Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

Геометричне моделювання УЗАГАЛЬНЕНИХ паралельних множин

Спеціальність 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка

Шоман Ольга Вікторівна

Київ - 2007

Анотація

Шоман О.В. Геометричне моделювання узагальнених паралельних множин. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук зі спеціальності 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Київський національний університет будівництва і архітектури, Київ, 2007.

Дисертацію присвячено розробці теорії геометричного моделювання узагальнених паралельних множин для розв'язання задач формоутворення в часі геометричних об'єктів - наочних геометричних моделей динамічних явищ і процесів, що характеризуються хвильовими фронтами, поверхні яких у певні моменти часу утворюють просторову конформну сітку з лініями у напрямках руху цих фронтів, або характеризуються ізолініями, конформними до напрямків зміни фізичних параметрів. На основі введеної термінології запропоновано загальний підхід до геометричного моделювання проявів процесів і явищ різної фізичної природи.

Розроблено теоретичні основи методу опису геометричних моделей паралельних множин на площині за допомогою рівнянь Гамільтона - Якобі у вигляді рівняння ейконала для кривих, що мають точки звороту або самі себе перетинають; методу опису геометричних моделей паралельних множин за допомогою нормальних рівнянь для поверхонь, які задано у параметричному вигляді; методу на основі конформних відображень, в якому запропоновано новий геометричний зміст функції комплексного потенціалу вихору і одержано нові геометричні моделі сімей квазіпаралельних ліній на комплексній площині. Удосконалено метод іміджевої екстраполяції для прогнозування геометричної форми ліній на площині, як елементів узагальнених паралельних множин. Розроблені методи дозволяють вивчати якісні зміни об'єктів, що моделюються.

Ключові слова: паралельні множини, рівняння ейконала, нормальні функції, конформні відображення, іміджева екстраполяція.

Аннотация

Шоман О.В. Геометрическое моделирование обобщенных параллельных множеств. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.01.01 - Прикладная геометрия, инженерная графика. - Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев, 2007.

Диссертация посвящена разработке теории геометрического моделирования обобщенных параллельных множеств для решения задач формообразования геометрических объектов - наглядных геометрических моделей динамических явлений и процессов, характеризующихся волновыми фронтами, поверхности которых в определенные моменты времени образуют пространственную конформную сетку с линиями в направлениях движения этих фронтов, либо характеризующихся изолиниями, конформными к направлениям изменения физических параметров. На основе введенной терминологии предложен общий подход к геометрическому моделированию проявлений процессов и явлений разной физической природы. В науке и технике синонимами термина "обобщенные параллельные множества" могут быть: параллельные множества, эквидистанты, эквифазные границы, изотермы, изобары, эквипотенциальные линии, границы раздела фаз физико-химических процессов, волновые фронты и т.п.

Выполнен анализ существующих методов моделирования параллельных и квазипараллельных линий и поверхностей. Этот анализ не выявил общих методов решения задач формообразования геометрических объектов, что дало основание для создания теоретических основ обобщенного подхода к геометрическому моделированию формообразования во времени геометрических объектов. Выполнена общая классификация процессов и явлений разной физической природы, графическими проявлениями которых являются обобщенные параллельные множества. Это позволило с единых позиций подойти к решению задач моделирования процессов разной физико-химической природы и впервые предложить общий подход к геометрическому моделированию процессов и явлений, графическими проявлениями которых являются поверхности волновых фронтов, которые в определенные моменты времени образуют пространственную конформную сетку с линиями в направлениях движения этих фронтов, либо характеризуются изолиниями, конформными к направлениям изменения физических параметров.

В диссертации разработаны теоретические основы методов геометрического моделирования семейств параллельных и квазипараллельных линий и поверхностей. Получил развитие метод описания геометрических моделей параллельных множеств с помощью уравнений Гамильтона - Якоби в виде уравнения эйконала для кривых, имеющих точки возврата или самопересечения. Это позволило расширить класс геометрических объектов (графиков функций - решений уравнения эйконала), которые изучаются в прикладной геометрии. Разработан метод описания геометрических моделей параллельных множеств с помощью нормальных уравнений для поверхностей, заданных в параметрическом виде. В методе на основе конформных отображений предложен новый геометрический смысл функции комплексного потенциала вихря и получены новые геометрические модели семейств квазипараллельных линий на комплексной плоскости, что расширило возможности для анализа решений, которые могут быть получены в результате конформных отображений. Усовершенствован метод имиджевой экстраполяции для прогнозирования геометрической формы линий на плоскости как элементов обобщенных параллельных множеств. Применение метода имиджевой экстраполяции в задачах построения прогнозных моделей эффективно преимущественно для короткосрочных прогнозов. Разработанные методы обеспечивают наглядность и достаточный уровень формализации решения очерченного в работе класса задач. Это позволяет изучать качественные изменения моделируемых объектов.

Результаты диссертации внедрены: в ГЦИУ "ВОДГЕО" (г. Харьков) для использования при качественной оценке областей возможного подмывания и подтопления грунтов; в ОАО "ТРЗ" (г. Полтава), где занимаются модернизацией процесса нанесения хромового покрытия на поверхности прессформ разной сложности и определяют форму анода в зависимости от формы поверхности детали; в ГП "НИТИП" (г. Харьков) для исследований процесса анодного сглаживания профилей электротехнических элементов; в ООО "Завод ГРЛ" (г. Полтава) и в ООО "Украинский научно-исследовательский институт источников света" (г. Полтава) для геометрического моделирования распределения температурных полей и энергии излучения разрядных ламп высокого давления; в ГУ МЧС Украины в Харьковской области для построения прогнозных моделей процессов с непрерывным фронтом - лесных пожаров; в УкрНИИГАЗ (г. Харьков) в качестве аппарата трансформации физических величин, распределенных в газовых и нефтяных пластах, в наглядные геометрические образы; в НТУ "ХПИ" (г. Харьков) в учебный процесс кафедры начертательной геометрии и графики и в процесс подготовки научных кадров через научную работу со студентами.

Ключевые слова: параллельные множества, уравнение эйконала, нормальные функции, конформные отображения, имиджевая экстраполяция.

