Пример. Найти точки максимума и минимума функции z = х² + y² при условии 3х +2у = 11.

Решение. Выразим из уравнения 3х +2у = 11 переменную y через переменную x и подставим полученное в функцию z. Получим z = x²+2 или z = . Эта функция имеет единственный минимум при = 3.

Соответствующее значение функции



Таким образом, (3; 1) -- точка условного экстремума (минимума).

В рассмотренном примере уравнение связи g(x, у) = С оказалось линейным, поэтому его легко удалось разрешить относительно одной из переменных. Однако в более сложных случаях сделать это не удается.

Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию трех переменных

Эта функция называется функцией Лагранжа, а -- множителем Лагранжа. Верна следующая теорема.

Теорема. Если точка является точкой условного экстремума функции z = f(x,y) при условии g (x,y) = С, то существует значение такое, что точкаявляется точкой экстремума функции L{x,y, ).

Таким образом, для нахождения условного экстремума функции z = f(х,у) при условии g(x,y) = С требуется найти решение системы

На рис. показан геометрический смысл условий Лагранжа. Линия g (х,у) = С пунктирная, линия уровня g(x,y) = Q функции z = f(x,y) сплошные.

Из рис. следует, что в точке условного экстремума линия уровня функции z = f(x,y) касается линии g(x,y) = С.

Пример. Найти точки максимума и минимума функции z = х² + y² при условии 3х +2у = 11, используя метод множителей Лагранжа.

Решение. Составляем функцию Лагранжа

L = х² + 2у² +

Приравнивая к нулю ее частные производные, получим систему уравнений

Ее единственное решение (х = 3, у = 1, = --2). Таким образом, точкой условного экстремума может быть только точка (3;1). Нетрудно убедиться в том, что в этой точке функция z = f(x,y) имеет условный минимум.

Степенные ряды

Ряды, члены которых являются степенные функции

(1)

называются степенными, а числа - коэффициентами степенного ряда.

Область сходимости степенного ряда

Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд (1) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем q = x, который сходится при 1. Отсюда --1<х<1, т.е. областью сходимости является интервал (-1; 1). Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что

2) Если степенной ряд расходится при , то он расходится при всех значениях х таких, что .

Из теоремы Абеля (см. рис. 14.1) следует, что существует такое число R?0, что при R ряд сходится, а при R-- расходится

Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (--R; R) -- интервала сходимости степенного ряда.

На концах интервала сходимости, т.е. при x = -R и x = R, ряд может как сходиться, так и расходиться (см. рис.).

Найдем выражение радиуса сходимости степенного ряда (1) через его коэффициенты. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов

(2),

в котором все коэффициенты , по крайней мере начиная с некоторого номера п, отличны от нуля.

Радиус сходимости:

.

Замечание. Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R = 0), у других охватывает всю ось Ox (R = oo).

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Найдем радиус сходимости ряда по формуле

= = = ,

т.е. интервал сходимости ряда .

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. На левом конце при х = - данный степенной ряд принимает вид

;

этот ряд сходится по признаку Лейбница. На правом конце, при х = получаем ряд , представляющий обобщенный гармонический ряд при = 2, у которого все члены с четными номерами равны нулю. Так как = 2> 1, то этот ряд сходится.

Итак, область сходимости данного ряда

Ряды Тейлора и Маклорена

Пусть, например, функция f(x) представима в виде ряда

. (1)

Следовательно, необходимо определить коэффициенты а₀,а₁,а₂,...; причем интервал сходимости не сводится к точке, то есть R>0.

Учтем то, что степенной ряд (1) в интервале сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз и все полученные таким образом ряды тоже будут сходиться, а их суммы равны соответствующим производным.

Продифференцируем последовательно ряд (3.1):

f^/(x) = a₁ + 2a₂x + 3a₃x² + ...

f^//(x) = 2a₂ + 23a₃x + 34a₄x² + ...

f^///(x) = 23a₃ + 234a₄x + 345a₅x² + ...

f^IV(x) = 234a₄ + 2345a₅x + ...

...

Положим теперь в этих равенствах и в (1) х = 0; тогда получим, что

f(0) = a₀; f^/(0) = a₁; f^//(0) = 2a₂; f^///(0) = 23a₃; f^IV(0) = 234a₄; ...

То есть а₀ = f(0); ; ; ; ; ...

Подставляя эти значения в (1), получим ряд Маклорена:

. (2)

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций:

1. f(x) = e^x

Так как f^(к)(x) = e^x для любого к. Полагая х = 0 , получим f^(к)(0) = e⁰ = 1

Тогда ряд Маклорена имеет вид

Исследуем ряд на сходимость.

,

следовательно, применяя признак Даламбера,

.

,



следовательно, ряд сходится для каждого х, принадлежащего .

2. f(x) = Sinx

f^/(x) = Cosx; f^//(x) = -Sinx; f^///(x) = -Cosx...

При х = 0 имеем

f(0) = 0; f^/(0) = 1;

f^//(0) = 0; f^///(0) = -1.

