Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»

Кафедра математики

Методические указания по выполнению расчетно-графической работы

«Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для подготовки бакалавров по всем направлениям

Утверждены

научно-методическим

советом академии

Протокол № __________

От _____ _________ 2011г.

Брянск 2011

§ 1. Линейные уравнения и неравенства с двумя неизвестными

Уравнением с двумя неизвестными называется выражение вида:

(1.1).

Если из уравнения (1.1) можно выразить переменную , то получим уравнение вида

(1.2).

Если уравнение (1.2) имеет вид или

(1.3),

то уравнение называют линейным, а графиком этой зависимости является прямая линия.

Из элементарной геометрии известно, что через две точки проходит единственная прямая. Это значит, что для построения прямой достаточно знать координаты двух точек, принадлежащих данной прямой.

Пример 1. Построить прямую по ее уравнению .

Решение. Введем систему координат и определим координаты двух точек, принадлежащих этой прямой: при ; при . Нанесем эти точки на координатную плоскость и проведем через них прямую



Рис. 1.

Линейным неравенством с двумя неизвестными называют неравенство вида

,

где и - действительные числа.

Точки плоскости , удовлетворяющие уравнению (1.4) расположены на прямой, делящей всю координатную плоскость на две полуплоскости и . В одной из этих полуплоскостей выполняется неравенство , в другой - .

Пример 2. Решить неравенство и изобразить область решения на плоскости .

Решение. Построим прямую



Рис. 2.

Определим координаты двух точек, принадлежащих прямой: при ; при . Нанесем точки на координатную плоскость и построим прямую, проходящую через эти точки. Для определения области решения неравенства, возьмем произвольную точку плоскости, не лежащую на прямой, например и подставим ее координаты в заданное неравенство: , т.е. неравенство не выполняется, следовательно, областью решения заданного неравенства служит полуплоскость, не содержащая точку . Рис.2.

§ 2. Системы линейных уравнений и неравенств с двумя неизвестными

Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют совокупность двух уравнений вида:

(2.1).

Решением системы (2.1) называют пару чисел , удовлетворяющих каждому уравнению системы т.е.:

.

Каждое уравнение системы определяет прямую на плоскости, следовательно, решение системы есть точка пересечения этих прямых. Найдем координаты этой точки. Выразим из первого уравнения системы неизвестное и подставим его во второе уравнение:

; ;

.

.

Подставим значение в выражение , получим:.

Введем обозначение: . Величину будем называть определителем второго порядка системы (2.1). Тогда , будем называть вспомогательными определителями системы. Запишем определители в виде таблиц, состоящих из двух строк и двух столбцов:

.

Как видно, определитель системы составлен из коэффициентов при неизвестных первого и второго уравнений. Определители и получены из определителя , путем замены первого и второго столбцов, соответственно, столбцом свободных членов системы, что и оправдывает обозначения и .

Очевидно, что решение системы (2.1) можно записать в виде: .

Пример 3. Решить систему:

.

Решение. Вычислим определитель :

.

Определитель .

Определитель . Тогда: .

Ответ: .

Система линейных неравенств с двумя неизвестными имеет вид:

(2.2)

где - коэффициенты системы; - свободные члены или правые части неравенств, - действительные числа. Так как решением каждого неравенства системы является полуплоскость, то решением системы служит многоугольник, координаты точек которого удовлетворяют каждому неравенству системы. Можно показать, что этот многоугольник выпуклый.

Пример 4. Решить систему неравенств. Многоугольник решений изобразить на чертеже.

Решение. Найдем решение каждого неравенства системы. Заменим в каждом неравенстве знак неравенства на знак равно.

По полученным уравнениям, построим прямые. Рис.3



Рис. 3.

Решением служит многоугольник .

§ 3. Матрицы и определители

Матрицей порядка называют таблицу чисел, состоящую из - строк и - столбцов.

Числа, входящие в состав матрицы, называют элементами матрицы. Для обозначения матрицы используют заглавные буквы латинского алфавита . Элементы матрицы обозначают , где и называют индексом элемента . Первый индекс определяет номер строки, индекс - определяет номер столбца матрицы . Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрицу называют квадратной. Если матрица состоит из одной строки, ее называют матрица-строка, если матрица состоит из одного столбца, то ее называют матрицей-столбцом. Если у квадратной матрицы элементы при , то матрицу называют диагональной. Если у диагональной матрицы все элементы , то матрицу называют единичной матрицей. Единичную матрицу обозначают буквой . Например:

.

Матрицы одинакового порядка можно складывать и вычитать.

Суммой двух матриц и одинакового порядка называют матрицу того же порядка, элементы которой вычисляют по правилу

(3.1)

Аналогично определяют разность матриц.

Пример 5. Найти сумму и разность матриц и .

.

.

.

Произведением матрицы на число называют матрицу , элементы которой вычисляют по формуле

(3.2).

Пример 6. Матрицу умножить на .

Решение. .

Произведением двух матриц порядка и порядка называют матрицу порядка , элементы которой определяют по формуле:

(3.3).

Замечание 1. Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя - квадратные матрицы одного и того же порядка.

Пример 7. Найти произведение матриц и , если

.

Решение.

Квадратная матрица порядка называется обратной матрицей матрицы порядка , если .

Замечание 2. Произведение матриц не обладает свойством коммутативности, то есть в общем случае:

.

Если , то матрицы называют коммутативными.

