Задачи с параметрами. Неравенства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задачи с параметрами. Неравенства. Задачи типа заданий С 5

Дихтярь М.Б.



Общие сведения

1. При решении неравенств с модулем пользуемся тем, что

2. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства

Решение. Перепишем исходное неравенство в виде

(1)

На координатной плоскости построим график уравнения

(2)

Для построения множества точек, удовлетворяющих уравнению (2), проделаем следующее.

1. Приравняем нулю выражения, стоящие под знаком модуля: и Построим прямые и (прямые параллельны). Эти прямые разобьют плоскость на 3 области.

2. Рассмотрим уравнение (2) в каждой области. Для этого раскроем модули в каждой области.

Замечание. При раскрытии модулей надо учитывать знак выражения, стоящего под модулем в соответствующей области. Так как знак в каждой области постоянный, то знак выражения в области совпадает со знаком выражения в любой точке этой области.

1) В области I уравнение (2) равносильно системе

Для построение в области I части прямой , найдём точку пересечения прямых (граница области) и Имеем

В области I строим часть прямой которая в этой области проходит через точку А(-1; 1).

2) В области II уравнение (2) равносильно системе

Найдём точку пересечения прямых (граница области) и . Имеем



Точкой пересечения прямых и является точка В(3; 3).

Легко проверить, что точкой пересечения прямых (граница области) и является точка А(-1; 1).

В области II строим часть прямой , которая в этой области проходит через точки А(-1; 1) и В(3; 3).

3) В области III уравнение (2) равносильно системе

В области III строим часть прямой , которая в этой области проходит через точки В(3; 3) и С(6; 0).

3. Ломаная линия (рис. 1) разбивает плоскость х0у на две части, в каждой из которых функция (левая часть неравенства (1)) сохраняет знак.

Замечание. Прямая разбивает координатную плоскость на две области, в каждой из которых функция с сохраняет знак.



Определим знак функции в точке (0; 0). Так как то в области расположенной ниже ломаной, в области расположенной выше ломаной и в точках, принадлежащих ломаной.

Решением исходного неравенства является множество точек, расположенных выше ломаной, включая ломаную. Множество решений исходного неравенства изображено на рисунке 1 штриховкой (граница области принадлежит множеству решений исходного неравенства).

3. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства.

Решения. На координатной плоскости построим график функции.

Имеем

Из последнего уравнения следует, что графиком функции является парабола с вершиной в точке (2; -1), ветви которой направлены вверх.

Точки пересечения параболы с осью абсцисс находим из уравнения



Строим график параболы (рис. 2 а)). Строим график функции (рис. 2 б)).

Любая точка, принадлежащая графику функции, имеет координаты, а точка, не принадлежащая этому графику, имеет координаты. Решением исходного неравенства является множество точек, удовлетворяющих неравенству. Множество решений изображено на рисунке 2б) штриховкой (граница области не принадлежит множеству решений неравенства).

Неравенства с параметрами

Основные методы решения неравенств рассмотрим на примерах.

Метод интервалов.

1. Решите неравенство. (1)

Решение. Рассмотрим следующие три случая.

1. Если , то неравенство (1) принимает вид

Если , то решениями неравенства (1) являются

2. Если то неравенство (1) равносильно системе



1) Рассмотрим неравенство где и. (2)

а) Если где, принадлежит интервалу где, то решением неравенства (2), а значит и неравенства (1), будет интервал, если

Решениями неравенства (1) являются где

б) Если где, не принадлежит интервалу где, то неравенство (2) на интервале не имеет решений.

2) Рассмотрим неравенство где и . (3)

а) Если где , принадлежит промежутку где , то решением неравенства (3), а значит и неравенства (1), будет промежуток , если



Решениями неравенства (1) являются , если

б) Если где , то решением неравенства (3), а значит и неравенства (1), будет промежуток если

Решениями неравенства (1) являются , если

в) Если , где , то неравенство (3) на промежутке не имеет решений.

3) Рассмотрим неравенство где и .

В этом случае решениями неравенства если , а значит и неравенства (1), являются если

Из 1) - 3) следует: если то =;

если то

3. Если то неравенство (1) равносильно системе

1) Рассмотрим неравенство где и (4).

а) Если где , принадлежит промежутку , то решением неравенства (4), а значит и неравенства (1), будет промежуток если

Решениями неравенства (1) являются где

б) Если , где , то неравенство (4), не имеет решений.

2) Рассмотрим неравенство где , . Решениями последнего неравенства, а значит и неравенства (1), являются .(отметим: если и , то )

3) Рассмотрим неравенство где , . Решениями последнего неравенства, а значит и неравенства (1), являются

Из 1) - 3) следует:

если то .

Из 1. и 3. следует: решениями неравенства (1) являются если (так как, если то ).

Ответ. Если , то нет решений; если , то ; если то

2. Решите неравенство (1)

Решение. ОДЗ неравенства (следует из неравенства ).

1. Если , то неравенство (1) принимает вид . Решениями последнего неравенства являются .

Замечание. Точки одновременно являются решениями неравенства (1) (так как и ). Это означает, если является решением неравенства (1) при , то является решением этого неравенства при .

2. Пусть .

Рассмотрим неравенство (1) при .

Если , то неравенство (1) принимает вид .

Неравенство (2) равносильно совокупности

а) Решениями первой системы совокупности (3), а значит и неравенства (2), являются если . Тогда из замечания следует, что решениями неравенства (1) также являются , если

б) Рассмотрим вторую систему совокупности (3).

Корнями квадратного уравнения , где , являются , где .

Докажем, что принадлежат промежутку Отметим: так как то, если то и Имеем



Получили, что а тогда и

Решениями второй системы совокупности (3), а значит и неравенства (2), являются , если , и. если . Тогда из замечания следует, что решениями неравенства (1), также являются , если , и если .

Ответ. Если , то ; если , то ; если , то ; если , то ; если , то ; если , то ; если , то.

Графический метод.

3. Решите неравенство .

