Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Абсолютная величина в курсе средней школы

1.1 Определения и основные теоремы

1.2 Геометрическая интерпритация понятия |a|

2. Методы решения уравнений и неравенств

2.1 Решение уравнений и неравенств с использованием определения абсолютной величины (модуля)

2.2 Метод решения при помощи зависимостей между числами а и в, их модулями и квадратами этих чисел

2.3 Метод интервалов

2.4 Графический метод

2.5 Метод последовательного раскрытия модуля

2.6 Виды уравнений и неравенств и их решение

3. Дополнительные способы решения уравнений и неравенств

3.1 решение уравнений и неравенств, содержащих модуль, с использованием тождеств

3.2 Решение уравнений содержащих модули неотрицательных выражений

3.3 Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации

3.4 Решение уравнений переходом к следствию

3.5 Типовые задачи, содержащие переменную под знаком модуля

3.6 Советы учителей по последовательности изучения уравнений и неравенств с модулем в школьном курсе математики

4. Уравнения и неравенства с модулем в Едином Национальном Тестировании (ЕНТ)

Заключение

Список использованной литературы



Введение

Актуальность темы связана с тем, что модуль широко применяется в различных разделах школьного курса математики, физики и технических науках. Например, в теории приближенных вычислений применяется понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа, понятия вектора и его длины (модуля вектора) используется в геометрии и механике, в математическом анализе понятие модуля содержится в определениях пределах, ограниченной функции. Я считаю, что эта тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, заданий ЕНТ и экзаменов при поступлении в вузы.

В практике преподавания математики в средней школе понятие абсолютной величины числа (модуля) встречается неоднократно.

В 6 классе, в теме приближенных вычислений формируется понятие абсолютой величины числа, при уяснении абсолютной погрешности приближенного числа.

Во втором полугодии 6 класса вводится определение абсолютной величины числа (модуля) и с помощью этого понятия формулируются правила действий над рациональными числами.

В 8 классе при рассмотрении свойств арифметического квадратного корня находит свое новое приложение понятие абсолютной величины числа:

; , где и другие.

В 9 классе, при изучении предела последовательности учащиеся встречаются с выражениями вида:

.

Понятие абсолютной величины числа получает свое дальнейшее развитие в 10 классе при изучении предела функции, при исследовании функции на ограниченность, при иучении комплексных чисел.

В 11 классее в теме «Степень с рациональным показателем» рассматриваются свойства корней n-й степени, где также используется понятие абсолютной велечины числа; так,например,

=

Таким образом, во всех классах, в соответствии с учебной программой, следует включать и рассматривать упражнения, содержащие знак абсолютной величины числа.

В 6 классе можно решать уравнения вида:

и .

В 7 классе имеется вожможностьрссматривать решешие уравнений вида: и т.п., систем уравнений вида:

А так же пострение графиков функций: ; ; и др.

В 8 классе понятия абсолютной величины распространяются на квадратные уравнения, график квадратного трехчлена и др. можно решать уравненияя вида:; ;

Новизна дипломной работы: решили все уравнения и неравенства с моулем, встречающиеся в тестовых заданиях ЕНТ и рассмотрели основные ошибки, допускаемые учащимися при их решении.

Цель проведения нашего исследования - сделать анализ учебно-методического материала, выявить все методы решения уравнений и неравенств с модулем и объединить их в данной работе.

Для достижения поставленной необходимо решить следующие задачи:

ћ Изучить основные теоремы и определения;

ћ Описать основные методы решения уравнений и неравенств с модулем;

ћ Выявить нестандартные методы решения уравнений и неравенств с модулем.

Объект исследования: процесс обучения уравнениям и неравенствам в школе.

Предмет исследования: методы решения уравнений и неравенств, содержащие знак модуля, в школьном курсе математики.

Практическая значимость дипломной работы состоит в том, что в данной дипломной предтавлены все методы и приемы решения уравнений и неравенств, которые можно использовать в школьном курсе математики.

Основными методами исследования в дипломной работе являются:

ћ аналитический,

ћ сравнительный,

ћ изучение монографических публикаций и статей,

ћ конкретно-исторический,

ћ метод обобщения.

Данный диплом основан на следующих работах: «Абсолютная величина» Гайдуков И.И., «Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения» Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н., «Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства 10 - 11кл» Олехник, Потапов, Пасиченко.

В первой главе рассматривается теоретическая сторона проблемы, основные теоремы и понятия, необходимые для дальнейшего исследования данной темы. уравнение задача неравенство

Во второй главе дипломной работы мы объединили методы решения уравнений и неравенств с модулем, которые входят в школьную программу.

В третьей главе мы представили нестандартные приемы решения уравнений и неравенств содержащие модуль, изучаемых на дополнительных занятиях и используемых при решении олимпиадных задач. Так же здесь рассмотрены типовые задания на решение уравнений и неравенств и задания тестовых вариантов Единого Национального Тестирования (ЕНТ).

При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа.



