Асоціати та розклади багатомісних операцій

Теорема 3.4.4. Нехай (G;h) та (Q;f ) (n+1)-арні поліагрупи з розкладами (•, ш, b) та (+,ц, a) відповідно. Для того, щоб відображення г множини G на Q було гомоморфізмом (ізоморфізмом) поліагрупи (G;h) на поліагрупу (Q;f ), необхідно і достатньо існування гомоморфізму (ізоморфізму) и групи (G;•) в групу (Q;+) і елемента c Q таких, що виконується пункт 1) (пункт 2)):

1) г = L_c и, иш = ц I _c ^-1 и, и b = ц c + ц² c + … + цⁿ c + a;

2) г = R_c и, I_c и ш = ц и, и b = c+ цc + ц²c + … + ц^n-1c + a,

де L_cx=c+x; R_cx=x+c; I_c x=c+x- c.

Підполіагрупу поліагрупи називаємо нормальною, якщо вона є блоком розбиття за деякою її конгруенцією. Конгруенції поліагрупи та будь-якої її алгебри розкладу збігаються (теорема 3.4.6). Підполіагрупа поліагрупи нормальна тоді і тільки тоді, коли вона є деяким блоком еквівалентності групи розкладу за деякою нормальною підгрупою групи розкладу (теорема 3.4.7). Звідси, зокрема, випливає, що в ідемпотентній поліагрупі кожний блок конгруентності є її нормальною підполіагрупою (наслідок 3.4.10).

В підрозділі 3.5 знайдено алгоритм описання поліагруп за модулем бінарних груп.

Автоморфізми ц і ш групи (Q;+) назвемо ізорівними, якщо існують автоморфізм и і елемент c групи (Q;+) такі, що ш = и^-1цI^-1cи, де I_c -- визначений елементом c внутрішній автоморфізм групи (Q;+).

Два елементи b, d із множини ka+Z(Q;+) назвемо (ц,k)-ізорівними, якщо існують автоморфізм и та елемент c такі, що

и ц = ц I _c ^-1 и, и b = ц c + ц² c + … + цⁿ c + d,

де n -- порядок ц в групі зовнішніх автоморфізмів групи (Q;+).

Нехай Г_m -- повний набір попарно неізоморфних груп порядку m; P⁽⁺⁾ -- повний набір попарно неізорівних автоморфізмів кожний з яких має скінченний порядок в множині зовнішніх автоморфізмів групи (Q;+); Q_ц,k -- повний набір (ц,k)-неізорівних елементів множини ka+Z⁽⁺⁾, де Z⁽⁺⁾ є центром групи (Q;+), а a -- будь-який елемент, що задовольняє умову цⁿ(x)=a+x - a.

Теорема 3.5.8. Кожна поліагрупа порядку m, де m -- будь-яке кардинальне число, арності n+1 ізоморфна точно одній поліагрупі, яка рівністю

f(x₀,x₁,..., x_n) = x₀+ц x₁+ц²x₂+...+цⁿx_n+a (5)

визначається парою (ц,a), де ц?P⁽⁺⁾, a?Q_ц,k, n кратне порядку автоморфізму ц в групі зовнішніх автоморфізмів групи (Q;+) та (+)?Г_m.

В підрозділі 3.6 проілюстровано отримані вище результати на прикладі поліагруп, що визначені над циклічними групами. А саме, дано повний опис з точністю до ізоморфізму та описано їх підполіагрупи.

Кожна така скінченна поліагрупа ізоморфна поліагрупі (Z_m;f_(?,a)), де Z_m та m>0, є кільцем лишків за модулем m, а ? -- його оборотний елемент та ?ⁿ=1, (?^s -1)a=0, f(x₀,...,x_n) = x₀ + ? x₁ + ?² x₂ +... + ?^n-1x_n-1 + x_n + a.

Теорема 3.6.4. Кожна визначена над циклічною групою поліагрупа порядку m<? ізоморфна точно одній поліагрупі, яка визначена над Z_m парою (?,d), де ? -- оборотний елемент, а d є спільним дільником чисел 1+?+?²+…+?^n-1 та m.

З цієї теореми випливає, що з точністю до ізоморфізму простого порядку p>2 арності n+1 існує точно: 2p-3 поліагрупи, коли число n не ділиться на p, і точно 2p-2 поліагрупи, коли число n ділиться на p. З них (n+1)-арних груп точно p-2 в обох випадках (наслідок 3.6.6).

Кожна нескінченна (n+1)-арна поліагрупа з розкладом над циклічною групою ізоморфна точно одній поліагрупі (Z;f_(1,a)), де a = 0, 1,..., [n/2], або поліагрупі (Z;f_(-1,0)), яка існує лише при парному n (теорема 3.6.8).

Описано їх напівгрупи ендоморфізмів, групи автоморфізмів та підполіагрупи (теореми 3.6.9, 3.7.4).

В підрозділі 3.7 описування ендоморфізмів та автоморфізмів зведено до описування відповідних об'єктів в алгебрах розкладу (теорема 3.7.2, теорема 3.7.3).

В четвертому розділі „Деякі класи поліадичних груп” досліджуються класи поліагруп.

В підрозділі 4.1 встановлено метод описання класів алгебр розкладів поліагруп даного класу, а також метод описання класу поліагруп за класом груп, над якими вони визначені.

Нехай Ц -- будь-яка формула сигнатури (f, ? ). Замінивши в цій формулі операції f та (?) на вирази (5) та ы = -a+ц^n-1(-u)+ц^n-2(-u)+...+ц(-u) отримаємо формулу сигнатури (+, -, ц, a), яку і позначимо через BЦ, BУ:={BЦ | Ц? У}.

Теорема 4.1.1. В будь-якій поліагрупі рівносильні такі твердження: 1) в поліагрупі справедлива формула Ц; 2) в деякому розкладі істина формула BЦ; 3) в кожному розкладі істинна формула BЦ.

