Основи вищої математики

Доведення. Зобразимо схематично гіперболу.



y a/e d

M(x, y)

r1

О a F1 x

OF1 = c

З очевидних геометричних співвідношень можна записати:

a/e + d = x, отже d = x - a/e.

(x - c)2 + y2 = r2

З канонічного рівняння: , з обліком b2 = c2 - a2:

Тоді тому що с/a = e, то r = ex - a.

Разом: .

Для лівої гілки гіперболи доведення аналогічне. Теорему доведено.

Приклад. Знайти рівняння гіперболи, вершини й фокуси якої перебувають у відповідних вершинах і фокусах еліпса .

Для еліпса: c2 = a2 - b2.

Для гіперболи: c2 = a2 + b2.

Рівняння гіперболи

.

Приклад. Скласти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2, а фокуси збігаються з фокусами еліпса з рівнянням

Знаходимо фокусну відстань c2 = 25 - 9 = 16.

Для гіперболи: c2 = a2 + b2 = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4; b2 = 16 - 4 = 12.

Отже: - шукане рівняння гіперболи.

Парабола

Визначення. Параболою називається множина точок площини, кожна з яких перебуває на однаковій відстані від даної точки, названої фокусом, і від даної прямої, названої директрисою, такої що не проходить через фокус.

Розташуємо початок координат посередині між фокусом і директрисою.

у

А М(х, у)

О F x

p/2 p/2

Величина р (відстань від фокуса до директриси) називається параметром параболи. Виведемо канонічне рівняння параболи.

З геометричних співвідношень:

AM = MF; AM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x - p/2) 2

(x + p/2) 2 = y2 + (x - p/2) 2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 - xp + p2/4

y2 = 2px

Рівняння директриси: x = - p/2.

Приклад. На параболі у2 = 8х знайти точку, відстань якої від директриси дорівнює 4.

З рівняння параболи одержуємо, що р = 4.

r = x + p/2 = 4; отже:

x = 2; y2 = 16; y = 4. Шукані точки: M1(2; 4), M2(2; -4).

Системи координат

Будь-яка точка на площині може бути однозначно визначена за допомогою різних координатних систем, вибір яких визначається різними факторами. Спосіб задання початкових умов для розв'язання якої-небудь конкретної технічної задачі може визначити вибір тієї або іншої системи координат. Для зручності проведення обчислень часто краще використати системи координат, відмінні від декартової прямокутної системи. Крім того, наочність подання остаточної відповіді найчастіше теж сильно залежить від вибору системи координат. Нижче розглянемо деякі найбільше часто використовувані системи координат.

Полярна система координат

Визначення. Точка О називається полюсом, а промінь l - полярною віссю.

Суть задання який-небудь системи координат на площині полягає в тому, щоб кожній точці площини поставити у відповідність пару дійсних чисел, що визначають положення цієї точки на площині. У випадку полярної системи координат роль цих чисел грають відстань точки від полюса й кут між полярною віссю й радіус-вектором цієї точки. Цей кут називається полярним кутом.



М

r

r =

О

l

Можна встановити зв'язок між полярною системою координат і декартовою прямокутною системою, якщо помістити початок декартової прямокутної системи в полюс, а полярну вісь направити уздовж додатного напрямку осі Ох.

Тоді координати довільної точки у двох різних системах координат зв'язуються співвідношеннями:

; ;

Приклад. Рівняння кривої в полярній системі координат має вигляд:

. Знайти рівняння кривої в декартовій прямокутній системі координат, визначити тип кривої, знайти фокуси й ексцентриситет. Схематично побудувати криву.

Скористаємося зв'язком декартової прямокутної й полярної системи координат:

;

Одержали канонічне рівняння еліпса. З рівняння видно, що центр еліпса зсунутий вздовж осі Ох на 1/2 вправо, велика піввісь a дорівнює 3/2, менша піввісь b дорівнює , половина відстані між фокусами дорівнює . Ексцентриситет дорівнює е = с/a = 1/3. Фокуси F1(0; 0) і F2(1; 0).

y

F1 F2

-1 О Ѕ 1 2 x

-

Приклад. Рівняння кривої в полярній системі координат має вигляд:

. Знайти рівняння кривої в декартовій прямокутній системі координат, визначити тип кривої, знайти фокуси й ексцентриситет. Схематично побудувати криву.

Підставимо в задане рівняння формули, що зв'язують полярну й декартову прямокутну системи координат.

Одержали канонічне рівняння гіперболи. З рівняння видно, що гіпербола зсунута вздовж осі Ох на 5 вліво, велика піввісь а дорівнює 4, менша піввісь b дорівнює 3, звідки одержуємо c2 = a2 + b2 ; c = 5; e = c/a = 5/4.

Фокуси F1(-10; 0), F2(0; 0).

Побудуємо графік цієї гіперболи



y

3

F1 -9 -5 -1 О F2 x

-3

Аналітична геометрія в просторі

Рівняння лінії в просторі

Як на площині, так і в просторі, будь-яка лінія може бути визначена як сукупність точок, координати яких у деякій обраній у просторі системі координат задовольняють рівнянню:

F(x, y, z) = 0.

Це рівняння називається рівнянням лінії в просторі.

Крім того, лінія в просторі може бути визначена й інакше. Її можна розглядати як лінію перетину двох поверхонь, кожна з яких задана яким-небудь рівнянням.

Нехай F(x, y, z) = 0 і Ф(x, y, z) = 0 - рівняння поверхонь, що перетинаються по лінії L.

Тоді пари рівнянь

назвемо рівнянням лінії в просторі.

Рівняння прямої в просторі за точкою та напрямним вектором

Візьмемо довільну пряму й вектор (m, n, p), паралельний даній прямій. Вектор називається напрямним вектором прямої.

На прямій візьмемо дві довільні точки М0(x0, y0, z0) і M(x, y, z).

 z

M1

M0

О y

x

Позначимо радіус-вектори цих точок як і, мабуть, що - = .

Оскільки вектори й колінеарні, то вірне співвідношення = t, де t - деякий параметр.

Разом, можна записати:

= + t.

Оскільки цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки прямої, то отримане рівняння - параметричне рівняння прямої.

Це векторне рівняння може бути представлене в координатній формі:

Перетворивши цю систему й дорівнявши значення параметра t, одержуємо канонічні рівняння прямої в просторі:

.

Визначення. Напрямними косинусами прямої називаються напрямні косинуси вектора , які можуть бути обчислені за формулами:

; .

Звідси одержимо: m : n : p = cos : cos : cos .

