Особые точки и особые решения дифференциальных уравнений первого порядка

Размещено на http://allbest.ru

Особые точки и особые решения дифференциальных уравнений первого порядка

1.Теорема существования и единственности решения

Уравнение

или , (*)

Где - неизвестная функция от , а - заданная функция, является простейшим дифференциальным уравнением. Для его решения, т.е. для отыскивания неизвестной функции , нужно проинтегрировать данную функцию . При этом, как известно, мы получим бесчисленное множество функций, каждая из которых будет удовлетворять условию (*). В этой главе нам удобнее будет под интегралом понимать какую-либо одну первообразную. Тогда любое решение уравнения (*) запишите в виде

Гораздо чаще приходится иметь дело с уравнениями более сложного вида.

, , и

Заменяя через , эти уравнения можно переписать в дифференциальной форме:

,

Так как производную можно представить в виде отношения дифференциалов, то уравнение может содержать не производную, а дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде:

(1)

Простевшие примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесчисленное множество решений. Мы наблюдали это уже на примере уравнения (*). Простой проверкой легко убедиться также, что уравнение имеет решениями функции , а уравнение - функции , где - любое число.

Как мы видим, в решения приведенных дифференциальных уравнений входит произвольная постоянная ; придавая ей различные значения, мы будем получать разные решения.

Придавая произвольной постоянной определенные числовые значения, мы будем получать частные решения.

Выше мы видели, что уравнение имеет обще решение . Зададим начальное уравнение . Подставив эти значения и в общее решение, получим , откуда . Следовательно, функция удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и начальному условию.

Вопрос о том, в каком случае можно утверждать, что частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, существует, а также что оно будет единственным, выясняется теоремой.

Теорема существования и единственности решения. Если функция непрерывна в области, содержащей точку , то уравнение имеет решение такое, что .

Если, кроме того, непрерывна и частная производная , то это решение уравнения единственно.

Интересно отметить, что в условии теоремы не требуется существования производной .

Теорема эта впервые была сформировано и доказана Коши. Поэтому часто задачу отыскания частного решения по начальным условиям называют задачей Коши.

2.Графическое представление теорема существования и единственности решения

(рис. 1) (рис. 2)

График любого частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению соответствует семейство интегральных кривых. Так как мы уже проверили, что уравнение имеет общее решение , то соответствующее ему семейство интегральных кривых - пучок прямых, проходящих через начало координат. (рис. 1). Уравнение имеет общее решение . Ему соответствует семейство равнобочных гипербол, асимптотами которых являются оси координат (рис. 2), а также прямая .

Задание начального условия означает задание точки , через которую должна проходить интегральная кривая, соответствующая искомому частному решению. Таким образом, отыскивание частного решению. Таким образом, отыскивание частного решения по начальному условию геометрически означает, что из семейства интегральных кривых мы выбираем ту, которая проходит через точку . Согласно теореме существования и единственности решения через каждую точку, в которой функции и непрерывны, проходит одна единственная интегральная кривая. Если в данной точке эти условия нарушены, то это означает, что через эту точку либо вообще не проходит ни одна интегральная кривая, либо проходит несколько. Возьмем, например, уравнение ; из (рис.1) видно, что через начало координат проходит бесчисленное множество его интегральных кривых. Это противоречит теореме, так как в точке (0,0) условия теоремы существования нарушены: правая часть уравнения становится неопределенной.

Точки, в которых условия теоремы существования и единственности решения нарушаются, называются особыми точками.

3.Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка

Прежде всего условимся переменные и считать разнонаправленными; это значит, что с равным основанием можно рассматривать как функцию от или как функцию от . При этом нам придется уточнить определение особой точки. Возьмем уравнение . Точка (0,0) является для него особой, так как правая часть разрывна при . Если же считать функцией, а - независимой переменной и переписывать уравнение в виде , то точка (0,0) перестает быть особой, так как теперь правая часть, разумеется удовлетворяет всем условиям теоремы существования. Единственным решением этого последнего уравнения при заданном начальном условии будет функция . Интегральной кривой является парабола, касающаяся оси ординат в начале координат. Таким образом, через точку (0,0) проходит одна интегральная кривая, и нам нет смысла считать эту точку особой. То же самое можно сказать. То же самое можно сказать и о любой другой точке оси абсцисс.

Поэтому в дальнейшем будем считать особой только такую точку , в которой разрывные правые части обоих уравнений

и .

Именно такой случай имеет место для уравнений

и (2)

в начале координат. Функции в правых частях не имеют предела x и y к нулю.

Приведем несколько примеров использования уравнений типа (2).

Примеры.

1) . Разделяя переменные и интегрируя, получим , откуда . Это уравнение семейства парабол; записав дифференциальное уравнение в виде , найдем еще два частных решения и . Все интегральные кривые проходят через особую точку- начало координат (рис. 2) такая особая точка называется узлом.