Замечание 3. Для обратных матриц справедливо равенство .

Обратную матрицу принято обозначать .

§ 4. Определители произвольного порядка

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие определенное число, называемое ее определителем и обозначаемое символом или в развернутом виде:

.

Числа называют элементами определителя.

Минором элемента называется определитель, полученный из исходного, путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент . Минор элемента обозначается .

Определителем порядка называют сумму произведений элементов первой строки на их соответствующие миноры

(4.1).

Величину называют алгебраическим дополнением элемента . Справедливо равенство

(4.2).

Равенство (4.2) называют разложением определителя по -ому столбцу или по -ой строке.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случае матрица называется вырожденной.

Справедливо утверждение: всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу .

Обратную матрицу находят по формуле: , где - алгебраические дополнения элементов матрицы , причем алгебраические дополнения элементов строки матрицы записываются в соответствующий столбец матрицы .

Пример 8. Найти обратную матрицу матрицы и сделать проверку.

Решение. Вычислим определитель матрицы :

.

Найдем алгебраические дополнения:

Запишем обратную матрицу:

.

Сделаем проверку. Найдем .

§ 5. Системы линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей уравнений с неизвестными, называется система вида:

(5.1).

Эту систему удобно записывать в виде одного матричного уравнения

(5.2).

Здесь - матрица системы,

- вектор-столбец неизвестных,

- вектор-столбец свободных членов.

Величины , называемые коэффициентами системы, и величины , называемые свободными членами, предполагаются известными.

Система (5.1) называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю. Если хотя бы один из свободных членов отличен от нуля, то система называется неоднородной.

Система (5.1) называется квадратной, если число уравнений равно числу неизвестных .

Решением системы (5.1) называется такая совокупность чисел , которая при подстановке в систему (5.1) на место неизвестных обращает все уравнения системы в тождества.

Система (5.1) имеющая хотя бы одно решение, называется совместной системой. Система не имеющая решений называется несовместной.

Совместная система, имеющая единственное решение называется определенной. Система называется неопределенной, если она имеет более одного решения.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля минора.

Справедлива теорема Кронекера-Капелли .

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Здесь - расширенная матрица.

Если ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы и равен - числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Если система совместна и ранг матрицы А меньше числа неизвестных , то система имеет множество решений.

§6. Методы решения системы линейных алгебраических уравнений

1. Матричный метод.

Пусть дана система - уравнений с - неизвестными.

Запишем систему в виде одного матричного уравнения:

(6.1).

Если определитель системы , то существует обратная матрица . Тогда, умножая (6.1) на получим:

или .

Запишем решение системы в расширенном виде:

Рассмотрим полученные равенства:

,

где

- определитель, полученный из основного определителя путем замены первого столбца столбцом свободных членов. Аналогично для всех от 2 до т.е.:

(6.2).

Формулы (6.2) носят название формул Крамера.

2. Метод Гаусса.

Суть этого метода состоит в последовательном исключении неизвестных.

Пример 9. Решить систему

Решение. Выразим из первого уравнения системы:

,

Подставим во второе и третье уравнения:

Выразим из первого уравнения полученной системы:

.

Подставим во второе уравнение:

Тогда

§7. Векторы и линейные операции над ними

Вектор - это направленный отрезок прямой, обозначается или . Точка - начало вектора, точка - его конец. Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Вектор, имеющий направление вектора и длина которого равна 1, называется единичным вектором или ортом вектора и обозначается .

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Записывается так . Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

Под линейными операциями над векторами понимают операцию сложения векторов и умножение вектора на действительное число .

Суммой двух векторов и называется вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго вектора , при условии, что начало вектора и конец вектора совмещены. Обозначается сумма . Рис.4.

Рис. 4.

Такое правило сложения векторов называется правилом треугольника. Два вектора можно сложить и по правилу параллелограмма. Рис.5.



Рис. 5.

Разность двух векторов и называется третий вектор , такой, что .

Рис.6.

Произведение вектора на число называется вектор , длина которого равна , он коллинеарен вектору и имеет направление вектора , если , и противоположное, если .

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1.

2.

3.

4.

5.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов и является существование такого числа , что .

Линейной комбинацией векторов называется сумма произведений этих векторов на действительные числа:

(7.1).

Система векторов называется линейно независимой, если их линейная комбинация (7.1) равна нулю только при всех одновременно равных нулю.

Два вектора и образуют базис на плоскости, если любой третий вектор на плоскости можно представить в виде

(7.2)

Три вектора образуют базис в пространстве, если любой вектор этого пространства можно представить в виде:

(7.3)

Выражение (7.3) называют разложением вектора по базису из векторов , а числа называют координатами вектора в базисе . Условно это записывается .

Два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, три некомпланарных вектора образуют базис в пространстве.

Если известны координаты векторов в некотором базисе, то линейные операции над векторами сводятся к обычным арифметическим операциям над координатами этих векторов.

Чтобы сложить два вектора нужно сложить их соответствующие координаты.

Чтобы найти разность двух векторов необходимо найти разность их соответствующих координат.

Чтобы умножить вектор на действительное число, необходимо умножить каждую его координату на это число.

Справедливы следующие утверждения. Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Два вектора коллинеарны, если их координаты пропорциональны.

Пример 10. Даны векторы . Проверить, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее к нулю: . Покажем, что это равенство справедливо лишь при условии . Из равенства векторов следует:

Найдем определитель полученной однородной системы:

Следовательно, система имеет единственное решение :

а это значит, что векторы - образуют базис.