1. Абсолютная величина в курсе средней школы

1.1 Определения и основные теоремы

Рассмотрим понятие абсолютной велечины числа, или, что то же самое, модуля числа для действительных чисел.

Определение 1.1.1 Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется неотрицательное число, взятое из двух чиисел а или -а.

Абсолютную величину числа а обозначают |а| и читают «абсолютная величина числа а», или «модуль числа а».

Из определения следует:

Из определения следует, что для любого действительного числа а, ?0.

Примеры 1.1.1:

;

;

;

= = .

Теорема 1.1.1 Противоположные числа имеют равные абсолютные величины, т.е. = .

В самом деле, по определению абсолютной величины, имеем:

=

=

Следовательно,

1.2 Геометрическая интерпритация понятия

Известно, что каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, тогда эта точка будет геометрическим изображеннием данного действительного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует ее расстояние от начала отсчета, иии длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец - в данной точке.это расстояние, или длина отрезка, рассматривается всегда как величина неотрицательная.

Вместе с этим каждой точке числовой прямой можно поставить в соответсствие направленный отрезок(вектор), который характерезуется длинной и направлением.

Множеству действительных чисел соответствует множество точек ориентированной прямой, т.е. такой прямой на которой, кроме начала отсчета и маштаба, установлено положительное направление.

Тогда можно считать, что геометрической интерпритацией действительного числа служит вектор, выходящий из начала отсчета и имеющий конец в точке, изображающий данное число. Длина этого вектора будет геометрической интерпритацией абсолютной величины данного действительного числа.

Рис. 1



Геометрическое толкование смысла наглядно потверждает, что = .

Примеры 1.2.1:

Если = 5, то а₁ =5 и а₂ =-5, или а =±5.

Рис.2

Следовательно, данному равенству удовлетворяют два числа, которым на числовой прямой сответсвует две точки.

Если ?10, то

Откуда а?10 и а? -10, или

Рис.3

Следовательно, данному нераввенству удовлетворяет множество чисел двух интервалов: (-?;-10) и (10;?), а на числовой прямой - два промежутка соответствующие этим интервалам.

Перевод алгебраической задачи на геометрический язык - удобный и мощный метод решения задач. В качестве еще одного примера разберем блок задач олимпиады:

Пример 1.2.2:

Дана функция: .

a) Решите уравнение ;

b) Решите неравенство ;

c) Найдите количество решений уравнений в зависимости от .

Решение: Построим график функции . Для этого заметим, что , а тогда мы можем сначала построить график функции , и затем отразить его относительно оси координат. Преобразуем выражение, задающее функцию :

Поскольку данная система определяет верхнюю полуокружность радиуса 2 с центром в точке , график исходной функции представляет собой объединение полуокружностей указанных на рисунке.

Рис.4

Теперь решение задач не представляет труда:

с) При решений нет, при уравнение имеет три решения, при - четыре решения, при - два решения.

b) Неравенство выполнено при всех из отрезка .

a) корень уравнения есть абцисса точки пересечения прямой с графиком ффункции . Найдем ее геометрически: заштрихованный на рисунке прямоугольный треугольник является равнобедренный(угловой коэффицент прямой равен -1), его гипотенуза есть радиус окружности, ее длина 2. Тогда длина катета, лежащего на оси абсцисс есть , а искомая абсцисса равна .

Геометрический смысл модуля разности величин - это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |х-а| -длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.

Пример 1.2.3: Решим уравнение |х-1|+|х-2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка- нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок [1; 2].

Ответ: х [1; 2]

Пример 1.2.4: Решим уравнение |х - 1| - |х - 2|=1 1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно решением данного уравнения будет являтся не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси ОХ.

Ответ: х [2; +)

Обобщением вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:



|х-а|+|х-b|=b-а, где b а а х b

|х-а|-|х-b|=b-а, где b а х b [1]

Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины

Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений. Сформулируем утверждение, позволяющее строить графики таких функций, не раскрывая модули (что особенно важно, когда модулей достаточно много): "Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно- линейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n +2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна - произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя - с абсциссой, большей большего из корней.

Примеры 1.2.5:

1) f(х)=|х-1| Вычисляя функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух отрезков(рис.1)

2) f(х)=|х-1|+ |х-2| Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из двух отрезков прямых.(рис.2)

3) f(х)=|х-1|+|х-2|+|х-3| Для построения графика вычислим значения функции в точках 1, 2, 3, 0 и 4 (рис.3)

4) f(х)=|х-1|-|х-2| График разности строится аналогично графику суммы, то есть по точкам 1, 2, 0 и 3.

Рис.5



Простейшие операции над абсолютными величнами

Теорема 1.3.1 Абсолютная величина суммы конечного числа действительныx чисел не превосxодит суммы абсолютныx величин слагаемыx, т. е.

? + .

Доказательство: Пусть , , …, - неотрицательные числа и , , …, - неположительные числа, где .