The summary

Shoman O.V. The Geometrical Modelling of General Parallel Sets. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree in engineering sciences. Specialty: 05.01.01 - Applied geometry, engineering graphics. - Kyiv National University of Building and Architecture. - Kyiv, 2007.

The dissertation is devoted to developing of the geometrical modelling theory of the general parallel sets for problems solving of geometrical objects form-formation in time which are visual geometrical models of dynamic phenomena and processes characterized by wave fronts surfaces which create the space conformal set in the moments of time with the lines on directions of these fronts moving or by isolines which are conformal to directions of physical parameters change. On introduced terminology basis the general approach to the geometrical modelling of different origin physical phenomena and processes displays is proposed.

It was developed the theoretical basis of: the method of parallel sets geometrical models creation on the plane by means of Hamilton - Jacobi equation as eikonal equation for the curves with return and self-intersection points; the method of parallel sets geometrical models creation by means of normal equations for the surfaces in parameter form; the method based on conformal representations, in which the new geometrical meaning of twister complex potential function was proposed and the new geometrical models of quasi-parallel lines sets were obtained on the complex plane; the improved image extrapolation method for forecasting of geometrical form of lines on the plane as the elements of general parallel sets. These methods allow to research qualitative change of objects modelled.

Key words: parallel sets, eikonal equation, normal functions, conformal representations, image extrapolation.

1. Загальна характеристика роботи

Сутність наукової проблеми. Тенденція підвищення якості науково-технічного забезпечення будь-якої галузі виробництва в Україні набуває все більшого розвитку. Таке забезпечення, по-перше, має розроблятися швидкими темпами, по-друге, повинно мати гнучку структуру і, по-третє, - відповідати рівню інформаційних технологій, що стрімко розвиваються. Останнім часом проводяться дослідження щодо створення нових підходів до вирішення проблем моделювання об'єктів різних галузей виробництва. В сучасних умовах важливою є проблема моделювання об'єктів, які пов'язані з використанням енергії. Йдеться про явища і процеси різної фізичної природи, поля яких є носіями енергетичних параметрів. Другою важливою проблемою є прогнозування тенденцій розвитку явищ і процесів, що характеризуються хвильовими фронтами. До таких об'єктів відносяться лісові пожежі, гетерогенні хімічні реакції, збурення в різних середовищах, автохвильові процеси тощо. Значний внесок у вирішення зазначених проблем можуть зробити дослідження з позицій прикладної геометрії, тому що саме вона дозволяє вибудовувати загальні підходи до вивчення, на перший погляд, різнорідних явищ.

Задачі моделювання фронтів поширення збурень у середовищі, поверхонь розділу фаз протікання фізико-хімічних явищ і процесів та створення геометричних моделей картин силових ліній полів різної природи (електричних, теплових, гідродинамічних та ін.) доцільно розв'язувати за допомогою методів геометричного моделювання складних за формою об'єктів як елементів параметричних сімей ліній та поверхонь. При цьому кожний елемент (наприклад, лінія або поверхня) відповідає певним миттєвим станам явища або процесу, що моделюється, тобто є графічним проявом в часі певного фізико-хімічного процесу. Зазначені сім'ї геометричних об'єктів є узагальненими паралельними множинами. Для наведеного терміну синонімами в науці й техніці можуть бути: паралельні множини, еквідистанти, еквіфазні границі, ізотерми, ізобари, еквіпотенціальні лінії, границі розділу фаз фізико-хімічних процесів, хвильові фронти тощо. Оскільки проблеми опису граничних ліній і поверхонь тісно пов'язані з проблемами визначення кількісно-якісних характеристик передачі енергії у просторі, то можна стверджувати про актуальність обраного напрямку досліджень.

Значний внесок у розв'язання конкретних задач формоутворення зробили професори В.В. Ванін, С.М. Ковальов, В.Є. Михайленко, В.М. Найдиш, В.С. Обухова, А.В. Павлов, О.Л. Пiдгорний, К.О. Сазонов, І.А. Скідан та ін. Однак, проведені дослідження не дозволили створити інформаційне забезпечення геометричного моделювання різновидів формоутворення. Однією з причин цього була відсутність геометричних та математичних моделей для пояснення процесу формоутворення поверхонь розділу, а також відсутність математичних процесорів, які б надали можливість здійснити дослідження на аналітичному і графічному рівнях. У роботах професора Л.М. Куценка та його учнів Д.В. Бондаря, О.М. Сівальньова, А.В. Роміна, а також в роботах С.В. Васильєва розглянуто формоутворення об'єктів на основі паралельних множин, у тому числі й реалізованих засобами процесора Мaple. Слід зауважити, що всі попередні дослідження спиралися на підходи, що були прийнятні лише для конкретних задач.

Актуальність теми. Актуальність теми випливає з сутності наукової проблеми, яку розкрито вище, і полягає у необхідності створення загального підходу до розв'язання задач формоутворення у часі геометричних об'єктів і на цій основі розробки теоретичних основ методів геометричного моделювання проявів різних явищ і процесів, що характеризуються хвильовими фронтами, поверхні яких у певні моменти часу утворюють просторову конформну сітку з лініями у напрямках руху цих фронтів, або характеризуються ізолініями, конформними до напрямків зміни фізичних параметрів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано згідно з тематичним планом проведення науково-дослідних робіт Національного технічного університету "Харківський політехнічний інститут" (НТУ "ХПІ"), в рамках науково-дослідних тем: "Геометричне моделювання паралельних множин для визначення розподілу фізичних параметрів фільтрації" (№ державної реєстрації 0105U001378), "Геометричне моделювання паралельних множин в задачах розрахунку розподілу температурних полів газорозрядних ламп" (№ д/р 0105U001379); "Геометричне моделювання паралельних множин у дослідженнях картин силових ліній електричних полів" (№ д/р 0105U003646), в яких здобувач була відповідальним виконавцем.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є створення теорії геометричного моделювання узагальнених паралельних множин для розв'язання задач формоутворення геометричних об'єктів - наочних геометричних моделей динамічних явищ і процесів, що характеризуються хвильовими фронтами, поверхні яких у певні моменти часу утворюють просторову конформну сітку з лініями у напрямках руху цих фронтів, або характеризуються ізолініями, конформними до напрямків зміни фізичних параметрів.