Числа m, n, p називаються кутовими коефіцієнтами прямої. Оскільки - ненульовий вектор, то m, n і p не можуть дорівнювати нулю одночасно, але одне або два із цих чисел можуть дорівнювати нулю. У цьому випадку в рівнянні прямої варто прирівняти до нуля відповідні чисельники.

Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві точки

Якщо на прямій у просторі відзначити дві довільні точки M1(x1, y1, z1) і M2(x2, y2, z2), то координати цих точок повинні задовольняти отриманому вище рівнянню прямої:

.

Крім того, для точки М1 можна записати:

.

Вирішуючи спільно ці рівняння, одержимо:

.

Це рівняння прямої, що проходить через дві точки в просторі.

Загальні рівняння прямої в просторі

Рівняння прямої може бути розглянуте як рівняння лінії перетину двох площин.

Як було розглянуто вище, площина у векторній формі може бути задана рівнянням:

+ D = 0, де

- нормаль площини; - радіус-вектор довільної точки площини.

Нехай у просторі задані дві площини: + D1 = 0 і + D2 = 0, вектори нормалі мають координати: (A1, B1, C1), (A2, B2, C2); (x, y, z).

Тоді загальні рівняння прямої у векторній формі:

Загальні рівняння прямої в координатній формі:

Практична задача часто полягає в приведенні рівнянь прямих у загальному виді до канонічного виду.

Для цього треба знайти довільну точку прямої й числа m, n, p.

При цьому напрямний вектор прямої може бути знайдений як векторний добуток векторів нормалі до заданих площин.

Приклад. Знайти канонічне рівняння, якщо пряма задана у вигляді:

Для знаходження довільної точки прямій, приймемо її координату х = 0, а потім підставимо це значення в задану систему рівнянь.

, тобто А(0, 2, 1).

Знаходимо компоненти напрямного вектора прямої.

Тоді канонічні рівняння прямої:

Приклад. Привести до канонічного виду рівняння прямої, задане у вигляді:

Для знаходження довільної точки прямої, що є лінією перетину зазначених вище площин, приймемо z = 0. Тоді:

;

2x - 9x - 7 = 0;

x = -1; y = 3;

Одержуємо: A(-1; 3; 0).

Напрямний вектор прямої:

.

Отже

Кут між площинами

1 О

Кут між двома площинами в просторі пов'язаний з кутом між нормалями до цих площин 1 співвідношенням: = 1 або = 1800 - 1, тобто cos = cos 1.

Визначимо кут 1. Відомо, що площини можуть бути задані співвідношеннями:

, де

(A1, B1, C1), (A2, B2, C2). Кут між векторами нормалі знайдемо з їхнього скалярного добутку:

.

Таким чином, кут між площинами знаходиться за формулою:



Вибір знака косинуса залежить від того, який кут між площинами слід знайти - гострий, або суміжний з ним тупий.

Умови паралельності й перпендикулярності площин

На основі отриманої вище формули для знаходження кута між площинами можна знайти умови паралельності й перпендикулярності площин.

Для того, щоб площини були перпендикулярні необхідно й достатньо, щоб косинус кута між площинами дорівнював нулю. Ця умова виконується, якщо:

.

Площини паралельні, вектори нормалей колінеарні: .Ця умова виконується, якщо:

.

Кут між прямими в просторі

Нехай у просторі задані дві прямі. Їхні параметричні рівняння:

l1:

l2:

Кут між прямими і кут між напрямними векторами цих прямих пов'язані співвідношенням: = 1 або = 1800 - 1. Кут між напрямними векторами знаходиться зі скалярного добутку у такий спосіб:

.

Умови паралельності й перпендикулярності прямих у просторі

Щоб дві прямі були паралельні необхідно й достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були колінеарні, тобто їх відповідні координати були пропорційні.

Щоб дві прямі були перпендикулярні необхідно й достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були перпендикулярні, тобто косинус кута між ними дорівнює нулю.

Кут між прямою й площиною

Визначення. Кутом між прямою й площиною називається будь-який кут між прямою та її проекцією на цю площину.



Нехай площина задана рівнянням , а пряма - . З геометричних міркувань (див. мал.) видно, що шуканий кут = 900 - , де - кут між векторами й . Цей кут може бути знайдений за формулою:

У координатній формі:

Умови паралельності й перпендикулярності прямої і площині в просторі

Для того, щоб пряма й площина були паралельні, необхідно й достатньо, щоб вектор нормалі до площини й напрямний вектор прямої були перпендикулярні. Для цього необхідно, щоб їх скалярний добуток був рівний нулю.

Для того, щоб пряма й площина були перпендикулярні, необхідно й достатньо, щоб вектор нормалі до площини й напрямний вектор прямої були колінеарні. Ця умова виконується, якщо векторний добуток цих векторів був дорівнює нулю.

Поверхні другого порядку

Визначення. Поверхні другого порядку - це поверхні, рівняння яких у прямокутній системі координат є рівняннями другого порядку.

Циліндричні поверхні

Визначення. Циліндричними поверхнями називаються поверхні, утворені лініями, паралельними до якоїсь фіксованої прямої.

Розглянемо поверхні, у рівнянні яких відсутня складова z, тобто напрямні паралельні осі Оz. Тип лінії на площині хOу (ця лінія називається напрямної поверхні) визначає характер циліндричної поверхні. Розглянемо деякі окремі випадки залежно від рівняння напрямних:

1) - еліптичний циліндр.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2) - гіперболічний циліндр.

Размещено на http://www.allbest.ru/

3) x2 = 2py - параболічний циліндр.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Поверхні обертання

Визначення. Поверхня, описана деякою лінією, що обертається навколо нерухомої прямої d, називається поверхнею обертання з віссю обертання d.

Якщо рівняння поверхні в прямокутній системі координат має вигляд: , то ця поверхня - поверхня обертання з віссю обертання Оz. Аналогічно: - поверхня обертання з віссю обертання Оу, - поверхня обертання з віссю обертання Ох.

Запишемо рівняння поверхонь обертання для деяких окремих випадків:

- еліпсоїд обертання

- однопорожнинний гіперболоїд обертання

- двопорожнинний гіперболоїд обертання

- параболоїд обертання

Аналогічно можуть бути записані рівняння для розглянутих вище поверхонь обертання, якщо осями обертання є осі Ох або Оу.