2). Общее решение имеет вид . Это семейство равнобочных гипербол; к нему следует добавить оси координат: y=0 и x=0 (рис. 3) такая особая точка называется седлом.

Аналогичная картина будет для решений и при >0.

3) . Общее решение ;

(рис. 3)

Интегральные кривые - окружности с центром в начале координат (рис. 4). В этом случае особая точка называется центром; через нее не проходит ни одна интегральная кривая.

дифференциальный уравнение математика

4) .

Замена приводит после

простых преобразований к уравнению с разделенными переменными . Интегрируя и возвращаясь к , получим или .

Рис.4

В системе полярных координат уравнение имеет гораздо простой вид

Это семейство логарифмических спиралей (рис. 5). Особая точка такого типа называется фокусом. Можно доказать, на чем мы не останавливаемся, что для уравнения (*) начало координат при любых значениях коэффициентов(если только ) является особой точкой одного из указанных четырех типов: узел, седло, центр, фокус.

Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка

Задача Коши для уравнения (*) ставится следующим образом: задана точка , для которой . Требуется найти такое решение уравнения (1), которое удовлетворяет начальным условиям

, .

Достаточные условия существования и единственности задачи Коши дает

Теорема существования и единственности решения

Особым решением уравнения (*) на множестве I называется его решение, если через точку его графика проходит другое решение, отличное от него в сколь угодно малой окрестности этой точки, и имеющее ту же касательную.

Для существования особого решения необходимо, чтобы в области G нарушались условия теоремы существования и единственности задачи Коши, т.е. для непрерывно дифференцируемой функции необходимо

, (3)

Множество точек , удовлетворяющее условию называется p-дискриминантным множеством уравнения (*).

График особого решения уравнения (1) лежит в p-дискриминантном множестве.

Однако p-дискриминантное множество не всегда задает особое решение:

а) p-дискриминантное множество не обязано быть гладкой кривой,

б) p-дискриминантное множество не обязано определять решение уравнения (*).

Для нахождения особых решений требуется:

1. найти решение (*);

2. найти p-дискриминантное множество, исключив параметр p из системы

;

3. отобрать те из решений уравнения (1), которые лежат в p-дискриминантном множестве;

4. для отобранных решений проверить выполнение определения особого решения, т.е. проверить выполнение при условий касания

,

где - семейство решений (*), не совпадающих с .

Примеры решения задач.

Пример 1. Решить уравнение, найти особые решения, начертить интегральные кривые .

1. Вводим параметр . Тогда , или

. (4)

Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив через , получаем , или , откуда .

Возможны два случая:

1) . Из (4) получаем, что , следовательно , или .

2) . Интегрируя, находим , . Подставляя в (4), определяем y: , или , или .

2. Найдем p-дискриминантное множество, исключив параметр p из уравнений

и

.

Из второго уравнения системы следует, что , поэтому .

Так как - решение, то это кандидат в особые решения.



Рис. 6

3. Докажем, что это решение особое (проверяем касание):

следовательно, при в тождество обращается второе уравнение и первое уравнение: .

Через точку проходит решение при , касающееся решения в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой окрестности этой точки при .

Интегральные кривые представлены на рис. 6, где особое решение отмечено жирной линией.

Пример 2. Решить уравнение, найти особые решения, начертить интегральные кривые

. (5)

1. Вводим параметр . Тогда , или

.

Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив через , получаем , или , откуда .

Возможны два случая:

1) . Из (5) получаем, что , следовательно .

2) , или . Интегрируя, находим , . Подставляя в (5), определяем x: , или , или , или

2. Найдем p-дискриминантное множество, исключив параметр p из уравнений

и

.

Из второго уравнения системы следует, что , поэтому .

Так как - решение, то это кандидат в особые решения.

Рис. 7

3. Докажем, что это решение особое (проверяем касание):

следовательно, при в тождество обращается второе уравнение и первое уравнение:

.

Через точку проходит решение при , касающееся решения в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой окрестности этой точки при .

Интегральные кривые представлены на рис. 7, где особое решение отмечено жирной линией.

Задачи для решения

Решить уравнения, найти особые решения, начертить интегральные кривые:

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ответы:

- особое решение; .

- особое решение; .

- особое решение; .

- особое решение; .

- особое решение; .

- особое решение; .

- особое решение; .

- особое решение; .

- особое решение; .

- особое решение; .

- особое решение; .

- особое решение; .

- особое решение, , .

, - особое решение, , .

- особое решение, .

, - особое решение, , .

, - особые решения,.

, - особое решение, .

- особое решение, .

, - особые решения,.

Список литературы

1.Краткий курс математического анализа для ВТУЗОВ А.Ф.Бермант, И.Г. Араманович

Размещено на Allbest.ru

...