Размещено на http://www.allbest.ru/

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Конспект лекционного материала

Преподаватели кафедры ОЕН

Саблина Е.В., Воронская О.Х.



Содержание

• Множества. Операции над множествами
• Функция. Свойства функции одной переменной
• Предел функции. Основные теоремы о пределах
• Первый и второй замечательные пределы
• Производная функции одной переменной. Уравнение касательной
• Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближённым вычислениям
• Правило Лопиталя
• Применение производной к исследованию функций. Общая схема исследования функций и построения их графиков
• Комплексные числа. Действия над комплексными числами
• Интегрирование подстановкой
• Интегрирование по частям
• Интегрирование рациональных дробей
• Интегрирование тригонометрических выражений
• Определённый интеграл
• Несобственные интегралы
• Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
• Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
• Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
• Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум
• Степенные ряды
• Ряды Тейлора и Маклорена
• Функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня. Частные производные функций многих переменных и дифференциал
• Двойной интеграл

Множества. Операции над множествами

Понятие множества в математике вводится на основе представления о совокупностях, образованных из конечного или бесконечного числа объектов, называемых элементами множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается: . Множества обозначаются большими прописными буквами латинского алфавита A, B, C…X, Y, Z, а их элементы малыми буквами a, b, c…x, y, z.

Порядком множества называется число его элементов; множество бесконечного порядка называется бесконечным (N-бесконечно). Бесконечное множество называется счетным, если его элементы можно пронумеровать. Множество чисел N,Z - счетные, множества чисел R,C-несчетные.

Множества задаются перечислением своих элементов, например, запись X = x R -2<3x-1<5 означает, что множество X состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих указанному двойному неравенству.

Множество А называется подмножеством множества В, если любой элемент множества А принадлежит множеству В и обозначается: АВ.

Для иллюстрации множеств удобно пользоваться диаграммами Венна (кругами Эйлера), в которых элементы множеств схематически изображаются точками некоторых кругов.

Примеры 1

Операции над множествами

Определение. Множество С всех элементов, принадлежащих одновременно множествам А и В, называется пересечением множеств А и В и обозначается С = АВ = xxA и xB.

Определение. Множество С всех элементов, принадлежащих множеству А или множеству В, называется объединением множества А и В и обозначается

С = АВ = xxA или xB.

Определение. Множество С элементы, которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В, называется разностью множеств А и В и обозначается С = А\В = xxA и xB.

Определение. М - некоторое множество, разность М\B называется дополнением к B и обозначается B.



Пример 2

Дано множество А = 1,2,3,4,5и В = 3,4,5,6,7. Найти АВ, АВ, А\В, В\А.

Решение

АВ = 3,4,5

АВ = 1;2;3;4;5;6;7

А\В = 1;2

В\А = 6;7

Функция. Свойства функции одной переменной

Определение функции. Пусть X и Y - это два непустые множества. Соответствие f, которое каждому элементу xX сопоставляет один и только один элемент yY, называется функцией и записывается

y = f(x),

где xX или f:XY. Переменная х называется аргументом, а y-функцией или зависимой переменной от х.

Пример 1

1. Функция:

2. Не является функцией, т.к. не каждому xX соответствует элемент yY:



3. Функция:

Определение области определения функции. Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f).

Пример 2

Найти область определения функции

y =

Решение

Ответ: X[-3;8)(8;).

Определение области значения функции. Множество всех yY называется множеством значений функции f и обозначается E(f).

Основные свойства функции

Четность, нечетность функции

Для того, чтобы определить четность функции сперва необходимо найти область определения функции, если оно - симметричное множество, то функция либо четная либо нечетная, если же не симметричное множество, то данная функция общего вида.

Определение. Функция y = f(x) называется четной, если выполняется условие: f(-x) = f(x), нечетной, если f(-x) = -f(x), общего вида, если f(-x)f(x) и f(-x)-f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат Оy, а нечетной функции - относительно начала координат.

Пример 3

1. y = tg(cosx)

D(f) = (-;+)-симметричное множество, следовательно проверим условия четности.

y(-x) = tg(cos(-x)) = tg(cos(x)) = y(x)данная функция четная.

2. Y = sinx

D(f) = (-;+)-симметричное множество, следовательно проверим условия четности.

y(-x) = sin(-x) = -sinx = -y(x)данная функция нечетная.

3. y =

D(f) = [0;+)- несимметричное множество, следовательно данная функция общего вида.

Периодичность функции

Определение. Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число Т>0, что при каждом значении х функция f(x+T) = f(x). При этом число Т называется периодом функции.