Наслідок 4.1.2. Абстрактний клас поліагруп визначається системою формул У тоді і тільки тоді, коли клас алгебр розкладів визначається системою формул BУ.

Наслідок 4.1.3. Якщо клас поліагруп є многовидом (квазімноговидом, псевдомноговидом), то клас алгебр розкладу також має ці властивості.

Поліагруповим замиканням сорту (s,n) формули Ц сигнатури (+, -, ц, a) назвемо формулу (u)PЦ сигнатури (f, ? ), де PЦ отримано з Ц замінами:

x+y=f(x, u,..., u, ы, u,..., u, y), -u = f(x, u,..., u, ы, u,..., u, x),

ц(x)=f(u,x, u,..., u, ы), a=f(u, u,..., u),

де координата символу ы в цих формулах дорівнює s, n-s, n відповідно.

Теорема 4.1.7. Абстрактний клас груп визначається системою формул У тоді і тільки тоді, коли його поліагрупове замикання сорту (s,n) визначається системою формул У, яка складається з тотожностей, що визначають клас поліагруп сорту (s,n) та універсальних поліагрупових замикань сорту (s,n) формул із У.

В підрозділі 4.2 знайдено критерії регулярності поліагруп і встановлено зв'язок даного поняття з дистрибутивністю, автодистрибутивністю та періодом асоціативності (теореми 4.2.2, 4.2.3).

З доведених властивостей, зокрема, випливає, що операція взяття косого елемента регулярної поліагрупи має внутрішню (i,j)-регулярну властивість (зовнішню i-регулярну властивість) тоді і тільки тоді, коли число j-i (число i) ділиться на період асоціативності поліагрупи. А це означає, що кожна дистрибутивна поліагрупа є асоціативною, тобто (n+1)-арною групою (наслідки 4.2.4, 4.2.5, 4.2.6, 4.2.7).

В підрозділі 4.3 описано поліагрупи зі сталою косою операцією.

Теорема 4.3.1. Нехай (Q;f) -- довільна (n+1)-арна поліагрупа, і (Q;+,ц,a) є її 0-розкладом, тоді еквівалентні такі умови:

1) ы=з для всіх u, e із Q;

2) x+цx+ц²x+...+ц^n-2x=0 для всіх x із Q;

3) f(0, x,..., x, 0) = f(0, y,..., y, 0) для всіх x,y із Q;

4) f(z, x,..., x, z) = f(z, y,..., y, z) для всіх x,y,z із Q;

5) (Q;f) -- похідна бінарної групи з тотожністю (n-1)x = 0;

6) цx = a + x - a, (n-1)x = 0 для всіх x із Q;

В підрозділі 4.4 знайдено умови, за яких коса операція є автоморфізмом поліагрупи. Це точно поліагрупи (Q;f ), в яких алгебра розкладу (Q;+,ц,a) задовольняє умови: и:=е+ц+ц²+...+ц^n-2 є антиендоморфізмом групи (Q;+) та иx+a=a+иx для всіх x із Q (теорема 4.4.1). Отже, в поліагрупах, що визначені над комутативними групами, коса операція завжди є її ендоморфізмом.

В підрозділі 4.5 знайдено опис поліагруп, в яких коса операція має скінченний порядок (теорема 4.5.2). З цієї та наступної теорем випливає, що поліагрупи, в яких коса операція має скінченний порядок чи є сталою функцією, є циклічними (теорема 4.5.3).

Теорема 4.5.3. В (n+1)-групі (Q;f), де n>2, рівносильні твердження:

1) істинна тотожність ы⁽ⁱ⁾=u;

2) істинна тотожність u^[к(n,i)]=u;

3) група (Q;f) є циклічною і її період ділить к(n,i);

4) в алгебрі розкладу (Q;+,ц,a) виконується тотожність к(n,i)(цx+ц²x+...+цⁿx+a)=0;

5) в алгебрі розкладу (Q;+,ц,a) виконується рівність к(n,i)a=0 та тотожність x+цx+ц²x+... +ц^(1-n)i-2x=0, де к(n,i):=((1-n)ⁱ-1)/n.

В п'ятому розділі „Розклади багатомісних операцій” продовжується дослідження розкладів багатомісних операцій.

В підрозділах 5.1 та 5.2, розвиваючи ідею В.Д. Білоусова¹⁷, вперше визначається поняття схрещеної ізотопії багатомісних операцій. А саме, операцію f арності n+1 називають i-схрещено ізотопною типу о:=(i₀,...,i_k), де 0? i₀<...<i_k? n та i_m=i, або схрещено ізотопною типу (m,о) до (n+1)-арної операції g, якщо існують вибірка підстановок б:=(б₀,...,б_n,б) і m-оборотна операція h арності k+1 множини Q такі, що рівність

f(x₀,...,x_n)=б^-1g(б₀x₀,...,б_i-1x_i-1,б_ih(x_i0,...,x_ik),б_i+1x_i+1,..., б_nx_n)

виконується для всіх x₀,..., x_n є Q. Пару (б;h) називають схрещеною ізотопією типу (m,о) арності k+1. Ізотопію називають головною, якщо б=е. При k=n i-ту схрещену ізотопію називають схрещеною ізотопією максимального типу. У випадку, коли б₀=...=б_n=б, схрещена ізотопія називається слабким схрещеним ізоморфізмом, а якщо, до того ж, операція h селекторноподібна, то сильним схрещеним ізоморфізмом. При цьому, під m-селекторноподібною розуміють таку операцію h, що для довільної підстановки б множини Q виконується рівність h(x,..., x, бx, x,..., x)= бx для всіх x із Q, де m є координатою б в лівій частині рівності.

