Начертательная геометрия как наука

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

«С каких пор начертательная геометрия числиться как наука в анналах мировой истории наук?

Официальная дата ее рождения - 1795 г.

Место рождения - г. Париж.

Отец - французский ученый Гаспар Монж» [ ]

Начертательная геометрия изучается в ряде ВУЗов, включая и наш университет. Инженеры различных профилей, конструктора, архитекторы и мы… преподаватели. Сказать, что этот предмет сложный или легкий нельзя. Наверное, многое зависит здесь от того, насколько развито у человека пространственное мышление. Нежелание разобраться в ее простых основах выливается после в полное непонимание предмета.

Очень много работ было посвящено разработке различных методик с использованием решения задач. Эта же курсовая работа посвящена в основном вопросам истории развития начертательной геометрии как науки, и носит она название «Элементы занимательности». Бывают различные элементы занимательности: те же задачи, дидактические таблицы и схемы, использование видео-ряда, компьютерных достижений и т. п., также сюда можно отнести и элементы юмора как способа подачи информации. История же всегда занимательна, особенно, если разбавлена интересными фактами, случаями и удивительными событиями из жизни не самых обычных людей.

Спроси у первокурсника что-нибудь по истории начертательной геометрии, что он вам ответит? «Ну, был Монж…»Возможно, что это все, что можно будет выжать из студента по первому вопросу в билетах на экзамене по начертательной геометрии. Может быть, кто-нибудь сможет приписать сюда греков, вспомнит Рынина, Кулибина, и то, только потому, что их портреты висят в 410 аудитории. Наверное, еще прочтут изречение, которое написано на стене, там же (хотя мало кто знает, что принадлежит оно тому же Кулубину). Не знаю, можно ли считать это большим пробелом в знаниях и без того перегруженных студентов, но почему вопросам истории в других науках уделяется большее внимание?

Конечно же, можно предположить, что чертеж как его понимаем мы, отстоит далеко от его ранних предшественников, и изучение истории развития начертательной геометрии не имеет смысла. Но сказать так будет неверно, неправильно и нечестно по отношению к тем людям, которые внесли большой вклад в развитие этой науки и, нужно отметить, помогли прогрессу общества. И первая глава курсовой работы посвящена истории столь «полюбившегося» студентам предмета.

Вторая часть - это продолжение первой главы. Пусть вторая часть курсовой поможет преподавателю развеселить студента на паре, разрядит обстановку или поможет не заснуть студенту в аудитории. Во второй части курсовой работы помещены высказывания ученых, выдающихся людей своего времени; также сюда вошли стихи поэтов и студентов. Без высказываний самих «мучеников» начерталки также не обошлось. На закуску еще немного юмора!

Давайте ко всему подходить с юмором и, тогда самый страшный предмет будет казаться не таким уж и сложным.

1. История развития начертательной геометрии как науки (как занимательный элемент в начертательной геометрии)

1.1 Загадки древних пещер

Поиски начала едва ли не

самые трудные поиски, на

которые пускается

человеческий ум.

Н. А. Дмитриева

В нашем мире существует около 3.000 вербальных языков. Знаете ли вы, что если бы человек знал только 9 из них, то он мог бы свободно разговаривать с тремя из каждых четырех живущих на земном шаре. Это китайский, английский, хундустани, русский, испанский, японский, французский, немецкий и арабский языки. Также существует искусственный международный язык эсперанто, в котором 16 правил и ни одного исключения. Также существовали языки свиста, костров, барабанов для передачи сообщений на большие расстоянии.

Знаете ли вы, что существуют языки, понятные во всем мире людям, причастным к определенным группам, профессиям, областям знаний: азбука Морзе, семафорная азбука, язык жестов у глухонемых, язык жестов в спорте, машинные языки. Знаки сервиса, дорожные знаки применяются практически во всем мире и понятны каждому (рис.)

Также можно сказать, что существует и язык черчения.

И если мы будем говорить о истоках начертательной геометрии, то разговор следует начать практически с самого начала истории человечества.

Наскальные рисунки, петроглифы являют собой первую попытку человека изобразить окружающий мир, т. е. объемные предметы на плоскости. Начиная с 19 века археологи подарили миру свыше тысячи наскальных изображений. Изображения людей, животных, охоты, бытовых сцен всегда поражают реалистической манерой письма. Но это не самое главное, поражает в этих работах другое: удивительное сходство в изображениях, выполненных первобытным человеком в разных местах земного шара, отделенных друг от друга огромными расстояниями, разделенных горами и океанами.

Посмотрите на фигуры пляшущих человечков на одной из скал Гобустана, после на танцоров Семиречья в ущелье Томгалы, плясунов из Кельского полуострова или на танцоров Чукотки (рис.). Также, например, можно сравнить лодку с гребцами, высеченную на скале на берегу Каспийского моря, с наскальным рисунком из Бохуслена в Швеции (рис.). Вопрос здесь заключается в следующем: как до мельчайших подробностей люди, находящиеся за тысячи километров друг от друга, смогли до мельчайших подробностей изобразить человека? На этот вопрос должны ответить археологи. Для нас же важно получить ответ каким образом в те далекие времена человек смог достоверно изобразить краской или резцом объемный мир на плоскости камня. И еще: зачем это понадобилось человеку?

Возможно, изобразить божество перед охотой или «рассказать» племени об удаче состоявшегося сражения. Можно понять, что письменность родилась из рисунка. Когда мы с вами начинаем писать, то даже и не задумываемся, что в основе букв алфавита лежат плоские изображения предметов реального мира (рис).

Итак, можно сделать вывод, что плоский рисунок был средством общения, способом передачи информации, хранителем ее. Не эту ли роль играет и сейчас праправнук пещерного рисунка - чертеж?

Язык чертежа понятен практически во всем мире, он упрощает работу многим людям различных специальностей. То, что нельзя объяснить через описание, запросто передаст чертеж.

1.2 Таинственный Египет. Величественная Греция

Все исследуй. Давай разуму

первое место.

Пифагор

Человечество никогда не стоит на месте, стремительно развивается человеческий разум. Вместо примитивных жилищ у родовых общин мы приходим к рабовладельческому государству, к городам с монументальными постройками; крепостями, храмами, пирамидами.