Для досягнення цієї мети в дисертації поставлено наступні основні задачі:

1. Виконати аналіз існуючих методів моделювання паралельних і квазіпаралельних ліній і поверхонь.

2. Розробити теоретичні основи:

- геометричного моделювання узагальнених паралельних множин на основі класичних принципів Ферма і Гюйгенса;

- опису паралельних множин шляхом розв'язання диференціальних рівнянь Гамільтона - Якобі;

- опису паралельних множин за допомогою нормальної і нормалізованої функцій;

- геометричного моделювання узагальнених паралельних множин засобами теорії функцій комплексної змінної;

- геометричного моделювання узагальнених паралельних множин за допомогою методу іміджевої екстраполяції.

3. Здійснити програмну реалізацію розроблених методів.

4. Передати основні наукові результати, алгоритми і програми зацікавленим організаціям для практичного використання.

Об'єктом дослідження є процеси формоутворення еквіфазних границь розвитку у просторі явищ і процесів хвильової природи.

Предметом дослідження є теоретичні аспекти і методи геометричного моделювання паралельних і квазіпаралельних множин.

Методи дослідження. Розв'язання поставлених у роботі задач виконувалось на базі положень прикладної геометрії, елементів топології, чисельних методів, диференціальних рівнянь у частинних похідних, методів диференціальної та аналітичної геометрії, теорії функцій комплексної змінної, математичного апарату R-функцій, що дає змогу описувати елементи паралельних і квазіпаралельних множин у неявному вигляді, а також елементів комп'ютерної графіки у середовищі математичного процесора Мaple.

Теоретичною та інформаційною базою проведення досліджень стали роботи учених:

– в галузі теорії геометричного моделювання формоутворення ліній і поверхонь: Ю.І. Бадаєва, В.В. Ваніна, Ю.О. Дорошенка, Г.С. Іванова, С.М. Ковальова, Л.М. Куценка, В.Є. Михайленка, В.М. Найдиша, В.С. Обухової, А.В. Павлова, С.Ф. Пилипаки, О.Л. Пiдгорного, К.О. Сазонова, І.А. Скідана та ін.;

– в галузі диференціального та інтегрального числення: В.І. Арнольда, Е. Камке, Р. Куранта, Г. Монжа, С. Сантало, Г.М. Фіхтенгольца та ін.

– в галузі комп'ютерного моделювання геометричних моделей складних об'єктів: Ю.І. Бадаєва, Ю.О. Дорошенка, В.І. Іванова, В.М. Корчинського, Л.М. Куценка, К.О. Сазонова та ін.;

– в галузі математичного моделювання явищ і процесів: В.І. Арнольда, В.Н. Бікташева, А.М. Грішина, Б. Дельмона, Г.А. Доррера, Ю.Е. Єлькіна, Н.Е. Кочіна, Ю.А. Кравцова, М.А. Лаврєнтьєва, Р.Н. Нігматулліна, П.Я. Полубарінової-Кочіної, В.Л. Рвачова, А.А. Самарського, А.Н. Тіхонова, П.Ф. Фільчакова та ін.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Вперше запропоновано означення і класифікацію узагальнених паралельних множин, що є графічним представленням процесів і явищ різної фізичної природи.

2. Вперше запропоновано загальний підхід до геометричного моделювання процесів і явищ різної фізичної природи на основі поняття узагальнених паралельних множин.

3. Дістав подальшого розвитку метод опису геометричних моделей паралельних множин на площині за допомогою рівнянь Гамільтона - Якобі у вигляді рівняння ейконала для кривих, що мають точки звороту або самі себе перетинають.

4. Дістав подальшого розвитку метод опису геометричних моделей паралельних множин у просторі за допомогою нормальних рівнянь для поверхонь, які задано у параметричному вигляді.

5. Вперше розроблено геометричні моделі сімей квазіпаралельних ліній, формоутворення яких здійснено за допомогою конформних відображень на основі запропонованого нового геометричного змісту функції комплексного потенціалу вихору.

6. Дістав подальшого розвитку метод іміджевої екстраполяції для прогнозування геометричної форми ліній на площині як елементів узагальнених паралельних множин.

Обґрунтованість і достовірність результатів. Вірогідність і обґрунтованість результатів роботи, сформульованих висновків, наукових положень та рекомендацій, підтверджено доведенням тверджень, аналітичними перетвореннями за допомогою процесора Мaple та побудованими за допомогою комп'ютера зображеннями результатів реалізації геометричних моделей в тестових прикладах. Результати роботи доповідались та обговорювались на науково-практичних конференціях і наукових семінарах, опубліковані в тематичних збірниках і фахових виданнях. Достовірність одержаних в роботі результатів підтверджується також актами і довідками про впровадження.

Практичне значення одержаних результатів. Створений новий підхід до геометричного моделювання еквіфазних границь розвитку у просторі явищ і процесів дозволяє розв'язувати з єдиних позицій прикладної геометрії широке коло задач у різних галузях науки і виробництва, зокрема в електрохімії, гідродинаміці, світлотехніці, пожежній безпеці та ін. Розроблені в межах цього підходу методи геометричного моделювання паралельних і квазіпаралельних множин забезпечують наочність і легку формалізацію розв'язання окресленого в роботі класу задач. Застосування цих методів у практиці збільшує точність, адекватність, якість моделювання процесів і явищ, зменшує витрати часу на розрахунки, забезпечує наочність геометричних моделей на окремих етапах їх побудови. Універсальність розроблених алгоритмів і програм підтверджено їх впровадженням у різних галузях.

