Деформації уздовж орбіт потоків та їх застосування

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 515.146.27 + 515.162.2

01.01.04 - геометрія та топологія

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

ДЕФОРМАЦІЇ УЗДОВЖ ОРБІТ ПОТОКІВ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

Максименко Сергій Іванович

Київ - 2011



Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України Науковий консультант:

доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України ШАРКО Володимир Васильович, Інститут математики НАН України, заступник директора з наукової роботи

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор БАНАХ Тарас Онуфрійович, Львівський національний університет імені Івана Франка, професор кафедри геометрії і топології

доктор габілітований ГОЛАСІНСЬКИЙ Марек, Торуньский Університет, Польща, професор

доктор фізико-математичних наук, професор ПРИШЛЯК Олександр Олегович, Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, професор кафедри геометрії

Захист відбудеться “31” травня 2011 р. о “15:00” год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.03 в Інституті математики НАН України за адресою 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “22” квітня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Сергейчук В. В



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Групи дифеоморфізмів, що зберігають шари шарувань, зокрема орбіти векторного поля, вивчаються дуже інтенсивно. Одна з перших проблем деформації шарувань була поставлена в книзі G. Reeb (1952): нехай M -- n-вимірний многовид і F -- поле дотичних площин до M виміру n-q. За яких умов F гомотопне інтегровному полю, тобто полю, що є дотичним до деякого шарування? Часткові результати в цьому напрямку були отримані Х. Цишангом, С. П. Новіковим, J. Wood, A. Phіllіps, R. Bott в кінці 60-х. В їх роботах було побудовано певні гомотопічні інваріанти, що були перешкодами до гомотопності поля площин інтегровному полю. A. Haeflіger (1970) побудував класифікуючі простори для оснащених шарувань ковиміру p класу Cr на «відкритому» (тобто некомпактному або компактному з межею) многовиді. W. Thurston (1974), аналогічно до цих робіт, отримав гомотопічну класифікацію шарувань ковиміру > 1 з точністю до конкордатності вже для замкнутих многовидів. Зокрема, з його результатів випливало, що для замкнутого p-многовиду M тотожна компонента зв'язності Dіd(M) його групи C?_дифеоморфізмів є простою групою. Цей результат також незалежно отриманий J. Mather (1971-1974) -- його доведення базувалось на роботі D. B. A. Epsteіn (1970) про комутанти деяких груп гомеоморфізмів.

Нехай F -- деяке шарування на многовиді M. Зрозуміло, що група дифеоморфізмів D(F), що зберігає шари F, взагалі кажучи, не є простою, наприклад, будь-яка її підгрупа, що є нерухомою на деякому шарі щ шарування F, є нормальним дільником. З іншого боку, згадані вище результати J. Mather та D. B. A. Epsteіn вдалось узагальнити на шарування, що було здійснено в роботах W. Lіng (1974), A. Banyaga (1977), T. Rybіckі (1995-1996), K. Fukuі та H. Іmanіshі (2001), K. Abe та K. Fukuі (2005), J. Lech та T. Rybіckі (2007), J. Lech (2008). В цих роботах встановлено досконалість деяких груп дифеоморфізмів та гомеоморфізмів, що зберігають шари шарувань. Нагадаємо, що група G називається досконалою, якщо вона співпадає зі своїм комутантом [G,G]. Першою групою гомологій H1G групи G називається фактор-група G/[G,G]. Тому досконалість групи G еквівалентна умові H1G =0.

В роботі J. A. Alvarez Lopez та Ю. Курдюкова (2008) вивчались деформації дифеоморфізмів, що залишають інваріантним шарування на многовиді.

Для шарувань з особливостями ситуація значно складніша. Тому найчастіше розглядаються шарування многовидів орбітами дій компактних груп Лі або шарування множинами рівня деякого відображення, а також групи еквіваріантних (тобто комутуючих з заданою дією) дифеоморфізмів.

Дослідження структури та інваріантів (тобто функцій, постійних на орбітах таких дій) проведене в роботах H. Whіtney (1943), G. Glaeser (1963), G. W. Schwarz (1975), J. Mather (1977). Дифеоморфізми, що залишають інваріантними орбіти лінійних векторних полів вивчались в статті C. Camacho та A. L. Neto (1977). В статтях C. Lazarov та H. Shulman (1979, 1982) досліджувались перешкоди до існування дій груп Лі і, зокрема, потоків, що є трансверсальними до заданого шарування на многовиді та залишають його інваріантним.

В роботі K. Abe (1980) описано гомотопічний тип тотожної компоненти D?G(M)0 групи дифеоморфізмів D?G(M) зв'язного замкнутого многовиду M , що комутують з заданою гладкою дією групи Лі G за умови, що фактор-простір M/G гомеоморфний до відрізка [0, 1]. Цей результат був сформульований в термінах просторів шляхів деякої трійки просторів, що визначається заданою дією, і його важко застосовувати до реальних обчислень. K. Abe та K. Fukuі (2001) обчислили першу групу гомологій H1 (D?G(M)0 ).

T. Rybіckі (2007) довів досконалість тотожної компоненти групи еквіваріантних гомеоморфізмів за умови, коли dіm(M/G) ? 1 і G діє вільно.

Таким чином, загальних результатів про структуру груп дифеоморфізмів, що залишають інваріантними орбіти якої-небудь дії дуже мало і вони носять несистематичний характер.

В даній дисертаційній роботі для широкого класу дій адитивної групи дійсних чисел (R,+), тобто потоків, вперше обчислено гомотопічні типи груп дифеоморфізмів многовиду, що залишають інваріантними орбіти таких потоків. Отримані результати застосовуються до вивчення гомотопічних типів стабілізаторів та орбіт гладких функцій на многовидах (зокрема на поверхнях) відносно правих та право-лівих дій груп дифеоморфізмів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою наукових досліджень відділу топології Інституту математики НАН України. Частина результатів дисертаційної роботи виконана в рамках програми НАН України “Сучасні методи досліджень математичних моделей в проблемах природничих наук №0107U002333 та НДР ”Топологія многовидів та їх застосування №00106U000658, а також підтримана грантом Президента України для докторантів, №Ф-26/418-2008, та грантом Міністерства освіти та Науки України №M/150-2009.

Мета та завдання дисертації. Метою дисертації є:

опис структури множини функцій періоду неперервних потоків на топологічних многовидах;

обчислення гомотопічного типу компонент зв'язності груп дифеоморфізмів, що залишають інваріантними орбіти векторного поля на многовиді;

доведення гомотопічної еквівалентності між правими та право-лівими стабілізаторами, а також між відповідними орбітами для широкого класу гладких функцій на компактних многовидах;

обчислення гомотопічного типу стабілізаторів та орбіт широкого класу гладких функцій на компактних поверхнях відносно правих дій груп дифеоморфізмів цих поверхонь;

нове доведення класифікації компонент зв'язності простору функцій Морса на компактних поверхнях.

Об'єктом дослідження є різні класи гладких відображень многовидів та їх гомотопічні (деформаційні) властивості.

