Приведем в заключение оценку локальной погрешности (без вывода) метода Гира -го порядка:

,

где константа зависит от порядка метода и для приведенных схем соответственно равна:

.

Лекция 14. Устойчивость многошаговых методов

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Дать общую схему исследования устойчивости линейных многошаговых методов к шагу интегрирования; построить области устойчивости явных и неявных методов Адамса, неявных методов Гира, порядок точности которых изменяется в диапазоне 16; ввести понятия -устойчивости, жесткой устойчивости; сравнить методы по критерию устойчивости; показать, как осуществляются начальные вычисления в многошаговых методах.

Выбор тестовой задачи.

При анализе устойчивости многошаговых методов обращаются к простейшей задаче Коши

,

где - в общем случае комплексная величина. Такой выбор тестовой задачи объясняется тем, что устойчивая линейная система (ее решение стремится к нулю) общего вида

с действительной -матрицей простой структуры преобразованием

приводится к виду

,

Где

- неособенная матрица преобразования, - собственные значения матрицы (в общем случае комплексные величины). Таким образом, каждое уравнение

преобразованной устойчивой линейной системы является простейшим дифференциальным уравнением, совпадающим по форме с тестовым уравнением привлекаемой задачи Коши.

Точное решение тестовой задачи имеет вид

.

Если , то при любом значении . Применяя численный метод с постоянным шагом к тестовому уравнению, получим последовательность . Если , то такой метод является устойчивым.

Условие устойчивости линейного многошагового метода.

Будем полагать теперь, что для решения тестового уравнения используется многошаговый метод. В этом случае

.

Преобразуем это выражение следующим образом:

,

где .Введем подстановку

.

Тогда разностное уравнение приводится к виду

,

Или

.

Каждый корень полиномиального уравнения

,

их всего для каждого фиксированного , порождает частное решение разностного уравнения многошагового метода. Так как разностное уравнение многошагового метода линейно и для него справедлив принцип суперпозиции, общее решение в предположении, что все корни различны, можно представить в виде

,

где - постоянные коэффициенты. Если полиномиальное уравнение содержит кратный корень кратности , то соответствующий член в общем решении будет таким :

.

Отсюда следует, что , если . Таким образом, многошаговый метод является численно устойчивым для тех значений , для которых корень полиномиального уравнения лежит внутри единичной окружности .

Множество всех значений , для которых многошаговый метод является численно устойчивым, называют областью устойчивости метода.

14.1 Построение области устойчивости

Рассмотрим, как строится область устойчивости многошагового метода. Преобразуем полиномиальное уравнение следующим образом:

,

Где

Будем считать, что и вычислим соответствующее . Так как любое на единичной окружности в комплексной плоскости можно выразить в виде



То

представляет множество точек границы области устойчивости на комплексной плоскости (геометрическая иллюстрация такого преобразования приведена на. Нетрудно проверить, что кривая симметрична относительно оси . Поэтому преобразование выполняют только для углов . Границу области устойчивости метода для углов восстанавливают путем симметричного отображения кривой относительно оси .

Покажем теперь области устойчивости многошаговых методов различных порядков точности (от первого до шестого), построенные в плоскости по описанной методике.

Из рисунков следует, что размер области устойчивости линейных многошаговых методов (как явных, так и неявных) уменьшается с увеличением порядка точности. Наибольшая область устойчивости характерна для методов первого порядка точности, наименьшая - для методов шестого порядка точности.

Условие устойчивости явных многошаговых методов Адамса, впрочем, как и неявных методов Адамса выше второго порядка точности, накладывает существенные ограничения на величину шага интегрирования. По этой причине эти методы не подходят для решения жестких задач. Жесткие дифференциальные уравнения целесообразно ин-тегрировать неявными методами Адамса первого либо второго порядков точности, а также неявными методами Гира.

Определение 1. Метод называется -устойчивым, если его область устойчивости содержит всю правую полуплоскость комплексной плоскости .

Свойство -устойчивости метода позволяет выбирать шаг интегрирования исходя только из требования точности. -устойчивыми являются неявные методы Адамса и Гира первого и второго порядков точности.

Определение 2. Метод называется жестко устойчивым, если его область устойчивости содержит две подобласти и комплексной плоскости , где определяется условиями , - условием , причем в области метод обеспечивает требуемую точность.

Сущность требования заключается в том, чтобы при малых , когда , обеспечить требуемую точность быстрых составляющих решения, а при больших гарантировать затухание быстрых составляющих, не учитывая погрешность их воспроизведения.

Жестко устойчивые методы численного интегрирования позволяют эффективно решать жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений, так как шаг интегрирования в этих методах ограничивается только условием допустимой погрешности.