О пирамидах поговорим особо, они играют яркую роль в истории развития чертежа. Сейчас мы знаем несколько очагов цивилизации, где были воздвигнуты удивительно похожие по замыслу пирамиды: Египет, Судан, Мексика, в Египте - начиная с 2800 лет до н. э., Судан - 500 лет до н. э., Мексика - 100 -500 лет н. э.

Главный вопрос для нас - как создавался замысел сооружения? Но была ли какая-либо документация? Где возникали первые контуры будущих колоссов? Вероятнее всего - на песке, но он же не прочен. А пирамиды строились десятилетиями, должен был существовать преемственный метод, и, возможно, что чертежи переносились на папирус или на камень (рис.).

В гробнице Рамзесидов (XIV в. до н. э.) найдена плита с высеченным планом храма и лежащим на ней циркулем - чертеж, допускающий измерения, также был найден план дворца в Телло, изображения фасадов капителей колонн Дендерского храма, построенного Клеопатрой. Архитектор Фридрих Хинкель, работая над реставрацией пирамид в г. Мероэ (Судан), обнаружил на одной из пирамид чертеж, более двухсот пирамид были сооружены более 2000 лет назад. На одной из них был сооружен чертеж пирамиды, высота изображения 160 см. Чертеж настолько подробный, что удалось соотнести его с одной из пирамид, этому помог и орнамент, который был перенесен с восхитительной точностью. Можно предположить, что при сооружении пирамид, в т. ч. и египетских, строители руководствовались заранее созданными чертежами.

В Египте того времени было известно землемерие. В большом почете у египтян были вервиетягатели, или арпедонавты - геодезисты того времени. Каждый год они восстанавливали границы земельных участков после разлива Нила (рис.).

Человеку всегда было интересно, что находится за горизонтом. Оттолкнувшись от родных берегов, на папирусных лодках уходили в море мореплаватели к загадочным звездам. Сведения о геометрических открытиях того времени довольно скудны: вавилоняне знали о параллельных, умели делить окружность на 360 градусов, а также точно воспроизводить прямой угол, что необходимо в астрономических наблюдениях и новигации.

Единственным на сегодняшний день источником, рассказывающем о геометрии, как науки, является папирус, написанный при фараоне Раусе ученым писарем его Ахмесом (между 2000 и 1700 гг. до н. э.) и представлявший собой руководство, содержащее различные математические задачи и их решения (рис.).

Греция.

На смену египетской культуре приходит греческая: если Египет восхвалял силу власти, то Греция - мощь человеческого разума. Власть фараона сменилась демократией греческих полисов, кастовая замкнутость знаний - стремлением к всестороннему развитию свободного человека. Цивилизация быстрыми шагами шла вперед: расширялись пределы мира, расширялись пределы накопленных знаний. Астрономия, физика, механика требовали точных измерений.

Открытие несоизмеримости отрезков потрясло древних ученых, Аристотель писал: «Все начинается с изумления… например, в отношении солнцеворотов или несоизмеримости диагоналей». С этого началась геометрия как наука. Она оторвалась от простого измерения: на помощь построениям пришли вычисления, на помощь циркулю и линейке - логические доказательства и умозаключения.

Но кто же эти великие геометры древности? Давайте же узнаем о достижениях и жизни этих людей.

Фалес.

С его именем связанно появление геометрии как науки. Много путешествовал по Египту, учился у египетских жрецов; после, вернувшись в Грецию, он основал Ионийскую школу - колыбель греческой геометрии. Ему приписывают открытие геометрических теорем о равенстве углов при основании треугольника, равенстве вертикальных углов и др.

Пифагор из Самоса.

Какой школьник не знает его знаменитую теорему: «Пифагоровы штаны во все стороны равны!» А знаете ли вы, что, доказав свою теорему, ученый принес в жертву гекатомбу (жертвоприношение, состоящее из ста быков!) великим богам. Так он отблагодарил их за свое провидение.

Всем известна пифагорейская школа, основанная им в Сицилии, школа математиков и мудрых аскетов. Во всем Пифагор видел гармонию чисел: он обнаружил, что музыкальные интервалы подчинены числовым отношениям, числом он проверил гармонию мира, построил свою систему мироздания. Землю он считал шаром, сумел вычислить наклоны планетных орбит.

Евклид.

Заслуга Евклида заключается в его великих «Началах», в них в общей геометрической основе есть и основы оптики, механики, астрономии. Он привел в порядок накопленный к тому времени разрозненный геометрический материал, дал логическое обоснование геометрии, внеся к тому же в нее много собственных дополнений. «Начала» заложили основы современной элементарной геометрии. Для истории развития начертательной геометрии примечательна его книга «Оптика», где рассмотрен близкий подход к обоснованию перспективного изображения как перспективной проекции.

Великий Евклид жил во времена первого Птолемея. Рассказывают, что Птолемей однажды спросил у Евклида, есть ли к геометрии путь короче того, что положен в «Началах», на что тот ответил, что в геометрии нет особенного пути для царей. Верный школе и принципам Платона, ученый с презрением отвергал разговоры о практической пользе геометрии. Однажды один из его учеников спросил, какую пользу он получит, изучая геометрию, тот ответил: «Дайте этому человеку три обола (единица веса и медная, серебряная, бронзовая монета в Древней Греции, Византии) - он ищет от геометрии пользу».

Вообще вся жизнь ученого дошла до нас только несколькими легендами и несколькими строками из предисловия Прокла в его комментариях к первой книге «Начал». И сейчас, по прошествии более чем 2000 лет подвергли сомнению не только достоверность V постулата Евклида, но и факт существования самого Евклида! Исследователей удивил, тот факт, что на памятнике Эратосфена, в храме Птолемея в Александрии, на котором были высечены имена всех известных геометров того времени отсутствует имя Евклида. Такое положение вещей побудило историка науки Ж. Итаре предположить, что это имя было псевдоним, который выбрала себе группа александрийских математиков, среди них Гиппократ Хиосский, пифагорейцы и Евдокс, некоторые части есть переработка сочинений Архита Тарентского, возможно над «Началами» работали Теэтет Афинский, Исидор Милетский.