Решение. Перепишем неравенство в виде (1)

1. Рассмотрим функции .

1) Графиком функции , является «подвижный уголок» с вершиной в точке и со сторонами

2) Имеем

График функции проходит через точку .

Отметим: прямые параллельны.

Исходное неравенство имеет решение тогда и только тогда, когда (график функции расположен выше графика функции ).

2. График функции проходит через точку А (вершина «подвижного уголка»), если

График функции проходит через точку , если

Ось абсцисс точками разбивается на 3 промежутка: .

3. Рассмотрим следующие случаи.

1) Пусть



Если то при графики функций совпадают (рис. 4 а)), тогда неравенство (1) не имеет решений (так как ) Если то (рис. 4 а)), тогда неравенство (1) не имеет решений. Итак, если то неравенство (1) не имеет решений.

2) Пусть . Из рисунка 4б) следует: если , то для любого , где абсцисса точки пересечения прямых и выполняется неравенство Тогда для решениями неравенства (1) являются . Абсциссу точки пересечения прямых и найдём из уравнения

Итак, если , то решениями неравенства (1) являются .

неравенство модуль парабола плоскость



3) Пусть . Из рисунка 4в) следует: если , то для любого , где абсцисса точки пересечения прямых и , выполняется неравенство Тогда для решениями неравенства (1) являются . Абсциссу точки пересечения прямых и найдём из уравнения

Итак, если то решениями неравенства (1) являются .

Ответ. Если , то нет решений; если , то ; если то

4. Решите неравенство . (1)

Решение. ОДЗ неравенства: (находим из неравенства ).

Так как неравенство (1) не имеет решений, если (в этом случае ), то рассмотрим это неравенство при

1. Рассмотрим функции . Имеем

Графиком функции является полуокружность, расположенная выше оси абсцисс, с центром в точке (0; 0) и радиусом, равным

Графиком функции является «уголок с подвижными сторонами» с вершиной в точке и со сторонами

Исходное неравенство имеет решение тогда и только тогда, когда .

2. Рассмотрим следующие случаи.

1) Графики функций , пересекаются не более чем в одной точке, если имеет не более одного решения система

Система (2) имеет не более одного решения, если имеет не более одного решения квадратное уравнение

Квадратное уравнение (3) имеет не более одного решения, если при дискриминант этого уравнения . Имеем

Если то решением квадратного уравнения (3) является ; если то уравнение (3) не имеет решений. Из рисунка 5 следует: решениями неравенства (1), если являются ; если то , так как в этом случае .

2) Графики функций , пересекаются в двух точках, если квадратное уравнение (3) имеет два решения. Квадратное уравнение (3) имеет два решения, если

Итак, если то решениями квадратного уравнения (3) являются

Из рисунка 5 следует: решениями неравенства (1), если , являются .

Ответ. Если , то нет решений; если , то ; если , то ; если то

Метод областей.

5. Решите неравенство . (1)

Решение. На координатной плоскости х0а построим множество точек,

удовлетворяющих уравнению . (1)

Для построения множества точек, удовлетворяющих уравнению (1) проделаем следующее.

1. Приравняем нулю выражения, стоящие под знаком модуля: . Построим прямые и . Эти прямые разобьют координатную плоскость х0а на 4 области.

2. Рассмотрим уравнение (1) в каждой области и построим в каждой области соответствующее множество точек.

1) В области I уравнение (1) равносильно системе

В области I не существует точек, принадлежащих прямой (так как ).

2) В области II уравнение (1) равносильно системе

Из последнего уравнения системы следует, что

В области II строим часть прямой Для этого найдём точки пересечения прямой с границей области: и .

а) Точки пересечении прямых найдём из системы

Точки принадлежит области II.

б) Точкой пересечении прямых и является точка , которая не принадлежит области II.

Очевидно, прямая проходит через точку которая принадлежит области II.

Через точки и в области II строим часть прямой

3) В области III уравнение (1) равносильно системе

Из последнего уравнения системы следует, что

В области III строим часть прямой

Точка является точкой пересечения прямых и . Точка является точкой пересечения прямых и . Через точки и в области III строим часть прямой .

3) В области IV уравнение (1) равносильно системе

В области IV строим часть прямой .

3. Для определения области, каждая точка которой принадлежит множеству решений неравенства , возьмём любую точку плоскости х0а, например, точка (0; 0) и определим, удовлетворяет ли она исходному неравенству. Так как точка (0; 0) не удовлетворяет исходному неравенству, то множеством решений исходного неравенства является область, которой не принадлежит точка (0; 0). (Воспользовались замечанием на стр. 2.) Заштрихованная область, в которую не входит граница области (рисунок 6), соответствует множеству решений исходного неравенства.

Для того чтобы найти решения исходного неравенства, проведём прямые .

Замечание. Если прямая не принадлежат заштрихованной области, то исходное неравенство при не имеет решений.

Если прямая пересекает границу заштрихованной области в точке с абсциссой , то решениями исходного неравенства при являются .

Из рисунка 6 и замечания следует ответ.

Ответ. Если , то нет решений; если , то ; если то

6. Решите неравенство .

Решение. На координатной плоскости х0а построим множество точек, удовлетворяющих уравнению . (1)

Для построения множества точек, удовлетворяющих уравнению (1), проделаем следующее.

1. Приравняем нулю выражения, стоящие под знаком модуля: . Построим параболы и . Эти параболы разобьют координатную плоскость х0а на 3 области.

2. Рассмотрим уравнение (1) в каждой области и построим в каждой области соответствующее множество точек.

В области I уравнение (1) равносильно системе

В области I строим часть прямой .

Найдём точки пересечении прямой и параболы (граница области) из системы



Точки и являются решениями последней системы. Через эти точки в области I строим часть прямой . Из последнего уравнения следует, что .

В области II уравнение (1) равносильно системе

Графиком уравнения является совокупность прямых и . Прямая в области II проходит через точки и (точки пересечения прямой с границей области). Прямая в области II проходит через точки и (точки пересечения прямой с границей области).