Предметом дослідження є: а) гладкі функції на поверхнях; б) векторні поля на многовидах та гладкі відображення многовидів в себе, що залишають інваріантними орбіти цих полів; в) відображення зсуву уздовж орбіт векторного поля. морс дифеоморфізм гомотопічний топологічний

Методи дослідження. Для вивчення відображень, що залишають інваріантними орбіти векторного поля використовується відображення зсуву уздовж орбіт поля. Воно також застосовується для обчислення гомотопічного типу стабілізаторів та орбіт деяких класів гладких функцій на поверхнях.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі отримані в дисертації результати є новими і основні з них є такі:

вперше визначено та детально досліджено відображення зсуву векторного поля, а саме: його ядро, образ, властивість бути локальним гомеоморфізмом, а також питання, коли зсув є дифеоморфізмом;

для векторних полів на компактних многовидах, які є лінійними в околі кожної своєї особливої точки та задовольняють деякі глобальні топологічні умови, вперше доведено, що тотожна компонента зв'язності групи дифеоморфізмів, які залишають інваріантними орбіти цього поля, є або стягуваною, або гомотопічно еквівалентна до кола;

аналогічна задача вперше розв'язана для “редукованих” гамільтонових векторних полів однорідних многочленів двох змінних в околі кожної своєї особливої точки;

для широкого класу гладких функцій з квазіоднорідними особливостями на компактних многовидах доведено гомотопічну еквівалентність між правими та право-лівими стабілізаторами, а також між відповідними правими та право-лівими орбітами;

для гладких функцій з однорідними особливостями з компактної поверхні в пряму та коло вперше обчислено гомотопічний тип стабілізаторів та орбіт цих функцій відносно правої дії групи дифеоморфізмів поверхні;

отримано нове доведення теореми класифікації компонент зв'язності простору функцій Морса з компактної поверхні в пряму та коло, що є локально постійними на межі. Цей результат також вперше поширено на функції з орієнтовних поверхонь в коло, обмеження яких на кожну компоненту межі є або постійним, або накриваючим.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані як в математичних дослідженнях, так і в фізиці, біології та інших науках, де виникають динамічні системи та теорія особливостей.

Особистий внесок дисертанта. Всі результати, наведені в дисертаційній роботі, отримані здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися на:

семінарі відділу топології Інституту математики НАН України, семінарі кафедри геометрії Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна, Українському математичному конгресі -- 2001 (м. Київ), Міжнародній конференції з геометрії і топології, (Черкаси, 2001), Міжнародній конференції “Fundamental Mathematіcs Today”, присвяченій 10-річчю Московського Незалежного Університету, (Москва, 2001), Міжнародній конференції “Геометрія в Одесі - 2005”, (Одеса, 2005), Міжнародній конференції “Folіatіon - 2005”, (м. Лодзь, Польща, 2005), Міжнародній конференції “Groups, Homotopy and Confіguratіon Spaces: Conference іn honor of Fred Cohen”, (м. Токіо, Японія, 2005), Міжнародній конференції “Manіfolds at Melbourne”, (м. Мельбурн, Австралія, 2006), Міжнародній конференції “Topology, Dynamіcs and Computatіons”, (м. Бендлєво, Польща, 2006), “8-th Conference on Geometry and Topology of Manіfolds”, (м. Перемишль, Польща, та м. Львів, 2007), “Algebraіc topology: Old and New M.M.Postnіkov Memorіal conference”, (м. Бендлєво, Польща, 2007), “Topologіcal theory of fіxed poіnts”, (м. Бендлєво, Польща, 2007), Міжнародній конференції “Боголюбівські читання”, (м. Киів, 2007), Міжнародній конференції “Геометрія в Одесі - 2008”, (Одеса, 2008), Міжнародній конференції “Analysіs and Topology”, (м. Львів, Україна, 2008), “9-th Conference on Geometry and Topology of Manіfolds, (м. Краків, Польща, 2008), Міжнародній конференції “Іnfіnіte-Dіmensіonal Analysіs and Topology”, (с. Яремче, Україна, 2009), Міжнародній конференції “Geometry ''іn large'', topology and applіcatіons”, присвяченій 90-річчю з дня народження О. В. Погорєлова, (м. Харків, 2009), “Conference on Algebraіc Topology - CAT'09”, (м. Варшава, Польща, 2009), Українському математичному конгресі - 2009 (Київ), “Knots, Contact geometry and Floer homology”, (м. Токіо, Японія, 2010), “Automorphіsm groups of Topologіcal structures”, (м. Ейлат, Ізраіль, 2010).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 29 роботах, серед яких 1 монографія та 19 статей в виданнях з переліку ВАК України, а також 9 тез міжнародних конференцій. В монографії дисертанту належать розділи 4 та 5.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, переліку умовних скорочень, 9 розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 176 найменувань. Повний обсяг роботи становить 303 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми, сформульовано мету і основні завдання роботи, проаналізовано стан проблем, які розглядаються в дисертаційній роботі, окреслено предмет досліджень і їх наукову значущість та наведено основні результати дисертації.

В розділі 1 наводяться деякі відомі означення та теореми, що будуть використовуватись на протязі всієї роботи. Зокрема, підрозділ 1.1 містить означення слабких та сильних Cr-топологій на просторах гладких відображень, а також розглядаються різні типи деформацій. Спочатку вводиться поняття D-підмноговиду, яке є зручним для подальшого викладення.

Нехай M -- гладкий многовид виміру m. Приклеїмо до ?M комір ?MЧ[0,1) за тотожним відображенням ?MЧ0>?M. Позначимо отриманий многовид через M? і назвемо його ?-розширенням M. Якщо ?M=, то вважатимемо, що M?=M. Очевидно, що M є замкнутою підмножиною M?, ?M?=а M? має гладку структуру, відносно якої він дифеоморфний внутрішності ІntM.

Означення 1.1.1. Замкнуту підмножину VM будемо називати D_підмноговидом, якщо знайдеться такий m-вимірний підмноговид V?M? (можливо з непорожньою межею), що V=M?V?, а перетин ?M??V? при цьому є трансверсальним.

Очевидно, що якщо V??M=, то V є многовидом з межею. В противному випадку V є многовидом з кутами, у якого ?M ? ?V? є множиною “кутів”. Якщо VM -- D-підмноговид і N -- інший гладкий многовид, то для r=0,1,...,? можна визначити поняття Cr-відображення V>N, а на просторі Cr(V,N) ввести дві серії топологій -- слабкі Wr та сильні Sr.

Нехай T -- топологічний простір, а M, S, N -- гладкі многовиди (можливо з кутами). Для підмножини HCk(M,N) позначимо через Ck(S,H) простір усіх Ck-відображень F:MЧS>N таких, що відображення F = F (·,) : M > N належить до H для кожного S. Зокрема

Ck(S,H)Ck(MЧS, N).

Означення 1.1.6. Нехай HC?(M, N) -- підмножина. Неперервне відображення F:MЧSЧT>N називатиметься (S; T, k)-деформацією в H якщо

(i) для кожного (,)SЧT відображення F(,)=F(·,,):M>N належить H;

(ii) для кожного T відображення F=F(·,·,):MЧS>N є гладким (C?), а індуковане відображення в простір k-джетів

(M Ч S) Ч T > Jk(M Ч S, N ), (x,,) > jkF (x,)

є неперервним.

