Регулярні, квазірегулярні та індуковані представлення нескінченновимірних груп

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

01.01.01 -- Математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Регулярні, квазірегулярні та індуковані представлення нескінченновимірних груп

Косяк Олександр Володимирович

Київ - 2010

Дисертацією є рукопис. Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий консультант

доктор фізико-математичнх наук, професор,

академік НАН України

Березанський Юрій Макарович,

Інститут математики НАН України,

головний науковий співробітник відділу функціонального аналізу.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Булдигін Валерій Володимирович,

Національний технічний університет України

“КПІ”, завідувач кафедри математичного аналізу

та теорії ймовірностей; доктор фізико-математичних наук, професор

Боднарчук Юрій Вікторович,

Національний університет “Києво-Могилянська Академія”

завідувач кафедри математики;

доктор фізико-математичних наук,

Кочубей Анатолій Наумович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу нелінійного аналізу;

доктор фізико-математичних наук, доцент

Нессонов Микола Іванович,

Фізико-технічний інститут низьких температур

ім. Б. І. Вєркіна НАН України, провідний науковий співробітник.

Захист відбудеться “ 15 ” червня 2010 р. о 1500 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “ 27 ” квітня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк A.C.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Теорія представлень нескінченновимірних груп -- дуже широка область. Работи І.М. Гельфанда зіграли вирішальну роль в теорії представлень груп взагалі та в теорії представлень нескінченновимірних груп зокрема. Для того, щоб вивчати неперервні комутаційні співвідношення в квантовій теорії поля Х. Аракі та Е. Вудс (1966) і Аракі (1969) ввели поняття груп струмів та факторизованих представлень таких груп. Представлення таких груп вивчались також К.Р. Партасараті та К.А. Шмідтом (1972). In order to study the current commutation relations of quantum field theory, Araki and Woods [2] and Araki [1] introduced the notion of current groups and factorisable representations of such groups. В работі І.М. Гельфанда, А.М. Вершика та М.І. Граєва (1973) також досліджувались представлення групи струмів.

Використовуючи розвинутий ним метод орбіт, О.О. Кіріллов (1962) описав все незвідні унітарні представлення поповнення U0 групи U(?)=nU(n) в сильній операторній топології (де означає індуктивну границю). Група U0 складається з унітарних операторів вигляду I+K, де K -- компактний оператор.

Цей підхід був узагальнений Г.І. Ольшанським (1991) для індуктивних границь інших класичних груп K(?)=nK(n), де K -- це група U, O чи Sp. В роботі Г.І. Ольшанського (1991) була одержана повна класифікація так званих “ручних” представлень груп K(?). Книга Г.І. Ольшанського Ol'shanski G.I. Unitary representations of infinite-dimensional pairs (G,K) and the formalism of R. Howe/G.I. Ol'shanski// Representation of Lie Groups and Related Topics/ Ed. by A.M. Vershik and D.P. Zhelobenko.- New York: Gordon and Breach1990. стосується теорії представлень груп автоморфізмів скінченновимірних симетричних ріманових просторів. В роботах М.І. Нессонова (2001) дана повна класифікакція допустимих представлень групи GL(?) та нескінченновимірних ортогональної та симплектичної груп.

Книга Р.С.Ісмагілова Ismagilov R.S. Representations of inf-inite-dimen-sional groups/ R.S.Ismagilov.- Providence, RI: AMS, 1996.- 152, Translations of Mathematical Monographs. присвячена представленням двох класів нескінченновимірних груп Лі: групам струмів та групам дифеоморфізмів та деяким їх напівпрямим добуткам. Книга Ю.А. Неретіна Neretin Yu.A. Categories of symmetries and infinite-dimensional groups/ Yu.A. Neretin.- Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1996.-16, London Mathematical Society Monographs. New Series. стосується теорії представлень таких нескінченновимірних груп: груп дифеоморфізмів деяких многовидів, груп, ассоційованих з алгеброю Вірасоро чи з алгебрами Каца-Муді, нескінченної групи перестановок S?, груп операторів в гільбертовому просторі, груп струмів і, нарешті, груп автоморфізмів вимірних просторів.

Книга L. Guieu та C. Roger Guieu L. L'algиbre et le Groupe de Virasoro. Aspects gйomйtriques et algйbriques, gйnйralisations/L. Guieu and C. Roger.- Montreal: CRM Publications, 2007. вивчає групу Вірасоро (центральне розширення групи дифеоморфізмів кола) і алгебру Вірасоро. Ці об'єкти відіграють важливу роль в різних областях математики та теоретичній фізиці, наприклад, в інтегровних системах, характеристичних класах, квантуванні, динамічних системах, теорії струн та комфорній теорії поля. Книга S. Albeverio та співавторів Albeverio S. Noncommutative distributions, Unitary representation of gauge groups and algebras/S. Albeverio, R. Hцegh-Krohn, J. Marion, D. Testard, B. Torrйsani//New York:Marcel Dekker, 1993.-175, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. присвячена теорії представлень груп струмів та суміжним темам.

Нехай S?=n?1Sn -- група скінченних перестановок натуральних чисел. Всі нерозкладні центральні додатно визначені функції на S?, зв'язані з фактор-представленнями типу II1, було описано E. Thoma (1963). Пізніше А.М. Вершик та С.В. Керов (1981) одержали той же результат іншим методом та навели реалізацію фактор-представлень типу II1. N.Obata (1987) побудував та класифікував незліченну сім'ю UИ,ч незвідних представлень групи S?. Ця сім'я складається з індукованих представлень. Г.І. Ольшанським та С.В. Керовим (1993) було побудовано узагальнені регулярні представлення {Tz:z C} групи S?ЧS?. Ці представлення є не що інше, як деформація бірегулярного представлення групи S? в l2(S?). Двохпараметрична сім'я узагальнених регулярных представлень Tz,z' групи S? також згадується в роботі С.В. Керова та Г.І. Ольшанського (1993).

А.М. Бородін та Г.І. Ольшанський (1998) обчислили відповідну спектральну міру Pz,z'. Кореляційні функції мають детермінантну форму, подібну формі, яка вивчається в теорії випадкових матриць. А.М. Бородін, А. Окуньков та Г.І. Ольшанський (2000) вивчили асимптотику міри Планшереля Mn симетричної групи Sn. Було показано, що Mn збігається до дельта-міри з носієм на певній підмножині Щ в R2, тісно пов'язаній з напівкруговим законом розподілу Вігнера (Wigner's semicircle law) для розподілу власних значень випадкових матриць.

Перші приклади регулярних представлень для нескінченновимірних груп (у випадку групи струмів) дали S. Albeverio, R. Hцegh-Krohn і D. Testard (1981), Р.С. Ісмагілов (1981). Аналог регулярного представлення для довільної нескінченновимірної груп G, яке використовує G-квазіінвариантну міру на деякому поповненні ЮG групи G, вперше визначено автором в його канд. дис. (1985).