Найдем координаты вектора в этом базисе.

Запишем векторное равенство:

.

Переходя к координатой форме, получим:

Решив эту систему, получим:

.

Тогда , или в базисе .

В прямоугольной системе координат любой вектор можно представить в виде

(7.4),

где - взаимно ортогональные единичные векторы осей координат .

Координатами вектора в прямоугольной системе координат являются проекции этого вектора на соответствующие оси координат, то есть

(7.5).

- длина вектора в прямоугольной системе координат.

Углы, которые вектор образует с осями координат, принято обозначать соответственно . Косинусы этих углов называют направляющими косинусами вектора . Направляющие косинусы равны соответственно:

(7.6),

Или в координатной форме:

.

Для направляющих косинусов выполняется равенство

(7.7)

Если известны координаты точек то координаты вектора определяются формулами , то есть

.

§8. Умножение векторов

Векторы можно умножать скалярно и векторно. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(8.1).

Эту формулу можно записать в виде

.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1. - переместительный закон.

2. - распределительный закон

3.

4. , отсюда

5. Если , то - условие перпендикулярности векторов и

6. , - вектор силы, - вектор перемещения, - работа силы .

Если и заданы в прямоугольной системе координат

, то (8.2).

Упорядоченная тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору из конца вектора виден совершающимся против часовой стрелки. Рис.7.

Рис. 7.

Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор , длина которого равна , он перпендикулярен векторам и и направлен в ту сторону, что векторы и образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается .

Векторное произведение имеет следующие свойства:

1.

2.

3.

4. Если , то

5. , где - площадь параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Если векторы и заданы в прямоугольной системе координат: и , то:

(8.3).

Если вектор силы, приложенной в точке , а радиус-вектор точки , то момент силы , относительно начала координат равен:

.

Смешанным произведением трех векторов и называется их векторно-скалярное произведение. Обозначается .

Если заданы координаты векторов в прямоугольной системе координат, то их смешанное произведение вычисляется по формуле:

(8.4).

Свойства смешанного произведения векторов:

1. - условие компланарности векторов;

2. - объем параллелепипеда, построенного на векторах, как на сторонах;

3. - циклическая перестановка сомножителей не меняет величины смешанного произведения;

4.

Пример 11. Даны вершины пирамиды . Найти 1) угол между ребром и гранью ; 2) площадь грани ; 3) объем пирамиды ; 4) длину высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение. Вычислим координаты вектора :

.

Угол между ребром и гранью является дополнительным углом для угла , образованного перпендикуляром, проведенным к плоскости треугольника и ребром . . Для нахождения вычислим координаты векторного произведения векторов и :

;

.

.

;

.

1) Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на сторонах и , т.е.

.

2) Объем пирамиды равен одной трети от объема параллелепипеда,

построенного на ребрах и . Следовательно

.

3) Длина высоты определяется из формулы:

; .

Ответ: ; ; ; .

§9. Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение

(9.1),

где и - действительные числа; - мнимая единица, определяемая равенством

или (9.2)

Число называют действительной частью комплексного числа и обозначают ; - мнимая часть комплексного числа . Ее обозначают . Если , то число называют чисто мнимым, если , то число , есть действительное число.

Два комплексных числа и называют комплексно сопряженными числами.

Два комплексных числа и считаются равными, если и . Комплексное число , если и . Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Иногда комплексное число удобнее изображать в виде вектора , начало которого совпадает с началом координат, соединяющего точку с точкой . Длина этого вектора называется модулем комплексного числа и обозначается .

.

Угол между осью и вектором, отсчитанный против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числа и обозначается .

Аргумент числа определяется с точностью до слагаемого , где - целое число. Главное значение аргумента числа - значение аргумента, удовлетворяющее неравенству . Главное значение аргумента комплексного числа обозначается через : .

Запись числа в виде называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Сумма, разность комплексных чисел и умножение определяется так же, как действия над соответствующими векторами.

Суммой комплексных чисел и называется комплексное число

(9.3).

Разностью комплексных чисел и называется комплексное число

(9.4)

Произведение комплексного числа на действительное число называется комплексное число .

Произведение двух комплексных чисел и , записанных в алгебраической форме определяется как произведение двучленов:

(9.5)

Произведением двух комплексно сопряженных чисел служит действительное число

(9.6)

Деление комплексных чисел определяется, как действие обратное умножению. Частное двух комплексных чисел и определяется следующим образом:

(9.7)

Наряду с прямоугольной системой координат введем полярную систему, начало которой совпадает с началом прямоугольной системы, а полярная ось - с положительным направлением оси . Рис. 8.

Рис. 8.

Из Рис.8 следует, что:

.

Подставляя и в алгебраическую форму комплексного числа, получим

(9.8)

Выражение (9.8) называют тригонометрической формой записи комплексного числа , где .

Пусть даны два комплексных числа и . Записанные в тригонометрической форме:

.

Тогда .

(9.9)

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Если - целое положительное число, то из (9.9) следует:

(9.10).

Корнем -й степени из комплексного числа называется такое комплексное число , -я степень которого равна , т.е. .

Корень -й степени из обозначается .

Если , то равен:

(9.11)

Подставляя в (9.11) значения получим ровно различных корней -й степени из .

Пример 12. Дано комплексное число .