Однак, перераховані вище поверхні є всього лише окремими випадками поверхонь другого порядку загального виду, деякі типи яких розглянуті нижче:

Сфера:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тривісний еліпсоїд:

У перетині еліпсоїда площинами, паралельними координатним площинам, виходять еліпси з різними осями.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Однопорожнинний гіперболоїд:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Двопорожнинний гіперболоїд:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Еліптичний параболоїд:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Гіперболічний параболоїд:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Конус другого порядку:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Циліндрична й сферична системи координат

Як і на площині, у просторі положення будь-якої точки може бути визначене трьома координатами в різних системах координат, відмінних від декартової прямокутної системи. Циліндрична й сферична системи координат є узагальненням для простору полярної системи координат, що була докладно розглянута вище.

Введемо в просторі точку О и промінь l, що виходить із точки О, а також вектор . Через точку О можна провести єдину площину, перпендикулярну вектору нормалі .

Для введення відповідності між циліндричною, сферичною й декартовою прямокутною системами координат точку О суміщають з початком декартової прямокутної системи координат, промінь l - з позитивним напрямком осі х, вектор нормалі - з віссю z.

Циліндрична й сферична системи координат використовуються в тих випадках, коли рівняння кривій або поверхні в декартовій прямокутній системі координат виглядають досить складно, і операції з таким рівнянням виглядають трудомісткими.

Подання рівнянь у циліндричній і сферичній системі дозволяє значно спростити обчислення, що буде показано далі.

z

М

h

О x

r

M1

y

ОМ1 = r; MM1 = h;

Якщо з точки М опустити перпендикуляр ММ1 на площину, то точка М1 буде мати на площині полярні координати (r, ).

Визначення. Циліндричними координатами точки М називаються числа (r, , h), які визначають положення точки М у просторі.

Визначення. Сферичними координатами точки М називаються числа (r, , ), де - кут між і нормаллю.

Зв'язок між циліндричною та декартовою прямокутною системами координат

Аналогічно полярній системі координат на площині можна записати співвідношення, що зв'язують між собою різні системи координат у просторі. Для циліндричної й декартової прямокутної систем ці співвідношення мають вигляд:

Зв'язок сферичної системи координат з декартовою прямокутної

У випадку сферичної системи координат співвідношення мають вигляд:

матриця координата граф комплексний

Лінійний (векторний) простір

Як відомо, лінійні операції (додавання, віднімання, множення на число) визначені по-своєму для кожної множини (числа, багаточлени, направлені відрізки, матриці). Самі операції різні, але їхні властивості однакові.

Ця спільність властивостей дозволяє узагальнити поняття лінійних операцій для будь-яких множин поза залежністю від того, що це за множини (числа, матриці й т.д.).

Для того, щоб дати визначення лінійного (векторного) простору розглянемо деяку множину L дійсних елементів, для яких визначені операції додавання й множення на число.

Ці операції мають властивості:

1. Комутативність + = +

2. Асоціативність ( + ) + = + ( + )

3. Існує такий нульовий вектор , що + = для L

4. Для L існує вектор = -, такий, що + =

5. 1 =

6. ( ) = ()

7. Розподільний закон ( + ) = +

8. ( + ) = +

Визначення: Множина L називається лінійним (векторним) простором, а його елементи називаються векторами.

Важливо не плутати поняття вектора, наведене вище з поняттям вектора як направленого відрізка на площині або в просторі. Направлені відрізки є всього лише часткою случаємо елементів лінійного (векторного) простору. Лінійний (векторний) простір - поняття ширше. Прикладами таких просторів можуть слугувати множина дійсних чисел, множина векторів на площині й у просторі, матриці й т.і.

Якщо операції додавання й множення на число визначені для дійсних елементів, то лінійний (векторний) простір є дійсним простором, якщо для комплексних елементів - комплексним простором.

Властивості лінійних просторів

1) У кожному лінійному просторі існує тільки один нульовий елемент.

2) Для кожного елемента існує тільки один протилежний елемент.

3) Для кожного L вірно 0 = 0

4) Для кожного і L вірно =

5) Якщо = , те = 0 або =

6) (-1) = -

Лінійні перетворення

Визначення: Будемо вважати, що в лінійному просторі L задане деяке лінійне перетворення А, якщо будь-якому елементу L за деяким правилом ставиться у відповідність елемент А L.

Визначення: Перетворення А називається лінійним, якщо для будь-яких векторів L і L і кожного вірно:

A( + ) = A +A

A() = A

Визначення: Лінійне перетворення називається тотожним, якщо воно перетворить елемент лінійного простору сам у себе.

Е =

Приклад. Чи є А лінійним перетворенням. А = +; 0.

Запишемо перетворення А для якогось елемента . А = +. Перевіримо, чи виконується правило операції додавання для цього перетворення А( + ) = + +; A( ) + A( ) = + + +, що вірно тільки при = 0, тобто дане перетворення А нелінійне.

Визначення: Якщо в просторі L є вектори лінійного перетворення , те інший вектор є лінійною комбінацією векторів .

Визначення: Якщо тільки при = = … = = 0, то вектори називаються лінійно незалежними.

Визначення: Якщо в лінійному просторі L є n лінійно незалежних векторів, але будь-які n+1 векторів лінійно залежні, то простір L називається n-мірним, а сукупність лінійно незалежних векторів називається базисом лінійного простору L.

Наслідок: Будь-який вектор лінійного простору може бути представлений у вигляді лінійної комбінації векторів базису.

Матриці лінійних перетворень

Нехай в n-мірному лінійному просторі з базисом , ,…, задано лінійне перетворення А. Тоді вектори А, А,…, А - також вектори цього простору і їх можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів базису:

A = a11 + a21 +…+an1

A =a12 +a22 +…+an2

……………………………….........

A = an1 + an2 +…+ann

Тоді матриця А = називається матрицею лінійного перетворення А.

Якщо в просторі L взяти вектор = x1 + x2 +…+xn, то A L.

, де

……………………………......

Ці рівності можна назвати лінійним перетворенням у базисі , ,…,... У матричному вигляді:

, А,

Приклад. Знайти матрицю лінійного перетворення, заданого у вигляді:

A =

На практиці дії над лінійними перетвореннями зводяться до дій над їхніми матрицями.

Визначення: Якщо вектор переводиться у вектор лінійним перетворенням з матрицею А, а вектор у вектор лінійним перетворенням з матрицею В, те послідовне застосування цих перетворень рівносильне лінійному перетворенню, що переводить вектор у вектор (воно називається добутком складових перетворень).

С = ВА

Приклад. Задано лінійне перетворення А, що переводить вектор у вектор і лінійне перетворення В, що переводить вектор у вектор . Знайти матрицю лінійного перетворення, що переводить вектор у вектор .

