Чисельні методи та алгоритми розв’язування узагальнених спектральних задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК: 519.6

Автореферат дисертації

на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Чисельні методи та алгоритми розв?язування узагальнених спектральних задач

01.01.07 - обчислювальна математика

Подлевський Богдан Михайлович

КИЇВ - 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України.

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор ХЛОБИСТОВ Володимир Володимирович, Національний авіаційний університет, професор кафедри прикладної математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України МАКАРОВ Володимир Леонідович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу обчислювальної математики;

доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН Білорусі ЯНОВИЧ Леонід Олександрович, Інститут математики НАН Білорусі, головний науковий співробітник відділу нелінійного та стохастичного аналізу;

доктор фізико-математичних наук, професор ХАПКО Роман Степанович, Львівський національний університет ім. І.Франка, завідувач кафедри обчислювальної математики.

Захист відбудеться «7» червня 2011 р. о 15-00 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул.. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий «5» травня 2011 р.

Вчений секретар cпеціалізованої вченої ради Г.П. Пелюх

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Багато теоретичних і прикладних проблем математичної фізики, механіки та інших наук породжують спектральні задачі для операторнозначних функцій. Зокрема, низка обернених задач стосовно синтезу випромінюючих систем зводиться до нелінійних рівнянь, які мають неєдиний розв'язок. При дослідженні кількісних та якісних характеристик розв'язків таких рівнянь необхідно знаходити розв'язки відповідних лінійних однорідних інтегральних рівнянь з нелінійними (одним або двома) спектральними параметрами, тобто виникає проблема дослідження і розв'язку узагальнених задач на власні значення. Оскільки спектральні параметри - це геометричні та електродинамічні характеристики випромінюючих систем, то розв'язання цієї проблеми дає можливість отримати необхідну інформацію ще на стадії проектування, вибираючи оптимальні щодо розмірів та електродинамічних характеристик випромінюючі системи, тобто проводити обчислювальний експеримент.

Найбільш поширеними методами розв'язування нелінійних задач є ітераційні методи. Дослідженню та їх застосуванню присвячена велика кількість робіт. Відзначимо лише деяких авторів. Це праці А.А. Абрамова, Ю.Ш. Абрамова, Г.М. Вайнікко, М.М. Войтовича, А.В. Гуліна, Б.А. Іванова, Н.Н. Каліткіна, С.В. Картишова, В.Н. Кублановської, М.С. Курпеля, А.Ю. Лучки, І.І. Ляшка, В.Л. Макарова та його школи, Г.І. Марчука, С.І. Соловйова, Л.Ф. Юхно, I.K. Argyros, P.M. Anselone, L. Collatz, S.H. Crandall, M.E. Hochstenbach, D. Kressner, K. Meerbergen, A. Neumaier, J.M. Ortega i W.C. Rheinboldt, L. Rall, E.H. Ruhe, F. Tisseur, H. Voss, B.H. Yang та інших.

Серед великої кількості ітераційних процесів важливе місце посідає клас двосторонніх методів, які монотонно знизу і зверху апроксимують шукані розв'язки. Двосторонні методи у порівнянні з іншими ітераційними процесами мають таку важливу властивість, що вони дозволяють на кожному кроці ітераційного процесу оцінювати шуканий розв'язок з двох сторін, а отже, на кожному кроці отримувати зручну апостеріорну оцінку похибки обчислень.

На даний час існують два основних напрямки дослідження та розробки таких методів. Один з них - це інтервальні методи або інтервальний аналіз, інший - це власне двосторонні методи.

Інтервальний аналіз з'явився порівняно недавно як метод автоматичного контролю похибок заокруглення на ЕОМ. Пізніше він перетворився в один із розділів обчислювальної математики, який враховує також похибки дискретизації чисельних методів, похибки початкових даних і т. п. Основна ідея інтервального аналізу полягає в заміні арифметичних операцій і дійсних функцій над дійсними числами інтервальними операціями та функціями, які перетворюють інтервали, що містять ці числа. Важливу роль у розвитку інтервального аналізу та його застосуванням відіграли роботи Б.С. Добронця, С.А. Калмикова, С.П. Шарого, Ю.І. Шокіна, G. Alefeld, J. Herzberger, R. Krawchyk, G. Mayer, A. Neumaier, J. Rokne, S.M. Rump та інших.

Двосторонні методи чисельного аналізу відомі раніше інтервальних і їх апарат до останнього часу не використовував понять інтервального аналізу. Для отримання двосторонніх оцінок застосовуються різні прийоми й методи. У цьому напрямку необхідно відзначити роботи А.В. Князева, Т.С. Кравчук, М.А. Красносельского, Н.С. Курпеля, C.A. Beattie, G. Fichera, M.G. Marmorino, A. Weinastein, N. Yamamoto та інших.

Незважаючи на існуючі методи та алгоритми, зокрема й для розв'язування нелінійних спектральних задач, удосконалення та розробка нових підходів їх побудови залишаються надалі актуальними.

