Характеристика численных методов
Основные требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам. Системы линейных алгебраических уравнений. Устойчивость и точность прямых методов. Модификации концепции сопряженных градиентов. Анализ формулы Симпсона для вычисления двойных интегралов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курс лекций |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.05.2015 |
| Размер файла | 572,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
В обоих случаях одновременно хранится не более s векторов . Теоретическое свойство сходимости за конечное число итераций в этих случаях теряется. На практике, однако, при наличии хорошего предобусловливания любая из указанных версий достаточно быстро сходится к решению.
Метод бисопряженных градиентов.
К проблеме обобщения метода сопряженных градиентов на несимметричный случай можно подойти с другой стороны. Вместо требования минимизации квадратичного функционала коэффициент можно выбирать из условия ортогональности вектора невязки к соответствующим векторам из другой системы векторов, которую будем называть биортогональной или двойственной. Выбирая указанным способом, можно гарантировать линейную независимость и, следовательно, получение решения за n итераций в условиях точной арифметики. Условие биортогональности:
.
Если теперь осуществить выбор из условия бисопряженности или псевдодвойственности по отношению к другому набору векторов:
,
то результирующий алгоритм, который будем называть методом бисопряженных градиентов, требует хранения всего лишь одного предыдущего вектора направления, т. е. затраты памяти сравнимы с методом сопряженных градиентов.
Алгоритм метода бисопряженных градиентов:
Вычислить:
Вычислить в цикле ():
2.1.;
2.2.;
2.3.;
2.4.;
2.5.;
2.6.;
2.7..
Недостатком метода является немонотонный характер сходи-мости к решению ( возможны осцилляции в поведении с ростом k). Другим недостатком является (чрезвычайно редкая в практике) ситуация, когда
либо
.
Несмотря на отмеченные недостатки, методы, основанные на построении бисопряженной системы векторов, являются при наличии подходящего предобусловливания эффективным средством решения СЛАУ с несимметричной матрицей.
Лекция 6. Численное решение уравнений. Метод итераций
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Для уравнения ввести постановки задач отделения и уточнения корней, сформулировать лемму об оценке погрешности приближенного решения, построить метод простой итерации, получить для него оценку точности, доказать его сходимость.
Пусть требуется решить уравнение
,
т. е. найти все корни , удовлетворяющие этому уравнению на отрезке .
Задача численного решения уравнения сводится, во-первых, к отделению корней, во-вторых, к последующему уточнению корней.
Отделение корней.
Отделить корни уравнения значит заключить каждый корень в интервал
,
для которого выполняются условия:
;
- знакопостоянная функция для .
Первое неравенство обеспечивает наличие в интервале хотя бы одного корня, второе условие гарантирует единственность корня (см. рис. 7.1).
Для отделения корней можно использовать аналитический и табличный способы.
Аналитический предполагает исследование функции методами математического анализа, последующее построение графика функции, из которого и определяются интервалы, содержащие единственный корень. Недостаток аналитического способа - неалгоритмизуемость.
Табличный метод предполагает составление таблицы значений, причем. Из таблицы на основании условий
алгоритмически определяются искомые интервалы . Чтобы не потерять корни, интервал отделения h должен быть достаточно малым.
Уточнение корней.
Пусть - корень уравнения
.
В дальнейшем - интервал, содержащий единственный корень.
Уточнить корень с заданной точностью значит найти приближенное значение такое, что
.
Для решения сформулированной задачи необходимо уметь производить оценку абсолютной погрешности метода, т. е. величины .
Лемма об оценке погрешности приближенного решения уравнения .
Лемма. Пусть уравнение на отрезке имеет корень . Пусть найдено некоторое его приближенное значение . Тогда
,
где
.
Доказательство. Вычислим по теореме о конечных приращениях:
.
Очевидно, что
.
Отсюда
,
или
.
Лемма доказана.
Величину называют невязкой. Из леммы следует, что судить о величине погрешности приближенного решения только по величине невязки нельзя. Необходимо учитывать и значение первой производной. Из этого рисунка следует, что одна и та же невязка приводит к существенно разным погрешностям приближенного решения, если производная в окрестности решения сильно отличается.
Метод итераций.
Для построения метода итераций преобразуем уравнение
к виду
.
Это можно сделать в общем случае так:
,
или , где
.
Постоянный множитель h выбирается при этом из условия сходимости метода (установим его позже).
Пусть известно начальное приближение . Тогда
Приведенный способ построения числовой последовательности реализуется в методе итераций:
.
Рассмотрим, как ведет себя погрешность решения на итерациях метода. Обозначим
,
где - погрешности приближенного решения на двух соседних итерациях. Подставим представленные таким образом и в итерационное правило:
.
Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки:
.
Пренебрегая остаточным членом , получим соотношение, связывающее погрешность решения метода на двух соседних итерациях:
.
Сделаем некоторые выводы на основании этого приближенного равенства.
Если , то можно ожидать, что и последовательность будет сходиться к решению, когда начальное приближение выбрано достаточно близким к .
Если , то скорее всего и метод будет расходиться, так как каждое последующее приближение будет отстоять от
решения дальше, чем предыдущее.
При и погрешности и имеют одинаковые знаки. Сходимость будет монотонной.
При и погрешности и имеют разные знаки. Сходимость является немонотонной.
Проиллюстрируем характер сходимости метода итераций графически. Образуем функции. В решении задачи значения этих функций совпадают. Первый пример соответствует условиям
и, следовательно, в этом случае наблюдается монотонная сходимость метода итераций. В следующем примере.
,
поэтому имеет место немонотонная сходимость. В последнем примере (см. рис. 7.3,в)
.
При таких значениях производной метод итераций расходится.
Рис. 7.3. Иллюстрация сходимости метода итераций
6.1 Теорема о сходимости и точности метода итераций
Теорема. Пусть уравнение приведено к виду таким образом, что функция дифференцируема и выполняется условие для всех .
Тогда:
последовательность ;
ошибка
Доказательство. Построим два соседних приближения в методе итераций:
.
Очевидно, что
,
Или
.
Таким образом,
.
Запишем это неравенство для k=1,2,…,k в следующем виде:
Построим вспомогательный ряд
Частичная сумма членов этого ряда , а значит . По этой причине
.
Последовательность частичных сумм ряда (7.2) совпадает с последовательностью приближений, вычисленных по методу итераций, а доказательство сходимости вспомогательного ряда эквивалентно доказательству сходимости метода итераций.