Архимед.

Услышавший это имя, сейчас же вспоминает фразу Архимеда, произнесенную им в связи с установлением рычага: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир!» «Эврика!» - кричал он, выбежав голым из ванны на улицу, открыв известный закон гидростатики. Великий муж своей эпохи, истинный патриот и герой, защищающий свой город и свои чертежи, готовящемуся убить его римскому солдату он сказал: «Не трогай моих чертежей!» Сиракузы можно сравнить с Троей, благодаря Архимеду, его оборонительным машинам (рис.) римлянам в течение долгого времени не удавалось взять осадой непреступный город, правда, во время большого праздника охрана не была особо бдительной и город был захвачен.

Что великий греческий ученый оставил человечеству? Основы. Основы нескольких направлений науки: арифметического счисления, теоретической механики (статики), гидростатики, способа, который через 2000 лет станет называться интегральным исчислением. Греки же ценили Архимеда прежде всего как геометра. Архимед впервые дал точное вычисление длины окружности, площади круга, указал приближенное значение числа р, предложил способы вычисления площадей и объемов геометрических тел, открыл винтовую линию и применил ее в винтовом движителе (рис.), ввел в геометрию понятие движения. Механика требовала метрической геометрии; метрика теории измерения - вот те новые направления, который предал Архимед геометрии.

На своей могиле он завещал высечь только чертеж цилиндра, описанного вокруг шара. С помощью такого чертежа Архимед доказал теорему о площади и объеме шара, этим чертежом он очень гордился.

Вскоре его могила была забыта и потеряна. Полтораста лет спустя римский деятель и оратор Цицерон был назначен квестором в Сицилию. Цицерон решил отыскать забытую могилу. Ему посчастливилось: за чертой города, на пустыре, он обнаружил заброшенное кладбище, где нашел колонну, на ней были высечены двустишье и тот самый чертеж! По прошествии более чем 2000 лет могила снова была обнаружена: в 1965 г. сицилийский археолог Чанчо, руководствуясь записками Цицерона, провел раскопки близ городских ворот современных Сиракуз, и ему посчастливилось.

Аполлоний Пергский.

Славу этого человека составляет учение о конических сечениях. В его 8 книгах «Коники» сведено в логическую систему учение о линиях конических сечений, впервые даны названия эллипс, парабола, исследованы главные свойства фокусов, асимптон (рис.). Если в метод его рассуждений при выводе общего уравнения конических сечений представить вместо геометрических образов буквы-неизвестные - перед нами - аналитическая геометрия.

Эратосфен.

Круг его научных интересов включал географию, астрономию, философию и математику. Это именно он впервые в истории измерил земной меридиан. Его труды: «Об измерениях», «О ветрах», «Об измерении Солнца», «О богатстве и бедности».

Птолемей.

Его «Альмогест» или «Канон математики» содержал свод знаний, необходимых для понимания модели мира. Он положил начало картографии.

Гиппарх.

Ему приписывают построение тригонометрии, построение таблицы синусов. Он определил расстояние от Луны, ввел географические координаты.

Менелай.

Создал новую дисциплину - сферику (учение о сфере).

Также стоит упомянуть римского историка и архитектора Витрувия (конец I в. до н. э.) В своем труде «Десять книг об архитектуре» он изложил известные способы изображения сооружений в архитектуре.

1.3 Перспектива

Скорее умереть, чем

пренебречь перспективой.

Паоло Ломаццо

Эпоха средневековья явила собой эпоху молчания, развитие наук замерло, и только лишь в эпоху Возрождения двери для наук снова были распахнуты. Вклад в ее развитие в основном внесли художники, считается, что перспектива возникла в Италии из практики живописцев 15 в. Открытие перспективных закономерностей стало большим событием в области изобразительного искусства.

Основоположником перспективы как науки считают итальянского теоретика искусства, архитектора и художника Филиппо Брунеллески (1377-1446), который применил правила перспективы для изображения архитектурных сооружений.

Итальянский ученый Жан Баттиста Альберти (1404-1472), теоретик искусства раннего Возрождения, одаренный математик, физик, зодчий, скульптор, философ, поэт и музыкант обобщил ранний опыт. В трактатах «О живописи» и «О зодчестве» он изложил теоретические положения перспективы, изложил теорию пропорций на математической основе.

В труде «Десять книг о зодчестве» он изложил на научной основе теорию рисунка и перспективы, изложил теорию пропорций на основе греческой антропометрии. Альберти приводит такие элементы линейной перспективы, как точка схода, центральная линия (горизонт), центральный луч.

Другой итальянский скульптор и архитектор Лоренцо Гиберти (1378-1455) постарался определить законы построения перспективных изображений, перенеся их на скульптурные изображения. Впервые среди художников теория перспективы в общих чертах была изложена в 1458 г. итальянским живописцем Пьеро дель Борго (1406-1492). Определение перспективы как проекции предмета, полученной в результате пересечения «конуса видимости с картинной плоскостью», дал Пьеро дела Франческа, итальянский живописец, в своих трактатах «О правильных телах» и «О живописной перспективе».

Леонардо да Винчи (1452-1519), гениальный итальянский художник, внес большой вклад в теорию перспективы. Свои теоретические предположения он изложил в «Трактате о живописи», включая и перспективу.

Леонардо делит перспективу на три основных части:

- линейная перспектива, которая изучает законы построения уменьшения фигур по мере их удаления от наблюдателя.

- воздушная и цветовая перспектива, которая излагает законы изменения цвета предметов по мере их удаления и о влиянии слоя воздуха на насыщенность и локальный цвет.

- перспектива четкости очертания формы предметов, в которой говорится об изменении степени отчетливости границ фигур и контраста света и тени на них по мере удаления в глубину пространства, изображаемого на картине.

Первый раздел перспективы позже развился в точную науку - линейную перспективу, которая позднее вошла как составная часть в начертательную геометрию.

Нужно отметить, что Леонардо волновали вопросы не только перспективы. Известно большое количество его чертежей, посвященных техническим вопросам. Его изобретения не могут не поражать умы людей и сегодня (рис.).