Записать число в алгебраической и тригонометрической формах. Найти все корни уравнения .

Решение. Запишем число в алгебраической форме:

.

Найдем : .

Вычислим . Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид:

.

Вычислим :

при

при

при

Кроме алгебраической и тригонометрической форм записи комплексного числа , применяется более короткая, так называемая показательная форма комплексного числа , согласно которой

.

Пусть и , тогда:

.

§ 10. Аналитическая геометрия на плоскости

Системой координат называют совокупность условий , определяющих положение точки на прямой, на плоскости, в пространстве.

Две перпендикулярные прямые на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одну из указанных прямых называют осью , или осью абсцисс, другую - осью ординат или осью . Эти прямые называют также координатными осями.

Декартовыми прямоугольными координатами и точки будем называть соответственно величины направленных отрезков равных расстояниям от точки до оси и до оси . Рис 9.



Рис. 9.

Линией на плоскости называют геометрическое место точек плоскости, удовлетворяющих уравнению

. (10.1)

Уравнение (10.1) называется уравнением линии, относительно заданной системы координат, если этому уравнению удовлетворяют координаты и любой точки лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты и ни одной точки, не лежащей на этой линии.

Среди линий различают алгебраические линии и трансцендентные линии. Линия называется алгебраической, если уравнение линии есть полином степени относительно неизвестных и , т.е.

, (10.2)

где - коэффициенты многочлена (заданные числа).

Справедлива следующая теорема.

Если линия в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени , то эта линия и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени .

§ 11. Различные уравнения прямой на плоскости

1. Общее уравнение прямой на плоскости.

Всякое уравнение первой степени относительно х и у, то есть уравнение вида

, (11.1)

где - постоянные коэффициенты, причем , определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой. Справедливо и обратное утверждение: в декартовых координатах всякая прямая определяется уравнением первой степени относительно и .

2. Неполное уравнение прямой. Если в общем уравнении прямой (11.1) один или два из трех коэффициентов обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:

1) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, проходящую через начало координат;

2) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси ;

3) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси ;

4) ; уравнение может быть записано в виде и определяет ось ;

5) ; уравнение записывается в виде и определяет ось .

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если из общего уравнения прямой выразить у как функцию переменной , то получим уравнение

, (11.2)

которое называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Угловой коэффициент равен тангенсу угла, образованного прямой с положительным направлением оси . Коэффициент равен ординате точки пересечения прямой с осью .

4. Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой , то поделив все члены уравнения на , получим уравнение вида

(11.3)

которое называется уравнением прямой в отрезках, и - отрезки, отсекаемые прямой от осей координат .

5. Нормальное уравнение прямой.

Если обе части общего уравнения прямой умножить на число , которое называют нормирующим множителем, то получим уравнение

. (11.4)

Это уравнение называют нормальным уравнением прямой. Знак нормирующего множителя выбирают из условия . Коэффициент в нормальном уравнении прямой равен длине перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую и определяет расстояние от начала координат до прямой; - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси .

6. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Если даны координаты двух точек М1(х1; у1) и М2(х2; у2), то уравнение прямой, проходящей через эти точки, записывается в виде:

. (11.5)

Если , то уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид . Если , то уравнение имеет вид .

7. Каноническое уравнение прямой на плоскости.

Всякий ненулевой вектор , лежащий на данной прямой или параллельный данной прямой, называют направляющим вектором этой прямой. Уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0; у0) в направлении вектора имеет вид:

. (11.6)

Это уравнение называют каноническим уравнением прямой на плоскости.

8. Параметрические уравнения прямой на плоскости.

Если каждое из равных отношений в каноническом уравнении прямой обозначить буквой t и из полученных равенств выразить х и у, то получим систему:

(11.7)

Эту систему называют параметрическими уравнениями прямой на плоскости, проходящей через точку М0(х0; у0) в направлении вектора .

9. Расстояние от точки до прямой Ах + Ву + С = 0 находится по формуле: .

Отклонением точки от прямой Ах + Ву + С = 0 называют величину .

10. Угол между прямыми.

Две прямые на плоскости могут быть параллельными, совпадающими или пересекающимися. Если прямые заданы общими уравнениями

, , то:

1) если - прямые совпадают;

2) если - прямые параллельны;

3) если - прямые пересекаются.

Угол между прямыми можно определить по формуле:

.

Если , то прямые перпендикулярны.

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

, то:

1) если - прямые параллельны;

2) если - прямые перпендикулярны;

3) если - прямые пересекаются.

Угол между прямыми определяется по формуле: .

Если прямые пересекаются, то координаты точки пересечения определяют из системы:

в случае задания прямых их общими уравнениями. Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, то система имеет вид:

Пример13. Даны вершины треугольника А(-5; 10), В(5; 16), С(3; 2). Написать:

1) уравнения сторон треугольника;

2) уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины А;

3) уравнение биссектрисы угла С;

4) вычислить длину высоты и медианы, проведенных из вершины А.

Решение.

1). Запишем уравнение стороны АВ: так как координаты вершин А и В известны, то воспользуемся уравнением прямой , проходящей через две точки:

или преобразуя получим

Запишем уравнение стороны АС: или

Запишем уравнение стороны ВС: , или

2). Вычислим координаты М середины стороны ВС:

Длину медианы АМ вычислим по формуле:

Запишем уравнение медианы АМ: или

Вычислим угловой коэффициент прямой ВС. Для этого выразим у из ее уравнения: ,

тогда угловой коэффициент . Высота, опущенная из вершины угла А, перпендикулярна стороне ВС. Ее угловой коэффициент найдем из условия перпендикулярности: . Тогда .