Рассмотрим вспомогательный числовой ряд
сходится абсолютно при . Но ряд является мажорируемым к ряду в силу неравенств. Следовательно, ряд также сходится. Первая часть теоремы доказана.
Напоминание. Ряд называется мажорируемым, если каждый его
член по модулю не превосходит соответствующего члена некоторого сходящегося ряда с положительными членами.
Получим теперь оценку погрешности приближенного решения. На основании леммы имеем:
.
Найдем . Так как , то
.
Теперь вычислим. По определению
.
Тогда
.
Вторая часть теоремы также доказана.
Замечание 1. Величину можно использовать в качестве предельной абсолютной погрешности. Для ее расчета привлекаются два соседних приближения и минимальное по модулю значение первой производной. Предельная же абсолютная погрешность лежит в основе критерия завершения итерационного процесса. Критерий останова:
,
где - допустимая величина абсолютной ошибки, или
.
Замечание 2. Рассмотрим теперь, как выбирается при построении функции . Напомним, что . Из теоремы следует, что для сходимости метода итераций необходимо, чтобы . Значит или для. Отсюда можно сделать вывод, что
при
;
при
.
Лекция 7. Метод ньютона для систем и его модификации
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Распространить метод Ньютона на системы нелинейных алгебраических уравнений; обсудить основные модификации метода: метод Ньютона с кусочно-постоянной матрицей, метод Ньютона-Рафсона, методы продолжения по параметру, метод Ньютона для плохо обусловленных систем, дискретный метод Ньютона.
7.1 Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений
Пусть задана система нелинейных уравнений
решение которой достигается в точке пространства . Обозначим
; .
Тогда исходная система запишется в виде
.
Предположим, что известно k-е приближение к . Построим правило Ньютона вычисления (k+1)-го приближения в форме
.
Разложим функцию
в ряд Тейлора в окрестности точки и сохраним в разложении два члена:
.
Полагая, что решение системы достигается на текущей итерации, относительно поправки получим систему линейных алгебраических уравнений:
.
Тогда
,
и итерационное правило Ньютона решения системы нелинейных алгебраических уравнений запишется как
Такой вид метода Ньютона неудобен на практике, потому что требует вычисления обратной матрицы, а эта операция достаточно трудоемка. На практике метод Ньютона реализуется в следующем виде:
Решается система линейных алгебраических уравнений и вычисляется вектор поправки:
,
где - матрица Якоби системы;
Вычисляется (k+1)-е приближение
,
Пункты 1, 2 повторяются для k=0,1,2,… до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.
Критерием завершения итерационного процесса служат условия
, ,
или в более общей форме
, .
7.2 Модификации метода Ньютона. Краткий обзор
Перечислим недостатки метода Ньютона, на устранение которых направлены различные его модификации:
трудность задания начального приближения, от которого метод сходится;
необходимость вычисления на каждой итерации матрицы Якоби, что может потребовать существенных вычислительных затрат;
необходимость решения на каждой итерации системы линейных алгебраических уравнений;
требование невырожденности матрицы Якоби.
Рассмотрим модификации метода Ньютона, которые в той или иной мере устраняют перечисленные недостатки.
Метод Ньютона с кусочно-постоянной матрицей.
Чтобы уменьшить вычислительные затраты на итерации, матрица Якоби в этой модификации остается постоянной на протяжении нескольких шагов. Число шагов m, на которых J постоянна, задается в такой модификации в качестве параметра, либо момент перевычисления матрицы Якоби определяется условием
,
в котором , например (матрица Якоби лишь при нарушении этого условия вычисляется заново).
Эффективность метода достигается в этом случае не только путем сокращения числа расчетов матрицы Якоби, но главным образом за счет того, что на m итерациях метода приходится решать линейные системы с одной и той же матрицей.
Метод Ньютона-Рафсона.
Чтобы обеспечить сходимость метода от выбранного начального приближения , применяется модификация, называемая методом Ньютона-Рафсона. Вычисление (k+1)-го приближения в этой модификации осуществляется по правилу
,
где - параметр, значение которого на k-й итерации выбирается из условия
.
Стратегия выбора параметра на итерации может быть такой. Вначале принимается пробное значение либо и далее это значение видоизменяется до выполнения сформулированного условия. Это условие может потребовать многократного вычисления вектора на текущей итерации. Очевидно, что при метод Ньютона-Рафсона совпадает с методом Ньютона.
Методы продолжения по параметру.
Эти методы позволяют обеспечить сходимость метода Ньютона от выбранного начального приближения .Сущность методов продолжения по параметру заключается в замене исходной задачи последовательностью задач, каждая последующая задача при этом незначительно отличается от предыдущей. Последовательность строится таким образом, что первая система имеет решение , а последняя система совпадает с исходной задачей. Поскольку системы отличаются незначительно, то решение предыдущей задачи окажется хорошим начальным приближением для последующей. Решая такую последовательность задач методом Ньютона, получим в итоге решение исходной системы. Рассмотрим способ построения указанной последовательности задач.
Пусть при решении системы
используется начальное приближение . Заменим исходное уравнение уравнением с параметром
,
которое при имеет решение , а при совпадает с решением исходной задачи, т. е.
.
В качестве можно выбрать функции
либо
.
Разобьем отрезок точками на интервалов. Получим искомую последовательность систем:
.
Метод Ньютона для плохо обусловленных задач.
Если матрица Якоби плохо обусловлена, погрешность решения линейной системы
может оказаться значительной из-за ошибок округления. Поэтому в
случае плохо обусловленных матриц при вычислении вектора поправок привлекают систему
с числовым параметром , где E-единичная матрица. При модифицированная система совпадает с линейной системой стандартного метода Ньютона, при стремлении к единице число обусловленности модифицированной системы также стремится к единице. Однако скорость сходимости соответствующего метода значительно ухудшается, поскольку при метод вырождается в метод простых итераций.
7.3 Дискретный метод Ньютона
Дискретный метод Ньютона базируется на аппроксимации матрицы Якоби на основе вычисленных значений функции в ряде вспомогательных точек. Построим его. Как и прежде, будем использовать векторную запись решаемой системы уравнений
.
Пусть известно k-е приближение к решению . Аппроксимируем функцию линейной функцией:
.
Для численного определения матрицы и вектора потребуем, чтобы значения функций и совпадали в (n+1) вспомогательных точках , т. е. чтобы выполнялось равенство
.
