Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРС вищої математики

Короткий конспект лекцій

ЧАСТИНА 1

2005

Комплексні числа

Визначення. Комплексним числом z називається вираз , де a і b - дійсні числа, i - уявна одиниця, що визначається співвідношенням:

При цьому число a називається дійсною частиною числа z (a = Re z), а b- уявною частиною (b = Im z).

Якщо a =Re z =0, то число z буде чисто уявним, якщо b = Im z = 0, то число z буде дійсним.

Визначення. Числа й називаються комплексно спряженими.

Визначення. Два комплексних числа й називаються рівними, якщо відповідно рівні їх дійсні й уявні частини:

Визначення. Комплексне число дорівнює нулю, якщо відповідно дорівнюють нулю дійсна й уявна частини.

Поняття комплексного числа має геометричне тлумачення. Множина комплексних чисел є розширенням множини дійсних чисел за рахунок включення множини уявних чисел. Комплексні числа містять у собі всі множини чисел, які вивчалися раніше. Так натуральні, цілі, раціональні, ірраціональні, дійсні числа є, загалом кажучи, окремими випадками комплексних чисел.

Якщо будь-яке дійсне число може бути геометрично представлене у вигляді точки на числовій прямій, то комплексне число представляється точкою на площині, координатами якої будуть відповідно дійсна й уявна частини комплексного числа. При цьому горизонтальна вісь буде дійсною числовою віссю, а вертикальна - уявною віссю.

 у

A(a, b)

R b

О a x

Таким чином, на осі Ох розташовуються дійсні числа, а на осі Оу - чисто уявні.

За допомогою подібного геометричного подання можна представляти числа в так званій тригонометричній формі.

Тригонометрична форма комплексного числа

З геометричних міркувань видно, що . Тоді комплексне число можна представити у вигляді:

Така форма запису називається тригонометричною формою запису комплексного числа.

При цьому величина r називається модулем комплексного числа, а кут нахилу - аргументом комплексного числа.

.

З геометричних міркувань видно:

Очевидно, що комплексно спряжені числа мають однакові модулі й протилежні аргументи.

Дії з комплексними числами

Основні дії з комплексними числами випливають із дій з багаточленами.

1) Додавання й віднімання.

2) Множення.

У тригонометричній формі:

,

З випадку комплексно - сполучених чисел:

3) Ділення.

У тригонометричній формі:

4) Піднесення до степеня.

З операції множення комплексних чисел треба, що

У загальному випадку одержимо:

,

де n - ціле додатне число.

Цей вираз називається формулою Муавра. (Абрахам де Муавр (1667-1754) - англійський математик)

Формулу Муавра можна використати для знаходження тригонометричних функцій подвійного, потрійного й т.д. кутів.

Приклад. Знайти формули і .

Розглянемо деяке комплексне число

Тоді з однієї сторони .

По формулі Муавра:

Дорівнюючи, одержимо

Оскільки два комплексних числа рівні, якщо рівні їх дійсні й уявні частини, то

Одержали відомі формули подвійного кута.

5) Добування кореня з комплексного числа.

Підносячи до степеня, одержимо:

Звідси:

Таким чином, корінь n-го степеня з комплексного числа має n різних значень.

Показникова форма комплексного числа.

Розглянемо показову функцію

Можна показати, що функція w може бути записана у вигляді:

Дана рівність називається рівнянням Ейлера. Висновок цього рівняння буде розглянутий пізніше.

Для комплексних чисел будуть справедливі наступні властивості:

1)

2)

3) де m - ціле число.

Якщо в рівнянні Ейлера показник степеня прийняти за чисто уявне число (х=0), то одержуємо:

Для комплексно спряженого числа одержуємо:

З цих двох рівнянь одержуємо:

Цими формулами користуються для знаходження значень ступенів тригонометричних функцій через функції кратних кутів.

Якщо представити комплексне число в тригонометричній формі:

і скористаємося формулою Ейлера:

Отримана рівність і є показниковою формою комплексного числа.

Розклад багаточлена на множники

Визначення. Функція вигляду f(x) називається цілою раціональною функцією від х.

Теорема Безу. (Етьєн Безу (1730-1783) - французький математик)

При діленні багаточлена f(x) на різницю x - a виходить остача, рівна f(a).

Доведення. При діленні багаточлена f(x) на різницю x - a часткою буде багаточлен f1(x) степеня на одиницю меншого, ніж f(x), а остачею - стале число R.

Переходячи до границі при х a, одержуємо f(a) = R.

Наслідок. Якщо, а - корінь багаточлена, тобто f(a) = 0, то багаточлен f(x) ділиться на (х - а) без остачі.

Визначення. Якщо рівняння має вигляд Р(х) = 0, де Р(х) - багаточлен степеня n, то це рівняння називається алгебраїчним рівнянням ступеня n.

Теорема. (Основна теорема алгебри) Усяка ціла раціональна функція f(x) має, принаймні, один корінь, дійсний або комплексний.

Теорема. Усякий багаточлен n-го степеня розкладається на n лінійних множників вигляду (x - a) і множник, що дорівнює коефіцієнту при xn.

Теорема. Якщо два багаточлени тотожно рівні один одному, то коефіцієнти одного багаточлена дорівнюють відповідним коефіцієнтам іншого.

Якщо серед коренів багаточлена зустрічаються кратні коріння, то розклад на множники має вигляд:

ki - кратність відповідного кореня.

Звідси випливає, що будь-який багаточлен n-го степеня має рівно n коренів (дійсних або комплексних).

Ця властивість має велике значення для розв'язання алгебраїчних рівнянь, диференціальних рівнянь і відіграє важливу роль в аналізі функцій.

Розгляньмо кілька прикладів дій з комплексними числами.

Приклад. Дано два комплексних числа . Потрібно а) знайти значення виразу в алгебраїчній формі, б) для числа знайти тригонометричну форму, знайти z20, знайти корінь рівняння

Очевидно, справедливе наступне перетворення:

Далі виконуємо ділення двох комплексних чисел:



Одержуємо значення заданого виразу: 16(-i)4 = 16i4 =16.

б) Число представимо у вигляді , де

Тоді .

Для знаходження скористаємося формулою Муавра.

Якщо , то

Лінійна алгебра

Основні визначення

Визначення. Матрицею розміру mn, де m - число рядків, n - число стовпців, називається таблиця чисел, розташованих у певному порядку. Ці числа називаються елементами матриці. Місце кожного елемента однозначно визначається номером рядка й стовпця, на перетині яких він перебуває. Елементи матриці позначаються aij, де i - номер рядка, а j - номер стовпця.