С = ВА

Тобто

Примітка: Якщо А= 0, то перетворення вироджене, тобто, наприклад, площина перетвориться не в цілу площину, а в пряму.

Власні значення й власні вектори лінійного перетворення

Визначення: Нехай L - заданий n-мірний лінійний простір. Ненульовий вектор L називається власним вектором лінійного перетворення А, якщо існує таке число , що виконується рівність:

.

При цьому число називається власним значенням (характеристичним числом) лінійного перетворення А, що відповідає вектору .

Визначення: Якщо лінійне перетворення А в деякому базисі , ,…, має матрицю А = , то власні значення лінійного перетворення А можна знайти як корінь 1, 2, …, n рівняння:

Це рівняння називається характеристичним рівнянням, а його ліва частина - характеристичним багаточленом лінійного перетворення А.

Слід зазначити, що характеристичний багаточлен лінійного перетворення не залежить від вибору базису.

Розглянемо окремий випадок. Нехай А - деяке лінійне перетворення площини, матриця якого дорівнює . Тоді перетворення А може бути задане формулами:

;

у деякому базисі .

Якщо перетворення А має власний вектор із власним значенням , то .

або

Оскільки власний вектор ненульовий, то х1 і х2 не дорівнюють нулю одночасно. Оскільки дана система однорідна, то для того, щоб вона мала нетривіальний розв'язок, визначник системи повинен дорівнювати нулю. У протилежному випадку за правилом Крамера система має єдиний розв'язок - нульовий, що неможливо.

Отримане рівняння є характеристичним рівнянням лінійного перетворення А.

Таким чином, можна знайти власний вектор (х1, х2) лінійні перетворення А с власним значенням , де - корінь характеристичного рівняння, а х1 і х2 - корінь системи рівнянь при підстановці в неї значення .

Зрозуміло, що якщо характеристичне рівняння не має дійсних коренів, то лінійне перетворення А не має власних векторів.

Слід зазначити, що якщо - власний вектор перетворення А, то й будь-який вектор колінеарний йому - теж власний з тим же самим власним значенням .

Дійсно, . Якщо врахувати, що вектори мають один початок, то ці вектори утворять так званий власний напрямок або власну пряму.

Оскільки характеристичне рівняння може мати два різних дійсних корені 1 і 2, то в цьому випадку при підстановці їх у систему рівнянь одержимо нескінченну кількість розв'язків. (Оскільки рівняння лінійно залежні). Ця множина розв'язків визначає дві власні прямі.

Якщо характеристичне рівняння має два рівних корені 1 = 2 = , то або є лише одна власна пряма, або при підстановці в систему вона перетворюється в систему виду: . Ця система задовольняється будь-якими значеннями х1 і х2. Тоді всі вектори будуть власними, і таке перетворення називається перетворенням подібності.

Приклад. Знайти характеристичні числа й власні вектори лінійного перетворення з матрицею А = .

Запишемо лінійне перетворення у вигляді:

Складемо характеристичне рівняння:

;

Корені характеристичного рівняння:

1 = 7; 2 = 1;

Для кореня 1 = 7:



Із системи виходить залежність: x1 - 2x2 = 0. Власні вектори для першого кореня характеристичного рівняння мають координати: (t; 0,5t) де t - параметр.

Для кореня 2 = 1:

Із системи виходить залежність: x1 + x2 = 0. Власні вектори для другого кореня характеристичного рівняння мають координати: (t; -t) де t - параметр.

Отримані власні вектори можна записати у вигляді:

Приклад. Знайти характеристичні числа й власні вектори лінійного перетворення з матрицею А = .

Запишемо лінійне перетворення у вигляді:

Складемо характеристичне рівняння:

;

Корінь характеристичного рівняння: 1 = 2 = 2;

Одержуємо:

Із системи виходить залежність: x1 - x2 = 0. Власні вектори для першого кореня характеристичного рівняння мають координати: (t; t) де t - параметр.

Власний вектор можна записати:

.

Розглянемо інший окремий випадок. Якщо - власний вектор лінійного перетворення А, заданого в тривимірному лінійному просторі, а х1, х2, х3 - компоненти цього вектора в деякому базисі , то

,

де - власне значення (характеристичне число) перетворення А.

Якщо матриця лінійного перетворення А має вигляд:

, то

Характеристичне рівняння:

Розкривши визначник, одержимо кубічне рівняння відносно . Будь-яке кубічне рівняння з дійсними коефіцієнтами має або один, або три дійсних корені.

Тоді будь-яке лінійне перетворення в тривимірному просторі має власні вектори.

Приклад. Знайти характеристичні числа й власні вектори лінійного перетворення А, матриця лінійного перетворення А = .

Складемо характеристичне рівняння:

Власні значення: 1 = -2; 2 = 3; 3 = 6;

1) Для 1 = -2:

Якщо прийняти х1 = 1, то х2 = 0; x3 = - 1;

Власні вектори:

2) Для 2 = 3:

Якщо прийняти х1 = 1, то х2 = -1; x3 = 1;

Власні вектори:

3) Для 3 = 6:

Якщо прийняти х1 = 1, то х2 = 2; x3 = 1;

Власні вектори:

Приклад. Знайти характеристичні числа й власні вектори лінійного перетворення А, матриця лінійного перетворення А = .

Складемо характеристичне рівняння:

1 = 0; 2 = 1; 3 = -1;

Для 1 = 0:

Якщо прийняти х3 = 1, одержуємо х1 = 0, х2 = -2

Власні вектори t, де t - параметр.

Для самостійного розв'язання: Аналогічно знайти й для 2 і 3.

Квадратичні форми

Визначення: Однорідний багаточлен другого ступеня щодо змінних х1 і х2

Ф(х1, х2) = а11

не утримуючого вільного члена й невідомих у першому ступені називається квадратичною формою змінних х1 і х2.

Визначення: Однорідний багаточлен другого ступеня щодо змінних х1, х2 і х3

не утримуючого вільного члена й невідомих у першому ступені називається квадратичною формою змінних х1, х2 і х3.

Розглянемо квадратичну форму двох змінних. Квадратична форма має симетричну матрицю А = . Визначник цієї матриці називається визначником квадратичної форми.

Нехай на площині заданий ортогональний базис . Кожна точка площини має в цьому базисі координати х1, х2.

Якщо задано квадратичну форму Ф(х1, х2) = а11, то її можна розглядати як функцію від змінних х1 і х2.

Приведення квадратичних форм до канонічного вигляду

Розглянемо деяке лінійне перетворення А с матрицею .

Це симетричне перетворення можна записати у вигляді:

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a12x1 + a22x2

де у1 і у2 - координати вектора в базисі .

