Методы решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, в школьном курсе математики

Простой проверкой нетрудно убедиться, что и -- решения данного уравнения.

Ответ. .

Если решать уравнение путем возведения в квадраты обеих его частей, то получится уравнение

У этого уравнения добавится ``лишний'' корень , не принадлежащий ОДЗ.

Преобразование , не равносильное, т.к. входит в ОДЗ исходного выражения, но не входит в ОДЗ преобразованного.

Нюанс состоит в том, что при функция существует и при , т.к. на что ноль ни умножай - будет ноль.

Пример 4.15: 27 Решить уравнение .

Решение. Начнем раскрывать внутренний модуль (раскрытие внешнего модуля займет гораздо больше времени):

1. При имеем .

Теперь рассмотрим два случая:

а) , т.е. ;

б) и

Т.к. функция, стоящая в первой части исходного уравнения, - четная, то решением так же будет и .

Ответ. . [16]

3.6 Советы учителей по последовательности изучения уравнений и неравенств с модулем в школьном курсе математики

Многие учителя математики, основываясь на свой опыт, считают, что так как в средней общеобразовательной школе (6 - 9 кл) тема «Решение уравнений и неравенств с модулем» не выделена отдельно нужно на протяжении всех четырёх лет отводить уроки для последовательного рассмотрения основных способов решений таких уравнений и неравенств. Тогда в 10 - 11 классах освободиться время для нестандартных методов решений многих задач содержащих модуль.

Определение модуля даётся в 6 классе и поэтому уже в шестом классе можно вывести первые свойства.

1.

2.

3.

4.

И выделить время для решений простейших уравнений:

1. 3.

2. 4. при каких значениях p уравнение

В 8 классе, после прохождения тем: «квадратные и дробные рациональные уравнения», увеличивается разнообразие уравнений, решение которых основывается на правилах(которые конечно же обосновываются).

1.

2.

3.

Например. а)

Следовательно, Ответ:1;8.

б)

Ответ: -5;5.

в)

Ответ: 9.

После изучения темы: «Неравенство с одной переменной и их системы» следует вывести следующие соотношения:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Далее надо рассмотреть схемы решений следующих уравнений и неравенств:

1)

1 способ 2 способ

Второй способ хорош тем, что не надо сравнивать f(x) с нулём

Например,

(3)

2)

3)

4)

5)

Все эти схемы надо отрабатывать на занятиях, которые не являются сложными. Так как, на первых уроках, самое главное это - теория.

а)

Ответ:

б)

в)

Ответ:

г)

Ответ:

В девятом классе, после изучения квадратных неравенств, все предыдущие схемы просто надо разнообразить. А вот после «Метода интервалов» остаётся рассмотреть решение уравнений и неравенств содержащих более одного модуля

1. Находят О.Д.З. исходного уравнения

2. Определяют точки разрыва и нули функции

3. На каждом из промежутков, на которые найденные точки разбивают О.Д.З, исходное уравнение заменяется равносильным, не содержащим знаков абсолютной величины (это возможно в силу того, что функции на этих промежутках знакопостоянны).

1.

1) О.Д.З.

2) Нули модуля: x=0

3)

х-1

x - + +

x-1 - - +

Тогда исходное уравнение равносильно совокупности систем:

[17]

2.

1. О.Д.З.

2. Нули модуля:

3.

x+1 - + +

Тогда данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:

Ответ:

В конце 9 класса следует оставить время для разбора некоторых способов решения уравнений и неравенств с параметром. Учащиеся уже знакомы с графиком функции и построением графиков с помощью преобразований. Полезно выполнить построение графиков с модулями, симметрией. Рассмотреть графики неравенств.

1.

Рассмотрим все случаи раскрытия модулей. Чтобы долго не выписывать, можно записывать формулы прямо в соответствующих координатных четвертях.

Рис.15

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.15

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.16



3.

Строим графики двух парабол и берём у каждой ту часть, где

(1) (2)

Ось симметрии задаётся уравнением Ось симметрии задаётся уравнением

Рис.17

4.

1. строим границу

2. берём контрольную точку (0; 0) и подставляем в условие.

Если получим верное неравенство, то т.(0; 0) входит в заштрихованную область, если неравенство не будет верным, то точка (0; 0) не входит в заштрихованную область. Данный метод называется Методом областей. С помощью этого метода можно решать неравенства с параметром. В девятом классе такой метод надо рассматривать на простейшем примере.