А =

Основні дії над матрицями

Матриця може складатися як з одного рядка, так і з одного стовпця. Загалом кажучи, матриця може складатися навіть із одного елемента.

Визначення. Якщо число стовпців матриці дорівнює числу рядків (m=n), то матриця називається квадратною.

Визначення. Матриця вигляду:

= E,

називається одиничною матрицею.

Визначення. Якщо amn = anm , то матриця називається симетричною.

Приклад. - симетрична матриця

Визначення. Квадратна матриця виду називається діагональною матрицею.

Додавання й віднімання матриць зводиться до відповідних операцій над їхніми елементами. Найголовнішою властивістю цих операцій є те, що вони визначені тільки для матриць однакового розміру. Таким чином, можливо визначити операції додавання й віднімання матриць:

Визначення. Сумою (різницею) матриць є матриця, елементами якої є відповідно сума (різниця) елементів вихідних матриць.

cij = aij bij

C = А + В = В + А.

Операція множення (ділення) матриці будь-якого розміру на довільне число зводиться до множення (ділення) кожного елемента матриці на це число.

(А В) =А В

А () =А А

Приклад. Дано матриці А = ; B = , знайти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

Операція множення матриць

Визначення: Добутком матриць називається матриця, елементи якої можуть бути обчислені за наступними формулами:

AB = C;

.

З наведеного визначення видно, що операція множення матриць визначена тільки для матриць, число стовпців першої з яких дорівнює числу рядків другої.

Властивості операції множення матриць

1) Множення матриць не комутативне, тобто АВ ВА навіть якщо визначені обидва добутки. Однак, якщо для яких-небудь матриць співвідношення АВ=ВА виконується, то такі матриці називаються комутуючими.

Найхарактернішим прикладом може слугувати одинична матриця, що є комутуючою з будь-якою іншою матрицею того ж розміру.

Комутуючими можуть бути тільки квадратні матриці того самого порядку.

АЕ = ЕА = А

Очевидно, що для будь-яких матриць виконуються наступну властивість:

AO = O; OA = O,

де О - нульова матриця.

2) Операція перемножування матриць асоціативна, тобто якщо визначені добутки АВ і (АВ)С, то визначені ВС і А(ВС), і виконується рівність:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операція множення матриць дистрибутивна стосовно додавання, тобто якщо мають сенс виразу А(В+С) і (А+В)С, те відповідно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Якщо добуток АВ визначений, то для будь-якого числа вірне співвідношення:

(AB) = (A)B = A(B).

5) Якщо визначено добуток АВ , те визначений добуток ВТАТ і виконується рівність:

(АВ)Т = ВТАТ, де

індексом Т позначається транспонована матриця.

6) Відмітимо також, що для будь-яких квадратних матриць det (AB) = det Adet B.

Поняття det (визначник, детермінант) буде розглянуто нижче.

Визначення. Матрицю В називають транспонованою матрицею А, а перехід від А к В транспонуванням, якщо елементи кожного рядка матриці А записати в тім же порядку в стовпці матриці В.

А = ; В = АТ= ;

інакше кажучи, bji = aij.

Як наслідок з попередньої властивості (5) можна записати, що:

(ABC)T = CTBTAT,

за умови, що визначено добуток матриць АВС.

Приклад. Дано матриці А = , В = , С = і число = 2. Знайти АТВ+С.

AT = ; ATB = = = ;

C = ; АТВ+С = + = .

Приклад. Знайти добуток матриць А = і В = .

АВ = = .

ВА = = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.

Приклад. Знайти добуток матриць А= , В =

АВ = = = .

Визначники (детермінанти)

Визначення. Визначником квадратної матриці А= називається число, що може бути обчислене по елементах матриці по формулі:

det A = , де

М1k - детермінант матриці, отриманої з вихідної викреслюванням першого рядка й k-го стовпця. Варто звернути увагу на те, що визначники мають тільки квадратні матриці, тобто матриці, у яких число рядків дорівнює числу стовпців.

Попередня формула дозволяє обчислити визначник матриці за першим рядком, також справедлива формула обчислення визначника за першим стовпцем:

det A =

Загалом кажучи, визначник може обчислюватися за будь-яким рядком або стовпцем матриці, тобто справедлива формула:

det А = , i = 1,2,…,n...

Очевидно, що різні матриці можуть мати однакові визначники.

Визначник одиничної матриці дорівнює 1.

Для зазначеної матриці А число М1k називається додатковим мінором елемента матриці a1k. Таким чином, можна помітити, що кожний елемент матриці має свій додатковий мінор. Додаткові мінори існують тільки у квадратних матрицях.

Визначення. Додатковий мінор довільного елемента квадратної матриці aij дорівнює матриці, отримана з вихідної викреслюванням i-го рядка та j-го стовпця.

Властивість1. Важливою властивістю визначників є наступне співвідношення:

det A = det AT;

Властивість 2. det ( A B) = det A det B.

Властивість 3. det ( AB ) = det Adet B

Властивість 4. Якщо у квадратній матриці поміняти місцями які-небудь два рядки (або стовпці), то визначник матриці змінить знак, не змінившись за абсолютною величиною.

Властивість 5. При множенні стовпця (або рядка) матриці на число її визначник множиться на це число.

Визначення: Стовпці (рядки) матриці називаються лінійно залежними, якщо існує їхня лінійна комбінація, рівна нулю, що має нетривіальні (не рівні нулю) розв'язки.

Властивість 6. Якщо в матриці А рядки або стовпці лінійно залежні, то її визначник дорівнює нулю.

Властивість 7. Якщо матриця містить нульовий стовпець або нульовий рядок, то її визначник дорівнює нулю. (Дане твердження очевидно, тому що рахувати визначник можна саме за нульовим рядком або стовпцем.)

Властивість 8. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів однієї з його рядків(стовпця) додати(відняти) елементи іншого рядка(стовпця), помножені на яке-небудь число, не рівне нулю.

Властивість 9. Якщо для елементів якого-небудь рядка або стовпця матриці вірне співвідношення: d = d1 d2 , e = e1 e2 , f = f1 f2 , то вірно:

Приклад. Обчислити визначник матриці А =

= -5 + 18 + 6 = 19.

Приклад:. Дано матриці А = , В = . Знайти det (AB).

1-й спосіб: det A = 4 - 6 = -2; det B = 15 - 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.

2- й спосіб: AB = , det (AB) = 718 - 819 = 126 - 152 = - 26.

Елементарні перетворення матриці

Визначення. Елементарними перетвореннями матриці назвемо наступні перетворення:

1) множення рядка на число, відмінне від нуля;

2) додавання до елементів одного рядка елементів іншого рядка;

3) перестановка рядків;

4) викреслювання (видалення) одного з однакових рядків (стовпців);

5) транспонування;

Ті ж операції, застосовані до стовпців, також називаються елементарними перетвореннями.