Вычитая из первого равенства все последующие, получим соотношения
или в матричной форме ,
где матрицы и имеют вид
Следовательно, .
Условие позволяет найти вектор :
.
Перепишем функцию , подставив найденные соотношения для и :
Примем . Будем искать из уравнения
Получим итерационную формулу дискретного метода Ньютона:
.
Заменяя обращение матрицы решением линейной системы, придем к реализуемому на практике алгоритму дискретного метода Ньютона:
Вычисляется вектор , матрицы и .
Решается система линейных алгебраических уравнений
Вычисляется вектор поправки
.
Вычисляется (k+1)-е приближение
Пункты 1ч4 повторяются для k=0,1,2,… до получения решения с требуемой точностью.
Применение дискретного метода Ньютона предполагает хранение -матриц и . Однако на практике в качестве вектора выбирается вектор алгебраический уравнение градиент интеграл
,
где - диагональная матрица параметров дискретизации, - j-й столбец единичной матрицы. Элементы матрицы вычисляют по правилу , где - константа (например, 0.1).
Лекция 8. Полиномиальная интерполяция
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Пояснить сущность задачи интерполяции; дать общую схему ее решения; построить интерполяционный полином Лагранжа, ввести разделенные разности и получить на их основе интерполяционный многочлен Ньютона.
Постановка задачи.
Важным элементом численного анализа является задача интерполирования функций, которую приходится решать в следующих приложениях: машинная графика, автоматизация проектирования, обработка экспериментальных данных, управление, передача данных и др. При этом часто возникает задача восстановления функции на отрезке, если известны ее значения в конечном числе точек отрезка. Эти значения определяются на основании экспериментальных измерений либо в результате вычислений.
Сформулируем математическую постановку задачи интерполяции.
Пусть на отрезке в точках
известны значения функции , равные
.
Требуется построить интерполянту - интерполяционную функцию , совпадающую с функцией в точках :
и в то же время аппроксимирующую ее, естественно приближенно, на всем отрезке .
Основной вопрос интерполяции: как выбрать интерполянту и как оценить погрешность ? Интерполяционные функции строятся, как правило, в виде линейной комбинации некоторых линейно-независимых элементарных функций :
,
где - коэффициенты, которые можно определить, используя условие (10.1). Из этого условия
.
Относительно коэффициентов получили систему линейных алгебраических уравнений, порядок которой равен n+1. В силу линейной независимости элементарных функций определитель этой системы отличен от нуля, и решение для единственно. Таким образом, вычисляя из (10.3) и подставляя их в (10.2), можем получить значение в любой точке .
В качестве системы линейно-независимых функций чаще всего выбирают степенные функции, например . В этом случае - полином степени n.
8.1 Интерполяционная формула Лагранжа
При построении интерполяционной формулы Лагранжа в качестве используются полиномы Лагранжа степени n, удовлетворяющие условиям
Для выполнения второго условия полином степени n должен иметь вид
,
т. е. его корнями являются все узлы интерполяции, кроме k-го. Коэффициент определим, используя первое условие:
.
Отсюда находим
.
Решение системы (10.3) при использовании в качестве элементарных функций полиномов Лагранжа имеет вид . Таким образом, интерполяционный многочлен Лагранжа представится как
.
Преобразуем его к виду, используемому на практике при вычислении значений функции:
.
Интерполяционный многочлен совпадает с интерполируемой функцией только в точках . В остальных точках имеет место погрешность интерполяции
,
которая оценивается величиной
,
где . (Вывод оценки погрешности опустим). Погрешность интерполяции зависит от числа узлов интерполяции n, а также от их расположения на отрезке . Наилучшими узлами интерполяции следует признать те , для которых принимает наименьшее значение.
Недостатком интерполяционной формулы Лагранжа является то, что каждое слагаемое зависит от всех узлов интерполяции. При добавлении узла интерполяции и, следовательно, повышении порядка полинома необходимо вычислять не только слагаемое, относящееся к новому узлу, но и перевычислять заново слагаемые, относящиеся ко всем узлам интерполяции.
Понятие конечных и разделенных разностей.
Пусть на равномерной сетке в узлах заданы значения функции , т. е.
.
Конечными разностями первого порядка называют величины
.
Разности конечных разностей первого порядка называют конечными разностями второго порядка:
.
Аналогично определяют конечные разности следующих порядков:
.
Схему вычисления конечных разностей удобно представить в виде следующего треугольника:
Если узлы интерполяции - произвольные точки, то вводится понятие разделенных разностей.
Разделенная разность первого порядка:
.
Разделенная разность второго порядка:
.
Разделенная разность k-го порядка:
Отметим два важных свойства разделенных разностей:
Разделенная разность является симметричной функцией своих аргументов, т. е. значение разделенной разности не зависит от порядка перечисления узлов интерполяции, а зависит только от их значений;
Разделенная разность вычисляется и тогда, когда две или более точки интерполяции одинаковы.
Разделенная разность первого порядка в случае, когда одинаковы две точки, имеет вид.
.
Если точка среди узлов интерполяции встречается (m+1) раз, то разделенная разность m-го порядка на этих узлах
.
Приведем теперь схему вычисления разделенных разностей
8.2 Интерполяционная формула Ньютона
Пусть . Построим первую разделенную разность
.
Откуда находим
.
Построим вторую разделенную разность
и выразим из нее :
.
Подставим в выражение для :
.
Аналогично привлекаем следующие узлы интерполяции для построения интерполяционной функции. После использования всех узлов интерполяции:
Таким образом, интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид
.
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что
.
Погрешность интерполяции
.
Более эффективное вычисление значения функции по интерполяционной формуле Ньютона можно получить, если преобразовать ее к такому виду:
Интерполяционная формула Ньютона позволяет легко наращивать число узлов интерполяции, требуя при этом вычисления лишь дополнительных слагаемых. Например, добавление узла приведет к вычислению слагаемого
.
Лекция 9. Сплайн-интерполяция
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать ограничения полиномиальной интерполяции, ввести понятие m-сплайна, построить вычислительную схему интерполяции на основе кубического сплайна.
9.1 Ограничения многочленной интерполяции
Многочленная интерполяционная функция очень чувствительна к выбору узлов интерполяции.
Рассмотрим интерполяционную формулу Лагранжа
,
где
.