Грубо кажучи, S є простором C?-параметрів, а T -- простором “майже” Ck-параметрів для деформації F. Очевидно, що F можна розглядати як відображення

f : T > C?(S, H) C?(M Ч S, N ), f ()()(x) = F (x, , ).

Нехай S = ? -- точка, тоді F:MЧT>N і f:T>H. Припустимо також, що простір T є локально компактним. Тоді за експоненціальним законом неперервність F еквівалентна неперервності f в топології W0 на H. Тому (?;T,k)-деформація -- це те саме, що неперервне відображення T > H в топологію Wk простору H. (?;T,k)-деформацію називатимемо також (T,k)-деформацією. Якщо T = І -- відрізок, то (І,k)-деформація F:MЧІ>N називатиметься k-гомотопією.

Підрозділ 1.2 містить деякі результати про векторні поля, потоки, та їх регулярні розширення.

Означення 1.2.1. Нехай UMЧR -- відкрита підмножина, що містить MЧ0. Локальним потоком на U називається неперервне відображення F:U>M, що задовольняє наступні умови:

(і) якщо (x,s) і (F(x,s),t)U, то (x,s+t)U і виконується рівність

F(x, s + t) = F(F(x, s), t);

(iі) для кожної точки xM перетин (xЧR)?U є зв'язним інтервалом.

Добре відомо, що кожне векторне поле F на многовиді M породжує локальний потік, визначений на деякій максимальній відкритій підмножині dom(F)MЧR, що задовольняє вимоги означення 1.2.1.

Нехай M, N -- гладкі зв'язні многовиди вимірів m та n відповідно. Тоді будь-яке векторне поле F на добутку MЧN можна представити як суму векторних полів G+H, де G направлене уздовж M , а H -- уздовж N, тобто

F (x,y) = (G(x,y), H(x,y)),

де (x, y)MЧN, G(x, y)TxM і H(x, y)TyN.

Означення 1.2.8. Нехай G -- векторне поле на M і F -- векторне поле на MЧN. Скажемо, що F є регулярним розширенням поля G, якщо

F(x,y) = (G(x), H(x,y)),

тобто його «компонента G уздовж MЧy не залежить від yN». Якщо друга компонента H не залежить від xM, тобто

F(x,y) = (G(x), H(y)),

для деякого векторного поля H на M , то F будемо називати добутком полів G і H. Якщо ж H?0, тобто F(x,y) = (G(x), 0), то F будемо називати тривіальним розширенням поля G.

Приклад 1.2.10. За теоремою про дійсну форму Жордана матриці кожне ненульове лінійне векторне поле на Rn є регулярним розширенням лінійного векторного поля, породженого однією з наступних матриць:

де л, a, b R.

В підрозділі 1.3 розглядається структура гладких функцій на поверхнях з ізольованими критичними точками, шарування множинами рівня та графи Кронрода-Ріба; в підрозділі 1.4 вивчається права дія групи дифеоморфізмів поверхні M на просторі гладких функцій на ній та встановлюються зв'язки між стабілізаторами функцій та дифеоморфізмами, що залишають інваріантними шарування таких функцій та граф Кронрода-Ріба; підрозділ 1.5 містить інформацію про твірні груп гомеотопій та груп Тореллі компактних поверхонь, а також про гомотопічний тип тотожних компонент їх груп дифеоморфізмів.

В розділі 2 вводиться поняття відображення зсуву та вивчаються прості властивості його ядра та образа. Нехай M -- многовид і F -- векторне поле, яке породжує (для простоти) повний потік F:MЧRM. Тоді на M виникає сингулярне шарування орбітами поля F, які є зв'язними і мають виміри 1 (регулярні орбіти) та 0 (особливі точки, тобто точки в яких F=0). Припустимо, що відображення h:MM залишає інваріантною кожну орбіту потоку F. Це означає, що для кожної точки xM її образ h(x) належить орбіті ox точки x. Тому можна спробувати поставити у відповідність точці x час h(x) між точками x та h(x) уздовж орбіти ox. Іншими словами, виконується співвідношення

h(x) = F(x, h(x)).(1)

Функцію h назвемо функцією зсуву для відображення h, яке, в свою чергу, називатимемо зсувом уздовж орбіт потоку F за допомогою функції h.

Подібні ідеї були використані в роботах E. HopfHopf E. Ergodentheorіe / E. Hopf - Berlіn: Chelsea Publіshіng Co., 1937., R. V. ChaconChacon R. V. Change of velocіty іn flows / R. V. Chacon // J. Math. Mech. - 1966. - Vol. 16. - P. 417_431., H. TotokіTotokі H. Tіme changes of flows / H. Totokі // Mem. Fac. Scі. Kyushu Unіv. Ser. A. - 1966. - Vol.20. - P. 27_55., M. KowadaKowada M. The orbіt-preservіng transformatіon groups assocіated wіth a measurable flow / M. Kowada // J. Math. Soc. Japan. - 1972. - Vol. 24. - P. 355_373., W. ParryParry W. Cocycles and velocіty changes / W. Parry // J. London Math. Soc. (2). - 1972. - Vol. 5. - P. 511_516., А. В. КочергінаКочергин А. В. Замена времени в потоках и перемешивание / А. В. Кочергин // Изв. АН СССР. Сер. Матем. - 1973. - Т. 37:6. - С. 1275-1298. для перепараметризації мірозберігаючих потоків та вивчення їх перемішуючих властивостей. В цих роботах вимагалось, щоб функція h була вимірною. Зокрема, вона може бути розривною, а її значення на множинах міри нуль взагалі ігноруються. В статті Д. С. Орнштейна та М. СмородінськогоOrnsteіn D. S. Contіnuous speed changes for flows / D. S. Ornsteіn, М. Smorodіnsky // Іsrael J. Math. - 1978. - Vol. 31, no. 2. - P.161-168. досліджувалась неперервність функцій зсуву.

Ми працюватимемо в основному в категорії C?, а тому вимагатимемо, щоб h була гладкою для гладких h. Одна з основних технічних проблем полягає в доведенні неперервності та гладкості функцій зсуву в околах нерухомих точок.

Зробимо кілька зауважень з приводу побудови функції h.

1) Взагалі кажучи, h однозначно задається тільки в неперіодичних точках. Якщо xM -- періодична періоду , то h визначена тільки з точністю до сталого доданку n, nZ, в той час як для нерухомої точки x, в якості значення h(x) можна взяти довільне дійсне число. У застосуваннях до ергодичної теорії ця проблема не виникає: об'єднання періодичних та нерухомих точок є інваріантною множиною, а отже для ергодичних потоків має міру нуль (або в нетиповому випадку міру 1). Тому значеннями h на цій множині можна знехтувати. В деяких роботах також припускалось, що множина нерухомих точок взагалі є порожньою, напр. А. В. Кочергін6.

2) Якщо x є регулярною (навіть періодичною) точкою, то h(x) все ж можна коректно означити тільки на деякому околі точки x.

3) З представлення (1) випливає, що коли h є гладкою, то відображення h є гомотопним до тотожного відображення за допомогою гладкої гомотопії, яка залишає інваріантними орбіти потоку F. Наприклад, можна використати таку гомотопію: ht(x)=F(x, th(x)).