Доведено, що множина всіх схрещених ізотопій, слабких схрещених ізоморфізмів та сильних схрещених ізоморфізмів типу о довільної множини Q відносно операції послідовного їх виконання утворюють групи, які визначають дії на множині n-арних операцій множини Q (теореми 5.2.3, 5.2.5). Тому множини схрещених автотопій (слабких схрещених автоморфізмів, сильних схрещених автоморфізмів) типу о довільної операції утворюють групу, групи схрещених автотопій (слабких схрещених автоморфізмів, сильних схрещених автоморфізмів) типу о схрещено ізотопних (слабко схрещено ізоморфних, сильно схрещено ізоморфних) типу о операцій є ізоморфними, відношення схрещеної ізотопності (слабкої схрещеної ізоморфності, сильної схрещеної ізоморфності) типу о є відношенням евівалентності (наслідки 5.2.4, 5.2.6).

В підрозділі 5.3 вивчаються інші властивості схрещеної ізотопії та ізоморфізму. Доведено, що роздільність інваріантна при схрещеній ізотопії квазігрупових операцій, якщо тип роздільності містить тип схрещеної ізотопності або не має з ним спільних елементів (теорема 5.3.2); між цілком роздільними та нероздільними операціями існує лише схрещена ізотопія максимального типу (наслідок 5.3.3). Для довільного n побудовано сильно схрещено ізоморфні, але не ізоморфні (n+1)-арні операції (теорема 5.3.4); а також описано нейтральні елементи схрещених ізотопів медіальних поліагруп.

В підрозділах 5.4 та 5.5 дається повна відповідь на питання: Чи можна з квазігруп меншої арності за допомогою суперпозицій побудувати n-арну квазігрупу, що має властивість оборотності?

Дане питання постало при вивченні багатомісних квазігруп, що мають властивість оборотності, які проводились В.Д. Білоусовим, Є.І. Соколовим, Л.А. Урсу, В.І. Оноєм та іншими.

Спочатку доведено, що небінарна квазігрупова операція є роздільною і ізотопною всім своїм головним парастрофам тоді і тільки тоді, коли вона є ізотопом комутативної групи (теорема 5.4.6). Скориставшись цією теоремою, встановлено, що некомутативна чи неасоціативна лупа, яка ізотопна всім своїм головним парастрофам, є нероздільною (наслідок 5.4.8) і описано повні розклади операцій багатомісних роздільних квазігруп з властивістю оборотності та їх матриці оборотності (теорема 5.5.5).

З отриманих результатів випливає, що лупа з властивістю оборотності є або похідною від бінарної комутативної групи, тобто тривіальною, або є нероздільною. Це означає, що нетривіальну багатомісну лупу з властивістю оборотності неможливо побудувати за допомогою безповторних суперпозицій квазігруп меншої арності.

Цим самим узагальнено результати В.Д. Білоусова⁴, В.Д. Білоусова і Є.І. Соколова Белоусов В.Д., Соколов Е.И. n-Арные инверсные квазигруппы // Матем. исслед. -1991. - Вып. 120. - С. 26-36., Л.А. Урсу Урсу Л.А. О свойстве обратимости n-арных груп // Матем. исслед. - 1991.- Вып. 120. - С. 124-133..

В підрозділах 5.6 та 5.7 вивчаються розклади операцій надасоціативних багатомісних квазігруп. А саме, виділено серед багатомісних ізотопів групи групоїда з тотожністю надасоціативності.

Надасоціативні квазігрупи або групоподібні алгебри (grouplike algebras) є одним із узагальнень бінарних груп і тому допускають узагальнення методів дослідження із бінарних груп на зазначені групоїди. Саме тому надасоціативні квазігрупи можуть бути, як і поліагрупи, тими групоїдами до яких можна зводити вивчення інших багатомісних групоїдів та операцій. Вивченню цих групоїдів приділялась увага багатьох математиків і знайти про них результати можна в монографії В.А. Дудека і В.С. Трохименка³⁰.

Групоїд (Q;f) арності n+1 називають надасоціативним або алгеброю Менґера рангу n, якщо його операція є надасоціативною, тобто задовольняє тотожність

f(f(x₀,x₁,...,x_n),y₀,...,y_n) =f(x₀, f(x₁, y₀,..., y_n),..., f(x_n, y₀,..., y_n)).

Наприклад, якщо (Q; +, *) -- майжекільце, кільце чи поле, то тернарний групоїд (Q;f), що визначний рівністю f(x, y, z)=x* (y+z) є алгеброю Менґера.

Теорема 5.7.1. Багатомісний ізотоп групи (Q;f ) надасоціативний тоді і тільки тоді, коли

f(x₀, x₁,..., x_n) = x₀ * б₁ x₁ *...* б_n x_n (6)

для деяких унітарних підстановок б₁,...,б_n групи (Q;*), для яких

б₁ y* б₂ y*...* б_n y= y, б₁y *...*б_i-1y* б_i(x* y) = б_ix* б₁y*...*б_iy, i= 1,2,..., n.

Наслідок 5.7.2. Для будь-якого надасоціативного групового ізотопу (Q;f) з канонічним розкладом (6) рівносильні такі твердження: 1) ізотоп (Q;f) є лінійним; 2) б₂ є автоморфізм мом групи (Q; *); 3) група (Q; *) -- комутативна.

В шостому розділі „Функційні рівняння та тотожності” закладено основи класифікації функційних рівнянь з точністю до парастрофної рівносильності та встановлено низку ознак для тотожностей, виконання яких в квазігрупі гарантує її ізотопність деякій (комутативній) групі та лінійність ізотопії. В даному розділі розглядаються функційні рівняння лише над множиною квазігрупових операцій довільно вибраної множини Q.

В підрозділах 6.1, 6.2, 6.3 розроблено понятійний апарат та отримано низку властивостей для дослідження функційних рівнянь.

Функційним рівнянням називається рівність двох термів, які складаються з предметних і функційних змінних та констант, причому всі предметні змінні пов'язані квантором загальності. Парастрофом квазігрупової операції називається сама операція, її ділення або комутування кожної з цих операцій. Парастрофом F^у функційної змінної F називається змінна, яка набуває значення парастрофа f ^у, якщо змінній F надається значення операції f.