Анализ областей устойчивости методов Гира от третьего до шестого порядков включительно свидетельствует о том, что эти методы относятся к классу жестко устойчивых (методы Гира более высоких порядков не являются жестко устойчивыми). В частности, для метода третьего порядка , для четвертого порядка , для пятого порядка , для метода шестого порядка .

14.2 Начальные вычисления в многошаговых методах

В противоположность одношаговым методам многошаговые методы численного интегрирования не являются самоначинающимися.

Так, явный метод Адамса -го порядка

является -шаговым. Для вычисления на его основе необходимо знание решения в предыдущих временных точках, т. е. ..., . В начале вычислений известно только . По этой причине первый шаг интегрирования может быть осуществлен только одношаговым методом, второй шаг - одношаговым либо двухшаговым методом, третий шаг - одношаговым, двухшаговым либо трехшаговым методом и т. д.

Такая же стратегия вычислений реализуется и при использовании неявных -шаговых методов Адамса и Гира.

Лекция 15. Изменение шага в многошаговых методах

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, как можно на основе так называемого вектора Нордсика, не прибегая к задаче интерполяции, эффективно изменять шаг интегрирования в процессе численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Сущность проблемы изменения шага в многошаговых методах сводится к следующему.

В текущий момент времени в памяти компьютера хранятся вычисленные значения решения и умноженные на значения его производной в моменты времени . Обозначим их вектором

.

Если в момент времени принимается решение об изменении шага интегрирования, т. е.

,

где , то для выполнения шага интегрирования многошаговым методом необходимы предшествующие значения решения и значения его производной в моменты времени . Эти значения образуют вектор

,

причем только . Остальные компоненты вектора должны быть перевычислены. Использование для этой цели интерполяционной процедуры может потребовать значительных вычислительных усилий.

Имеется другой путь. Введем так называемый вектор Нордсика, который для значений временного шага и имеет вид

,

.

Заметим, что

,

так как эти величины относятся к одному и тому же моменту времени . Следовательно, значения векторов и связаны простым соотношением

,

или в компактной форме

,

где - диагональная матрица.

С другой стороны, вектор Нордсика может быть определен посредством следующего линейного преобразования переменных:

,

где - невырожденная матрица преобразования переменных линейного многошагового метода.

Объединение введенных матричных преобразований приводит к линейной системе

,

из которой для заданного вектора можно найти искомый вектор . Так как матрица имеет невысокий порядок, то такая процедура перехода от к оказывается достаточно эффективной.

Рассмотрим, как строится матрица преобразования переменных многошагового метода на примере явного метода Адамса третьего порядка. В этом случае

.

При построении матрицы воспользуемся тем свойством, что явный

метод Адамса третьего порядка позволяет найти точное решение, описываемое полиномом третьей степени

.

Очевидно, что

.

Полагая величину постоянной на трех шагах, выберем

, ,

и вычислим из соотношений для , зна-чения

:

.

Решим эту систему относительно коэффициентов :

Подставляя значения коэффициентов в соотношения для , нетрудно найти, что

В итоге связь вектора Нордсика явного метода Адамса третьего порядка с вектором имеет следующий вид:

.

Это преобразование переменных имеет место также для неявного метода Адамса четвертого порядка. Действительно, неявный метод Адамса четвертого порядка является трехшаговым методом и для него векторы и такие же, как и для явного метода Адамса третьего порядка.

Наконец, в случае метода Гира третьего порядка (он является трехшаговым) векторы и соответственно равны

Действуя по аналогии, нетрудно получить, что

.

В заключение подчеркнем, что для любого многошагового метода можно построить матрицу преобразования переменных. В свою очередь, привлечение матриц и позволяет эффективно перевычислять вектор при изменении шага интегрирования.

Сделаем ряд практических замечаний по проблеме выбора шага.

Замечание 1. При оценке погрешности интегрирования многошагового метода порядка по формуле

необходимо вычислить значение . Это легко сделать, используя -ю компоненту вектора Нордсика на двух соседних шагах:

.

Погрешность расчета находится следующим образом:

.

Замечание 2. При изменении шага интегрирования локальная погрешность оценивается по формуле

.

Из этого соотношения легко найти параметр :

,

где - допустимая величина локальной погрешности.

Литература

Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы: В 2 т. М., 1976, 1977.

Самарский А. А. Введение в численные методы. М., 1982.

Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М., 1989.

Ортега Д., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.,1986.

Вержбицкий В. М. Численные методы. М., 2000.

Ортега Д., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М., 1975.

Размещено на Allbest.ru

...