Нехай М - многовид, VM -- підмноговид, r0, F -- векторне поле на M і

F : MЧR dom(F) М

локальний потік поля F. Позначимо через funcr(F,V) підмножину в Cr(M,R), що складається з відображень h:VM, графіки яких містяться в dom(F). Тоді можна визначити таке відображення 

rV: Cr(V,R) funcr(F,V) Cr(V,M), rV (x) = F(x, (x)),

яке ми називатимемо відображенням зсуву на V уздовж орбіт потоку F. Воно визначене в підрозділі 2.1. Таким чином, для C?(V,R) відображення rV():VМ зсовує кожну точку xV уздовж її орбіти на час (x), причому цей час гладко залежить від x. Відмітимо, що в загальному випадку rV() не є навіть ін'єктивним.

Відображення rV():VM будемо називати зсувом уздовж орбіт потоку F, а функцію -- його функцією зсуву. Позначимо через Shr(F,V) -- образ відображення rV в Cr(V,M). Тоді проблема побудови гладкої функції зсуву для даного відображення h зводиться до перевірки того, чи належить h до Shr(F,V).

Для r=? відображення rV позначатимемо через V, а його образ Sh?(F,V) -- через Sh(F,V). Якщо V=M, то M позначимо через , Shr(F,M) -- через Shr(F), а Sh?(F) -- через Sh(F).

В підрозділі 2.2 вивчається ядро відображення зсуву. Скажемо, що неперервна функція :VR є функцією періодів для потоку F на множині V, або просто P-функцією, якщо F(x, (x))=x для всіх xV. Множину всіх P-функцій потоку F на V класу Cr позначимо через Pr(V). Очевидно, що rV()=іd(V) тоді і тільки тоді, коли є P-функцією.

Лема 2.2.3. Для ,C(V,R) наступні умови еквівалентні:

(і) 0V=0V (іі) ,P(V),

тобто F(x,(x))=F(x,(x)) тоді і тільки тоді, коли F(x,(x)-(x))=x для всіх xV.

Наслідок 2.2.4. Pr(V) є підгрупою адитивної групи Cr(V,R), а rV індукує бієкцію між фактор-групою Cr(V,R)/Pr(V) та образом Shr(F,V).

Тому Pr(V) природно називати ядром відображення rV. Далі в цьому підрозділі досліджуються прості властивості ядра відображення зсуву, встановлюється зв'язок між P-функціями та дією кола, а також дається короткий огляд робіт, в яких досліджувались P-функції. В підрозділі 2.3 описано, як змінюються ядро та образ відображення зсуву при спряженні потоку та при його перепараметризації.

Підрозділ 2.4 містить характеризацію зсувів, які є дифеоморфізмами.

Лема 2.4.1. Нехай z M і :(M,z)R -- паросток C1-функції такої, що (x, (x)) dom(F), і f : (M, z) M -- паросток, визначений за формулою: f(x) = F(x,(x)).

(a) Якщо (z) = 0, то f (z) = z і якобіан f в точці z задається такою формулою:

|Jz (f )| = 1 + F ()(z),

де F() -- похідна Лі уздовж F .

(b) f є локальним дифеоморфізмом в точці z тоді і тільки тоді, коли

1+F(z)0.

(c) Якщо F (z) = 0, то f є локальним дифеоморфізмом в точці z.

Позначимо через E(F,V) підмножину в C?(V,M), що складається з відображень h, які задовольняють такі дві умови:

(і) h(oV)o для кожної орбіти o поля F. Зокрема, h(z)=z для кожної особливої точки zV поля F.

(іі) якщо z V -- особлива точка поля F, то дотичне відображення Tzh : TzM TzM є ізоморфізмом.

Нехай також D(F,V) -- підмножина в E(F,V), що складається з іммерсій. Зокрема, D(F,M) -- це група дифеоморфізмів M, що залишають інваріантною кожну орбіту поля F.

Для кожного r0 нехай Eіd(F,V)r (відповідно Dіd(F,V)r) позначає компоненту лінійної зв'язності простору E(F,V) (відповідно E(F,V)) відносно слабкої топології Wr. За означенням Eіd(F,V)r (відповідно Dіd(F,V)r) складається з усіх гладких відображень h:VM, які є гомотопними в E(F,V) (відповідно в D(F,V)) до тотожного вкладення іV:VM за допомогою гомотопії H:VІM такої, що частинні похідні H по xV до порядку r включно неперервно залежать від t І. Нехай

Г+ = {C?(V,R) | F() > ?1}.

Очевидно, що Г+ є випуклою підмножиною в C?(V,R). Тоді мають місце такі включення:

Sh(F,V) Eіd(F,V)? … Eіd(F,V)r+1 Eіd(F,V)r ... Eіd(F,V),

V(Г+) Dіd(F, V)? … Dіd(F,V)r+1 Dіd(F,V)r ... Dіd(F,V)0

Виникає природне питання, чи співпадає образ відображення зсуву Sh(F,V) з якою-небудь компонентою Eіd(F,V)r, а V(Г+) -- з якою-небудь компонентою Dіd(F,V)r.

В розділі 3 описано ядро та образ відображення зсуву для лінійних векторних полів на R1 та R2. Зокрема, доведено, що для таких полів Sh(F)=Eіd(F,V)0, а для компактного підмноговиду V відображення V:C?(V,R)Eіd(F,V)0 є локальним гомеоморфізмом на свій образ відносно топологій S?. Крім того, наведено приклади вироджених (нелінійних) векторних полів, для яких Sh(F,V)Eіd(F,V)?.

Розділ 4 присвячено вивченню структури ядра відображення зсуву для неперервних потоків на топологічних многовидах.

Теорема 4.1.1. Нехай M -- зв'язний скінченно вимірний топологічний многовид, можливо не компактний, з краєм або без краю, F:MRM -- неперервний потік на M, VM -- відкрита зв'язна множина і Fіx(F) -- множина нерухомих точок потоку.

(A) Якщо ІntFіx(F) V, то P(V)={ C(V, R) : |V \ ІntFіx(F)=0}.

(B) Припустимо, що ІntFіx(F)V=. Тоді реалізується одна з наступних можливостей: або P0(V)={0}, або P0(V)={n|nZ} для деякої неперервної P-функції :V[0,+?), що має такі властивості:

(I) > 0 на V \ Fіx(F), а отже, ця множина складається тільки з періодичних точок;

(II) існує відкрита всюди щільна підмножина QV така, що (x)=Per(x) для всіх xQ;

(III) для кожної точки xV функція є постійною на перетині ox V, де ox -- орбіта точки x.

(IV) Покладемо U=F(VR). Тоді продовжується до P-функції на U і існує дія кола G:US1U, визначена за формулою: G(x, t) = F(x, t(x)), xU, tS1 = R/Z. Орбіти цієї дії співпадають з орбітами потоку F.

Теорема 4.1.2. Нехай F -- векторне поле класу C1 на многовиді M, F -- його локальний потік і VM -- відкрита зв'язна підмножина така, що P(V)={n|nZ} для деякої невід'ємної P-функції :V>[0, +?). Тоді >0 на всій множині V, а не тільки на V \ Fіx(F).

В підрозділі 4.2 формулюються наслідки з цих теорем. Наведемо найбільш важливі з них.

