, як це було зроблено для непрямих однократних вимірювань.

У роботі за допомогою методу Монте-Карло досліджується коректність використання критерію допустимості застосування методу лінеаризації. Для функції одного аргументу критичне значення СКВ аргументу, при якому метод лінеаризації може бути використано, визначається з виразу

Цей вираз буде мати вигляд

для степеневої функції , де (функція Y=X не розглядається, оскільки є лінійною);

для показової функції , де k=1; 2; 3;… . У табл. 4 наведені критичні значення СКВ для різних законів розподілу та степеневої і показової функціональних залежностей.

Дійсні значення математичного очікування (МО) результату вимірювання y, СКВ та довірчих границь Д_p(y) (ДГ) результату вимірювання були визначені із трансформованої функції розподілу, отриманої методом Монте-Карло, для заданої функціональної залежності та відомої функції розподілу аргументу. Визначалися відносні похибки обчислення цих параметрів при застосуванні методу лінеаризації, які сягали до -40 % для МО, до -60 % для СКВ та до -72 % для ДГ при законі розподілу арксинуса.

Найменшій трансформації піддаються закони розподілу з позитивними ексцесами (Лапласа, нормальний), а найбільшій - закони, що характеризуються негативними ексцесами (арксинусний, рівномірний). При оцінці довірчих границь методом лінеаризації при квадратичній функціональній залежності виходить нульова похибка, що підтверджується раніше проведеними дослідженнями.

Для достовірного врахування законів розподілу вхідних величин і характеру нелінійності модельної функції треба порівнювати значення МО, СКВ та ДГ, які отримані методом розповсюдження невизначеностей зі значеннями цих параметрів, отриманих методом розповсюдження розподілів.

Досліджується алгоритм обробки результатів спільних вимірювань, які в метрології застосовують при градуюванні засобів вимірювальної техніки (ЗВТ), ідентифікації їх динамічних характеристик або експериментальному дослідженні фізичних явищ (процесів), що лежать в основі роботи ЗВТ.

Особливості цього алгоритму впливають на формування бюджету невизначеності спільних вимірювань. На етапі вимірювання у бюджет невизначеності експериментальної та апроксимуючої залежностей вносяться значення спільно вимірюваних величин , і оцінки їх невизначеностей , .

Розглядаються алгоритми обробки та оцінювання невизначеності спільних вимірювань, які будуть залежати від ряду умов проведення вимірювань: істотності невизначеності оцінювання значень , закону розподілу значень функції , їх рівноточності та ступеня нелінійності моделі. Залежно від перелічених умов для обробки застосовують метод найменших квадратів (МНК), кофлюентні або робастні методи.

У випадку, коли модельна функція істотно нелінійна, мають місце відчутні невизначеності вимірювань x_k та розподіли значень y_k анормальні, раціональним варіантом обробки спільних вимірювань є застосування чисельних методів, зокрема методу послідовного наближення.

МНК є найбільш уживаним методом обробки результатів спільних вимірювань. Однак цей метод добре застосовується при відсутності невизначеності оцінок аргументів u(x_k) і наявності тільки випадкових незалежних нормально розподілених похибок вимірювань y_k з нульовим очікуванням і рівними дисперсіями. У цьому випадку МНК дає незміщені та ефективні оцінки шуканих параметрів. На практиці невизначеності вимірювання аргументів можуть бути істотними, а результати вимірювання значень функції можуть бути залежними, нерівноточними, містити невизначеності, оцінені за типом В, а закони їх розподілу відрізнятися від нормального. У цих випадках МНК може застосовуватися тільки після проведення лінеаризації модельного рівняння, усікання або зважування експериментальних даних.

У шостому розділі розглядаються результати практичного оцінювання невизначеності вимірювань при виконанні метрологічних робіт.

Проведено аналіз концепції простежуваності вимірювань до Міжнародної системи одиниць SI у вигляді нерозривного ланцюга калібрувань. Розглядаються питання оцінювання заявленої невизначеності еталонів при підготовці до ключових звірень. Наведено рекомендації з оцінювання невизначеності вимірювань при проведенні ключових звірень. В результаті проведення ключових звірень визначають наступні характеристики:

а) невизначеність опорного значення ключових звірень;

б) ступінь еквівалентності кожного національного еталона.

Розглядаються питання оцінювання невизначеності ключових звірень із урахуванням результатів, отриманих у розділі 4.

Проведено аналіз прикладів застосування розроблених положень при вирішуванні практичних метрологічних задач. Наведені приклади оцінювання, основних різновидів вимірювань, ідентифікації динамічних характеристик ЗВТ.

