Чисельні методи та алгоритми розв’язування узагальнених спектральних задач

Отже, розв'язування задачі (4.27) еквівалентне знаходженню стаціонарних точок функціонала (4.29), які є його точками мінімуму.

Для знаходження стаціонарних точок функціонала (4.29) побудовано алгоритм, який розв'язок задачі шукає в класі нормованих векторів за допомогою ітераційного процесу (4.24)-(4.26), а відповідне власне значення

шукається як розв'язок системи нелінійних алгебраїчних рівнянь (4.28) за допомогою одного з відомих методів. Зокрема, ітераційний процес за власним значенням можна реалізувати за допомогою методу Ньютона, тобто для кожного

(4.30)

де

,.(4.31)

оскільки

, ,

то для елементів матриці (4.31) отримуємо такі вирази

, .(4.32)

Отже, для наведеного вище ітераційного процесу справджується така локальна теорема збіжності.

Теорема 4.5. Нехай - деякий замкнений окіл власного підпростору задачі (4.27) () і для деякого початкового наближення множина Лебега

є обмеженою, крім того, нехай ґрадієнт функціонала задовольняє умову Ліпшиця

,

а матриця (4.31), елементи якої обчислюються за допомогою співвідношень (4.32), є невиродженою. Тоді для послідовності , отриманої за допомогою ітераційного процесу (4.24) - (4.26), справджуються співвідношення

,.

Це означає, що ітераційний процес (4.24) - (4.26) збігається до точки мінімуму функціонала (4.29), тобто до власного вектора задачі (4.27).

Зауваження 4.1. Якщо матриця лінійно залежить від параметрів , тобто

,

де - деякі матриці, тоді ітераційний процес (4.30) зведеться до розв'язування системи лінійних рівнянь

,(4.33)

де

.

Це означає, що

є розв'язком лінійної системи (4.21).

Зауваження 4.2. Якщо ж матриця лінійно залежить від одного параметра (), тобто

,

то з (4.30), а також безпосередньо з (4.28) випливає, що для обчислення отримуємо класичне відношення Релея

.

З цього випливає, що нелінійна система рівнянь (4.28) може розглядатися як узагальнення класичного відношення Релея на багатопараметричні спектральні задачі.

У п'ятому розділі розглядаються питання застосування розроблених у роботі алгоритмів до чисельного розв'язування задачі знаходження точок галуження й побудови кривих галуження (спектральних кривих та їх точок біфуркації) одного типу нелінійних інтегральних рівнянь, ядра яких нелінійно залежать від одного або двох спектральних параметрів, які виникають при синтезі випромінюючих систем за заданою амплітудною діаграмою напрямленості (ДН).

У підрозділі 5.1 розглядається варіаційна постановка задачі синтезу лінійної антени, яка приводить до нелінійного інтегрального рівняння

,(5.1)

яке має неєдиний розв'язок. Тут - ДН антени, - задана амплітудна ДН, - пара-метр, який характеризує електричні розміри антени й величину кута, у якому задана ,

.

Кількість розв'язків рівняння (5.1) залежить від значення параметра і вигляду заданої функції . Виявляється, що один із розв'язків (названо його первинним) рівняння (5.1), який виписується в явному вигляді, існує для всіх значень і він є єдиним для малих . Але практичний інтерес у більшості випадків мають ті розв'язки, які відгалужуються від первинного з ростом параметра .

Задача знаходження точки , у якій відбувається галуження розв'язку, зводиться до визначення власних значень нелінійної за спектральним параметром задачі на власні значення

,, (5.2)

з інтегральним оператором

,

де - первинний розв'язок рівняння (5.1). Застосовуючи квадратурний процес, наприклад, Гауса або Сімпсона, інтегральне рівняння (5.2) зводимо до матричного рівняння, тобто до матричної спектральної задачі

, (5.3)

власні значення якої можуть бути знайдені принаймні двома способами.

Оскільки знаходження власних значень задачі (5.3) зводиться, зокрема, до знаходження коренів рівняння

,

то перший спосіб полягає в застосуванні алгоритмів розділу 2 для отримання двосторонніх наближень до власних значень. Другий спосіб полягає в знаходженні власних значень і власних векторів задачі (5.3), використовуючи алгоритми розділу 3.

Як показують чисельні експерименти, запропоновані алгоритми є більш ефективними у порівнянні з існуючими (розв'язування трансцендентних рівнянь, алгоритмом покоординатного спуску) як з огляду на швидкість збіжності, так і з огляду отримання двосторонніх оцінок до власного значення задачі, а отже, до точки галуження інтегрального рівняння.