Реалізацію роботи здійснено: у ДЦІК "ВОДГЕО" (м. Харків) щодо одержання якісної оцінки областей можливого підмивання та підтоплення ґрунтів; у ВАТ "ТРЗ" (м. Полтава) щодо моделювання процесу нанесення хромового покриття на поверхні пресформ різної складності; у ДП "НДТІП" (м. Харків) в дослідженнях геометричних умов процесу анодного згладжування профілів електротехнічних елементів в електрохімічному середовищі; у ТОВ "Завод ГРЛ" (м. Полтава) щодо моделювання теплового поля у конструктивних елементах розрядних ламп високого тиску; у ТОВ "Український науково-дослідний інститут джерел світла" (м. Полтава) щодо створення геометричних моделей процесу поширення енергії випромінювання в об'ємі лампи; у ГУ МНС України в Харківській області для побудови прогнозних моделей процесів з неперервним фронтом (лісових пожеж); в УкрНДІГАЗ (м. Харків) щодо моделювання картин розподілу фізичних параметрів в пластах; в НТУ "ХПІ" (м. Харків) у навчальному процесі кафедри нарисної геометрії та графіки в навчальних курсах підготовки бакалаврів і магістрів за напрямком 0804 "Комп'ютерні науки", спеціальності "Інформаційні технології проектування", а також в процесі підготовки наукових кадрів через наукову роботу зі студентами НТУ "ХПІ".

На всі зазначені впровадження отримано відповідні акти і довідки про впровадження.

Особистий внесок здобувача. Особистий внесок здобувача в роботах, опублікованих у співавторстві, полягає у розробці всіх теоретичних і прикладних питань, що складають наукову новизну досліджень. В роботі [2] особисто здобувачем розроблено геометричну модель іміджевої екстраполяції. В роботі [3] особисто здобувачем виконано теоретичні дослідження іміджевої екстраполяції і складено алгоритми її побудови. В [6] особисто здобувачем побудовано геометричну модель прогнозування фронтів поширення лісової пожежі. В [9] особисто здобувачем розроблено методику складання нормальних рівнянь для поверхонь, заданих параметричними рівняннями, розроблено алгоритми і програми візуалізації розв'язків. В [15] особисто здобувачем проведено аналіз застосування методу конформних відображень і його прийнятності для генерації сіток як моделей фізичних полів. В [16] особисто здобувачем виконано побудову і комп'ютерну реалізацію геометричної моделі поля фільтрації під греблею для різних граничних умов. В [17] особисто здобувачем розроблено математичне забезпечення геометричної моделі температурного поля і виконано її комп'ютерну реалізацію. В [18] особисто здобувачем складено геометричну модель, алгоритми і програми її візуалізації для різних граничних умов. В роботах [20, 34] особисто здобувачем здійснено узагальнення методу прогнозування геометричної форми квазіпаралельних ліній на базі методу іміджевої екстраполяції. В [22] особисто здобувачем адаптовано метод іміджевої екстраполяції до моделювання контурів з елементами дуг через складання нормального рівняння дуги кола. В роботі [26] особисто здобувачем розроблено геометричну модель, алгоритми і програми візуалізації розв'язків рівняння ейконала. В роботі [28] особисто здобувачем виконано теоретичне обґрунтування геометричної моделі пожежі на базі іміджевої екстраполяції. В [29] особисто здобувачем побудовано геометричні моделі силових ліній вихору за різних граничних умов, складено алгоритми і програми візуалізації цих моделей. В [31] особисто здобувачем розроблено і адаптовано для моделювання фронтів поширення лісових пожеж геометричну модель, реалізовану через алгоритми і програми, на базі іміджевої екстраполяції. В [37] особисто здобувачем зроблено алгоритмічну і програмну реалізацію геометричної моделі проміжних фаз протікання гетерогенного процесу за часом.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на: розширених наукових семінарах кафедри нарисної геометрії та графіки НТУ "ХПІ" під керівництвом к.т.н., проф. А.М. Краснокутського (м. Харків, 2002-2006 рр.); Харківській міській секції графіки під керівництвом д.т.н., проф. Л.М. Куценка (м. Харків, 2003-2006 рр.); міжвузівських докторантських семінарах з прикладної геометрії при кафедрі нарисної геометрії та інженерної графіки КНУБА під керівництвом д.т.н., проф. В.Є. Михайленка (м. Київ, 2002-2006 рр.); розширеному науковому семінарі кафедри прикладної геометрії та інформаційних технологій проектування ТДАТА під керівництвом д.т.н., проф. В.М. Найдиша (м. Мелітополь, 2005 р.); 10^th International Conference on Geometry and Graphics (Kyiv, Ukraine, July 28 - August 2, 2002); V і VI Міжнародних конференціях з математичного моделювання (м. Херсон, 2002, 2003 рр.); 7-й і 8-й Міжнародних науково-практичних конференціях "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м. Мелітополь, 2003, 2004 рр.); Міжнародній науково-практичній конференції "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м. Львів, 2003 р.); Першій, Другій і Третій Кримських науково-практичних конференціях "Геометричне та комп'ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн" (м. Сімферополь, 2004, 2005, 2006 рр.); Першій українсько-російській науково-практичній конференції "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м. Харків, 2005 р.); розширеному науковому семінарі кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки ДонНТУ під керівництвом д.т.н., проф. І.А. Скідана (м. Донецьк, 2005 р.); Міжнародній науково-практичній конференції "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м. Дніпропетровськ, 2006 р.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 37 наукових праць, з них 21 - без співавторів. Основний зміст і результати досліджень викладено у 24 друкованих працях в наукових фахових виданнях, які рекомендовано ВАК України; 6 статей опубліковано у збірниках наукових праць, 7 статей - у матеріалах конференцій.

2. Основний зміст роботи

У вступі розкрито сутність і стан наукової проблеми, її теоретичну та прикладну значущість, обґрунтовано необхідність проведення дослідження, сформульовано мету і задачі дослідження, показано наукову новизну і практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі наведено огляд основних положень теорії паралельних множин та обґрунтовано витоки досліджень автора з фундаментальних положень геометричної оптики, що поширюються на споріднені процеси механіки. З'ясовано особливості практичних задач, де відбувається формоутворення сімей паралельних і квазіпаралельних ліній та поверхонь. Показано, що для впровадження становить інтерес саме опис роздільної лінії (поверхні), адже її геометрична форма може змінюватися внаслідок зміни в часі фізико-хімічних властивостей складових речовин на межі їх розділу. Викладено загальний підхід до геометричного моделювання еквіфазних поверхонь (ліній) як узагальнених паралельних множин та зроблено критичний огляд методів опису і побудови паралельних і квазіпаралельних ліній та поверхонь.