Різні аспекти дослідження багатопараметричних (двопараметричних) задач на власні значення, у тому числі й питання побудови чисельних методів та алгоритмів розв'язування таких задач, розглянуто в працях А.А. Абрамова, Ю.М. Березанського, Г.А. Гаджієва, Г.А. Ісаєва, П.І. Каленюка, А.Ю. Константинова, В.Н. Кублановської, Т.В. Левітіної, П.О. Савенка, М.Д. Ткач, В.І. Ульянової, В.Б. Хазанова, F.V. Atkinson, P.A. Binding, E.K. Blum, P.J. Browne, L. Collatz, L. Fox, K.P. Hadeler, M.E. Hochstenbach, R.E. Mьller, B. Pleastenjak, M. Shimasaki, B.D. Sleeman, A. Spence, H. Volkmer та інших. Незважаючи на значну кількість робіт, ці задачі є ще недостатньо досліджені як з теоретичної точки зору, так і, особливо, з точки зору побудови чисельних методів для їх розв'язування. Тому є потреба в удосконаленні та створенні нових методів наближеного розв'язування вказаних задач та їх обґрунтування.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в рамках наукової тематики Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (ІППММ НАН України). Автор був одним із відповідальних виконавців таких тем:

1) «Розвиток чисельних методів розв'язування одного класу нелінійних інтегральних рівнянь та обернених задач математичної фізики» (програма Державного фонду фундаментальних досліджень на 1994-1996 рр., державний реєстраційний номер проекту 11.3/114, наказ ДКНТ №52 від 1.03.1994);

2) «Розробка інженерних методів, проведення розрахунків багатопроменевих антен з контурними діаграмами напрямленості» (виконувалася у 1994-1995 рр. згідно з угодою № 8 від 19.07.94 між ІППММ НАН України та КБ «Південне» в рамках ДКР «Либідь» згідно з постановою Національного космічного агентства України № 1-193 від 25.03.1993);

3) «Розробити числові та аналітико-числові методи розв'язування певних класів обернених задач з вільною фазою та узагальнених задач на власні значення» (01.1997 р. - 12.2001 р., державний реєстраційний номер 0197U008956);

4) «Розробити наближені методи розв'язування нелінійних інтегральних рівнянь типу Гаммерштейна з розділеними модулем та аргументом невідомої комплексної функції, а також певних класів нелінійних та двопараметричних задач на власні значення» (01.2002 р. - 12.2005 р., державний реєстраційний номер 0102U000449).

5) «Розвиток ітераційних числових методів розв'язування нелінійних інтегральних рівнянь з галуженням розв'язків, нелінійних спектральних задач та задач розпізнавання форми об'єктів у хвильовому полі» (01.2006 р. - 12.2009 р., державний реєстраційний номер 0106U000596).

Мета і завдання дослідження.

Об'єктом дослідження є узагальнені задачі на власні значення, які включають у себе нелінійні однопараметричні та лінійні й нелінійні багатопараметричні, зокрема матричні двопараметричні спектральні задачі.

Предметом дослідження є методи розв'язування узагальнених задач на власні значення як у спектральній (алгебраїчній), так і у варіаційній постановках задач.

Методи досліджень ґрунтуються на використанні загальної теорії чисельних методів розв'язування нелінійних рівнянь, задач мінімізації функцій багатьох змінних, а також на використанні методів функціонального аналізу та теорії аналітичних функцій.

Метою досліджень є побудова та обґрунтування нових ефективних чисельних методів та алгоритмів розв'язування нелінійних за спектральним параметром задач на власні значення та лінійних і нелінійних за спектральними параметрами багатопараметричних (двопараметричних) спектральних задач.

Сформульована мета обумовлює наступні взаємопов'язані задачі досліджень:

· Побудувати та обґрунтувати чисельні методи та алгоритми двосторонніх наближень власних значень нелінійних спектральних задач.

· Обґрунтувати варіаційний підхід до опису власних значень та до розв'язування лінійних та нелінійних багатопараметричних спектральних задач.

· Запропонувати методи розв'язування як лінійних, так і нелінійних за спектральними параметрами багатопараметричних, зокрема двопараметричних, задач на власні значення.

· Розробити на підставі запропонованих методів та алгоритмів відповідне програмне забезпечення для ПК та провести числові експерименти з розв'язування відомих модельних задач.

· Розв'язати практичну задачу чисельного знаходження точок та ліній галуження одно- та двовимірних інтегральних рівнянь, які виникають у теорії синтезу випромінюючих систем.

· Провести числові експерименти з розв'язування важливих практичних задач синтезу.

Наукова новизна одержаних результатів. Запропоновано новий підхід до побудови методів та алгоритмів двосторонніх наближень власних значень нелінійних за спектральним параметром задач на власні значення, які мають надлінійну швидкість збіжності, а також запропоновано та обґрунтовано ефективні чисельні алгоритми розв'язування як лінійних, так і нелінійних за спектральними параметрами багатопараметричних, зокрема двопараметричних, задач на власні значення.

У процесі розробки даного підходу отримано такі наукові результати:

1. У рамках запропонованого підходу обґрунтовано двосторонні аналоги методу Ньютона для знаходження власних значень нелінійних спектральних задач. Отримано умови на початкове наближення, які забезпечують почерговість наближень до власного значення з двох сторін і гарантують збіжність ітераційного процесу.

2. Уперше досліджено нові властивості методу Геллі (методу тангенціальних гіпербол). Це дало можливість виділити клас спектральних задач, для яких за допомогою методу Геллі можна отримати почергові (альтернуючі) двосторонні наближення до власного значення й клас задач, для яких метод Геллі дає лише односторонні наближення.

3. Запропоновано нову ефективну чисельну процедуру обчислення похідних (першої та другої) від детермінанта алгебраїчної спектральної задачі, не розкриваючи самого детермінанта.

4. Використовуючи чисельну процедуру обчислення похідних від детермінанта матриці, побудовано алгоритм, який дозволяє обчислити кількість власних значень спектральної задачі, які знаходяться в заданій області комплексної площини та деяке наближення до кожного з них.

5. Запропоновано нову модифікацію алгоритму побудови кривих власних значень лінійних та нелінійних за спектральними параметрами двопараметричних задач на власні значення, який дозволяє знайти всі власні криві, які попадають у задану область зміни спектральних параметрів задачі.