Среди не итальянцев следует назвать Альбрехта Дюрера (1471-1528), немецкий, ученый, математик, гравер и художник. В своем сочинении «Руководство для измерения циркулем и правилом», описал графический способ построения перспективы предметов с использованием ортогональных проекций. Дюрер описал простейшие способы построения перспективы: при помощи нити и масштабной линейки, стекла и отверстия, стекла и трубки, сетки и отверстия (рис.). Затрагивал вопросы касающиеся не только перспективы (рис.).

Большое теоретическое значение имело сочинение Гвидо Убальди (1545-1662) «Шесть книг о перспективе». Изложил на математической основе 23 правила построения перспективных изображений предметов и способа определения их размеров по перспективному изображению. Убальди впервые научно обосновал правила построения в линейной перспективе, в его работах нашли дальнейшее развитие теоретические положения о построении теней.

Французский архитектор, инженер и математик Жирар Дезарг (1593-1662) предложил способ построения в перспективе предметов с помощью координат, тем самым, положив начало способу аксонометрических проекций. С той лишь разницей, что точка зрения при построении ортогональных проекций точка зрения находится в бесконечности.

Систематизированное изложение теории перспективы было опубликовано в книге итальянского ученого, архитектора и художника Андреа дель Поццо (1642-1709) «Перспектива живописцев и архитекторов, в которой излагается легчайший и быстрейший способ перспективного изображения всего, что относится к перспективе». В книге даны довольно полные для того времени сведения о различных видах перспективы: линейной, рельефной, театральной и плафонной.

К18 в. теория перспективы была разработана уже в той мере, какой она дошла до нас.

1.4 Способ ортогональных проекций

Высь, ширь, глубь.

Лишь три координаты.

В. Я. Брюсов

В человеческой практике часто встает задача точного и быстрого измерения, она намного важнее, чем наглядность изображения. В этом и минус перспективы, в ее неудобоизмеримости.

Если взять за основу три основные координаты: длину, ширину и высоту, то измерить какую либо из них, будет удобно только, если смотреть на нее непосредственно прямо. Даже древние знали о таком способе изображения, вспомним пещерные рисунки. Почти все животные изображались на них в профиль.

2600 лет ло н. э. В Телло (нижнее течение Евфрата) на коленях статуи местного князя Гудеа изображена каменная доска, на которой вырезан план здания. Там же и высечен масштаб! Можете взглянуть на план вавилонского дома (рис.), изображение дано здесь почти с требованиями современного чертежа, даже с разрезами по оконным и дверным проемам. Клинописью даны размеры помещений. В соответствии с чертежом производилась разбивка плана на земле, делали это измерительными шестами или мерными веревками. Эту технику использовали вплоть до средних веков.

Интересно, что у древних египтян даже изображения, которые не имели утилитарного назначения, можно назвать не просто изображениями, а изображениями-чертежами. Все эти изображения выполнены по законам ортогонального проецирования, который был понят египтянами скорее более интуитивно, чем математически. Главный вид всегда определялся всегда с более выгодной стороны (рис.), для изображения глубины использовались определенные каноны: разворот фигуры (рис.), разномасштабность, по значимости персонажей (рис.), разрезы, например, чтобы показать содержимое корзины. Египтяне выработали определенную творческую манеру, возведенную в канон. Первым создателем канонов в области зодчества считается египтянин Имхотеп.

Должны были существовать определенные правила для заготовки строительного материала. При постройке храма царя Соломона в Иерусалиме (1000 лет назад) камни обтесывались заблаговременно. А для предварительной обработки блоков нужен был чертеж, это были прообразы современных деталировочных чертежей. Вопросы стереотомии - обтески и разрезки камней - сыграли немалую роль в развитии начертательной геометрии.

Нет сомнений в том, что чертежи существовали в Древней Греции. Об этом весьма красноречиво свидетельствуют остатки античной архитектуры, о том, что чертежи применялись при постройках, упоминалось и Платоном.

Каноны существовали и в Греции, но об этом мы узнаем из обширного труда римского архитектора Витрувия. В его работе «10 книг об архитектуре» много неясного для нас, но все же его работа имеет большую ценность. Долгое время она считалась утраченной, но в 1429 г. была найдена в Сен-Галленском аббатстве итальянским гуманистом Браччиолини, с тех пор создано множество переводов и комментариев в разных странах и на разных языках. Выделим в ней главное:

- есть три вида изображения - ихнография (план), ортография (фасад), и сценография (перспектива) (рис.).

Вы можете видеть первое известное построение винтовой лестницы по Витрувию (рис.), рисунок взят из книги Б. Даниеля.

В трактате много философских рассуждений: «Все следует делать, принимая во внимание прочность, пользу и красоту». У греков в основе красоты (эвритмии - стройности, такта, благозвучия - равномерности ритма в музыке, танцах, речи) лежит соразмерность - пропорциональность.

А сейчас сделаем скачок через века. В течение 500 лет волны орд вторгались почти непрерывно, они разрушали здания, опустошали поля, выжигали города, истребляли народы. Многое было потеряно и забыто.

Средневековье. Феодальная Европа. Время появления новых городов, развития ремесел и торговли, первых новых ростков просвещения.

Архитектура средневековья строга и мрачна: это непреступные феодальные замки. Снова понадобилось делать чертежи, хотя бы самые простые - планы. Один из первых известных «чертежей» того времени - изображение скинии (походная церковь израильтян до Иерусалимского храма) Моисея в «Христианской топографии» Косьмы Индикоплова. В середине - план, по бокам - откинутые в плоскость плана стены (рис.).

Этот прием напоминал развертывание. Исходным было построение на плоскости основной сетки в виде вписанных друг в друга квадратов. Стороны и диагонали их служили модулями, высотные элементы выражались целым числом модулей. Приемы эти тогда были строго засекречены цеховыми уставами.

Живописцы входили в гильдию врачей и аптекарей, архитекторы - в гильдию строителей и плотников. Цеховые уставы строго регламентировали каноны творчества. В творчестве преобладало коллективное начало, поэтому так мало имен оставило нам средневековье.