Два функційних рівняння називаються парастрофно рівносильними, якщо від одного до іншого рівняння можна „перейти” за скінченну кількість кроків: переіменування предметних чи функційних змінних та заміну функційних змінних їх парастрофами з відповідною заміною підтермів. Послідовність підслів функційного рівняння називається самодостатньою, якщо вона містить всі появи в рівнянні всіх своїх предметних змінних.

В функційному рівнянні щ=х самодостатню послідовність підтермів назвемо: тривіальною, якщо вона дорівнює послідовності щ,х, або послідовності t, x_i,..., x_j, де t є підтермом рівняння і [t]={x_i,..., x_j}; парастрофно тривіальною, якщо рівняння щ=х парастрофно рівносильне (без переіменування предметних змінних) рівнянню щ=х, в якому є тривіальна самодостатня послідовність, множина предметних змінних якої дорівнює початковій послідовності.

Тривіальні самодостатні послідовності існують в кожному функційному рівнянні. Якщо ж рівняння має нетривіальну самодостатню послідовність, то в ряді випадків таке рівняння рівносильне системі рівнянь, кожне з яких має меншу кількість предметних змінних, ніж дане рівняння (теорема 6.2.1; наслідки 6.1.2, 6.1.3).

Функційне рівняння називається скоротним, якщо воно має нетривіальну самодостатню послідовність підтермів; парастрофно скоротним, якщо воно парастрофно рівносильне деякому скоротному рівнянню; звідним, якщо воно парастрофне рівнянню, яке рівносильне ситемі рівнянь, кожне з яких має меншу кількість предметних змінних, ніж вихідне рівняння; квадратичним, якщо кожна предметна змінна має точно дві появи; загальним, якщо всі функційні змінні є попарно різними.

Теорема 6.2.3. Парастрофно скоротне квадратичне функційне рівняння є звідним.

Теорема 6.3.2. Загальне парастрофно нескоротне квадратичне функційне рівняння від трьох предметних змінних парастрофно рівносильне функційному рівнянню асоціативності.

Теорема 6.3.4. Функційне рівняння від трьох предметних змінних парастрофно рівносильне функційному рівнянню загальної асоціативності тоді i тільки тоді, коли кожна предметна змінна має точно дві появи, парастрофні підтерми довжини два і три є безповторними.

Доведено, що кожне парастрофно нескоротне квадратичне функційне рівняння від чотирьох предметних змінних парастрофно рівносильне або функційному рівнянню медіальності, або функційному рівнянню псевдомедіальності (теореми 6.4.1, 6.4.3) і дано опис таких рівнянь (теорема 6.4.4). Знайдено множину всіх розв'язків загального функційного рівняння псевдомедіальності (теорема 6.4.2).

Теорема 6.4.2. Множина всіх розв'язків загального функційного рівняння псевдомедіальності

F₁(F₂(x,y),F₃(z,u))=F₄(F₅(F₆(x,z),y),u)

над множиною квазігрупових операцій довільної множини Q описується такими залежностями

F₁(z;t)=б₁(z)* в₁(t), F₂(x;y)=б₁^-1(в₂(y)*б₂(x)), F₃(u;v)=в₁^-1(б₃(u)*в₃(v)),

F₄(t;v)=б₄(t) * в₃(v), F₅(z;y)=б₄^-1(в2(y)*б₅(z)), F₆(x;u)=б₅^-1(б₂(x)*б₃(u)),

де (Q;*) -- довільна група, а б_i, в_i, i=1,2,3,4, -- довільні підстановки множини Q.

Теорема 6.4.3. Кожне загальне парастрофно нескоротне квадратичне функційне рівняння від чотирьох предметних змінних парастрофно рівносильне або функційному рівнянню медіальності, або функційному рівнянню псевдомедіальності.

Теорема 6.4.4. Загальне квадратичне функційне рівняння від чотирьох змінних є парастрофно нескоротним тоді і тільки тоді, коли воно не має самодостатніх дуг.

В підрозділах 6.6, 6.7, 6.8 вивчаються тотожності на квазігрупових операціях. Відправною точкою дослідження даного напрямку для багатьох авторів став результат В.Д. Білоусова²¹. Потім ці ідеї розвивались в працях Я. Дуплака³⁸, М.А. Тейлора^24,25, А. Крапєжа та інших.

В цій дисертації знайдено ознаки для тотожностей, які гарантують квазігрупі, в якій вони виконуються, а) ізотопність деякій групі (теореми 6.6.2, 6.6.4); б) ізотопність деякій комутативній групі (теореми 6.7.1, 6.7.2, 6.8.19, 6.8.20); в) лінійність лізотопії (теорема 6.8.6).

Теорема 6.6.4. Якщо в примітивній квазігрупі виконується тотожність термальної асоціативності, в якій одне з оточуючих підслів кожної із визначальних змінних збігається з цією змінною, то така квазігрупа ізотопна деякій групі.

Дана теорема узагальнює результати В.Д. Білоусова²¹, М.А. Тейлора²³, Я. Дуплака Duplak J. Identities and deleting maps on quasigroups // Math. Institute of the Czechoslovak Academy of Scien. - 1988. - Vol. 38 (113), № 1. - P.1-7.. Наприклад, якщо в квазігрупі виконується тотожність

(x^k y^m)( yzⁿ)=zx,

то вона ізотопна деякій групі при будь-якому розташуванні дужок в підсловах x^k, y^m, zⁿ та при довільних значеннях натуральних чисел m, n, k.

Вперше дано поняття канонічного розкладу для групових ізотопів та встановлено його єдиність, що дозволило виділити ознаки тотожностей, які гарантують різні властивості лінійності чи алінійності ізотопів груп.