Отсюда

3. f(x) = Cosx (аналогично). Получим

Пример. Разложить в ряд функцию

Решение.

Т.к. ,

то заменяя х на , получим

, ,

и наконец

Область сходимости ряда

В некоторых случаях функция f(x) или ее производная неопределенны при х = 0: так, например, ведут себя функции f(x) = ln(x), , для которых или . Следовательно, такие функции не могут быть разложены в ряд Маклорена. Тогда нужно воспользоваться более общими степенными рядами.

Рассмотрим разложение в степенной ряд функции f(x) по степеням (х-а), где а0 и его можно подобрать соответствующим образом так, чтобы

f(x) = А₀ + А₁(х - а) + А₂(х - а)² +... (3)

Пусть х - а = z. Тогда разложение (3) примет вид

F(z) = f(z + a) = А₀ + А₁z + А₂z² +.. (4), где .

Но это уже ряд Маклорена.

Так как

F⁽ⁿ⁾(z) = f⁽ⁿ⁾(z + a), (n = 1,2,...).

Таким образом, имеем

A₀ = F(0) = f(a), , ...,

,...

Подставив эти выражения в (4), получим ряд Тейлора

. (5)

Если а = 0, получим ряд Маклорена.

Если в (5) взять конечное число членов, то вместо ряда Тейлора получим многочлен Тейлора

. (6)

То есть если (5) сходится в некоторой окрестности точки а (U_a), то его сумма равна f(x), a P_n(x) дает приближенное представление f(x) в U_a.

Пример. Разложить многочлен f(x) = x⁴ + 2x² - 6 по возрастающим степеням (х - 2).

f^/(x) = 4x³ + 4x;

f^//(x) = 12x² + 4;

f^///(x) = 24x;

f^(IV)(x) = 24;

f^(V)(x) = 0;

f⁽ⁿ⁾(x) = 0 (n > 4).

При х = 2 получим коэффициенты разложения:

f(2) = 16 + 8 - 6 = 18; f^/(2) = 40; f^//(2) = 12; f^///(2) = 48; f^(IV)(2) = 24.

Таким образом, имеем следующее разложение

,

или окончательно

f(x) = 18 + 40(x-2) + 6(x-2)² + 8(x-2)³ + (x-2)⁴.

Функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня. Частные производные функций многих переменных и дифференциал.

Определение. Пусть имеется п переменных величин, и каждому набору их значений (х_х, х₂,..., х_п) из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменныхz = f(х_х, х₂,..., х_п).

Переменные х_х, х₂,..., х_п называются независимыми переменными или аргументами, z -- зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество X называется областью определения функции. Очевидно, это подмножество n-мерного пространства.

Функцию двух переменных обозначают z = f(x, у). Тогда ее область определения X есть подмножество координатной плоскости Оху.

Окрестностью точки называется круг, содержащий точку (см. рис. 1).

Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интервала на прямой.

При изучении функций нескольких переменных используется математический аппарат: любой функции z = f(x, у) можно поставить в соответствие пару функций одной переменной: при фиксированном значении х = х₀ функцию z = и при фиксированном значении у = у₀ функцию z = f(x, у₀).

Графиком функции двух переменных z = называется множество точек трехмерного пространства (х, у, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением z = .

Для построения графика функции z = f(x, у) полезно рассматривать функции одной переменной z = f(x, у₀) и z = , представляющие сечения графика z = f(x, у) плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz, т.е. плоскостями у = у₀ и х = х₀.

Пример 1. Построить график функции

Решение. Сечения поверхности = плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oyz и Oxz, представляют параболы (например, при х = 0 , при у = 1 и т.д.). В сечении поверхности кординатной плоскостью Оху, т.е. плоскостью z = 0, получается окружность График функции представляет поверхность, называемую параболоидом (см. рис. 2)

Определение. Линией уровня функции двух переменных z = f{x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Число С в этом случае называется уровнем.

На рис.3 изображены линии уровня, соответствующие значениям С = 1 и С = 2. Как видно, линия уровня состоит из двух непересекающихся кривых. Линия - самопересекающаяся кривая.

Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, параллели и меридианы на глобусе -- это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм -- линий уровня температуры.

Пример 2. Построить линии уровня функции

Решение. Линия уровня z = C это кривая на плоскости Оху, задаваемая уравнением х² + у² - 2у = С или х² + (у - I)² = С+1. Это уравнение окружности с центром в точке (0; 1) и радиусом (рис. 4).

Точка (0; 1) -- это вырожденная линия уровня, соответствующая минимальному значению функции z = -1 и достигающемуся в точке (0; 1). Линии уровня -- концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом z = C, причем расстояния между линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра. Линии уровня позволяют представить график данной функции, который был ранее построен на рис. 2.

Частные производные

Дадим аргументу х приращение ?х, аргументу у -- приращение ?у. Тогда функция z получит наращенное значение f(х+?х, у+?у).

