Деформації уздовж орбіт потоків та їх застосування

2) Нехай f -- функція загального положення, тобто на кожному критичному рівні існує всього одна критична точка. Тоді група G в попередній формулі є одиничною, а тому 1Of(f)? 1D(M)Zk. Зокрема, ця група є абелевою групою.

Припустимо, що MS2, RP2. Тоді Of(f) має гомотопічний тип m-тора Tm = S1 Ч · · · Ч S1, де m=k+2, якщо M=T2, m=k+1, якщо M = D2, S1ЧІ, або стрічка Мебіуса, і m=k, якщо ейлерова характеристика (M)<0.

В останньому, розділі 9, даємо нове доведення теореми класифікації компонент зв'язності простору функцій Морса на поверхнях. С. В. Матвєєв та В. В. Шарко (1998) незалежно отримали класифікацію компонент зв'язності простору функцій Морса на компактних поверхнях, які приймають значення в числовій прямій і є постійними на кожній компоненті зв'язності поверхні. В своїй кандидатській дисертації дисертант дав класифікацію компонент зв'язності простору морсівських відображень з орієнтовних компактних поверхонь в коло. В розділі 9 також розглядається більш широкий клас функцій.

Нехай M -- гладка зв'язна компактна поверхня з можливо порожньою межею ?M і P -- одновимірний многовид, тобто або числова пряма R, або коло S1. Нехай M(M,P) -- підмножина в C?(M,P), що складається з відображень f:M>P таких, що всі критичні точки f є невиродженими (тобто f є морсівським) і належать до внутрішності M.

Нехай далі M?(M,P) M(M, P) -- підмножина, що складається з відображень f : M > P таких, що f приймає постійні значення на зв'язних компонентах межі ?M.

Якщо P = S1, то нехай Mcov (M,S1) M(M, P) -- підмножина, яка складається з таких відображень f : M > S1 , що для кожної зв'язної компоненти V межі ?M обмеження f на V є або постійним, або накриваючим відображенням. Таким чином, M?(M,S1) Mcov (M,S1).

Нехай f M?(M,P) або Mcov (M,S1). Позначимо через cі(f) =cі, і=0,1,2, число критичних точок f індексу і. Тоді має місце рівність Морса:

c0(f ) + c1(f ) ? c2(f) = ч(M)

Нехай далі V -- така компонента зв'язності межі ?M , що f приймає на ній постійне значення, zV, і TzM -- дотичний вектор в точці z, направлений назовні поверхні M. Позначимо через (f,V) знак числа df (z) . Оскільки f не має критичних точок на V, то (f,V)=±1 і не залежить від вибору точки zV та вектора TzM, як вище. Назвемо V -- f_додатною або f_від'ємною в залежності від знаку (f,V).

Припустимо, що f, g Mcov (M,S1) гомотопні, якщо їх розглядати просто як неперервні відображення, і нехай V -- компонента межі ?M. Тоді степені відображень f |V , g|V : V > S1 співпадають. Зокрема, якщо f приймає на V постійне значення, то g також постійне на V.

Теорема 9.1.3. Нехай X = M?(M,P) або Mcov (M,S1) але M є орієнтовною. Два відображення Морса f, g X належать одній компоненті зв'язності простору X тоді і тільки тоді, коли виконуються наступні три умови:

f та g гомотопні як неперервні відображення (для випадку P = R ця умова тривіально виконується);

cі(f ) = cі(g) для і = 0, 1, 2;

(f,V) = (g,V) для кожної компоненти V межі ?M, на якій f та g приймають постійне значення.

Доведення цієї теореми спочатку зводиться до випадку, коли g = f ? h, де h -- дифеоморфізм M, і f має спеціальний «канонічний» вид. Зручно говорити, що дифеоморфізм h є f_допустимим якщо f та f ? h належать одній компоненті зв'язності простору X. Використовуючи спеціальний вигляд f, вибираємо певну систему твірних групи гомеотопій MCG(M) після чого показуємо, що у випадку P=R всі ці твірні є f -допустимими. Цим теорема 9.1.3 для даного випадку буде доведена. Якщо ж P=S1, а M є орієнтовною і f не гомотопне нулю, то одна з твірних принципово не може бути f-допустимою. Але використовуючи припущення про те, що f та f ?h є гомотопними в X, задача зводиться до випадку, коли h тривіально діє на групі гомологій H1(M, ?M), тобто h належить до групи Тореллі поверхні M. Твірні цієї групи добре відомі і це дозволяє встановити гомотопність f та f ? h в X.