За допомогою елементарних перетворень можна до якого-небудь рядка або стовпця додати лінійну комбінацію інших рядків ( стовпців ).

Мінори

Вище було використане поняття додаткового мінора матриці. Дамо визначення мінора матриці.

Визначення. Якщо в матриці А видалити кілька довільних рядків і стільки ж довільних стовпців, то матриця, складена з елементів, розташованих на перетині цих рядків і стовпців називається мінором матриці А. Якщо виділено s рядків і стовпців, то отриманий мінор називається мінором порядку s.

Відмітимо, що вищесказане застосовне не тільки до квадратних матриць, але й до прямокутних.

Якщо викреслити з вихідної квадратної матриці А виділені рядки й стовпці, то отримана матриця буде додатковим мінором.

Алгебраїчні доповнення

Визначення. Алгебраїчним доповненням мінора матриці називається визначник його додаткового мінора, помножений на (-1) у степені, рівному сумі номера рядка і номера стовпця мінора матриці.

В окремому випадку, алгебраїчним доповненням елемента матриці називається його додатковий мінор, узятий зі своїм знаком, якщо сума номерів стовпця й рядка, на яких стоїть елемент, є число парне і з протилежним знаком, якщо непарне.

Теорема Лапласа. Якщо обрано s рядків матриці з номерами i1, … ,is, то визначник цієї матриці дорівнює сумі добутків всіх елементів, розташованих в обраних рядках на їхні алгебраїчні доповнення.

Обернена матриця

Визначимо операцію ділення матриць як операцію, обернену множенню.

Визначення. Якщо існують квадратні матриці Х и А одного порядку, що задовольняють умові:

XA = AX = E,

де Е - одинична матриця того ж самого порядку, що й матриця А, те матриця Х називається оберненою до матриці А и позначається А-1.

Кожна квадратна матриця з визначником, не рівним нулю має обернену матрицю й притім тільки одну.

Розглянемо загальний підхід до знаходження оберненої матриці. Виходячи з визначення добутку матриць, можна записати:

AX = E , i=( 1, n ), j=( 1, n ),

eij = 0, i j,

eij = 1, i = j .

Таким чином, одержуємо систему рівнянь:

,

Вирішивши цю систему, знаходимо елементи матриці Х.

Приклад. Дано матрицю А = , знайти А-1.

Таким чином, А-1=.

Однак, такий спосіб незручний при знаходженні обернених матриць більших порядків, тому звичайно застосовують наступну формулу:

,

де Aji - алгебраїчне доповнення елемента аji матриці А.

Приклад. Дано матрицю А = , знайти А-1.

det A = 4 - 6 = - 2.

M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1

x11= - 2; x12= 1; x21= 3/2; x22= - 1/2

Таким чином, А-1=.

Властивості обернених матриць

Вкажемо наступні властивості обернених матриць:

1) (A-1)-1 = A;

2) (AB)-1 = B-1A-1

3) (AT)-1 = (A-1)T.

Приклад. Дано матрицю А = , знайти А3.

А2 = АА = = ; A3 = = .

Відзначимо, що матриці і є комутуючими.

Приклад. Обчислити визначник .

= - 1

= - 1(6 - 4) - 1(9 - 1) + 2(12 - 2) = - 2 - 8 + 20 = 10.

= = 2(0 - 2) - 1(0 - 6) = 2.

= = 2(-4) - 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значення визначника: - 10 + 6 - 40 = - 44.

Базовий мінор матриці

Ранг матриці.

Як було сказано вище, мінором матриці порядку s називається матриця, утворена з елементів вихідної матриці, що перебувають на перетині яких-небудь обраних s рядків і s стовпців.

Визначення. У матриці порядку mn мінор порядку r називається базовим, якщо його визначник не дорівнює нулю, а всі мінори порядку r+1 і вище дорівнюють нулю, або не існують зовсім, тобто r збігається з меншим із чисел m або n.

Стовпці й рядки матриці, на яких стоїть базовий мінор, також називаються базовими.

У матриці може бути кілька різних базових мінорів, що мають однаковий порядок.

Визначення. Порядок базового мінору матриці називається рангом матриці й позначається Rank А.

Дуже важливою властивістю елементарних перетворень матриць є те, що вони не змінюють ранг матриці.

Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.

Треба відзначити, що рівні матриці й еквівалентні матриці - поняття зовсім різні.

Теорема. Найбільше число лінійно незалежних стовпців у матриці дорівнює числу лінійно незалежних рядків.

Оскільки елементарні перетворення не змінюють ранг матриці, то можна істотно спростити процес знаходження рангу матриці.

Приклад. Визначити ранг матриці.

, Rank A = 2.

Приклад: Визначити ранг матриці.

, Rank A = 2.

Приклад. Визначити ранг матриці.

, Rank A = 2.

Якщо за допомогою елементарних перетворень не вдається знайти матрицю, еквівалентну вихідній, але меншого розміру, то знаходження рангу матриці варто починати з обчислення мінорів найвищого можливого порядку. У вищенаведеному прикладі - це мінори порядку 3. Якщо хоча б один з них не дорівнює нулю, то ранг матриці дорівнює порядку цього мінору.

Теорема про базовий мінор

Теорема. У довільній матриці А кожний стовпець (рядок) є лінійною комбінацією стовпців (рядків), у яких розташований базовий мінор.

Таким чином, ранг довільної матриці А дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків (стовпців) у матриці.

Якщо А - квадратна матриця й det А = 0, то принаймні один зі стовпців - лінійна комбінація інших стовпців. Те ж саме справедливе й для рядків. Дане твердження слід із властивості лінійної залежності при визначнику рівному нулю.

Матричний метод розв'язання систем лінійних рівнянь

Матричний метод застосуємо до розв'язання систем рівнянь, де число рівнянь дорівнює числу невідомих.

Метод зручний для розв'язання систем невисокого порядку.

Метод заснований на застосуванні властивостей множення матриць.

Нехай дана система рівнянь:

Складемо матриці:

A = ; B = ; х = .

Систему рівнянь можна записати:

Aх = B.

Зробимо наступне перетворення: A-1Aх = A-1B,

оскільки А-1А = Е, то Ех = А-1В

х = А-1В

Для застосування даного методу необхідно знаходити обернену матрицю, що може бути пов'язане з обчислювальними труднощами при розв'язанні систем високого порядку.

Приклад. Розв'язати систему рівнянь:



х = , B = , A =

Знайдемо обернену матрицю А-1.