Якщо процес поширюється в однорідному середовищі, то з позицій прикладної геометрії його фронти моделюють за допомогою паралельних множин. Якщо процес відбувається у неоднорідному середовищі, то в цьому випадку геометричні моделі фронтів необхідно подавати як геометричні моделі квазіпаралельних множин. Паралельні і квазіпаралельні множини складають узагальнені паралельні множини.

Графічним поданням паралельних множин є сім'я паралельних (еквідистантних) ліній на площині або сім'я паралельних (еквідистантних) поверхонь у тривимірному просторі. В свою чергу, графічним поданням квазіпаралельних множин є сім'я квазіпаралельних ліній на площині або сім'я квазіпаралельних поверхонь у просторі.

Фундаментальною властивістю узагальнених паралельних множин є властивість конформності. Це означає наступне. Між відповідними точками двох підмножин (ліній або поверхонь) однієї множини (сім'ї ліній або сім'ї поверхонь) зміна значення метричного параметра (відстані) або фізичного параметра (потенціалу, напору тощо) на однакову величину здійснюється за найкоротший час, і напрям вектора швидкості цієї зміни завжди є нормальним у цих точках до ліній та поверхонь. Для хвильового фронту, що рухається у просторі і змінює з часом свою форму, у кожній точці простору, до якої поширився фронт на певний момент часу, вектор швидкості буде перпендикулярний до поверхні фронту. Тоді з точки зору геометрії увесь процес у певному середовищі буде подано у вигляді конформної сітки ліній (двовимірний випадок) або у вигляді сім'ї поверхонь.

Традиційне означення паралельних (еквідистантних) ліній і поверхонь спирається на поняття нормалі до лінії або поверхні. Нехай задано деяку поверхню (лінію), тоді еквідистантною до неї буде поверхня (лінія), що складається з множини точок - кінців векторів нормалей однакової довжини до заданої поверхні (лінії). Таке означення є справедливим лише для гладких поверхонь і ліній.

На основі властивості конформності було введено конструктивні означення паралельних і квазіпаралельних множин, що складають основу конструктивної теорії узагальнених паралельних множин.

Означення 1. Геометричний об'єкт називають квазіпаралельним геометричному об'єкту на відстані t = t(x, y, z), якщо складається з об'єднання усіх куль радіуса t = t(x, y, z), центрами яких є точки . При цьому поверхні і квазіпаралельних об'єктів і називають квазіпаралельними поверхнями, які розташовані між собою на відстані t = t(x, y, z).

Означення 2. Фігуру називають квазіпаралельною фігурі на відстані t = t(x, y), якщо складається з об'єднання усіх кругів радіуса t = t(x, y), центрами яких є точки . Причому контури і квазіпаралельних фігур і називають квазіпаралельними лініями, які розташовані між собою на відстані t = t(x, y).

У випадку, коли t = const, маємо паралельні поверхні та лінії.

Саме властивість конформності узагальнює і одночасно відокремлює клас задач, які можна розв'язувати методами геометричного моделювання узагальнених паралельних множин. Конструктивне подання геометричних моделей при цьому надає змогу алгоритмічно і програмно реалізувати ці методи.

Проведено аналіз паралельних і квазіпаралельних множин з позицій топології. За основу покладено певний клас топологічних відображень - гомеоморфізм. Застосування різних методів опису і побудови паралельних і квазіпаралельних множин дають різні результати у вигляді множин геометричних об'єктів, що мають або не мають властивостей гомеоморфних відображень.

Паралельні і квазіпаралельні лінії і поверхні, що належать до однієї сім'ї ліній або поверхонь, як геометричні моделі перебігу реальних явищ і процесів не можуть перетинатись або перетинати самі себе, а можуть лише на певних ділянках збігатися, тобто в деяких точках мати спільні дотичні.

У першому розділі також розглянуто перехід від фундаментальних положень геометричної оптики до понять механіки Гамільтона. Відповідно до екстремального принципу Ферма, збурення фізичного поля у деякому середовищі поширюється з точки q₀ у точку q за найкоротший час. Нехай t > 0. Розглянемо множину всіх точок q, до яких збурення з даної точки q₀ може дійти за час, менший або рівний t. Границю цієї множини Фq₀(t) називають хвильовим фронтом точки q₀ через час t. Вона складається з точок, до яких збурення може дійти лише за час t і не може дійти швидше. Між хвильовими фронтами, що відповідають різним значенням t, існує співвідношення, відкрите Гюйгенсом.

Розглянемо хвильовий фронт Фq₀(t) точки q₀ через час t. Побудуємо для кожної точки q цього фронту хвильовий фронт Фq(s) через час s. Тоді, згідно з теоремою Гюйгенса, хвильовий фронт Фq₀(s + t) точки q₀ через час s + t буде обвідною побудованих фронтів Фq(s), q Фq₀(t).

Зрозуміло, що точку q₀ можна було б замінити кривою, поверхнею або взагалі замкненою множиною, тривимірний простір {q} - будь-яким гладким "багатовидом", а збурення вважати довільним і таким, що передається "локально".

Принцип Гюйгенса приводить до двох можливих концепцій опису та вивчення процесу поширення збурення: "променевої" і "паралельно-множинної". На аналітичному рівні геометрична інтерпретація руху фронту збурення виражається за допомогою диференціальних рівнянь.

Зроблено критичний огляд методів опису динаміки розвитку геометричних об'єктів, наголошено, що дослідження в роботі проведені тільки стосовно геометричного подання реально існуючих процесів. Першу групу складають методи побудови еквідистантних (паралельних) кривих для кривих другого порядку. Другу групу складають методи опису паралельних кривих, де використовуються деякі характерні тільки для них прийоми (метод еволюти-евольвенти, метод обвідної сім'ї кіл із центрами на даній кривій, метод тангенціального рівняння). Третю групу методів складають теоретико-множинні методи (метод суми Мінковського). Четверту групу - методи нормалей. П'яту групу - більш перспективні методи опису паралельних поверхонь за допомогою нормалізованого рівняння. Шосту групу складають методи опису квазіпаралельних кривих за допомогою функцій комплексної змінної. До сьомої групи відносяться методи опису і побудови сімей паралельних множин на основі точного або наближеного розв'язання диференціального рівняння у частинних похідних виду рівняння ейконала. Восьма група методів спирається на поняття нормальної функції.