Очевидно, що квадратична форма може бути записана у вигляді

Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.

Як видно, геометричний зміст числового значення квадратичної форми Ф у точці з координатами х1 і х2 - скалярний добуток .

Якщо взяти інший ортонормований базис на площині, то в ньому квадратична форма Ф буде виглядати інакше, хоча її числове значення в кожній геометричній точці й не зміниться. Якщо знайти такий базис, у якому квадратична форма не буде містити координат у першому ступені, а тільки координати у квадраті, то квадратичну форму можна буде привести до канонічного виду.

Якщо як базис взяти сукупність власних векторів лінійного перетворення, то в цьому базисі матриця лінійного перетворення має вигляд:

.

При переході до нового базису від змінних х1 і х2 ми переходимо до змінних й . Тоді:

Тоді .

Вираз називається канонічним виглядом квадратичної форми. Аналогічно можна привести до канонічного виду квадратичну форму з більшим числом змінних.

Теорія квадратичних форм використається для приведення до канонічного вигляду рівнянь кривих і поверхонь другого порядку.

Приклад. Привести до канонічного вигляду квадратичну форму

.

Коефіцієнти: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.

Складемо характеристичне рівняння: ;

1 = 2; 2 = 28;

Приклад. Привести до канонічного вигляду рівняння другого порядку:

17x2 + 12xy + 8y2 - 20 = 0.

Коефіцієнти а11 = 17, а12 = 6, а22 = 8. А =

Складемо характеристичне рівняння:

(17 - )(8 - ) - 36 = 0

136 - 8 - 17 + 2 - 36 = 0

2 - 25 + 100 = 0

1 = 5, 2 = 20.

Отже: - канонічне рівняння еліпса.

Приклад. Використовуючи теорію квадратичних форм, привести до канонічного вигляду рівняння лінії другого порядку. Схематично зобразити графік.

Розв'язання: Складемо характеристичне рівняння квадратичної форми : при

Вирішивши це рівняння, одержимо 1 = 2, 2 = 6.

Знайдемо координати власних векторів:

приймаючи m1 = 1, одержимо n1 =

приймаючи m2 = 1, одержимо n2 =

Власні вектори:



Знаходимо координати одиничних векторів нового базису.

Маємо наступне рівняння лінії в новій системі координат:

Канонічне рівняння лінії в новій системі координат буде мати вигляд:

Приклад. Використовуючи теорію квадратичних форм, привести до канонічного вигляду рівняння лінії другого порядку. Схематично зобразити графік.

Розв'язання: Складемо характеристичне рівняння квадратичної форми : при

Вирішивши це рівняння, одержимо 1 = 1, 2 = 11.

Знайдемо координати власних векторів:

приймаючи m1 = 1, одержимо n1 =

приймаючи m2 = 1, одержимо n2 =

Власні вектори:

Знаходимо координати одиничних векторів нового базису.



Маємо наступне рівняння лінії в новій системі координат:

Канонічне рівняння лінії в новій системі координат буде мати вигляд:

Приклад. Використовуючи теорію квадратичних форм, привести до канонічного вигляду рівняння лінії другого порядку. Схематично зобразити графік.

4ху + 3у2 + 16 = 0

Коефіцієнти: a11 = 0; a12 = 2; a22 = 3.

Характеристичне рівняння:

Корені: 1 = -1, 2 = 4.

Для 1 = -1 Для 2 = 4

m1 = 1; n1 = -0,5; m2 = 1; n2 = 2;

= (1; -0,5) = (1; 2)

Одержуємо: - канонічне рівняння гіперболи.

Вступ до математичного аналізу

Числова послідовність

Визначення. Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність число хn, то говорять, що задано послідовність

x1, х2, …, хn = {xn}

Загальний елемент послідовності є функцією від n.

xn = f(n)

У такий спосіб послідовність може розглядатися як функція.

Задати послідовність можна різними способами - головне, щоб був зазначений спосіб одержання будь-якого члена послідовності.

Приклад. {xn} = {(-1)n} або {xn} = -1; 1; -1; 1; …

{xn} = {sin n/2} або {xn} = 1; 0; 1; 0; …

Для послідовностей можна визначити наступні операції:

Множення послідовності на число m: m{xn} = {mxn}, тобто mx1, mx2, …

Додавання (вирахування) послідовностей: {xn} {yn} = {xn yn}.

Добуток послідовностей: {xn}{yn} = {xnyn}.

Частка послідовностей: при {yn} 0.

Обмежені й необмежені послідовності

Визначення. Послідовність {xn} називається обмеженою, якщо існує таке число М>0, що для будь-якого n вірне нерівність:

тобто всі члени послідовності належать проміжку (-М; M).

Визначення. Послідовність {xn} називається обмеженою згори, якщо для будь-якого n існує таке число М, що

Визначення. Послідовність {xn}називається обмеженої знизу, якщо для будь-якого n існує таке число М, що

Приклад. {xn} = n - обмежена знизу {1, 2, 3, … }...

Визначення. Число а називається границею послідовності {xn}, якщо для будь-якого позитивного >0 існує такий номер N, що для всіх n > N виконується умова:

Це записується: .

У цьому випадку говорять, що послідовність {xn} збігається до а при n.

Властивість: Якщо відкинути яке-небудь або число членів послідовності, то виходять нові послідовності, при цьому якщо сходиться одна з них, то сходиться й інша.

Приклад. Довести, що границя послідовності .

Нехай при n > N вірно , тобто . Це вірно при , таким чином, якщо за N взяти цілу частину від , то твердження, наведене вище, виконується.

Приклад. Показати, що при n послідовність 3, має границею число 2.

Отже: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn - 2

Очевидно, що існує таке число n, що , тобто .

Теорема. Послідовність не може мати більше однієї границі.

Доведення. Припустимо, що послідовність {xn} має дві границі a і b, не рівні один одному.

xn a; xn b; a b.

Тоді за визначенням існує таке число >0, що

Запишемо вираз:



А тому що - будь-яке число, те, тобто a = b. Теорему доведено.

Теорема. Якщо xn a, то .

Доведення. З xn a треба, що . У той же час:

, тобто , тобто . Теорему доведено.

Теорема. Якщо xn a, то послідовність {xn} обмежена.

Слід зазначити, що обернене твердження невірне, тобто з обмеженості послідовності не слідує її збіжність.

Наприклад, послідовність не має границі, хоча

Монотонні послідовності

Визначення. 1) Якщо xn+1 > xn для всіх n, то послідовність зростаюча.