Решить неравенство при всех значениях а

1. Построим график неравенства в системе ХОУ.

а)

б) точка контрольная (100; 0) подходит. Далее следим за знаками скобок и заштриховываем области «через одну»

Рис.18

в) для решения неравенства описываем каждую кривую выразив х через у.

г) Мысленно перемещаем прямую у=а и прослеживаем, какая часть прямой попала в заштрихованную область

Ответ:

4. Найти число корней уравнения

в зависимости от параметра а

Построим графики функций

(можно было выделить полный квадрат.

Ось симметрии задаётся уравнением х=1



Рис.19

Ответ:

7. Уже в 9 классе можно познакомить с координатно - параметрическим методом.

Решить уравнение для каждого действительного а.

Решение: На плоскости аОУ с параметрической осью Оа и координатной плоскостью ОУ построим прямые х=а и х=-а-1

1. Прямые пересекаются в точке С ()

2. Образовались 4 области

в 1 области

во 2 области

в 3 области

в 4 области

3. в каждой области раскроем модуль

4. Значит на плоскости аОХ все точки границы дают

решение уравнения



Рис. 20 Рис.21

Ответ:

при [18]



4. Уравнения и неравенства с модулем в Едином Национальном Тестировании (ЕНТ)

Уравнения и неравенства с модулем - одна из наиболее интересных и сложных тем курса алгебры. Задания данного раздела включаются в ЕНТ, начиная от простейших уравнений и неравенств с модулем, заканчивая системами уравнений и неравенств с модулем. Однако в учебниках курса алгебры и начала анализа, на наш взгляд, отводится мало внимания этому разделу, рассматривается лишь небольшое число общих видов уравнений и неравенств с модулем, их способов решений и упрощений. Этих видов зачастую может не хватить для решения заданий ЕНТ.

Поэтому стоит остановиться на рассмотрении данной темы более подробно. Учащимся нужно больше уделять внимание решению уравнений и неравенств с модуле. Необходимо уделить внимание поисковому характеру нахождения решений и дать возможность учащимся проявить творческий потенциал. Как раз на этом этапе можно включить уровневую дифференциацию и предложить учащимся самостоятельный поиск общего решения предложенного им уравнения или неравенства с модулем в зависимости от его сложности и нестандартности.

Итак, рассмотрим уравнения и неравенства с модулем, встречающиеся в Едином Национальном Тестировании (ЕНТ) и какие ошибки допускают выпускники.

Пример 4.1. Решите уравнение

Решение: Характерной ошибкой учащихся, плохо понимающих суть абсолютной величины, является следующая логика в преобразовании, например, выражения :

по определению модуля:

Это, конечно, неверно! Верно:

или(что одно и тоже)

Поэтому x - 3 = 7 или -x + 3 = 7,

x = 10 или x = -4.

Ответ: 10; -4. [19]

Пример 4.2. Решить неравенство:

Найдем промежутки знакопостоянства выражения . при 0<x<2; при . При 0<x<2 неравенство принимает вид , т.е. или . Решением этого неравенства является множество . Учитывая условие 0<x<2, получаем решение исходного неравенства (1;2). При неравенство принимает вид

или . Решением данного неравенства является промежуток (0;3). Учитывая , получаем решение исходного неравенства: [2;3). И наконец, ответ: .

Ответ: . [20]

Однако, такой подход к решению уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины, не всегда приводит к ответу. Под знаком модуля могут оказаться выражения, для которых бывает довольно затруднительно найти промежутки знакопостоянства.

В этом случае бывает удобно воспользоваться следующими свойствами модуля.

Уравнение |f(x)|=g(x) равносильно совокупности уравнений: f (x)=g(x) ил и f(x)=-g(x). Решая оба эти уравнения и беря объединение решений, получим решение исходного уравнения.

Неравенство |f(x)|>g(x) равносильно совокупности неравенств: f (x)>g(x) или f(x)<-g(x). Решая оба эти неравенства и беря объединение решений, получим решение исходного неравенства.

Неравенство |f(x)|<g(x) равносильно системе неравенств: f (x)<g(x) и f(x)>-g(x). Решая оба эти неравенства и беря пересечение решений, получим решение исходного неравенства.

Вышеперечисленные свойства помогают решить уравнение (неравенство) в том случае, если удается уединить единственный модуль в одной части уравнения (неравенства). [21]

Иногда выпускники забывают о свойствах модуля с помощь которых можно легко решить уравнения и неравенства.

1. ;

2. ;

3. .