Если Т - период функции, то ее периодом будут так же числа 4,…Основной период (наименьший положительный) - это период Т = 2. Вообще за основной период берут наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее равенству f(x+T) = f(x).



Пример 4

Найти наименьший положительный период функции y =

Решение.

Наименьшее положительное число Т должно удовлетворять равенству

f(x+T) = f(x)

Подставим сумму (х+Т) вместо х в данной функции, получим:

=

решаем полученное уравнение:

cos(x+T) = cosx

cos(x+T)-cosx = 0

применяя формулу разности косинусов, получим:

-2sin(sin(x+ = 0

= n T = 2n, n = 1,2,3,…

-наименьший положительный период функции y =

Ограниченность функции

Определение. Функция y = f(x) называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M (m), что f(x)М (f(x)m).

Функция одновременно ограниченная снизу и сверху называется просто ограниченной.

Пример 5

y = - парабола, график функции

ограничен снизу (прямой y = 0) (Рис. 1).

Монотонность функции

Определение. Функция y = f(x) называется возрастающей на промежутке (a;b), если для любых ,(a;b) такие, что > выполняется неравенство: f()>f() и убывающей, если >, то f()<().

Одновременно возрастающая и убывающая функция называется строго монотонной.

Пример 10.6

Функция y = является строго монотонной, так как убывает на луче (-;0] и возрастает на луче [0;+). (рис.10.1).

Предел функции. Основные теоремы о пределах

Определение. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x₀ (иногда говорят, при x, стремящемся к x₀), если для любого положительного числа можно найти такое положительное число , что для всех x из -окрестности точки x₀ соответствующие значения y попадают в -окрестность точки y = A.

Можно сформулировать определение предела функции по-другому.

Определение. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x₀, если для любого положительного числа можно найти такое положительное число , что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < x - x₀ < , выполняется условие y - A < .

Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x₀, записывается формулой

Рис. 1. Предел при x.

Свойства предела функции

1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.

2. , если C - постоянная функция.

3. Если существует и C - постоянная функция, то

4. Если существуют и , то существует , равный , а также существует , равный . Если при этом , то существует, равный .

Примеры 1

1. 3-2+7 = 8.

2. =

(применить четвертое свойство (для частного) нельзя, т.к. предел знаменателя при x2 равен нулю; в таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида ; для ее раскрытия раскладываем числитель и знаменатель дроби на множители)

3. Аналогичный приём вычисления пределов можно использовать для раскрытия неопределенностей в случае иррациональных функций.

4. (домножим и разделим дробь на выражение сопряженное числителю) = (в числители разность квадратов)

= = = - =

В случае иррациональности в числителе и знаменателе необходимо домножить и разделить дробь на выражение сопряженное числителю и знаменателю.

Введем определения так называемых “односторонних пределов”.

Определение. Число B называется пределом функции f(x) в точке справа (это записывается в виде формулы ), если для любого положительного числа найдется положительное число , такое что из из условия 0 < x - < будет следовать B -f(x) < (рис. 2).

Рис. 2. Предел справа

Пример 2

Согласно приведенному определению . Отметим, что обыкновенного предела функция в точке x = 0 не имеет.

Определение. Число С называется пределом функции f(x) в точке слева (это записывается в виде формулы ), если для любого положительного числа найдется положительное число такое, что из условия 0 < - x < будет следовать C - f(x) < (рис. 3).

Рис. 2. Предел слева

Пример 3

Очевидно, что функция (её график, изображен на рисунке 3) имеет два односторонних предела в точке x = 0:

;

Определение. Левосторонний и правосторонний пределы функции называются односторонними пределами этой функции при x. Чтобы подчеркнуть отличие от односторонних пределов, предел называют двусторонним пределом (рис. 4).

Рис. 4. Пределы справа и слева совпадают с двусторонним пределом

Достаточно просто можно доказать теорему, связывающую понятия предела функции в точке и односторонних пределов. Мы ограничимся только формулировкой теоремы.

Для того, чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:

;

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности:

,

если для любого положительного числа можно найти такое положительное число M (зависящее от ), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие:

f(x) - A <

При решении пределов при х, стремящемся к бесконечности, следует применять следующее правило:

=

Пример 4

1. =

2.

(неопределенность вида ; разделим числитель и знаменатель на )

функции являются бесконечно малыми и равны нулю

3. =

(так как показатель степени числителя больше показателя степени знаменателя)

4. = 0

(так как показатель степени числителя меньше показателя степени знаменателя).

Первый и второй замечательные пределы

Определение. Первым замечательным пределом называется предел

Теорема. Первый замечательный предел равен 1

= 1

Пример 1

Вычислить предел функции

1.