Тогда

Складывая эти равенства и неравенства, получим:

? . (1)

Знак «меньше» будет иметь место, ессли не все положительные числа - нули. Знак равенства будет иметь место, если к=n или все неположительные числа - нули. Ясно, что при к= n все слагаемые будут неотрицательные числа.

?. (2)

Тогда, принимая во внимание неравенства (1) и (2), получим:

? + .

Примеры 1.3.1:

; ; ;

Здесь ? + + + так как ? + + + , т.е. 6 ?18.

Теорема 1.3.2: |аb|=|а|*|b|.

При а0, b0 аb0 по определению модуля =аb. =а, =b =аb.

При а<0, b<0 аb>0 по определению модуля =аb. =-а, =-b =-а*(-b)=аb.

При а>0, b<0 аb<0 по определению модуля =-аb.=а, =-b =а*(-b)=-аb.

Аналогично при а<0, b>0 =-аb, =-аb.

Теорема 1.3.3: = .

Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому знак числа роли играть не будет.

При а<0 =-а =

При а0 =а =

Теорема 1.3.4: =, b0.

Если а и b положительны, то и дробь в левой части будет положительна, а в правой части и числитель и знаменатель будут положительны. Модуль из положительного числа - само число, значит =, но чтобы дробь имела смысл, b должна быть не равна нулю.

Если а и b отрицательны, то дробь в левой части все равно будет положительна, так как минус на минус дает плюс, а в правой части при вынесении переменных из-под модуля и числитель и знаменатель будут положительны, значит и сама дробь будет положительна.

Если а и b разных знаков, например, а>0, b<0, то в левой части дробь будет отрицательна, но при вынесении из-под модуля станет положительна, а в правой части при вынесении переменных из-под модуля и числитель и знаменатель будут положительны, значит и сама дробь будет положительна.

Теорема 1.3.5: .

При а0, b0 . , .

При а<0, b<0 . ,

При а<0, b>0 -а>0 . , .

Аналогично при а>0, b<0 -b>0, , .

Теорема 1.3.6: .

При а0, b0 . , .

При а<0, b<0 . , .

При а<0, b>0 -а>0 .

.

. [2]



2. Методы решения уравнений и неравенств

2.1 Решение уравнений и неравенств с использованием определения абсолютной величины (модуля)

Определение 2.1.1:

Из определения следует, что

1);

2)

3)

4) = ;

5);

6)= а, при а?0;

7) =.

Например, докажем четвертое равенство. Если а и b -- числа одинаковых знаков, то, аb = аb -- верное равенство. Если а и b -- числа разных знаков, например то (-аb) = (-аb) -- также верное равенство.

Рассмотрим решение упражнений, связанных только с

определением модуля числа.

Пример 2.1.1: Записать выражение без знака модуля.

Решение. =

Пример 2.1.2: Решить неравенство

Решение. Поскольку , то при всех , а

поэтому данное неравенство выполняется только при тех значениях x,при которых =0, откуда х=2 и x = 3.

Пример 2.1.3: Решить уравнение:

.

Решение. Заметим, что и . При выполнении этих условий исходное уравнение равносильно уравнению . И так как , то . По определению модуля все корни данного уравнения находятся среди решений неравенства . Ясно, что

Ответ:.

Пример 2.1. 4: Решить неравенство: .

Решение: Так как при , то в нашем случае . Исходное неравенство равносильно системе . Решение может быть показано на координатной прямой.

Ответ: .

Пример 2.1.5: Решить уравнение .

Решение. Пусть , тогда , ; корни последнего уравнения Первый из них не удовлетворяет неравенству и является посторонним для данного уравнения. Пусть , тогда , . Неравенству удовлетворяет корень .

Ответ:. [3]



2.2 Метод решения при помощи зависимостей между числами а и в, их модулями и квадратами этих чисел

Помимо приведенных мною выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел:

(1).

Отсюда в свою очередь получим, что

(2).

Опорная информация:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример 2.2.1: Решим уравнение | двумя различными способами.

a) Учитывая соотношение (1), получим:

или

Корень первого уравнения , корень второго уравнения

Таким образом корни исходного уравнения.

b) В силу соотношения (2), получим

, или

=0

уравнение имеет 2 различных корня.

Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 11/3 и 6

Ответ: х1=6, х2=11/3

Пример 2.2.2: Решим уравнение .

Учитывая соотношение (2), получим, что откуда по образцу предыдущего примера(и по соотношению (1)):

Таким образом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6)

Ответ: х1=-4, х2=0,(6)

Пример 2.2.3: Решим уравнение .

Учитывая соотношение (1), получим:

или

Таким образом, корни исходного уравнения: х₁=1,25; х₂=0; х₃=4.

Ответ: 1,25; 0; 4.

Пример 2.2.4:

В силу соотношения (2) получаем:

.

Ответ:1.

Пример 2.2.5: (1-3х)²=(х-2)².

Учитывая соотношение (2), получаем: |1-3х|=|х-2|, откуда из соотношения (1), имеем:

1-3х=х-2 или 1-3х= -х+2

х=0,75 х= -0,5.