Гіпотеза Р.С. Ісмагілова дає критерій незвідності регулярних представлень нескінченновимірної групи в термінах відповідної міри (див. точне формулювання нижче). Ця гіпотеза була висловлена в 1985 р. проф. Р.С. Ісмагіловим в його відзиві опонента на кадидатську дисертацію автора і стосувалась групи G=B0N та довільної гаусівської продакт-міри на групі ЮG=BN. Оскільки перенесення її на інші нескінченновимірні групи очевидне, ми також будемо називати її гіпотезою Р.С. Ісмагілова для довільних груп.

Перший результат в цьому напрямку був одержаний М.І. Нессоновим (1986). Для комплексної нескінченновимірної борелевської групи Bor0c,N та для міри, що є нескінченним тензорним добутком стандартних гаусівських мір на її поповненні Borc,N там була доведена незвідність відповідного регулярного представлення. Тут Bor0c,N (відп. Borc,N ) означає групу матриць, що мають вигляд x=expt+s, де t -- діагональна матриця зі скінченним числом ненульових дійсних елементів (відп. довільна дійсна матриця) і s -- фінітна (відп. довільна) комплексна строго верхньотрикутна матриця.

Гіпотезу Р.С. Ісмагілова та її узагальнення було доведено автором (1992-2005) для деяких нескінченновимірних груп та різних класів квазіінваріантних мір. Чи справедлива гіпотеза Ісмагілова та її узагальнення в загальному випадку для довільних груп та мір над полем R чи C -- відкрите питання.

Мета дисертації -- почати систематичний розвиток некомутативного гармонічного аналізу на нескінченновимірних групах. Ці групи вважаються не локально компактними. Оскільки майже всі конструкції гармонічного аналізу на локально компактній групі G базуються на існуванні (та єдиності) G-інваріантної міри (міри Хаара) на групі G, цілком природно намагатись побудувати щось подібне для нескінченновимірних груп. Оскільки початкова група не є локально компактною, то на ній не існує ні інваріантної міри -- міри Хаара, (Weil (1953)), ні квазі-інваріантної (Xia Dao-Xing (1978)).

Найбільш безпосередній підхід до побудови аналога міри Хаара наступний. Намагатись побудувати деяку більшу топологічну групу ЮG, яка містить початкову групу G в якості щільної підгрупи (тобто ЮG -- це поповнення G) та G-право-квазіінваріантну міру м на ЮG. Отже, спочатку треба побудувати для нескінченновимірної групи G триплет (ЮG,G,м):

(1)

зі згаданими властивостями. Таким чином будуємо регулярне, квазірегулярне та індуковане представлення (які залежать від поповнення ЮG та міри м) нескінченновимірної групи та вивчаємо їх властивості.

Гіпотеза Р.С. Ісмагілова та її узагальнення пояснюють в термінах відповідних мір, коли ці представлення є незвідними.

Далі, вивчаємо також алгебру фон Неймана AR,м(G)=(TR,мt|tG)'', породжену правим TR,м (чи лівим TL,м) регулярным представленням нескінченновимірних “нільпотентних” груп B0N та B0Z. Тут M ' -- комутант алгебри M.

По-перше, ми наводимо умови на міру, м при яких комутант алгебри фон Неймана AR,м(G), порожденої правим представленням, співпадає з алгеброю фон Неймана AL,м(G), порожденою лівим представленням. Це аналог відомої теореми Діксм'є (Dixmier) про коммутант для локально компактної групи. По-друге, ми вивчаємо коли алгебра фон Неймана M, порождена правим (чи лівим) регулярним представленням є фактор, тобто коли M?M' тривіальний (складається зі скалярних операторів). Накінець, ми показуємо, що побудований фактор має тип III1 при деяких природніх умовах на міру. У випадку, коли основне поле є скінченне поле Fp, узагальнена гіпотеза Р.С. Ісмагілова не виконується. Ми показуємо, як її необхідно модифікувати так, щоб одержати критерій незвідності.

G-дія, квазіінвариантні міри та представлення. Наступна конструкція унітарного представлення топологічної групи G (не обов'язково локально компактної) добре відома. Виберемо борелівську дію б:G>Aut(X) групи G в борелівському просторі X з G-квазіінваріантною мірою м на X, де Aut(X) -- група всіх вимірних автоморфізмів простору X. В цьому випадку можна природно визначити унітарне представлення рб,м,X групи G в просторі L2(X,м) за допомогою формули

(2)

Як визначити звідність чи незвідність цього представлення? Позначимо б(G)={бtAut(X)|tG}. Нехай б(G)' -- централізатор підгрупи б(G) в групі Aut(X), тобто, б(G)'={gAut(X)|{g,бt}=gбtg?1бt?1=e tG}. Наступна гіпотеза, напевне, вперше розглядалась дисертантом в 2002 для нескінченновимірних груп. Ми будемо часом називати цю гіпотезу узагальненою гіпотезою Р.С. Ісмагілова.

Гіпотеза 0.0.1 Представлення рб,м,X:G>U(L2(X,м)) є незвідне тоді і тільки тоді, коли

1) мgм gб(G)'\{e}, (де означає ортогональність),

2) міра м є G - эргодичною.

Означення 0.0.1 Міра м називається G-ергодичною, якщо із f(бt(x))=f(x) ?tG випливає, що f(x)=const м-м.с. для всіх функцій fL1(X,м), (де м.с. означает майже скрізь).

Регулярні та квазірегулярні представлення нескінченновимірних груп і гіпотеза Р.С. Ісмагілова. Щоб визначити регулярне представлення нескінченновимірних груп можна вибрати в (2) в якості X деяку більшу топологічну групу ЮG, яка містить початкову G в якості щільної підгрупи (ЮG є поповненням G), та G-право-(або ліво-) квазіінваріантну міру м на ЮG. Ми позначимо символом TR,м (відп. TL,м) праве (ліве) представлення TR,м,TL,м:G>U(L2(ЮG,м)), (TR,мtf)(x)=(dм(xt)/dм(x))1/2f(xt),

і гіпотеза 0.0.2 зводиться до наступної гіпотеза Р.С. Ісмагілова.

Гіпотеза 0.0.2 [Р.С. Ісмагілов, 1985]. Праве регулярне представлення TR,м:G>U(L2(ЮG,м)) незвідне тоді і тільки тоді, коли

1) мLtм tG\{e},

2) міра м є G - ергодичною.

Розглянемо тепер частковий випадок G-простору (простору, на якому група G діє), а саме, однорідний простір X=ЮH?ЮG, де H -- деяка підгрупа групи G, та деяку міру м, що є квазіінваріантною мірою на X (якщо вона існує) відносно правої дії групи G на однорідному просторі ЮH?ЮG. В цьому випадку ми називаємо відповідне представлення рб,м,ЮH?ЮG аналогом квазірегулярного (чи просто квазірегулярним) або геометричним представленням групи G. Відмітимо, що в цьому випадку ми також повинні взяти деяке поповнення ЮH?ЮG початкового однорідного простору H?G.