В области III уравнение (1) равносильно системе

В области III строим часть прямой . Для этого найдём точки пересечении прямой и параболы (граница области) из системы

Точки и являются решениями последней системы. Через эти точки в области III строим часть прямой . Из последнего уравнения следует, что .

Для определения области, каждая точка которой принадлежит множеству решений неравенства , возьмём любую точку плоскости х0а, например, точка (0; 1) и определим, удовлетворяет ли она исходному неравенству. Так как точка (0; 1) удовлетворяет исходному неравенству, то множеством решений исходного неравенства является область, которой принадлежит точка (0; 1). (Воспользовались замечанием на стр. 2.)

Заштрихованная область, в которую входит граница области (рисунок 7), соответствует множеству решений исходного неравенства.

Для того чтобы найти решения исходного неравенства, проведём прямые .

Замечание. Если прямая не принадлежат заштрихованной области, то исходное неравенство при не имеет решений.

Если прямая пересекает границу заштрихованной области в точках с абсциссами и , то решениями исходного неравенства при являются .

Если прямая пересекает границу заштрихованной области в одной точке с абсциссой , то исходное неравенство при имеет единственное решение .

Из рисунка 7 и замечания следует ответ.

Ответ. Если , то решений нет; если , то ; если , то ; если , то ; если , то .

Метод оценки

Определение. Функция , определённая на множестве Х, принимает на этом множестве наименьшее значение в точке , если точка и для любого .

Определение. Функция , определённая на множестве Х, принимает на этом множестве наибольшее значение в точке , если точка и для любого .

При решении неравенств методом оценки часто пользуются следующим.

1. Пусть m наименьшее значение функции на множестве Х.

Неравенство () выполняется для всех , если а не больше (меньше) наименьшего значения функции на множестве Х, то есть, если .

Неравенство () имеет решение, если .

2. Пусть M наибольшее значение функции на множестве Х.

Неравенство () выполняется для всех , если а не меньше (больше) наибольшего значения функции на множестве Х, то есть, если .

Неравенство () имеет решение, если .

Замечание. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши):

, где .

Среднее арифметическое положительных чисел не меньше их среднего геометрического. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда .

7. Найдите все значения параметра а, при которых для всех выполняется неравенство

Решение.1. Пусть .Найдём наименьшее значение функции где.

1) Рассмотрим функцию



Воспользуемся неравенством Коши. Так как то

Итак, Равенство достигается тогда и только тогда, когда

2) Оценим функцию на интервале . Для этого воспользуемся неравенством

Так как если то

Итак, для любого выполняется неравенство причём, если то Это означает, что число 4 является наименьшим значением функция на интервале . Тогда для любого числа а, удовлетворяющему неравенству , на интервале выполняется неравенство .

2. Пусть Очевидно, что , а так же очевидно, что .

Оценим функцию на интервале .

Имеем

Итак, для любого выполняется неравенство причём, если то Это означает, что число 8 является наименьшим значением функция на интервале . Тогда для любого числа а, удовлетворяющему неравенству , на интервале выполняется неравенство , то есть выполняется неравенство .

Итак: неравенство выполняется для любого если и это неравенство выполняется для любого , если Тогда исходное неравенство выполняется для любого если .

Ответ.

Оценим функцию , где .

Воспользуемся методом введения дополнительного угла. Имеем

.

Так как то можно положить

Тогда .

Так как и , то

.



Итак, наименьшее значение функции , где , равно , а наибольшее значение равно .

Наименьшее значение функции , где , равно нулю, а наибольшее значение, равно .

8. Найдите все значения параметра b, при которых неравенство имеет решение для любого а.

Решение. Наименьшее значение функции , равно

Итак, наименьшее значение функции , равно Тогда исходное неравенство имеет решение, если

Неравенство выполняется при любом а, если

Ответ.

9. Найдите все значения параметра а, при которых для любых значений выполняется неравенство

Решение. Преобразуем.

Для этого воспользуемся следующими формулами

Таким образом, имеем



Найдём наибольшее значение функции , для этого воспользуемся неравенствами: .

Имеем

Так как то наибольшее значение функции равно Тогда решением неравенства является любое если

Итак, искомые значения

Ответ.

Замечание. Если в задаче требуется определить значения параметра, при которых неравенство (уравнение, система) выполняется при всех значениях переменной из множества Х, то подставив какое-нибудь конкретное значение из Х, получим значения параметра, среди которых находятся искомые значения.

Если получаем конечное число значений параметра, то каждое из них требует проверки.

Если получаем бесконечное число значений параметра, то для нахождения искомых значений параметра надо провести дополнительные исследования.

10. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство не имеет решений на отрезке .

Решение. Рассмотрим задачу, равносильную исходной.

Найдите все значения параметра а, при которых неравенство выполняется при всех

Рассмотрим неравенство (1) при Имеем

Искомые значения параметра а могут принадлежать отрезку .

2. Рассмотрим неравенство (1) при Имеем

Искомые значения параметра а могут принадлежать отрезку .

Из 1. и 2. следует: неравенство (1) выполняется при всех если

Проверим, будет ли выполняться неравенство (1) при всех если Имеем

Ответ.

11. Найдите все значения параметра а, при которых в множестве решений неравенства содержится отрезок .

Решение. 1. Рассмотрим неравенство (1) при Имеем

Искомые значения параметра а могут принадлежать интервалу .

2. Рассмотрим неравенство (1) при Имеем

Искомые значения параметра а могут принадлежать интервалу .

Так как , то предположим, что искомые значения параметра а принадлежат интервалу .

3. Оценим левую часть неравенства (1), если и

Рассмотрим функцию , где и

Найдём промежутки монотонности функции .

Найдём производную функции . Имеем



Оценим производную .

Если и то Очевидно, Тогда

Так как где и то функция убывает на отрезке . Тогда

Если то

(Отметим, если то )

Таким образом, если и то

Ответ.

12. Найдите все значения х, при которых неравенство выполняется для всех значений параметра .

Решение. 1. Рассмотрим неравенство (1) при Имеем

Искомые значения х могут принадлежать отрезку .