Другий розділ присвячено методам опису паралельних множин. Наведено теоретичні результати подальшого розвитку методу моделювання двовимірних паралельних множин за допомогою рівнянь Гамільтона - Якобі виду рівняння ейконала для кривих, що мають точки звороту або самі себе перетинають. Запропоновано метод опису паралельних множин за допомогою нормальних рівнянь, якщо вихідною є поверхня, яку задано у параметричному вигляді.

Згідно з теоремою Гамільтона - Якобі, функція дії збурення S(t).

Це нелінійне диференціальне рівняння першого порядку в частинних похідних - рівняння Гамільтона - Якобі, характерною ознакою якого є те, що в його аналітичному виразі відсутній вираз шуканої функції S. Рівняння (1) можна розглядати як аналітичне формулювання принципу Гюйгенса.

Для опису еквіфазних поверхонь хвильових процесів на практиці.

Сім'ю паралельних кривих на площині z = 0, в системі координат Оху, можна побудувати як множину суміщених проекцій перерізів поверхні однакового нахилу (з кутом нахилу 45⁰), що задовольняє рівнянню ейконала

. (1)

Класичний метод розв'язання диференціального рівняння (1) полягає в наступному. Розглядаються характеристики, що проходять через деяку точку (, , ), і прямий круговий конус Монжа з віссю, паралельною осі z. Цей конус є інтегральною поверхнею диференціального рівняння (1).

Нехай інтегральна поверхня z = z(x, y) для фіксованого x = при - < < + містить криву x = , y = , z = (). Тоді маємо описи z(, ) = ().

Позначимо p = z/x і q = z/y. Беручи до уваги характеристичні рівняння x(t) = 2p, y(t) = 2q, z(t) = 2p² + 2q², p(t) = 0, q(t) = 0, матимемо представлення шуканого інтеграла в параметричному вигляді

Для неявного опису необхідно з рівнянь визначити параметри t і .

На практиці використовувати формули незручно, тому що шукана інтегральна поверхня, як правило, неоднозначна в напрямі осі Oz. Тому доцільно використовувати чисельні методи для інтегрування рівняння (1), які дозволяють будувати наочне зображення інтегральної поверхні. У середовищі математичного процесора Maple в бібліотеці PDEtools існує програма PDEplot, що дозволяє здійснити візуалізацію інтегральних поверхонь диференціальних рівнянь у частинних похідних. Для конкретизації розв'язання в цій програмі необхідно вказувати початкову умову Коші у диференціальній формі. Однак, алгоритм пошуку умови в диференціальній формі є таким, який погано формалізується. Тому саме диференціальне рівняння слід подати у вигляді

PDE := diff(z(x,y),x)^2 + diff(z(x,y),y)^2 = 1. (2)

Метод розв'язання диференціального рівняння виду рівняння ейконала дістав свого розвитку для кривих, що мають точки звороту або самі себе перетинають.

Твердження 1. Графік функції F(x, y) матиме вигляд лінійчатої поверхні однакового нахилу тоді, коли функція задовольнятиме умові

. (3)

Рівняння z = F(x, y) поверхні однакового нахилу буде задовольняти диференціальному рівнянню ейконала. Зазначимо, що на цей факт звернув увагу ще Г. Монж. В роботі також розглянуто наближений розв'язок рівняння ейконала, що здійснено двома шляхами: на основі варіаційного принципу Ферма і на основі поняття конусів Монжа.

Паралельні лінії і поверхні можна також одержати за допомогою методу, в якому використовуються нормальні функції.

Нехай в прямокутній системі координат Oxyz маємо вихідну поверхню x = (u, v); y = (u, v); z = (u, v), де u, v - параметри. Оберемо у просторі довільну точку Т(x, y, z)

Значення функції в точці Т дорівнює відстані між Т і точкою М на поверхні, яка відповідає конкретному значенню параметрів u і v. Визначимо значення параметрів u і v, які б "забезпечили" мінімальну відстань inf((T,M)). Тобто необхідно визначити значення параметрів, при яких функція (10) досягає екстремуму. Для цього спочатку обчислюємо частинні похідні і розв'язуємо відносно u і v систему рівнянь.

Далі знайдені (дійсні) значення u₀ і v₀ підставляємо у вираз. Тоді одержана функція

 (4)

матиме властивості нормальної функції. Тобто рівнянням

(5)

буде описано сім'ю поверхонь з елементами, паралельними (еквіфазними) відносно початкової поверхні x = (u, v); y = (u, v); z = (u, v). У чотиривимірному просторі Oxyz рівнянням буде описано лінійчату гіперповерхню "однакового нахилу". Тобто буде описано абстрактну поверхню, у якої всі твірні "утворять кути 45" з простором Oxyz. Звідси зрозуміло, що рівнянням буде описано сім'ю поверхонь з елементами, паралельними відносно вихідної поверхні.

Складено Maple-програму опису нормальної функції, яку покладено в основу визначення та візуалізації початкових поверхонь і паралельних до них поверхонь, описаних параметричними рівняннями. Для аналітичного опису нормальних рівнянь поверхонь для випадків, коли початкові поверхні задано параметричними рівняннями, доцільно використовувати вирази, складені за допомогою Maple-кодів.

Реалізацію розробленого методу опису тривимірних паралельних множин (поверхонь) за допомогою нормальних рівнянь для вихідних поверхонь, заданих у параметричному вигляді, виконано для еліпсоїда, конуса, параболоїда обертання і гіперболічного параболоїда. Для кожної з вихідних поверхонь побудовано відповідно по дві паралельні поверхні. Їх одержано сумісно. Ці поверхні можна розглядати як результат проекціювання на простір Oxyz перерізів графіків нормальних функцій гіперплощинами рівня = const.

Доцільність використання Maple-кодів у розв'язку системи рівнянь можна пояснити наступним чином. Паралельні поверхні, як правило, є багатолистними графічними образами, тому для їх опису доцільно застосовувати багатозначні функції в сенсі Коші (на відміну від однозначних функцій - за Діріхле - Лобачевським). Багатозначні ж функції в компактному вигляді можна описати, переважно, за допомогою комплексних функцій. А застосування Maple-кодів забезпечує наявність у розв'язку комплексних функцій. При необхідності для опису розв'язку за допомогою радикалів до програми слід внести оператор _EnvExplicit := true:. Але досвід роботи з виразами, які містять радикали, показує, що при цьому необхідно перед радикалами коректувати знаки, правильність вибору яких можна контролювати, слідкуючи за адекватністю побудованого зображення.