2. = =

Определение. Вторым замечательным пределом называется предел:

1.

2.

Число е, заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натурального логарифма.

Пример 2

Вычислить предел функции

1.

2. .

Производная функции одной переменной. Уравнение касательной

Определение. Производной функции y = f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента = x- при стремлении его к нулю:

или

Производная - это скорость изменения функции в точке x.

Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием.

Производная сложной функции

В любом курсе математического анализа доказывается теорема о производной сложной функции. Мы ограничимся лишь ее формулировкой.

Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F (x) = f (z) g (x).

Таблица производных сложных функций

Производная	Пример
(С) = 0	(5) = 0
(x) = 1	(8x) = 8
Степенная функция (xn) = nx(n-1) х	(x4) = 4x3
Показательная функция (ax) = axlnax	(4x) = 4xln4
(logax) = x	(log3x) =
(lnx) = x	(lnx2) = 2x
(ex) = exx	(e3x) = 3e3x
(sinx) = cosxx	(sin5x) = 5cos5x
(cosx) = -sinxx	(cos8x) = -8sin8x
(tgx) = x	(tg5x) = 5
(ctgx) = -x	(ctgx2) = -2x
(arcsinx) = x	(arcsinx3) = 3x2
(arccosx) = - x	(arccos) = -
() = x	() = 3x2
если U = U(x), V = V(x), то y = UV степенно-показательная функция (UV ) = UVlnUV+VU(V-1)U	y = (sin2x)( +1) ln(sin2x)2x+(x2+1)(sin2x) cos2x2

Основные правила дифференцирования

Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные в точке x. Тогда функции

S(x) = f(x) g(x),

P(x) = f(x)g(x),

а в случае g(x) 0 также

D(x) =

имеют производные в точке x, которые выражаются следующими формулами:

S (x) = (f(x) g(x)) = f (x) g (x)

P (x) = (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x)

D(x) =

Примеры 1

1. y = xsinx; y = sinx+xcosx

2. y = ; y = =

Уравнение касательной:

Пример 2

Составить уравнение касательной к графику функции в точке его пересечения с осью ординат.

Решение

- уравнение касательной

Ответ:

Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближённым вычислениям

Дифференциал функции

Определение. Главная часть приращения функции y = f(x), равная произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной f (x)dx, называется дифференциалом и обозначается dy:

dy = f (x)dx.

Отсюда, то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Поскольку производная - это угловой коэффициент k касательной к графику функции при , то дифференциал

- это приращение ординаты y точки касательной

к графику функции y = f(x), когда абсцисса точки касательной получает приращение:

(рис. 1).

Очевидны следующие свойства дифференциала

1. dC = 0

(здесь и в следующей формуле C - постоянная);

2. d(Cf(x)) = Cdf(x);

3. Если существуют df(x) и dg(x), то

d(f(x) g(x)) = df(x) dg(x),

4. Если существуют df(x) и dg(x), то

d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x)

5. Если существуют df(x) и dg(x), то

, g(x) 0

Рис. 1. Дифференциал равен приращению ординаты касательной

Таблица дифференциалов

Дифференциал	Пример
dС = 0	d5 = 0
Степенная функция d(xn) = nx(n-1) xdx	d(x4) = 4x3dx
Показательная функция d(ax) = axlnaxdx	d(4x) = 4xln4dx
d(logax) = xdx	d(log3x) = dx
d(lnx) = xdx	d(lnx2) = 2xdx
d(ex) = exxdx	d(e3x) = 3e3xdx
d(sinx) = cosxxdx	d(sin5x) = 5cos5xdx
d(cosx) = -sinxxdx	d(cos8x) = -8sin8xdx
d(tgx) = xdx	d(tg5x) = 5dx
d(ctgx) = -xdx	d(ctgx2) = -2xdx
d(arcsinx) = xdx	d(arcsinx3) = 3x2dx
d(arccosx) = - xdx	d(arccos) = -dx
d
d
d() = xdx	d() = 3x2dx

Пример 1

Найти дифференциал функции

Решение.

Пример 2

Найти и вычислить дифференциал функции

при х = 0, dx = 0,1

Решение

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Равенство = позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Пример 3

Найти приближенное значение приращения функции

при х = 2 и .

Решение.

= 100,001 = 0,01

Формула используется для вычислений приближенных значений функций.

Пример 4

Вычислить приближенно:

arctg1,05 = arctg(1+0,05)arctgx+(arctgx)xarctgx+arctg1+

=

Используются также формулы:

Пример 5

Вычислить приближенно:

1.

2.

Правило Лопиталя

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует в указанном смысле.