2. Рассмотрим неравенство (1) при Имеем

Очевидно: принадлежит отрезку . Искомым значением возможен

Проверим, будет ли выполняться неравенство (1) для всех , если . Имеем

Ответ.

13. Решите неравенство . (1)

Решение. 1. Рассмотрим функции .

Графиком функции является «уголок» с вершиной в точке (-1;0) и со сторонами

Графиком функции является «подвижный уголок» с вершиной в точке и со сторонами

Отметим: для любого вершина «подвижного уголка» лежит на прямой

Исходное неравенство имеет решение тогда и только тогда, когда .

Замечание. Сторона (прямая) (1) «уголка» параллельна стороне (прямой) (3) «подвижного уголка», так же стороны (прямые) (2) и (4) параллельны.

2. Точки пересечения графика функции с прямой (ордината вершины «подвижного уголка» равна 4) найдём из уравнения

Ось абсцисс точками разбивается на 3 промежутка: .

3. Рассмотрим следующие случаи.

1) Пусть

Из рисунка 8 а) следует: если , то для любого где абсцисса точки пересечения прямых и , выполняется неравенство Тогда для решениями неравенства (1) являются . Абсциссу точки пересечения прямых и , где найдём из системы

Если , то решениями неравенства (1) являются .

2) Если то часть прямой совпадает с частью прямой при В этом случае решениями неравенства (1) являются .

Из 1) и 2) следует, если , то решениями неравенства (1) являются .

3) Пусть

Из рисунка 8 б) следует: если , то для любого , где абсцисса точки пересечения прямых и , выполняется неравенство Тогда для решениями неравенства (1) являются . Абсциссу точки пересечения прямых и где найдём из системы



Итак, если , то решениями неравенства (1) являются

4) Если то часть прямой совпадает с частью прямой при В этом случае решениями неравенства (1) являются .

Из 3) и 4) следует, если , то решениями неравенства (1) являются .

5) Пусть .

Из замечания и рисунка 8 в) следует, если , то неравенство (1) не имеет решений, так как

Ответ. Если , то ; если , то нет решений; если , то .

14. Решите неравенство .

Решение. На координатной плоскости х0а построим множество точек, удовлетворяющих уравнению . (1)

Для построения множества точек, удовлетворяющих уравнению (1), проделаем следующее.

1. Приравняем нулю выражения, стоящие под знаком модуля: . Получим

Построим прямые Эти прямые разобьют плоскость х0а на 4 области.

2. Рассмотрим уравнение (1) в каждой области и построим в каждой области соответствующее множество точек.

В области I уравнение (1) равносильно системе

Имеем

Замечание. Функция где на промежутке убывает, а на промежутке возрастает.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Из замечания следует, что функция при , убывает. Для построения части параболы найдём значение функции В области I строим часть параболы .

В области II уравнение (1) равносильно системе



Графиком уравнения является прямая, которая в области II проходит через точки и . В области II строим часть прямой .

В области III уравнение (1) равносильно системе

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Из замечания следует, что функция при , возрастает. Для построения части параболы найдём значения функции: и . В области III строим часть параболы , которая проходит через точки и .

В области IV уравнение (1) равносильно системе

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Из замечания следует, что функция при возрастает. Для построения части параболы найдём значение функции В области IV строим часть параболы .

Замечание. Парабола разбивает координатную плоскость на две области, в каждой из которых функция сохраняет знак.

Для определения области, каждая точка которой принадлежит множеству решений неравенства , возьмём любую точку плоскости х0а, например, точку (0; 1) и определим, удовлетворяет ли она рассматриваемому неравенству. Так как точка (0; 1) не удовлетворяет исходному неравенству, то множеством решений исходного неравенства является область, которой не принадлежит точка (0; 1). Заштрихованная область, в которую не входит граница области (рисунок 9), соответствует множеству решений исходного неравенства.

Для того чтобы найти решения исходного неравенства, проведём прямые . Ось а прямыми разбивается на 4 промежутка: На каждом промежутке найдём решение исходного неравенства. Для этого на каждом промежутке из уравнения границы находим значения х, которые соответствуют концам отрезков прямой , попавшей в заштрихованную область.

а) Если , то решениями исходного неравенства являются .

б) Если , то граница заштрихованной области задана уравнениями: и . Из первого уравнения находим а из второго - (берём больший корень уравнения , так как Решениями исходного неравенства являются .

в) Если , то граница заштрихованной области задана уравнениями: и . Из первого уравнения находим , а из второго - (берём больший корень уравнения , так как ).

Решениями исходного неравенства являются .

г) Если , то граница заштрихованной области задана уравнением . Из этого уравнения находим: , . Тогда решениями исходного неравенства являются .

Ответ. Если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то .

15. Решите неравенство

Решение. Запишем неравенство в виде

Рассмотрим функцию

1. Область определения функции (ООФ) определяется системой неравенств

На координатной плоскости х0а построим прямые:

ООФ, то есть множество решений системы (2), изображено на рисунке 10а) штриховкой (прямые не принадлежит множеству решений системы (2)).

В ООФ имеем



2. Нули функции находим из уравнения

Нулями функции являются точки части прямой , принадлежащие ООФ.

Строим часть прямой в заштрихованной области, то есть в области, являющейся ООФ (рис. 10б)). Точка является точкой пересечения прямых и

3. Определим знак функции в областях: I (ограниченной прямыми ), II (ограниченной прямыми ), III (ограниченной прямыми ).

Определим знак функции , например, в точке Имеем . Так как точка (0,25; 0,5) не удовлетворяет исходному неравенству, то область I не является множеством решений исходного неравенства.

Так как при переходе через прямую знак функции меняется на противоположный, то в области II. Это означает, что область II является множеством решений исходного неравенства.

Так как при переходе через прямую знак функции меняется на противоположный, то в области III. Это означает, что область III не является множеством решений исходного неравенства.