6. Запропоновано та обґрунтовано варіаційних підхід до розв'язування як лінійних, так і нелінійних багатопараметричних (двопараметричних) спектральних задач в абстрактному гільбертовому просторі. Доведено еквівалентність спектральних та відповідних варіаційних задач. Отримано операторне рівняння (систему рівнянь), яке є узагальненням класичного функціонала Релея на лінійні та нелінійні багатопараметричні спектральні задачі. Для матричних спектральних задач побудовано варіаційно-ґрадієнтні методи знаходження узагальнених власних значень та власних векторів. Обґрунтована їх локальна збіжність.

7. Уперше застосовано ітераційні процеси двосторонніх наближень до власних значень для знаходження точок галуження розв'язків нелінійних інтегральних рівнянь, що виникають у задачах синтезу випромінюючих систем за заданою амплітудною діаграмою напрямленості.

8. Розроблено нові алгоритми чисельного знаходження власних кривих та їх точок біфуркації нелінійної двопараметричної задачі, які є лініями галуження розв'язків нелінійних інтегральних рівнянь, ядра яких нелінійно залежать від двох спектральних параметрів. Такі інтегральні рівняння виникають у задачах синтезу плоских випромінюючих систем (ґраток) за заданою амплітудною діаграмою напрямленості. Це дало змогу вперше чисельно визначити кількість розв'язків та знайти (обчислити) дійсні розв'язки, які були до цього часу не відомі. Оскільки спектральні параметри - це геометричні та електродинамічні характеристики випромінюючих систем, то розв'язання цієї проблеми дає можливість отримати необхідну інформацію ще на стадії проектування, вибираючи оптимальні щодо розмірів та електродинамічних характеристик випромінюючі системи.

Практичне застосування одержаних результатів. У дисертаційній роботі запропоновано й досліджено нові алгоритми розв'язування нелінійних за спектральним параметром задач на власні значення та лінійних і нелінійних багатопараметричних (двопараметричних) спектральних задач. Ці алгоритми пройшли тестування на модельних задачах і їх можна успішно використовувати для розв'язування конкретних задач, що зустрічаються в техніці, механіці, теорії коливань, гідромеханіці, електродинаміці й т. д. Запропоновані в роботі підходи та методи дослідження й алгоритми використано при виконанні держбюджетних тем. Зокрема, розроблені методи й алгоритми використано при розв'язанні задачі знаходження точок та ліній галуження розв'язків одно- та двовимірних інтегральних рівнянь, які виникають у теорії синтезу випромінюючих систем за заданою амплітудною діаграмою напрямленості.

Особистий внесок здобувача. Усі теоретичні й практичні результати, що складають основний зміст дисертаційної роботи й виносяться на захист, отримано автором самостійно. У роботах, виконаних у співавторстві, автор дисертації брав участь в отриманні всіх результатів і особисто одержав такі: у [17] - побудова алгоритму та розв'язання задачі; у [21] - постановка варіаційної задачі, обґрунтування еквівалентності спектральної та варіаційної постановок задач, побудова алгоритму та обґрунтування його локальної збіжності, у [22] - розробка алгоритму та аналіз числових результатів; у [25-27, 33] - розробка та алгоритмічна реалізація задачі, аналіз результатів та формулювання висновків.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідались на міжнародних, всесоюзних і всеукраїнських симпозіумах, конференціях та семінарах, зокрема, на: «Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях» (Львів, 1997), «Міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука» (Київ, 1997, 1998, 2004, 2006, 2008), «Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробагатька» (Дрогобич, 2004, 2007), «Сучасні проблеми механіки і математики» (Львів, 1998, 2008), «Міжнародна наукова конференція Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки» (Львів, 2009), «Trans Black Sea Region Symposium on Applied Electromagnetism» (Metsovo, Греція, 1996), «Mathematical Methods in Electromagnetics Theory»(Львів, 1997, Харків, 1998, Київ, 2002), «Dynamic Systems & Applications» (Atlanta, США, 2003, 2007), « International Conference on Antenna Theory and Techniques» (Київ, 1997, Севастополь, 1999, 2003), «Direct and inverse problems of electromagnetics and acoustic wave theory» (Львів, 1997, 2005, 2009, Тбілісі, 1998, 2000).

Матеріали дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на наукових семінарах відділу числових методів математичної фізики Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (2001-2008рр.) загально-інститутському математичному семінарі ІППММ НАН України (2003р.). В цілому дисертаційна робота доповідалася на загальноінститутському математичному семінарі ІППММ НАН України (кер.: чл.-кор. НАН України Б.Й. Пташник, проф. М.М. Войтович, проф. В.М. Петричкович, проф. В.О. Пелих, 2009 р., 2011 р.); спільному семінарі відділів обчислювальної математики та динаміки і стійкості багатовимірних систем Інституту математики НАН України (кер.: академік НАН України В.Л. Макаров, академік НАН України І.О. Луковський, 2010 р.), спільному семінарі відділів диференціальних рівнянь та теорії коливань, обчислювальної математики та динаміки і стійкості багатовимірних систем Інституту математики НАН України (кер.: академік НАН України А.М. Самойленко, академік НАН України В.Л. Макаров, академік НАН України І.О. Луковський, 2011 р.).

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 27 статтях у наукових журналах і збірниках наукових праць, препринті та у 15 матеріалах і тезах конференцій та симпозіумів. З них 24 статті [1-24] опубліковано у фахових наукових виданнях ВАК України, серед них 21 - одноосібна праця.

Структура та обсяг роботи. Робота складається зі вступу, п'яти розділів і висновків, викладених на 282 сторінках та ілюстрованих 36 рисунками й 24 таблицями, а також списку використаних джерел із 312 найменувань. Загальний обсяг роботи - 316 сторінок.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету й задачі досліджень, відзначено наукову новизну та практичне значення отриманих результатів. Наведено відомості про апробацію роботи та публікації.