Ответ: 0,75; -0,5. [4]

2.3 Метод интервалов

Применение метода интервалов основано на следующей теореме:

Теорема 2.3.1: Функция, непрерывная на промежутке и необращающаяся на нем в нуль, соxраняет на этом промежутке свой знак.

Это означает, что нули функции и границы промежутков ее непрерывности разделяют область определения функции на участки, где она сохраняет постоянный знак. Применение метода поясним на примере.

Метод интервалов позволяет решать более сложные уравнения и неравенства с модулями, но в этом случае он имеет несколько иное назначение. Суть состоит в слудующем. Находим корни всех подмодульных выражений и разбиваем числовую ось на промежутки знакопостоянства этих выражений. Это позволяет, последовательно перебирая эти промежутки, одновременно избавляться от всех модулей и решать обычное уравнение или неравенство (проверяя при этом, что найденный ответ входит в данный промежуток).

Метод интервалов - это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.

Поэтому алгоритм решения задачи методом интервалов (промежутков) выглядит следующим образом:

1. На числовой прямой отметить все нули подмодульных выражений.

2. Определить знак каждого из этих выражений на каждом из промежутков, например, по знаку этого выражения при каком-нибудь значении x з промежутка (кроме концевых точек).

3. Раскрыть модули на каждом из промежутков и решать полученное уравнение (неравенство).

4. Из полученных решений выбрать только те, которые этому промежутку принадлежат.

5. Объединить решения из всех промежутков.

Покажем на примерах как работает этот метод.

Пример 2.3.1: Решим неравенство

Решение: Пусть . Областью определения данной функции есть . Решая уравнение получим, что функция не обращается в нуль ни при каком значении переменной. Это означает, что на всей области определения функция является знакопостоянной. Вычисляя, например, , получаем, что функция принимает только положительные значения.

Ответ. .

Пример 2.3.2: Решим уравнение . Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: . Эти значения разбивают числовую прямую на три промежутка:



Рис.6

Решим уравнение отдельно в каждом из получившихся промежутков. В первом промежутке оба выражения, стоящие под знаком модуля отрицательны, поэтому при записи уравнения без абсолютной величины знаки этих выражений меняем на противоположные. Получим уравнение:

. Откуда х=-4. Число -4 является решением данного уравнения, так как оно принадлежит рассматриваемому промежутку. Во втором промежутке (-3 ? х < 1) первое выражение положительно, а второе отрицательно. Рассуждая аналогично, получим уравнение: , откуда получаем неверное числовое равенство, то есть в рассматриваемом промежутке уравнение корней не имеет. В последнем промежутке (х ? 1) оба выражения положительны, поэтому уравнение записывается так: . Откуда х=2. Это значение удовлетворяет неравенству х ? 1.

Ответ: -4; 2.

Пример 2.3.3: .

Прежде всего, следует установить область допустимых значений. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости этого делать. В этом уравнении в правой части стоит выражение с переменной, которое может быть отрицательным. Таким образом, область допустимых значений - это промежуток. Найдем нуль выражения, стоящего под знаком модуля: .

Рис.7



В первом промежутке:.

Это значение принадлежит ОДЗ, значит, является корнем уравнения.

Во втором промежутке: .-3 не принадлежит ОДЗ, а следовательно не является корнем уравнения.

Ответ: ?. [5]

2.4 Графический метод

Суть данного метода заключается в использовании графиков функций для нахождения корней уравнения. Этот метод реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

Пример 2.4.1:. Построим графики функций у=|х+1| и у=2.

Для построения графика у=|х+1|, построим график функции у=х+1, а затем отразим часть прямой, лежащую ниже оси ОХ. Абсциссы точек пересечения графиков и есть корни уравнения: х₁=1, х₂= -3.

Ответ: 1; -3.

Пример 2.4.2: .

Построим графики функций и Для этого построим графики функций и , а затем отобразим часть графиков, лежащую ниже оси ОХ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.8



Рис.9

х₁?1,6; х₂?-1,6. [6]

2.5 Метод последовательного раскрытия модуля

Пример 2.5.1: Решим уравнение .

Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть , то уравнение примет вид . Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно - или. Решая полученные уравнения, находим:.

Ответ: 9; 1.

Решим этим же способом уравнение, содержащее «модуль в модуле».

Пример 2.5.2: Решим уравнение 6. Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая.

1).,. Используя еще раз определение модуля, получим: либо либо. Откуда

2).,. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.

Ответ: 5,5; -4,5. [7]



2.6 Виды уравнений и неравенств и их решение

Решение уравнений вида

По определению абсолютной величины, данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем:

и

В силу четности функции ее корни будут существовать парами противоположных чисел, т.е. если - корень уравнения, то и также будет корнем данного уравнения.

Следовательно, достаточно решить лишь одну из этих двух систем

1) Если , то уравнение не имеет корней.

2) Если , то уравнение f(x)=0

3) Если , то

Обратимся к примерам.