Теорема 6.8.6. Нехай (Q;*, Щ) є квазігруповою алгеброю; групоїд (Q;*) є груповим ізотопом; групоїди (Q;?) і (Q;?), де ?, ? ? Щ, є головними ізотопами групи канонічного розкладу групоїда (Q;*); слова х₁, х₂, х₃, х₄ сигнатури {*}?Щ є оточуючими для змінних x та y зі спільною сюр'єктивною властивістю, а х -- довільне слово сигнатури {*}? Щ. Тоді груповий ізотоп (Q;*) буде

1) ліволінійним, якщо істинна тотожність (х₁(x)?х₂(y))*х=х₃(x) ? х₄(y);

2) праволінійним, якщо істинна тотожність х*(х₁(x)?х₂(y))=х₃(x)?х₄(y);

3) лівоалінійним, якщо істинна тотожність (х₁(x)?х₂(y))*х=х₄(y)?х₃(x);

4) правоалінійним, якщо істинна тотожність х*(х₁(x)?х₂(y))=х₄(y)?х₃(x);

Тут х(x) означає, що змінна x входить до запису слова х.

Для лінійних ізотопів груп за тотожностями знайдено залежності для коефіцієнтів канонічного розкладу (теореми 6.8.9, 6.8.12, 6.8.18).

В підрозділі 6.1 знайдено метод описання ізотопного замикання класів груп (теореми 6.10.1, 6.10.2, наслідок 6.10.5), а також ізотопних замикань спеціальних видів (теорема 6.10.7).

Нехай Ц -- будь-яка формула групової сигнатури, i u -- предметна змінна, яка не входить в запис формули Ц. Тоді універсальним термальним замиканням формули Ц назвемо формулу (u)Ш, де Ш є формулою квазігрупової сигнатури, яка отримана із формули Ц заміною всіх появ групових операцій на вирази, що задані співвідношеннями

x+y=(x/u)(1_u\ y); x+y=(x/e_u)(u\ y); (7)

-x=u/(1_u\ x))u; -x=1_u ((x/u)\u)); -x=u/(u\ x))e_u; -x=u((x/e_u)\ u), (8)

де 1_u=u/u, e_u=u\u -- ліва та права локальні одиниці елемента u.

Теорема 6.10.1. Інваріантна при ізоморфізмі формула виконується в групі тоді i тільки тоді, коли її універсальне термальне замикання виконується в одному (у всіх) із ізотопів цієї групи.

Універсальним термальним замиканням системи групових формул Р назвемо систему формул Р, яка є об'єднанням системи термальних універсальних замикань формул із Р та системи супутніх тотожностей, що виникають при термальному замиканні формул у випадку заміни групової операції в формулах різними термальними співвідношеннями (7), (8). Наприклад, якщо використовуються обидві формули (7), то в універсальне термальне замикання системи повинна входити супутня тотожність:

(x/u)((u/u)\ y)=(x/(u\u))(u\y).

Теорема 6.10.2. Абстрактний клас груп визначається системою інваріантних при ізоморфізмі формул тоді i тільки тоді, коли його ізотопне замикання визначається універсальним термальним замиканням цієї системи формул.

Наслідок 6.10.5. Ізотопне замикання класу всіх груп є многовидом квазігруп, який в многовиді всіх квазігруп визначається тотожністю

([x(u\ y)] / u)z=x(u\ [(y/u)z]). (9)

Наслідок 6.10.6. Абстрактний клас груп визначається системою формул тоді i тільки тоді, коли його ізотопне замикання визначається системою, що складається з тотожності (9) і універсального термального замикання кожної формули даної системи.

Теорема 6.10.7. Формула Ц сигнатури (+,-,б,в) виконується в усіх лівих (правих, середніх) канонічних розкладах (Q;+,б,в) ізотопу (Q;*) групи (Q;+) тоді i тільки тоді, коли в ізотопі (Q;*) виконується формула Ц, яка отримана із формули Ц замінами (7), (8) та бx=xu, вx=(u/u)x, (відповідно бx=x(u\ u), вx=ux; та бx=x(u\ u), вx=(u/u)x).

В сьомому розділі „Класи алгебр операцій” вивчаються алгебри багатомісних операцій, сигнатура яких є суперпозиціями.

В підрозділі 7.1 визначено Т-клонову суперпозицію, яка відрізняється від клонової суперпозиції тим, що знято вимогу на однаковість арностей у всіх операціях, крім першої. Досліджено її властивості та визначено поняття відповідних алгебр: Т-клона та Т-клонової алгебри.

В підрозділах 7.2, 7.3 доведено, що абстрактний клас Т-клонових алгебр операцій дорівнює класові Т-клонових алгебр та абстрактний клас Т-клонів операцій дорівнює класові Т-клонів (теореми 7.2.1, 7.3.1).

В підрозділі 7.4 знайдено абстрактну характеристику клонів та клонових алгебр (теореми 7.4.2, 7.4.3), що дозволило встановити зв'язок між клонами та Т-клонами (теореми 7.4.4, 7.4.5).

В підрозділі 7.5 знайдено абстрактну характеристику класу всіх позиційних алгебр із селекторами (теорема 7.5.1).

В підрозділі 7.6 знайдено абстрактну характеристику довільного класу всіх однотипних унарів комутувань багатомісних операцій (теорема 7.6.1), а також знайдено абстрактну характеристику довільного класу однотипних розширених (селективних) алгебр Менгера (теорема 7.6.2, 7.6.4).

Нехай _n(Q) -- множина (n+1)-арних операцій, визначених на множині Q і нехай -- довільна підстановка множини {0,…, n}. Операцію f, що визначена рівністю f (x₀,…,x_n)= f(x₀,…,x_n), назвемо -комутуванням операції f. Отже, зіставлення f f, визначає на множині _n(Q) унарну операцію, яку також позначимо через . Алгебру (;V), де _n(Q) і V є деяка множина комутувань, називають унаром комутувань.

Теорема 7.6.1. Унар ізоморфний деякому унару комутувань (n+1)-арних операцій тоді і тільки тоді, коли його сигнатура породжує групу, яка занурима в симетричну групу степеня n+1.