У першому розділі зроблено огляд стану проблеми за тематикою дисертації. У підрозділі 1.1 розглядаються існуючі чисельні методи розв'язування нелінійних спектральних задач.

У підрозділі 1.2 на підставі аналізу літературних джерел виокремлено основні підходи до побудови чисельних методів двосторонніх оцінок власних значень лінійних спектральних задач, які існують на даний час.

У підрозділі 1.3 здійснено короткий огляд проблем, пов'язаних із побудовою чисельних методів розв'язування двопараметричних лінійних та нелінійних спектральних задач.

Кожен розділ дисертації завершується висновками, які містять в собі перелік отриманих результатів.

У другому розділі запропоновано та обґрунтовано новий підхід до побудови методів двосторонніх оцінок власних значень нелінійних спектральних задач

, (2.1)

де - квадратна матриця -го порядку, усі елементи якої є достатньо гладкими (принаймні двічі неперервно диференційовними) функціями параметра , , використовуючи алгебраїчний підхід до опису спектра, тобто значення шукаються як розв'язки детермінантного рівняння

.(2.2)

У даному розділі для визначення ізольованого власного значення матриці запропоновані й обґрунтовані ітераційні процеси ньютонівського типу, які дають почергові (альтернуючі) наближення до кореня рівняння (2.2), тобто

або (2.3)

і включаючи монотонні двосторонні наближення до кореня, тобто

,(2.4)

не розкриваючи при цьому визначника . Це означає, що ліва частина рівняння (2.2) в явному вигляді не задається, але пропонується алгоритм знаходження функцій та її похідних і при фіксованому значенні параметра , використовуючи для цього LU-розклад матриці .

Цьому питанню присвячений підрозділ 2.1, у якому запропоновано чисельну процедуру знаходження похідних (першої та другої) від детермінанта матриці. Вона ґрунтується на тому, що матриця порядка , у якої при будь-якому фіксованому значенні головні мінори всіх порядків від 1 до відмінні від нуля, за допомогою -розкладу може бути записана у вигляді

,(2.5)

де - нижня трикутна матриця з одиничними діагональними елементами, а - верхня трикутна матриця. Тоді

.

Оскільки елементи квадратної матриці (а отже і ) є диференційовними функціями за , то для будь-яких отримуємо, що

,

,

де

та

є елементами матриць та у розкладах

,

.

Отже, для обчислення , та необхідно при фіксованому обчислити

(2.6)

Звідки

,, (2.7)

.

Елементи матриць у розкладах (2.6) можуть бути обчислені за допомогою виписаних у роботі відповідних рекурентних співвідношень.

У цьому ж підрозділі, використовуючи чисельну процедуру обчислення похідних від детермінанта матриці (2.6), (2.7), запропоновано алгоритм знаходження початкових наближень до власних значень задачі (2.1), що знаходяться в заданому інтервалі. Алгоритм дозволяє визначити кількість власних значень задачі (2.1) (нулів функції з (2.2)), що знаходяться в заданому інтервалі зміни параметра , а також деякі наближення до кожного з них. Цей алгоритм та чисельну процедуру обчислення похідних від детермінанта матриці можна використовувати і для .

Отже, не маючи ніякої апріорної інформації, крім заданої області комплексної площини (зокрема, заданого інтервалу), можна за допомогою алгоритму отримати деякі, взагалі кажучи, грубі наближення до усіх власних значень задачі (2.1), які належать області . Їх можна послідовно уточнити, використавши як початкові наближення, за допомогою звичайного методу Ньютона

, (2.8)

який, використовуючи чисельну процедуру обчислення похідних від детермінанта матриці, набуде вигляду

,, (2.9)

де та - елементи матриць та при фіксованому , , у (2.6)

Отже, не знаючи явної залежності , ми для будь-якого фіксованого можемо знайти значення та її похідних. Тому для розв'язування (2.2) можна застосовувати методи, що використовують похідні, зокрема, будувати методи ньютонівського типу, які дають двосторонні наближення до розв'язку. Для цього потрібні додаткові дослідження функції , які проводяться далі в роботі.

У підрозділі 2.2 розглядається нелінійне рівняння (2.2) з тричі неперервно диферен-ційовною функцією дійсної змінної. Через позначається точний простий корінь рівняння (2.2) (), у деякому околі якого можлива така поведінка функції .

(A). Функція - опукла (), а її похідна .

(B). Функція - вгнута (), а її похідна .

(C). Функція - опукла (), а її похідна .

(D). Функція - вгнута (), а її похідна .

Поряд із розглядається також функція

,

яка має, очевидно, ті ж самі нулі, що й функція . Легко переконатися, що є двічі неперервно диференційовною в т. , для якої справджуються співвідношення

,,(2.10)

та яка має такі властивості.

Теорема 2.1. Нехай - простий дійсний корінь рівняння (2.2), в деякому околі якого для функції виконується одна з умов (A) - (D). Тоді існує такий окіл кореня , у якому:

1) при виконанні умови (A) або (D) функція є опуклою монотонно зростаючою функцією, її похідна і монотонно зростає;

2) при виконанні умови (B) або (C) функція є вгнутою монотонно зростаючою функцією, її похідна і монотонно спадає.

Отже, теорема 2.1 визначає властивості функції , а рис. 2.1 ілюструє її поведінку залежно від властивостей функції в деякому околі кореня .

Рис. 2.1. Поведінка функцій та в околі простого кореня.

лінійний багатопараметричний спектральний задача

Такий характер поведінки функції дозволяє з ітераційної формули

.(2.11)

отримати монотонну послідовність наближень до кореня, причому ітераційні процеси (2.8) і (2.11) мають такі монотонні властивості.