= det A = 5(4-9) + 1(2 - 12) - 1(3 - 8) = -25 - 10 +5 = - 30.

А11 = = - 5;

А21 = - = - 1;

А31 = = -1;

А12 = -

А22 =

А32 = -

А13 = А23 = -

А33 =



A-1 = ;

Зробимо перевірку:

AA-1 = =E.

Знаходимо матрицю х.

х = = А-1В = = .

Отже розв'язок системи: x =1; y = 2; z = 3.

Незважаючи на обмеження можливості застосування даного методу й складність обчислень при більших значеннях коефіцієнтів, а також систем високого порядку, метод може бути легко реалізований на ЕОМ.

Метод Крамера

(Габріель Крамер (1704-1752) швейцарський математик)

Даний метод також застосуємо тільки у випадку систем лінійних рівнянь, де число змінних збігається із числом рівнянь. Крім того, необхідно ввести обмеження на коефіцієнти системи. Необхідно, щоб всі рівняння були лінійно незалежні, тобто жодне рівняння не було б лінійною комбінацією інших.

Для цього необхідно, щоб визначник матриці системи не дорівнював 0.

det A 0;

Дійсно, якщо яке-небудь рівняння системи є лінійною комбінацією інших, то якщо до елементів якого-небудь рядка додати елементи іншої, помножені на яке-небудь число, за допомогою лінійних перетворень можна одержати нульовий рядок. Визначник у цьому випадку буде дорівнює нулю.

Теорема. (Правило Крамера)

Теорема. Система з n рівнянь із n невідомими

у випадку, якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю, має єдиний розв'язок й цей розв'язок знаходиться за формулами:

xi = i/, де

= det A, а i - визначник матриці, одержаної з матриці системи заміною стовпця i стовпцем вільних членів bi.

i =

Приклад.

A = ; 1= ; 2= ; 3= ;

x1 = 1/det А; x2 = 2/det А; x3 = 3/det А;

Приклад. Знайти розв'язок системи рівнянь:

= = 5(4 - 9) + (2 - 12) - (3 - 8) = -25 - 10 + 5 = - 30;

1 = = (28 - 48) - (42 - 32) = - 20 - 10 = - 30.

x1 = 1/ = 1;

2 = = 5(28 - 48) - (16 - 56) = - 100 + 40 = - 60.

x2 = 2/ = 2;

3 = = 5( 32 - 42) + (16 - 56) = - 50 - 40 = - 90.

x3 = 3/ = 3.

Як видно, результат збігається з результатом, отриманим вище матричним методом.

Якщо система однорідна, тобто bi = 0, то при 0 система має єдине нульовий розв'язок x1 = x2 = … = xn = 0...

При = 0 система має нескінченну множину розв'язків.

Для самостійного розв'язку:

; Відповідь: x = 0; y = 0; z = - 2.

Розв'язання довільних систем лінійних рівнянь

Як було сказано вище, матричний метод і метод Крамера застосовні тільки до тих системам лінійних рівнянь, у яких число невідомих дорівнює числу рівнянь. Далі розглянемо довільні системи лінійних рівнянь.

Визначення. Система m рівнянь із n невідомими в загальному виді записується в такий спосіб:

,

де aij - коефіцієнти, а bi - сталі. Розв'язками системи є n чисел, які при підстановці в систему перетворюють кожне її рівняння в тотожність.

Визначення. Якщо система має хоча б один розв'язок, то вона називається сумісною. Якщо система не має жодного розв'язку, то вона називається несумісною.

Визначення. Система називається визначеною, якщо вона має тільки один розв'язок й невизначеною, якщо більше одного.

Визначення. Для системи лінійних рівнянь матриця

А = називається матрицею системи, а матриця

А*= називається розширеною матрицею системи

Визначення. Якщо b1, b2, …, bm = 0, те система називається однорідною. однорідна система завжди сумісна, тому що завжди має нульовий розв'язок.

Елементарні перетворення систем

До елементарних перетворень належать:

1) Додавання до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого, помножених на однакове число, не рівне нулю.

2) Перестановка рівнянь місцями.

3) Видалення із системи рівнянь, що є тотожностями для всіх х.

Теорема Кронекера-Капеллі

(умова сумісності системи)

(Леопольд Кронекер (1823-1891) німецький математик)

Теорема: Система сумісна (має хоча б один розв'язок) тоді й тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці.

Rank А= Rank А*.

Очевидно, що система (1) може бути записана у вигляді:

x1 + x2 + … + xn

Доведення.

1) Якщо розв'язок існує, то стовпець вільних членів є лінійною комбінацією стовпців матриці А, а значить додавання цього стовпця в матрицю, тобто перехід АА* не змінює рангу.

2) Якщо Rank А= Rank А*, те це означає, що вони мають той самий базовий мінор. Стовпець вільних членів - лінійна комбінація стовпців базового мінору, тоді вірний запис, наведений вище.

Приклад. Перевірити сумісність лінійних рівнянь:



A =

~ . Rank A = 2.

A* = Rank A* = 3.

Система несумісна.

Приклад. Перевірити сумісність лінійних рівнянь.

А = ; = 2 + 12 = 14 0; Rank А= 2;

A* =

Rank A* = 2.

Система сумісна. Розв'язок: x1 = 1; x2 =1/2.

Метод Гауса

(Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) німецький математик)

На відміну від матричного методу і метода Крамера, метод Гауса може бути застосований до систем лінійних рівнянь із довільним числом рівнянь і невідомих. Суть методу полягає в послідовному виключенні невідомих.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

Розділимо обидві частини 1-го рівняння на a11 0, потім:

1) помножимо на а21 і віднімемо із другого рівняння

2) помножимо на а31 і віднімемо із третього рівняння

і т.д.

Одержимо:

, де d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1...

dij = aij - ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1...

Далі повторюємо цієї ж дії для другого рівняння системи, потім - для третього й т.д.

Приклад. Вирішити систему лінійних рівнянь методом Гауса.



Складемо розширену матрицю системи.

А* =

Таким чином, вихідна система може бути представлена у вигляді:

, звідки одержуємо: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.

Приклад. Вирішити систему методом Гауса.

Складемо розширену матрицю системи.

Таким чином, вихідна система може бути представлена у вигляді:

, звідки одержуємо: z = 3; y = 2; x = 1.

Отримана відповідь збігається з відповіддю, отриманою для даної системи методом Крамера й матричним методом.

Для самостійного розв'язання:

Відповідь: {1, 2, 3, 4}.