Знание этих свойств уже позволяет решать некоторые задания, не прибегая к процедуре раскрытия модуля. Покажем это на примерах.

Пример 4.3. Решить неравенство .

Левая часть неравенства неотрицательна(свойство 1), правая - меньше нуля, поэтому неравенство верно всегда. Заметим, что ограничений на функции никаких нет.

Ответ: . [22]

Пример 4.5. Решить уравнение

Очевидно, что слева 0 (свойство 2), но тогда , и (свойство 3).

Ответ: -7.

Еще два пример на применение определение модуля.

Пример 4.7. Решить уравнение .

Ответ:1. [23]

Пример 4.8. Решить неравенство: .

Модулей в условии задачи два, потому её решение будет состоять из объединения решений четырех систем неравенств:

Ответ: (-3;-1). [24]

Отметим, что третье неравенство во второй системе решать не имело смысла, мы заметим, что пересечением множеств, являющихся решениями первого и второго неравенств этой системы, является пустое множество.

Отметим так же, что если модулей в задаче будет три, то систем в совокупности станет восемь. И, не смотря на простоту каждой из них, при таком количестве легко может произойти путаница. Поэтому учащимся нужно постараться освоить более прогрессивный способ решения таких задач - метод интервалов.

И последнее замечание. Схема решения задачи совершенно не зависит от того, решаем мы уравнение или неравенство. Главное - правильно раскрыть модуль! [21]

Пример 4.9. Решить уравнение .

Решение некоторых учеников:

Применяем метод интервалов. Нули подмодульных выражений: 1 и 2.

a.

b. т.к. x сократился, то решений нет.

c.

Ответ: 1,2.

Ошибка допущена при рассмотрении пункта b.

a. Система означает, что при уравнение превращается в тождество, а это значит, что любое значение x из данного промежутка нас устраивает. Т.е. ответ на данном промежутке будет , а в итоговом ответе нужно добавить еще полученные на других промежутках точки 1 и 2.

Ответ: [1;2]. [25]

Пример 4.10. Решить уравнение .

«Решение». Рассмотрим уравнение на двух промежутках.

a. Решаем уравнение: , получились корни 5 и -4. Системе удовлетворяет только .

b. Решаем уравнение: , т.е. -5 и 4. На этот раз системе удовлетворяет отрицательный корень .

Объединяем получившиеся решения.

Ответ: . [26]

Решение этого уравнения совершенно верно, но его можно было значительно сократить.

Сделаем замену . Тогда, учитывая равенство , перепишем наше уравнение в виде: . Корни получившегося уравнения: 5 и -4. Т.к. , , или , или .

Ответ:. [22]

Пример 4.11. Решить уравнение: .

«Решение». Решаем уравнение методом интервалов.

При имеем:

; ; ; - решений нет.

При : ; ; ;

; .

При : ; ; , поэтому все точки этого промежутка удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: . [32]

И это решение правильное, но оно будет значительно короче, если, заметить, что исходное уравнение равносильно (ввиду положительности знаменателя) уравнению , решать которое с помощью, например, того же метода интервалов значительно проще. А еще проще вспомнить о геометрической интерпретации модуля. Тогда это уравнение «звучит» так: при каких значениях расстояние от до -2 будет на 4 больше, чем расстояние от до 2? Несложно сообразить, что этому условию удовлетворяют значения .

Мы рассмотрели только некоторые примеры ошибок которые допускали учащиеся во время ЕНТ при решении уравнений и неравенств, содержащие модуль.



Заключение

Уравнения с модулями начинают изучать с 6-го-7-го класса, где проходят азы операций с модулями. Однако свойств абсолютной величины не знает даже старшеклассник. Программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах. Мой диплом был посвящен изучению свойств модуля, алгебраическому и графическому решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.

В данной работе мы:

1. Проанализировали некоторые учебники и задачники по математике и выявили, в каких из них присутствуют задания на свойства абсолютной величины и на графическое решение уравнений и неравенств со знаком модуля;

2. Выполнили основную цель работы - получение расширенной информации о модуле числа, его применении и о различных способах решения уравнений, содержащих знак модуля;

3. Завершая рассмотрение определенного метода решения, были привели ряд примеров;

4. Рассмотрели дополнительные методы решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля;

5. Провели анализ результатов ЕНТ. Рассмотрели основные ошибка, допускаемые выпускниками при решении уравнений и неравенств.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: систематическое использование различных способов для решения уравнений, содержащих модуль, приводит не только к повышению интереса к математике, повышению творческой активности школьников, но и повышает уверенность детей в собственных силах, так как у них имеется возможность выбора того способа решения, который наиболее эффективен в каждом конкретном случае.