Теорема 2.2. Якщо в околі кореня виконуються умови (A) або (D), тоді, починаючи з , послідовність , визначена за допомогою (2.8), монотонно зростає, а послідовність , визначена за допомогою (2.11), монотонно спадає.

Теорема 2.3. Якщо в околі кореня виконуються умови (B) або (C), тоді, починаючи з , послідовність визначена за допомогою (2.8), монотонно спадає, а послідовність , визначена за допомогою (2.11), монотонно зростає.

Використовуючи властивості функції , побудовано послідовність , яка має властивість (2.3).

Для випадків (А) і (D) ітераційний процес запишемо у вигляді

(2.12)

а для випадків (В) і (С) - у вигляді

(2.13)

.

Обґрунтування двосторонньої збіжності ітераційних процесів дають такі теореми.

Теорема 2.4. Нехай - простий дійсний корінь рівняння (2.2) і нехай в деякому околі кореня

,

у якому

для тричі неперервно диференційовної функції , що описує рівняння (2.2), виконується умова (А) або (D), а для функції справджуються нерівності

при ,

при ,

де

, .

Крім того, нехай виконуються умови

,

де

.

Тоді ітераційний процес (2.12), починаючи з , збігається до розв`язку з двох сторін

,

причому для похибок зліва та справа справджуються відповідно оцінки

та .

Теорема 2.5. Нехай - простий дійсний корінь рівняння (2.2) і нехай в деякому околі кореня

,

у якому

для тричі неперервно диференційовної функції , що описує рівняння (2.2), виконується умова (B) або (C), а для функції

справджуються нерівності

при

,

при

,

Де

, .

Крім того, нехай виконуються умови

,

де

.

Тоді ітераційний процес (2.13), починаючи з , збігається до розв`язку з двох сторін

,

причому для похибок зліва та справа справджуються відповідно оцінки

та .

Зауваження 2.1. Два різні ітераційні процеси (2.12) і (2.13) використовувалися вище для обґрунтування почергових наближень, починаючи з , в ідеальному випадку, коли відома або легко досліджується поведінка функції . На практиці можна використовувати якийсь один із них для всіх випадків (А) - (D) і незалежно, з якого боку (зліва чи справа від кореня ) знаходиться початкове наближення , але тоді почерговість наближень наступає принаймні з .

Властивості функції та її поведінка (див. рис 2.1) дозволяють, застосовуючи метод Ньютона до функцій і , при відповідному виборі початкових наближень (двох початкових наближень зліва й справа від кореня або лише одного початкового наближення з будь-якої сторони від кореня) отримати послідовності та

(2.14)

які наближаються до кореня рівняння (2.2) з двох сторін, тобто виконуються нерівності (2.4).

Незважаючи на те, що обидва ітераційні методи в ітераційному процесі (2.14), якщо їх розглядати окремо, мають, взагалі кажучи, лише другий порядок збіжності, ітераційний процес, отриманий їх усередненням

,(2.15)

де

має вищий порядок збіжності.

Для апробації запропонованих ітераційних процесів розглянуто модельні спектральні задачі вигляду (2.1) з експоненціальною й поліноміальною залежностями від спектрального параметра та наведено результати чисельного їх розв'язування за допомогою трьох алгоритмів, які реалізують ітераційні процеси (2.12), (2.14) та (2.15).

В алгоритмах ітераційні процеси почергових наближень (2.12), включаючих наближень (2.14) та ітераційний процес (2.15) використовуються у еквівалентному вигляді, де значення функції та її похідних у потрібних точках замінено співвідношеннями (2.7), які отримуються внаслідок LU-розкладу матриці . У результаті ітераційний процеси відповідно (2.12), (2.14) та (2.15) набувають вигляду

(2.16)

де - елементи матриць та у розкладах (2.6) при фіксованому , а - елементи матриць у цих же розкладах (2.6) при фіксованому .

, (2.17)

де - елементи матриць та у розкладах (2.6) при фіксованому .

,(2.18)

де - елементи матриць та у розкладах (2.6) при фіксованому .

У підрозділі 2.3 поряд із тричі неперервно диференційовною функцією дійсної змінної, що описує нелінійне рівняння (2.2) і має простий корінь , розглядається функція

, (2.19)

яка має, очевидно, ті ж самі нулі, що й функція . Крім того, функція є двічі неперервно диференційовною і в т. справджуються співвідношення

.

Тепер, застосувавши метод Ньютона до функції

(2.20)

отримуємо метод Геллі для функції

.(2.21)

Отже, властивості методу Геллі визначаються властивостями функції , для якої справджується таке твердження.

Теорема 2.6. Нехай - простий дійсний корінь рівняння (2.2), в деякому околі якого для функції виконується одна з умов (A) - (D). Тоді існує такий окіл кореня , у якому:

(Т1) при виконанні умови

(2.22)

функція

зліва від кореня є опуклою монотонно зростаючою функцією, її похідна і монотонно зростає, а справа від кореня є вгнутою монотонно зростаючою функцією, її похідна і монотонно спадає.

(Т2) при виконанні умови

(2.23)

функція

зліва від кореня є вгнутою монотонно зростаючою функцією, її похідна і монотонно спадає, а справа від кореня є опуклою монотонно зростаючою функцією, її похідна і монотонно зростає.

Таким чином, теорема 2.6 визначає властивості функції , а рис. 2.2 та рис. 2.3 ілюструють її поведінку залежно від властивостей функції в деякому околі кореня . Рис. 2.2 відповідає твердженню (Т1), а рис. 2.3 - твердженню (Т2) теореми.

Рис. 2.2. Поведінка функцій



Рис. 2.3. Поведінка функцій та в околі при . в околі при .