2) Якщо xn+1 xn для всіх n, то послідовність неспадна.

3) Якщо xn+1 < xn для всіх n, те послідовність спадна.

4) Якщо xn+1 xn для всіх n, те послідовність незростаюча

Всі ці послідовності називаються монотонними. Зростаючі й спадні послідовності називаються строго монотонними.

Приклад. {xn} = 1/n - спадна й обмежена

{xn} = n - зростаюча й необмежена.

Приклад. Довести, що послідовність {xn}= монотонна зростаюча.

Знайдемо член послідовності {xn+1}=

Знайдемо знак різниці:

{xn}-{xn+1}=

,

тому що , то знаменник додатний при будь-якому n.

Таким чином, xn+1 > xn. Послідовність зростаюча, що й слід було довести.

Приклад. З'ясувати чи є зростаючою або спадною послідовність {xn} = .

Знайдемо . Знайдемо різницю , тому що , то 1 - 4n <0, тобто хn+1 < xn. Послідовність монотонно спадає.

Слід зазначити, що монотонні послідовності обмежені принаймні з однієї сторони.

Теорема. Монотонна обмежена послідовність має границю.

Доведення. Розглянемо монотонну неспадну послідовність

Ця послідовність обмежена зверху: , де М - деяке число.

Оскільки будь-яка, обмежене згори, числова множина має чітку верхню грань, то для кожного > 0 існує таке число N, що x > a - , де а - деяка верхня грань множини.

Оскільки {xn} - неспадна послідовність, то при N > n , xn > a - .

Звідси a - < xn < a +

- < xn - a < або xn - a< , тобто .

Для інших монотонних послідовностей доведення аналогічно. Теорему доведено.

Число е

Розглянемо послідовність {xn} = .

Якщо послідовність {xn} монотонна й обмежена, то вона має скінченну границю.

За формулою бінома Ньютона:

або, що те ж саме

Покажемо, що послідовність {xn} - зростаюча. Дійсно, запишемо вираз xn+1 і прирівняємо його з виразом xn:



Кожний доданок у виразі xn+1 більше відповідного значення xn, і, крім того, в xn+1 додається ще один позитивний доданок. Таким чином, послідовність {xn} зростаюча.

Доведемо тепер, що при будь-якому n її члени не перевершують трьох: xn < 3.

Отже, послідовність - монотонно зростаюча і обмежена зверху, тобто має скінченну границю. Цю границю прийнято позначати буквою е.

З нерівності треба, щоб . Відкидаючи в рівності для {xn} всі члени, починаючи із четвертого, маємо:

переходячи до границі, одержуємо

Таким чином, число е розміщене між числами 2,5 і 3. Якщо взяти більшу кількість членів послідовності, то можна одержати більш точну оцінку значення числа е.

Можна показати, що число е ірраціональне і його значення дорівнює 2,71828...

Аналогічно можна показати, що , розширивши вимоги до х до будь-якого дійсного числа:

Припустимо:

Знайдемо

Число е є основою натурального логарифма.



Вище представлений графік функції y = ln x.

Зв'язок натурального й десяткового логарифмів

Нехай х = 10у, тоді ln x = ln10y, отже ln x = y ln10.

,

де М = 1/ln10 0,43429… - модуль переходу.

Границя функції в точці

Y f(x)

A +

A

A -

0 a - a a + x

Нехай функція f(x) визначена в деякому околі точки х = а (тобто в самій точці х = а функція може бути й невизначена).

Визначення. Число А називається границею функції f(x) при ха, якщо для кожного >0 існує таке число >0, що для всіх х таких, що

вірна нерівність .

Те ж визначення може бути записане в іншому вигляді:

Якщо а - < x < a + , x a, то вірна нерівність А - < f(x) < A + .

Запис границі функції в точці:

Визначення. Якщо f(x) A1 при х а тільки при x < a, то - називається границею функції f(x) в точці х = а ліворуч, а якщо f(x) A2 при х а тільки при x > a, то називається границею функції f(x) в точці х = а праворуч.

у

f(x)

А2

А1

0 a x

Наведене вище визначення відповідає випадку, коли функція f(x) не визначена в самій точці х = а, але визначена в деякій як завгодно малому околі цієї точки.

Межі А1 і А2 називаються також однобічними границями функції f(x) у точці х = а. Також кажуть, що А - скінченна границя функції f(x).

Границя функції при прямуванні аргументу до нескінченності

Визначення. Число А називається границею функції f(x) при х, якщо для будь-якого числа >0 існує таке число М>0, що для всіх х, х>M виконується нерівність

При цьому вважається, що функція f(x) визначена в околиці нескінченності.

Записують:

Графічно можна представити:

Y y

A A

0 0

X x

 Y y

A A

0 0

X x

Аналогічно можна визначити границі для будь-якого х >M і

для будь-якого х <M.

Основні теореми про границі.

Теорема 1. , де С = const.

Наступні теореми справедливі в припущенні, що функції f(x) і g(x) мають скінченні границі при .

Теорема 2.

Доведення цієї теореми буде наведено нижче.

Теорема 3.

Наслідок.

Теорема 4. за умови

Теорема 5. Якщо f(x)>0 поблизу точки х = а й , то А>0.

Аналогічно визначається знак границі при

Теорема 6. Якщо поблизу точки х = а й , то й .

Визначення. Функція f(x) називається обмеженою поблизу точки х = а, якщо існує таке число М>0, що f(x)<M поблизу точки х = а.

Теорема 7. Якщо функція f(x) має скінченну границю при , то вона обмежена поблизу точки х = а.

Доведення. Нехай , тобто , тоді

або

, тобто

де М = + А

Теорему доведено.

Нескінченно малі функції

Визначення. Функція f(x) називається нескінченно малою при ха, де а може бути числом або однією з величин , + або - , якщо .

Нескінченно малою функція може бути тільки якщо вказати до якого числа прямує аргумент х. При різних значеннях а функція може бути нескінченно малою чи ні.

Приклад. Функція f(x) = xn є нескінченно малою при х0 і не є нескінченно малою при х1, тому що .

Теорема. Для того, щоб функція f(x) при мала границю, рівну А, необхідно й достатньо, щоб поблизу точки х = а виконувалася умова

де - нескінченно мала при ( при .

Властивості нескінченно малих функцій

Сума фіксованого числа нескінченно малих функцій при теж нескінченно мала функція при .

Добуток фіксованого числа нескінченно малих функцій при теж нескінченно мала функція при .

Добуток нескінченно малої функції на функцію, обмежену поблизу точки х = а є нескінченно малою функцією при .

Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорівнює нулю є величина нескінченно мала.

Використовуючи поняття нескінченно малих функцій, наведемо доведення деяких теорем про границі, наведених вище.

Доведення теореми 2. Представимо , , де

, тоді

A + B = const, - нескінченно мала, значить

Теорему доведено.

Доведення теореми 3. Представимо

, , де

, тоді

, і - нескінченно малі, значить

Теорему доведено.

Нескінченно великі функції та їх зв'язок з нескінченно малими

Визначення. Границя функції f(x) при ха, де а - число, що дорівнює нескінченності, якщо для будь-якого числа М >0 існує таке число >0, що нерівність

виконується при всіх х, що задовольняють умові

Записується .

Властиво, якщо в наведеному вище визначенні замінити умову на f(x)>M, то одержимо:

а якщо замінити на f(x)<M, то:

Графічно наведені вище випадки можна проілюструвати в такий спосіб:



a x a x a x

Визначення. Функція називається нескінченно великою при ха, де а - число або одна з величин , + або - , якщо , де А - число або одна з величин , + або - .

Зв'язок нескінченно великих і нескінченно малих функцій здійснюється у відповідності з наступною теоремою.

Теорема. Якщо при (якщо ) і не обертається в нуль, то

Порівняння нескінченно малих функцій

Нехай , і - нескінченно малі функції при . Будемо позначати ці функції , і відповідно. Ці нескінченно малі функції можна порівнювати за швидкістю їхнього спадання, тобто за швидкістю їх прямування до нуля.

Наприклад, функція f(x) = x10 прямує до нуля швидше, ніж функція f(x) = x.

Визначення. Якщо , то функція називається нескінченно малою вищого порядку, ніж функція .

Визначення. Якщо , то і називаються нескінченно малими одного порядку.

Визначення. Якщо то функції і називаються еквівалентними нескінченно малими. Записують .

Приклад. Порівняємо нескінченно малі при х0 функції f(x) = x10 і f(x) = x.

тобто функція f(x) = x10 - нескінченно мала вищого порядку, ніж f(x) = x.

Визначення. Нескінченно мала функція називається нескінченно малою порядку k відносно нескінченно малої функції , якщо границя скінченна й відмінна від нуля.

Однак, слід зазначити, що не всі нескінченно малі функції можна порівнювати між собою. Наприклад, якщо відношення не має границі, то функції непорівнянні.

Приклад. Якщо , то при х0 , тобто функція - нескінченно мала порядку 2 щодо функції .

Приклад. Якщо , то при х0 не існує, тобто функція і непорівнянні.

Властивості еквівалентних нескінченно малих

1. ~ ,

2. Якщо ~ і ~ , то ~ ,

3. Якщо ~ , то ~ ,

4. Якщо ~ 1 і ~ 1 і , то й або .

Наслідки: а) якщо ~ 1 і , то й

б) якщо ~ 1 і , то

Властивість 4 особливо важливо на практиці, тому що воно фактично означає, що границя відношення нескінченно малих не міняється при заміні їх на еквівалентні нескінченно малі. Цей факт дає можливість при знаходженні границь заміняти нескінченно малі на еквівалентні їм функції, що може сильно спростити обчислення границь.

Приклад. Знайти границю

Оскільки tg5x ~ 5x і sin7x ~ 7x при , то, замінивши функції еквівалентними нескінченно малими, одержимо:

Приклад. Знайти границю .

Тому що при х0, то .

Приклад. Знайти границю

Якщо і - нескінченно малі при ха, причому - нескінченно мала більше високого порядку, чим , то = + - нескінченно мала, еквівалентна . Це можна довести наступною рівністю: .

Тоді кажуть, що - головна частина нескінченно малої функції .

Приклад. Функція х2 +х - нескінченно мала при х0, х - головна частина цієї функції. Щоб показати це, запишемо = х2, = х, тоді

.

Деякі визначні границі.

Перша визначна границя.

, де P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an,

Q(x) =b0xm+b1xm-1+…+bm - багаточлени.



Разом:

Друга визначна границя.

Третя визначна границя.

Часто, якщо безпосереднє знаходження границі якої-небудь функції видається складним, то можна шляхом перетворення функції звести задачу до знаходження визначних меж.

Крім трьох, викладених вище, меж можна записати наступні корисні на практиці співвідношення:

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю .

Для знаходження цієї границі розкладемо на множники чисельник і знаменник даного дробу.

x2 - 6x + 8 = 0; x2 - 8x + 12 = 0;

D = 36 - 32 = 4; D = 64 - 48 = 16;

x1 = (6 + 2)/2 = 4; x1 = (8 + 4)/2 = 6;

x2 = (6 - 2)/2 = 2; x2 = (8 - 4)/2 = 2;

Тоді

Приклад. Знайти границю.

домножимо чисельник і знаменник дробу на спряжений вираз: =

=.

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю .

Розкладемо чисельник і знаменник на множники.

x2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

x3 - 6x2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3), тому що

x3 - 6x2 + 11x - 6 x - 1

x3 - x2 x2 - 5x + 6

- 5x2 + 11x

- 5x2 + 5x

6x - 6

6x - 6

0

x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Тоді

Приклад. Знайти границю.

Для самостійного розв'язання:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. 8) - не визначений.

Неперервність функції в точці

Визначення. Функція f(x), визначена в околі деякої точки х0, називається неперервною в точці х0, якщо границя функції і її значення в цій точці рівні, тобто



Той же факт можна записати інакше:

Визначення. Якщо функція f(x) визначена в деякому околі точки х0, але не є неперервною в самій точці х0, то вона називається розривною функцією, а точка х0 - точкою розриву.

Приклад неперервної функції:

y

f(x0)+

f(x0)

f(x0)-

0 x0- x0 x0+ x

Визначення. Функція f(x) називається неперервною в точці х0, якщо для будь-якого додатного числа > 0 існує таке число > 0, що для будь-яких х, що задовольняють умові

вірна нерівність

.

Визначення. Функція f(x) називається неперервною в точці х = х0, якщо приріст функції в точці х0 є нескінченно малою величиною.



де (х) - нескінченно мала при хх0.

Властивості неперервних функцій

1) Сума, різниця й добуток неперервних у точці х0 функцій - є функція, неперервна в точці х0.

2) Частка двох неперервних функцій є неперервна функція за умови, що g(x) не дорівнює нулю в точці х0.

3) Суперпозиція неперервних функцій є неперервною функцією. Ця властивість може бути записана в такий спосіб:

Якщо u = f(x), v = g(x) - неперервні функції в точці х = х0, то функція v = g(f(x)) - теж неперервна функція в цій точці.