У підрозділі 5.2 розглядається варіаційна постановка задачі синтезу плоскої ґратки, тобто випромінюючої системи, яка складається з ідентичних і однаково орієнтованих випромінювачів з однаковою для всіх випромінювачів діаграмою напрямленості (ДН), у яких фазові центри розміщені на площині (площина ґратки) декартової системи координат. Вважається, що координати випромінювачів утворюють прямокутну еквідистантну сітку, орієнтовану по осям координат і симетричну відносно цих осей. Тоді функція, яка описує ДН (множник плоскої ґратки) еквідистантної плоскої системи випромінювачів (плоскої ґратки), має вигляд

,

де - комплексні струми на випромінювачах, - кутові координати сферичної системи координат , центр якої співпадає з центром декартової системи координат , - цілочисельна функція, яка задає кількість елементів

у й стрічці ґратки.

Отже, число елементів у такій ґратці дорівнює

.

Потрібно знайти такі струми на випромінювачах, щоб створювана ними діаграма напрямленості найкращим чином наближалася за модулем до необхідної амплітудної ДН , заданої в деякій області . Отже, задача синтезу формулюється як задача мінімізації функціонала

(5.4)

у просторі , тобто

,

який характеризує величину середньоквадратичного відхилення модулів заданої та синтезованої діаграм напрямленості в області . У результаті отримується нелінійне рівняння для оптимальної діаграми

,(5.5)

де

- ядро, яке залежить від координат розміщення елементів ґратки.

Оскільки рівняння (5.5) є нелінійним рівнянням (типу Гаммерштейна), то воно може мати неєдиний розв'язок. Кількість розв'язків і їх властивості залежать від кількості елементів ґратки та їх розміщення, а також від властивостей заданої амплітудної діаграми напрямленості .

Одним із можливих розв'язків рівняння (5.5) (названо його тривіальним) є розв'язок

.

Він відповідає діаграмам із фазовим центром

()

й існує для будь-яких та .

Числові експерименти синтезу діаграм напрямленості для різних значень параметрів та показують, що з ростом параметрів та існують і інші розв'язки, які відгалузилися від тривіального розв'язку і вони є більш ефективними в розумінні значень функціонала (5.4) від 0% до %.

Отже, у більшості випадків цікавий саме нетривіальний розв'язок, який відгалужується від із зростанням параметрів та .

Лініями галуження розв'язків інтегрального рівняння (5.5) є такі значення дійсних фізичних параметрів

,

при яких лінійне однорідне інтегральне рівняння

(5.6)

з симетричним ядром

,

де ,

,

отримане лінеаризацією рівняння (5.5), має відмінні від

розв'язки.

Оскільки параметри та відіграють роль спектральних, то ми фактично прийшли до узагальненої самоспряженої двопараметричної задачі на власні значення

(5.7)

з неперервно диференційовним за параметрами та оператором .

Використовуючи властивість виродженості ядра

,

задача зводиться до еквівалентної матричної задачі.

(5.8)

зі симетричною матрицею розмірності , - одинична матриця розмірності , , ,

.

Отже, задача знаходження ліній галуження рівняння (5.5) зводиться до знаходження кривих власних значень нелінійної двопараметричної спектральної задачі (5.8). Очевидно, для того щоб задача (5.8) мала відмінний від нуля розв'язок, необхідно щоб

,(5.9)

тобто власні значення задачі (5.8) - це нулі функції .

У проведеній низці чисельних експериментів зі синтезу антенних ґраток, запропонований у підрозділі 4.2 алгоритм використовувався для знаходження кривих власних значень двопараметричної спектральної задачі, які є лініями галуження розв'язків нелінійного рівняння синтезу (5.5). Чисельно розрахунки проводилися як для задач, у яких у функції , що описує задану діаграму напрямленості ґратки, змінні відокремлювалися і не відокремлювалися. Одночасно ці експерименти були й тестом на правильність та ефективність алгоритму, оскільки для задач, у яких функція допускала відокремлення змінних, частину результатів можна було порівняти з результатами, отриманими іншими методами, наприклад, розв'язком трансцендентних рівнянь або застосовуючи ітераційні процеси розділів 2 та 3 дисертаційної роботи.

На рис. 5.1 - рис. 5.4 наведено знайдені криві власних значень для чотирьох задач, у яких задані діаграми напрямленості задавалися формулами

, ,

та

,

відповідно.

За результатами чисельних експериментів можна зробити такі висновки:

Уперше знайдено всі дійсні розв'язки (криві власних значень) задачі (5.8), які попадають у інтервал зміни параметрів , який нас цікавить.