Итак, если имеется неопределенность вида или , то

Правило Лопиталя служит весьма мощным средством нахождения сложных пределов. При этом иной раз приходится применять это правило много раз подряд, пока не получим предел, значение которого либо очевидно, либо может быть вычислено каким-либо способом, изученным нами ранее.



Пример 1

1.

2. .

Применение производной к исследованию функций. Общая схема исследования функций и построения их графиков

Возрастание и убывание функций, экстремумы функций

Определение. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если для любых верно неравенство .

Теорема 1. Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то она возрастает (убывает) на этом промежутке.

Точки области определения функции, в которых производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими.

Определение. Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие: f(x) > f(x₀) (рис (а)).

Определение. Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие: f(x) < f(x₀) (рис. б)).

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.



Пример 1

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции y = .

Решение.

D(y) = R

Имеем

; x = 2 -критическая точка

x	(,2)	2	(2, )
		min	+
y		-1

Ответ: функция убывает на интервале (, 2) и возрастает на интервале (2, ), точка x = 2 - минимум функции y = .

Выпуклость функции. Точки перегиба

Определение. Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке промежутка (a;b). Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется выпуклой вниз на этом промежутке (рис. 16 (в)).

Определение. Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен ниже любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется выпуклой вверх на этом промежутке (рис. г).

Определение. Точка x₀ называется точкой перегиба графика непрерывной функции f(x), если она разделяет интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх (рис. д). Угловая точка не является точкой перегиба (рис. е).

Теорема 2. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то она выпукла вниз (выпукла вверх) на этом промежутке.

Пример 2

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции

y =

Решение

D(y) = R

Имеем

6x-4 = 0x =

x	(,)		(, )
	+	т. перегиба
y		1,6

Ответ: функция выпукла вниз на интервале (,) и выпукла вверх на интервале (, ), точка x = - точка перегиба функции y = .

Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремиться к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальными (рис. 1 а)), горизонтальными (рис. 1 б)), наклонными (рис. 1 в)).

Нахождение асимптот графика основано на следующих утверждениях.

Теорема 3. Пусть функция определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

Если , то функция может иметь наклонную асимптоту.

Теорема 4. Пусть функция определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы функции и . Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции .

Теорема 5. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (исключая саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х-0 (слева) или при х+0 (справа) равен бесконечности, т.е. или. Тогда прямая х = является вертикальной асимптотой графика функции .

Пример 3

Найти асимптоты графика функции

Решение

Из области определения выпадают точки x = -1 и х = 1, т.к.

,

,

,

,

Следовательно, по теореме 5 прямые x = -1 и х = 1 являются вертикальными асимптотами.

Исследуем данную функцию на наклонную и горизонтальную асимптоты (теоремы 4 и 3).

k = ,

y = 0-горизонтальная асимптота.

График функции изображен на рис. 2.

Ответ: x = -1 и х = 1 - вертикальные асимптоты, y = 0 - горизонтальная асимптота.

Пример 4

Найти асимптоты графика функции.

Решение.

По теореме 16.4:

k = ,

Следовательно при xграфик функции наклонной асимптоты не имеет.

При x:

k = ,

b =

график имеет горизонтальную асимптоту .

Максимальное и минимальное значения функции на отрезке

Пусть Функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а;b]. Как известно, такая функция достигает своих максимального и минимального значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [а; b] либо на границе отрезка, т.е. при = а или = b. Если (а; b), то точку следует искать среди критических точек данной функции (см. рис. 3).

Получаем следующее правило нахождения максимального и минимального значений функции на [а; b]:

Рис. 3

1. найти критические точки функции на интервале (а; b);

2. вычислить значения функции в найденных критических точках;

3. вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х = а и х = b;

4. среди всех вычисленных значений функции выбрать максимальное и минимальное.

Замечания:

1. Если функция у = f(x) на отрезке [а; b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает максимальное (минимальное) значение. На рисунке 16.3 f() = (min- минимальное, max - максимальное).

2. Если функция у = f(x) на отрезке [а; b] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое максимальное значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а минимальное (m) - на другом.

Пример 5

Найти максимальное и минимальное значения функции

f(x) = Зх⁴ + 4х³ + 1 на отрезке [-2; 1].

Решение:

Находим критические точки данной функции:

(x) = 12х³ + 12x² = 12х²(х + 1);

(x) = 0 , тогда 12х²(х + 1) = 0 при = 0 [-2;1] и при = -1 [-2;1].

f(0) = 1, f(-1) = 3- 4+1 = 0,

f(-2) = 48 - 32 + 1 = 17, f(1) = 8

Итак, = 17 в точке х = -2, = 0 в точке х = -1.