Такий характер поведінки функції дозволяє з ітераційної формули (2.20), а отже й (2.21), отримати монотонну послідовність наближень до кореня. Отже, метод Геллі має такі монотонні властивості.

Теорема 2.7. Якщо в деякому околі простого кореня рівняння (2.2)

,

у якому

для тричі неперервно диференційовної функції , що описує рівняння (2.2), виконується одна з умов (А) - (D), умова (2.22), а також умова

,(2.24)

де

,

тоді парні номери послідовності , отриманої за допомогою методу Геллі (2.21), утворюють монотонно зростаючу послідовність, а непарні номери - монотонно спадну послідовність, якщо

і навпаки, якщо

.

Теорема 2.8. Якщо в деякому околі простого кореня рівняння (2.2)

,

у якому

для тричі неперервно диференційовної функції , що описує рівняння (2.2), виконується одна з умов (А) - (D), а також умова (2.23), тоді, починаючи з , послідовність , отримана за допомогою методу Геллі (2.21), монотонно зростає, якщо

,

і монотонно спадає, якщо

.

Отже, з теорем 2.6-2.8 випливає, що метод Геллі (2.21) для певного класу функцій, які описують нелінійне рівняння, дає почергове (альтернуюче) наближення до розв'язку цього рівняння з двох сторін, а для іншого класу функцій - лише односторонні монотонні наближення, причому монотонність на відміну від методу Ньютона починається вже з .

Це дозволяє побудувати алгоритми двосторонніх наближень, які використовують одне або два початкових наближення. Ітераційні процеси використовуються у еквівалентному вигляді, де значення функції та її похідних у потрібних точках замінено співвідношеннями (2.7), які отримуються внаслідок LU-розкладу матриці .

Зауваження 2.4. З практичної точки зору дослідження знаку функції є завданням не простим. Але приналежність функції до того чи іншого класу можна визначити ціною двох перших ітерацій за методом (2.20) (фактично з аналізу поведінки знаку поправки ) і тоді, використовуючи поведінку функцій та (теорема 2.6), скоректувати, за необхідності, ітераційний процес так, щоб отримати двосторонні наближення.

У третьому розділі, використовуючи варіаційний підхід до опису власних значень, побудовано та обґрунтовано ітераційні процеси двосторонніх наближень до власних значень нелінійної спектральної задачі

,(3.1)

з операторнозначною функцією

( -

множина лінійних обмежених самоспряжених операторів деякого гільбертового простору ), яка аналітично залежить від спектрального параметра .

Як і в лінійному випадку, власні значення нелінійної задачі можна охарактеризувати у варіаційних термінах, а саме, як мінімум або максимум деяких функціоналів.

Нехай - власний вектор, що відповідає простому власному значенню задачі (3.1), а - компактна множина простору , яка містить

Розв'язок рівняння

,

як неявний функціонал, що визначається рівнянням

називається функціоналом Релея для оператор-функції , якщо виконуються умови

, (3.2)

, (3.3)

а пару називають системою Релея.

Вважаємо, що на інтервалі , оператор-функція задовольняє умови

(3.4)

або

,(3.5)

і задача (3.1) має на просте власне значення. У цьому випадку власна пара задачі (3.1) є стаціонарною точкою функціонала Релея .

Означення 3.1. Система Релея називається ізотонною за на , якщо виконуєть-ся умова (3.4) й антитонною, якщо виконується умова (3.5).

Означення 3.2. Система Релея називається опуклою (вгнутою) за на , якщо

.

Оскільки функціонал Релея як розв'язок рівняння

в загальному випадку записати неможливо (за винятком лінійної та окремих випадків поліноміальної задач), то пропонується використати наближення до за допомогою кроку Ньютона для рівняння

.

Отже, поряд з нелінійною системою Релея розглядаються лінійні системи Релея з компонентами

,

,

для яких справджуються наступні твердження.

Лема 3.1. Якщо - антитонна й опукла або ізотонна й вгнута за на система Релея, то її функціонал зображується у вигляді

.

Лема 3.2. Якщо - антитонна й вгнута або ізотонна й опукла за на система Релея, то її функціонал зображується у вигляді

.

У підрозділі 3.2 розглядається допоміжна оператор-функція

,

для якої справджується твердження, що якщо - функціонал Релея для , то буде також функціоналом Релея для . Дійсно,

, ,

, ,

тобто виконуються умови (3.2) і (3.3). Це означає, що якщо - власна пара , то буде також власною парою .

Знову ж таки, поряд з нелінійною системою Релея розглядаються лінійні системи з компонентами

,

і встановлюється таке твердження

Теорема 3.1. 1) Якщо - антитонна й опукла або ізотонна й вгнута за на система Релея, то існує такий окіл , що є ізотонною й опуклою за на системою Релея, а функціонал зображується у вигляді

.(3.6)

2) Якщо - антитонна й вгнута або ізотонна й опукла за на система Релея, то існує такий окіл , що є ізотонною й вгнутою за на системою Релея, а функціонал зображується у вигляді

.

Теорема 3.1 дозволяє побудувати та обґрунтувати ітераційний процес двосторонніх наближень типу Ньютона до власного значення нелінійної задачі (3.1), який є складовою частиною (внутрішні ітерації) алгоритму обчислення власної пари.

У підрозділі 3.3 показано, що якщо - функціонал Релея для , то буде також функціоналом Релея для оператор-функції

і, якщо побудувати лінійні системи з компонентами

,

,

то справджується таке твердження.