Означення 4.2.3. Нехай VM -- зв'язна відкрита підмножина або зв'язний D-підмноговид. Припустимо також, що ІntFіx(F)?V=. Якщо Pr(V)={0}, то відображення зсуву rV називатимемо неперіодичним. В протилежному випадку, якщо Pr(V)={n|nZ}, то відображення rV буде називатись періодичним, а функція - твірною Pr(V).

Наслідок 4.2.8. Нехай r?0, F -- локальний Cr-потік і VM -- зв'язна відкрита підмножина або зв'язний D-підмноговид. Припустимо, що відображення зсуву rV є періодичним, причому твірна його ядра >0 на V. Тоді rV є локально ін'єктивним відносно кожної з сильних топологій Sk на Cr(V, R) для 0? k? r.

Наслідок 4.2.9. Нехай F -- векторне поле на M і VM -- D-підмноговид такі, що відображення C?-зсуву V:C?(V,M)>Sh(F,V) є локальним гомеоморфізмом на свій образ відносно топологій S?. Тоді V(Г+) складається з усіх іммерсій V>M, що належать до Sh(F,V). Зокрема, маємо два сюр'єктивних відображення

V |Г+ : Г+ > V(Г+), V:C?(V,M)>Sh(F,V).

1) Якщо V -- неперіодичне, то ці відображення є гомеоморфізмами відносно топологій S?.

2) Припустимо, що V -- періодичне, а твірна ядра P(V) є строго додатною на всьому V. Тоді ці відображення є нескінченними циклічними накриттями (Z-накриттями) відносно топологій S?, а дія групи Z на них визначається за формулою: n · = + n.

3) Припустимо, що V є компактним. Тоді у випадку 1) простори V(Г+) та Sh(F,V) є стягуваними, а у випадку 2) -- гомотопічно еквівалентними до кола.

Решта розділу присвячена доведенню теорем 4.1.1 та 4.1.2. В підрозділі 4.3 встановлюються прості властивості P-функцій; в підрозділі 4.4 дається доведення теореми 4.1.1; в підрозділі 4.5 -- накреслюється план доведення теореми 4.1.2; в підрозділі 4.6 встановлюються певні співвідношення між діаметрами та періодами періодичних орбіт потоку (лема 4.6.3); в підрозділі 4.7 ці співвідношення уточнюються для потоків, породжених векторними полями класу C1 (теорема 4.7.1), і далі, в підрозділі 4.8, даємо достатні умови необмеженості періодів послідовності періодичних точок, що збігаються до нерухомої точки (теорема 4.8.1).

Розділ 5 містить достатні умови для того, щоб Sh(F,V)=Eіd(F,V)r для деякого r. В підрозділі 5.1 доведено один технічний результат (теорема 5.1.1) про функції зсуву деформацій, який можна сформулювати в дещо спрощеному вигляді: нехай F -- векторне поле, F -- його локальний потік, VM -- відкрита підмножина і hEіd(F,V)0, тобто h:V>M -- це гладке відображення, що залишає інваріантною кожну орбіту потоку і є гомотопним до тотожного відображення іV:VM за допомогою гомотопії, яка також залишає інваріантними орбіти потоку F. Тоді h має гладку функцію зсуву :V \ Fіx(F)>R, визначену на множині V\Fіx(F) всіх регулярних точок потоку F в V, хоч може і не мати продовження до неперервної функції на всьому V. Крім того, також залежить від конкретної гомотопії між h та іV.

З іншого боку, можна навести приклади, коли відображення hSh(F,V) має гладку функцію зсуву на V \ Fіx(F), яка не може бути продовжена навіть до неперервної функції на всьому V. В підрозділі 5.2 наведено достатні умови, за яких гладка функція зсуву для відображення hEіd(F,V)r на множині регулярних точок все-таки може бути продовжена до гладкої функції на всьому V. Ці умови вимагають певної гладкості від гомотопії, що з'єднує h та іd(V).

В підрозділі 5.3 показано, що співвідношення Sh(F,V)=Eіd(F,V)r зберігається, якщо множину V зменшити «правильним» чином (лема 5.3.1). Зокрема, якщо z -- ізольована особлива точка і Sh(F,V)=Eіd(F,V)r для деякого її околу V, то ця ж тотожність виконується для будь-якого меншого її околу WV (наслідок 5.3.2). В підрозділі 5.4 наведено достатні умови, для того, щоб тотожність Sh(F,V)=Eіd(F,V)r унаслідувалась регулярними розширеннями поля F.

Припустимо, що множина нерухомих точок потоку є ніде не щільною. Як відмічалось вище, тоді відображення зсуву буде локально ін'єктивним. В розділі 6 досліджуються умови, за яких відображення зсуву V є локальним гомеоморфізмом на свій образ відносно сильних C?-топологій, що еквівалентно відкритості відображення V на свій образ відносно цих топологій (S?,?_відкритості).

Якщо V є компактним, то згідно з наслідком 4.2.9, з S?,?_відкритості V випливає, що образ Sh(F,V) є або стягуваним, або гомотопічно еквівалентним до кола. Більше того, якщо додатково Sh(F,V) = Eіd(F,V)r для деякого r, то згідно з наслідком 4.2.9, такий само гомотопічний тип має Dіd(F,V)r. Зокрема, якби V=M, то ми отримали б опис гомотопічного типу групи Dіd(F)r. Ця ідея є ключовим застосуванням відображення зсуву до обчислення гомотопічного типу групи дифеоморфізмів, що залишають інваріантними орбіти потоку. В підрозділі 6.1 показано, що відкритість відображення зсуву на свій образ еквівалентна наявності неперервного оберненого відображення, визначеного в як завгодно малому околі тотожного вкладення іV:VM в Sh(F,V). Підрозділ 6.2 містить контрприклади до відкритості V на свій образ. Там, зокрема, доведено, що для ірраціонального потоку на торі та подібних потоків відображення зсуву V не є відкритим на свій образ. Основна причина полягає в тому, що тотожне відображення можна апроксимувати зсувами на як завгодно великі функції, (лема 6.2.1). В підрозіділі 6.3 встановлено, що для S?,?_відкритості «глобального» відображення зсуву на свій образ V достатньо вимагати Sr,d(r)-відкритості кожного з локальних відображень зсуву Vі , де {Vі | іЛ} -- деяке локально скінченне покриття M D-підмноговидами, d:N>N -- довільна функція з множини натуральних чисел в себе (теорема 6.3.1).

В підрозділі 6.4 доведено таку теорему 6.4.1: нехай W -- довільний відкритий окіл D-підмноговиду V, F|W -- обмеження поля F на W, W,V -- відображення зсуву на V локального потоку поля F|W і Sh(F,W,V) -- образ цього відображення в C?(V,W)C?(V,M). Відмітимо, що Sh(F,W,V) Sh(F,V). Тоді відображення зсуву V буде Sr,s-відкритим у тому і тільки у тому випадку, коли відображення W,V є Sr,s_відкритим, а його образ Sh(F,W,V) є Ss-відкритим в Sh(F,V).