Уперше для задач, у яких функція допускає відокремлення змінних, знайдено ще один розв'язок задачі (5.8) (наприклад, для

та

-

це на рис. 5.1 та рис. 5.2, відповідно), який відповідає синтезованим діаграмам , у яких змінні не відокремлюються.

Уперше для задач, у яких функція не допускає відокремлення змінних, знайдено розв'язки задачі (5.8) (наприклад, для

та

-

це , на рис. 5.3 та рис. 5.4, відповідно), які, як вважалося, існують тільки для діаграм , у яких змінні відокремлюються.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.1 Рис. 5.2

Рис.5.3 Рис.5.4

Якщо дві криві перетинаються в деякій точці, то таку точку називають точкою біфуркації (або точкою галуження). Достатній критерій існування таких точок відомий давно й полягає в тому, що точка є точкою біфуркації рівняння

,

якщо вона належить кривим і виконуються умови

,

.

Але такий критерій нечасто використовувався в практичних обчисленнях, оскільки вимагав обчислення похідних від детермінанта матриці.

Узагальнивши запропонований у розділі 2 алгоритм обчислення похідних від детермінанта матриці, цей критерій ефективно використано для обчислення точок біфуркації рівняння (5.9).

Отже, задача полягає у визначенні таких параметрів та , які є розв'язком системи двох нелінійних алгебраїчних рівнянь

(5.10)

Застосувавши алгоритм знаходження власних значень системи двох двопараметричних рівнянь, описаний у підрозділі 4.1, проведено низку чисельних експериментів для знаходження першої точки біфуркації рівняння (5.9) для випадків, коли у функції , яка описує діаграму напрямленості антени, змінні відокремлюються й не відокремлюються.

У табл. 5.1 наведено точки біфуркації для трьох заданих діаграм , коли змінні відокремлюються й трьох заданих діаграм, коли змінні не відокремлюються. Для трьох перших діаграм наведено також точки галуження, які можуть бути отримані іншими методами за умови, що й у функції змінні відокремлюються.

Таблиця 5.1

	Точки біфуркації	Точки біфуркації, отримані іншим методом
		-
		-
		-

Для трьох інших діаграми немає відомих результатів. Результати отримані вперше.

Зауважимо, що точки біфуркації (принаймні їх грубі оцінки) можна отримати й графічно з рис. 5.1 - рис. 5.4, а для їх уточнення застосувати алгоритм розв'язування системи (5.10).

Висновки

Дисертаційна робота є новим комплексним дослідженням, що розглядає важливу наукову проблему побудови та дослідження чисельних методів розв'язування узагальнених спектральних задач.

У процесі дослідження отримано такі наукові результати.

1. Запропоновано новий підхід до побудови методів та алгоритмів двосторонніх наближень власних значень нелінійних за спектральним параметром задач на власні значення, які мають надлінійну швидкість збіжності.

2. У рамках запропонованого підходу обґрунтовано двосторонні аналоги методу Ньютона для знаходження власних значень нелінійних спектральних задач. Отримано умови на початкове наближення, які забезпечують почерговість наближень до власного значення з двох сторін і ґарантують збіжність ітераційного процесу.

3. Уперше досліджено нові властивості методу Геллі (методу тангенціальних гіпербол). Це дає можливість виділити клас спектральних задач, для яких за допомогою методу Геллі можна отримати почергові (альтернуючі) двосторонні наближення до власного значення й клас задач, для яких метод Геллі дає лише односторонні наближення.

4. Запропоновано нову ефективну чисельну процедуру обчислення похідних (першої та другої) від детермінанта алгебраїчної спектральної задачі, не розкриваючи самого детермінанта. Це дозволило побудувати модифікації методу Ньютона й Геллі та їхніх двосторонніх аналогів для обчислення власних значень нелінійної спектральної задачі. Показано, що цю ж процедуру можна застосовувати й до детермінанта лінійної спектральної задачі, що дає можливість застосовувати методи типу Ньютона та інші методи, які використовують першу та другу похідні, а отже, і запропоновані у роботі двосторонні аналоги методу Ньютона, для знаходження власних значень лінійних однопараметричних та багатопараметричних, зокрема двопараметричних, спектральних задач.

5. Використовуючи чисельну процедуру обчислення похідних від детермінанта матриці в заданих точках, побудовано алгоритм, який дозволяє обчислити кількість власних значень спектральної задачі, які знаходяться в заданій області комплексної площини та деяке наближення до кожного з них. Тобто, не маючи ніякої апріорної інформації крім заданої області, можна за допомогою побудованого алгоритму отримати, взагалі кажучи, грубі наближення до всіх власних значень, які знаходяться в заданій області й використати їх як початкові наближення.