При визначенні невизначеності параметрів динамічних характеристик варто враховувати як нелінійність функції перетворення, так і кореляцію оцінок параметрів моделі передатної функції, які отримані на основі спільних вхідних даних. Нелінійність функціональної залежності перехідної характеристики від її параметрів обумовлює перекручування форми закону розподілу динамічних характеристик. Так, форма закону розподілу оцінки сталої часу відповідає нормальному закону тільки для ЗВТ, що моделюються ланкою першого порядку. Для ЗВТ, що моделюються ланкою другого порядку оцінки сталих часу, які отримані методом моментів, мають коефіцієнт кореляції -1 та форму законів розподілів з однаковим ексцесом та асиметрію різних знаків. Неврахування кореляції між оцінками сталих часу призводить до збільшення оцінки їх невизначеності майже в чотири рази.

Отримано формули взаємного перерахування довірчої похибки та розширеної невизначеності для різних видів вимірювань.

При перерахуванні характеристик похибки в характеристики невизначеності результатів прямих вимірювань вихідними даними для розрахунків є: довірчі границі загальної похибки вимірювань Д(P); довірча ймовірність P=0,95 або P=0,99; відношення г=И(P)/S довірчих границь невиключеної систематичної похибки (НСП) И(P) та СКВ випадкової похибки S; кількість повторних вимірювань n; число m НСП, що додаються (для P=0,99).

Для перерахування довірчих границь похибки прямих однократних вимірювань, відомих з імовірністю P, у розширену невизначеність із рівнем довіри 0,95 отримано наступні вирази:

При перерахуванні довірчих границь похибки прямих багаторазових вимірювань, відомих з імовірністю 0,95, у розширену невизначеність із цим рівнем довіри p варто скористатися виразом:

(6)

в якому м=3,63 для p=0,95; та м =5,88 для p =0,99.

Розглядається перерахування характеристик невизначеності в характеристики похибки. Таке перерахування необхідне, наприклад, при визначенні характеристик похибок державних еталонів після оцінювання їх невизначеності за результатами ключових звірень для подальшого використання цих характеристик у сформованій в країні системі передачі розміру одиниці відповідно до повірочних схем.

При прямих одноразових вимірюваннях вихідними даними для розрахунків є: розширена невизначеність U_p; коефіцієнт покриття k; рівень довіри p; відношення стандартного відхилення сумарної НСП до стандартного відхилення випадкової похибки: в=S_И/S; число стандартних невизначеностей типу В m^* (для =0,99); число m НСП, що додаються, причому, m= m^*1, а . При перерахуванні розширеної невизначеності, відомої з рівнем довіри 0,95, у довірчі границі похибки з імовірністю p варто скористатися виразом:

де t_p=2 при p=0,95 та t_p =2,6 при p=0,99.

При прямих багаторазових вимірюваннях вихідними даними для розрахунків є: розширена невизначеність U_p; коефіцієнт покриття k; кількість результатів спостережень n; необхідна довірча ймовірність P. У цьому випадку можна одержати: ефективне число степенів свободи н_eff - за заданим значенням коефіцієнта покриття k для рівня довіри p=0,95 з таблиці розподілу Стьюдента; оцінку СКВ, що характеризує сумарну похибку

S_У=U_p/k=u_c;

оцінку СКВ випадкової похибки

;

оцінку СКВ, що характеризує НСП

;

оцінку відношення стандартного відхилення сумарної НСП до стандартного відхилення випадкової похибки: в=S_И/S; оцінку довірчих границь НСП , оцінку довірчих границь похибки Д_p. Точність знаходження довірчих границь похибки можна підвищити, якщо буде відомо ефективне число степенів свободи н_eff та відношення стандартного відхилення сумарної НСП до стандартного відхилення випадкової похибки в. В останньому випадку по знайденій оцінці СКВ, що характеризує сумарну похибку можна відразу по формулі

визначити оцінку СКВ випадкової похибки.

У додатках наведено таблиці розрахованих значень параметрів, застосовуваних при статистичншй обробці результатів вимірювань, таблиці отриманих залежностей, значень коефіцієнтів покриття, бюджети невизначеності основних різновидів вимірювань, акти впровадження та використання результатів досліджень, приклади практичного оцінювання невизначеності вимірювань.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вирішено важливу складову науково-технічної проблеми забезпечення єдності вимірювань, що полягає у розвитку теоретичних і прикладних основ оцінювання характеристик похибки та невизначеності результатів вимірювань з метою підвищення їх достовірності шляхом урахування законів розподілу вхідних величин та кореляційних зв'язків між ними.

Основні результати роботи полягають у наступному.

1. На основі аналізу моделей законів розподілу статистичних оцінок результатів вимірювань та законів розподілу оцінок їх розсіювання, отриманих методом Монте-Карло, розроблено підхід до достовірного статистичного оцінювання результатів вимірювань. Розраховано вагові коефіцієнти комбінованої оцінки результатів вимірювань які мінімізують значення довірчих границь оцінок випадкової похибки результатів вимірювань для довільного закону розподілу даних. Відношення значень цих границь до значень границь традиційної оцінки зменшуються в декілька разів зі зростанням кількості спостережень для законів розподілу, відмінних від нормального, що дає можливість при використанні комбінованої оцінки знизити кількість спостережень при проведенні вимірювального експерименту без зменшення його точності.