Общая схема исследования функций и построения их графиков

1. Найти область определения функции

2. Исследовать функцию на четность-нечетность

3. Найти вертикальные асимптоты

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба

На основании проведенного исследования построить график функции.

Приведенная схема исследования не является обязательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь несколько операций, например, 1,2,5. Если же график функции не совсем понятен и после выполнения всех операций, то можно дополнительно исследовать функцию на периодичность. Построить дополнительно несколько точек графика, выявить другие особенности функции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопровождать постепенным построением графика функции.

Пример 5

Исследовать функцию и построить её график.

Решение.

1. Функция не определена при х = 1 и х = -1. область определения состоит из трех интервалов (;-1), (-1;1), (1; ), а график из трех ветвей.

2. Функция является нечетной, т.к.

3. Прямые х = -1 и х = 1 -вертикальные асимптоты;

4. Выясним наличие наклонной асимптоты (теорема 16.4):

= (k = 0 при xи при x),

,

Подставляя в уравнение , получаем y = 0 (при xи при x) - горизонтальную асимптоту.

5. Находим интервалы возрастания и убывания функции:

Т.к. , то функция возрастает на каждом интервале области определения. Функция экстремумов не имеет, т.к. критические точки х = -1 и х = 1, в которых производная не существует, не принадлежат области определения функции.

6. Исследуем функцию на выпуклость. Находим :

x	(,-1)	-1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1; )
	+			т. перегиба	+
y				0

График функции изображен на рисунке 3.

множество предел производный дифференциальный интеграл



Комплексные числа. Действия над комплексными числами

Определение. Комплексными числами называются числа вида z = , где x, y-действительные числа, i-мнимая единица, определяемая равенством . Действительные числа x и y называются соответственно действительной x = Re z и мнимой y = Im z частями комплексного числа z.

Пример 1

Приведем примеры комплексных чисел:

z = , z = , z = , z = .

Действия над комплексными числами

Пусть и , тогда

1.

2.

3.

Пример 2

Даны комплексные числа

z₁ = , z₂ = .

Найти

, , .



Решение

Определение. Геометрически каждое комплексное число z = изображается точкой M(x;y) координатной плоскости xOy (рис. 1). В этом случае плоскость xOy называют комплексной числовой плоскостью, или плоскостью комплексного переменного z.

Определение. Полярные координаты r = = и = аrg z точки М называются модулем и аргументом комплексного числа z.

Определение. Значение угла , которое удовлетворяет неравенству , называют главным значением аргумента z и обозначают argz.

Аргумент z можно определить по формуле:

аrgz =

Пример 3

Изобразить комплексное число z = на комплексной числовой плоскости, найти его модуль и главное значение аргумента.

Решение.

Изобразим z = на комплексной числовой плоскости; х = 2 и y = 2 (рис. 2).

Найдем модуль = , так как х = 2 и y = 2, тогда

=

Найдем главное значение аргумента:

аrgz.

Ответ: = , аrgz = .

Формы записи комплексных чисел

Определение. Запись числа z в виде z = называется алгебраической формой комплексного числа.

Определение. Соотношения между модулем и аргументом комплексного числа z и его действительной и мнимой частями устанавливаются формулами:

;

Заменяя x и y в записи комплексного числа z = их выражениями через r и , получаем тригонометрическую форму комплексного числа:

,

где = - модуль,

= аrg z- главное значение аргумента.

Определение. Запись числа z в виде

,

где = , = аrg z называется показательной формой комплексного числа.

Пример 4

Записать комплексное число z = в тригонометрической и показательной форме.

Решение.

= -модуль комплексного числа

аrgz -главное значение аргумента.

- тригонометрическая форма комплексного числа

z =

z = - показательная форма комплексного числа z = .

Ответ: , z = .

Формула для возведения комплексного числа в натуральную степень n (формула Муавра):

.

Пример 5

Найти .

Решение.

Запишем данное комплексное число в тригонометрической форме:

-1+i = .

По формуле Муавра:

= =

= 1024 = 1024(-1+0i) = 1024.

Ответ: 1024.

Извлечение корня из комплексного числа:

,

где k = 0, 1, 2, …, n-1.

Пример 6

Найти .

Решение.

Запишем данное комплексное число в тригонометрической форме:

-1+i =

По формуле извлечения корня из комплексного числа:

,

k = 0, 1, 2, откуда получаем три значения корня:

при k = 0:

при k = 1:

при k = 2: .

Интегрирование подстановкой

Если заданный интеграл с помощью алгебраических преобразований трудно или невозможно свести к одному или нескольким табличным интегралам, то для его отыскания применяют особые способы, одним из которых является способ подстановки (замены переменной).