Запишем уравнение высоты, как уравнение прямой , проходящей через точку А(-5; 10) с угловым коэффициентом : .

Определим из условия, что точка А принадлежит прямой

Подставляя в уравнение высоты, получим: или .

3). По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника, имеем:

, где D - точка пересечения биссектрисы со стороной АВ.

Найдем координаты точки D по формулам деления отрезка в данном отношении:

Запишем уравнение биссектрисы СD:

, или после преобразования,

4). Длина высоты равна расстоянию d точки А от прямой ВС. Запишем нормальное уравнение прямой ВС:

Длина медианы АМ найдена в пункте 2.

Ответ: 1) , , ;

2) - уравнение медианы,

- уравнение высоты;

3) - уравнение биссектрисы угла С;

4) - длина высоты; - длина медианы.

§12. Кривые второго порядка

1. Общее уравнение кривых второго порядка.

Всякое уравнение второй степени относительно х и у, то есть уравнение вида

, (12.1)

где - постоянные коэффициенты, причем , определяет на плоскости линию, которую принято называть кривой второго порядка. Верно и обратное. Существует четыре вида кривых второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола. Все они могут быть получены путем сечения конуса плоскостью и потому их еще называют кониками.

Уравнения кривых можно получить исходя из их геометрических свойств как некоторого геометрического места точек, удовлетворяющего определенным условиям.

2. Окружность. Окружностью называют геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Если r - радиус окружности, а точка С() - ее центр, то уравнение окружности имеет вид:

. (12.2)

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности имеет простейший - канонический вид: .

Пример14. Составить уравнение окружности, проходящей через точки

А(5; 0) и В(1; 4), если центр ее лежит на прямой х - у - 3 = 0.

Решение.

Найдем координаты точки М - середины хорды АВ:

, то есть М(3; 2).

Центр окружности находится на перпендикуляре, восстановленном из середины отрезка АВ. Составим уравнение прямой АВ:

, или х + у - 5 = 0.

Угловой коэффициент прямой АВ равен -1, следовательно угловой коэффициент перпендикуляра . Уравнение перпендикуляра

у - 2 = 1(х - 3), или х - у - 1 = 0.

Центр окружности С лежит на прямой х + у - 3 = 0 по условию задачи, а также на перпендикуляре х - у - 1 = 0, то есть координаты центра удовлетворяют системе уравнений:

х - у - 3 = 0

х - у - 1 = 0.

Отсюда х = 2, у = 1, и точка С(2; 1).

Радиус окружности равен длине отрезка СА:

.

Уравнение окружности: (х - 2) 2+(у-1)2 = 10.

3. Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная , большая чем расстояние между фокусами. Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

. (12.3)

Здесь - большая полуось эллипса, - малая полуось, причем если расстояние между фокусами равно 2с, то . Величина называется эксцентриситетом эллипса и характеризует меру сжатия. Так как с < , то < 1. Расстояния от некоторой точки М, расположенной на эллипсе, до фокусов называются фокальными радиус-векторами этой точки. Фокальные радиус-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам: .

Прямые и называются директрисами эллипса. Директрисы эллипса обладают следующим свойством: если r - фокальный радиус-вектор точки М, d - расстояние от этой точки до односторонней с фокусом директрисы, то .

Пример15. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16.

Решение.

По условию задачи Уравнение директрис ; расстояние между директрисами , отсюда ; так как , то , то есть с = 2.

Так как , то .

Уравнение эллипса: .

Замечание: если в каноническом уравнении эллипса , то фокусы эллипса лежат на оси ординат и ; уравнения директрис: ; фокальные радиус-векторы определяются по формулам: .

Пример 16. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами 2с = 24, эксцентриситет.

Решение.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид: .

По условию задачи с = 12. так как , то , то есть .

Так как , то .

Уравнение эллипса: .

4. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная , меньшая, чем расстояние между фокусами ().

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

, (12.4)

где .

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки и называют вершинами гиперболы. Отрезок называют вещественной осью гиперболы, а отрезок , соединяющий точки и , - мнимой осью. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых . Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые, заданные уравнениями называют директрисами гиперболы. Фокальные радиус-векторы правой ветви гиперболы: .

Фокальные радиус-векторы левой ветви гиперболы: .

Уравнение так же является уравнением гиперболы, но вещественной осью этой гиперболы служит отрезок оси OY длины . Точки и служат вершинами гиперболы. Ветви гиперболы расположены в верхней и нижней части координатной плоскости. Две гиперболы и называют сопряженными гиперболами.

Пример17. Эксцентриситет гиперболы равен . Составить простейшее уравнение гиперболы, проходящей через точку М().

Решение.

По определению эксцентриситета, имеем, или .

Но , следовательно . Так как точка М() находится на гиперболе, то . Отсюда .

Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид: .

Пример 18. Угол между асимптотами гиперболы равен 60 о. Вычислить эксцентриситет гиперболы.

Решение.

Угловой коэффициент асимптоты гиперболы . Эксцентриситет гиперболы.

Подставляя значение углового коэффициента, получим

.

Пример 19. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку

М(9; 8), если асимптоты гиперболы заданы уравнениями .