Елементи векторної алгебри

Визначення. Вектором називається прямолінійний відрізок (упорядкована пара точок). До векторів належить також і нульовий вектор, початок і кінець якого збігаються.

Визначення. Довжиною (модулем) вектора називається відстань між початком і кінцем вектора.

Визначення. Вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній або паралельних прямих. Нульовий вектор колінеарний до будь-якого вектора.

Визначення. Вектори називаються компланарними, якщо існує площина, який вони паралельні.

Колінеарні вектори завжди компланарні, але не всі компланарні вектори колінеарні.

Визначення. Вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково спрямовані й мають однакові модулі.

Усякі вектори можна привести до спільного початку, тобто побудувати вектори, відповідно рівні даним, що мають загальний початок. З визначення рівності векторів треба, що будь-який вектор має нескінченно багато векторів, рівних йому.

Визначення. Лінійними операціями над векторами називається додавання й множення на число.

Сумою векторів є вектор -

Добуток - , при цьому колінеарний до .

Вектор співнаправлений з вектором ( ), якщо > 0.

Вектор протилежно спрямований до вектора ( ), якщо < 0.

Властивості векторів

1. + = + - комутативність.

2. + ( + ) = ( + )+

3. + =

4. +(-1) =

5. () = ( ) - асоціативність

6. (+) = + - дистрибутивність

7. ( + ) = +

8. 1 =

Визначення.

1) Базисом у просторі називаються будь-які 3 некомпланарні вектори, узяті в певному порядку.

2) Базисом на площині називаються будь-які 2 неколінеарні вектори, узяті в певному порядку.

3) Базисом на прямій називається будь-який ненульовий вектор.

Визначення. Якщо - базис у просторі й , то числа , і - називаються компонентами або координатами вектора в цьому базисі.

У зв'язку із цим можна записати наступні властивості:

рівні вектори мають однакові координати,

при множенні вектора на число його компонента теж множаться на це число,

= .

при додаванні векторів складаються їхні відповідні компоненти.

; ;

+ = .

Лінійна залежність векторів

Визначення. Вектори називаються лінійно залежними, якщо існує така лінійна комбінація , при не рівних нулю одночасно i , тобто .

Якщо ж тільки при i = 0 виконується, то вектори називаються лінійно незалежними.

Властивість 1. Якщо серед векторів є нульовий вектор, то ці вектори лінійно залежні.

Властивість 2. Якщо до системи лінійно залежних векторів додати один або кілька векторів, то отримана система теж буде лінійно залежна.

Властивість 3. Система векторів лінійно залежна тоді й тільки тоді, коли один з векторів розкладається в лінійну комбінацію інших векторів.

Властивість 4. Будь-які 2 колінеарні вектори лінійно залежні й, навпаки, будь-які 2 лінійно залежні вектори колінеарні.

Властивість 5. Будь-які 3 компланарних вектори лінійно залежні й, навпаки, будь-які 3 лінійно залежні вектори компланарні.

Властивість 6. Будь-які 4 вектори лінійно залежні.

Система координат

Для визначення положення довільної точки можуть використатися різні системи координат. Положення довільної точки в якій-небудь системі координат повинне однозначно визначатися. Поняття системи координат являє собою сукупність точки початку відліку (початку координат) і деякого базису. Як на площині, так і в просторі можливе завдання найрізноманітніших систем координат. Вибір системи координат залежить від характеру поставленої геометричної, фізичної або технічної задачі. Розглянемо деякі найбільше часто застосовувані на практиці системи координат.

Декартова система координат

Зафіксуємо в просторі точку О и розглянемо довільну точку М.

Вектор назвемо радіус-вектором точки М. Якщо в просторі задати деякий базис, то точці М можна зіставити деяку трійку чисел - компонента її радіус-вектора.

Визначення. Декартовою системою координат у просторі називається сукупність точки й базису. Точка називається початком координат. Прямі, що проходять через початок координат називаються осями координат.

1-я вісь - вісь абсцис

2-я вісь - вісь ординат

3-я вісь - вісь аплікат

Щоб знайти компоненти вектора потрібно з координат його кінця відняти координати початку.

Якщо задані точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).

Визначення. Базис називається ортонормованим, якщо його вектори попарно ортогональні й дорівнюють одиниці.

Визначення. Декартова система координат, базис якої ортонормований називається декартовою прямокутною системою координат.

Приклад. Дано вектори (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) і (3; 2; 2) у деякому базисі. Показати, що вектори , і утворюють базис і знайти координати вектора в цьому базисі.

Вектори утворять базис, якщо вони лінійно незалежні, інакше кажучи, якщо рівняння, що входять у систему:

лінійно незалежні.

Тоді .

Ця умова виконується, якщо визначник матриці системи відмінний від нуля.



.

Для розв'язання цієї системи скористаємося методом Крамера.

1 =

;

2 =

3 =

Разом, координати вектора в базисі , , : .?

Довжина вектора в координатах визначається як відстань між точками початку й кінця вектора. Якщо задані дві точки в просторі А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то .

Якщо точка М(х, у, z) ділить відрізок АВ у співвідношенні /, то координати цієї точки визначаються як:

В окремому випадку координати середини відрізка знаходяться як:

Лінійні операції над векторами в координатах

Нехай задані вектори в прямокутній системі координат тоді

Скалярний добуток векторів

Визначення. Скалярним добутком векторів і називається число, рівне добутку довжин цих сторін на косинус кута між ними.

Властивості скалярного добутку:

= 2;

= 0, якщо або = 0 або = 0.

= ;

( + ) = + ;

(m ) = (m ) = m( );

Якщо розглядати вектори в декартовій прямокутній системі координат, то

= xa xb + ya yb + za zb;

Використовуючи отримані рівності, одержуємо формулу для обчислення кута між векторами:

;

Приклад. Знайти (5 + 3 )(2 - ), якщо

10 - 5 + 6 - 3 = 10 ,

оскільки .

Приклад. Знайти кут між векторами й , якщо

.

Тобто = (1, 2, 3), = (6, 4, -2)

= 6 + 8 - 6 = 8:

.

cos =

Приклад. Знайти скалярний добуток (3 - 2 )(5 - 6 ), якщо

+ 1236 = 240 - 336 + 432 = 672 - 336 = 336.

Приклад. Знайти кут між векторами й , якщо .

Тобто = (3, 4, 5), = (4, 5, -3)

= 12 + 20 - 15 =17;

.

Приклад. При якому m вектори й перпендикулярні?

= (m, 1, 0); = (3, -3, -4)

.

Приклад. Знайти скалярний добуток векторів і , якщо

( )( ) =

= 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.