Оценим норму функции , которую определим, как
.
С этой целью выполним очевидные преобразования:
.
Введем функцию Лебега:
.
Поскольку , получаем оценку:
.
Величина нормы функции зависит от распределения узлов интерполяции. Рассмотрим два случая.
Случай 1. Узлы интерполяции на отрезке распределены равномерно. В этом случае (доказательство опускаем). При увеличении n многочлен может полностью оказаться непригодным для аппроксимации , т. к. неограниченно возрастает.
Рассмотрим такой пример. Будем интерполировать функцию
полиномом n-го порядка, выбирая узлы интерполяции равномерно распределенными. Введем норму ошибки интерполяции:
и исследуем ее зависимость от порядка интерполирующего полинома. Для этого обратимся к численным результатам (см. табл.11.1).
Таблица
|
2 |
0.96 |
8 |
0.25 |
14 |
1.07 |
|
|
4 |
0.71 |
10 |
0.30 |
16 |
2.10 |
|
|
6 |
0.43 |
12 |
0.56 |
18 |
4.21 |
Видно, что с увеличением погрешность интерполяции уменьшается вплоть до . Дальнейшее увеличение порядка полинома приводит к возрастанию .
Случай 2. Узлы интерполяции являются нулями полинома Чебышева. Их нетрудно получить, если на отрезке построить полуокружность, разделить ее на равные части и спроектировать на отрезок середину каждой из них (рис. 11.1). В этом случае (доказательство опускаем). Обратимся к рассмотренному выше примеру (см. табл.11.2) Погрешность интерполяции теперь при возрастании порядка полинома монотонно падает.
Рис. Расположение нулей полинома Чебышева
Таблица
|
2 |
0.93 |
8 |
0.39 |
14 |
0.12 |
|
|
4 |
0.75 |
10 |
0.27 |
16 |
0.08 |
|
|
6 |
0.56 |
12 |
0.18 |
18 |
0.06 |
Многочленная интерполяция в точках Чебышева позволяет увеличивать точность приближения функции посредством увеличения порядка полинома. Однако привлекать узлы Чебышева не всегда удается. (Например, в узле Чебышева функция имеет особенность.) Чтобы избежать зависимости точности аппроксимации от локальных свойств функции, переходят к кусочно-полиномиальной аппроксимации.
Сплайн-интерполяция.
Назовем m-сплайнами полиномы невысокого порядка m, которыми аппроксимируется функция на интервалах и которые сшиваются в узлах интерполяции на основе требования непрерывности интерполирующей функции и ее первых производных.
Рассмотрим наиболее широко используемую на практике кубическую сплайн-интерполяцию. В ней искомая функция на интервале аппроксимируется полиномом третьей степени
Аналогичные полиномы можно записать для всех n интервалов, т. е. соотношение (11.1) справедливо для .
Условия сшивки сплайнов в узлах интерполяции:
,
,
.
Кроме того, необходимо задать граничные условия в точках и . Это можно сделать несколькими способами. Здесь будем считать, что
,
т. е. будем рассматривать интерполяцию так называемыми естественными сплайнами.
Условие приводит к уравнениям:
Получили уравнений относительно неизвестных , .
Вычислим производные:
Построим уравнения, к которым приводит условие непрерывности первой производной в узлах . При кубической сплайн-интерполяции выражения для первой производной на соседних интервалах интерполирования имеют вид
Требование непрерывности первой производной в узлах (условие 11.3) приводит к уравнениям
.
В свою очередь, непрерывность второй производной в этих же узлах (условие (11.4)) позволяет записать
,
.
Наконец, из граничных условий , получим, что
.
Соотношения (11.5), (11.6), (11.7), (11.8) составляют систему линейных алгебраических уравнений, всего уравнений, относительно неизвестных.
Построим эффективный метод решения этой системы. Выразим из (11.7) :
,
и подставим в:
.
Учтем, что
:
.
Выразим из этого соотношения :
.
Подставим теперь в формулу:
Выполним очевидные преобразования и запишем результирующую систему в виде:
Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных . Однако, если учесть, что из граничных условий
,
то приходим к системе линейных алгебраических уравнений с треугольной симметрической матрицей
Обратите внимание: матрица системы обладает диагональным преобладанием! Эту систему можно эффективно решать методом -факторизации.
Вычислив коэффициенты , из соотношений (11.9) находим
.
Из условия определяем :
Коэффициенты рассчитаем из :
так как . Коэффициенты , известны из (11.5). В результате для всех кубических сплайнов определены коэффициенты .
Расчет значений функции методом сплайн-интерполяции осуществляется следующим образом:
По описанной выше методике вычисляются коэффициенты кубических сплайнов;
Находится интервал , которому принадлежит данное . Значение функции на этом интервале вычисляется из кубического сплайна
с параметрами для интервала .
Лекция 10. Методы численного интегрирования
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Дать схему построения методов численного интегрирования посредством замены подынтегральной функции интерполяционным полиномом; получить на этой основе численные методы вычисления одномерных интегралов (методы трапеций и Симпсона); распространить метод Симпсона на случай вычисления двойных интегралов; показать, как строится схема вычисления многомерных интегралов при использовании метода Монте-Карло.
Постановка задачи.
Речь идет о вычислении определенного интеграла
в тех случаях, когда функция задана таблично, либо когда первообразная функции находится очень сложно.
Общая схема построения рассматриваемых вычислительных методов расчета определенных интегралов сводится к следующему.
Отрезок интегрирования покрывается сеткой и вычисляются значения функции во всех узлах сетки.
Рис. 12.1. Покрытие отрезка интегрирования сеткой
Подынтегральная функция на всем отрезке или на его отдельных частях заменяется легко интегрируемой интерполяционной функцией , для которой
.
В качестве интерполяционной функции чаще всего используется по-
линомиальная функция, т. е.
Вычисляется приближенное значение определенного интеграла
и оценка погрешности
.
Формула трапеций.
Примем шаг сетки, которой покрывается отрезок интегрирования , постоянным и равным
,
где - число интервалов разбиения. Узлы интерполяции вычисляются в этом случае по правилу:
,
причем .
Заменим подынтегральную функцию на отрезке интерполяционным многочленом Лагранжа первого порядка:
.
Тогда
.
Первый член в таком представлении является приближенным значением определенного интеграла, второй - погрешностью расчета.
В частности
Аналогично
Просуммируем
,
Где
Отсюда следует, что формула трапеций имеет достаточно простой вид:
.