Решение.

Из уравнения асимптоты имеем . Так как точка М(9; 8) принадлежит гиперболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, то есть .

Для отыскания полуосей гиперболы, имеем систему:

Решив систему, получим Искомое уравнение гиперболы имеет вид: .

5. Парабола. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой , называемой директрисой. Если директриса задана уравнением , а фокус находится в точке F(), то уравнение параболы имеет вид:

. (12.5)

Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс.

Уравнение является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат.

Длина фокального радиус-вектора параболы определяется по формуле .

Пример 20. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси OY и отсекающей на биссектрисе первого и третьего координатных углов хорду длиной 8.

Решение.

Искомое уравнение параболы имеет вид .

Уравнение биссектрисы у = х. Определим точки пересечения параболы и биссектрисы:

Решив систему, получим О(0; 0) и М(2р; 2р).

Длина хорды ОМ = .

По условию имеем: ОМ = 8, откуда 2р = 8.

Искомое уравнение параболы .

§13. Уравнение плоскости

В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени относительно неизвестных х, у и z и каждое уравнение первой степени с тремя неизвестными определяет плоскость.

Возьмем произвольный вектор с началом в точке . Выведем уравнение геометрического места точек М(x,y,z), для каждой из которых вектор перпендикулярен вектору . Запишем условие перпендикулярности векторов:

(13.1)

Полученное уравнение линейное относительно x, y, z, следовательно, оно определяет плоскость, проходящую через точку перпендикулярно вектору . Вектор называют нормальным вектором плоскости. Раскрывая скобки в полученном уравнении плоскости и обозначая число буквой D, представим его в виде:

Ax + By + Cz + D = 0. (13.2)

Это уравнение называют общим уравнением плоскости. А, В, С и D - коэффициенты уравнения, А2 + В2 + С2 0.

1. Неполные уравнения плоскости.

Если в общем уравнении плоскости один, два или три коэффициента равны нулю, то уравнение плоскости называют неполным. Могут представиться следующие случаи:

1) D = 0 - плоскость проходит через начало координат;

2) А = 0 - плоскость параллельна оси Ох;

3) В = 0 - плоскость параллельна оси Оу;

4) С = 0 - плоскость параллельна оси Оz;

5) А = В = 0 - плоскость параллельна плоскости ХОY;

6) А = С = 0 - плоскость параллельна плоскости ХОZ;

7) В = С = 0 - плоскость параллельна плоскости YOZ;

8) А = D = 0 - плоскость проходит через ось Ох;

9) В = D = 0 - плоскость проходит через ось Оу;

10) С = D = 0 - плоскость проходит через ось Оz;

11) А = В = D = 0 - плоскость совпадает с плоскостью XOY;

12) А = С = D = 0 - плоскость совпадает с плоскостью XOZ;

13) С = В = D = 0 - плоскость совпадает с плоскостью YOZ.

2. Уравнение плоскости в отрезках.

Если в общем уравнении плоскости D 0, то его можно преобразовать к виду

, (13.3)

которое называют уравнением плоскости в отрезках. - определяют длины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

3. Нормальное уравнение плоскости.

Уравнение

, (13.4)

где - направляющие косинусы нормального вектора плоскости , называют нормальным уравнением плоскости. Для приведения общего уравнение плоскости к нормальному виду его надо умножить на нормирующий множитель : ,

при этом знак перед корнем выбирают из условия .

Расстояние d от точки до плоскости определяют по формуле: .

4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

.

Возьмем произвольную точку плоскости М(x,y,z) и соединим точку М1 с каждой из трех оставшихся. Получим три вектора . Для того, чтобы три вектора принадлежали одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Условием компланарности трех векторов служит равенство нулю их смешанного произведения, то есть .

Записывая это равенство через координаты точек, получим искомое уравнение:

. (13.5)

5. Угол между плоскостями.

Плоскости могут быть параллельны, совпадать или пересекаться, образуя двугранный угол. Пусть две плоскости заданы общими уравнениями и . Чтобы плоскости совпадали, нужно, чтобы координаты любой точки, удовлетворяющей первому уравнению, удовлетворяли бы и второму уравнению.

Это будет иметь место, если .

Если , то плоскости параллельны.

Угол , образованный двумя пересекающимися плоскостями, равен углу, образованному их нормальными векторами. Косинус угла между векторами определяется по формуле:

Если , то плоскости перпендикулярны.

Пример 21. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки и перпендикулярно к плоскости .

Решение:

Запишем искомое уравнение в общем виде:. Так как плоскость должна проходить через точки и , то координаты точек должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставляя координаты точек и , получаем: и .

Из условия перпендикулярности плоскостей имеем: . Вектор расположен в искомой плоскости и, следовательно, перпендикулярен нормальному вектору: .

Объединяя полученные уравнения, имеем:

Решив систему, получим: , , , .

Искомое уравнение имеет вид: .

Второй способ. Нормальный вектор заданной плоскости имеет координаты . Вектор . Нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярен вектору и вектору , т.е. коллинеарен векторному произведению . Вычислим векторное произведение: .

Вектор . Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

, или искомое уравнение.