ВИСНОВКИ

В даній дисертаційній роботі вивчалось відображення зсуву уздовж орбіт векторного поля та його застосування до опису гомотопічного типу деяких нескінченновимірних просторів. Зокрема,

описано структуру множини функцій періоду для неперервних потоків на компактних многовидах;

для широкого класу векторних полів на компактних многовидах доведено стягуваність компонент зв'язності груп дифеоморфізмів, що залишають інваріантними орбіти таких полів;

для широкого класу гладких функцій на компактних многовидах зі значеннями в числовій прямій або колі встановлено гомотопічну еквівалентність правих та право-лівих стабілізаторів, а також відповідних правих та право-лівих орбіт;

для широкого класу гладких функцій з ізольованими критичними точками на компактних поверхнях описано гомотопічні типи правих стабілізаторів та орбіт;

отримано нове доведення класифікації компонент зв'язності простору відображень Морса з компактних поверхонь в пряму та коло;

отримано класифікацію компонент простору відображень Морса з орієнтовної поверхні в коло, обмеження яких на межу є або постійним, або накриваючим.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Maksymenko S. Smooth shіfts along flows / S. Maksymenko // Тези доповідей 4-ї міжнародної конференції з геометрії і топології, (м. Черкаси). - 2001. - P. 59-60.

2. Максименко C. Сечения действий групп Ли и теорема М. Ньюмана / C. Максименко. - Фундаментальная математика сегодня. К десятилетию НМУ. - Москва: НМУ, МЦНМО, 2003. - С. 246-258.

3. Maksymenko Sergіy. Smooth shіfts along trajectorіes of flows / S. Maksymenko // Topology Appl. - 2003. - Vol. 130, no. 2. - P. 183_204.

4. Maksymenko S. Homotopy types of orbіts of Morse functіons on surfaces / S. Maksymenko // Тези доповідей міжнародної конференції "Geometrіc topology: іnfіnіte-dіmensіonal topology, absolute extensors, applіcatіons", (м. Львів). - 2004. - P. 37.

5. Максименко C. Стабілізатори та орбіти гладких функцій відносно правої та право-лівої дій / C. Максименко // Тези доповідей міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2005", (м. Одеса). - 2005. - С. 72-73.

6. Maksymenko S. Path-components of Morse mappіngs spaces of surfaces / S. Maksymenko // Comment. Math. Helv. - 2005. - Vol. 80, no. 3. - P. 655-690.

7. Maksymenko S. Consecutіve shіfts along orbіts of vector fіelds / S. Maksymenko. - Folіatіons 2005. - World Scі. Publ., Hackensack, NJ, 2006. - P. 327-340.

8. Maksymenko S. Homotopy types of stabіlіzers and orbіts of Morse functіons on surfaces / S. Maksymenko // Ann. Global Anal. Geom. - 2006. - Vol. 29, no. 3. - P. 241-285.

9. Maksymenko S. Stabіlіzers and orbіts of smooth functіons / S. Maksymenko // Bull. Scі. Math. - 2006. - Vol. 130, no. 4. - P. 279_311.

10. Власенко І. Ю. Топологические методы в изучении групп преобразований многообразий / І. Ю. Власенко, С. І. Максименко, Е. А. Полулях. - Праці Інституту математики НАН України. - Київ: Ін-т математики НАН України, 2006. - С. 363.

11. Максименко C. Гамільтонові векторні поля однорідних многочленів двох змінних / C. Максименко // Проблеми топології та суміжні питання, Праці Інституту математики НАН України. - 2006. - Т. 3, № 3. - С. 269-308.

12. Maksymenko S. Dіffeomorphіsms preservіng orbіts of Hamіltonіan vector fіelds on surfaces / S. Maksymenko // Тези доповідей міжнародної конференції "Боголюбівські читання" присвяченої 90_річчю з дня народження Ю. О. Митропольського, (м. Київ). - 2007. - С. 33.

13. Maksymenko S. Functіons wіth іsolates sіngularіtіes of surfaces / S. Maksymenko // Тези доповідей міжнародної конференції "Analysіs & Topology", (м. Львів). - 2008. - С. 39_40.

14. Maksymenko Sergіy. Homotopy dіmensіon of orbіts of Morse functіons on surfaces / S. Maksymenko // Travaux Mathematіques. - 2008. - Vol. 18. - P. 39-44.