Один из немногих источников строительной техники - «Альбом» архитектора Виллара из Онекура (13 в.), наставление Матвея Рорицера (1486 г.) «О размерности фиалов» - готических башенок, где поясняется, как при помощи циркуля на основе геометрии получаются ортогональные проекции. План и фасад даны были в проекционной связи.

Другой прием, помогавший строителям, - создание модели. Более они нужны были заказчикам, поэтому на сохранившихся изображениях модели чаще в руках правителей, чем архитекторов. Способ ортогональных проекций обретал свое лицо и вырастал в новую ветвь науки.

Искатели правды в искусстве уже почувствовали важность и возможности способа ортогонального проецирования. Одним из первых был Альбрехт Дюрер. Свои исследования и свои знания он изложил в трактате «Руководство к измерению с помощью циркуля и линейки линий, поверхностей и целых тел, составленное Альбрехтом Дюрером и напечатанное с надлежащими рисунками на пользу всем любящим знания в 1525 г.». Для построения пространственных фигур Дюрер использовал ортогональные изображения в проекционной связи.

И еще несколько имен:

«1576 г. Духовник Генриха ЙI Французского Филиберт де Л'Орм издал сочинение по архитектуре, где примеры по разрезке камней он строит посредством их прямоугольных проекций.

1642 г. Во Франции издается сочинение Жусса «Таинства архитектуры», где говорится о разрезке камней.

1643 г. Франсуа Деранд в труде «Архитектура сводов во Франции» дает графическое построение фасадов, планов, шаблонов для разрезки камней.»[ ]

Особое место нужно отдать работе французского ученого, инженера Амадео Франсуа Фрезье «Теория и практика разрезки камней и деревянных конструкций, или трактат о стереотомии». Это первое фундаментальное пособие по основам начертательной геометрии (рис.). Фрезье пользовался параллельными (косоугольными и прямоугольными) проекциями, проецировал на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, применял способы замены плоскостей проекций и вращения для определения истинного вида сечения фигур. В книге приведены примеры решения задач, используя способ вспомогательных секущих плоскостей, указывается на различные способы построения разверток. Также в книге встречается множество приемов архитектурных композиций. Единственное, что не удалось Фрезье - свести многочисленные операции к немногим основным.

Это удалось сделать через 60 лет Гаспару Монжу.

1.5 Аксонометрические проекции

Трудно сказать, когда зародился способ, однако намеки уже имеются в древнеегипетских изображениях (рис.), так называемая вольная перспектива. Перспектива потому, что она, как и линейная перспектива, создавала иллюзию трехмерного изображения, а вольной потому, что изображение создавалось без точных правил.

Более всего такие изображения были нужны картографам и военным. Начиная со времен Птолемея (I в.) вплоть до XVIII в. планы городов давались как бы с высоты птичьего полета (рис.), такой же способ можно видеть и в книжной миниатюре (рис.).

Прогресс не стоял на месте: к XVI в. творец-художник становится творцом-инженером - появляются чертежи и технические рисунки похожие на современную аксонометрию.

Фрезье в 1738 г. в трактате о разрезке камней использовал весь известный к тому времени аппарат способов изображений: ортогональные проекции фигур на две плоскости, линейная перспектива для представления архитектурных фрагментов, аксонометрические проекции для наглядного изображения плоских кривых, пересекающихся поверхностей, сводов, блоков.

Впервые метод прямоугольных (декартовых координат с осями x, y, z) применил для построения изображений, правда перспективных, Жерар Дезар, современник Декарта. Но аксонометрию можно рассматривать как перспективу с бесконечно удаленной точкой зрения, следовательно, с параллельно проецирующими лучами. Так рассматривая аксонометрию немецкий ученый И. Г. Ламберт. В своем сочинении «Вольная перспектива» ученый дал реконструкцию аксонометрических изображений в плоский чертеж.

Фейрич, английский ученый, изложил теорию изометрических проекций, первым применив этот термин. Великий Гаусс в курсе лекций в 1830-1850 гг. сформулировал основную теорему аксонометрии, но только без доказательств.

С середины 19 в. аксонометрия оформляется как самостоятельная жизнестойкая ветвь начертательной геометрии, это и монографии и учебники по начертательной геометрии или самостоятельные труды (лишь с дополнениями в наши дни).

Аксонометрия приобретает преимущественное значение в геологии, кристаллографии, горном деле, строительстве.

1.6 Картография

... наше чувство родины

складывается из любви к тому

месту, где родился, и

устремлениям вдаль, путешествием,

расширяющим и обогащающим нашу

родину.

М.М. Пришвин

На определенном этапе развития человеческого общества человеку понадобилось изобразить не отдельный предмет, не группу предметов, а обширную среду своего обитания. Невозможно сказать, когда человек составил первую карту и какой она была, но то, что уцелело дает сделать вывод, что подобные изображения создавались давным-давно, в разных концах земли, на различных доступных материалах: вавилоняне - на глиняных табличках, египтяне - на папирусе и камне, народами Кавказа - на серебре, эскимосами - на моржовой кости, юкагирами - на бересте, островитянами Океании - на черенках пальмовых листьев с закрепленными на них раковинами.

Старейшие изображения были найдены в Вавилоне и Египте (рис.). Они содержали уже указания стран света, условно показаны особенности рельефа, но истинными создателями географических карт следует считать греков.

Создателем первой географической доски был Анаксимандр из Милета, философ ионийской школы Геродот упоминает о картах в своей «Истории».

Причем древние представляли Землю или плоской, или в форме цилиндра, или полушария. Первое предположение о том, что Земля круглая было высказано пифагорейцами.

С V в. до н.э. применяется математический подход к естественно-научным знаниям, в том числе и к картографии.

Эратосфен впервые доказал взаимно перпендикулярные линии - параллели и меридианы. Он же впервые применил слово география, измерил единый радиус Земли.

Астроном Гиппарх впервые упомянул о применении стереографической проекции для карты звездного неба.

Стоит выделить Клавдия Птолемея, александрийского математика. Его труды «Альмагест» и 8 томов «Географии» принесли ему заслуженную славу. Его карты - прообразы современных.