Способ подстановки заключается в следующем: новой переменной заменяют такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получается оставшаяся часть подынтегрального выражения (не считая постоянного множителя, который всегда можно вынести за интеграл).

Выбор удачной формулы (подстановки) для замены переменной имеет большое значение. Вместе с тем дать одно общее правило для выбора хорошей подстановки невозможно. Однако можно посоветовать в качестве потенциальной подстановки рассматривать наиболее сложную часть подынтегральной функции.

Пример 1: Найти интеграл.

Решение:

Полагаем ; дифференцируя обе части, получаем . Далее подставляем эти выражения в исходный интеграл и возвращаемся к заданной переменной x.

Пример 2: Найти интеграл

Решение:



Пример 3: Найти интеграл

Решение:

Пример 4: Найти интеграл

Решение:

Пример 5: Найти интеграл



Решение:

Интегрирование по частям

При интегрировании функций, содержащих произведения, логарифмы и обратные тригонометрические функции, удобно использовать способ интегрирования по частям.

При практическом использовании формулы интегрирования по частям данное подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух сомножителей, которые обозначают через u и . При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой легко вычисляется.

Обычно интегрированием по частям вычисляются интегралы следующих видов.

В случае интегралов вида

, ,

в качестве u следует принять , а за соответственно выражения



В случае интегралов вида

,

в качестве u следует принять соответственно функции

, а за выражение .

Пример 1: Вычислить интеграл

Решение:

Пример 2: Вычислить интеграл

Решение:

Для вычисления полученного в правой части равенства интеграла можно использовать замену переменной:

.

В результате получаем окончательный ответ:



Пример 3: Вычислить интеграл

Решение:

Для нахождения полученного в правой части равенства интеграла снова интегрируем по частям:

В результате получаем окончательный ответ:

Пример 4: Вычислить интеграл

Решение:



Интегрирование рациональных дробей

Определение: Рациональной дробью называют функцию, равную частному от деления двух многочленов:

,

где - многочлен степени m, а - многочлен степени n.

Определение. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя; в противном случае рациональная дробь называется неправильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

,

где - многочлен, - правильная рациональная дробь.

Пример 1. Представить дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Решение:

Исходная дробь является неправильной, поскольку степень многочлена числителя (равна 3) больше степени многочлена знаменателя (равна 1).

Делим числитель на знаменатель:

Частное

остаток

Следовательно,

Определение: Простейшими дробями называются правильные дроби вида

и ,

где А, а, p, q, M и N - действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней.

Интегрирование простейших дробей

1 случай. Дроби вида интегрируются посредством замены переменной:

Пример 2: Вычислить интеграл

Решение:

Пример 3: Вычислить интеграл

Решение:

2 случай. Дроби вида также интегрируются посредством замены переменной при предварительном выделении полного квадрата в знаменателе дроби:



Пример 4: Вычислить интеграл

Решение:

Пример 5: Вычислить интеграл

Решение:

Рассмотрим отдельно каждый из получившихся интегралов:

В результате получаем окончательный ответ

Разложение правильной рациональной дроби на простейшие:

Пусть имеется правильная дробь . При разложении дроби на сумму простейших необходимо выполнить следующие действия:

1. Разложить знаменатель на действительные множители. При этом знаменатель будет содержать либо линейные множители вида , либо квадратичные множители вида , причем трехчлен не имеет действительных корней.

2. Представить исходную дробь в виде суммы простейших дробей. При этом каждому линейному множителю знаменателя вида соответствует простейшая дробь вида , а каждому квадратичному множителю знаменателя вида соответствует простейшая дробь вида

3. Неопределенные буквенные коэффициенты находят так называемым методом частных значений. Суть метода состоит в следующем:

a. привести простейшие дроби к общему знаменателю;

b. приравнять числители равных дробей;

c. придавая переменной удобные значения, например корни знаменателя, получить уравнения для вычисления неопределенных коэффициентов.

4. Подставить найденные значения неопределенных буквенных коэффициентов в простейшие дроби.

Пример 6: Вычислить интеграл

Решение:

Подынтегральная дробь является правильной (степень многочлена числителя, равная 1, меньше степени многочлена знаменателя, равной 2).

Проведем разложение дроби на сумму простейших.

Раскладывая знаменатель на множители, получаем

.

Так как знаменатель состоит из двух линейных множителей вида , то каждому из них будет соответствовать простейшая дробь вида . Окончательно получаем:

.

Найдем неопределенные коэффициенты и .