Насправді, гіпотеза 0.0.1 є прямим узагальненням гіпотези Р.С. Ісмагілова, а остання, по суті, базується на наступному результаті Діксм'є (Dixmier, 1969) для локально компактних груп:

Теорема 0.0.1 (Теорема Діксм'є про комутант). Комутант алгебри фон Неймана, породженої правим регулярним представленням, співпадає з алгеброю фон Неймана, породженою лівим регулярним представленням локально компактної групи G. Більш точно, нехай ?,л:G>U(L2(G,h)) -- праве і ліве регулярні представлення групи G, A?=(?t|t?G)'' та Aл=(лs|sG)'' -- права та ліва алгебри фон Неймана. Тоді (A?)'=Aл.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, що складають основу дисертації, проводились у відділі функціонального аналізу Інституту математики НАН України в рамках теми “Методи функціонального аналізу в задачах математичної фізики”, номер державної реєстрації 0106U000091.

Частина результатів одержана при виконанні спільних наукових проектів в рамках співробітництва між Інститутом математики НАН України з науковими центрами Німеччини: Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universitдt Bonn, Institute fьr angewandte Matematic SFB-611, Duetsche Forschungs Gemainschaft проектів DFG 436 UKR 113/72, 87, Max-Planck-Institut fьr Mathematik, Bonn.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є перенесення аналогів понять регулярного, квазірегулярного та індукованого представлень, добре відомих для локально компактних груп, для широкого класу нескінченновимірних груп та вивчення цих представлень.

Об'єктом дослідження є унітарні представлення нескінченновимірних груп та алгебри фон Неймана, ними породжені.

Предметом дослідження є унітарні регулярні, квазірегулярні та індуковані представлення нескінченновимірних матричних груп та алгебри фон Неймана, породжені регулярними представленнями.

Основними задачами дослідження є:

- перевірка гіпотези Р.С. Ісмагілова, яка стосується незвідності регулярних представлень різних нескінченновимірних груп та мір;

- поширення гіпотези Р.С. Ісмагілова для квазірегулярних та більш загальних представлень, зв'язаних з G-просторами та квазіінваріантними мірами на них, а також її перевірки; нескінченновимірний ісмагілов алгебра

- вивчення алгебр фон Неймана, породжених регулярним представленнями нескінченновимірних груп.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі результати дисертації є новими. В дисертації одержано такі основні результати:

1. Доведено гіпотезу Р.С. Ісмагілова для регулярних представлень нескінченновимірної “нільпотентної” групи верхньотрикутних нескінченних в одну сторону B0N (відп. нескінченних в обидві сторони B0Z) матриць з одиницями на головній діагоналі та гаусівських продакт-мір на їх поповненнях.

2. Дано критерій еквівалентності двох незвідних регулярних представлень групи B0N, які відповідають різним мірам.

3. Доведено узагальнену гіпотезу Р.С. Ісмагілова для квазірегулярних представлень груп B0N та B0Z.

4. Доведено узагальнену гіпотезу Р.С. Ісмагілова для групи SL(2?,R)=nSL(2n+1,R), яка діє на просторі Xm, m нескінченних в обидві сторони рядків та нескінченного тензорного добутку довільних гаусівських мір на Xm.

5. Доведено аналог теореми Діксм'є про комутант алгебри фон Неймана, породженої правим регулярним представленням нескінченновимірних груп B0N та B0Z.

6. Знайдено умови того, коли алгебра фон Неймана, породжена регулярним представленням групи G, є фактором для груп G=B0N та G=B0Z

7. Встановлено, що тип відповідного фактора є III1 для груп B0N та B0Z.

8. Показано, що гіпотеза Р.С. Ісмагілова не виконується для регулярного та квазірегулярного представлень групи B0N(Fp) верхньотрикутних матриць над скінченним полем Fp.

9. Одержано критерій незвідності для квазірегулярних представлень групи B0N(Fp).

10. Побудовано регулярне представлення груп дифеоморфізмів відрізка, кола та групи Ботта-Вірасоро.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи мають теоретичний характер. Можуть бути використані при побудові нових представлень нескінченновимірних груп та дослідженні їх властивостей.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержано автором особисто та самостійно. З результатів робіт, що виконані в співавторстві, на захист виносяться лише положення, які автором дисертації одержано особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації неодноразово доповідалася на засіданнях Київського міського семінару з функціонального аналізу (Інститут математики НАН України, керівники академік НАН України Ю.М. Березанський, член-кореспондент НАН України М.Л. Горбачук, член-кореспондент НАН України Ю.С. Самойленко) та семінару “Алгебраїчні питання функціонального аналізу” (Інститут математики НАН України, керівник член-кореспондент НАН України Ю.С. Самойленко), та на 20-ти міжнародних математичних конференціях і школах:

European School on Group Theory, Session 1991, C.I.R.M. - Luminy, 22 juillet - 2 aoыt, Marseille, 1991; The 6th USSR - Japan Symposium on Probability Theory, Kiev, August 5 - 10, 1991. 2nd International Conf. on Algebra, Barnaul, Russia, August 23 - 27, 1991. Algиbres d'Opйrateurs 92, Orlйans, 1 - 4 juillet, 1992; Premier Congrиs Europйen de Mathйmatiques, Paris, 6 - 10 juillet, 1992. C.I.R.M.-Luminy, 15 - 19 septembre, Marseille, 1997; International Congress of Mathematicians, August 18 - 27, 1998, Berlin, Germany; International Conference “Stochastic Analysis and its Applications”, 10 - 17 June, 2001, Lviv, Ukraine; International Conference on Functional Analysis. August 22 - 26, 2001, Kyiv, Ukraine; International Conference “Infinite-Dimensional Analysis”, Octobre 8 - 12, 2001, Marseille, France; International conference “Algebraic and Topological Dynamics”, Max Plank Institute, Juin - July 2004, Bonn, Germany; International Workshop “Algebraic versus analytic representations”, Kiev, Institute of Mathematics, December, 2005; International conference “Spectral and evolutionary problems”, September 16 - 30, 2005, 2009, Sevastopol, Ukraine; Mathematische Arbeitstagung 2007, June 22 - 28, Bonn, Germany; Tresses, noeuds et applications, Montpellier, 9 - 11 juin 2008; Workshop on Infinite-Dimensional Lie Groups and Related Functional Analysis, University of Paderborn, Germany, November 6 - 8, 2008; Swiss Knot Theory Conference 2009, University of Fribourg 19 - 21 March, 2009; International conference “Spectral and evolutionary problems”, September 17 - 30, 2009, Sevastopol, Ukraine; Український математичний конгрес, (Київ, 2009).

* European School on Group Theory, Session 1991, C.I.R.M. - Luminy, 22 juillet - 2 aoыt, Marseille, 1991.

* The 6th USSR - Japan Symposium on Probability Theory, Kiev, August 5 - 10, 1991.

* 2nd International Conf. on Algebra, Barnaul, Russia, August 23 - 27, 1991.

* Algиbres d'Opйrateurs 92, Orlйans, 1 - 4 juillet, 1992.

* Premier Congrиs Europйen de Mathйmatiques, Paris, 6 - 10 juillet, 1992.

* Analyse sur les groupes et algиbras de Lie de dimension infinie, C.I.R.M.-Luminy, 15-19 septembre, Marseille, 1997.

* International Congress of Mathematicians, August 18-27, 1998, Berlin, Germany.

* International Conference "Stochastic Analysis and its Applications", 10-17 June, 2001, Lviv, Ukraine.