При этом ошибка вычисления определенного интеграла не превосходит величины:
,
Где
.
Погрешность формулы трапеций имеет второй порядок относительно шага сетки.
Точность вычисления определенного интеграла может быть повышена двумя способами: уменьшением шага сетки, увеличением точности интерполяции подынтегральной функции.
Формула Симпсона.
Разобьем интервал интегрирования на четное число частей . В этом случае шаг сетки (шаг интерполирования)
,
и сеточные узлы принимают значения
,
при этом .
Рассмотрим простейший случай, когда сетка содержит только три узла: . Очевидно, что. Вычислим приближенное значение интеграла, заменяя подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второго порядка:
Первый член, составляющий приближенное значение искомого интеграла, легко интегрируется точно. В результате имеем следующее равенство:
,
где , - погрешность вычисления интеграла. Таким образом, формула Симпсона для случая трех узлов имеет вид
.
Оценим погрешность . Так как погрешность интерполяции подынтегральной функции многочленом Лагранжа второго порядка пропорциональна третьей производной от подынтегральной функции, то соотношение (12.1) является точным для всех подынтегральных функций, описываемых полиномом второй степени. В силу симметрии эта формула является точной и для подынтегральных функций, описываемых полиномом третьей степени:
,
так как она точна для . В этом нетрудно убедиться, проверив справедливость равенства
.
Рассмотрим полином третьей степени, удовлетворяющий условиям
.
Он интерполирует функцию на отрезке по значениям функции в узлах и по значению ее производной в узле (узел имеет кратность два):
,
где - погрешность кратной интерполяции, которая равна
.
(Вывод погрешности кратной интерполяции опустим.) Тогда можем записать, что
Найдем теперь погрешность приближения определенного интеграла:
Пусть теперь сетка содержит произвольное число узлов , принадлежащих отрезку интегрирования , причем. Последовательно вычислим интеграл на отрезках длиной , интерполируя подынтегральную функцию многочленом Лагранжа второго порядка:
Просуммируем левые и правые части этих соотношений:
,
Где
.
Таким образом, формула Симпсона принимает следующий вид:
.
Погрешность вычисления определенного интеграла по формуле Симпсона имеет четвертый порядок относительно шага сетки:
где
.
10.1 Формула Симпсона для вычисления двойных интегралов
Вычислить
.
Область интегрирования здесь - прямоугольник со сторонами и Применим формулу Симпсона, вычисляя определенный интеграл сначала по , затем по .
Рис. Область интегрирования
Пусть
,
.
Тогда
Для повышения точности вычислений область покрывается сетью прямоугольников. В этом случае
,
и значение двойного интеграла вычисляется в виде
Где
.
Если - криволинейная область, то для применения полученной формулы Симпсона область заключают в прямоугольник и пользуются вспомогательной функцией
Тогда
и для вычисления последнего интеграла привлекают метод Симпсона.
10.2 Вычисление многомерных интегралов методом Монте-Карло
Пусть необходимо вычислить
.
Заключим область интегрирования внутрь -мерного параллепипеда со сторонами , т. е. . Сделаем замену переменных
.
Тогда -мерный параллепипед преобразуется в -мерный единичный куб, т. к.
.
Область преобразуется в область , заключенную внутри -мерного единичного куба
Рис. 12.3. Преобразование области интегрирования в двумерном случае
С учетом преобразования переменных
где .
По теореме о среднем можно положить
,
где - объем области интегрирования , - усредненное значение функции в области .
Для вычисления и воспользуемся методом статистических испытаний (методом Монте-Карло). Пусть мы умеем строить случайные числа, распределенные в интервале по равномерному закону. Обозначим через случайную точку -мерного пространства, координаты которой являются независимыми случайными величинами, распределенными в интервале по равномерному закону. Используя датчик случайных чисел, сформируем случайных точек .
Разобьем это множество точек на два подмножества:
Пусть подмножество содержит элементов, т. е. точек из общего числа принадлежат области интегрирования . Тогда
.
Окончательное расчетное соотношение метода Монте-Карло для вычисления определенных интегралов принимает вид
.
Методом Монте-Карло пользуются в тех случаях, когда достаточен невысокий порядок точности.
Лекция 11. Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Дать постановку задачи численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями; провести классификацию численных методов по виду разностной схемы; ввести понятия локальной и интегральной точности, устойчивости по отношению к шагу интегрирования; построить простейший явный одношаговый метод, оценить его локальную погрешность, устойчивость к шагу интегрирования; пояснить свойство жесткости дифференциальных уравнений и непригодность для их решения классических явных методов.
11.1 Общая характеристика численных методов
Пусть требуется решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ)
с начальными условиями
Это значит, что необходимо найти функции на отрезке такие, что
Запишем сформулированную задачу, ее называют задачей Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в векторном виде:
Решение задачи Коши заключается в нахождении такой траектории , которая бы удовлетворяла условию .
Применение численных методов для решения задачи Коши предполагает приближенное вычисление значений в точках отрезка . С этой целью СОДУ заменяют разностной схемой, из которой рекуррентно вычисляют приближенные значения .
Запишем общий вид разностной схемы:
.
Она связывает искомое решение в текущий момент времени с построенными к этому моменту времени решениями в предыдущие моменты времени. Здесь - приближенное значение , т. е. Выбор функции в разностной схеме определяет соответствующий численный метод.
Приведем общую характеристику методов.
Если , т. е.
,
то метод является одношаговым. Он связывает решение в последующий момент времени с решением в предыдущий момент времени. Если , то метод является многошаговым.
Метод является явным, если функция не зависит от и неявным в противном случае. В случае явного одношагового метода искомое решение на текущем шаге интегрирования вычисляется тривиально:
.
Неявный одношаговый метод требует для расчета решать систему в общем случае нелинейных алгебраических уравнений
,
привлекая, например, итерационную процедуру Ньютона.
Различают локальную и интегральную погрешности метода. Локальная погрешность - ошибка на шаге интегрирования, интегральная погрешность - полная погрешность в текущий момент времени.
Обратимся к графической иллюстрации погрешности. Пусть численно решается уравнение
.