6. Апробація побудованих алгоритмів на модельних задачах, зокрема і на тих, які приведені у роботі, показує їх надійність та ефективність, а також переваги у порівнянні зі звичайним методом Ньютона чи методом доповненого вектора у тому розумінні, що на кожному кроці ітераційного процесу отримуємо двосторонні оцінки шуканого розв'язку, а отже, на кожному кроці отримуємо зручну апостеріорну оцінку похибки обчислень.

7. Запропоновано нову модифікацію алгоритму побудови кривих власних значень лінійних та нелінійних за спектральними параметрами двопараметричних задач на власні значення, який дозволяє знайти всі дійсні власні криві, які попадають у задану область зміни спектральних параметрів задачі.

8. Запропоновано та обґрунтовано варіаційних підхід до розв'язування як лінійних, так і нелінійних багатопараметричних (двопараметричних) спектральних задач в абстрактному гільбертовому просторі. Доведено еквівалентність спектральних та відповідних варіаційних задач. Отримано операторне рівняння (систему рівнянь), яке є узагальненням класичного функціонала Релея на лінійні та нелінійні багатопараметричні спектральні задачі. Для матричних спектральних задач побудовано варіаційно-ґрадієнтні методи знаходження узагальнених власних значень та власних векторів. Обґрунтована їх локальна збіжність.

9. Уперше застосовано ітераційні процеси двосторонніх наближень до власних значень для знаходження точок галуження розв'язків нелінійних інтегральних рівнянь, що виникають у задачах синтезу випромінюючих систем за заданою амплітудною діаграмою напрямленості.

10. Розроблено нові алгоритми чисельного знаходження власних кривих та їх точок біфуркації нелінійної двопараметричної задачі, які є лініями галуження розв'язків нелінійних інтегральних рівнянь, ядра яких нелінійно залежать від двох спектральних параметрів. Такі інтегральні рівняння виникають у задачах синтезу плоских випромінюючих систем (ґраток) за заданою амплітудною діаграмою напрямленості. Це дало змогу вперше чисельно визначити кількість розв'язків та знайти (обчислити) дійсні розв'язки, які були до цього часу не відомі. Оскільки спектральні параметри - це геометричні та електродинамічні характеристики випромінюючих систем, то розв'язання цієї проблеми дає можливість отримати необхідну інформацію ще на стадії проектування, вибираючи оптимальні щодо розмірів та електродинамічних характеристик випромінюючі системи.

Список основних опублікованих праць за темою дисертації

1. Подлевський Б. М. Про один підхід до побудови двосторонніх ітераційних методів розв'язування нелінійних рівнянь / Б. М. Подлевський // Доп. НАН України. - 1998. - № 5. - С. 37-41.

2. Подлевський Б. М. Про один спосіб побудови двосторонніх ітераційних методів розв'язування нелінійних рівнянь / Б. М. Подлевський // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 1999. - Т. 42, № 2. - С. 17-25.

3. Подлевський Б. М. Про нові властивості методу Геллі / Б. М. Подлевський // Доп. НАН України. - 1999. - № 12. - С. 21-26.

4. Подлевський Б. М. Побудова двосторонніх наближень до розв'язку нелінійних рівнянь за допомогою методу Геллі / Б. М. Подлевський // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2000. - Т. 43, № 4. - С. 59-67.

5. Подлевський Б. М. Чисельний метод розв'язування одного класу нелінійних спектральних задач / Б. М. Подлевський // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2001. - Т. 44, № 2. - С. 34-38.

6. Подлевський Б. М. Про застосування методу симетрування до одного класу узагальнених спектральних задач з параметром в крайових умовах / Б. М. Подлевський // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2001. - Т. 44, № 3. - С. 44-49.

7. Подлевський Б. М. Про один підхід до побудови методів двосторонніх наближень розв'язування нелінійних спектральних задач / Б. М. Подлевський // Доп. НАН України. - 2005. - № 3. - С. 16-21.

8. Подлевський Б. М. Варіаційний підхід до розв'язування двопараметричних задач на власні значення / Б. М. Подлевський // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2005. - Т. 48, № 1. - С. 31-35.

9. Подлевський Б. М. Один двосторонній аналог методу обернених ітерацій розв'язування нелінійних задач на власні значення / Б. М. Подлевський // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2005. - Т. 48, № 3. - С.36-45.

