У третьому розділі представлено розробку методів виконання складних математичних операцій із застосуванням ГЧС, до яких відносяться: перечислення комутативних ГЧС, побудова аналітичних виразів спряжених чисел, норм і дільників нуля, побудова представлень нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного, рішення лінійних диференціальних рівнянь від гіперкомплексного змінного.

Задача перечислення комутативних канонічних ГЧС полягає у визначенні кількості класів неізоморфних ГЧС і визначенні представника кожного класу. Крім того, дуже важливим є встановлення повного складу кожного класу, оскільки в цьому випадку легко знайти ізоморфну систему, перехід до якої може скоротити кількість операцій при моделюванні.

Насамперед це стосується задачі перечислення комутативних канонічних ГЧС, вирішення якої в роботі провадиться двома методами: алгебри шляхів на графах та перебором канонічних таблиць множення.

Метод алгебри шляхів на графах базується на теоремах Веддерберна-Артіна та Моріти. У роботі досліджений метод перечислення, заснований на алгебрі шляхів на графах. Він дозволяє перечислити класи, знайти представника класу й побудувати його таблицю множення для невеликих вимірностей, що пояснюється необхідністю мати метод перечислення лінійно незалежних матриць усе більш зростаючих порядків, що є складним завданням. Крім того, цей метод не дає повного складу класів.

На відміну попереднього метод пошуку максимального числа неізоморфних ГЧС перебором канонічних таблиць множення полягає в генерації всіх можливих канонічних таблиць множення -ї вимірності з наступним відбором мінімального набору таблиць, що задовольняють певним умовам. Для вирішення цього завдання був розроблений і відмодельований метод перечислення всіляких канонічних ГЧС із подальшим відбором за ознаками лінійної незалежності базисних елементів і виконання законів асоціативності. Комутативність забезпечується тим, що в переборі бере участь половина таблиці, включаючи головну діагональ, а друга частина таблиці заповнюється симетрично. Таким чином, перечислення полягає в прогляданні -розрядних чисел із різними цифрами.

У результаті застосування обох методів одержані однакові кількості класів ізоморфізмів канонічних ГЧС: другої вимірності - 3 класи, третьої - 5, четвертої - 14 класів. Другий метод дозволяє не тільки визначити класи ізоморфізмів, а й дає склад цих класів, що має велике практичне значення.

З метою побудови різноманітних моделюючих виразів необхідно мати вирази для норм, спряжених чисел і дільників нуля. Оскільки для багатьох перечислених ГЧС цих виразів не існувало, то в роботі на базі запропонованого загального методу визначення норм, спряжених чисел та дільників нуля проведені побудови цих виразів. Вони повністю співпадають з існуючими в таких ГЧС як комплексна, подвійна, дуальна, системі кватерніонів та ін.

Базові операції в ГЧС дозволяють будувати такі нелінійності, як степеневі, поліноміальні, дрібно-раціональні функції, радикали у вигляді гіперкомплексних функцій. Нелінійність типу радикала цілого ступеня вводиться шляхом розв`язку відповідної системи алгебраїчних рівнянь. Проте ця система може не мати дійсних рішень, а тільки комплексні. Якщо ГЧС, у якій проводяться дані операції, не включає як підсистему систему комплексних чисел, то її необхідно розширити шляхом подвоєння комплексними числами, і тоді вирішення системи описуватимуть дану нелінійність.

Задача побудови представлень трансцендентних функцій від гіперкомплексної змінної насамперед зводиться до їхнього визначення з точки зору структури обчислень над гіперкомплексним аргументом, а надалі - до представлення їх у вигляді гіперкомплексної функції. За визначення трансцендентних функцій у роботі прийняті, як і в Р. Гамільтона, відповідні суми степеневих рядків.

Для ГЧС другої вимірності підсумовування цих рядів не викликає труднощів. Таким шляхом знаходиться, наприклад, формула Ейлера для системи комплексних чисел. Якщо в якому-небудь класі ізоморфних систем відоме представлення функції для однієї із ГЧС, то для всіх інших його можна отримати за допомогою ізоморфного переходу, як це було розглянуто раніше. Так, наприклад, при побудові експоненти для квадриплексних чисел використовується її ізоморфізм із системою бікомплексних чисел, у якій представлення експоненти дуже просто виводиться через формулу Ейлера.

У загальному випадку визначення суми степеневого ряду викликає значні труднощі. Для їхнього уникнення розроблений загальний метод побудови представлення таких трансцендентних функцій: експонента, тригонометричні та гіперболичні.

Він базується на тому, що, наприклад, степеневий ряд для експоненти задовольняє диференціальному рівнянню від гіперкомплексної змінної: . Якщо в правій частині перемножити за законом композиції тієї ГЧС, у якій будується експонента, то можна одержати систему з лінійних диференціальних рівнянь від дійсної змінної. Цю систему названо асоційованою з вихідною ГЧС.

Фундаментальні розв'язки цієї системи з відповідним вибором довільних констант і будуть компонентами представлення експоненти від гіперкомплексної змінної. Вибір довільних констант повинен задовольняти основній характеристичній властивості експоненти:

,

де Е - одиничний елемент.

Для інших трансцендентних функцій асоційована система будується на основі диференціальних рівнянь від гіперкомплексної змінної другого порядку: Із цього рівняння випливає система з лінійних диференціальних рівнянь другого порядку, розв'язки якої й будуть компонентами трансцендентних функцій. Вони будуть залежати від довільних констант, вибір яких повинен давати необхідне значення функції для двох значень аргументів. Наприклад, для синуса: , а друге необхідно брати таким, для якого можна легко знайти суму відповідного ряду. Це може бути для ГЧС із одиничним елементом у базисі число типу:для якого, як і для дійсного числа з виразу для степеневого ряду буде:

Представлення нелінійних функцій безпосередньо використовуються при вирішенні диференціальних рівнянь від гіперкомплексного змінного. У роботі показано, що рівняння вигляду має загальний розв'язок, де належать до тієї ГЧС, в якій розглядається рівняння, а експонента має представлення, яке відповідає даній ГЧС. Розглянуто й методи вирішення неоднорідних диференціальних рівнянь від гіперкомплексної змінної вигляду:, де - гіперкомплексна функція. Розглянуто різні вигляди правої частини, побудовано розв'язки для них і досліджено вплив особливих випадків, коли деякі вирази в знаменниках розв'язків можуть обертатися в дільники нуля.

За допомогою представлень експонент можна вирішувати й рівняння вищих порядків. У роботі показано, що у випадках, коли характеристичний поліном такого рівняння має й комплексні корені, треба переходити до ГЧС, яка є результатом подвоєння заданої ГЧС системою комплексних чисел.

Розглянуто також нестаціонарні лінійні диференціальні рівняння вигляду:. Показано, що розв'язки, одержані методом варіації довільної сталої, мають такий же вигляд, як і в рівнянь від дійсної змінної:, де всі величини гіперкомплексні, а експоненти визначаються їхніми представленнями

У четвертому розділі проведено практичні розробки та моделювання з використанням ГЧС. Насамперед показано, що метод асоціативної системи диференціальних рівнянь приводить до тих же результатів, що безпосередня побудова представлення нелінійностей у ГЧС. Далі доводиться, що представлення від гіперкомплексного числа, яке належить до прямої суми ГЧС, дорівнює сумі представлень від доданків цього числа, які належать усім компонентам прямої суми.