* International Conference on Functional Analysis. August 22-26, 2001, Kyiv, Ukraine.

* International Conference "Infinite-Dimensional Analysis", Octobre 8-12, 2001, Marseille, France.

* International conference "Algebraic and Topological Dynamics", Max Plank Institute, Juin - July 2004, Bonn, Germany.

* International Workshop "Algebraic versus analytic representations", Kiev, Institute of Mathematics, December, 2005;

* International conference "Spectral and evolutionary problems", September 16-30, 2005, Sevastopol', Ukraine.

* Mathematische Arbeitstagung 2007, June 22-28, Bonn, Germany

* Tresses, noeuds et applications, Montpellier, 9-11 juin 2008,

* Workshop on Infinite-Dimensional Lie Groups and Related Functional Analysis, University of Paderborn, Germany, November 6-8, 2008,

* Swiss Knot Theory Conference 2009, University of Fribourg 19 - 21 March, 2009,

* International conference "Spectral and evolutionary problems", September 17-30, 2009, Sevastopol', Ukraine.

* Український математичний конгрес, Київ, 27-29 серпня 2009.

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 22 статтях [1 - 22], які опубліковані в провідних наукових фахових виданнях, серед яких 13 робіт без співавторів, та у роботах [23 - 29].

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

В Розділі 1 фіксуються позначення та вводяться деякі поняття та означення, які використовуються в дисертації, щоб зробити виклад замкнутим. Розглядаються групи G=B0N (відп. B0Z) верхньотрикутних матриць нескінченних в одну сторону (відп. в обидві) з одиницями на головній діагоналі, Bor0N з ненульовими елементами на діагоналі та група SL(2?,R)=nSL(2n?1,R), індуктивна границя спеціальних лінійних груп. Відповідні поповнення ЮG це групи BN, BZ, BorN всіх матриць вказаного типу.

В Розділі 2 доводиться гіпотеза Р.С. Ісмагілова для регулярних представлень нескінченновимірної “нільпотентної” групи B0N та B0Z. Відповідні міри

(3)

-- це нескінченний тензорний добуток довільних одновимірних гаусівських центрованих мір мbkn, де dмbkn(xkn)

=(bkn/р)1/2exp(?bknxkn2)dxkn та b?B:={b=(bkn), bkn>0}. Ми доводимо також, що два незвідних регулярных представлення, які відповідають різним мірам, еквівалентні тоді і тільки тоді, коли відповідні їм міри еквівалентні.

Теорема 2.1.1 Праве регулярне представлення TR,b групи B0N незвідне тоді і тільки тоді, коли ніякі ліві зсуви Lt, tB0N?e, не є допустимими для міри мb, bB, тобто (мb)Ltмb для всіх tB0N\{e}.

Основна ідея доведення незвідності регулярних (та більш загальних) представлень. Нехай M=AR(G) -- алгебра фон Неймана, породжена представленням TR,м групи G: AR=(TR,мt|tG)''. Ми доводимо, що при умові мLtм tG?{e} справедливо включення M'L?(ЮG,м). Використовуючи цей факт, комутацію [A,TtR,м]=0 tG для AM' та ергодичність міри м, ми доводимо незвідність.

Теорема 2.1.2 Незвідні представлення TR,b(1) та TR,b(2) еквівалентні тоді і тільки тоді, коли міри мb(1) та мb(2) еквівалентні.

Доведення базується на явному підрахунку спектральних мір звужень представлень TR,b(k) на нескінченну послідовність комутативних підгруп Bm, mN, та порівнянні цих спектральних мір, із застосуванням інтегралів Хеллінгера.

Для міри м=?k<nмkn, яка є нескінченним тензорним добутком довільних одновимірних мір мkn:dмkn(x)=мkn(x)dx, тобто мір на осі, також справедлива гіпотеза Р.С. Ісмагілова при наступних умовах

де

Теорема 2.2.1 Нехай умови 1) - 2) виконуються для міри м =?k<nмkn. В цьому випадку праве регулярне представлення TR,м групи B0N незвідне тоді і тільки тоді, коли ніякі ліві зсуви не є допустимими для міри м:

Теорема 2.3.1. Нехай мb=?k<nмbkn та умови

(4)

виконуються, де SknR(b)=?m=n+1?bkmbnm?1. В цьому випадку представлення TR,мb групи B0Z незвідне тоді і тільки тоді, коли:

1) ніяка ліва дія не є допустимою для міри мb

2) міра мb на групі BZ є B0Z-право-ергодичною.

В Розділі 3 доводиться узагальнена гіпотеза Р.С. Ісмагілова для квазірегулярних представлень нескінченновимірної “нільпотентної” групи G=B0N та для “розв'язної” группы G=Bor0N (Підрозділ 3.6). Відповідні міри м(b,a)=?k<nм(bkn,akn) -- нескінченний тензорний добуток довільних одновимірних гаусівських неценрованих мір м(bkn,akn), а G-простори, це простори вигляду H\ЮG, де H -- підгрупа в ЮG. Далі, доводимо, що два незвідних квазірегулярних представлення, які відповідають різним мірам та різним G - просторам еквівалентні тоді і тільки тоді, коли відповідні їм простори співпадають, а відповідні міри еквівалентні.

Більш точно, ми визначаємо так звані, “елементарні представлення” TR,мp, p?N групи B0N, зв'язані з певними “елементарними” однорідними просторами і встановлюємо критерій незвідності та еквівалентності побудованих представлень. Ми даємо також критерій незвідності тензорного добутку скінченного та нескінченного числа “елементарних представлень”. Показано також, що регулярні (відп. квазірегудярні) представлення групи B0N, вивчені в Розділі 2, є нескінченний (відп. скінченний) тензорний добуток элементарних представлень.

Розлянемо підгрупу Xp, p?N та X{p} групи BN, де {p} є скінченна чи нескінченна послідовність {p}=(p1,p2,...) натуральних чисел pn?N, p1<p2<...

Очевидно, права дія групи B0N коректно визначена на групах X вигляду Xp та X{p} за формулою

(5)

де xt|X означає звуження елемента xt?BN на підгрупу X групи BN. Для B0N- право-квазіінваріантної міри м на Xp (відповідно X{p}) означимо представлення TR,мp (відповідно TR,м,{p}) формулами:

(6)

У випадку {p}=(1,2,...,q) будемо використовувати спеціальні позначення:

При {p}=(pn)n=1?, pn=n, ми одержимо праве регулярне представлення TR,м. Відмітимо, що представлення TR,мp, TR,м,{p} та TR,м є частинними випадками (2) з X=Xp, X=X{p} та X=BN для б=R.

Означення 3.1.1. Будемо називати представлення TR,мp елементарними представленнями.

Справедлива така теорема для гаусівської продакт-міри м=мb=?k<nмbkn і для її проекцій м{p}=?pk?{p}мpk на підгрупи X{p}, де мp=?n=p+1?мbpn.

Теорема 3.1.1.