10. Подлевський Б. М. Чисельний алгоритм розв'язування лінійних багатопараметричних задач на власні значення / Б. М. Подлевський // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2006. - Т. 49, № 2. - С. 86-89 .

11. Подлевський Б. М. Ітераційний метод альтернуючих наближень до власних значень одного класу нелінійних спектральних задач / Б. М. Подлевський // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2007. - Т. 50, № 1. - С. 54-63.

12. Подлевский Б. М. О некоторых двусторонних аналогах метода Ньютона решения нелинейной спектральной задачи / Б. М. Подлевский // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2007. - Т. 47, № 11. - С. 1819-1829.

13. Подлевський Б. М. Про застосування методу Ньютона до знаходження власних значень нелінійних спектральних задач / Б. М. Подлевський // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2007. - Т. 50, № 4. - С. 55-60.

14. Подлевський Б. М. Двосторонній аналог методу Ньютона знаходження власних значень одного класу нелінійних спектральних задач / Б. М. Подлевський // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2008. - Т. 51, № 1. - С. 65-73.

15. Подлевский Б. М. О применении метода Ньютона к нахождению собственных значений некоторых двухпараметрических (многопараметрических) спектральных задач / Б. М. Подлевский // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2008. - Т. 48, № 12. - С. 2107-2112.

16. Подлевський Б. М. Чисельне розв'язування деяких двопараметричних задач на власні значення / Б. М. Подлевський // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2008. - Т. 51, № 3. - С. 46-53.

17. Подлевський Б. М. Про один підхід до знаходження кривих власних значень лінійних двопараметричних спектральних задач / Б. М. Подлевський, В. В. Хлобистов // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2008. - Т. 51, № 4. - С. 86-93.

18. Подлевський Б. М. Варіаційний підхід до розв'язування лінійних багатопараметричних задач на власні значення / Б. М. Подлевський // Укр. матем. журн. - 2009. - Т. 61, № 9. - С. 1247-1256.

19. Подлевський Б. М. Про один підхід до знаходження ліній галуження та точок біфуркації розв'язків нелінійних інтегральних рівнянь, ядра яких аналітично залежать від двох спектральних параметрів / Б. М. Подлевський // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2009. - Т. 52, № 3. - С. 15-29.

20. Подлевский Б. М. О некоторых нелинейных двухпараметрических спектральных задачах математической физики / Б. М. Подлевский // Математическое моделирование. - 2010. - Т. 22, № 5. - С. 131-145.

21. Khlobystov V. V. Variation-gradient method of the solution of one class of nonlinear multiparameter eigenvalue problems / V. V. Khlobystov, B. M. Podlevskyi // Журнал обчисл. і прикл. матем. - 2009. - № 1 (97). - P. 70-78.

22. Khlobystov V. V. Numerical method of finding bifurcation points of linear two-parameter eigenvalue problems / V. V. Khlobystov, B. M. Podlevskyi // Comput. Meth. Appl. Math. - 2009. - Vol. 9, No 4. - P. 332-338.

23. Podlevskyi B. M. On the Bilateral Convergence of Halley's Method / B. M. Podlevskyi // Z. angew. Math. Mech. - 2003. - Vol. 83, No. 4. - P. 282-286.

24. Podlevskyi B. M. Some computational aspects of algorithms for solving nonlinear two-parameter eigenvalue problems / B. M. Podlevskyi // Журнал обчисл. і прикл. матем. - 2010. - №1 (100). - C. 100-110.

25. Podlevskyi B. Synthesis of the Variable Shape Contoured Directivity Patterns of the Hybrid Reflector Antennas / B. Podlevskyi, P. Savenko // Electromagnetics. - 1998. - Vol. 18, No. 5. - P. 507-527.

26. Пакет прикладных программ синтеза плоских антенных решеток по заданной амплитуд-ной диаграмме направленности / Б. М. Подлевский, В. Я. Романенко, И. И. Рыкалюк [и др.] // Программные средства машиностроения: [сб. научн. тр. / редкол.: В. Л. Рвачов (отв. ред.) и др.]. - Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1990. - С. 43-51.

27. Численное решение задачи синтеза многолучевой антенны, состоящей из ТЕМ-линзы и облучающей решетки / П. А. Савенко, Б. М. Подлевский, М. Д. Ткач [и др.] // Радиотехника и электроника. - 1995. - Т. 40, № 10. - С. 1496-1505.

28. Подлевський Б. М. Методи двосторонніх наближень розв'язування нелінійних рівнянь / Б. М. Подлевський. - Львів: ІППММ НАН України, 2001. - 48 с. - (Препринт / НАН України. Ін-т прикл. пробл. механіки і математики; 2-01).