§ 14. Прямая в пространстве

Две плоскости, если они не параллельны и не совпадают, пересекаются по прямой. Эту прямую можно описать системой вида:

, (14.1)

где - уравнение одной из пересекающихся плоскостей, - уравнение другой плоскости. Систему двух уравнений с тремя неизвестными называют общим уравнением прямой в пространстве. Известно, что система двух линейных уравнений с тремя неизвестными имеет множество решений, если она совместна. Из всего множества решений всегда можно выделить два различных, что геометрически будет соответствовать двум различным точкам М1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), принадлежащим данной прямой. Через две точки проходит единственная прямая, уравнение которой имеет вид:

. (14.2)

Определим вектор , параллельный данной прямой, который будем называть направляющим вектором. Из условия параллельности получим:

, (14.3)

где М(x0,y0,z0) - точка, расположенная на прямой.

Полученные уравнения называют каноническими уравнениями прямой в пространстве. Обозначая коэффициент пропорциональности в канонических уравнениях прямой через t, получим:

. (14.4)

Полученную систему называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве. Углом между двумя прямыми называют угол между их направляющими векторами. Если прямые заданы каноническими уравнениями и ,

то угол ц между ними определяется по формуле:

.

Если , то прямые перпендикулярны.

Если , то прямые параллельны.

Необходимым и достаточным условием принадлежности двух прямых, заданных каноническими уравнениями, одной плоскости, служит равенство:

.

Если прямая пересекает плоскость Ax + By + Cz + D = 0, то угол , образованный прямой и плоскостью, определяют из равенства: .

- условие параллельности прямой и плоскости;

- условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Если , то прямая пересекает плоскость Ax + By + Cz + D = 0. Точку пересечения прямой и плоскости можно определить из системы:

Условия принадлежности прямой плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеют вид:

Расстояние d от точки М1(x1, y1, z1) до прямой, заданной каноническими уравнениями , находится по формуле:

.

Расстояние h между двумя скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями, определяют по формуле:

, где - точка, принадлежащая первой прямой, - точка, принадлежащая второй прямой.

Пример 22. Даны вершины треугольника А(1; -2; -4), В(3; 1; -3) и С(5; 1; -7). Составить параметрические уравнения высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.

Решение.

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку В, перпендикулярно стороне АС, Нормальный вектор этой плоскости . Уравнение плоскости , или .

Запишем уравнение прямой АС:

,

или в параметрическом виде:

Найдем точку пересечения М прямой АС и плоскости, перпендикулярной этой прямой, то есть основание высоты:

Подставим x, y, z в первое уравнение:

Найдем направляющий вектор высоты ВМ:

.

Возьмем вектор, коллинеарный вектору :

Параметрические уравнения высоты ВМ имеют вид:

Пример 23. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку и пересекает прямые и .

Решение. Запишем уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М(-4; -5; 3). Точка М1(-1; -3; 2) - принадлежит прямой и плоскости. Вектор =(3; 2; -1) так же принадлежит этой плоскости. За нормальный вектор плоскости возьмем вектор , равный векторному произведению вектора и вектора :

.

Уравнение плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку М(-4; -5; 3) имеет вид: 4(х + 4)+12(z - 3)= 0, или х + 3z - 5 = 0.

Найдем точку К пересечения плоскости х + 3z - 5 = 0 и прямой

:

Решим систему:

откуда . Прямая, проходящая через точки М(-4; -5; 3) и К(2; -1; 1) будет искомой. Уравнения этой прямой имеют вид:

или .

§15. Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называют совокупность точек пространства, координаты которых x, y, z удовлетворяют уравнению

Коэффициенты могут принимать любые действительные значения и удовлетворяют условию .

Для определения вида поверхности второго порядка необходимо ее уравнение привести к виду, не содержащему произведений координат. Этого можно достичь соответствующим выбором системы координат.

называют квадратичной формой. Матрицу

,

где , называют матрицей квадратичной формы. Вектор , удовлетворяющий условию называют собственным вектором матрицы А, - собственным значением.

Каждая матрица квадратичной формы имеет три взаимно ортогональных собственных вектора. Если единичные векторы собственных векторов матрицы А принять за единичные векторы новой системы координат, то в выражении квадратичной формы коэффициенты при произведениях обратятся в ноль и форма примет вид:

Присоединяя к ней линейную часть общего уравнения поверхности второго порядка и выделяя полные квадраты, получим каноническое уравнение поверхности второго порядка.

Пример 24. Привести к каноническому виду уравнение поверхности:

3x2 +5y2 +3z2 - 2xy + 2xz - 2yz -12x - 10 = 0.

Решение.

Составим матрицу А:

.

Найдем собственные векторы:

Полученная система имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю, т.е.

Раскрывая определитель, получим:

.

Отсюда находим: .

При получим систему уравнений:

Решив систему, получим первый собственный вектор . Единичный вектор собственного вектора будет: .

При получим

При получим .

Записывая координаты единичных векторов в соответствующие столбцы, получим матрицу преобразования S:

Отсюда получим формулы преобразования координат:

Подставим значения , и в уравнение поверхности:

или

Перепишем уравнение в виде:

Дополнив выражение в каждой скобке до полного квадрата, получим:

Совершив параллельный перенос осей координат и разделив на 24 обе части уравнения, получим

Это уравнение описывает поверхность, называемую эллипсоидом.

Классификация поверхностей второго порядка.

Применяя преобразование координат, уравнение поверхности второго порядка всегда можно привести к виду:

.

В зависимости от величины и знаков коэффициентов ,,,,, и могут представиться следующие частные случаи уравнений поверхностей второго порядка.

