Задачи с параметрами. Неравенства

Решение. 1. ОДЗ неравенства (1) состоит из всех х и а, удовлетворяющих неравенству где .

Сделаем замену , где . Исходное неравенство принимает вид (2)

Преобразуем неравенство (2). Для этого воспользуемся формулами перехода к другому основанию:

Имеем

2. Если то Тогда неравенство (3) равносильно неравенству

Пусть

Функция , где , возрастает, так как каждый из множителей возрастает и положительный.

Уравнение , где , имеет не более одного решения, так как функция , где , возрастает. Легко проверить, что удовлетворяет последнему уравнению. Это означает, что . Тогда имеем

Так как дискриминант уравнения равный , отрицательный, если , то неравенство имеет бесконечное множество решений. Поэтому для любого исходное неравенство (1) имеет бесконечное множество решений.

2. Если то Тогда неравенство (3) равносильно неравенству .

Тогда имеем

Рассмотрим систему (4).

Дискриминант уравнения равен .

а) Пусть

Уравнение , если , имеет единственное решение, если

Если , система (4) принимает вид



Итак, если , то система (4) имеет единственное решение.

б) Если то первое неравенство системы (4) не имеет решений. Тогда система (4) не имеет решений.

в) Пусть

Уравнение , если , имеет два корня, если

Множеством решений первого неравенство системы (4), если , является отрезок где корни уравнения

Докажем, что неравенство имеет не менее двух решений.

Если , являются решениями уравнения то Тогда

Итак, если , то система (4), значит и неравенство (1), имеет не менее двух решений.

Ответ. .

34. Найдите все значения параметра а, при которых область определения функции (1) содержит ровно три целых числа.

Решение. Очевидно, , .

1.Область определения функции найдём из неравенства



Итак, область определения функции (1) состоит из всех х и а, удовлетворяющих неравенству

, где , (2).

Найдём множество решений неравенства (2) и определим, какие значения параметра а удовлетворяют условию задачи.

Замечание.

Если на множестве Х функции и одновременно возрастают или убывают, то .

Если на множестве Х одна из функций или возрастает, а другая убывает, то .

1. Пусть . Так как функция если , убывает, а функция возрастает, то

Так как неравенство квадратное, коэффициент при положительный и , то множеством решений этого неравенства является множество , где . Это множество содержит более трёх целых чисел.

2. Пусть Так как функции , если , возрастают, то

Рассмотрим неравенство

, где , (3)

1) Пусть . Множеством решений неравенства (3) является интервал где , который ни при каких значениях не содержит ровно трёх целых чисел.

2) Пусть . Тогда неравенство (3) принимает вид , так как последнее неравенство не имеет решений, то не удовлетворяет условию задачи.

3) Пусть . Множеством решений неравенства (3) является интервал где . Интервал где , содержит ровно три целых числа (это числа: 4, 5, 6), если .

Ответ. .

35. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство (1) выполняется для любых пар чисел таких, что .

Решение. Имеем

Если то неравенство (1) принимает вид

Если то неравенство (1) принимает вид

Рассмотрим систему

Отметим: если система неравенств (2) выполняется для любых значений х при некотором значении параметра то неравенство (1) выполняется для любых пар чисел таких, что при значении параметра

Система неравенств (2) имеет решения при любых значениях х тогда и только тогда, когда 1) в первом неравенстве коэффициент при положительный и дискриминант 2) во втором неравенстве коэффициент при не отрицательный, то есть, если

Система (2) выполняется для любых значений х, если

Ответ. .

36. Найдите все значения параметра а, при которых каждое решение неравенства является решением неравенства

Решение. 1. Найдём решение неравенства (1).

Неравенство (1) равносильно системе



Итак, решениями неравенства (1) являются .

2. Так как надо найдите все значения параметра а, при которых каждое является решением неравенства (2), то рассмотрим это неравенства при .

2. Рассмотрим неравенство (2) при различных значениях параметра а.

1) Если то ОДЗ неравенства: (находим из неравенства ). Параметр не удовлетворяет условию задачи.

2) Если то ОДЗ неравенства: (находим из неравенства ). Параметр не удовлетворяет условию задачи.

3) Если то ОДЗ неравенства: (находим из неравенства ).

Рассмотрим функции .

Имеем



Графиком функции является полуокружности, расположенная над осью абсцисс, с центром в точке (а; 0) и радиусом, равным а. На координатной плоскости х0у построим графики функций при некотором значении а. Отметим: прямая проходит через точку (а; 0) - центр окружности.

Из рисунка 17 следует: если то решением неравенства (2) является отрезок где . Абсциссу точки пересечения графиков функций найдём из системы

Итак, решениями неравенства (2) являются где и .

2) Промежуток является решением неравенства (2) при тех значениях параметра , при которых . Значения параметра найдём из системы

Из последней системы следует ответ.

Ответ. .

Замечание. График уравнения симметричен относительно осей координат. Для построения графика уравнения (1) надо построить график уравнения . График уравнения (1) получается симметричным отображением относительно осей координат графика уравнения (2) (каждая точка графика уравнения (2) переходит в точки )

37. Найдите все значения параметра а, при которых количество целых чисел удовлетворяющих неравенству минимально.

Решение. Для построения графика неравенства надо

1) построить график уравнения где (*);

2) симметричным отображением относительно осей координат графика уравнения (*) построить график уравнения



3) изобразить на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству (берём любую точку плоскости и определяем, будет ли она удовлетворять рассматриваемому неравенству, затем воспользуемся замечанием на стр. 2).

1. Рассмотрим неравенство (1) при различных значениях параметра а.