Приводя дроби к общему знаменателю, получаем



Поскольку знаменатели исходной и конечной дробей равны, то равны и числители этих дробей, то есть

Придавая переменной удобные значения, в качестве которых будут выступать корни знаменателя и , составим систему для нахождения неопределенных коэффициентов.

Подставляя найденные значения и в простейшие дроби получаем

Возвращаясь к вычислению интеграла, имеем:

Пример 7: Вычислить интеграл

Решение:

Подынтегральная дробь является правильной (степень многочлена числителя, равная 1, меньше степени многочлена знаменателя, равной 3).

Проведем разложение дроби на сумму простейших.

Знаменатель дроби уже представлен в виде произведения, поэтому сразу переходим к анализу множителей.

Знаменатель состоит из двух множителей: и . Первый множитель является линейным множителем вида , а значит, ему будет соответствовать простейшая дробь вида . Второй множитель является квадратичным множителем вида , а значит, ему будет соответствовать простейшая дробь вида . Окончательно получаем:

Найдем неопределенные коэффициенты , и .

Приводя дроби к общему знаменателю, получаем

.

Поскольку знаменатели исходной и конечной дробей равны, то равны и числители этих дробей, то есть

Придавая переменной удобные значения, в качестве которых будут выступать корни знаменателя и два произвольных значения , составим систему для нахождения неопределенных коэффициентов.

Подставляя найденные значения , и в простейшие дроби получаем

Возвращаясь к вычислению интеграла, имеем:

Рассмотрим отдельно каждый интеграл:

Окончательно получаем:



Интегрирование тригонометрических выражений

Интегрирование произведений синусов и косинусов

Формулы тригонометрии позволяют перейти от интегрирования произведения тригонометрических функций к интегрированию суммы или разности тех же функций.

Пример 1: Вычислить интеграл

Решение:

Вычисление интегралов вида , где m или n - нечетное число

Если m - нечетное, то следует использовать подстановку .

Если n - нечетное, то следует использовать подстановку .

Пример 2: Вычислить интеграл

Решение:

Отделяем от одной из нечетных степеней (низшей) один множитель,

и заменяем , тогда или .

В итоге получаем

Вычисление интегралов вида , где m и n -четное числа

Использовать тригонометрические формулы понижения степени:

Пример 3: Вычислить интеграл

Решение:

Используя формулу понижения степени

, получаем

Вычисление интегралов вида

Под интегралом вида понимается интеграл, содержащий дробь, элементами которой являются тригонометрические функции, например,

В таких случаях используется универсальная тригонометрическая подстановка.

Данная подстановка интеграл от любой рациональной относительно и тригонометрической функции приводит к интегралу от рациональной функции.

Пример 4: Вычислить интеграл

Решение:

Полагая и заменяя , и указанными выражениями через t, получаем

Определённый интеграл

Пусть на промежутке [a;b] задана непрерывная и неотрицательная функция y = f(x). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, т. е. фигуры, ограниченной графиком этой функции, отрезком [a;b] оси Оx и прямыми x = a и x = b(см. рис. 1).

Если F(x)-некоторая первообразная для функции f(x) на интервале [a;b], то S = F(b)-F(a). Величина F(b)-F(a) называется определенным интегралом от a до b функции f(x) и записывается следующим образом:

= F(b)-F(a) =



- формула Ньютона-Лейбница, где число a -нижний предел, а число b верхний предел интегрирования.

Свойства определенного интеграла:

1. (здесь k _ произвольное число);

2. ;

3. ;

4. Если c[a;b] (см. рис. 2), то

.

Из этих свойств следует, например, что

Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из определения определенного интеграла.

Пример.

Вычислить определенный интеграл:

Решение.

=

Геометрический смысл определенного интеграла

Определённый интеграл от неотрицательной функции y = f(x) на отрезке [a;b] численно равен площади криволинейной трапеции:

Если f(x) < 0 во всех точках промежутка [a;b] и непрерывна на этом промежутке (например, как изображено на рисунке), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [a;b] горизонтальной оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком функции y = f(x), определяется формулой.



Несобственные интегралы

Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)

Пусть функция непрерывна на промежутке [a,+). Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают .

Таким образом, по определению

=

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке (-,b];

=

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:

,

где с - произвольное число. В этом случае интеграл сходиться лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Пример

Вычислить несобственный интеграл

=

Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)

Пусть функция непрерывна на промежутке [a,b) и имеет бесконечный разрыв при . Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают . Таким образом, по определению

= .

Если предел в правой части существует, то несобственный интегралсходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Приближенное вычисление несобственного интеграла

(1)

- формула трапеций. Абсолютная погрешность приближенного равенства (1) оценивается с помощью следующей формулы:



- наибольшее значение на отрезке

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение с разделенными переменными записывается в виде:

(1).