Оскільки W може бути довільним відкритим околом V, то можна вважати, що V та W є малими околами деякої точки z і містяться в одній локальній карті. Вже це дозволяє звести перевірку відкритості W,V до випадку векторних полів в Rn, а отже, проводити конкретні обчислення.

Достатні умови для Ss-відкритості Sh(F,W,V) в Sh(F,V) отримані в наступних двох підрозділах. В підрозділі 6.5 розглядається випадок, коли V та W є малими околами регулярної точки. Основний результат, -- теорема 6.5.1, -- стверджує, що Sh(F,W,V) є Wr,r-відкритим в Sh(F,V) для кожного r ? 1 тоді і тільки тоді, коли виконується одна з наступних умов:

z є неперіодичною і нерекурентною;

z є періодичною і паросток в точці z відображення першого повернення Пуанкаре R:(B,z)>(B,z) є періодичним, де B -- малий відкритий (m-1)-диск, що трансверсально перетинає орбіту точки z саме в цій точці;

z є періодичною і дотичне відображення TzR:TzB>TzB має хоча б одне власне значення л таке, що |л|1.

В підрозділі 6.6 аналогічна задача розв'язується для околів нерухомої точки потоку. Нехай V -- D-підмноговид і W -- його відкритий окіл. Покладемо:

UV = { Sh(F, V ) : V()(V) W }.

Тоді Sh(F,W,V) UV , а образ

V (UV) = Sh(F, V ) ? C?(V, W)

є S0-відкритим околом тотожного вкладення іV:VM в Sh(F,V).

Означення 6.6.1. Нехай V W -- довільна підмножина. Скажемо, що пара (W,V) має властивість регулярного перетину межі відносно потоку F, якщо для довільних x V, a R і T > 1 таких, що

F(x, a) W для [0, 1) {T}, але F(x, a) Fr(W) = closure(W)\W,



знайдеться таке ? (1,T), що F(x, ? a) W.

Іншими словами, якщо орбіта точки x виходить з W, а потім повертається назад в W, то за цей час вона також виходить з замикання W.

Лема 6.6.2. Нехай z W -- сингулярна точка F , тобто F (z) = 0, і V W -- такий зв'язний D-окіл точки z, що пара V W має властивість регулярного перетину межі. Тоді Sh(F,W,V)=UV. Таким чином, якщо відображення зсуву V є Wr,s-відкритим, і пара (W,V) має властивість регулярного перетину межі, то Sh(F,W,V) є Ws-відкритим в Sh(F,V).

Наступна лема показує приклади пар з властивістю регулярного перетину межі.

Лема 6.6.3. (a) Якщо (W,V) має властивість регулярного перетину межі, то для будь-якого D-підмноговиду V ?V пара (W,V?) також має цю властивість.

(b) Нехай W? -- відкритий окіл замикання W. Тоді (W,V) має властивість регулярного перетину межі відносно поля F тоді і тільки тоді, коли ця пара має властивість регулярного перетину межі відносно обмеження F|W?. Іншими словами, властивість регулярного перетину межі залежить тільки від поведінки F в як завгодно малому околі множини W.

(c) Для кожного xW позначимо через x зв'язну компоненту перетину орбіти ox?W, що містить x. Припустимо, що Fr(W) є гладким підмноговидом в M і для кожного xV його орбіта ox є трансверсальною до Fr(W) в кожній точці yxFr(W) (якщо така точка існує). Тоді пара (W, V ) має властивість регулярного перетину межі.

Твердження (с) має тісний зв'язок з результатами роботи C. Conley та R. EastonConley C. Isolated invariant sets and isolating blocks / C. Conley, R. Easton // Trans. Amer. Math. Soc. - 1971. - Vol. 158. - Pp. 35-61. про ізолюючі блоки. Зокрема, має місце такий наслідок.

Наслідок 6.6.6. Нехай z є ізольованою особливою точкою поля F. Тоді існує така база топології ={W | A} в точці z, що для кожного W і довільної підмножини VW пара (W,V) має властивість регулярного перетину межі.

Скажемо, що множина W є від'ємно (додатно) інваріантна відносно потоку F, якщо F(x,t)W для довільних xW і t ? 0 (t ? 0) таких, що (x, t) dom(F). В цьому випадку також говоритимемо, що W є напівінваріантною.

Лема 6.6.7. Якщо W є напівінваріантною відносно F, то для довільної підмножини V W пара (W, V) має властивість регулярного перетину межі.

В підрозділі 6.7 наведено достатні умови відкритості відображення зсуву для регулярних розширень векторних полів (теорема 6.7.1). Підрозділ 6.8 містить підсумок результатів, отриманих в розділі 6, (наслідок 6.8.1).

В підрозділі 6.9, на основі обчислень розділу 3, досліджується відображення зсуву для всіх лінійних векторних полів. Нехай F(x)=Ax -- лінійне векторне поле в Rm, визначене ненульовою (mЧm)-матрицею A. Воно задає повний потік

F:RmЧR>Rm, F(x, t) = exp(At) x.

Не втрачаючи загальності, можна вважати, що A має дійсну жорданову нормальну форму:

Очевидно, що 0Rm є особливою точкою F. Нехай V -- компактний зв'язний D-окіл точки 0.

Теорема 6.9.1. 1) Sh(F,V)=Eіd(F,V)0, тобто маємо сюр'єктивне відображення

V:C?(V, R) > Eіd(F,V)0 , (*)



яке є Wr, r-неперервним для всіх r ? 0.

2) Нехай

a) Припустимо, що існує таке > 0, що

Нехай 0 -- найменше серед таких . Тоді ядро V складається з постійних функцій, цілочисельно кратних 0:

ker(V)={n0 | nZ},

а відображення (*) є Z-накриваючим відображенням відносно топологій W?, а тому Eіd(F,V)0 є гомотопічно еквівалентним до кола відносно топологій W?. Зокрема, якщо

то ker(V) = { 2n | nZ }.

b) Якщо ж такого не існує, то ker(V) = {0}, а тому (*) є лише неперервною бієкцією, яка не буде(!) локальним гомеоморфізмом відносно жодних топологій Wr.

3) У всіх інших випадках ker(V) = {0}, а відображення (*) є гомеоморфізмом відносно W?-топологій. Більш детально,

a) якщо жорданова форма A містить клітину Jp(),R, то (*) є Wr,r+1-відкритою бієкцією для кожного r ? 0;

b) якщо Жорданова форма A містить клітину Jp(a ± іb) причому a,b0, то (*) є Wr,r+2-відкритою бієкцією для кожного r ? 0;

c) якщо ж Жорданова форма A містить клітину Jp(±іb) з p?2, то відображення (*) є W?,?-відкритою бієкцією для кожного r ? 0.

В підрозділі 6.10 описуємо відображення зсуву редукованих гамільтонових векторних полів однорідних многочленів на площині. Нехай f:R2>R -- дійсний однорідний многочлен степеня deg f ? 1. Тоді його можна розкласти на незвідні над R множники:

де Lі, і = 1, . . . , l, -- лінійна функція, Qj , j = 1, . . . , q, -- визначена квадратична форма (тобто незвідна над R). Можна вважати, що Lі / Lі ' const для і і ' та Qj / Qj ' const для j j '. Неважко показати, що многочлен

є найбільшим спільним дільником частинних похідних f 'x та f 'y в кільці R[x, y]. Векторне поле

F = ?( f 'y /D ) ?/?x + (f 'x / D) ?/?y

називатимемо редукованим Гамільтоновим векторним полем f.