Для того чтобы найти решения исходного неравенства в области II проведём прямые . Ось а прямыми разбивается на 2 промежутка: . На каждом промежутке найдём решение исходного неравенства. Для этого на каждом промежутке из уравнения границы находим значения х, которые соответствуют концам отрезков прямой , попавшей в область II.

а) Если , то граница область II задана уравнениями: Из этих уравнений находим

Решениями исходного неравенства, если являются (отметим, что прямая не принадлежит ООФ, и точки прямой не принадлежат множеству решений исходного неравенства, так как это строгое неравенство).

б) Если , то граница область II задана уравнениями: Из этих уравнений находим

Решениями исходного неравенства, если являются .

Ответ. Если , то решений нет; если, то ; если , то .

16. При всех значениях параметра решите неравенство



Решение. 1. Так как то сделаем замену , где .

Исходное неравенство принимает вид . (2)

Так как (по условию) и , то

2.Рассмотрим второе неравенство последней системы.

Так как и , то Тогда

Таким образом, решением неравенства (2) является

Решения исходного неравенства находим из уравнения . Корни последнего уравнения:

Ответ.

17. Найдите все значения параметра а, при которых множеством решений неравенства а) является отрезок; б) является отрезок длиной 4.

Решение. Сделаем замену . Очевидно, Тогда где Исходное неравенство принимает вид , где . Перепишем неравенство в виде где (1)

Замечание. Решением исходного неравенства и неравенства (1) является отрезок при одних и тех же значениях параметра а (так как , то для каждого значения t находится единственное значение х).

2. Рассмотрим неравенство , где . Имеем

4. На координатной плоскости построим множество точек, удовлетворяющих системе уравнений

а) Графиком функции где является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины параболы не принадлежит отрезку . Функция возрастает на отрезке . Для построения части параболы найдём значения функции: и .

б) Графиком функции где является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы в точке Абсцисса вершины параболы принадлежит отрезку . Для построения части параболы найдём значения функции: и .

5. Множеством решений исходного неравенства является область, которой принадлежит точка (1; 0) (точка (1; 0) удовлетворяет неравенству где ). Заштрихованная область (рис. 11), в которую входит граница области: , является множеством решений неравенства (1).

Из рисунка 11 следует: если , то множеством решений неравенства (1), а значит и исходного неравенства (следует из замечания), является отрезок.

6. Найдём значения параметра а, при которых решением исходного неравенства является отрезок длиной 4.

Пусть множеством решений неравенства (1) является отрезок , где корень уравнения где . Выразим через а. Имеем

Решением неравенства (1) является отрезок , где .

Перейдём к переменой х. Тогда решением исходного неравенства является отрезок . Так как , то .

Если то

Если , то

Итак, , где .

Длина отрезка равна 4 тогда и только тогда, когда

Ответ. ;

18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множеством решений неравенства является отрезок длиной больше 3, но меньше 5.

Решение. 1. Имеем

1) Рассмотрим первое неравенство совокупности (1).

Решением неравенства является отрезок, если оба корня уравнения, , где (2) не больше числа .

Замечание. Квадратное уравнение где имеет два корня, которые не больше (не меньше) числа тогда и только, когда

Найдём дискриминант уравнения (2). Имеем

Из замечания следует: уравнение (2) имеет два корня, которые не больше числа тогда и только, когда

Итак, если то уравнение (2) имеет два корня, которые не больше числа .

Так как то

Решением неравенства , где и а значит и исходного неравенства, является отрезок

2) Рассмотрим второе неравенство совокупности (2).

Решением неравенства является отрезок, если оба корня уравнения, , где (3) не меньше числа .

Найдём дискриминант уравнения (3). Имеем

Из замечания следует: уравнение (3) имеет два корня, которые не меньше числа тогда и только, когда

Итак, если то уравнение (3) имеет два корня , которые не меньше числа .

Так как то

Решением неравенства , где а значит и исходного неравенства, является отрезок где корни уравнения (3).

Из 1) и 2) следует, что множеством решений исходного неравенства является отрезок , если или отрезок , если .

2. Найдём значения параметра а, при которых решением исходного неравенства является отрезок длиной больше 3, но меньше 5.

а) Длина отрезка , если , больше 3, но меньше 5 тогда и только тогда, когда

б) Длина отрезка , если , больше 3, но меньше 5 тогда и только тогда, когда

Ответ. .

19. Найти все значения параметра а, при которых число целых решений неравенства (1) не менее 1 и не более 5.

Решение. 1. На координатной плоскости построим множество точек, удовлетворяющих уравнению . (2)

Для построения множества точек, удовлетворяющих уравнению (2), проделаем следующее.

Найдём нули выражений, стоящих под модулями:



Итак, нули выражений, стоящих под модулями:

Рассмотрим уравнение (2). Имеем

Замечание. Графиком функции является гипербола, асимптотами которой являются прямые

Строим график совокупности (3).

1) Рассмотрим первое уравнение совокупности (3). Имеем

На промежутке строим часть гиперболы , асимптотой которой на промежутке является прямая . Гипербола проходит через точку .

2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (3). Имеем



На промежутке строим часть гиперболы (на промежутке гипербола не имеет асимптот). Гипербола проходит через точки и .

3) Рассмотрим третье уравнение совокупности (3). Легко проверить, что не удовлетворяет рассматриваемому уравнению. Поэтому рассмотрим это уравнение при . Имеем

На интервале строим часть гиперболы , асимптотами которой на интервале являются прямые и Гипербола проходит через точки и .

2. Множеством решений исходного неравенства является область, которой принадлежит точка (0; -1) (точка (0; -1) удовлетворяет неравенству ). Заштрихованная область, в которую входит граница области (рисунок 12), является множеством решений неравенства (1).

Из рисунка 12 следует: множество решений неравенства (1) содержит не менее 1 и не более 5 целых решений тогда и только тогда, когда решением неравенства (1) является отрезок.

1) Из рисунка 12 следует: решением неравенства (1), если является отрезок где это абсцисса функции тогда а это абсцисса функции тогда (Отметим, что масштаб на осях координат не соблюдается.)