Векторний добуток векторів

Визначення. Векторним добутком векторів і називається вектор , що задовольняє наступним умовам:

1) , де - кут між векторами й ,

2) вектор ортогональний до векторів і

3) , і утворюють праву трійку векторів.

Позначається: або .

Властивості векторного добутку векторів:

1) ;

2) , якщо або = 0 або = 0;

3) (m ) = (m ) = m( );

4) ( + ) = + ;

5) Якщо задані вектори (xa, ya, za) і (xb, yb, zb) у декартовій прямокутній системі координат з одиничними векторами , то

 =

6) Геометричним змістом векторного добутку векторів є площа паралелограма, побудованого на векторах і .

Приклад. Знайти векторний добуток векторів і

.

= (2, 5, 1); = (1, 2, -3)

.

Приклад. Обчислити площу трикутника з вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),

С(0, 1, 0).

(од2).

Приклад. Довести, що вектори , і компланарны.

, тому що вектори лінійно залежні, то вони компланарны.

Приклад. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах , якщо

(од2).

Мішаний добуток векторів

Визначення. Мішаним добутком векторів , і називається число, рівне скалярному добутку вектора на вектор, дорівнює векторному добутку векторів і .

Позначається або ( , ,).

Мішаний добуток за модулем дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , і .

Властивості мішаного добутку

1) Мішаний добуток дорівнює нулю, якщо:

а) хоч один з векторів дорівнює нулю;

б) два з векторів колінеарні;

в) вектори компланарні.

2)

3)

4)

5) Об'єм трикутної піраміди, утвореної векторами , і , дорівнює

6) Якщо , , то

Приклад. Довести, що точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежать в одній площині.

Знайдемо координати векторів:

Знайдемо мішаний добуток отриманих векторів:

,

Таким чином, отримані вище вектори компланарны, отже точки A, B, C і D лежать в одній площині.

Приклад. Знайти об'єм піраміди й довжину висоти, опущеної на грань BCD, якщо вершини мають координати A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Знайдемо координати векторів:

Об'єм піраміди

Для знаходження довжини висоти піраміди знайдемо спочатку площу основи BCD.

Sосн = (од2)

Оскільки

V = ; (од).

Рівняння поверхні в просторі

Визначення. Будь-яке рівняння, що пов'язує координати x, y, z будь-якої точки поверхні є рівнянням цієї поверхні.

Загальне рівняння площини

Визначення. Площиною називається поверхня, всі точки якої задовольняють загальному рівнянню:

Ax + By + Cz + D = 0,

де А, В, С - координати вектора - вектор нормалі до площини.

Можливі наступні окремі випадки

А = 0 - площина паралельна осі Ох

В = 0 - площину паралельна осі Оу

С = 0 - площину паралельна осі Оz

D = 0 - площина проходить через початок координат

А = В = 0 - площину паралельна площині хОу

А = С = 0 - площину паралельна площині хОz

В = С = 0 - площину паралельна площини yOz

А = D = 0 - площина проходить через вісь Ох

В = D = 0 - площина проходить через вісь Оу

С = D = 0 - площина проходить через вісь Oz

А = В = D = 0 - площина збігається із площиною хОу

А = С = D = 0 - площина збігається із площиною xOz

В = С = D = 0 - площина збігається із площиною yOz

Рівняння площини, що проходить через три точки

Для того, щоб через три які-небудь точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій.

Розглянемо точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) у загальній декартовій системі координат.

Для того, щоб довільна точка М(x, y, z) лежала в одній площині із точками М1, М2, М3 необхідно, щоб вектори були компланарні.

( ) = 0

Таким чином,

Рівняння площини, що проходить через три точки:

Рівняння площини по двох точках і вектору, колінеарному площині.

Нехай задані точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) і вектор .

Складемо рівняння площини, що проходить через дані точки М1 і М2 і довільну точку М(х, у, z) паралельно вектору .

Вектори й вектор повинні бути компланарні, тобто

() = 0

Рівняння площини:

Рівняння площини за однією точкою і двома векторами, колінеарними площині

Нехай задані два вектори й , колінеарні площини. Тоді для довільної точки М(х, у, z), що належить площини, вектори повинні бути компланарні.

Рівняння площини:

Рівняння площини за точкою та вектором нормалі.

Теорема. Якщо в просторі задана точка М0(х0, у0, z0), то рівняння площини, що проходить через точку М0 перпендикулярно вектору нормалі (A, B, C) має вигляд:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

Доведення. Для довільної точки М(х, у, z), що належить площині, складемо вектор . Оскільки вектор - вектор нормалі, то він перпендикулярний площини, а, отже, перпендикулярний і вектору . Тоді скалярний добуток

= 0

Таким чином, одержуємо рівняння площини

Теорему доведено.

Рівняння площини у відрізках

Якщо в загальному рівнянні Ах + Ву + Сz + D = 0 поділити обидві частини на - D

,

замінивши , одержимо рівняння площини у відрізках:

Числа a, b, c є точками перетину площини відповідно з осями х, у, z.

Рівняння площини у векторній формі.

де

- радіус-вектор поточної точки М(х, у, z),

- одиничний вектор, що має напрямок, перпендикуляра, опущеного на площину з початку координат.

, и - кути, утворені цим вектором з осями х, у, z.

p - довжина цього перпендикуляра.

У координатах це рівняння має вигляд:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Відстань від точки до площини

Відстань від довільної точки М0(х0, у0, z0) до площини Ах+Ву+Сz+D=0 дорівнює:

Приклад. Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4; -3; 12) - підстава перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.



Таким чином, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, скористаємося формулою:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

Приклад. Знайти рівняння площини, що проходить через дві точки P(2; 0; -1) і Q(1; -1; 3) перпендикулярно площини 3х + 2у - z + 5 = 0.

Вектор нормалі до площини 3х + 2у - z + 5 = 0 паралельний шуканої площини.

Одержуємо:

Приклад. Знайти рівняння площини, що проходить через точки А(2, -1, 4) і

В(3, 2, -1) перпендикулярно площини х + у + 2z - 3 = 0.

Шукане рівняння площини має вигляд: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормалі до цієї площини (A, B, C). Вектор (1, 3, -5) належить площині. Задана нам площина, перпендикулярна шуканої має вектор нормалі (1, 1, 2). Оскільки точки А та В належать обом площинам, а площини взаємно перпендикулярні, то

Таким чином, вектор нормалі (11, -7, -2). Оскільки точка А належить шуканій площині, то її координати повинні задовольняти рівнянню цієї площини, тобто 112 + 71 - 24 + D = 0; D = -21.

Отже, одержуємо рівняння площини: 11x - 7y - 2z - 21 = 0.