У третьому розділі дисертаційної роботи розглянуто геометричну інтерпретацію конформних відображень, як узагальнених паралельних множин. Це дозволило одержати нові розв'язки задач моделювання картин силових ліній полів різної природи (фільтраційних, електричних, електростатичних) з позицій прикладної геометрії. Вперше розроблено геометричні моделі формоутворення сімей квазіпаралельних ліній за допомогою конформних відображень на основі запропонованого нового геометричного змісту функції комплексного потенціалу вихору.

1. В роботі розглянуто конформні відображення на внутрішні та зовнішні області багатокутників за допомогою інтеграла Крістоффеля - Шварца. Для побудови зображень було складено Maple-програми. Одержані результати подано наочно у вигляді конформних сіток. Саме сім'ї кривих у цих сітках і є сім'ями квазіпаралельних кривих.

2. Згідно з традиційними позначеннями в теорії функцій комплексної змінної запишемо комплексний потенціал джерела збудження поля.

За допомогою комплексного потенціалу джерела (або стоку) можна побудувати комплексні потенціали з різними особливими точками, що використовуються у фізичних задачах. А саме: помінявши місцями і , що відповідає добутку рівностей (4) на комплексну одиницю i, одержуємо комплексний потенціал течії поля, яка називається вихором:

. (6)

Координати вектора V цієї течії поля такі: V_r = 0, V = Г / (2 r). Еквіпотенціальні лінії (радіальні промені) та лінії струменя (концентричні кола) можна визначити як лінії рівня графіків функцій і .

Величину Г називають напругою вихору. Із порівняння формул (4) і (6) очевидно, що вихор можна розглядати як джерело з уявною витратою.

Використовуючи принцип накладення процесів, знайдемо комплексний потенціал W(z) як суму формул (4) і (6):

. (7)

; ; (8)

; . (9)

У цьому випадку V_r/V = Q/Г, отже, лінії струменів цієї течії спрямовані під однаковими кутами до променів r, що виходять з особливої точки, яку називають вихороджерелом.

Порівнюючи відповідні нижні зображення, легко переконатися у тому, що еквіпотенціальні лінії та лінії струменів вихору також можна вважати лініями рівня функцій і з виразів (9).

Еквіпотенціальні лінії та лінії струменів фізичного поля з логарифмічними особливими точками комплексних потенціалів можна вважати лініями рівня функцій і з виразів, що входять до описів їх дійсних і уявних частин. Розглянуті властивості доцільно використати для побудови геометричних моделей основних типів процесів і розв'язання деяких граничних задач.

3. Новий геометричний зміст функції комплексного потенціалу вихору було застосовано для графічного пояснення формоутворення силових ліній вихору під час розв'язання задачі фільтрації.

Спочатку наведемо геометричне пояснення формоутворення силових ліній вихору з центром у точці z₀ шляхом побудови просторових графіків дійсної та уявної частини потенціалу вихору (7). Формоутворення силових ліній вихору (на рисунках - праворуч) логічно поєднати з ортогональним проекціюванням на площину z перерізів просторових графіків (на рисунках - ліворуч) сім'єю площин рівня. Тоді конформну сітку можна одержати як сукупність двох типів силових ліній вихору (за напрямом руху стрілки годинника та в протилежному напрямі).

Як приклад практичного застосування графічної інтерпретації формоутворення силових ліній вихору, розглянемо задачу побудови зображення характерних ліній течії під "півеліптичною" греблею, де довжини півосей еліпса мають значення a і b.

Задачу про фільтрацію під греблею з флютбетом у вигляді еліпса розв'язано за допомогою комплексного потенціалу

, (10)

де P - константа, яка характеризує різницю рівнів води на верхньому і нижньому б'єфах греблі. При цьому застосовано конформне перетворення площини z у площину w, при якому базове півколо радіуса r = r₀ переходить у заданий еліпс, а границі б'єфів розташовані уздовж осі Ох.

Тоді течія під греблею з півеліптичним флютбетом у площині z (після зміни позначень w на z) описується комплексним потенціалом

. (11)

На основі формули (11) для середовища математичного процесора Maple було складено програму побудови просторових графіків функцій Re W(z) і Im W(z). В результаті при r₀=1 і Р=2 було одержано геометричні моделі ізобар і ліній струменів: під "еліптичним" флютбетом, коли a =4 і b=2; під плоским флютбетом, коли a=4 і b=0; під шпунтовим флютбетом, коли a=0 і b=2.

Одержані результати дозволяють побудувати зображення сітки характерних ліній, яку пов'язують з процесом фільтрації рідини під греблею. Графічні ілюстрації допомагають проводити якісний аналіз розв'язку задачі фільтрації в умовах варіювання початковими даними.

Четвертий розділ дисертаційної роботи присвячено удосконаленню і узагальненню методу іміджевої екстраполяції для прогнозування геометричної форми узагальнених паралельних множин на площині. Досліджено теоретичні основи і можливі напрямки застосування методу іміджевої екстраполяції. Вихідними даними є певна кількість плоских вузлових зображень ліній. Розглянуто задачу прогнозування геометричної форми наступної лінії. При цьому для конкретних умов одержано можливість характеризувати фізико-хімічні властивості процесу завдяки модифікованому методу іміджевої екстраполяції - зворотній іміджевій екстраполяції. Геометрична постановка задачі полягає у описові сім'ї замкнених ліній, як графічної інтерпретації розвитку у просторі за часом фронту поширення процесу.

Для комп'ютерної реалізації методу зворотної іміджевої екстраполяції необхідно виконати наступні етапи:

1. Одержання зображень N реальних фронтів (границь, ізоліній) протікання процесу з метою побудови растрового зображення реального контуру; сегментація зображення і складання рівняння контуру G: F(x, y) = 0.

2. Організація бази даних з описами N послідовних контурів {G_n}, де n = 1...N.

3. Здійснення опису F_N+1(x, y) = 0 екстрапольованого контуру за формулою іміджевої екстраполяції.