«Монастырские карты» средневековья, примитивизм Косьмы Индикоплова, который изображал Землю в форме прямоугольника, отбросили картографическую науку далеко назад. Лишь великие географические открытия вернули дыхание в эту науку. Мореплавателям, торговцам, путешественникам нужны были подробные, достоверные карты. Самый выдающийся средневековый картограф - Герард Меркатор, мея, который Европа открыла для себя лишь в 15 в. Также он разработал новые принципы картографических проекций, не устаревшие и поныне (рис.).

А где же третье измерение? Впервые намеки на его изображение можно встретить у Пэй-Сю, отца китайской картографии, которая развивалась обособленно. Из шести правил работы картографа четвертое требует учитывать высоты возвышенностей и низин. А в атласе морских навигационных карт Вагенера можно увидеть числа, обозначавшие глубины рек и морей (рис.).

В XVIII в. карты в основном - приспособление к нуждам армии, требовалось не просто нанести на карту реку или гору, но необходимо было знать глубину реки или высоту возвышения точно. Точные геодезические измерения стали возможно после изобретения специальных приборов.

А как же обозначить рельеф на плане? Решение этой задачи предложил Леман, который в 1799 г. разработал способ изображения рельефа штрихами, которые вычерчивались вдоль линий наибольшей крутизны - скатов. Такой способ был предложен еще гениальным Леонардо (рис.).

Во второй половине XIX в. наблюдается постепенный переход от штрихов к горизонталям - линиям, соединяющим точки с одинаковой высотой. В начале XIX в. просторы Европы занял паровоз, который был весьма требователен к характеристикам дорог. Для более полных планов местности дополнительно к горизонтальной (опорной) плоскости проекции современного строительного чертежа (рис.) пользовались вертикальной, а числовые отметки выражали расстояние точек до этой опорной плоскости.

Систематически изложен этот курс был военным инженером Нуазье, после этого раздел войдет почти во все курсы начертательной геометрии.

В настоящее время способ используется и в исторически традиционном направлении - картографии, дорожном строительстве и градостроительстве. Единственный его недостаток - потеря третьего измерения.

Вот пример современного строительного чертежа (рис.).

1.7 Русские земли

Бысть же та церковь чюдна

вельми величеством и высотою

и светлостью, и звонкостью и

пространством…

Летописец

Каков вклад внесла Россия в историю развития способов изображения? Вклад ее по сущности своей более близкий к способам, которые использует современная начертательная геометрия.

С чего следует начать? В первую очередь с памятников древнерусского искусства. Начиная с X в. начинают отстраиваться великие города: Киев, Новгород, Владимир. Воздвигаются первые храмы по византийскому образцу. Вклад русских мастеров - традиционное русское зодчество. Были ли чертежи сказать сложно, но судя по технике, культуре строительства, его темпам (за два века было построено около двухсот храмов), например, церковь на Нерли (рис.) была построена за один сезон 1165 г., церковь Иоанна Лествичника в Москве за одно лето 1329 г., должны были быть предварительные наброски.

Большой интерес имеет иконопись с ее перспективой. Об этом мы говорили ранее.

При Иване Грозном было составлено руководство «О земном верстанье» или «Книга именуемая Геометрия или Землемерие, радиусом и циркулем глубокомудрая, дающая легкий способ измерить места самые недоступные, плоскости, дебри». В 1638 г. упоминается слово чертещик, т. е. чертежник. Первое упоминание о русском чертеже мы находим в описи царского архива ок. 1578 г., самый древний (1517 г.). В XVI в. был изготовлен «Большой чертеж» - карта Московского государства, к этому времени Россия располагала уже обширными картографическими материалами. Так известно, что в архивах Ивана IV содержалось несколько ящиков чертежей. Например, карта план Переяславской крепости (рис.), карта Сибири (рис.).

Русское деревянное зодчество имело интересный обычай, примечательно, что оно было сборным. Сруб изготовляли где-то на стороне, а собирали уже на месте. Имела эта техника и военное значение. Так в 1551 г. царь Иван Грозный задумал потеснить Казанское ханство, он давно замыслил построить крепость, которая выросла бы под боком у неприятеля, город Свияжск.

Каменные сооружения возводились же «по образцам». По образцу Киевского храма - Успенский собор во Владимире, по образцу Владимирского - Успенский собор в Московском Кремле. Интересный случай: когда Наполеон убегал в 1812 г. из Москвы, то он приказал обезглавить ненавистный ему город. Он пытался взорвать колокольню Ивана Великого, но мощные конструкции столпа устояли, рухнули только постройки.

Архитектурные чертежи начинают упоминаться в архивах, начиная с XVI в., когда строительством каменных зданий ведал Каменный приказ. Чертежи были проектными, отчетными и съемочными. Проектные прикладывались к сметам, по ним строители принимались за работы. Отчетные изображали постройку в процессе работы, на съемочных чертежах вычерчивались уже готовые здания. Чертежи выполнялись не в масштабе, но числовые размеры давали представление о величине предмета. Выполнялись они черными чернилами, иногда раскрашивались. Судя по чистоте линий - при помощи чертежных инструментов, кое-где дополнялись и от руки.

И, если на западе изображение трехмерного объекта шло в основном от применения законов линейной перспективы, то в России они несли отпечаток иконописи.

1.8 Гений Петра

Была та смутная пора,

Когда Россия молодая,

В бореньях силы напрягая,

Мужала с гением Петра.

А. С. Пушкин

Петровские реформы оживили экономическую, политическую, хозяйственную жизнь страны. Заметен рост военного потенциала и собственной промышленности, широко велось освоение новых земель, закладка новых городов. В это время в России начала складываться система просвещения. Учили детей разного происхождения: от крестьянских до посадских детей - до дворянских и боярских. Для первых - школы при заводах, для других - военно-инженерные школы, программы которых были весьма обширны.

В 1708 г. впервые издается гражданским шрифтом «Геометрия» перевод Я. Брюса с австрийской книги Пюрккенштейна, а в 1703 г. выходит первый русский учебник математики Леонтия.

В развитии чертежа в России можно выделить пять основных направлений: кораблестроение, военное дело, картография, промышленность, архитектура.