Это значение принадлежит некоторой интегральной кривой 2, являющейся решением дифференциального уравнения при другом, отличном от , начальном условии. Разница между приближенным значением и точным составляет локальную погрешность. Очевидно, что на первом шаге локальная погрешность совпадает с интегральной погрешностью. Второй шаг интегрирования приводит к приближенному значению , которое принадлежит интегральной кривой 3. Видно, что локальная погрешность на этом шаге, равная разности и значения ординаты кривой 2 в момент времени , существенно отличается от интегральной погрешности - разности между приближенным и точным значениями.
Наиболее объективной характеристикой точности метода является величина интегральной погрешности. К сожалению, выполнить ее оценку крайне сложно. На практике при выборе шага интегрирования обычно используют локальную погрешность численного метода.
Если величина шага интегрирования ограничивается только допустимой локальной погрешностью метода, то такой метод является абсолютно устойчивым к шагу интегрирования. Метод, обладающий таким свойством, позволяет осуществлять выбор шага интегрирования, исходя лишь из требуемой точности. Условно устойчивый метод характеризуется тем, что шаг интегрирования ограничивается не только допустимой локальной погрешностью, но и определенными свойствами решаемой системы. Последние ограничения являются весьма обременительными для некоторых классов задач.
Рассмотрим разностные схемы наиболее широко используемых на практике методов численного интегрирования.
Явный метод Эйлера.
Рассмотрим , где , - текущий шаг интегрирования. Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки :
.
Ограничившись в этом разложении двумя членами, получим разност-ную схему метода Эйлера
.
Локальная погрешность метода Эйлера составляет величину
.
В вычислительной математике численные методы решения обык-новенных дифференциальных уравнений принято характеризовать порядком точности.
Определение. Если локальная погрешность численного метода ,то порядок точности такого метода равен .
Метод Эйлера является методом первого порядка.
Приведем геометрическую интерпретацию явного метода Эйлера для задачи Коши
(см. рис. 13.2). Приращение на шаге интегрирования - катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла, тангенс которого равен значению производной в предыдущий момент времени. Вторым катетом этого треугольника является текущий шаг интегрирования.
Оценим устойчивость метода Эйлера по отношению к шагу интегрирования. Для этого рассмотрим линейную автономную систему
с отрицательно определенной матрицей простой структуры. Отрицательная определенность матрицы означает, что все собствен-ные значения матрицы действительны и отрицательны, т. е. . В этом случае все решения .
Применим для решения этой системы метод Эйлера с постоянным шагом :
.
Здесь E - единичная матрица соответствующей размерности.
Из алгебры известно, что для любой неособенной матрицы простой структуры существует такая неособенная матрица , которая преобразованием подобия приводит матрицу к диагональному виду:
.
Преобразуем вычислительную схему метода Эйлера следующим образом:
.
Введем замену переменных . Тогда
,
Или
.
Запишем это соотношение для i-й компоненты вектора :
,
или
,
где, т. е. определяется начальным условием.
Нетрудно видеть, что , если . Именно этим свойством обладает решение автономной системы с отрицательно определенной матрицей. Отсюда приходим к требованиям , при этом неравенство приводит к естественному условию , т. к. , а неравенство к условию
.
Очевидно, чтобы , необходимо при выборе шага интегрирования выполнить условие
.
Таким образом, явный метод Эйлера по отношению к шагу интегрирования является условно устойчивым.
Явление жесткости.
Ограниченная устойчивость численного метода является серьезным недостатком при решении так называемых жестких систем.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
,
для которого уравнение имеет единственное решение
. Любая интегральная кривая такого дифференциального уравнения характеризуется двумя участками с существенно различным поведением решения причем первый участок значительно меньше второго. Первый участок с быстрым изменением функции отражает стремление интегральной кривой к графику функции и называется пограничным слоем. На втором участке интегральная кривая практически совпадает с графиком . Однако даже при небольшом отклонении от графика в любой его точке производная резко возрастает по сравнению с производной . Именно по этой причине малый шаг интегрирования, используемый при воспроизведении быстропротекающего участка, не может быть существенно увеличен вне пограничного слоя в явных методах численного интегрирования.
Рассмотрим примеры жестких систем.
Простейшее дифференциальное уравнение
может быть жестким, если интервал наблюдения значительно превосходит величину . Решением такого уравнения является функция . Пунктирные линии на рис. 13.4 соответствуют различным значениям .
Для иллюстрации явления жесткости дифференциальных уравнений может быть полезной также любая система линейных ОДУ, матрица которой характеризуется большим разбросом собственных значений, например система
Здесь собственные числа матрицы есть .
содержит быструю составляющую как для , так и для , хотя по амплитуде быстрая составляющая функции значительно превосходит аналогичную компоненту функции
Завершая краткую характеристику свойства жесткости дифференциальных уравнений, отметим, что при решении научных задач жесткость уравнений является скорее правилом, чем исключением. По этой причине для таких задач разработаны специальные методы численного интегрирования.
Лекция 12. Одношаговые методы
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Построить простейший неявный одношаговый метод, обладающий свойством устойчивости к шагу интегрирования, оценить его локальную погрешность; дать способ Рунге-Кутта увеличения точности одношаговых методов, проиллюстрировав его методами второго и четвертого порядков точности; привести разностную схему линейных многошаговых методов, получить условия корректного выбора коэффициентов.
Неявный метод Эйлера.
Пусть требуется численно решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений
.
Формально неявный метод Эйлера можно получить, рассматривая
,
где - шаг интегрирования.
Разложим в ряд Тейлора в окрестности точки :
.
Ограничившись в разложении двумя членами, придем к разностной схеме неявного метода Эйлера:
.
Локальная погрешность при этом определяется отброшенными членами ряда Тейлора:
.
Сравнивая явный и неявный методы Эйлера между собой (см. рис. 14.1), следует отметить, что методы обладают близкой по модулю, но разной по знаку погрешностью. Рассмотрим устойчивость неявного метода Эйлера по отношению к шагу интегрирования. Применим его к системе уравнений
с отрицательно определенной матрицей , полагая шаг интегрирования постоянным:
.
Отсюда
Пусть - неособенная матрица, которая преобразованием подобия приводит матрицу к диагональному виду
.
Привлекая матрицу , преобразуем итерационное правило следующим образом:
,
Или
,
где новая переменная
.
Запишем результат для -й компоненты вектора :
.
Отсюда следует, что при любом , поскольку все .
Неявный метод Эйлера является абсолютно устойчивым по отношению к шагу интегрирования. При решении этим методом жестких систем дифференциальных уравнений шаг интегрирования выбирается только из соображений допустимой локальной погрешности.