Справедливість наведених вище властивостей можна легко довести, використовуючи теореми про границі.

Неперервність деяких елементарних функцій.

1) Функція f(x) = C, C = const - неперервна функція на всій області визначення.

2) Раціональна функція неперервна для всіх значень х, крім тих, при яких знаменник обертається в нуль. Таким чином, функція цього виду неперервна на всій області визначення.

3) Тригонометричні функції неперервні на своїй області визначення.

Доведемо властивість 3 для функції y = sin x.

Запишемо приріст функції , або після перетворення:

Дійсно, є границя добутку двох функцій і . При цьому функція косинус обмежена функція при х0 , а оскільки границя функції синус , то вона є нескінченно малою при х0.

Таким чином, є добуток обмеженої функції на нескінченно малу, отже цей добуток, тобто функція у - нескінченно мала. Відповідно до розглянутого вище визначеннями, функція у = sin x - неперервна функція для будь-якого значення х = х0 з області визначення, тому що її приріст у цій точці - нескінченно мала величина.

Аналогічно можна довести неперервність інших тригонометричних функцій на всій області визначення.

Взагалі варто відмітити, що всі основні елементарні функції неперервні на всій своїй області визначення.

Точки розриву і їхня класифікація

Розглянемо деяку функцію f(x), неперервну в околиці точки х0, за винятком може бути самої цієї точки. З визначення точки розриву функції треба, щоб х = х0 була точкою розриву, якщо функція не визначена в цій точці, або не є в ній неперервною.

Слід зазначити також, що неперервність функції може бути однобічною. Пояснимо це в такий спосіб.

Якщо однобічна границя (див. вище) , то функція називається неперервною праворуч.



х0

Якщо однобічна границя (див. вище) , то функція називається неперервною ліворуч.

х0

Визначення. Точка х0 називається точкою розриву функції f(x), якщо f(x) не визначена в точці х0 або не є неперервною в цій точці.

Визначення. Точка х0 називається точкою розриву 1-го роду, якщо в цій точці функція f(x) має скінченні, але не рівні між собою ліву і праву границі.

Для виконання умов цього визначення непотрібно, щоб функція була визначена в точці х = х0, достатньо того, щоб вона була визначена ліворуч і праворуч від неї.

З визначення можна зробити висновок, що в точці розриву 1-го роду функція може мати тільки скінченний стрибок. У деяких окремих випадках точку розриву 1-го роду ще іноді називають усувною точкою розриву, але докладніше про це поговоримо нижче.

Визначення. Точка х0 називається точкою розриву 2-го роду, якщо в цій точці функція f(x) не має хоча б одної з однобічних границь або хоча б одна з них нескінченна.

Приклад. Функція Діріхле (Діріхле Петер Густав (1805-1859) - німецький математик, член-кореспондент Петербурзької АН з 1837р.)

не є неперервною в будь-якій точці х0.

Приклад. Функція f(x) = має в точці х0 = 0 точку розриву 2-го роду, тому що

.

Приклад.

Функція невизначена в точці х = 0, але має в ній кінцева границя , тобто в точці х = 0 функція має точку розриву 1-го роду. Це - усувна точка розриву, тому що якщо довизначити функцію:

Графік цієї функції:

Приклад.

y

1

0 x

-1

Ця функція також позначається sign(x) - знак х. У точці х = 0 функція не визначена. Оскільки ліва й права границі функції різні, то точка розриву - 1-го роду. Якщо довизначити функцію в точці х = 0, поклавши f(0) = 1, то функція буде неперервна праворуч, якщо покласти f(0) = -1, то функція буде неперервною ліворуч, якщо покласти f(x) рівне якому-небудь числу, відмінному від 1 або -1, то функція не буде неперервна ні ліворуч, ні праворуч, але у всіх випадках проте буде мати в точці х = 0 розрив 1-го роду. У цьому прикладі точка розриву 1-го роду не є усувною.

Таким чином, для того, щоб точка розриву 1-го роду була усувною, необхідно, щоб однобічні границі праворуч і ліворуч були скінченні й рівні, а функція була б у цій точці не визначена.

Неперервність функції на інтервалі й на відрізку

Визначення. Функція f(x) називається неперервною на інтервалі (відрізку), якщо вона неперервна в будь-якій точці інтервалу (відрізка).

При цьому не потрібна неперервність функції на кінцях відрізка або інтервалу, необхідна тільки однобічна неперервність на кінцях відрізка або інтервалу.

Властивості функцій, неперервних на відрізку

Властивість 1: (Перша теорема Вейєрштраса (Вейерштрас Карл (1815-1897) - німецький математик)). Функція, неперервна на відрізку, обмежена на цьому відрізку, тобто на відрізку [a, b] виконується умова .

Доведення цієї властивості засноване на тому, що функція, неперервна в точці х0, обмежена в деякому її околі, а якщо розбивати відрізок [a, b] на нескінченну кількість відрізків, які “стягаються” до точки х0, то утвориться деякий окіл точки х0.

Властивість 2: Функція, неперервна на відрізку [a, b], приймає на ньому найбільше й найменше значення.

Тобто існують такі значення х1 і х2, що f(x1) = m, f(x2) = M, причем

Відзначимо, що ці найбільші й найменші значення функція може приймати на відрізку й кілька разів (наприклад - f(x) = sin x).

Різниця між найбільшим і найменшим значенням функції на відрізку називається коливанням функції на відрізку.

Властивість 3: (Друга теорема Больцано-Коші). Функція, неперервна на відрізку [a, b], приймає на цьому відрізку всі значення між двома певними величинами.

Властивість 4: Якщо функція f(x) неперервна в точці х = х0, то існує деякий окіл точки х0, у якій функція зберігає знак.

Властивість 5: (Перша теорема Больцано(1781-1848)-Коші). Якщо функція f(x) - неперервна на відрізку [a, b] і має на кінцях відрізка значення протилежних знаків, то існує така точка усередині цього відрізка, де f(x) = 0.

Тобто, якщо sign(f(a)) sign(f(b)), то х0: f(x0) = 0.

Визначення. Функція f(x) називається рівномірно неперервною на відрізку [a, b], якщо для кожного > 0 існує > 0 таке, що для будь-яких точок х1[a, b] і x2[a, b] таких, що

х2 - х1<

вірна нерівність

f(x2) - f(x1) <

Відмінність рівномірної неперервності від “звичайної” у тім, що для кожного існує своє , що не залежить від х, а при “звичайній” неперервності залежить від і х.

...