Из рисунка 12 следует, что

Итак, множеством решений неравенства (1), если , является отрезок

Отрезок не содержит ни одного целого числа, тогда и только тогда когда

Итак, если то отрезок не содержит ни одного целого числа. Тогда, если то отрезок содержит не менее одного целого числа.

Если то Очевидно, если то отрезок содержит 5 целых чисел: -4, -3, -2, -1, 0.

Итак, удовлетворяют условию задачи.

2) Из рисунка 12 следует: решением неравенства (1), если является отрезок где это абсцисса функции тогда , а это абсцисса функции тогда

Итак, множеством решений неравенства (1), если , является отрезок

Из рисунка 12 следует, что

Так как (следует из рисунка 12), то отрезок содержит числа: -4, -3, -2, -1, 0, а также может содержать и другие целые числа.

Отрезок содержит не более пяти целых чисел, тогда и только тогда когда

Итак, если то отрезок содержит пять целых чисел:

-4, -3, -2, -1, 0. Тогда удовлетворяют условию задачи.

Из 1) и 2) следует ответ.

Ответ. .

20. Найдите все значения параметра а, при которых наименьшее значение функции меньше 3.

Решение. 1. Так как функция непрерывна на множестве R (как сумма непрерывных функций) и то существует точка или точки, в которых функция принимает наименьшее значение. Наименьшее значение функция принимает хотя бы в одной критической точки.

2. Найдём критические точки функции .

1) Используя определение абсолютной величины, получим

2) Найдём производную функции . Имеем

3) Из уравнения находим критическую точку если (точка не удовлетворяет условиям или ).

4) Критическими точками функции являются точки, в которых не существует. Это точки: (находятся из уравнения ).

5) Найдём значения функции в критических точках. Имеем



Замечание. Наименьшее из чисел a и b будет меньше k, тогда и только тогда, когда хотя бы одно из этих чисел меньше k, то есть, если

Так как наименьшее значение функция может принимать хотя бы в одной из критических точек, то значения параметра а, при которых наименьшее значение функции меньше 3, найдём из совокупности

Из последней совокупности следует ответ.

Ответ.

Замечание. Наименьшее значение функции меньше k, тогда и только тогда, когда неравенство имеет хотя бы одно решение.

Наименьшее значение функции больше k, тогда и только тогда, когда неравенство выполняется для любых значений х.

21. Найдите все значения параметра а, при которых наименьшее значение функции меньше 3.

Решение. Из замечания следует: надо найти все значения параметра а, при которых неравенство имеет хотя бы одно решение.

Перепишем неравенство в виде (1)

1. Рассмотрим функции .

а) Графиком функции является парабола.

б) Графиком функции является «подвижный уголок» с вершиной в точке (а; 6) и со сторонами

Неравенство (1) будет иметь хотя бы одно решение, когда графики функций и будут пересекаться (в этом случае существуют значения х, при которых ).

На рисунке 13 а) изображено положения «подвижного уголка» в случае, когда одна из сторон уголка являются касательной к параболе (в этом случае неравенство (1) не имеет решений, так как неравенство строгое).

а) Прямая является касательной к параболе , если прямая и парабола пересекаются в одной точке, то есть если имеет единственное решение уравнение Квадратное уравнение имеет единственное решение если (отметим, что удовлетворяют условию ).

б) Прямая является касательной к параболе , если уравнение имеет

единственное решение. Квадратное уравнение имеет единственное решение, если дискриминант D этого уравнения равен нулю. Имеем Если то решением рассматриваемого уравнения является . (Отметим, если то Для выполняется условие ).

в) Из рисунка 13 б) следует: если то исходное неравенство имеет хотя бы одно решение (существуют значения х, при которых ).

Ответ. .

22. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство выполняется для всех .

Решение. Рассмотрим функцию .

Найдём все значения параметра а, при которых для всех

Так как непрерывная функция (сумма непрерывных функций) и то функция принимает наименьшее.

Неравенство выполняется для всех , тогда и только тогда когда наименьшее значение функции неотрицательное. Наименьшее значение функция может принимать хотя бы в одной из критических точек. Критической точкой функции является точка, в которой производная функции равна нулю или не существует.

1.Найдём критические точки функции .

Имеем

а) Найдём производную. Имеем

б) Из уравнения находим критическую точку: (точка не удовлетворяет условию ; точка не удовлетворяет условию ; точка не удовлетворяет условию ).

в) Критическими точками функции являются точки, в которых не существует. Это точки: (находится из уравнения ), (находятся из уравнения ).

3. Найдём значения функции в критических точках. Имеем

Замечание. Наименьшее из чисел a и b будет не меньше k, тогда и только тогда, когда

Так как наименьшее значение функция может принимать хотя бы в одной из критических точек, то значения параметра а, при которых наименьшее значение функции не меньше нуля, найдём из системы (следует из замечания)

Из последнего двойного неравенства следует ответ.

Ответ.

23. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство выполняется для всех .

Решение. Перепишем неравенство

Рассмотрим функцию

Функция принимает наименьшее значение, так как:

1) непрерывная функция (сумма непрерывных функций);

2) действительно,

Неравенство выполняется для всех тогда и только тогда когда наименьшее значение функции неотрицательное. Наименьшее значение функция может принимать хотя бы в одной из критических точек.

При любом раскрытии модулей, имеем

Очевидно, Это означает, что функция на каждом промежутке, где выражение, стоящее под знаком модуля сохраняет знак, не является постоянной и является линейной. Поэтому, критическими точками функции являются точки, в которых не существует. Это точки: (находится из уравнения ), (находятся из уравнения ).

3. Найдём значения функции в критических точках. Имеем

Так как наименьшее значение функция может принимать хотя бы в одной из критических точек, то значения параметра а, при которых наименьшее значение функции не больше нуля, найдём из системы (следует из замечания задачи 22)

Из последнего неравенства следует ответ.

Ответ.

24. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство выполняется: 1) для всех ; 2) для всех .