Под именем Петра Михайлова царь Петр в 1697 г. отправился в Голландию для изучения практики и теории корабельного дела, в т. ч. и чертежного искусства. Получил там отличный диплом. Но голландская школа науки не удовлетворила Петра, некоторые принципы Петр достигал сам, он еще до поездки в Голландию был умелым конструктором и чертежником. Чертежи корабля у Петра изображали не внешний вид корабля, а его теоретическое изображение на три плоскости проекций (рис.).

В военном деле некоторые конструкции были впервые введены в России.

Укрепление и расширение границ требовало их точного описания. Посылались экспедиции, в состав которых входили картографы. Сначала карты печатались в Голландии, а с 1698 г. - и в России.

Выдающийся ученый С. У. Ремезов начал свою деятельность как картограф, внес вклад в строительство. Его «Чертежная книга городов и земель Сибири», атлас, выпущенный в 1701 г., был выполнен по мировым стандартам, а итогом его деятельности как архитектора была «Служебная чертежная книга». В этой книге намечается переход к новому типу чертежей в отдельных проекциях.

О проблеме перехода к новым градостроительным принципам, о предварительном создании архитектурных проектов говорилось в первом русском трактате по архитектуре, написанным в Венеции князем Долгоруковым в 1699 г. «Архитектура цивильна». Основным видом является план. Фасад, изображавшийся в проекционной связи дополнял его. Наружные и внутренние контуры вычерчивались в масштабе, были выполнены сечения перегородок.

Петр планировал построить город. В 1717 г. былсоставлен «Генеральный чертеж Санкт-Питер-Бурху» (рис.).

Рост промышленности требовал от русских графиков чертежей, которые давали бы полное представление о внешнем виде и внутреннем устройстве сооружения. К 40-ым гг. чертежи-рисунки заменяются чертежами в настоящем их понимании. Они носили название чертежей в «планах и профилях». «Профили» изображали 2, 3 или более видов предметов. Иногда для большей наглядности выполнялись «пришпекты» машин, более похожие по способу изображения на аксонометрическую проекцию. Чуть позже появились чертежи с «прорезями» т. е. с разрезами.

Времена Петра родили многих великих ученых, среди них был А. К. Нартов. Он работал в Москве, после в Петербурге, Петр высоко ценил гений этого человека. В 1719 г. Нартов был послан за границу, снабженный чертежами задуманных машин. Из Лондона он писал Петру, что там таких машин сделать не могут. За границей Нартов скупал книги по машиностроению.

Более чем на 30 лет пережил Нартов императора.

Вместе с Ломоносовым он принял активное участие в борьбе с противниками русской науки, засевшими в Академии наук. Он оставил после себя первый в России труд по машиностроению «Театрум махинарум, или Ясное зрелище машин». На многих иллюстрациях книги мы видим не только чертежи машин (рис.), но и изделия изготовленные на них. Многие чертежи имеют вид приближенный к косоугольной фронтальной диметрии.

Выдающийся ученый И. П. Кулибин - гениальный самоучка, самообразованием развивший талант изобретателя. Изобретал про образцу иноземных диковин - телескопа, микроскопа, электрической машины, но только свои. Императрица назначила его заведующим механическими мастерскими Академии наук в Петербурге.

Изобрел он много, его изобретения намного опередили его время: деревянный одноарочный мост через Неву; самодвижущееся судно; мощный фонарь с вогнутым зеркальным отражателем; мельницы без плотин, «самокатка» - трехколесный экипаж, приводимый в движение педалями; «механические ноги» - протезы с разгибающимися плюснами и пружинами на шарнире; подъемное кресло (лифт) для Зимнего дворца; оптический телеграф.

Осталось много Кулибинских чертежей, на которых нет погрешностей с точки зрения современной начертательной геометрии, хотя эта наука еще не родилась.

Высоко в те времена была и техника выполнения чертежей таких русских изобретателей, как отца и сына Черепановых, творца первой в мире паровой машины И. И. Ползунова. Высоким мастерством исполнения отличались и архитектурные чертежи. Тут мы вспомним двух великих зодчих - В. И. Баженова и М. Ф. Казакова (рис.).

1.9 Гаспар Монж

Великие люди сами воздвигают

себе пьедестал; статую

воздвигнет будущее.

В. Гюго

Фундамент науки был уже давно заложен, идеи и методы ее широко использовались в промышленности в 18 в., Монж сумел свести их в стройную систему, которая дошла до нас практически без изменений, лишь с дополнениями. Вклад Монжа в начертательную геометрию можно сравнить с вкладом Евклида в свое время.

Жизнь этого человека весьма разнообразна и могла бы послужить сюжетом для увлекательного романа.

Гаспар Монж родился в 1746 г. небольшом городишке Боне, что в Бургундии, был старшим из пяти детей. Отец его был торговцем скобяными товарами. Нужно отдать ему должное, он знал, что лучшее, что он мог дать своим детям - это образование. И дети не подвели Жака Монжа: все трое его сыновей впоследствии стали профессорами.

С шести лет Гаспар был определен в школу ораторианцев в родном городе. Мальчик отличался трудолюбием. Гордость школы (его экзаменационная работа (1762 г.) храниться в магистрате города), Гаспар был рекомендован в колледж св. Троицы в Лионе, там ему, шестнадцатилетнему, доверили преподавать физику.

Одно юношеское увлечение круто перевернуло его судьбу. Летом 1764 г. он искусно вычертил план родного города, применяя при этом различные угломерные инструменты. Об этой работе узнал подполковник инженерной службы дю Виньо, проездом оказавшегося в Боне. И тот делает предложение Монжу поступить в королевскую военно-инженерную школу в Мезьере, но т. к. он не был дворянин, теоретическое офицерское отделение было для него закрыто, он был зачислен на отделение кондукторов- мастеров. Здесь изучали элементы алгебры, геометрии, черчение, технику изготовления моделей сводов и резки камней - стереотомию, весьма важную в фортификации.

Одна из таких задач была решена Монжем в рекордно короткий срок, ее даже не стали сперва рассматривать. Новый подход - это заявка на новую науку. Успех решения задачи дал новый толчок росту его карьере: двадцатитрехлетний Гаспар был назначен ассистентом кафедр математики и физики, а через год он возглавил эти кафедры. Монж известен французскому математическому миру. Его работы по начертательной геометрии имели большой интерес для военных, поэтому печатать их ему было запрещено.