Теорема 3.2. Для будь-якої системи Релея існує такий окіл у якому система Релея є ізотонною за на , при цьому:

1) якщо для будь-якого виконується умова

,(3.7)

то в околі зліва від є опуклою за , а справа - вгнутою за системою Релея, а її функціонал зображується у вигляді

; (3.8)

2) якщо для будь-якого виконується умова

,(3.9)

то в околі зліва від є вгнутою за , а справа - опуклою за системою Релея, а її функціонал зображується у вигляді

.(3.10)

Таким чином, теорема 3.2 дозволяє побудувати та обґрунтувати ітераційні процеси двосторонніх наближень типу Геллі (або їх комбінацію з ітераційним процесом Ньютона) до власного значення нелінійної задачі (3.1), які є складовими частинами (внутрішні ітерації) алгоритму обчислення власної пари.

У підрозділі 3.4 наведено результати чисельного розв'язування нелінійних задач на власні значення з теорії коливань пропонованими методами.

У четвертому розділі запропоновано два підходи до побудови чисельних методів та алгоритмів розв'язування багатопараметричних (двопараметричних) задач на власні значення, які в абстрактній постановці записуються або у вигляді системи рівнянь

, , (4.1)

або у вигляді одного рівняння

,(4.2)

якщо оператор-функція

( -

множина лінійних операторів, що діють у деякому гільбертовому просторі ) лінійно залежить від спектральних параметрів

, , , ,

та у загальному вигляді

,(4.3)

якщо оператор-функція нелінійно, зокрема аналітично, залежить від спектральних параметрів , . Задача полягає в знаходженні такого набору спектральних параметрів , при якому існують нетривіальні розв'язки відповідного рівняння (4.1)-(4.3), що розглядається.

У підрозділі 4.1 розглядається матрична двопараметрична спектральна задача

(4.4)

де - квадратні матриці -го порядку і застосовується алгебраїчний підхід до знаходження її власних значень - власної пари , тобто шукається як розв'язок системи двох нелінійних алгебраїчних рівнянь

(4.5)

Для обчислення власної пари системи (4.5) запропоновано алгоритм, який використовує ітераційний процес методу Ньютона, не розкриваючи детермінантів у (4.5). Тобто, маючи деяке наближення до власної пари системи (4.5), ітераційний процес методу Ньютона запишеться у вигляді

,(4.6)

де відхилення та є розв'язками системи двох лінійних рівнянь

(4.7)

а всі шість коефіцієнтів (дві функції і та чотири похідних , , , ) обчислюються в точці , використовуючи для цього LU-розклади матриць

і

та чисельну процедуру обчислення похідної детермінанта, яка запропонована й описана в розділі 2.

Алгоритм без принципових труднощів легко й повністю узагальнюється на багатопараметричну спектральну задачу (4.1), у якій , , - квадратні матриці -го порядку, і яка полягає в знаходженні такого набору параметрів , при якому система (4.1) має нетривіальні розв'язки , .

У підрозділі 4.2 розглядається двопараметрична задача на власні значення, яка записується у вигляді однорідного лінійного матричного рівняння

,(4.8)

де - дійсні квадратні матриці -го порядку, тобто елементи матриці лінійно залежать від спектральних параметрів або у вигляді однорідного нелінійного матричного рівняння

, (4.9)

де - дійсна квадратна матриця -го порядку, елементи якої аналітично залежать від параметрів та .

Зауважимо, що задачу (4.8) можна подати у вигляді

. (4.10)

Якщо матриці - симетричні, а - додатно визначена, то існує континуум розв'язків, які параметризуються через . За допомогою такого підходу, проводячи обчислення для різних значень параметра , отримуємо криві власних значень задачі (4.8).

Отже, у тих випадках, де виникає задача (4.8) й існує континуум розв'язків її можна зводити до послідовного розв'язування лінійної задачі (4.10), надаючи значення параметру .

Такий самий підхід можна застосувати і до нелінійної за спектральними параметрами задачі (4.9), якщо вона має континуум розв'язків, тобто для кожного заданого значення параметра розв'язувати відповідну однопараметричну, але нелінійну за параметром задачу і, таким чином, отримувати криві власних значень задачі (4.9).

Основною обчислювальною частиною алгоритму, що пропонується, є реалізація способу, запропонованого в розділі 2, обчислення всіх власних значень лінійної (4.8) або нелінійної (4.9) спектральної задачі, які належать деякій заданій області зміни спектрального параметра при заданому значенні параметра .

Отже, розглядається задача (4.8) або (4.9) при заданому фіксованому значенні параметра . Тоді, очевидно, власні значення задачі (4.8) або (4.9) - це нулі функції

,(4.11)

де є дійсна матриця, елементи якої лінійно або аналітично залежать від параметра .

Уклавши інтервал в область комплексної площини, наприклад круг з центром у точці

та радіусом

,

і застосувавши до аналітичної функції

твердження, що випливає з принципу арґумента аналітичної функції, отримуємо, що кількість нулів визначається за допомогою співвідношення

,(4.12)

а самі нулі функції , що знаходяться в області , можна знайти з системи рівнянь

,. (4.13)

Використовуючи заміну

,

інтеграли в (4.12) та (4.13) перетворюються до вигляду

Тепер, розбивши відрізок на рівних частин, заміняємо інтеграл наближеною квадратурною формулою прямокутників і для обчислення величин отримуємо співвідношення

,(4.14)

де

.

Саму ж систему (4.13) розв'язуємо за допомогою методу Ньютона, вибираючи початкове наближення на границі області .

Оскільки значення функції та її похідних обчислюються лише при фіксованих значеннях параметра , то для їх обчислення застосовується запропонована в розділі 2 чисельна процедура їх знаходження. Отже, для обчислення , та необхідно при фіксованому обчислити розклад (2.6), звідки для , та отримуємо співвідношення (2.7), тобто для (4.12), (4.14) отримуємо співвідношення

,.

Обчисливши деякі наближення до кожного власного значення, уточнюємо його за допомогою одного з методів, запропонованих у розділі 2, наприклад, (2.16).