Решение. 1) Рассмотрим функцию

При любом раскрытии модулей имеем

Очевидно,

Так как непрерывная функция (сумма непрерывных функций) и (действительно, так как то ), то множеством значений функций является множество , а тогда невозможно, чтобы существовали значения параметра а, при которых для всех выполнялось бы неравенство .

2) Непрерывная функция возрастает, так как на каждом промежутке, где выражение, стоящее под знаком модуля сохраняет знак, функция принимает вид , где . Тогда

Если , то для всех имеем

Найдём значения параметра а, при которых . Имеем

Итак, исходное неравенство имеет решения для всех , если .

Ответ. .

25. Найдите все значения параметра а, при которых для всех выполняется неравенство .

Решение. Воспользуемся следующим: если то где . Имеем

Замечание. Если неравенство выполняется для всех , то для любого неравенство выполняется для всех .

Так как неравенство выполняется для всех , то исходное неравенство выполняется для всех значений параметра

Ответ.

26. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором неравенство имеет хотя бы одно решение.

Решение. ОДЗ параметра: Так как и , то ОДЗ неравенства: .

1. Если то исходное неравенство выполняется для любого (неравенство принимает вид )

2. Пусть Обозначим:

а) Оценим функцию левую часть исходного неравенства.

Так как , то воспользуемся неравенством Коши (задача 7).

Итак, левая часть исходного неравенства

б) Оценим функцию , правую часть исходного неравенства.

Очевидно, Тогда Равенство достигается тогда и только тогда, когда

Имеем

Итак, если то Так как то функция в точке принимает наибольшее значение, равное

Замечание. Если и то неравенство может иметь решение только в случае, когда .

3. Рассмотрим исходное неравенство.

а) Так как и то исходное неравенство может иметь решение только в случае, когда

Наибольшим значением параметра а, при котором исходное неравенство может иметь хотя бы одно решение, это

Рассмотрим исходное неравенство, если Имеем

(1)

Правая часть неравенства (1) принимает наибольшее значение, равное 16, при (следует из 2.б)). Легко проверить, что является решением неравенства (1).

Итак, искомое значение параметра

Ответ.

27. Найдите все значения параметра а, при которых множество решений неравенства .

1) содержит число 10, а также содержит два непересекающихся отрезка каждый длиной 10; 2) содержит отрезок длиной 7, но не содержит отрезка длиной 9.

Решение. 1. Преобразуем исходное неравенство. Имеем

Итак, исходное неравенство равносильно системе (1).

2. Рассмотрим систему (1) при различных значениях параметра а.

а) Если , то неравенство системы (1) принимает вид Тогда система (1), а значит и исходное неравенство, не имеет решений.

б) Если , то решением квадратного неравенства системы (1), а значит и исходного неравенства, является интервал где .

Так как число 10 не принадлежит интервалу где , то число 10 при не является решением исходного неравенства.

Интервал , где , содержит отрезок длиной 7 и не содержит отрезка длиной 9, если

Итак, удовлетворяют условию 2 задачи.

в) Если то решением квадратного неравенства системы (1), а значит и исходного неравенства, является интервал , где .

Так как число 10 не принадлежит интервалу , где , то число 10 не является решением исходного неравенства, если .

Интервал , где , не содержит отрезка длиной 9 и содержит отрезок длиной 7, если

Итак, удовлетворяют условию 2 задачи.

г) Если , то решением системы (1) а значит и исходного неравенства, является множество , где .

Множество , где , содержит число 10, а также два непересекающихся отрезка каждый длиной 10, если интервал содержит два непересекающихся отрезка каждый длиной 10. Это возможно, если длина интервала больше 20, то есть, если .

Итак, удовлетворяют условию 1 задачи.

Так как длина интервала равна 9, то он содержит отрезок длиной 7, но не содержит отрезка длиной 9. Множество , где , содержит отрезок длиной 7 и оно не содержит отрезка длиной 9, если (длина интервала не больше 9).

Итак, удовлетворяют условию 2 задачи.

Ответ. 1) 2) , ,

28. Найдите все значения параметра а, при которых каждое решение неравенства (1) принадлежит отрезку .

Решение. 1. Если , то неравенство (1) принимает вид

Итак, если , то множеством решений неравенства (1) является множество Условие задачи, если , не выполняются.

2. Пусть . Преобразуем исходное неравенство. Имеем

Итак, если , то неравенство (1) равносильно квадратному неравенству

а) Если то . Тогда коэффициент при квадратного уравнения отрицательный . Поэтому множеством решений квадратного неравенства (2), а значит и неравенства (1), является отрезок , или отрезок , где

Каждое решение неравенства (1) принадлежит отрезку тогда и только тогда, когда и это равносильно системе неравенств

Итак, удовлетворяют условию задачи.

б) Если , то . Тогда коэффициент при квадратного уравнения положительный . И так как то множество Х решений квадратного неравенства (2), а значит и неравенства (1), является множество . Очевидно,

Ответ. .

29. Найдите все значения параметра а, при которых множество решений неравенства содержит все члены некоторой убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным 2,4 и положительным знаменателем.

Решение. 1. Преобразуем исходное неравенство. Имеем

Итак, исходное неравенство равносильно неравенству

Отметим: неравенство (1) является квадратным относительно

Найдём множество решений неравенства (1) при различных значениях параметра а и определим, какие значения параметра а удовлетворяют условию задачи.

1. Если то неравенство (1) принимает вид

Множеством решений неравенства (1), если является отрезок .

2. Если то неравенство (1) равносильно неравенству (так как , где ), множеством решений которого является отрезок .

Из 1. и 2. следует: если , то множеством решений неравенства (1) является отрезок .

Убывающей геометрической прогрессией с первым членом, равным 2,4, является прогрессия:

Итак, и так как , то Тогда удовлетворяют условию задачи.

3. Если то неравенство (1) принимает вид , множеством решений которого является множество. Так как то не удовлетворяет условию задачи. (Отметим: множество, содержащее конечное число элементов, не может содержать все члены некоторой убывающей геометрической прогрессии.)