В этом уравнении одно слагаемое зависит только от x, а другое - от y. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

- его общий интеграл.

Пример: найти общий интеграл уравнения:

Решение: данное уравнение - дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Поэтому

или

Обозначим . Тогда - общий интеграл дифференциального уравнения.

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

(2).



Уравнение (2) легко сводиться к уравнению (1) путем почленного деления его на

.

Получаем:

- общий интеграл.

Пример: Решить уравнение

Решение: преобразуем левую часть уравнения:

Делим обе части уравнения на

Решением является выражение:

т.е.



Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида называется однородным, если и - однородные функции одного порядка (измерения). Функция называется однородной функцией первого порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель вся функция умножиться на , т.е.

=

Однородное уравнение может быть приведено к виду . С помощью подстановки () однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой функции . Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде

Метод Бернулли

Решение уравнения ищется в виде произведения двух других функций, т.е. с помощью подстановки

()

Пример: проинтегрировать уравнение

Полагаем

Тогда ,

т.е.

Сначала решаем уравнение

= 0:

Теперь решаем уравнение

т.е.

Итак, общее решение данного уравнения есть

т.е.

Уравнение Я. Бернулли

Уравнение вида

,

где называется уравнением Бернулли. Данное уравнение решается с помощью метода Бернулли.

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

(1),

где и постоянны.

Частные решения уравнения (1) будем искать в виде , где к - некоторое число. Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для в уравнение (1), получим

т.е.

или (2) ().

Уравнение 2 называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.

При решении характеристического уравнения (2) возможны три случая.

Случай 1. Корни и уравнения (2) действительные и различные: . В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции и . Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид



Случай 2. Корни и уравнения (2) действительные и равные: . В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции и . Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид

Случай 3. Корни и уравнения (2) комплексные:

,

В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции и . Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид

Пример. Решить уравнение

.

Решение: составим характеристическое уравнение:

. Тогда .

Общее решение данного уравнения

Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум

Экстремум функции нескольких переменных

Определение. Точка М (х_о,у_о) называется точкой максимума (минимума) функции z = f(x, у), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек {х, у) из этой окрестности выполняется неравенство

()

На рис. 1 точка А-- есть точка минимума, а точка В -- точка максимума.

Необходимое условие экстремума -- многомерный аналог теоремы Ферма

Теорема. Пусть точка - есть точка экстремума дифференцируемой функции z = f(x, у). Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.

Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума функции z = f(x, у), т.е. частные производные z'_x и z'_y равны нулю, называются критическими или стационарными.

Равенство частных производных нулю выражает лишь необходимое, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

На рис. изображена так называемая седловая точка М (х_о,у_о). Частные производные и равны нулю, но, очевидно, никакого экстремума в точке М(х_о,у_о) нет.

Такие седловые точки являются двумерными аналогами точек перегиба функций одной переменной. Задача заключается в том, чтобы отделить их от точек экстремума. Иными словами, требуется знать достаточное условие экстремума.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть функция z = f(x, у): а) определена в некоторой окрестности критической точки (х_о,у_о), в которой = 0 и = 0;

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка

;

;

Тогда, если ? = АС-- В² >0, то в точке (х_о,у_о) функция z = f(x, у) имеет экстремум, причем если А<0 -- максимум, если А>0 -- минимум. В случае ? = АС-- В²<0, функция z = f(x, у) экстремума не имеет. Если ? = АС-- В² = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Исследование функции двух переменных на экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти частные производные функции z'_x и z'_y.

2. Решить систему уравнений z'_x = 0, z'_y = 0 и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример. Найти экстремумы функции

Решение. 1. Находим частные производные

2. Критические точки функции находим из системы уравнений:

имеющей четыре решения (1; 1), (1; --1), (--1; 1) и (--1; -1).

3. Находим частные производные второго порядка:



;

;

,

Вычисляем их значения в каждой критической точке и проверяем в ней выполнение достаточного условия экстремума.

Например, в точке (1; 1) A = z"(1; 1) = -1; В = 0; С = -1. Так как ? = АС-- В² = (-1)²-0 = 1 >0 и А = -1<0, то точка (1; 1) есть точка максимума.

Аналогично устанавливаем, что (-1; -1) -- точка минимума, а в точках (1; --1) и (--1; 1), в которых ? = АС-- В² <0, -- экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. Находим экстремумы функции z_max = z(l; 1) = 2, z_min = z(-l; -1) = -2,

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть рассматривается функция z = f(x,y), аргументы х и у которой удовлетворяют условию g (х,у) = С, называемому уравнением свя...