29. Подлевський Б. Про один ітераційний метод двосторонніх наближень до розв'язку нелінійних рівнянь / Б. Подлевський // VI-а Міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука, Київ, 15-17 травня 1997 р.:Матеріали конф. - Київ, 1997. - С. 315.

30. Подлевський Б. Iтераційний метод розв`язування нелінійних задач на власні значення в скінченновимірному просторі / Б. Подлевський // VII-а Міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука, Київ, 14-16 травня 1998 р.: Матеріали конф. - Київ, 1998. - С. 399.

31. Подлевський Б. Чисельний метод розв'язування спектральної задачі для цілком неперервних самоспряжених операторів з нелінійним спектральним параметром / Б. Подлевський // Міжнародна наукова конференція "Сучасні проблеми механіки і математики", Львів, 25-28 травня 1998 р.: Матеріали конф. - Львів, 1998. - С. 310.

32. Podlevskyi B. M. One numerical method for solution of the nonlinear spectral problems / B. M. Podlevskyi // V-th International Seminar/Workshop "Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory"(DIPED-2000), Tbilisi, October 3-6, 2000.: Proceedings. - Lviv-Tbilisi, 2000. - P.62-66.

33. Savenko P. O. Some classes of nonlinear synthesis problems for radiation systems: theory and methods of solution / P. O. Savenko, B. M. Podlevskyi, M. D. Tkach, M. I. Andriychuk // IX-th International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET'02), Kyiv, Ukraine, September 10-13, 2002.: Proceedings. - Kyiv, 2002. - Vol. 1. - P. 79-86.

34. Podlevskyi B. M. About one gradient procedure of determination of the branching points of non-linear integral equation arising in the theory of antennas synthesis / B. M. Podlevskyi // IV-th International Conference on Antenna Theory and Techniques (ICATT'03), Sevastopil, Ukraine, September 9-12, 2003.: Proceedings. - Sevastopil, 2003. - P. 213-215.

35. Подлевський Б. М. Про один метод двосторонніх наближень до власних значень у нелі-нійній спектральній задачі / Б. М. Подлевський // Х-а Міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука, Київ, 13-15 травня 2004 р.: Матеріали конф. - Київ, 2004. - С. 486.

36. Podlevskyi B. M. One approach to the construction of the bilateral approximations methods for the solution of nonlinear equations / B. M. Podlevskyi // Proceeding of Dynamic Systems & Applications IV / G. S. Ladde, N. G. Madhin and M. Sambandham editors. - Atlanta: Dynamic Publishers, Inc., U.S.A., 2004. - P 542-547.

37. Podlevskyi B. M. About one bilateral approximation method of determination of the branching points of nonlinear integral equation arising in the theory of antennas synthesis / B. M. Podlevskyi // X-th International Seminar/Workshop "Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory"(DIPED-2005), Lviv, September 19-21, 2005.: Proceedings. - Lviv, 2005. - P.132-136.

38. Подлевський Б. М. Про один підхід до розв'язування деяких двопараметричних задач на власні значення / Б. М. Подлевський // ХІ-а Міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука, Київ, 18-20 травня 2006 р.: Матеріали конф. - Київ, 2006. - С. 552.

39. Подлевський Б. М. Методи двосторонніх наближень розв'язування нелінійних спектральних задач / Б. М. Подлевський // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробагатька, Дрогобич, 24-28 вересня 2007 р. Тези доп. - Львів, 2007. - С. 229.

40. Подлевський Б. М. Варіаційно-ґрадієнтні методи розв'язування деяких багатопарамет-ричних задач на власні значення / Б. М. Подлевський // ХІІ-а Міжнародна наукова конференція ім. акад. М.Кравчука, Київ, 15-18 травня 2008 р.: Матеріали конф. - Київ, 2008. - С. 759.

41. Подлевський Б. М. Варіаційний підхід до розв'язування деяких багатопараметричних задач на власні значення / Б. М. Подлевський // Міжнародна наукова конференція «Сучасні проблеми механіки та математики», Львів, 25-29 травня 2008 р.: Матеріали конф. в 3-х т. - Львів, 2008. - Т. 3. - С. 36-38.

42. Подлевський Б. Обчислювальні аспекти використання чисельної процедури обчислення похідних детермінанта матриці у питаннях побудови алгоритмів розв'язування двопараметричних задач на власні значення / Б. Подлевський // Міжнародна наукова конференція «Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки», Львів, 31 серпня - 4 вересня 2009 р.: Матеріали конф. - Львів, 2009. - С. 55-57.