Пример 2.6.1: =1

- .

Ответ: 1;2.

Пример 2.6.2: Решить уравнения .

Сделаем очевидные преобразования:,

, откуда или . Из первого уравнения получаем , а из второго и .

Ответ:2;4.

Пример 2.6.3: .

Решению подлежат два уравнения:

и .

После преобразования(сложения) получим:

и

и

и ,

или

Пример 2.6.4:

Решение. Так как при любом -7<0, то уравнение корней не имеет.

Ответ: нет корней.

Пример 2.6.5:

Решение. .

Ответ: .

Пример 2.6.6:

Решение. .

Ответ: .

Пример 2.6.7:

Решение.

.

.

2)

Ответ: .

Неравенства вида |f(x)|а

Простейшим неравенством, содержащим неизвестную величину под знаком модуля, является неравенство вида

или

Пример 2.6.8: Решить неравенство

Решение.

или

Ответ: .

Пример 2.6.9: Решить неравенство

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение

Ответ:

Уравнения и неравенства вида ,

Уравнение и неравенство можно решать согласно общему методу. Однако бывает полезно заменить уравнение уравнением , т.е. уравнением , равносильно ему на его ОДЗ, а неравенство неравенством т.е. неравенством , равносильным ему на его ОДЗ.

Пример 2.6.10: Решить уравнение

Решение.

.

Ответ: .

Пример 2.6.11: Решить уравнение

Решение.

.

По теореме Виета:

По теореме Виета:

Ответ:

Пример 2.6.12: Решить уравнение

Решение.

Ответ:

Пример 2.6.13: Решить неравенство .

Решение: ОДЗ этого неравенства есть все действительные . Неравенство равносильно неравенству , которое можно переписать в виде . Решением этого неравенства является любое действительное кроме . В самом деле, для любого , принадлежащего промежутку (-?;-], имеем и поэтому для любого такого . Для любого , принадлежащего промежутку (), имеем и , поэтому и В силу четности функции получаем, что все также являются решениями неравенства. Очевидно, что неравенству не удовлетворяют.

Ответ: ; .

Уравнения вида |f(x)|= g(x)

Уравнение имеет корни, если g(х)?0.

Следовательно,

Поэтому достаточно решить два уравнения и для найденных значений х проверить справедливость неравенства

Так как , то

Замечание. Можно решить уравнения и корни каждого из них проверить подстановкой в уравнение .

Пример 2.6.14: Решить уравнение

Решение.

.

Проверим справедливость неравенства для найденных значений х:

a) верное неравенство, значит 0 - корень данного уравнения.

b) неверное неравенство, значит - посторонний корень.

c) верное неравенство, значит - корень данного уравнения

Ответ: ; 0.

Пример 2.6.15: Решить уравнение

Решение. ОДЗ этого уравнения есть все действительные. Очевидно, что на ОДЗ, т. е. для любого действительного х,

.

Поэтому уравнение равносильно совокупности уравнений

и

.

Первое уравнение решений не имеет, а второе равносильно уравнению, имеющему единственный корень

.

Ответ: .

Неравенства вида и

Неравенство равносильно двум системам неравенств:

Аналогичные рассуждения верны и для

Пример 2.6.16: Решить неравенство

Решение:

a)

Ответ:

Уравнения вида

Решение такого вида уравнений основано на определении модуля числа. - функции (в частности, это могут быть многочлены, дробно-рациональные функции, тригонометрические функции и т.п.).

Для каждой функции находят область определения, её нули и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область определения функции (i=1,2,…,n) на промежутки, в каждом из которых каждая из функций сохраняет постоянный знак. Далее, используя определение модуля, для каждого из найденных промежутков получим уравнение, подлежащее решению.

Пример 2.6.17: Решить уравнение

Решение:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1)

, значит,

не является корнем

уравнения.

2)

, значит,

не является

корнем данного

уравнения.

3)

,

значит,

является корнем

уравнения.

Ответ: .

Пример 2.6.18: Решить уравнение

Решение:

1)

, значит,- является корнем уравнения.

2)

, значит, -14 не является корнем данного уравнения.

3)

, значит, 18 не является корнем данного уравнения

4)

значит, является корнем уравнения.

Ответ:

Неравенства вида

(i=1,2,…,n) - функции, в частности многочлены, дробно-рациональные функции и т.д. Для каждой функции находят область определения, нули функции и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область определения на промежутки, в каждом из которых каждая из функций сохраняет постоянный знак, т.е. решая неравенство на каждом промежутке без знака модуля, находим решение и объединяем их.

Пример 2.6.19: Решить неравенство

Решение:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1)

2)

3)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ответ: . [8]



3. Дополнительные способы решения уравнений и неравенств

Метод раскрытия модулей рассмотрим на примере:

Пример 3.1: 1 Решить уравнение

Решение. Это уравнение содержит более одного модуля.

Метод решения уравнений, содержащих переменные под знаком двух и более модулей, состоит в следующем.

1. Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в нуль: , ; , ; , .

2. Отметить эти точки на числовой прямой.

3. Рассматриваем уравнение на каждом из промежутков и устанавливаем знак выражений, которые находятся под модулями.

1) При или . Чтобы определить знак каждого из выражений под модулем на этом промежутке, достаточно взять любое значение из этого промежутка и подставить в выражение. Если полученное значение отрицательно, значит, при всех из этого промежутка выражение будет отрицательным; если полученное числовое значение положительно, значит, при всех значениях из этого промежутка выражение будет положительным.

Возьмем значение из промежутка и подставим его значение в выражение , получаем , значит на этом промежутке отрицательно, а следовательно ``выйдет'' из под модуля со знаком ``минус'', получим: .

При этом значении , выражение получит значение , значит, оно на промежутке также принимает отрицательные значения и ``выйдет'' из модуля со знаком ``минус'', получим: .

Выражение получит значение и ``выйдет'' из под модуля со знаком ``минус'': .

Уравнение на этом промежутке получится таким: , решая его, находим: .

Выясняем, входит ли это значение в промежуток . Оказывается входит, значит является корнем уравнения.

2) При . Выбираем любое значение из этого промежутка. Пусть . Определяем знак каждого из выражений под модулем при этом значении . Оказывается, что выражение положительно, а два других отрицательны.

Уравнение на этом промежутке примет вид: . Решая его, находим . Это значение не входит в промежуток , а значит, не является корнем уравнения.

3) При . Выбираем произвольное значение из этого промежутка, скажем, и подставляем в каждое из выражений. Находим, что выражения и положительны, а -- отрицательно. Получим следующее уравнение: .

После преобразования, получим: , а значит, уравнение не имеет корней на этом промежутке.

4) При . Нетрудно установить, что все выражения на этом промежутке положительны, а значит получим уравнение: , , которое входит в промежуток и является корнем уравнения.

Ответ. , .

Пример 3.2: 2 Решить уравнение

Решение.

Ответ. , . [9]

3.1 Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль, с использованием тождеств

Использование тождества , при решении уравнений

Из сформулированного свойства модуля можно вывести два полезных следствия:

Проиллюстрируем применение первого из них для решения задачи вступительного экзамена в Санкт-Петербургский государственный университет.

Пример 3.1.1: 3 Изобразить график функции

Решение. Перепишем задающую функцию выражение, используя первое следствие:

.

Осталось только построить графики функций , в одной системе координат и определить участки, на которых один из них выше другого (см. рис.).



Рисунок 10

Использование второго тождества удобно для построения графика функции .

Решение. В силу второго тождества, выражение задающее функцию, записывается в виде: .

Искомый график изображен на рисунке (см. рис.11).

Рис.11

Пример 3.1.2: 4 Найдите масимальное значение выражения

где , ,..., - различные натуральные числа от 1 до 1990.

Решение. Заметим, что модуль разности двух неотрицательных чисел не больше их максимума. Поэтому не больше, чем , не больше, чем , не больше, чем . Далее, данное выражение не может равняться 1990, поскольку четность этого выражения совпадает с четностью суммы . Наконец приведем пример, показывающий, что значение выражения может равняться 1989:

Ответ. 1989.

Решение уравнений с использованием тождества

Пример 3.4.1: 5 Решить уравнение

Решение. Дважды применяя тождество , получим уравнение

решением которого является интервал .

Ответ. .

Пример 3.4.2: 6 Решить уравнение

Решение.

.

Ответ. .

Пример 3.8.1: Решить уравнение

+ .

Решение. Дважды используя тождество, получим ранее ршенное уравнение . Решением которого является интервал.

Ответ. .

Пример 3.8.2: Решить уравнение .

Решение.

Ответ. .

3.2 Решение уравнений содержащих модули неотрицательных выражений

Пример 3.2.1: 7 Чему равна сумма корней уравнения (корень, если он один) уравнения

Решение. Рассмотрим выражение

и преобразуем его к виду

Очевидно, что числитель дроби при любых значениях переменной является положительным числом. Значит дробное выражение положительно, если (т.к. ). Преобразуем полученное выражение, при условии . Получим уравнение, равносильное исходному:

Ответ. .

Пример 3.2.2:8 Решить уравнение

Решение. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условие, на этом промежутке знаменатели обеих дробей равны, и остается решить уравнение . Решая его и учитывая ограничение , получаем

Ответ..

Пример 3.2.3: 9 Решить уравнение:

Решение. Нетрудно догадаться, что все выражения, стоящие под знаками второго, третьего и т.д. модулей, положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим

Ответ. . [10]

Применение теоремы о знаках при решении уравнений

Сформулируем теорему, удобную при решении неравенств, относительно произведений или частных разности модулей:

Теорема 3.5.110 Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений.

Пример 3.5.1:11 Решить неравенство

Решение. Воспользуемся теоремой:

Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель на множители и решим полученное рациональное неравенство.



Ответ.