1) Если то неравенство (1) принимает вид Решением последнего неравенства является полоса (рис. 18 а)), которая содержит бесконечное множество целочисленных точек .



2) Если то неравенство (1) принимает вид На рисунке 18 б) штриховкой показано множество решений последнего неравенства. Из рисунка 18 б) следует, что множество решений неравенства содержит бесконечное множество целочисленных точек .

3) Пусть .

Построим график неравенства где На рисунке 18 в) штриховкой показано множество решений последнего неравенства. Из рисунка 18 в) следует, что множество решений рассматриваемого неравенства содержит бесконечное множество целочисленных точек .

4) Пусть .

Построим график неравенства где На рисунке 18 г) штриховкой показано множество решений последнего неравенства. Из рисунка 18 г) следует, что множество решений рассматриваемого неравенства содержит бесконечное множество целочисленных точек .

5) Пусть

Построим график неравенства где (2)

Множеством решений неравенства (2) является ромб с вершинами в точках: где

Пусть множеством решений неравенства (2) является множество Х.

2. Рассмотрим неравенство (2) при .

1) Если , то Поэтому для любого множеству Х принадлежат три целочисленных точки: .

Множеству Х будут принадлежать три целочисленных точки тогда и только тогда, когда

Так как последняя система не имеет решений, то множеству Х принадлежит более трёх целочисленных точек (следует из 1)).

2) Пусть

Если то множеству Х принадлежит пять целочисленных точек:

(рисунок 18 д))

3) Пусть

Если то множеству Х принадлежит пять целочисленных точек: . (рисунок 18 е)) Итак, если то множеству Х принадлежит пять целочисленных точек. При других значениях параметра а множеству Х принадлежит более пяти целочисленных точек.

Ответ.

38. Найдите все значения параметра а, при которых множество точек, заданное неравенством является подмножеством множество точек, заданное неравенством

Решение. Пусть множество решений неравенства (1) есть множество , а неравенства (2) - . Надо найти все значения параметра а, при которых

1. Рассмотрим неравенство (2). Имеем



Построим график системы (3).

1) Графиком функции , где является часть параболы, с вершиной в точке осью симметрии которой является ось абсцисс и ветви направлены вправо.

2) Графиком функции где является часть параболы, с вершиной в точке осью симметрии которой является ось абсцисс и ветви направлены влево.

3) График системы (3) (график множества ) изображён на рисунке (19 а)) штриховкой, граница области принадлежит графику системы.

2. Рассмотрим неравенство при различных значениях параметра а.

1) Если то неравенство (1) принимает вид . Решением последнего неравенства (множество ) является полоса (рис. 19 б)), которая содержит множество . Параметр удовлетворяет условию задачи.

2) Пусть .

График неравенства , где , изображён штриховкой на рисунке 19 в). Из рисунка 19 в) следует, что множество решений рассматриваемого неравенства (множество ) содержит множество . Параметр удовлетворяет условию задачи.

3) Пусть

Построим график неравенства , где

На рисунке 19 г) штриховкой показано множество решений последнего неравенства (множество ). Множеством решений неравенства (2) является ромб с вершинами в точках:

Рассмотрим, при каких значениях параметра а ромб содержит множество (т.е. ) Так как графики каждого неравенства (1) и (2) симметричны относительно осей координат, то рассмотрим эти неравенства при В этом случае неравенства (1) и (2) соответственно принимают вид: и

Если графики функций и пересекаются не более, чем в одной точке, то

Графики функций и пересекаются не более чем в одной точке, если имеет не более одного решения уравнение

(4)

Пусть D дискриминант квадратного уравнения (4). Уравнение имеет не более одного решения, если

Итак, если то Это означает, что удовлетворяют условию задачи.

Из 1) - 3) следует ответ.

Ответ.

Упражнения.

1. Решите неравенство .

Ответ. Если , то; если , то нет решений; если , то

2. Решите неравенство .

Ответ. Если то ; если , то

3. Решите неравенство .

Ответ. Если , то ; если , то; если , то ; если то решений нет.

4. Решите неравенство

Ответ. Если , то решений нет;; если , то ; если , то .

5. Для каждого значения параметра решите неравенство .

Ответ. Если , то если , то

6. При всех значениях параметра решите неравенство

Ответ.

7. Найдите все значения параметра b, при которых неравенство имеет решение при любом а.

Ответ.

8. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство выполняется для всех

Ответ.

9. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство выполняется для любых значений

Ответ.

10. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство выполняется для всех значениях х.

Ответ.

11. Найдите все значения х, при которых неравенство выполняется для всех значений параметра .

Ответ.

12. Найдите все значения параметра а, при которых имеет единственное решение неравенство (1).

Ответ.

13. Найдите все значения параметра а, при которых множеством решений неравенства является отрезок.

Ответ.

14. Найдите все значения параметра а, при которых область определения функции (1) содержит ровно одно целое число.

Ответ. .

15. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором неравенство имеет хотя бы одно решение.

Ответ.

16. Найдите все значения параметра а, при которых наименьшее значение функции больше 2.

Ответ.

Указание. Наименьшее значение функции больше k, тогда и только тогда, когда неравенство выполняется для всех значений х.

Наименьшее из чисел a и b будет больше k, тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел больше k, то есть, если

17. Докажите, что при неравенство не имеет решений. Докажите, что при неравенство имеет хотя бы одно решение.

18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство выполняется для любых пар чисел таких, что .

Ответ.

19. Найдите все значения параметра а, при которых множество точек, заданное неравенством является подмножеством множество точек, заданное неравенством

Ответ.

20. Найдите все значения параметра а, при которых количество целых чисел удовлетворяющих неравенству минимально.

Ответ.

Размещено на Allbest.ru

...