У роботі наведено результати чисельного розв'язування двох тестових задач, отриманих за допомогою запропонованого алгоритму. Показано процес знаходження та побудови відразу всіх кривих власних значень, які попадають у заданий інтервал зміни параметрів. Як показують чисельні експерименти, застосування алгоритму обчислення похідних детермінанта матриці дозволяє побудувати надійні та ефективні (у розумінні по-будови відразу всіх кривих власних значень, що належать області зміни параметрів та ) алгоритми знаходження кривих власних значень лінійних та нелінійних спектральних задач.

У підрозділі 4.3 нелінійній багатопараметричній спектральній задачі

,(4.15)

у дійсному абстрактному гільбертовому просторі , яка полягає у знаходженні такого набору спектральних параметрів

,

при якому існує нетривіальний розв'язок рівняння (4.15) ставиться у відповідність варіаційна задача на мінімум функціоналу

,(4.16)

тобто задача про знаходження такого набору параметрів і таких векторів на яких функціонал (4.16) набуває мінімального значення

, (),

де - множина, яка містить точки , що задовольняють рівнянню (4.15), - абстрактний гільбертів простір, у якому скалярний добуток та норма визначаються таким чином:

Доведена еквівалентність спектральної та варіаційної задач.

Теорема 4.1. Кожний власний вектор , що відповідає власному набору задачі (4.15) є стаціонарною точкою функціонала (4.16) і, навпаки, кожна стаціонарна точка функціонала (4.16) відповідає власному вектору та власному набору задачі (4.15).

У даному випадку

,

де .

Така постановка дозволяє застосувати, наприклад, модифікований метод Ньютона для чисельного розв'язування задачі, в результаті чого для кожного значення отримується лінійна система рівнянь

,,(4.17)

( - постійна матриця розмірності , - стовпчик вільних членів, який змінюється на кожній ітерації) для обчислення

, ,

звідки

,

а для обчислення - рівняння

,

звідки

.

тут

,

,

- початкове наближення.

Далі розглядається також інша постановка варіаційної задачі, коли для кожного заданого вектора набір шукається як розв'язок системи рівнянь , .

У підрозділі 4.4 лінійній багатопараметричній спектральній задачі

(4.18)

у дійсному евклідовому просторі

 (, ,

- дійсні квадратні матриці го порядку), яка полягає у знаходженні такого набору спектральних параметрів

,

при якому існує нетривіальний розв'язок рівняння (4.18) ставиться у відповідність варіаційна задача на мінімум квадратичного функціонала

, ,(4.19)

тобто задача про знаходження такого набору параметрів і таких векторів , на яких функціонал (4.19) набуває мінімального значення

,(4.20)

де - деяка опукла множина в .

Для доведення еквівалентності задач (4.18) та (4.20) встановлено такі допоміжні твердження.

Лема 4.1. Нехай

-

розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь

,(4.21)

де

,, ,

,, . (4.22)

Тоді кожний власний вектор задачі (4.18) є стаціонарною точкою функціонала (4.19) і, навпаки, кожна стаціонарна точка функціонала (4.19) є власним вектором задачі (4.18).

Лема 4.2. Функціонал (4.19) є двічі неперервно диференційовним на деякій множині .

Лема 4.3. Нехай

-

просте узагальнене власне значення і нехай , . Тоді існує константа така, що

,(4.23)

тобто функціонал (4.19) є сильно опуклим.

Тепер на підставі леми 4.1 справджується таке твердження.

Теорема 4.2. Якщо

-

розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь (4.21), тоді кожний власний вектор задачі (4.18) є точкою мінімуму функціонала (4.19) і, навпаки, кожна точка мінімуму функціонала (4.19) є власним вектором задачі (4.18).

Отже, розв'язування задачі (4.18) еквівалентне знаходженню стаціонарних точок функціонала (4.19), які є його точками мінімуму.

Цей результат дозволяє побудувати ґрадієнтну процедуру як метод чисельного розв'язування задачі (4.18), коли для заданого значення вектора відповідне значення шукається як розв'язок системи (4.21), а наступне наближення до власного вектора - у вигляді

, (4.24)

,(4.25)

(4.26)

Таким чином, розв'язок шукається в класі нормованих векторів, а система лінійних алгебраїчних рівнянь (4.21) розв'язується за допомогою одного з відомих методів.

У випадку простого узагальненого власного значення задачі (4.18) для наведеного вище ітераційного процесу справджується

Теорема 4.3. Нехай

-

просте узагальнене власне значення й - його власний підпростір. Тоді послідовність , отримана за допомогою співвідношень (4.24)-(4.26), при будь-якому початковому наближенні із деякого околу власного підпростору , на якому вектори є лінійно незалежними, а функціонал (4.19) є сильно опуклим, збігається до стаціонарних точок функціонала (4.19), в яких досягається його мінімум, тобто до власного вектора задачі (4.18)

.

Аналогічні результати отримано у підрозділі 4.5 і для нелінійної спектральної задачі

,(4.27)

а саме:

Лема 4.4. Нехай

- розв'язок системи рівнянь

, ,(4.28)

де , .

Тоді кожний власний вектор задачі (4.27) є стаціонарною точкою функціонала

,.(4.29)

і, навпаки, кожна стаціонарна точка функціонала (4.29) є власним вектором задачі (4.27).

Лема 4.5. Функціонал (4.29) є опуклим на множині стаціонарних точок.

Теорема 4.4. Якщо

-

розв'язок системи нелінійних алгебраїчних рівнянь (4.28), тоді кожний власний вектор задачі (4.27) є точкою мінімуму функціонала (4.29) і, навпаки, кожна точка мінімуму функціонала (4.29) є власним вектором задачі (4.27).

...