Решение уравнений домножением на положительный множитель

Пример 3.7.1: 12 Решить неравенство

Решение. ``Ловушка'' заключается в том, что в задаче имеется несколько модулей, раскрывать которые - значит получить, громоздкое решение. Умножим дробь на некоторое выражение, принимающее лишь положительные значения и такое, чтобы упростить исходное неравенство:

Ответ. .

3.3 Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации

Геометрический смысл выражения - длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами и . Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок.

Пример 3.3.1: 13 Решим уравнение .

Решение. Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда все точки с абсциссами из отрезка обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка - нет.

Ответ. .

Пример 3.3.2: 14 Решим уравнение .

Решение. Рассуждая аналогично, получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2.

Ответ. .

Пример 3.3.3: 15 Решить неравенство .

Решение. Изобразим на координатной прямой точки, сумма расстояний от которых до точек и в точности равна . Это все точки отрезка . Для всех чисел вне данного отрезка сумма расстояний будет больше двух.

Ответ. .

Замечание. Обобщением решения вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:

Пример 3.3.4: 16 Решите неравенство: .

Решение. Решим неравенство, используя координатную прямую. Данное неравенство выполняется для всех точек c координатой , которые находятся ближе к точке с координатой , чем к точке с координатой . Так как , то искомыми являются все точки, расположенные левее точки с координатой .

Ответ. .

Пример 3.3.5: 17 Решите уравнение .

Решение. Рассмотрим на числовой прямой точку с координатой . Сумма равна сумме расстояний от точки до точек с координатами 2, 1, 0, -1, -2. Заметим, что сумма расстояний от любой точки до точек и не меньше длины отрезка (и равенство достигается тогда и только тогда, когда точка расположена на отрезке ). Отсюда получаем, что не меньше 4, а не меньше 2 при любом . Поэтому для того, чтобы сумма была равна , необходимо, чтобы . Итак, необходимо равен . Легко проверить, что значение действительно является решением данного уравнения.

Ответ. .

Пример 3.3.6: (Гальперин Г.А.) 18 Положительные числа , , и таковы, что система уравнений

имеет решений, а система уравнений

имеет решений. Известно, что . Найдите и .

Решение. Первое уравнение есть уравнение окружности, второму удовлетворяют точки квадрата с центром в начале координат и с диагоналями, принадлежащими осям координат. Система из двух первых уравнений в зависимости от и либо не имеет решений, либо имеет четыре решения, либо восемь. Итак, может равняться либо 0, либо 4, либо 8. Первое уравнение второй системы есть уравнение сферы. Второму удовлетворяют точки октаэдра с центром в начале координат и с вершинами, лежащими на осях координат на равных расстояниях от центра. Эта система в зависимости от и либо не имеет решений, либо имеет 6 решений (вершины октаэдра лежат на сфере), либо имеет 8 решений (сфера касается граней октаэдра), либо имеет бесконечное число решений (сфера пересекает грани октаэдра по окружностям или нескольким дугам окружностей). Итак, может равняться либо 0, либо 6, либо 8, либо . Условию удовлетворяет только вариант , .

Ответ. , .

Перевод алгебраической задачи на геометрический язык - удобный и мощный метод решения задач. В качестве еще одного примера разберем блок задач олимпиады математико-механического факультета СПбГУ:

Пример 3.3.7: 19 Дана функция: .

а) Решите уравнение ;

б) Решите неравенство ;

в) Найдите количество решений уравнения в зависимости от значений параметра .

Решение. Построим график функции . Для этого заметим, что , а тогда мы можем сначала построить график функции , и затем отразить его относительно оси ординат. Преобразуем выражение, задающее функцию :

Поскольку данная система определяет верхнюю полуокружность радиуса 2 с центром в точке (2; 0), график исходной функции представляет собой объединение двух полуокружностей

Рис. 13

Теперь решение задач не представляет труда:

а) Корень уравнения есть абсцисса точки пересечения прямой с графиком функции . Найдем ее геометрически: заштрихованный на рисунке прямоугольный треугольник является равнобедренным (угловой коэффициент прямой равен ), его гипотенуза есть радиус окружности, ее длина 2. Тогда длина катета, лежащего на оси абсцисс, есть , а искомая абсцисса равна .

б) Неравенство выполнено при всех из отрезка .

в) При , решений нет, при уравнение имеет три решения, при - четыре решения, при - два решения. [11]

3.4 Решение уравнений переходом к следствию

Все уравнения с модулями могут быть решены следующим образом: рассмотрим весь набор уравнений, который может получится при раскрытии модулей, но не будем выписывать соответствующие промежутки. Решая каждое из полученных уравнений, получим следствия исходного уравнения. Остается только проверить не приобрели ли мы посторонних корней прямой их подстановкой в исходное уравнение.

Пример 3.6.1: 20 Решим уравнение

Решение. Последовательно переходя к следствиям, получаем:



Нетрудно убедится, что найденные числа не являются корнями исходного уравнения.

Ответ. нет решения.