1) Представлення TR,м,{p} є тензорним добутком представлень TR,мpkpk, pk?{p}

(7)

2) представлення TR,м,{p} незвідне тоді і тільки тоді, коли SLpkpn(м)=? ?pk<pn; pk,pn?{p};

3) TR,м,{p}?TR,м',{p'} тоді і тільки тоді, коли м?м' та {p}={p'};

4) тензорний добуток двох незвідних представлень TR,м,{p}?TR,м',{p'} незвідний тоді і тільки тоді, коли {p}?{p'}={?}, де {p}?{p'}={pk|pk?{p}}?{p'k|p'k?{p'}} і SLpkpn'(м?м')=?, pk?{p}, p'n?{p'}.

Зафіксуємо деяку продакт-міру гаусівських нецентрованих одновимірних мір м=м(b,a)=?k<nм(bkn,akn)=?k<nмkn на групі BN і нехай м{p}=?pk?{p}мpk її проекції на підгрупи X{p} - мp=?n=p+1?мpn.

Гіпотеза 0.0.1 справедлива для групи G=B0N на просторі X{p}, де {p}?N є деяка скінченна послідовність і м=м{p}=?pk?{p}мpk.

Теорема 3.3.2. Представлення TR,м,{p}:B0N>U(L2(X{p},м)) незвідне тоді і тільки тоді, коли

1) мLs?м ?s?B({p},R)\{e},

2) міра м є B0N-право-ергодичною.

Теорема 3.3.3. Два незвідних представлення TR,м,{p} та TR,м',{p'} еквівалентні TR,м,{p}?TR,м',{p'} тоді і тільки тоді, коли

1) {p}={p'};

2) м?м'.

Для міри м=м(b,a) та її проекцій має місце така лема.

Лема 3.3.4. Справедливо (м(b,a)(1,2,...,m))Lt?м(b,a)(1,2,...,m) ?t?B(m,R1)\{e}? SpqL(м)=? ?p<q?m, де

В Розділі 4 доводиться узагальнена гіпотеза Р.С. Ісмагілова для квазірегулярних представлень нескінченновимірної “нільпотентної” групи G=B0N. Відповідні міри означені на деяких G-просторах Xm вигляду Xm={I+?k<n,k?mxknEkn}. Вони є нескінченним тензорним добутком довільних m-вимірних гаусівських центрованих мір мBn на Rm для n>m. Оскільки початкова міра мB=?n=m+1?мBn залежить від нескінченного набору довільних додатно означених операторів Bn в просторі Rm, рівень технічних проблем вимагає і складніших технічних засобів, наприклад, застосування тотожності Сільвестра, нерівності Адамара - Фішера тощо. Ми навіть ввели та вивчили узагальнений характеристичний поліном для (nЧn)-матриць C , щоб справитись з проблемою: цC(л1,…,лn):=det(C??k=1nлkEkk).

Для m?N означимо підгрупи Gm та Gm групи BN: Gm={I+x?BN|x=?m<k<nxknEkn}, Gm={I+x?BN|x=?1?k?m, k<nxknEkn}. Оскільки BN=Gm?Gm, то простір Xm лівих суміжних класів Xm=Gm?BN ізоморфний групі Gm. Права дія R групи G коректно означена на просторі Xm, точніше, якщо ми розглянемо розклад x=xm?xm: BN?x?xm?xm?Gm?Gm, то права дія R групи B0N на просторі Xm означена в такий спосіб:

Означимо міру мm:=мBm на просторі Xm?Gm

формулою мBm=?n=2?мB(n), де мB(n) є гаусівська міра на просторі Rm для n>m (відп. на просторі Rn?1 для 2?n?m) означена так

(8)

де B(n) додатно означений оператор в просторі Rm (чи Rn?1 ), x=(x1n,x2n,...,xmn), dx є мірою Лебега на просторі Rm та C(n)=(B(n))?1.

Лема 4.2.1. Для міри мBm маємо

Тепер можемо визначити представлення групи B0N, асоційоване з правою дією на Xm, TR,мBm:B0N>U(L2(Xm,мBm)) природним чином, тобто

Теорема 4.2.1. Для міри мBm наступних чотири твердження еквівалентні:

(i) представлення TR,мBm незвідне;

де B(n)=(b(n)kr)k,r=1m, C(n)=(c(n)kr)k,r=1m та C(n)=(B(n))?1.

В Розділі 5 доводиться узагальнена гіпотеза Р.С. Ісмагілова для групи G=SL(2?,R)=nSL(2n?1,R), індуктивної границі спеціальних лінійних груп. Відповідна міра -- нескінченний тензорний добуток довільних нецентрованих гаусівських мір. Відповідні G-простори Xm є підпросторами простору Mat(2?,R) нескінченних в обидві сторони дійсних матриць і складається з m нескінченних рядків. Знайдено також критерій незвідності побудованих представлень.

Визначимо групу SL(2?,R)=nSL(2n?1,R) як індуктивну границю спеціальних лінійних груп Gn=SL(2n?1,R) по відношенню до симметричного вкладення

(9)

Позначимо через Mat(2?,R) простір всіх дійсних нескінченних в обидві сторони матриць. Розглянемо також простір Xm, на якому група SL(2?,R) діє справа, як наступний підпростір простору Mat(2?,R):

(10)

Права дія групи G=SL(2?,R) коректно означена на просторі Xm формулою Rt(x)=xt?1,t?G, x?Ym. Визначимо гаусівську міру мm=м(b,a)m на просторі Xm як нескінченних добуток довільних одновимірних гаусівських мір:

де dм(bkn,akn)(xkn)=(bkn/р)1/2exp(?bkn(xkn?akn)2)dxkn та b=(bkn), bkn>0, a=(akn), akn?R1, 1?k?m, n?Z.

Покладемо TR,м,m=рR,мm,Xm. У випадку, коли X=Xm, група б(G)'?Aut(X), очевидно, містить образ групи GL(m,R) по відношенню до лівої дії L:GL(m,R)>Aut(Xm), Ls(x)=sx, s?GL(m,R), x?Xm.

Теорема 5.1.1. Представлення TR,м,m:SL(2?,R)>U(L2(Xm,dмm)) незвідне тоді і тільки тоді, коли (мm(b,a))Ls?мm(b,a) ?s?GL(m,R)\{e}.

Зауваження 5.1.1. Довільна гаусівська продакт-міра м(b,a)m є SL(2?,R)-право-ергодичною. Для не продакт-мір це, взагалі кажучи, не виконується.

Нехай t=(trs)r,s=1m?GL(m,R),Bn=diag(b1n,b1n,...,bmn), Xn(t)=Bn1/2tBn?1/2, і нехай також Mi1i2...irj1j2...jr(t) є мінорами матриці t з i1,i2,...,ir рядками та j1,j2,...,jr стовпчиками, 1?r?m. Нехай дrs -- символи Кронекера.