43. Podlevskyi B. M. Numerical algorithms of finding the branching lines and bifurcation points of solutions of nonlinear integral equation arising in the theory of antennas synthesis / B. M. Podlevskyi // XIV-th International Seminar/Workshop "Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory" (DIPED-2009), Lviv, September 21-24, 2009.: Proceedings. - Lviv, 2009. - P. 197-203.

Анотації

Подлевський Б. М. Чисельні методи та алгоритми розв'язування узагальнених спектральних задач. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 - обчислювальна математика. Інститут математики НАН України, Київ, 2011.

Дисертаційна робота присвячена обґрунтуванню нового підходу до побудови двосторонніх методів і алгоритмів розв'язування нелінійних за спектральним параметром задач на власні значення, а також побудові й обґрунтуванню ефективних чисельних алгоритмів розв'язування як лінійних, так і нелінійних за спектральними параметрами багатопараметричних, зокрема двопараметричних, спектральних задач.

У рамках запропонованого підходу обґрунтовано двосторонні аналоги методу Ньютона для знаходження власних значень та власних векторів нелінійних за спектральним параметром задач на власні значення. Отримано умови на початкове наближення, які забезпечують почерговість наближень до власного значення з двох сторін і ґарантують збіжність ітераційного процесу. Досліджено нові властивості методу Геллі. Це дало можливість виділити клас спектральних задач, для яких за допомогою методу Геллі можна отримати почергові (альтернуючі) двосторонні наближення до власного значення й клас задач, для яких метод Геллі дає лише односторонні наближення.

Розроблено ефективну алгоритмічну реалізацію знаходження початкових наближень до кожного з власних значень, які знаходяться в заданій області комплексної площини.

Запропоновано та обґрунтовано варіаційний підхід до розв'язування як лінійних, так і нелінійних багатопараметричних (двопараметричних) спектральних задач в абстрактному гільбертовому просторі. Доведено еквівалентність спектральних та відповідних варіаційних задач. Отримано операторне рівняння (систему рівнянь), яке є узагальненням класичного функціонала Релея на лінійні та нелінійні багатопараметричні спектральні задачі. Для матричних спектральних задач побудовано варіаційно-ґрадієнтні методи знаходження власних значень та власних векторів. Доведена їх локальна збіжність.

Розроблено нові алгоритми чисельного знаходження власних кривих та їх точок біфуркації нелінійної за спектральними параметрами двопараметричної задачі, які є лініями (кривими) галуження розв'язків одного класу нелінійних інтегральних рівнянь, ядра яких аналітично залежать від двох спектральних параметрів. Такі інтегральні рівняння виникають у задачах синтезу плоских випромінюючих систем (ґраток) за заданою амплітудною діаграмою напрямленості. Це дало можливість вперше чисельно визначити кількість розв'язків та знайти (обчислити) дійсні розв'язки, які були до цього часу не відомі. Оскільки спектральні параметри - це геометричні та електродинамічні характеристики випромінюючих систем, то розв'язання цієї проблеми дає можливість отримати необхідну інформацію ще на стадії проектування, вибираючи оптимальні щодо розмірів та електродинамічних характеристик випромінюючі системи.

Ключові слова: нелінійні спектральні задачі, двосторонні аналоги методів Ньютона й Геллі, лінійні й нелінійні багатопараметричні (двопараметричні) задачі на власні значення, криві власних значень, точки біфуркації власних кривих, нелінійні інтегральні рівняння, точки галуження, лінії галуження.

Подлевский Б. М. Численные методы и алгоритмы решения обобщенных спектральных задач. - Рукопись. (Укр.)

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.07 - вычислительная математика. Институт математики НАН Украины, Киев, 2011.

Диссертационная работа посвящена обоснованию нового подхода к построению двухсторонних методов и алгоритмов решения нелинейных по спектральному параметру задач на собственные значения, а также построению и обоснованию эффективных чесленных алгоритмов решения как линейных, так и нелинейных по спектральному параметру многопараметрических, в частности двухпараметрических, спектральных задач.

В рамках предлагаемого подхода обосновано двухсторонние аналоги метода Ньютона для нахождения собственных значений и собственных векторов нелинейных по спектральному параметру задач на собственные значения. Получены условия на начальное приближение, которые гарантируют альтернирующее приближение к собственному значению и гарантируют сходимость итерационного процесса. Выявлены и исследованы новые свойства метода Гелли. Это дало возможность выделить класс спектральных задач, для которых при помощи метода Гелли получаются альтернирующие приближения к собственному значению и класс задач, для которых метод Гелли даёт только односторонние приближения.