4. Одержання зображення (N+1)-го реального фронту (границі, ізолінії); побудова растрового зображення реального контуру G_N+1.

5. Сегментація растрового зображення і складання рівняння контуру G_N+1: Ф_N+1(x, y) = 0.

6. Визначення функції регулюючого параметра k(x, y) в результаті порівняння функцій F_N+1(x, y) і Ф_N+1(x, y).

7. Здійснення опису F_N+1(x, y) = 0 за допомогою функції k(x, y) і побудова за цим описом зображення для перевірки k.

8. Продовження екстраполяції процесу, за необхідністю час від часу виконуючи відновлення функції k(x, y).

Слід зауважити, що деякі з цих пунктів складають самостійні проблеми. Удосконалення моделі іміджевої екстраполяції значно розширило її можливості для прогнозування фронтів поширення явищ.

Розроблена модель призначена для надання короткострокових прогнозів на основі мінімальної кількості інформації за умови перебігу процесу, геометричною інтерпретацією якого може виступати сім'я ліній на площині.

П'ятий розділ дисертаційної роботи присвячено геометричному моделюванню автохвильових процесів. Це пов'язано з сучасними напрямками розвитку прикладної геометрії, до яких належить геометричне моделювання проявів самоорганізації в активних середовищах. Автохвилі визначаються нетривіальними геометричними формами (графічними образами), які і можуть бути предметом дослідження прикладної геометрії. Отже, запропоновано розглядати фронти автохвильових процесів з позицій узагальнених паралельних множин. Зроблено огляд основних математичних моделей та наведено приклади графічного подання автохвиль. Окремо розглянуто алгоритмічну реалізацію гри "Життя", що використовується для комп'ютерного моделювання процесу поширення збурення в активному середовищі. З'ясовано, що як узагальнені паралельні множини можна моделювати фронти поширення автохвильових процесів, якщо ці фронти зберігають свою топологію (наприклад, фронти "з розривом" спіральних автохвиль - ревербераторів).

У шостому розділі дисертаційної роботи розглянуто потреби практики, для забезпечення яких доцільно застосовувати методи геометричного моделювання узагальнених паралельних множин. Наведено відомості про впровадження одержаних теоретичних результатів. Наголошено, що дисертацію присвячено не технологічним, а геометричним питанням у практичних задачах.

Теоретичні результати, які одержано під час розробки методу опису і побудови сіток квазіпаралельних ліній на основі теорії функцій комплексної змінної, впроваджено у ДЦІК "ВОДГЕО" (м. Харків) з метою якісної оцінки областей можливого підмивання та підтоплення ґрунтів; за висновками спеціалістів, результати сприяють підвищенню точності і якості визначення областей ґрунту, де може загрожувати підтоплення. Також математичне забезпечення і програми реалізації розробленого в дисертації методу із застосуванням конформних відображень було передано до ВАТ "ТРЗ" (м. Полтава), де займаються модернізацією процесу нанесення хромового покриття на поверхні пресформ різної складності і визначають форму анода, в залежності від форми поверхні деталі. У зв'язку з цим виникають потреби одержувати наочні результати моделювання. Саме це і забезпечують результати дисертації. У ДП "НДТІП" (м. Харків) передано математичне забезпечення алгоритмів і програм реалізації запропонованого в дисертації методу на основі конформних відображень для проведення досліджень процесу анодного згладжування профілів електротехнічних елементів з метою підвищення точності моделювання. Передані результати забезпечують побудову наочних геометричних моделей електричних полів в електрохімічному середовищі.

Результати спеціальних досліджень стосовно розробки геометричних моделей розподілу температурних полів розрядних ламп високого тиску передано у ТОВ "Завод ГРЛ" (м. Полтава), де актуальним є забезпечення рівномірного температурного поля, що підвищує надійність роботи ламп при високих світлових параметрах. Також ці результати впроваджено у ТОВ "Український науково-дослідний інститут джерел світла" (м. Полтава) у вигляді геометричних моделей процесу поширення енергії випромінювання в об'ємі лампи для його якісної оцінки. Запропонований наочний геометричний апарат моделювання дозволяє зменшити витрати часу, що пов'язані з проведенням експерименту і відповідною обробкою експериментальних даних.

Удосконалений у роботі метод іміджевої екстраполяції у вигляді математичного забезпечення, алгоритмів і програм його реалізації впроваджено у ГУ МНС України у Харківській області для побудови адаптивних і прогнозних моделей процесів з неперервним фронтом - лісових пожеж. Це надає можливість уникнути проведення поглибленого аналізу фізико-хімічного стану середовища, тобто використовувати тільки візуальну інформацію, що зменшує витрати часу на розрахунки і не потребує застосування коштовного обладнання та потужної комп'ютерної техніки. Результати досліджень залучено для інтеграції у загальну інформаційну систему моделювання та прогнозування лісових пожеж, розробку якої координує ГУ МНС України у Харківській області. Також алгоритми і програми реалізації методу іміджевої екстраполяції було прийнято для апробації і практичного використання в УкрНДІГАЗ (м. Харків) в якості апарату трансформації фізичних величин, що розподілені в газових і нафтових пластах, у наочні геометричні образи.

Запропоновані методи опису і побудови сімей паралельних і квазіпаралельних ліній і поверхонь відносно заданої форми початкової лінії або поверхні впроваджено у навчальний процес кафедри нарисної геометрії та графіки НТУ "ХПІ" (м. Харків) під час розробки та викладання спеціальних курсів навчальних дисциплін з підготовки бакалаврів і магістрів за напрямком 0804 спеціальності "Інформаційні технології проектування". Також результати дисертаційних досліджень, що складають наукову новизну роботи, впроваджено у процес підготовки наукових кадрів через наукову роботу зі студентами НТУ "ХПІ" факультетів: транспортного машинобудування, машинобудівного, енергомашинобудівного, комп'ютерних та інформаційних технологій. Крім студентських наукових робіт, виконаних під керівництвом здобувача, запропоновані в дисертації методи геометричного моделювання поверхонь (кривих), що є графічними проявами фронтів поширення збурень у середовищах різної природи, є основою для розширення можливостей розв'язання прикладних задач, які ставляться перед студентами під час курсового та дипломного проектування.

...