Приклад. Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4, -3, 12) - підстава перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.

Знаходимо координати вектора нормалі = (4, -3, 12). Шукане рівняння площини має вигляд: 4x - 3y + 12z + D = 0. Для знаходження коефіцієнта D підставимо в рівняння координати точки Р:

16 + 9 + 144 + D = 0

D = -169

Разом, одержуємо шукане рівняння: 4x - 3y + 12z - 169 = 0

Приклад. Дано координати вершин піраміди А1(1; 0; 3), A2(2; -1; 3), A3(2; 1; 1),

A4(1; 2; 5).

Знайти довжину ребра А1А2.

Знайти кут між ребрами А1А2 і А1А4.

Знайти кут між ребром А1А4 і гранню А1А2А3.

Спочатку знайдемо вектор нормалі до грані А1А2А3 як векторний добуток векторів і.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Знайдемо кут між вектором нормалі й вектором .

-4 - 4 = -8.

Шуканий кут між вектором і площиною буде дорівнює = 900 - .

Знайти площу грані А1А2А3.

Знайти об'єм піраміди.

(од3).

Знайти рівняння площини А1А2А3.

Скористаємося формулою рівняння площини, що проходить через три точки.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Аналітична геометрія на площині

Рівняння лінії на площині

Як відомо, будь-яка точка на площині визначається двома координатами в якій-небудь або системі координат. Системи координат можуть бути різними залежно від вибору базису й початку координат.

Визначення. Рівнянням лінії називається співвідношення y = f(x) між координатами точок, що становлять цю лінію.

Відзначимо, що рівняння лінії може бути виражено параметричним способом, тобто кожна координата кожної точки виражається через деякий незалежний параметр t.

Характерний приклад - траєкторія точки, що рухається. У цьому випадку роль параметра грає час.

Рівняння прямої на площині

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, В не дорівнюють нулю одночасно, тобто А2 + В2 0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.

Залежно від значень сталих А, В и С можливі наступні окремі випадки:

C = 0, А 0, В 0 - пряма проходить через початок координат

А = 0, В 0, С 0 { By + C = 0} - пряма паралельна осі Ох

В = 0, А 0, С 0 { Ax + C = 0} - пряма паралельна осі Оу

В = С = 0, А 0 - пряма збігається з віссю Оу

А = С = 0, В 0 - пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямої може бути представлене в різному виді залежно від яких-небудь заданих початкових умов.

Рівняння прямої по точці й вектору нормалі

Визначення. У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В) перпендикулярний прямій, заданій рівнянням Ах + Ву + С = 0.

Приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А.

Одержуємо: 3 - 2 + C = 0, отже С = -1.

Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки

Нехай у просторі задані дві точки M1(x1, y1, z1) і M2(x2, y2, z2), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:

Якщо який-небудь зі знаменників дорівнює нулю, варто прирівняти нулю відповідний чисельник.

На площині записане вище рівняння прямій спрощується:



якщо х1 х2 і х = х1, якщо х1 = х2.

Дріб = k називається кутовим коефіцієнтом прямої.

Приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) і В(3, 4).

Застосовуючи записану вище формулу, одержуємо:

Рівняння прямої по точці й кутовому коефіцієнту

Якщо загальне рівняння прямій Ах + Ву + С = 0 привести до виду:

і позначити, то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої по точці й напрямному вектору

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі можна ввести завдання прямої через точку й напрямний вектор прямої.

Визначення. Кожний ненульовий вектор (1, 2), компоненти якого задовольняють умові А1 + В2 = 0 називається напрямним вектором прямої Ах + Ву + С = 0.

Приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1), що проходить через точку А(1, 2).

Рівняння шуканої прямої будемо шукати у вигляді: Ax + By + C = 0. Відповідно до визначення, коефіцієнти повинні задовольняти умовам:

1A + (-1)B = 0, тобто А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0, або x + y + C/A = 0. При х = 1, у = 2 одержуємо С/A = -3, тобто шукане рівняння:

х + у - 3 = 0

Рівняння прямої у відрізках

Якщо в загальному рівнянні прямої Ах + Ву + С = 0, С 0, то, розділивши на -С, одержимо: або

, де

Геометричний зміст коефіцієнтів у тім, що коефіцієнт а є координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b - координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

Приклад. Задано загальне рівняння прямій х - у + 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 розділити на число , що називається нормуючим множником, то одержимо

xcos + ysin - p = 0 -

нормальне рівняння прямої.

Знак нормуючого множника треба вибирати так, щоб С < 0.

р - довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, а - кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямком осі Ох.

Приклад. Дано загальне рівняння прямій 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь цій прямій.

рівняння цієї прямої у відрізках:

рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

нормальне рівняння прямої:

;

cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Слід відзначити, що не кожну пряму можна представити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі, паралельні осям або такі, що проходять через початок координат.

Приклад. Пряма відтинає на координатних осях рівні позитивні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа трикутника, утвореного цими відрізками дорівнює 8 дм2.

Рівняння прямої має вигляд: , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не підходить по умові задачі.

Разом: або х + у - 4 = 0.

Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(-2, -3) і початок координат.

Рівняння прямої має вигляд: , де х1 = у1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Для самостійного розв'язання: Скласти рівняння прямих, що проходять через точку М(-3, -4) і паралельних осям координат.

Відповідь: { x + 3 = 0; y + 4 = 0}.

Кут між прямими на площині

Визначення. Якщо задані дві прямі y = k1x + b1, y = k2x + b2, то гострий кут між цими прямими буде визначатися як

.

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2.

Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема. Прямі Ах + Ву + С = 0 і А1х + В1у + С1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А1 = А, В1 = В. Якщо ще й С1 = С, те прямі збігаються.

Координати точки перетину двох прямих є як розв'язками системи двох рівнянь.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до даної прямої

Визначення. Пряма, що проходить через точку М1(х1, у1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої

Теорема. Якщо задано точку М(х0, у0), то відстань до прямій Ах + Ву + С =0 визначається як

.

Доведення. Нехай точка М1(х1, у1) - основа перпендикуляра, опущеного із точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М и М1:

(1)

Координати x1 і у1 можуть бути знайдені як розв'язки системи рівнянь:

Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданої прямої.

Якщо перетворити перше рівняння системи до виду:

A(x - x0) + B(y - y0) + Ax0 + By0 + C = 0,

то, розв'язуючи, одержимо:

Підставляючи ці вирази в рівняння (1), знаходимо:

.

Теорему доведено.

Приклад. Визначити кут між прямими: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k2 = 2 tg = ; = /4.

Приклад. Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.