Разработано эффективную алгоритмическую реализацию нахождения начальных приближений к каждому собственному значению, которые находятся в заданной области комплексной плоскости.

Предлагается и обосновывается вариационный подход к решению как линейных, так и нелинейных многопараметрических (двухпараметрических) спектральных задач в абстрактном гильбертовом пространстве. Доказана эквивалентность спектральных и соответствующих вариационных задач. Получено операторное уравнение (система уравнений), которое является обобщением классического функционала Релея на линейные и нелинейные многопараметрические задачи. Для матричных спектральных задач построены вариационно-градиентные методы нахождения собственных значений и собственных векторов. Доказана их локальная сходимость.

Разработаны новые алгоритмы для численного нахождения собственных кривых и их точек бифуркации нелинейной по спектральным параметрам двухпараметрической задачи, которые являются линиями (кривыми) ветвления решений одного класса нелинейных интегральных уравнений, ядра которых которых аналитически зависят от двух спектральных параметров. Такие интегральные уравнения возникают в задачах синтеза плоских излучающих систем (решеток) по заданной амплитудной диаграмме направленности. Это дало возможность впервые численно определить колличество решений и найти действительные решения, которые к этому времени были неизвесты. Поскольку спектральные параметры - это геометрические и электродинамические характеристики излучающих систем, то решение этой проблемы даёт возможность получить необходимую информацию ещё на стадии проектирования, выбирая оптимальные относительно размеров и электродинамических характеристик излучающие системы

Ключевые слова: нелинейные спектральные задачи, двухсторонние аналоги методов Ньютона и Гелли, линейные и нелинейные многопараметрические (двухпараметрические) задачи на собственные значения, кривые собственных значений, точки бифуркации собственных кривых, нелинейные интегральные уравнения, точки ветвления, линии (кривые) ветвления.

Podlevskyi B. M. The numerical methods and algorithms of solution of the generalized spectral problems.- A manuscript (in Ukrainian).

The thesis for a Doctor's Degree in Physics and Mathematics; speciality: 01.01.07 - computational mathematics. Institute of Mathematics NASU, Kyiv, 2011.

The thesis is devoted to justification of a new approach to construction of the bilateral methods and algorithms for solving the nonlinear (with respect to a spectral parameter) eigenvalue problems and construction and justification of efficient numerical algorithms for solving both the linear and nonlinear multiparameter, in particular, two-parameter eigenvalue problems.

Within the proposed approach the bilateral analogues of Newton's methods for finding the eigenvalues and eigenvectors for nonlinear (with respect to a spectral parameter) eigenvalue problems is justified. The conditions on initial approximation, which provide the alternating approximations to an eigenvalue and guarantee the convergence of the iterative process, are obtained. The new properties of Halley's method are identified and investigated. This made it possible to distinguish a class of spectral problems for which using the Halley's method we can obtain the alternating bilateral approximations to the eigenvalue and a class of problems for which the Halley's method gives only the unilateral approximations.

An efficient algorithmic implementation for finding the initial approximations to each eigenvalue, which are in the specified area of the complex plane, is developed.

A variational approach to solution of both linear and nonlinear multiparameter (two-parameter) spectral problems in abstract Hilbert space is proposed and justified. The equivalence of the spectral and corresponding variational problems is proved. The operator equation (a system of equations), which is a generalization of the classical Rayleigh functional for linear and nonlinear multiparameter eigenvalue problems, is obtained. For matrix spectral problems the variational-gradient methods for finding eigenvalues and eigenvectors are constructed. Their local convergence is proved.

New algorithms for numerical finding the eigenvalue curves and their bifurcation points of the nonlinear (with respect to spectral parameters) two-parameter eigenvalue problem, which are the lines (curves) of branching of solutions of one class of nonlinear integral equations with kernels, which depend analytically on two spectral parameters, are developed. Such integral equations arise in the problems of synthesis of plane radiating systems (grids) for a given amplitude radiation pattern. This allowed for the first time to determine numerically the number of solutions and to find real solutions, which by this time were unknown. Since the spectral parameters are the geometric and electrodynamic characteristics of radiating systems, the solution of this problem makes it possible to obtain the necessary information at the design stage, choosing the optimal relative size and characteristics of electro-emitting systems.

Key words: nonlinear spectral problems, bilateral analogues of Newton's method and Halley's method, linear and nonlinear multiparameter (two-parameter) eigenvalue problems, eigenvalue curves, bifurcation points of eigenvalue curves, nonlinear integral equations, branching points, branching lines (curves).

Размещено на Allbest.ru

...