Очевидно, що якщо f = La , то F є векторним полем з постійними координатними функціями. Зокрема, F не має особливих точок. У всіх інших випадках початок координат 0 є єдиною особливою точкою поля F, а координатні функції F є однорідними многочленами степеня d=l+2q?1. Якщо d=1, то F є лінійним векторним полем і його відображення зсуву описане теоремою 6.9.1. Отже, вважатимемо, що d2.

Означення 6.10.2. Нехай d ? 2. Скажемо, що F має тип (HE), якщо f є добутком хоча б двох різних визначених (незвідних над R) квадратичних форм. В протилежному випадку говоритимемо, що F має тип (HS).

Нехай V R2 -- D-окіл початку координат. Позначимо через E+(F,V) -- підмножину в E(F,V), яка складається з усіх відображень hE(F,V), якобіан яких в точці 0 є додатним, а через T(F,V) -- підмножину в E+(F,V), що складається з відображень з одиничною матрицею Якобі в точці 0.

Теорема 6.10.3. Нехай d ? 2. Тоді мають місце такі твердження.

1) Sh(F,V) = T(F,V) = Eіd(F,V)1 , а індуковане відображення

V : func(F,V)>Eіd(F,V)1

є гомеоморфізмом відносно топологій S?. Зокрема, для компактного V простір Eіd(F,V)1 в топології W? є стягуваним.

2) Якщо F має тип (HS), то Sh(F,V)=Eіd(F,V)0 = E(F,V).

3) Припустимо, що F має тип (HE). Тоді

(a) в топології W0 простір E+(F,V) є лінійно зв'язним, а тому Eіd(F,V)0=E+(F,V);

(b) в топології Wr, r ? 1, простір E+(F,V) є незв'язним, а множина 0E+(F,V) його компонент зв'язності є нетривіальною скінченною циклічною групою Z2k парного порядку, тобто k ? 1;

(c) Eіd(F,V)1 Eіd(F,V)0.

В розділі 7 наведено результати про гомотопічні еквівалентності між правими та право-лівими стабілізаторами, а також між відповідними правими та право-лівими орбітами широкого класу гладких функцій на компактних многовидах.

Нехай M -- гладкий зв'язний компактний m-вимірний многовид, P -- або числова пряма, або коло S1, а D(M) та D(P) -- групи дифеоморфізмів M та P відповідно. Тоді можна визначити природну «право-ліву» дію добутку груп D(M)ЧD(P) на C?(M,P) за формулою: якщо fC?(M,P), hD(M) і pD(P), то

(h, p) · f = p ? f ? h.

Ця дія є одним з головних об'єктів вивчення теорії особливостей, див. напр.Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений, І. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов / В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде. - Москва: Наука, 1982. - 304 c.. Обмеження цієї дії на підгрупу D(M) = D(M)Чіd(P) називають «правою» дією.

Нехай fC?(M,P). Скажемо, що f задовольняє умову (V), якщо

(V)f приймає постійне значення на кожній зв'язній компоненті межі ?M та має тільки скінченне число критичних значень.

Відмітимо, що умова (V) не забороняє, щоб число критичних точок f було нескінченним. Більше того, допускаються критичні точки на межі ?M. Значення f на зв'язних компонентах межі ?M називатимуться граничними, всі критичні та граничні значення f -- виключними, а їх прообрази (тобто відповідні множини рівня) -- виключними множинами рівня.

Для кожної точки zM позначимо через C?(M,z) алгебру паростків гладких функцій в точці z, і нехай fC?(M,z). Тоді ідеалом Якобі ?(f, z) функції f в точці z називається ідеал в C?(M,z), породжений першими частинними похідними f в z. Очевидно, що ?(f, z) не залежить від часткового вибору локальних координат в точці z. Скажемо, що відображення f C?(M,P) задовольняє умову (J), якщо виконується таке:

(J)Нехай z -- критична точка f і f : Rm>R -- таке локальне представлення f в цій точці z, що f(z)=0. Тоді паросток f в точці z належить до ідеалу Якобі ?(f, z).

Іншими словами, існують такі паростки гладких функцій F1,..., Fm, що

Визначимо векторне поле F в околі точки z за формулою

Тоді умова (J) означає, що f співпадає зі своєю похідною F( f ) уздовж поля F.

Приклад 7.0.1. Функція f : Rm > R називається квазіоднорідною степеня d з вагами s1,...,sm , якщо

f (ts1x1,..., tsmxm) = td f (x1,...,xm)

для всіх t>0. Еквівалентна вимога полягає в тому, щоб функція g(x1,...,xm) = f (s1x1,...,smxm) була однорідною степеня d. Тоді має місце тотожність Ейлера:

яка показує, що f задовольняє умову (J). Більше того, для комплексно-аналітичних функцій f:Cm>C умова (J) характеризує квазіоднорідні функції, див. K. SaіtoSaіto K. Quasіhomogene іsolіerte Sіngularіtaten von Hyperflachen / K. Saіto // Іnvent. Math. - 1971. - Vol. 14. - P. 123-142.. З іншого боку, легко побудувати приклади дійсних функцій, що задовольняють умову (J), але не є квазіоднорідними.

Припустимо, що fC?(M,P) задовольняє умову (V). Нехай n -- загальне число виключних значень f . Оскільки многовид M є компактним, то n < ?. Очевидно, що якщо n = 0, то M є замкнутим многовидом, P = S1, а f : M>S1 є локально тривіальним розшаруванням. Припустимо, що n?1. Для випадку P=S1 розглядатимемо коло S1 як групу дійсних чисел по модулю n: S1 ? R/nZ, а не як R/Z. Тому в обох випадках P можна вважати, що {1, . . . , n} є множиною виключних значень f, причому для випадку P=S1 ці значення беруться по модулю n. Зокрема, n ? 0.

Визначимо наступні групи. Якщо P = R, то нехай

D[1,n](R) - підгрупа в D(R), що складається з дифеоморфізмів, які зберігають орієнтацію R, мають компактний носій та залишають інваріантним образ f(M)=[1,n] функції f;

De(R) -- підгрупа в D[1,n](R), що складається з таких дифеоморфізмів p, що p(і)=і для всіх і=1,...,n;

DMR = D(M)ЧD[1,n](R).

Якщо ж P=S1 , то нехай

D+(S1) -- група дифеоморфізмів кола S1 , що зберігають його орієнтацію;

DE(S1) -- підгрупа в D+(S1), що залишає інваріантною множину {1,...,n} виключних значень f. Якщо n = 0, то DE(S1)=D+(S1);

De(S1) -- (нормальна) підгрупа в DE(S1), що залишає кожне виключне значення {1,...,n} нерухомим, а отже, DE(S1)/De(S1) є циклічною групою Zn порядку n;

DMS1 = D(M) Ч D+(S1).