Список использованной литературы

1. Азевич А.И. Система подготовки к единому государственному экзамену // Математика в школе, 2005, № 4.

2. Башмаков М.И. “Алгебра и начала анализа”: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1992.

3. Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. - М., 1965.

4. Вересова Е.Е., Денисова Н.С., Полякова Т.Н. Практикум по решению математических задач. - М.: Просвещение, 1979.

5. Гайдуков И.И. Абсолютная величина. - М.: Просвещение, 1966.

6. Горбачев В.И. Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. - Брянск, 1998.

7. Гусев В.А. и др. 300 задач. - М.: Просвещение, 1993.

8. Гусев В.А., Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г., Практикум по элементарной математике. - М.: Просвещение, 1994 год.

9. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справ. материалы: Кн. Для учащихся. - М.: Просвещение, 1989.

10. Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно - тренировочные материалы для подготовки учащихся / Рособрнадзор, ИСОП - М.: Интеллект - Центр, 2006

11. Ермаков Д. и Петрова Г. Элективные учебные курсы для профильного обучения // Народное образование, 2004,№2. - М.: Просвещение, 1973.

12. Журнал «Математика №2/2007».

13. Казак В.В., Козак А.В. Тесты по математике. - Москва: ИКЦ “МарТ”, 2003.

14. Литвененко В.Н, Мордкович А.Г. Практикум по решению задач. Алгебра. Тригонометрия. - М.: Просвещение, 1991.

15. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. - М., 1994.

16. Лященко Е.И, Зобкова К.В., Кириченко Т.Ф. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Под ред. Е. И. Лященко. - М.: Просвещение, 1988

17. Мордкович А.Г. “Алгебра” 8 кл. - М.: Мнемозина, 2005.

18. Олехник С.Н. Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарным функциям. - М.: Высш. шк., 2001.

19. Сидоров Н.Н. Модуль числа. Уравнения и неравенства. Учебное пособие. - Чебоксары, 1998.

20. Ткачук В.В. Математика абитуриенту. - М.: МЦНМО, 2005.

21. Зеленский А.С., Панфилов И.И. Решение уравнений и неравенств с модулем. - М.:Научно-технический центр «Университетский»: УНИВЕР-ПРЕСС, 2009. - 112с.: ил. (серия «Математика: перезагрузка»).

22. Куланин Е.Д., Норис В.П., Федин С.Н., 3000 конкурсных задач по математике. - 5-е изд., испр. - М.: Айрис- пресс, 2003. -624 с.: ил.

23. Цыпкин А,Г., Пинский А.И. справочник по методам решения задач по математике для средней школы. - 2-е изд., перераб. И доп. - М.: наука. Гл. ред. физ.-мат. Лит., 1989.- 576 с.

24. Семенов А.Л. Ященко И.В. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В - 3-е изд., перераб. И доп. - М.: Издательство «Экзамен», 2012. - 543, [1] с.

25. Пойа Дж. И Килпатрик Д. Сборник задач по математике Стэнфордского университета: с подсказками и решениями. - М.: научный Фонд «Первая Исследовательская Лаборатория имени академика В.А.Мельникова», 2002. - 96 с.

26. Кравчук Д.Н., Кравчук Е.В., Клемина С.И. Сборник задач по математике с решениями. - Донецк: ПКФ «БАО», 1997. - 192 с.

27. Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике: математика для старшеклассников. - 12-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2008. - 352 с.: ил.- (Домашний репетитор).

28. Мордкович А.Г. решаем Уравнения. - М.: Школа-пресс, 1995. - 80 с. (Серия «ШАНС» - Школа Абитуриента: Научись Сам).

29. Лунгу К.Н. Тесты по математике для абитуриентов. - М.: айрис-пресс, 2003. - 352 с. - (домашний репетитор).

30. Егерев В.К., Зайцев В.В., и др.; под ред. М.И. Сканави. - М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Мир и Образование»: ООО «Издательство Астрель», 2012. 624 с.

31. Пробное тестирование. Книжки - вопросники (100 вариантов)., Министерство образования и науки Республики Казахстан. Национальный Центр Тестирования. 2012.

32. - Олехник, Потапов, Пасиченко. Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства. 10 - 11кл - 1998 - 192с

Размещено на Allbest.ru

...