Таблица 1.

1. Эллипсоиды:

трехосный эллипсоид,

мнимый эллипсоид

точка

2. Гиперболоиды:

1)однополостные гиперболоиды

2)двуполостные гиперболоиды

3. Конусы:

4. Параболоиды:

1) эллиптические параболоиды

2) гиперболические параболоиды

5. Цилиндры

1) эллиптические цилиндры

2) гиперболические цилиндры

3) - параболические цилиндры

6. Пары плоскостей:

1) - пары пересекающихся плоскостей

2) - пары параллельных плоскостей

3) - пары совпадающих плоскостей

§16. Преобразование декартовых координат

вектор геометрия аналитический плоскость

Известно, что положение точки М некоторого пространства V можно однозначно определить, задав координаты x, y и z этой точки относительно некоторой системы координат OXYZ. Выбор системы координат - произвольный. Очевидно, что в одной системе координат XOYZ точка М будет иметь координаты М(x; y; z), а в другой системе X'O'Y'Z' точка М будет иметь другие координаты М(x'; y'; z'). Естественно возникает задача: зная координаты точки М в одной системе координат, выразить через них координаты той же точки М относительно другой системы.

Задача сводится к нахождению трех функций:

позволяющих однозначно определить координаты точки М относительно одной системы координат, зная их относительно другой системы. Если системы XOYZ и X'O'Y'Z' - прямоугольные декартовы системы координат, то формулы перехода от одной системы координат к другой системе имеют вид:

где точка - начало координат новой системы X'O'Y'Z'; - направляющие косинусы углов, составленных единичными векторами новой и старой систем координат. Если система координат определена на плоскости, то формулы преобразования имеют вид:

.

Если , то есть начало новой системы координат совпадает с началом старой системы, то формулы преобразования имеют вид:

и определяют поворот системы.

Если единичные векторы старой и новой систем коллинеарны, то получим преобразование параллельного переноса:

На плоскости преобразования поворота и параллельного переноса имеют вид:

Общее преобразование можно рассматривать как суперпозицию параллельного переноса и поворота системы координат. Справедливо фундаментальное утверждение: каковы бы ни были две произвольные прямоугольные декартовы системы координат, координаты x, y, z любой точки пространства относительно одной системы являются линейными функциями координат x', y', z' той же точки относительно другой системы.

§17. Полярная система координат

Определение положения точки М с помощью декартовых координат не является единственным способом. Пусть дана некоторая плоскость. Выберем на ней точку О, из нее проведем луч ОЕ. На этом луче выберем единицу масштаба. Тогда любая точка М плоскости будет однозначно определена, если известно ее расстояние от точки О, то есть длина отрезка ОМ, и угол ц, образованный лучом ОЕ и отрезком ОМ. Пара чисел и называется полярными координатами точки М: ц - полярный угол, с - полярный радиус, луч ОЕ - полярная ось, точка О - полюс. Угол ц считается положительным, если он отсчитывается от полярной оси в направлении, противоположном направлению часовой стрелки. Область изменения полярных координат определяется системой неравенств: .

Если полюс полярной системы координат совместить с началом некоторой декартовой системы, заданной на той же плоскости, а полярную ось направить по оси ОХ, то полярные координаты и некоторой точки М будут связаны с декартовыми координатами х и у следующими соотношениями:

Если известны полярные координаты и , то декартовы координаты х и у точки М вычисляются по формулам:

Пример 25. Найти полярные координаты точки М(1; -), если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось - с положительным направлением оси абсцисс.

Решение.

Имеем

угол находится в четвертой четверти, то есть

Ответ: М().

Расчётно-графическая работа «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

Задание 1. Найти область решения системы неравенств. Сделать чертеж.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25.

Задание 2. Решить систему уравнений двумя способами:

1) методом Гаусса;

2) матричным методом.

Задание 3. Дана пирамида . Найти:

1) угол между ребрами и ;

2) уравнение плоскости ;

3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины на грань ;

4) угол между ребром и гранью ;

5) объем пирамиды ;

6) площадь грани. Сделать чертеж.

№ варианта	А	В	С	D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

Задание 4. Даны векторы и в некотором базисе

Показать, что векторы и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе

№ варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

Задание 5. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Сделать чертеж. Найти координаты вершин и фокусов. Построить директрисы кривой

Задание 6. Дано комплексное число . Записать комплексное число в алгебраической и тригонометрической формах. Найти все корни уравнения . Результаты изобразить схематически.

Задание 7. Найти собственные векторы линейного преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Установить вид кривой и сделать чертеж.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

Пример выполнения варианта расчетно-графической работы.

Задание 1. Найти область решения системы неравенств. Сделать чертеж

Решение.

Заменим в данной системе каждое неравенство равенством. По полученным уравнениям построим прямые. Каждая прямая разделит плоскость на две полуплоскости, в одной из которых выполняется неравенство, в другой - нет. Часть плоскости, в которой выполняются все неравенства и есть область решения.

Рис.1

Ответ. Областью решения служит четырехугольник ABCD.

Задание 2. Решить систему уравнений двумя способами

1) Методом Гауcса

2) Матричным методом.

Решение.

Вычислить определитель системы ?:

?==

Следовательно, система имеет единственное решение.

Решим систему методом Гаусса. Составим расширенную матрицу, и, применяя элементарные преобразования, приведем ее к диагональному виду

Проверка:

Решим систему ...