В підрозділі 7.7 розроблено метод визначення абстрактних характеристик класів алгебр багатомісних операцій, сигнатура яких містить суперпозиції Манна. Завдяки цьому знайдено: абстрактну характеристику довільного класу однотипних розширених мультинапівгруп багатомісних операцій (теорема 7.7.3, наслідок 7.7.4). Цим самим підсилено та узагальнено результати, К.А. Зарецького³¹, В.С. Трохименка³², Т. Якубова³³.

Суперпозицією Мана операцій f і g називається операція :

.

Всі операції є асоціативними. Алгебру , де _n(Q), назвемо мультинапівгрупою (n+1)-арних операцій, а алгебру , де V є деяка множина комутувань, назвемо розширеною мультинапівгрупою (n+1)-арних операцій.

Нехай -- довільна алгебра, яка однотипна роширеній мультинапівгрупі (n+1)-арних операцій і нехай e₀, e₁,…, e_n,c -- довільний набір елементів, які не лежать в множині G. На G {e₀, e₁,…, e_n,c} визначи-мо , поклавши, що результат дорівнює: , якщо x,yG; y, якщо x=e_i; e_i, якщо x=e_j і ji; x, якщо y=e_i; c -- в інших випадках. Нехай

.

Теорема 7.7.3. Алгебра ізоморфна деякій розширеній мультинапівгрупі (n+1)-арних операцій тоді і тільки тоді, коли унар (G;V) задовольняє умові теореми 7.6.1 та виконуються такі залежності:

,

для всіх x, y₀,…, y_s, z₀,…, z_mG і для всіх , V, де унарна операція із V та відповідна їй підстановка множини {0,…,n} позначаються однаково.

Теорема 7.7.4. Алгебра ізоморфна деякій мультинапів-групі (n+1)-арних операцій тоді і тільки тоді, коли для всіх x, y_i, z_jG

.

Висновки

Доведено, що довільний частинно асоціативний сюр'єктивно-ін'єктивний групоїд є асоціатом і описано врівноважені тотожності першого роду в довільних асоціатах. Знайдено повний розклад операцій в асоціатах частково оборотними елементами і доведено, що їх вивчення зводиться до вивчення оноїдів, тобто асоціатів з оборотними елементами. Множина всіх оборотних елементів оноїда є його підквазігрупою, тобто поліагрупою, і збігається з групою оборотних елементів довільного його моноїда розкладу. Доведено, що період асоціативності оноїда дорівнює кількості косих до довільного оборотного елемента. Розв'язано системи функційних рівнянь асоціативності від однієї змінної над множиною операцій довільної множини, кожна з яких має оборотний елемент.

Знайдено залежності між алгебричними поняттями поліагруп і надасоціативних ізотопів груп та їх відповідниками в алгебрах розкладу. Знайдено алгоритм описання поліагруп з точністю до ізоморфізму за модулем бінарних груп та дано повний опис поліагруп, групи розкладу яких є циклічними. Знайдено метод визначення формул: класу алгебр розкладів поліагруп даного класу та класу поліагрупових замикань даного класу бінарних груп. Описано поліагрупи, в яких коса операція є: регулярною, сталою, ендоморфізмом поліагрупи; скінченного порядку.

Визначено групи: схрещених ізотопій, схрещених слабких ізоморфізмів, схрещених сильних ізоморфізмів, визначено їх дії на множині багатомісних операцій та вивчено їх властивості, знайдено залежність між роздільністю та схрещеною ізотопністю квазігрупових операцій. Описано багатомісні роздільні квазігрупи з властивістю оборотності та їх матриці оборотності і доведено, що кожна така нетривіальна квазігрупа є нероздільною.

Розроблено понятійний апарат для вивчення функційних рівнянь на квазігрупових операціях та їх застосування до аналізу тотожностей на квазігрупах, а також: описано властивості самодостатніх наборів підтермів; описано загальні парастрофно нескоротні квадратичні функційні рівняння від трьох і чотирьох предметних змінних; знайдено ознаки для тотожностей, які гарантують квазігрупі, в якій вони виконуються: ізотопності деякій (комутативній) групі, лінійності та алінійності ізотопа групи, скінченності коефіцієнтів лінійності; знайдено метод описання ізотопного замикання класів груп, а також ізотопних замикань спеціальних видів.

Визначено нову алгебру операцій з повним набором суперпозицій у сигнатурі (Т-клон) та знайдено абстрактні характеристики: класу Т-клонів і встановлено зв'язок з клонами, позиційних алгебр із селекторами, класів однотипних унарів комутувань багатомісних операцій. Розроблено метод знаходження абстрактних характеристик класів алгебр багатомісних операцій, сигнатура яких містить суперпозиції Манна.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Сохацкий Ф.Н., Абстрактная характеристика (2,n)-полугрупп n-арных операцій // Матем. исслед. 1982. Вып. 65. С. 132-139.

2. Сохацкий Ф.Н. Многоместные разделимые квазигруппы со свойством обратимости // Матем. исслед. 1990. Вып.113. С.89-99.

3. Сохацкий Ф.Н. Об ассоциативности многоместных операций // Дискретная математика. 1992. Т.4, Вып.1. С. 66- 84.

4. Sokhatskyj F., Syvakivskyj P. On linear isotopes of cyclic groups // Quasigroups and related systems. 1994. Vol. 1, №1(1). P. 66-76.

5. Sokhatsky F. On superassociative group isotopes // Quasigroups and related systems.1995. Vol. 2, №1(2). P. 101-119.

6. Сохацький Ф.М. Про ізотопи груп. I // Український математичний журнал. 1995. Т. 47, №10. C. 1387-1398.

7. Сохацький Ф.М. Про ізотопи груп. II // Український математичний журнал.-1995. Т. 47, №12. C. 1692-1703.