Методы Рунге-Кутта.
Точность явных одношаговых методов численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида
можно повысить, сохраняя в разложении функции в ряд Тейлора большее число членов. Например, метод второго порядка имеет следующую разностную схему:
,
или
Где
.
Основное неудобство такой формы разностной схемы - необходимость вычисления частных производных , . Эта трудность значительно возрастает при построении методов более высокого порядка точности.
В методах Рунге-Кутта функции , где - порядок точности метода, заменяются на некоторые удобно вычисляемые функции таким образом, что
,
где - константа, не зависящая от .
В методе Рунге-Кутта второго порядка функция имеет вид
.
Разложим функцию
в ряд Тейлора в окрестности точки :
.
Подставим это разложение в выражение для :
Сравнивая и , нетрудно видеть, что при
эти формы совпадают с точностью до члена .
Если положить , то , . В результате метод Рунге-Кутта второго порядка примет вид:
,
Где
По аналогии можно построить методы Рунге-Кутта более высоких порядков. Не останавливаясь на выводе, приведем популярный на практике метод Рунге-Кутта четвертого порядка:
,
Где
На каждом шаге интегрирования в методе Рунге-Кутта четвертого порядка приходится четырежды вычислять значение функции при разных значениях аргументов. Более того, эти значения функции используются лишь однократно, что отражается на эффективности вычислений.
Методы Рунге-Кутта относятся к классу явных условно устойчивых методов. По этой причине они оказываются неприемлемыми для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
12.1 Линейные многошаговые методы
Пусть требуется найти решение на отрезке задачи Коши
.
Предположим, что построены приближенные значения решения и его первой производной в моменты времени , т. е.
.
Общий вид разностной схемы рассматриваемых здесь многошаговых методов имеет вид
где - коэффициенты (их всего), которые должны быть определены при получении конкретного многошагового метода, - шаг интегрирования.
Значения этих коэффициентов выбирают так, что если решение является полиномом степени , то разностная схема многошагового метода дает точное значение, т. е. . Поскольку полином степени
имеет параметр, то разностная схема должна иметь по крайней мере коэффициент. В большинстве практических многошаговых методов и лишние коэффициенты могут быть выбраны произвольно.
Получим соотношения, которым должны удовлетворять все коэффициента разностной схемы в предположении, что метод дает точное решение для задачи Коши, точным решением которой является полином степени . Поскольку полином -й степени включает в себя все полиномы степени ниже , то разностная схема должна также давать точное решение для всех задач Коши, имеющих полиномиальное решение степени меньшей, чем . В частности:
, . Класс задач с таким решением задается уравнением
.
Поэтому
,
,
.
Подставив эти значения в разностную схему, получим первое условие, которому должны удовлетворять коэффициенты :
.
,
.
Класс задач с таким решением задается в виде
.
Для удобства выберем . Тогда , , , . В этом случае
.
Подставим их в разностную схему:
.
Если учесть первое условие, то это соотношение преобразуется к виду
.
Наконец, разделив левую и правую части на , получим условие корректности для полиномиальных решений первой степени:
.
, .
Класс задач с таким решением
.
Полагаем, как и прежде, и находим, что
Перепишем с учетом этих соотношений разностную схему многошагового метода
Разделим левую и правую части этого соотношения на . Условие корректности для полиномиальных решений второй степени примет следующий вид:
.
Общий случай:
.
Класс задач с таким решением
.
Условие корректности для полиномиальных решений степени :
.
Анализ выписанных условий корректности для полиномиальных решений до степени включительно свидетельствует, что они имеют одинаковую форму, а именно:
Этим соотношениям должны удовлетворять все коэффициента разностной схемы линейного многошагового метода.
Лекция 13. Многошаговые методы
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: На основе общей разностной схемы линейных многошаговых методов и условий корректного выбора коэффициентов построить явные многошаговые методы Адамса, неявные многошаговые методы Адамса, неявные многошаговые методы Гира различных порядков точности.
13.1 Явные многошаговые методы Адамса
Этот класс методов легко получить из общей разностной схемы линейных многошаговых методов
и условий корректного выбора коэффициентов
Полагая
,
получим разностную схему явного многошагового метода порядка
,
где коэффициенты , их всего , однозначно определяются из условия корректности.
Из первого условия корректности находим .
Обозначим . Эта запись подчеркивает, что значение коэффи-циента зависит от порядка метода. Чтобы определить , подставим значения
в оставшиеся условий корректности:
Получили систему из линейных алгебраических уравнений относи-тельно :
Запишем явные методы Адамса различных порядков.
. Коэффициент и
.
Разностная схема явного метода Адамса первого порядка совпадает с разностной схемой явного метода Эйлера.
. Соотношения для являются системой из двух линейных алгебраических уравнений
Следовательно
,
и разностная схема явного метода Адамса второго порядка принимает вид
.
. Относительно , запишем систему линейных алгебраических уравнений третьего порядка
,
из которой следует, что
.
В результате разностная схема явного метода Адамса третьего порядка записывается следующим образом:
.
Этот процесс записи разностных схем явных многошаговых методов более высоких порядков точности можно продолжить и далее.
Не останавливаясь на выводе, приведем выражение для локальной погрешности явных многошаговых методов Адамса порядка :
,
где - постоянный коэффициент, величина которого зависит от метода, в частности
- значение -й производной функции в точке .
13.2 Неявные многошаговые методы Адамса
Неявный метод Адамса -го порядка получается из общей разностной схемы линейных многошаговых методов при условии
,
т. е.
.
Здесь
,
их всего , определяются из условий корректности полиномиальных решений -го порядка.
Как и в явных методах Адамса, . Обозначим , , подчеркивая тем самым зависимость значений коэффициентов от порядка метода. Подставим выбранные значения параметров в условие корректности:
.
Относительно неизвестных коэффициентов получим систему из линейных алгебраических уравнений:
.
Решение этой системы однозначно определяет коэффициенты неявного метода Адамса -го порядка.
Запишем неявные методы Адамса первого, второго и третьего порядков.
. Коэффициент и
.
Разностная схема неявного метода Адамса первого порядка совпадает с неявным методом Эйлера.
. В этом случае
,
и искомые коэффициенты имеют следующие значения:
,
.
Неявный метод Адамса второго порядка
,
как легко видеть, является методом трапеций.