4. Пусть . Так как , то при неравенство (1) равносильно системе



Итак, если , то множеством решений неравенства (1) является множество .

Так как то не удовлетворяют условию задачи.

5. Пусть . Так как , то при неравенство (1) равносильно системе

Итак, если , то множеством решений неравенства (1) является множество .

Определим, какие значения параметра удовлетворяют условию задачи.

Так как , то Тогда .

Если , где , то

Итак, если то .

Докажем, что знаменатель прогрессии q можно выбрать так, чтобы множество содержало все члены убывающей геометрической прогрессии.

Так как , то начиная с некоторого члена и все последующие члены убывающей геометрической прогрессии принадлежат отрезку . Пусть , где Так как то Тогда для любого если

Итак, если , то и . Так как геометрическая прогрессия убывающая, то и остальные члены этой прогрессии принадлежат отрезку . Итак, удовлетворяют условию задачи.

Из 1. и 5. следует ответ.

Ответ. .

30. Найдите все значения параметра а, при которых множество решений неравенства содержит все члены некоторой арифметической прогрессии, содержащей как положительные, так и отрицательные члены, разность этой прогрессии равна 0,4.

Решение. 1. Преобразуем исходное неравенство. Имеем

Итак, исходное неравенство равносильно неравенству



Отметим: неравенство (1) является квадратным относительно

Найдём множество решений неравенства (1) при различных значениях параметра а и определим, какие значения параметра а удовлетворяют условию задачи.

1. Если то неравенство (1) равносильно неравенству

Если то множеством решений неравенства (1) является множество .

2. Если то неравенство (1) равносильно неравенству множеством решений которого является множество .

В случаях 1. и 2. не существует арифметической прогрессии с разностью , содержащей как положительные, так и отрицательные члены, каждый из которых принадлежит множеству Х (так как часть членов этой прогрессии будут принадлежать интервалу , длина которого больше , то есть не будут принадлежать множеству Х).

3. Если то неравенство (1) принимает вид , множеством которого является множество . Так как все члены любой арифметической прогрессии содержатся в множестве Х, то удовлетворяет условию задачи.

4. Если , то

Если то множеством решений неравенства (1) является множество (так как, если то ).

Докажем, что требуемая арифметическая прогрессия существует.

Пусть некоторый член арифметической прогрессии Тогда отрезку принадлежат следующие члены арифметической прогрессии: . (рис. 14 а))

Член и все предыдущие члены будет принадлежать промежутку , если длина интервала , где не больше , то есть, если



Отметим, если , то и

Член и все последующие члены прогрессии будут принадлежать промежутку , где .

Итак, удовлетворяют условию задачи.

5. Если , то

Если то множеством решений неравенства (1) является множество (так как, если , то ).

Докажем, что требуемая арифметическая прогрессия существует.

Пусть некоторый член арифметической прогрессии Член (рис. 14 б)) и все предыдущие члены будет принадлежать промежутку Член и часть последующих членов будут принадлежать промежутку если длина интервала где , не больше , то есть, если



Если и , то отрезку , где , принадлежат следующие члены арифметической прогрессии: (так как, если , то и ), а и все последующие члены прогрессии будут принадлежать промежутку .

Итак, удовлетворяют условию задачи.

Из 3., 4., 5. следует ответ.

Ответ. ..

31. Найдите все значения х, каждое из которых хотя бы при одном значении параметра а удовлетворяет неравенству (1)

Решение. 1. На координатной плоскости х0а построим множество точек, удовлетворяющих уравнениям .

а) Имеем

В плоскости х0а построим прямые



б) Рассмотрим уравнение где х есть функция от а.

Функция является чётной, её график симметричен относительно оси х. Рассмотрим эту функцию при .

Функция , если , возрастает, так как показательная функция , где , возрастает.

Для построения графика функции , где , найдём:

и

Построим график функции .

в) Пусть .

Определим области, в которых

Так как то область, которой принадлежит точка принадлежит множеству решений неравенства (1). Знаки функции в остальных областях можно определить, используя следующее: при переходе через границу знак функции меняется на противоположный.

Заштрихованная область, в которую входит граница области, заданная уравнениями и не входит граница области, заданная уравнением является множеством решений исходного неравенства. Из рисунка 15 следует, что удовлетворяют условию задачи.

Ответ. .

32. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых не имеет решений неравенство (1)

Решение. Первый способ.

1. Обозначим:

Оценим функцию , для этого воспользуемся неравенством Коши (задача 7). Имеем

.

Итак, . Равенство достигается тогда и только тогда, когда

Итак, если то функция принимает наименьшее значение, равное .

б) Оценим функцию Имеем

.

Итак, . Наибольшее значение функции равно если

Отметим: для любого

в) Рассмотрим исходное неравенство 

Совокупность (2) не имеет решений тогда и только тогда, когда

Ответ.

Второй способ.

Решение. Рассмотрим исходное неравенство

1. На координатной плоскости х0а построим множество точек, удовлетворяющих уравнениям

1) Построим график функции

а) Найдём промежутки монотонности, точки экстремума, значения функции в точках экстремума.

Найдём производную функции . Имеем

Итак,

Из уравнения находим критическую точку. Имеем



Точка разбивают числовую прямую на интервалы

Определим знаки функции на каждом интервале (рис.16 а)).

Из рисунка 16 а) делаем вывод.

Функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке

Найдём значение функции в точке . Так как то

Функция в точке имеет минимум.

Для построения графика функции найдём:

.

Строим график функции

2) В плоскости х0а построим график функции .

Оценим функцию .

Имеем

.

Итак, .



Построим график функции .

Так как точка не удовлетворяет неравенства (1), то множеством решений исходного неравенства (рис. 16 б)) является заштрихованная область, в которую входит граница области, заданная уравнением и не входит граница области, заданная уравнением (при переходе через границу знак неравенства меняется на противоположный).

Из рисунка 13 б) следует, что удовлетворяют условию задачи.

Ответ.

33. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство (1) имеет единственное решение.

...