Лема 5.1.1. Для міри м(b,a)m, m?N справедливо (м(b,a)m)Lt?м(b,a)m t?GL(m,R)\{e} тоді і тільки тоді, коли

В Розділі 6 доведено теорему Діксм'є про комутант для регулярних представлень нескінченновимірної “нільпотентної” группы G=B0N. А саме, доведено, що комутант алгебри фон Неймана, породжений правим регулярним представленням групи G, співпадає з алгеброю фон Неймана, породженою лівим регулярним представленням групи G. Відповідна міра -- нескінченний тензорний добуток довільних одномірних центрованих гаусівських мір на поповненні ЮG=BN групи G. Найбільш важливим спостереженням тут є те, що існують міри мb=?k<nмbkn на BN з властивістю мb(x?1)?мb(x). Ми наводимо достатні умови (близькі до необхідних) на власні значення коваріаційного оператора B міри мb, які забезпечують цю властивість міри мb. Ця властивість дозволяє нам побудувати оператор канонічного спряження та модулярний оператор, які є істотними при подальшому вивченні алгебри фон Неймана, породженої регулярними представленнями (див. Розділ 7).

Розглянемо на групі ЮG=BN міру м. Нехай Ц(x)=x?1 -- обернене відображення, а R та L - відповідно права і ліва дії групи BN на собі: Rs(t)=ts?1, Ls(t)=st, s,t?BN. Для вимірного відображення ш:ЮG?ЮG, визначимо, як звичайно міру мш, яка є образом міри м при відображенні ш: мш(C)=м(ш?1(C)). Розглянемо тепер міру м на ЮG таку, що 1) мRt?м?t?G, 2) мЦ?м.

Теорема 6.2.1. Якщо умови 1) та 2) виконуються, то комутант алгебри фон Неймана, породженої правим регулярним представленням TR,м групи G, буде породженим операторами лівого регулярного представлення TL,м :

(16)

більш того, оператор канонічного спряження Jм коректно визначений формулою

(17)

Він є сплітаючим оператором:

(18)

Модулярний оператор Д коректно означений за формулою

(19)

Нехай міра мb=?k<nмbkn на групі ЮG=BN визначена формулою (?). Тоді справедлива теорема.

Теорема 6.2.2. Якщо E(b)=?k<nSknL(b)bkn?1<?, то мbЦ?мb.

В Розділі 7 вивчається, коли саме алгебра фон Неймана AR,м(G), породжена правим (чи лівим) регулярним представленням нескінченновимірної “нільпотентної” групи G, є фактором. В Підрозділі 7.1 досліджується випадок групи G=B0N, в Підрозділі 7.2 -- випадок групи G=B0Z. Далі визначаємо тип відповідного фактора. Показано, що алгебра фон Неймана AR,м(G) -- гіперфінітний фактор типу III1. Випадок групи G=B0N розглядається в Підрозділі 7.3, випадок групи G=B0Z в Підрозділі 7.4.

Лема 1. мbRt?мb ?t? B0N для довільної множини b=(bkn)k<n.

Зауваження 7.1.1. Якщо мbЦ?мb, тоді мbLt?мb ?t?B0N.

Нехай AR,b=(TR,bt|t?B0N)'' та AL,b=(TL,bs|s?B0N)'' є алгебри фон Неймана, породжені відповідно правим TR,b та лівим TL,b регулярним представленням групи B0N. Позначимо SknL(b)=?m=n+1?bkmbnm?1<? ?k<n. Маємо

(20)

Останнє співвідношення показує, що AR,b є фактор, якщо представлення

є незвідним. Позначимо

(21)

Теорема 7.1.1. Представлення

є незвідним, якщо SR,Lkn(b)=? ?k<n.

Використовуючи включення (14), маємо такий наслідок.

Наслідок 7.1.2. Алгебра фон Неймана AR,b є фактором, якщо SR,Lkn(b)=? ?k<n.

На групі BZ визначимо міру мb=?k,n?Z,k<nмbkn.

Теорема 7.2.1. Представлення B0ZЧB0Z?(t,s)>TR,L,b(t,s) =TR,мbtTL,мbs?U(Hb) групи B0ZЧB0Z є незвідним, якщо

1) SR,Lkn(b)=?m=n+1?bkm2[(bkm+SRkm(b))(SRnm(b)+SLnm(b))]?1=? ?k<n,k,n?Z;

2) міра мb є B0Z - право - чи ліво - ергодичною.

Наслідок 7.2.1. Обидві алгебри фон Неймана AR,мb(B0Z) та AL,мb(B0Z) є факторами, якщо умови 1) та 2) виконуються.

Для алгебри фон Неймана, породженої правим регулярним представленням групи B0N, яке відповідає гаусовій мірі мb=?k<nмbkn, справедлива теорема.

Теорема 7.3.4. Якщо SR,Lkn(b)=?, ?k<n, тоді алгебра фон Неймана AL,b (і, отже, алгебра AR,b) є III1 фактор.

Для алгебри фон Неймана, породженої правим регулярним представленням групи B0Z, яке відповідає гаусовій мірі мb=?k,n?Z,k<nмbkn, має місце теорема.

Теорема 7.4.8. Розглянемо алгебру фон Неймана AR,b, породжену правим регулярним представленням TR,b групи B0Z. Припустимо, що E(b)<?. Нехай ц(a)=(1,a1) є чистий нормальний стан на AR,b, асоційований з циклічним та розділюючим (сепарабельним) вектором 1, а у -- відповідна модулярна група. Тоді дуальна алгебра N:=AR,b?уR є фактором. Тому AR,b є фактором типу III1. Те ж саме виконується для AL,b.

В Розділі 8 вивчається узагальнена гіпотеза Р.С. Ісмагілова для квазірегулярних представлень нескінченновимірної “нільпотентної” групи B0N(Fp) над скінченним полем Fp. Відповідні G-простори Xm подібні просторам Розділу 3. Відповідні міри на Xm -- нескінченний тензорний добуток довільних мір на Fp=Z/pZ. Ми одержимо критерій незвідності для квазірегулярних представлень, але деякі додаткові умови на відповідні міри (порівняно з узагальненою гіпотезою Р.С. Ісмагілова), повинні бути накладені для того, щоб мати незвідність в цьому випадку. Причина полягає в тому, що цьому випадку з'являються деякі додаткові оператори (які не виникають в випадку некомпактного поля), що комутують з правою дією, а отже, і з операторами правого представлення. Тому, гіпотеза Р.С. Ісмагілова (та її узагальнення) не є справедливою у випадку скінченного поля Fp, але може бути підходящим чином скоригована.

Розглянемо групу матриць B0N(Fp)=nB(n,Fp) над скінченним полем Fp та її квазірегулярне представлення TR,мб,m, визначене в просторі L2(Xm,мб), де Xm=Gm(Fp)?BN(Fp)?Gm(Fp), де BN(Fp)={I+x|x=?1?k<nxknEkn, xkn?Fp},

міра мб визначена як нескінченний тензорний добуток:

ймовірнісних мір мбkn на Fp наступним чином:

Права дія R:B0N(Fp)>Aut(X) групи B0N(Fp) на Xm є коректно визначена формулою

а отже, відповідне представлення TR,мб,m:=рR,мб,Xm -- коректно визначене.

Лема 8.1.1. Права дія групи B0N(Fp) на Xm є допустимою: (мб)Rt?мб?t?B0N(Fp).

Основний результат цього розділу така теорема.