2. Отримано апроксимацію залежності коефіцієнтів t-розподілу для довільних законів розподілів результатів спостережень від числа степенів свободи для рівня довіри 0,95. Проведено імітаційне моделювання композиції законів t-розподілу для різних законів розподілів результатів спостережень. Встановлено, що число степенів свободи такої композиції, отримане за формулами Велча-Саттерсвейта, перевищує їх достовірне значення в 2 рази. Синтезовано достовірну оцінку коефіцієнта покриття для такої композиції, яка апроксимує опорне значення з похибкою, що не перевищує ±8 %. Проведене дослідження результату підсумовування декількох корельованих складових, розподілених за законом Стьюдента, встановило, що коефіцієнт покриття такої композиції добре апроксимується коефіцієнтом Стьюдента з тим же числом степенів свободи.

3. Вперше запропоновано принципи моделювання спільного розподілу двох корельованих величин з довільним законом розподілу. На основі результатів цього моделювання отримано закони розподілу суми двох корельованих рівномірно і арксинусно розподілених величин, оцінено значення ексцесів і коефіцієнтів покриття. Розглянуто застосування Е-метода підсумовування складових невизначеності для цих випадків, запропонована апроксимуюча залежність коефіцієнта покриття від ексцесу розподілу двох корельованих складових невизначеності, яка дозволила визначати коефіцієнт покриття для суми корельованих та некорельованих вхідних величин з похибкою не більше 4 %. На основі моделювання методом Монте-Карло отримано композиції декількох рівномірних, нормальних законів розподілу та законів арксинуса. Їх аналіз дозволив розробити рекомендації з достовірного оцінювання коефіцієнтів покриття нестатистичних оцінок точності результатів вимірювань при відсутності логічної кореляції між вхідними величинами.

5. Встановлено принципи отримання достовірних оцінок розширеної невизначеності прямих однократних вимірювань, які дозволили знизити їх максимальну похибку на 20 % у порівнянні з оцінками, наведеними у нормативних документах. На основі моделювання композиції законів розподілу Стьюдента, рівномірних та нормальних законів розподілу запропоновано вираз, що здійснює апроксимацію достовірних значень коефіцієнта покриття прямих багаторазових вимірювань з похибкою не більше 4,5 %, що майже в 4 рази менше, ніж похибка стандартних оцінок, рекомендованих нормативними документами.

6. Запропоновано процедуру обробки декількох груп прямих нерівноточних багаторазових вимірювань з урахуванням невизначеностей обох типів даних у групах. Вирішено задачу оцінювання неоднорідності даних у групах з довільним законом розподілу за допомогою критерію Граббса, параметр якого отримано у результаті комп'ютерного моделювання. Застосовано процедуру Монте-Карло для відшукання достовірної оцінки розширеної невизначеності результату обробки декількох груп вимірювань, розподілених за довільним законом. Встановлено достовірну оцінку результату вимірювання з урахуванням попарної кореляції даних у групах. Доведено, що неврахування кореляції між законами розподілу в групах може привести до необмеженого збільшення невизначеності оцінки результату вимірювання при наближенні коефіцієнта кореляції до значень ±1.

7. Встановлено принципи отримання достовірних оцінок розширеної невизначеності одноразових та багаторазових непрямих вимірювань з урахуванням кореляції між вхідними величинами. Розроблено набір рекомендацій з розв'язання перерахованих задач, що включає методики оцінювання розширеної невизначеності та технології складання бюджету невизначеності. На основі теорії трансформації законів розподілу при нелінійному перетворенні проведено аналіз границь використання критерію застосування закону поширення невизначеності при нелінійній модельній функції для анормальних законів розподілу вхідних величин. Показано, що похибки оцінювання значень математичного очікування, стандартного відхилення та довірчих границь результату вимірювання можуть досягати від -40 % до -72 %.

8. Розглянуто основи достовірного оцінювання невизначеності спільних вимірювань з урахуванням невизначеності вхідних величин обох типів та кореляції між параметрами, що визнаються. Розроблено набір рекомендацій, що включає процедуру оцінювання розширеної невизначеності та технологію складання її бюджету.

9. Проведено аналіз прикладів застосування розроблених положень при вирішуванні практичних метрологічних задач: оцінювання невизначеності вимірювань на основі концепції простежуваності при проведенні ключових звірень, калібрувань та випробувань, основних різновидів вимірювань, ідентифікації динамічних характеристик ЗВТ з урахуванням кореляції між оцінками параметрів, тощо. Отримано вирази та числові значення коефіцієнтів взаємного перерахування характеристик похибки та невизначеності вимірювань при виконанні метрологічних робіт.