. Коэффициенты вычисляются в этом случае из системы
.
Ее решение:
.
Неявный метод Адамса третьего порядка принимает вид:
.
Запись неявных методов Адамса более высоких порядков точности можно продолжить по аналогии.
Приведем теперь без вывода соотношение для расчета локальной погрешности неявного метода Адамса -го порядка:
,
где значения коэффициента для рассмотренных выше разностных схем соответственно равны:
.
Сравнивая явные и неявные методы Адамса одного порядка между собой, можно отметить, что методы имеют одинаковую по порядку, но разную по знаку локальную погрешность.
Неявные многошаговые методы Гира.
Неявный многошаговый метод Гира -го порядка получается из общей разностной схемы многошаговых методов при следующем выборе параметров:
.
Его разностная схема
.
Коэффициенты должны быть определены таким образом, чтобы выполнялись условия корректности полиномиальных решений, которые, с учетом выбранных значений , принимают вид
Запись подчеркивает зависимость значений этих коэффициентов от порядка метода.
Запишем условия корректности полиномиальных решений многошаговых методов Гира в развернутом виде:
.
Решение этой системы линейных алгебраических уравнений единственным образом определяет коэффициенты метода Гира -го порядка.
Приведем методы Гира первого, второго и третьего порядков.
. Коэффициенты определяются системо
,
из которой находим , и разностная схема метода Гира записывается следующим образом:
.
Разностная схема метода Гира первого порядка совпадает с неявным методом Эйлера.
. В этом случае неизвестные коэффициенты , являются решением системы
.
Видно, что
.
Разностная схема метода Гира второго порядка имеет вид
.
. При этом система линейных алгебраических уравнений
определяет следующие значения неизвестных коэффициентов:
.
Подставив эти коэффициенты в общую формулу методов Гира, получим метод Гира третьего порядка:
.
По аналогии можно построить многошаговые методы Гира и более высоких порядков.
...Подобные документы
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений, их характеристика и отличительные черты, особенности и сферы применения. Структура метода ортогонализации и метода сопряженных градиентов, их разновидности и условия, этапы практической реализации.
курсовая работа [197,8 K], добавлен 01.10.2009Сравнительный анализ численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Вычисление определителей и обратных матриц. Реализация методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и решение задач на ЭВМ. Модификации метода Гаусса.
реферат [85,2 K], добавлен 04.03.2011Постановка задачи вычисления значения определённых интегралов от заданных функций. Классификация методов численного интегрирования и изучение некоторых из них: методы Ньютона-Котеса (формула трапеций, формула Симпсона), квадратурные формулы Гаусса.
реферат [99,0 K], добавлен 05.09.2010Вычисление относительной и абсолютной погрешности табличных определённых интегралов. Приближенные методы вычисления определённых интегралов: метод прямоугольников, трапеций, парабол (метод Симпсона). Оценка точности вычисления "не берущихся" интегралов.
курсовая работа [187,8 K], добавлен 18.05.2019Метод Зейделя как модификация метода простой итерации. Особенности решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ способов построения графика функций. Основное назначение формул Симпсона. Характеристика модифицированного метода Эйлера.
контрольная работа [191,3 K], добавлен 30.01.2014Исследование метода квадратных корней для симметричной матрицы как одного из методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ различных параметров матрицы и их влияния на точность решения: мерность, обусловленность и разряженность.
курсовая работа [59,8 K], добавлен 27.03.2011Особенности решения линейных и нелинейных уравнений. Характеристика и практическое применение и различных методов при решении уравнений. Сущность многочлена Лагранжа и обратного интерполирования. Сравнение численного дифференцирования и интегрирования.
курсовая работа [799,6 K], добавлен 20.01.2010Использование численных методов, позволяющих найти приближенное значение определенного интеграла с заданной точностью. Анализ формул трапеции и параболы (Симпсона). Основной принцип построения формул приближенного вычисления определенного интеграла.
презентация [96,6 K], добавлен 18.09.2013Формирование функции Лагранжа, условия Куна и Таккера. Численные методы оптимизации и блок-схемы. Применение методов штрафных функций, внешней точки, покоординатного спуска, сопряженных градиентов для сведения задач условной оптимизации к безусловной.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 27.11.2012Характеристика и использование итерационных методов для решения систем алгебраических уравнений, способы формирования уравнений. Методы последовательных приближений, Гаусса-Зейделя, обращения и триангуляции матрицы, Халецкого, квадратного корня.
реферат [60,6 K], добавлен 15.08.2009Сущность итерационного метода решения задачи, оценка его главных преимуществ и недостатков. Разновидности итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений: Якоби, Хорецкого и верхней релаксации, их отличия и возможности применения.
курсовая работа [39,2 K], добавлен 01.12.2009Структура и элементы, принципы формирования и правила разрешения систем линейных алгебраических уравнений. История развития различных методов решения: матричного, Крамера, с помощью функции Find. Особенности применения возможностей программы Mathcad.
контрольная работа [96,0 K], добавлен 09.03.2016Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса.
контрольная работа [397,2 K], добавлен 13.12.2010Основные понятия теории погрешностей. Приближенное решение некоторых алгебраических трансцендентных уравнений. Приближенное решение систем линейных уравнений. Интерполирование функций и вычисление определенных интегралов, дифференциальных уравнений.
методичка [899,4 K], добавлен 01.12.2009Решение дифференциальных уравнений в частных производных. Метод минимальных невязок, минимальных поправок, скорейшего спуска, сопряженных градиентов. Алгоритмы и блок-схемы решения. Руководство пользователя программы. Решение системы с матрицей.
курсовая работа [380,3 K], добавлен 21.01.2014Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): Гаусса и Холецкого, их применение к конкретной задаче. Код программы решения перечисленных методов на языке программирования Borland C++ Builder 6. Понятие точного метода решения СЛАУ.
реферат [58,5 K], добавлен 24.11.2009Основные определения теории уравнений в частных производных. Использование вероятностных, численных и эмпирических методов в решении уравнений. Решение прямых и обратных задач методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [294,7 K], добавлен 17.06.2014Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
реферат [66,4 K], добавлен 14.08.2009Решение задач систем линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений, методы Гаусса и Кремера. Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения. Уравнение прямой и определение координат точек неравенства; пределы.
контрольная работа [220,9 K], добавлен 06.01.2011Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы.
курсовая работа [220,0 K], добавлен 21.10.2011