8. Сохацький Ф.М. Про ізотопи груп. III // Український математичний журнал. 1996. Т. 48, №2. C. 251-259.

9. Сохацкий Ф.Н. О классах полиагрупп // Алгебраические исследования. Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. С. 114-131.

10. Sokhatsky F. On the associativity of multiplace operations // Quasigroups and Related Systems. 1997. № 4. P. 51-66.

11. Сохацкий Ф.Н. О полиадических группах // Современная алгебра: Межвузовский сборник научных трудов. 1997. Выпуск 2(22). С. 79-94.

12. Sokhatsky F. Invertible elements in associates and semigroups. 1 // Quasigroups and Related Systems. 1998. Vol.5. P. 53-68.

13. Sokhatsky F.M. Some linear conditions and their application to describing group isotopes // Quasigroups and Related Systems. 1999. Vol. 6. P. 43-59.

14. Sokhatsky F.M., Yurevych O. Invertible elements in associates and semigroups. 2 // Quasigroups and Related Systems. 1999. Vol. 6. P. 61-70.

15. Сохацький Ф.М. Абстрактна характеристика класу унітарних позиційних алгебр операцій // Український математичний журнал. 2002. Vol. 54, №7. P. 961-968.

16. Sokhatsky F.M. On Dudek's problems on the skew operation in poliadic groups // East Asial Math. J. 2003. Vol.19, № 1. P. 63-71.

17. Сохацький Ф.М. Про класифікацію функційних рівнянь на квазігрупах // Український математичний журнал. 2004. Т.56, № 9. C. 1259-1266.

18. Sokhatsky F.M. Commutation of operations and its relationship with Menger and Mann superpositions // Discussiones Math., General Algebra and Appl. 2004. 24. P. 153-176.

19. Сохацький Ф.М. Нові клони операцій та їх абстрактна характеристика // Науковий часопис Нац. пед. ун-ту імені М.П. Драгоманова. Серія 1: Фізико-математичні науки. Київ: Нац. пед. ун-ту імені М.П. Драгоманова, 2004. № 5. С. 97-110.

20. Сохацький Ф.М. Про схрещену ізотопію та схрещений ізоморфізм // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. 2005. Вып. 11. С. 23-33.

21. Sokhatsky F.M., Yurevych O.V. On Commutativity and Mediality of Polyagroup Cross Isomorphs // Bulentinul Academiei de Єtiinte a Republicii Moldova. 2005. №3 (49). P. 141-152.

22. Сохацкий Ф.Н. Абстрактная характеристика (2,n)-полугрупп n-арных операций // Тезисы Второго Всесоюз. симпозиума по теории полугрупп. Свердловск, 1978. С. 88.

23. Сохацкий Ф.Н. Об ассоциативности n-арных операций // Девятнадцатая Тезисы Всесоюз. алгеб. конф. Львов, 1987. Часть 1. С. 263.

24. Сохацкий Ф.Н. Об ассоциативности топологических n-квазигрупп // Те-зисы Бакинской междунар. топологичес. конф. Баку, 1987. Ч. 2. С. 284.

25. Сохацкий Ф.Н. Об М-ассоциативных оперативах // Тезисы Третьего Всесоюз. симпоз. по теории полугрупп. Свердловск, 1988. С. 88.

26. Сохацкий Ф.Н. О каноническом разложении функций конечнозначной логики // Тезисы Второй Всесоюз. конф. по прикладной логике. Новосибирск, 1988. С. 224-225.

27. Сохацкий Ф.Н. Об автоморфизмах полигрупп // Тезисы Междунар. конф. по алгебре. Теория моделей и алгебр. систем. 1989. С. 129.

28. Сохацкий Ф.Н. О функциях логики, имеющих интервал приводимости // Тезисы Десятой Всесоюз. конф. по математ. логике. Алма-Ата, 1990. С. 148-149.

29. Sokhatskii F.N. About isomorphism of linear quasigroups // Тезисы Междунар. конф. по алгебре. Новосибирск, 1991. С. 138.

30. Sokhatskyj F.N., Marchuk E.A. About axioms of quasigroup associativity // Тезисы Междунар. конф. по алгебре. Новосибирск, 1991. С. 139.

31. Sokhatskii F.N. and Sivakovskii P.B. Quasigroups which are linear on a cyclic group // Тезисы Междунар. конф. по алгебре. Новосибирск, 1991. С. 140.

32. Sokhatskii F. Abstract characteristics of some classes of operation algebras // Тезисы Третьей междунар. конф. по алгебре. Красноярск, 1993. С. 442-443.

33. Sokhatsky F.M., Kirnasovsky O.U. Number of small order T-Qasigroups up to isomorphism // Тезисы Третьей междунар. конф. по алгебре. Красноярск, 1993. С. 405.

34. Sokhatsky F.M. Multiplace isotopical closures of clases of groups // Те-зисы Третьей междунар. конф. по алгебре. Красноярск, 1993. С. 440-441.

35. Sokhatsky F.M. Description of isotopical closure of group isotopes // Тезисы Третьей междунар. конф. по алгебре. Красноярск, 1993. С. 441-442.

36. Sokhatskyj F. Identities following from multiplace associativity // Proc. Colloquium on Semigroups. Szeged, 1994. P. 38.

37. Sokhatsky F. On Superassotiative Multiplace Group Isotopes // Proc. International algebraic coference. St. Peterburg, 1995. P. 133.

38. Sokhatsky F. Critearia of Elements Invertibility in Assotiates // Proc. International algebraic coference. St. Peterburg, 1995. P. 134.

39. Сохацький Ф.М. Багатомісні напівгрупи як напівгрупи перетворень // Тези Всеукраїнської наукової конф., присвяченої пам'яті професора П.С. Казимірського. Частина перша. Львів, 1995. С. 45-46.

40. Сохацький Ф. Про основні властивості багатомісних ізотопів груп // Те-зи П'ятої Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. Київ, 1996. С. 104.