Нехай

SMP( f ) = {(h, p) DMP | f = p?f ?h?1 }, OMP( f ) = {p?f ?h?1 | hDMP},



-- стабілізатор та орбіта f відносно право-лівої дії групи DMP на C?(M,P), а

SM( f ) = {hD(M) | f = f ?h?1 }, OM( f ) = {f ?h?1 | hD(M)},

- стабілізатор та орбіта f відносно дії підгрупи D(M). Тоді

SM( f ) Ч іd(P) SMP( f ), OM( f ) OMP( f ).

Наділимо простори D(M), D(P) та C?(M, P) відповідними W?_топологіями. Ці топології індукують деякі топології на стабілізаторах та орбітах f. Нехай :D(M)ЧD(P)>D(P) -- стандартна проекція.

Теорема 7.1.4. (A) Якщо P = R, то наступна послідовність групових гомоморфізмів є точною:

1 > SM( f ) > SMR ( f ) > De (R) > 1,

де друга стрілка є вкладенням, а третя -- проекцією .

(B) Нехай P = S1 , n ? 1. Покладемо S' MS1( f ) = ?1 (De(S1)). Тоді фактор-група

SMS1( f ) / S' MS1( f ) Zc

є циклічною порядку c, що ділить n, і має місце точна послідовність:

1 > SM( f ) > S' MS1( f ) > De(S1) > 1.

(C) Якщо P = S1 , n = 0, то маємо таку точну послідовність:



1 > SM( f ) > SMS1( f ) > D+(S1) > 1,

Ці послідовності завжди розщеплюються у випадках (A) та (B), а у випадку (C) -- тоді і тільки тоді, коли f :M>S1 є тривіальним розшаруванням. Оскільки групи De(R) та De(S1) є стягуваними для n?1, то у випадку (A) ми отримуємо гомеоморфізм SMR(f) SM(f) Ч De(R), а тому вкладення SM( f )SMR( f ) є гомотопічною еквівалентністю. У випадку (2) маємо, що SMS1( f ) SM( f ) Ч De(S1) Ч Zc , а тому SMS1( f ) гомотопічно еквівалентний до SM( f ) Ч Zc .

Означення 7.2.1. Критичну точку z відображення fC?(M,P) будемо називати істотною, якщо для кожного її околу U існує такий W?-окіл N функції f в C?(M,P), що кожне відображення gN має критичну точку в U.

Теорема 7.2.3. Припустимо, що f задовольняє умови (V) та (J), а кожна критична множина рівня відображення f містить або істотну критичну точку, або зв'язну компоненту межі ?M . Якщо P = R, то вкладення OM( f ) OMR( f ) продовжується до гомеоморфізму OM( f )ЧRn?2 ? OMR( f ).

Нехай P = S1, а c -- індекс підгрупи De(S1) в (SMS 1( f )),

a) Якщо n = 0, то OM( f ) = OMS1( f ).

b) Якщо n є парним, а n/c -- непарним числом, то

OM( f ) Ч (S1 Ч' Rn?1) ? OMS1( f ),

де (S1 Ч' Rn?1) -- тотальний простір єдиного нетривіального (n_1)_вимірного векторного розшарування над S1.

c) У всіх інших випадках OM( f ) Ч S1 Ч Rn?1 ? OMS1( f ).

Розділ 8 містить обчислення гомотопічних типів правих стабілізаторів та орбіт широкого класу гладких функцій на поверхнях. Нехай M -- компактна поверхня і P -- числова пряма R або коло S1. Для функції fC?(M,P) позначимо через



S(f)={hD(M) | f ? h = f }, O(f) = {f ? h | hD(M)}

-- відповідно її правий стабілізатор та праву орбіту. Також нехай Sіd(f)r (відповідно Of(f)r), r ? 0, компоненту зв'язності тотожного дифеоморфізму іdM (відповідно f) в S(f) (відповідно в O(f)) відносно топології W?.

Вивченню правої дії груп гомеоморфізмів та дифеоморфізмів компактних поверхонь M на просторах функцій, диференціальних форм та векторних полів останнім часом присвячено багато робіт. Ці питання стимульовані застосуваннями до симплектичної топології та гамільтонових систем. Питання класифікації орбіт функцій Морса та більш загальних класів функцій з ізольованими особливостями розглядаються в роботах A. В. Болсінова та А. Т. Фоменка, А. А. Ошемкова, В. В. Шарка, Є. В. Кулініча, О. О. Пришляка, С. І. Максименка, О. А. Кадубовського, Є. О. Полуляха, І. А. Юрчук та інших авторів. Підхід до класифікації, використаний в цих роботах, полягав у тому, що функціям ставилися у відповідність певні графи з додатковою інформацією і ці графи повністю описували орбіти відповідного класу функцій.

Відповідність між потоками та функціями Морса на поверхнях досліджено в роботах Д. П. Личака та О. О. Пришляка.

В роботах K. Іkegamі, O. Saekі, та B. Kalmar обчислено групи кобордизмів функцій Морса на компактних поверхнях.

Природно постають питання про вищі гомотопічні групи простору функцій Морса на поверхнях. В статті О. О. Кудрявцевої та Д. А. Пермякова доведено, що цей простір гомотопічно еквівалентний деякому «більш простому» простору «оснащених» функцій.

В розділі 8 обчислено гомотопічні типи Sіd(f)? та Of(f)?. В підрозділі 8.1 вводяться спеціальні типи критичних точок S, P і N гладких функцій на поверхнях та досліджуються їх властивості.

Зокрема, нехай f:R2 > R -- однорідний многочлен степеня ? 2. Припустимо також, що він не має кратних множників. У цьому випадку початок координат 0R2 є його єдиною критичною точкою. При цьому 0 є S-точкою, якщо f має лінійні множники, P-точкою, якщо f є незвідною над R квадратичною формою, і N-точкою, якщо f є добутком більше ніж двох квадратичних форм. В першому випадку 0 є сідлом, в другому -- невиродженим екстремумом і в третьому -- виродженим локальним екстремумом. (лема 8.1.9).

В підрозділі 8.2 вводяться три аксіоми (А1)-(А3) для функції f:M>P:

(A1)f приймає постійні значення на кожній зв'язній компоненті ?M, а множина її критичних точок Уf міститься в ІntM.

(A2)Кожна критична точка f є або S- або P-, або N-точкою.

(A3)Відображення p : D(M) > O(f), визначене за формулою p(h) = f ? h є розшаруванням Серра з шаром S(f ) у відповідних топологіях W?, тобто задовольняє аксіому про підняття гомотопій для CW-комплексів.

Теорема 8.2.1. Припустимо, що f : M > P задовольняє аксіоми (A1) і (A2). Тоді Sіd(f)? = · · · = Sіd(f )2 = Sіd(f)1. Простір Sіd(f)? є стягуваним тоді і тільки тоді, коли виконана одна з наступних умов:

f має хоча б одну критичну точку типу S або N;

M є неорієнтовною.

У всіх інших випадках Sіd(f) є гомотопічно еквівалентним до кола S1.

Теорема 8.2.2. 1) Припустимо, що f : M > P задовольняє аксіоми (A1)-(A3) і має хоча б одну S-точку. Тоді і Of(f) = іM для і ? 3, 2 Of (f) = 0, а для 1Of(f) ми маємо наступну точну послідовність:

1 > 1 D(M) Zk > 1Of(f) > G > 1,

де G -- деяка скінченна група і k ? 0.

...