Теорема 8.1.3. Квазірегулярне представлення TR,мб,m:B0N(Fp)>U(L2(Xm,мб)) групи B0N(Fp) є незвідним тоді і тільки тоді, коли

1) мLt?м ?t?B(m,Fp)\{e};

2) міра мб є G - ергодичною;

3) міри мkб?мinvk для 1?k?m, де міри мinvk визначені наступним чином: мinvk=?n=k+1?мinvkn, а мinvkn є інваріантна міра на Fp, тобто мinvkn(r)=1/p, r?Fp.

Зауваження 8.1.1 Оскільки k-тий рядок

де (Fp)n=Fp, є ізоморфною кільцю цілих p-адичних чисел Zp??n=1?(Fp)n, а міра мinvk є міра Хаара на Zp при такій реалізації (див. Підрозділ 1.3.8.), то умова 3) приймає такий вигляд: Для довільного k?N проекція мkб міри мб на k-тий рядок є ортогональною мірі Хаара на кільці цілих p-адичних чисел Zp.

В Додатку А вводиться аналог індукованого представлення для не локально компактних груп. Розглянуто проблеми, які виникають при спробі означити індуковане представлення нескінченновимірних груп, дано означення індукованого представлення та показано, як можна спробувати розвинути метод орбіт для нескінченновимірних “нільпотентних” груп B0N та B0Z.

В Підрозділі А.3.2 наведено також нетривіальні приклади індукованих представлень, зв'язаних з орбітами загального положення для нескінченновимірної групи B0Z.

Означення А.4.2. Індуковане представлення

породжене унітарним представленням S:H>U(V) підгрупи H групи G, визначимо в такий спосіб:

1) спочатку необхідно знайти поповнення ЮH групи H таке, щоб

було неперервним унітарним представленням групи ЮH, з властивістю ЮS|H=S,;

2) взяти довільну G-право-квазіінваріантну міру м на просторі X=ЮH\ЮG, на якому група діє справа;

3) в просторі L2(X,V,м) всіх векторозначних функцій f на X зі значеннями в V таких, що

4) визначити представлення групи G такою формулою

(22)

де Юh є визначеним так:

Перетин s:H>G проекції p:G>H має бути продовженим до відповідного перетину Юs:ЮH>ЮG розширення проекції Юp:ЮG>ЮH.

В Додатку В закладено базу для опису дуального об'єкта G до груп G=B0N та G=B0Z та розвитку методу орбіт для нескінченновимірних “нільпотентних” груп. Наведені нетривіальні приклади індукованих представлень, зв'язаних з так званими “орбітами загального положення”.

Природно разом з групою B0N розглянути всі її поповнення Гільберта-Лі B2(a) і навіть групу всіх верхньотрикутних матриць BN

(23)

Використовуючи (17), приходимо до висновку, що

(24)

()

Далі, із B0N=?aAB2(a) випливає, що B0N=?aAB2(a). Лишилось описати B2(a). Остаточно, маємо

(26)

Зауваження В.1.1. Використовуючи (18), робимо висновок, що для опису B0N достатньо знати всі B2(a), а для опису BN достатньо знати всі B(n,R).

Проблема розвитку методу орбіт для груп Гільберта-Лі може бути простішою, оскільки відповідна алгебра b2(a) є алгебра Гільберта-Лі, тому спарювання та дуальний простір b2(a)*, який теж буде гільбертовим простором, є добре означеними.

Групи Гільберта-Лі асоційовані з представленнями нескінченновимірної групи nGn. Досить несподіваним фактом є те, що достатньо розглянути серед всіх поповнень групи G лише гільбертові поповнення початкової групи G та просторів H\G. Далі показуємо, що групи Гільберта-Лі природно з'являються в теорії представлень нескінченновимірних матричних груп.

Розглянемо GL(2?,R)=nGL(2n?1,R) по відношенню до симетричного вкладення

де Gn=GL(2n?1,R), а Ekn -- матричні одиниці нескінченного порядку. Група Гільберта-Лі GL2(a) визначається її алгеброю Гільберта-Лі gl2(a)

Позначимо через A множину всіх ваг a з властивістю:

Лема В.2.1. Гільбертів простір gl2(a) є банаховою алгеброю тоді і тільки тоді, коли вага a?A.

Теорема В.2.1. Довільне неперервне унітарне представлення GL(2?,R) може бути продовженим по неперервності до унітарного представлення U2:GL2(a)>U(H) певної групи Гільберта-Лі GL2(a), яка залежить від представлення.

Зауваження В.2.1. Оскільки GL(2?,R)=?aAGL2(a), то можемо зробити висновок, що

 ()

Лишилось описати GL2(a).

В Додатку С наведено приклади регулярних представлень інших груп, які не є матричними групами. А саме, групи дифеоморфізмів інтервалу, кола, групи Ботта-Вірасоро -- центрального розширення групи дифеоморфізмів кола, групи локальных дифеоморфізмів дійсної осі та групи GX гладких відображень ріманого многовиду в компактну групу Лі G, для найпростішого прикладу X=[0, 1].

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена вивченню унітарних представлень нескінченновимірних груп та алгебр фон Неймана, ними породжених. В роботі введено аналоги понять регулярного, квазірегулярного та індукованого представлень, добре відомі для локально компактних груп, для на широкого класу нескінченновимірних груп. Основна задача -- вивчення незвідності побудованих представлень.

Гіпотеза Р.С. Ісмагілова дає критерій незвідності регулярних представлень нескінченновимірних груп. Встановлено для яких саме класів груп та мір на їх поповненнях гіпотеза Р.С. Ісмагілова та її узагальнення, дані дисертантом, справедливі. Показано також, що гіпотеза Р.С. Ісмагілова не виконується для регулярного та квазірегулярного представлення групи B0N(Fp) верхньотрикутних матриць над скінченним полем Fp, а також знайдено критерій незвідності відповідних представлень і в цьому випадку.

Вивчено алгебри фон Неймана, породжені регулярним представленням нескінченновимірних груп. Доведено аналог теореми Діксм'є про опис комутанта алгебри фон Неймана, породженої правим регулярним представленням нескінченновимірних груп G.

Знайдено умови для того, щоб алгебра фон Неймана, породжена регулярним представленням групи G була фактором для груп верхньотрикутних матриць нескінченного порядку G=B0N - нескінченних в одну сторону, а також G=B0Z -- нескінченних в обидві сторони матриць. Встановлено, що тип відповідного фактора є III1 для груп B0N та B0Z.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1 Косяк А.В. Критерий неприводимости регулярных гауссовских представлений группы финитных верхнетреугольных матриц/ А.В. Косяк//Функц. анализ и его прил.- 1990.-24.- вып. 3.- С.82-83.

(transl. Funct. Anal. Appl.- 1990.-24.- no. 3.- P.243-245).

2 Kosyak A.V. Criteria for irreducibility and equivalence of regular Gaussian representations of group of finite upper triangular matrices of infinite order/ A.V. Kosyak//Selecta Math. Sov.- 1992.-11.- P.241-291.

3 Kosyak A.V. Irreducible regular Gaussian representations of the group of the interval and the circle diffeomorphisms/A.V. Kosyak//J. Funct. Anal.- 1994.-125.- P.493-547.