В случае вложенных знаков модуля тоже можно рассмотреть весь набор получающихся при раскрытии модуля уравнений среди решений которых содержатся решения исходного уравнения, а потом отобрать из всех полученных решений подходящие хотя бы с помощью проверки.

Пример 3.6.2: 21 Решите уравнение

Решение. Все корни исходного уравнения содержатся среди корней двух уравнений

которые можно переписать в виде

Аналогично, каждое из этих уравнений распадается на два:

что приводит к четырём уравнениям:

Отсюда получаем 4 решения: , , , среди которых содержатся корни исходного уравнения. 1-й корень, очевидно, удовлетворяет уравнению. Это проверяется легко. 2-й и 3-й не походят, так как правая часть исходного уравнения при этих значениях отрицательна. 4-й корень тоже является лишним, так как этот корень должен удовлетворять уравнению (*), а при этом значении его правая часть отрицательна.

Ответ. 3.[12]

3.5 Типовые задачи, содержащие переменную под знаком модуля

В ходе прохождения практики в разных источниках школьного курса математики былы найдены уравнения и неравенства с модулем которые учащиеся затруднялись решать. В особенности такие задачи решаются в 10-х и 11-х классах на дополнительных занятиях либо в процессе подготовки к олимпиадам.

Пример 4.1: Найти сумму всех корней уравнения

.

Решение. Так как левая и правая части уравнения -- функции четные. Тогда, если является корнем уравнения, то и -- корень этого уравнения, нуль корнем уравнения не является. Ясно, что сумма всех корней равна нулю.

Нетрудно убедиться, что уравнение имеет корни, например, .

Ответ: 0.

Пример 4.2: Решить уравнение .

Решение. Заметим, что

поэтому исходное уравнение равносильно уравнению (*),

где и . Решая уравнение, последовательно получаем:, откуда и . Второе полученное значение корнем уравнения (*) не является, тогда .

Ответ: .

Пример 4.3: Решить уравнение

.

Решение. Перепишем уравнение в виде: и рассмотрим функцию на отрезке [--1; 1]. На рассматриваемом промежутке функция возрастает и каждое свое значение принимает только один раз, т. е. равенство выполняется, когда.

Ответ:. [13]

Пример 4.4: Решить уравнение

Решение. Заметим, что , и, обозначив, получаем уравнение (*);, откуда и .

- посторонний корень уравнения (*). , .

Пример 4.5: Решить уравнение .

Решение. Положим ; , тогда и исходное

уравнение принимает вид а это уравнение равносильно системе , откуда и . Итак, или и .

Ответ: [14]

Пример 4.6: Решить неравенство .

Решение. Неравенство выполняется при , ..

Если то , ,

, откуда ,

(сюда входят и решения неравенства ).

Ответ: .

Пример 4.7: При каких неравенство выполняется при всех значениях из промежутка [1; 4]?

Решение. Имеем последовательно:

;

.

Далее необходимо решить систему:

Ответ: .

Пример 4.8: Решить неравенство .

Решение. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, после возведения его частей в квадрат получаем равносильное неравенство

, .

Если то. Если , то .

Если , то .

Пример 4.9: Решить уравнение .

Решение. Поскольку при и | при , составим и решим две системы:

; ;

1) ;

Из первой серии корней неравенству удовлетворяют

, а из второй серии корней

.

Объединяя серии, получим .

2) ;

.

Ответ:.

Пример 4.10: 22 Найти корни уравнения .

Решение. Так как , то из уравнения следует, что , . Тогда исходное уравнение примет вид: , . Корни этого уравнения , . Корень , поэтому он не является решением, а .

Ответ. .

Пример 4.11: 23 Найти произведение корней уранения .

Решение. Обозначим , . Тогда исходное уравнение примет вид: . Корни этого уравнения , . Так как , то . Отсюда , . Произведение корней равно .

Ответ. . [15]

Пример 4.12: 24 Найти сумму корней уравнения .

Решение. Используем правило: . Исходное уравнение запишем в виде совокупности уравнений: Таким образом сумма корней исходного уравнения равна .

Другой путь. Поскольку обе части уравнения неотрицательны, возведем уравнение в квадрат. Получим: , . Так как дискриминант уравнения положительный, то по теореме Виета сумма корней равна

Ответ. .

Пример 4.13: 25 Решите уравнение .

Решение. Решать будем это уравнение последовательно ``раскрывая'' модули, начиная с ``внешнего'' и ``приближаясь'' к переменной .

После раскрытия первого модуля, получим совокупность двух уравнений:

(1) или (2) .

Решая уравнение (1), в свою очередь, получаем два уравнения:

,

(3) или (4) .

Из уравнения (3) находим: , из уравнения (4) находим: ,

Решая уравнение (2), также получим: , которое распадается два уравнения:

() или () .

Из () получаем: , , Из () , которое не имеет решений.

Ответ.

Пример 4.14: 26 Решить уравнение:

Решение. ОДЗ данного уравнения:

...