Его математические работы того времени дали основание для избрания его в 1772 г. членом-корреспондентом Парижской академии наук. Круг его интересов возрастает: физика, химия, теория поверхностей, приложения к начертательной геометрии. В 1780 г. Монж - член Парижской академии наук. Участие в комиссиях Академии заставляет его заняться более широким фронтом работ, в 1781 г. Монж как физик принимает участие в редактировании «Энциклопедии», толковом словаре наук.

14 июля 1789 г. взорвало Францию, падение Бастилии расшатало французский трон. Монархия была уничтожена. В составе первого революционного правительства Монж был как морской министр. Ему были дороги идеи демократии. Монж пытается навести порядок в деморализованном французском флоте, разрабатывает способы добычи селитры, организует производство оружия. Совместно с Бертолле и Вандермондом он пишет «Наставление для рабочих металлистов о производстве стали» (1793 г.), в 1974 г. читает лекции в созданной им школе оружейников и издает «Описание способа производства пушек».

Молодой республике были нужны молодые кадры, и в 1794 г. была организованна Центральная школа общественных работ. Вторым президентом в ней стал Монж. В курс обучения входила начертательная геометрия! В 1795 г. была открыта Нормальная школа для подготовки преподавателей. Начертательную геометрию первый курс прочел Монж. Стенограммы лекций были напечатаны в «Журнале» Нормальной школы (рис.), а самостоятельной книгой вышли в 1799 г. Первый учебник начертательной геометрии! В 1795 г. Центральная школа была преобразована в Политехническую школу - любимое детище Монжа.

«Монж и Наполеон… Ученый и завоеватель. Республиканец и император. Что связывает два этих имени? Где и как срослись их пути?» [ ]

В 1795 г. Монж был послан с комиссией в Италию для осмотра и отбора в странах, покоренных победоносными армиями Республики, всех достижений искусства и науки, которые он посчитает достойными включить в музее и библиотеки Франции.

Там он и знакомится с молодым командующим армией Бонапартом. А тот умел внушать доверие и привязанность к себе как отдельным людям, так и целым армиям. В 1798 г. Монж принял предложение Бонапарта об участии в составе большой экспедиции в египетской экспедиции. Что нам известно об этой экспедиции: взятие Александрии и Каира, разгром французской эскадры под Абукиром, восстание египтян, переход через Синайскую пустыню, тяжелое отступление из Сирии, бегство на двух кораблях во Францию. Научный результат этой экспедиции - основание Египетского института.

Монж вернулся в свою политехническую школу. Он разработал ее устав и программу. Первый курс включал курсы чистого и прикладного анализа - 85 лекций, начертательной геометрии - 120!, элементов машин - 18 лекций. В 1799 г. Монж уходит с поста директора Политехнической школы, оставив за собой место профессора, т. к. он был назначен пожизненным сенатором.

Научные интересы его лежат сейчас в области воздухоплавания и теории машин.

Судьбы Наполеона и Монжа тесно переплетаются: взлет императора для Монжа явился творческим подъемом, падение императора - угасанием:

«1804 г. Первым из гражданских лиц, получившим орден Почетного легиона, Наполеон называет Монжа.

1805 г. Монж работает над проектом канала между Маасом и Энной.

1806 г. Монж назначается сроком на один год президентом Сената. Он получает титул графа Пелузского, 1000 000 франков для покупки имения и майорат в Пруссии.

1808 г. Монж консультирует проект воздушного десанта в Англию.

1811 г.Монж ставит химические опыты с Бертолле и Лапласом, опять занимается вопросами металлургии.

Снова широкий спектр проблем, правда с явной общей тенденцией - военных нужд: Наполеону нужна была сильная, технически вооруженная армия. А кризис приближался.

В 1816 г. Монж был исключен из Академии, лишен титулов и прав… вот расплата Реставрации с великим ученым так много сделавшим для Франции и с такой искренней верой связавшем свою судьбу с легендарным императором!

28 июля 1818 г. Гаспар Монж скончался. В последний путь его провожали старые друзья - Бертолле, Лаплас, ученики Политехнической школы - его «сыновья». Угас Монж, но Не угасли его идеи.» [ ]

Вот история жизни, судьба гениального человека, который собственными силами и умом пробил себе дорогу в жизнь.

1.10 Последователи

Кто же были приемниками и продолжателями дела Гаспара? Начертательная геометрия, молодая наука ждала их. Конечно же - ученики Политехнической школы.

«Ашетт и Бриассон развили идеи Монжа в области построения теней и решении задач на пересечение кривых поверхностей.

Жан Менье - слушатель Мезьерской школы, генерал инженерного корпуса и академик Парижской академии наук - опубликовал мемуар о кривизне поверхностей, развил теорию линейчатых поверхностей.

Лазар Карно - ученый и страстный республиканец, В «Геометрии положения» (1803) высказал мысль об отделении геометрии от анализа, заложив таким образом основы современной синтетической геометрии.

Франсуа Лакруа, прослушав лекции Монжа, оформил их печатрым изданием «Дополнение к элементам геометрии» (1796).

Продолжателем идей Монжа в Германии был Г. Шрайбер, издавший полный курс ортогональных проекций по Монжу. Он же первым привнес в начертательную геометрию элементы проективной…»[ ]

Многие его ученики развивали его идеи в науках смежных с начертательной геометрией:

«Виктор Понселе, известный трактатами о проективных свойствах фигур и об аналитической геометрии.

Теодор Оливье, давший многообещающее применение начертательной и дифференциальной геометрии, предложил геометрическую теорию зацепления.»[ ]

Еще одно имя среди приемников Монжа, которое нельзя не упомянуть, ибо принадлежит оно человеку, который начал культивировать эту науку в России. Августин Августинович Бетанкур, потомок короля Канарских островов, генерал-лейтенант Российской империи. Он служил в армии, учился в Мадридской академии художеств, знакомился со знаменитыми учеными. Более всего его увлекли новые идеи Монжа о теории конструирования машин и их классификации.

...