4 Kosyak A.V. Measures on infinite-dimensional groups quasi-invariant with respect to inverse mapping and the commutant theorem/A.V. Kosyak// Analysis on infinite-dimensional Lie groups and algebras (Marseille, 1997)/ River Edge, NJ: World Sci. Publishing, 1998.-P.182-196.

5 Kosyak A.V. Type of von Neumann algebras generated by regular representations of infinite dimensional groups/A.V. Kosyak and R. Zekri //Vestnik Tambov Univ.- 1998.-3.- № 1.- P.47-48.

6 Kosyak A.V. Anti-Wick symbols on infinite tensor product spaces/ A.V. Kosyak, R. Zekri// Meth. Funct. Anal. Topology.- 1999.- 5.- № 2.- P.29-39.

7 Kosyak A.V. Гауссовские меры на группе верхнетреугольных матриц бесконечного порядка, квазиинвариантные относительно обратного преобразования/A.V. Kosyak//Функц. анализ и его прил.- 2000.-34.- вып. 1.- С.86-90.

8 Kosyak A.V. Regular representations of infinite-dimensional groups and factors,I/A.V. Kosyak, R. Zekri//Meth. Funct. Anal. Topology.- 2000.-6.- № 2.- P.50-59.

9 Kosyak A.V. Regular representations of the group of finite upper-triangular matrices, corresponding to product measures, and criteria for their irreducibility/A.V. Kosyak//Meth. Funct. Anal. Topology.- 2000.-6.- № 4.- P.43-55.

10 Kosyak A.V. Elementary representations of the group B0N of finite upper triangular matrices I./A.V. Kosyak//Meth. Funct. Anal. Topology.- 2001.-7.- № 1.- P.34-44.

11 Kosyak A.V. Irreducibility of the regular Gaussian representations of the group B0Z/A.V. Kosyak//Meth. Funct. Anal. Topology.- 2001.-7.- № 2.- P.42-51.

12 Kosyak A.V. Regular representations of infinite-dimensional group B0Z and factors/A.V. Kosyak, R. Zekri// Meth. Funct. Anal. Topology.- 2001.-7,- № 2.- P.43-48. From Doklady Akademii Nauk.- 2002.-385.- no. 4.- P.453-455.

13 Косяк А.В. Регулярные представления центрального расширения группы диффеоморфизмов окружности. / А.В. Косяк, Р. Леандр Р.// Докл. РАН.- 2002.- 385.- вып. 4.- С.453-455.

14 Kosyak A.V. The generalized Ismagilov conjecture for the group B0N. I/ A.V. Kosyak// Meth. Funct. Anal. Topology.- 2002.-8, № 2.- P.33-49.

15 Kosyak A.V. The generalized Ismagilov conjecture for the group B0N. II/ A.V. Kosyak// Meth. Funct. Anal. Topology.- 2002.-8.- № 3.- P.27-45.

Transl. in Funct. Anal. Appl.- 2003.-37.- no. 1.- P.65-68.

16 Косяк О.В. Елементарні зображення групи B0Z фінітних нескінченних в обидва боки верхньотрикутних матриць/ О.В. Косяк//Укр. мат. журн. -2002.-54.-№ 2.- С.205-215.

17 Косяк А.В. Критерий неприводимости квазирегулярных представлений группы финитных верхнетреугольных матриц/ А.В. Косяк//Функц. анализ и его прил.- 2003.-37.- вып. 1.- С.78-81.

18 Kosyak A.V. Anti - Wick symbols for infinite products in K-homology/ A.V. Kosyak, R.Zekri//K-theory.- 2003.-29.- P.117-145.

19 Косяк А.В. Квазиинвариантные меры и неприводимые представления индуктивного предела специальных линейных групп/ А.В. Косяк// Функц. анализ и его прил.- 2004.-38.- вып. 1.- С.82-84.

Transl. in Funct. Anal. Appl.- 2004.-38.- no. 1.- P.67-68.

20 Albeverio S. Quasiregular representations of the infinite-dimensional Borel group/ S. Albeverio, A. Kosyak//J. Funct. Anal.- 2005.-218.- № 2.- P.445-474.

21 Albeverio S. Group action, quasi-invariant measures and quasiregular representations of the infinite-dimensional nilpotent group / S. Albeverio, A. Kosyak //Contemporary Math.- 2005.-385.- № 3.- P.259-280.

22 Albeverio S. Quasiregular representations of the infinite-dimensional nilpotent group/S. Albeverio, A. Kosyak //J. Funct. Anal.- 2006.-236.- № 3.- P.634-681.

АНОТАЦІЇ

Косяк О.В. Регулярні, квазірегулярні та індуковані представлення нескінченновимірних груп. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз. Інститут математики НАН України, Київ, 2010.

Дисертаційна робота присвячена теорії унітарних представлень нескінченновимірних груп. В ній вперше означено аналоги понять регулярного, квазірегулярного та індукованого представлень для широкого класу нескінченновимірних груп. Проблема пов'язана з тим, що на нескінченновимірних (не локально компактних) групах відсутні інваріантні міри - міри Хаара. Показано, як обійти цю проблему, розглядаючи поповнення початкової групи, на якій вже можна побудувати квазіінваріантну міру під дією висхідної групи.

Гіпотеза Р.С. Ісмагілова (та її узагальнення, дані дисертантом) дає можливість виявити, коли такі представлення можуть бути незвідними. Доводиться гіпотеза Р.С. Ісмагілова для регулярних та квазірегулярних представлень певних матричних груп та деяких класів мір. Чи справедлива гіпотеза Р.С. Ісмагілова для загальних груп над полем дійсних чи комплексних чисел -- відкрита проблема.

Показано, що у випадку скінченного поля Fp гіпотеза Р.С. Ісмагілова не виконується для квазірегулярних представлень нескінченновимірної матричної “нільпотентної” групи B0N(Fp) з елементами з поля Fp. Більше того, знайдено критерій незвідності представлень і в цьому випадку.

Крім питань незвідності представлень, досліджуються також алгебри фон Неймана, породжені правим чи лівим регулярним представленням. Для нескінченновимірних груп знайдено умови для того, щоб комутант алгебри фон Неймана, породженої правим регулярним представленням, співпадав з алгеброю фон Неймана, породженою лівим регулярним представленням. Це аналог добре відомої для локально компактних груп теореми Діксм'є про комутант. Встановлено також, коли така алгебр фон Неймана є фактором, та показано, що відповідний фактор буде типу III1. Для нескінченновимірних “нільпотентних” груп закладено основи в напрямку розвитку методу орбіт О.О. Кіріллова, розробленого з метою класифікації всіх представлень скінченновимірних нільпотентних груп Лі. Для цього використовуються введені дисертантом раніше гільбертові групи Лі та розроблено процедуру індукування для нескінченновимірних груп.

Ключові слова: унітарне, регулярне, квазірегулярне, індуковане представлення; G-простір, інваріантна, квазіінваріантна, ортогональна, ергодична міра; алгебра фон Неймана, фактор.

Косяк А.В. Регулярные, квазирегулярные и индуцированные представления бесконечномерных групп. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. Институт математики НАН Украини, Киев, 2010.

...