Знаходимо: k1 = 3/5, k2 = -5/3, k1k2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

Приклад. Дано вершини трикутника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини С.

Знаходимо рівняння сторони АВ:

; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b.

k = . Тоді y = . Оскільки висота проходить через точку С, то її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .

Відповідь: 3x + 2y - 34 = 0.

Для самостійного розв'язання: Дані сторони трикутника x + y - 6 = 0,

3x - 5y + 15 = 0, 5x - 3y - 14 = 0

Скласти рівняння його висот.

Вказівка: Спочатку варто знайти координати вершин трикутника, як точок перетину сторін, потім скористатися методом, розглянутому в попередньому прикладі.

Відповідь: {x - y = 0; 5x + 3y - 26 = 0; 3x + 5y - 26 = 0}.

Криві другого порядку

Крива другого порядку може бути задана рівнянням

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Існує система координат (не обов'язково декартова прямокутна), у якій дане рівняння може бути представлене в одному з виглядів, наведених нижче.

- рівняння еліпса.

- рівняння “уявного” еліпса.

- рівняння гіперболи.

a2x2 - c2y2 = 0 - рівняння двох прямих, що перетинаються.

y2 = 2px - рівняння параболи.

y2 - a2 = 0 - рівняння двох паралельних прямих.

y2 + a2 = 0 - рівняння двох “уявних” паралельних прямих.

y2 = 0 - пари співпадаючих прямих.

(x - a)2 + (y - b)2 = R2 - рівняння кола.

Коло.

У кола (x - a)2 + (y - b)2 = R2 центр має координати (a; b).

Приклад. Знайти координати центра і радіус кола, якщо її рівняння задане у вигляді:

2x2 + 2y2 - 8x + 5y - 4 = 0.

Для знаходження координат центра й радіуса окружності дане рівняння необхідно привести до вигляду, зазначеному вище у п.9. Для цього виділимо повні квадрати:

x2 + y2 - 4x + 2,5y - 2 = 0

x2 - 4x + 4 -4 + y2 + 2,5y + 25/16 - 25/16 - 2 = 0

(x - 2)2 + (y + 5/4)2 - 25/16 - 6 = 0

(x - 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16

Звідси знаходимо О(2; -5/4); R = 11/4.

Еліпс

Визначення. Еліпсом називається лінія, задана рівнянням .

Визначення. Фокусами називаються такі дві точки, сума відстаней від яких до будь-якої точки еліпса є постійна величина.

у

М

r1

r2

F1 O F2 х

F1, F2 - фокуси. F1 = (c; 0); F2(-c; 0)

с - половина відстані між фокусами;

a - велика піввісь;

b - мала піввісь.

Теорема. Фокусна відстань і півосі еліпса пов'язані співвідношенням:

a2 = b2 + c2.

Доведення: У випадку, якщо точка М перебуває на перетині еліпса з вертикальною віссю, r1 + r2 = 2 (за теоремою Піфагора). У випадку, якщо точка М перебуває на перетині еліпса з горизонтальною віссю, r1 + r2 = a - c + a + c. Оскільки за визначенням сума r1 + r2 - стала величина, то, прирівнюючи, одержуємо:

a2 = b2 + c2

r1 + r2 = 2a.

Визначення. Форма еліпса визначається характеристикою, що є відношенням фокусної відстані до більшої осі й називається ексцентриситетом.

е = с/a.

Оскільки с < a, то е < 1.

Визначення. Величина k = b/a називається коефіцієнтом стиску еліпса, а величина 1 - k = (a - b)/a називається стиском еліпса.

Коефіцієнт стиску й ексцентриситет пов'язані співвідношенням: k2 = 1 - e2.

Якщо a = b (c = 0, e = 0, фокуси зливаються), то еліпс перетворюється в окружність.

Якщо для точки М(х1, у1) виконується умова: , то вона перебуває всередині еліпса, а якщо , то точка перебуває поза еліпсом.

Теорема. Для довільної точки М(х, у), що належить еліпсу вірні співвідношення:

r1 = a - ex, r2 = a + ex.

Доведення. Вище було показано, що r1 + r2 = 2a. Крім того, з геометричних міркувань можна записати:

Після піднесення у квадрат і приведення подібних доданків:

Аналогічно доводиться, що r2 = a + ex. Теорему доведено.

З еліпсом пов'язано дві прямі, названі директрисами. Їх рівняння:

x = a/e; x = -a/e.

Теорема. Для того, щоб точка лежала на еліпсі, необхідно й достатньо, щоб відношення відстані до фокуса до відстані до відповідної директриси було рівним ексцентриситету е.

Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через лівий фокус і нижню вершину еліпса, заданого рівнянням:

Координати нижньої вершини: x = 0; y2 = 16; y = -4.

Координати лівого фокуса: c2 = a2 - b2 = 25 - 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).

Рівняння прямої, що проходить через дві точки:

Приклад. Скласти рівняння еліпса, якщо його фокуси F1(0; 0), F2(1; 1), велика вісь дорівнює 2.

Рівняння еліпса має вигляд: . Відстань між фокусами:

2c = , таким чином, a2 - b2 = c2 = 1/2

за умовою 2а = 2, отже а = 1, b =

Отже: .

Гіпербола

Визначення. Гіперболою називається множина точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох даних точок, що називаються фокусами, є величина стала, менша відстані між фокусами.



у

M(x, y)

b

r1

r2

x

F1 a F2

c

По визначенню r1 - r2= 2a. F1, F2 - фокуси гіперболи. F1F2 = 2c.

Виберемо на гіперболі довільну точку М(х, у). Тоді:

позначимо с2 - а2 = b2 (геометрично ця величина - менша піввісь)



Одержали канонічне рівняння гіперболи.

Гіпербола симетрична щодо середини відрізка, що з'єднує фокуси й щодо осей координат.

Вісь 2а називається дійсною віссю гіперболи.

Вісь 2b називається уявною віссю гіперболи.

Гіпербола має дві асимптоти, рівняння яких

Визначення. Відношення називається ексцентриситетом гіперболи, де с - половина відстані між фокусами, а - дійсна піввісь.

З врахуванням того, що с2 - а2 = b2:

Якщо а = b, e = , то гіпербола називається рівнобічною (рівносторонньою).

Визначення. Дві прямі, перпендикулярні дійсній осі гіперболи й розташовані симетрично щодо центра на відстані a/e від нього, називаються директрисами гіперболи. Їх рівняння: .

Теорема. Якщо r - відстань від довільної точки М гіперболи до якогось фокуса, d - відстань від тієї ж точки до відповідної цьому фокусу директриси, то відношення r/d - величина стала, рівна ексцентриситету.

...