Величина ?z = f(x+?x, y+?y)-f{x, у) называется полным приращением функции в точке (х; у). Если задать только приращение аргумента x или только приращение аргумента у, то полученные приращения функции соответственно и называются частными.

Полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных, т.е.

Пример 6. Найти частные и полное приращения функции z = xy.

Решение

; ;

.

Получили, что

Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так:

или

, или

Для нахождения производной надо считать постоянной переменную у, а для нахождения -- переменную х. При этом сохраняются известные правила дифференцирования.

Пример. Найти частные производные функции:

a) z = x ln y+

Решение: Чтобы найти частную производную по х, считаем у постоянной величиной. Таким образом,

Аналогично, дифференцируя по у, считаем х постоянной величиной, т.е

.

Дифференциал функции

Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.

dz = . (1)

Учитывая, что для функций

f(х, у) = х, g(x, у) = у согласно (1)

df = dx = ?x; dg = dy = ?y

формулу дифференциала (1) можно записать в виде

dz = z'_x dx+z'_y dy (2)

или

Определение. Функция z = f(x, у) называется дифференцируемой в точке (х, у), если ее полное приращение может быть представлено в виде

(3),

где dz -- дифференциал функции,



- бесконечно малые при .

Достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных.

Теорема. Если частные производные функции z'_v (x, у) существуют в окрестности точки (х, у) и непрерывны в самой точке (х, у), то функция z = f{x, у) дифференцируема в этой точке.

Двойной интеграл

Понятие двойного интеграла

Пусть функция f(x,y) определена внутри некоторой области D и на ее границе. Разобьем область D на n частичных областей D1, D2, ..., Dn. Их площади обозначим через у1, у2, ..., уn. Наибольшую хорду (отрезок, соединяющий две точки границы области) каждой из областей назовем ее диаметром. Через h обозначим диаметр, наибольший из всех n диаметров. В каждой частичной области возьмем по точке (P1(x1; y1) в области D1, P2 (x2; y2) в области D2 , и т.д.). Составим интегральную сумму:

Устремим n к бесконечности так, чтобы h стремилось к нулю. Конечный предел последовательности Sn (если он существует) при h > 0 , который не зависит ни от способа разбиения области D , ни от выбора точек P1, P2, ..., Pn, называется двойным интегралом функции f(x,y) и обозначается

Функция f(x,y) называется интегрируемой функцией на области D . Область D называется областью интегрирования.

Непрерывная на замкнутой области функция является интегрируемой на этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть интегрируемая функция f(x,y) принимает в области D только положительные значения. Тогда двойной интеграл

численно равен объему вертикального цилиндрического тела, построенного на основании D и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности

z = f(x,y).

Вычисление двойного интеграла

Если граница области D пересекается всякой прямой x = c (c - const) не более чем в двух точках, то область D называется правильной в направлении оси OX. Ограниченная область D , правильная в направлении оси ОХ, задается неравенствами:

a ? x ? b, ц₁(x) ? y ? ц₂(x),

где ц1(x), ц2(x) - функции, непрерывные на отрезке [a, b].

В этом случае двойной интеграл сводится к двукратному интегралу

.



Сначала, полагая переменную интегрирования x постоянной, находим определенный интеграл

как функцию Ф(x) переменной x

Затем находим определенный интеграл

Изменение порядка интегрирования

Пусть задан двукратный интеграл

Если область интегрирования D (рис. 1), задаваемая неравенствами

является также правильной относительно оси ОУ, т.е. граница области D пересекается прямой y = c (c постоянная) не более чем в двух точках, то область D можно задать другими неравенствами:

Здесь б, в - соответственно наибольшее и наименьшее значение y в области D; x = ш1(y) - левая часть границы; x = ш2(y) - правая часть границы области D.

Тогда в двукратном интеграле можно изменить порядок интегрирования:

Рис. 1

Вычисление площадей плоских фигур

В прямоугольной системе координат площадь ограниченной правильной в направлении оси ОХ области

равна

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть область D - правильная в полярных координатах, т.е. прямая ц = c, (c - const) пересекает границу области D не более двух раз. Пусть область D задается неравенствами в ? ц ? б, с1(ц) ? с ? с2(ц).

Тогда двойной интеграл функции f(x,y) , заданной в прямоугольных координатах, можно свести к вычислению двукратного интеграла в полярных координатах:

.

Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах

Площадь правильной области

в полярных координатах находится так:

Вычисление объемов с применением двойного интеграла

Объем V тела, ограниченного поверхностью

z = f(x,y),

где f(x,y) - неотрицательная функция, плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси ОZ, равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D:

Пример: вычислить интеграл

,

где D - круговой сектор, изображенный на рисунке.

Решение: Множество D является элементарным. Здесь а = 0, b = 1,

Таким образом искомый интеграл примет вид:

=

+

Пример: вычислить интеграл

,

где D - круг .

Решение: применим формулу:

,

Получим

Область D в полярной системе координат определяется неравенствами

Поэтому:

=

Размещено на Allbest.ru

...