41. Сохацький Ф. Абстрактна характеристика селективних позиційних ал-гебр // Тези П'ятої міжн. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. Київ, 1996. С. 103.

42. Sokhatsky F. Abstract Characteristics of Classes of Operation Clones // Proc. Conf. on Univ. Algebra and Lattice Theory. Szeged (Hungary), 1996. P. 55.

43. Сохацький Ф. Абстрактна характеристика клонів операцій // Тези П'ятої міжнар. наукова конф. ім. акад. М. Кравчука. Київ, 1996. С. 104.

44. Kirnasovsky O.U., Sokhatsky F. Subquasigroups and Normal Congruences for Multiplace Group Isotopes // Тези Міжнар. алг. конф., присвяченої пам'яті проф. Л.М. Глускіна. Слов'янськ, 1997. С. 40-41.

45. Sokhatsky F. About minimal sort polyagroups // Тези Міжнар. алг. конф., присвяченої пам'яті проф. Л.М. Глускіна. Слов'янськ, 1997. С. 41-42.

46. Сохацький Ф.М., Дерієнко I.I. Про IP-квазігрупи, що ізотопні групам // Тези Міжнар. алг. конф., присвяченої пам'яті проф. Л.М. Глускіна. Слов'янськ, 1997. С. 123.

47. Sokhatsky F. About classification of General Balanced Functional Equations on 6 Quasigroups // Тези Другої міжнар. алгебр. конф. в Україні. Вінниця, 1999. С. 4.

48. Sokhatsky F. Abstract characteristic of a class of semigroup operation algebras // Proc. First Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova. Chiєinгu, 2001. P. 141-142.

49. Сохацький Ф.М., Коваль Р.Ф. Класифікація функційних рівнянь від чотирьох змінних // Тези Третьої міжнар. алгебр. конф. в Україні. Суми: СумДПУ ім. А.С.Макаренка. 2001. С. 254-255.

50. Sokhatsky F.M. Commutativity of operations and its connection with Menger and Mann superpositions // Тези Третьої міжнар. алгебр. конф. в Україні. Суми: СумДПУ ім. А.С.Макаренка. 2001. С. 108-110.

51. Sokhatsky F. A note on some group generalizations: n-ary groups, polyagroups and NP-polyagroups // Proc. Second Conference of the Mathe-matical Society of the Republic of Moldova. Chiєinгu, 2004. P. 299-300.

52. Sokhatsky F.M., Koval' R.F. A classification of general four variable quad-ratic parastrophically uncancellable functional equations on quasigroups// Proc. Forth International algebraic conference in Ukraine. Lviv, 2003. P. 209-210.

53. F.M.Sokhatsky., R.F.Koval'. About a classification of quadratic parastrophically uncancellable functional equations on quasigroups // Proc. Second Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova. Chiєinгu, 2004. P. 300-301.

54. Sokhatsky F.M. Group isotopy property functional equations // Proc. Fifth International algebraic conference in Ukraine. Odessa, 2005. P. 199-200.

55. Sokhatsky F.M., Yurevych O. On crossed isimorphisms // Proc. Fifth International algebraic conference in Ukraine. Odessa, 2005. P. 200-201.

А також тези звітних наукових конференцій Вінницького державного педагогічного університету імені Михайла Коцюбинського.

Анотація

Сохацький Ф.М. Асоціати та розклади багатомісних операцій.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

Дисертація присвячена вивченню багатомісних операцій за допомогою композиції. Викладено теорію асоціатів і поліагруп: доведено, що довільний частинно асоціативний сюр'єктивно-ін'єктивний групоїд є асоціатом; знайдено повний розклад операції асоціата з частково оборотним елементом; описано поліагрупи з точністю до ізоморфізму за модулем груп; знайдено залежності між класами поліагруп та бінарних груп. Описано поліагрупи, в яких коса операція є: сталою; регулярною; ендоморфізмом поліагрупи та має скінченний порядок. Доведено тривіальність роздільної лупи з властивістю оборотності. Введено і досліджено поняття схрещеної ізотопії і схрещеного ізоморфізму багатомісних операцій. Розроблено понятійний апарат класифікації функційних рівнянь на квазігрупах. Розв'язано систему функційних рівнянь асоціативності на множині операцій з оборотними елементами. Знайдено методи застосування функційних рівнянь до вивчення тотожностей на бінарних квазігрупах. Розроблено нові методи знаходження абстрактних характеристик алгебр операцій.

Ключові слова: квазігрупа, багатомісна операція, суперпозиція, композиція, функційне рівняння, квазігрупа, ізотопія, асоціат, поліагрупа, n-группа, n-напівгрупа, алгебра операцій.

Аннотация

Сохацкий Ф.Н. Ассоциаты и разложения многоместных операций.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. Институт математики НАН Украины, Киев, 2006.

Диссертация посвящена изучению многоместных операций, определенных на произвольном множестве, при помощи их композиции. К наиболее простым отнесены ассоциаты и полиагруппы, являющиеся обобщением бинарных полугрупп и групп соответственно.

Первый раздел является вспомогательным и не содержит новых результатов.

Во втором разделе доказано, что любой (n+1)-арный частично ассоциативный сюръективно-инъективный группоид является ассоциатом сорта (r;s;n), где r|s|n, т.е. (i;j)-ассоциативный для всех пар (i;j) таких, что i?j?0 (mod r) и i?j (mod s). В произвольном ассоциате описаны уравновешенные тождества.

Найдено полное разложение операций ассоциатов, имеющих, по крайней мере, один частично обратимый елемент. А именно, доказано, что операция ассоциата с частично обратимым элементом является бесповторной композицией операции некоторого моноида, его автоморфизма и свободного члена, которые определены на множестве ассоциата. Доказано также, что период ассоциативности оноида (ассоциата с обратимым элементом) совпадает с количеством различных косых к любому обратимому элементу и с орбитой свободного члена при действии группы автоморфизмов порожденной автоморфизмом розложения.

...