15. Maksymenko S. Jets of orbіt preservіng dіfeomorphіsms for sіngularіtіes of vector fіelds / S. Maksymenko.- Тези доповідей міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008", (м. Одеса) - 2008. - P. 187_188.

16. Maksymenko Sergіy. Connected components of partіtіon preservіng dіffeomorphіsms / S. Maksymenko // Methods Funct. Anal. Topology. - 2009. - Vol. 15, no. 3. - P. 264-279.

17. Maksymenko S. Path components of certaіn dіffeomorphіsm groups wіth respect to dіstіnct Whіtney topologіes / S. Maksymenko // Тези доповідей міжнародної конференції "Іnfіnіte dіmensіonal analysіs and topology", (м. Львів). - 2009. - P. 91.

18. Maksymenko S. Path components of certain diffeomorphism groups with respect to distinct Whitney topologies / S. Maksymenko. - Book of abstracts of Conference on Algebraіc Topology CAT'09, (Warszawa, Poland). - 2009. - P. 20_21.

19. Maksymenko S. Path components of certain groups of orbit preserving diffeomorphisms / S. Maksymenko // Тезисы докладов Международной конференции "Геометрия и топология в целом", посвященной 90_летию со дня рождения А. В. Погорелова, (г. Харьков). - 2009. - С. 61_62.

20. Maksymenko S. Reparametrіzatіon of vector fіelds and theіr shіft maps / S. Maksymenko // Геометрія, топологія та їх застосування, Праці Інституту математики НАН України. - 2009. - Т. 6, № 2. - С. 489_498.

21. Maksymenko S. ?-jets of dіffeomorphіsms preservіng orbіts of vector fіelds / S. Maksymenko // Cent. Eur. J. Math. - 2009. - Vol. 7, no. 2. - P. 272_298.

22. Максименко C. Функції з однорідними особливостями на поверхнях / C. Максименко // Доповіді НАН України. - 2009. - Т. 8. - С. 20_23.

23. Maksymenko S. І. Symmetrіes of degenerate center sіngularіtіes of plane vector fіelds / S. І. Maksymenko // Нелінійні коливання. - 2009. - Т. 12, № 4. - С. 507_526.

24. Maksymenko S. Deformatіons of cіrcle-valued Morse functіons on surfaces / S. Maksymenko // Укр. мат. журн. - 2010. - Т. 62, № 10. - С. 1360_1366.

25. Maksymenko S. Functіons on surfaces and іncompressіble subsurfaces / S. Maksymenko // Methods Funct. Anal. Topology. - 2010. - Vol. 16, no. 2. - P. 167_182.

26. Maksymenko S. Functіons wіth іsolated sіngularіtіes on surfaces / S. Maksymenko // Геометрія та топологія функцій на многовидах. Праці Інституту математики НАН України. - 2010. - Т. 7, № 4. - С. 7_66.

27. Maksymenko S. Kernel of a map of a shіft along the orbіts of contіnuous flows / Sergіy Maksymenko // Укр. мат. журн. - 2010. - Т. 62, № 5. - С. 651-659.

28. Maksymenko S. Perіod functіons for C0 and C1 flows / S. Maksymenko // Укр. мат. журн. - 2010. - Т. 62, № 7. - С. 954-967.

29. Maksymenko S. І. Symmetrіes of center sіngularіtіes of plane vector fіelds / S. І. Maksymenko // Нелінійні коливання. - 2010. - Т. 13, № 2. - С. 177-205.

АНОТАЦІЇ

Максименко С. І. Деформації уздовж орбіт потоків та їх застосування. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 - геометрія та топологія. - Інститут математики НАН України, Київ, 2011.

Дисертація присвячена дослідженню гладких відображень, що залишають інваріантними орбіти потоків на многовидах. Нехай M --многовид, F -- потік на ньому і h:MM -- відображення, що залишає інваріантною кожну орбіту F. Тоді для кожної точки x можна визначити час th(x) між x та h(x) уздовж траєкторії цієї точки. Цей час визначається однозначно тільки для неперіодичних точок, для періодичних -- він встановлюється з точністю до цілочисленного кратного періоду точки x, а для нерухомих точок в якості th(x) можна взяти довільне число. Головний технічний результат дисертаційної роботи полягає в тому, що при певних умовах на F та h, час th(x) можна зробити гладкою функцією на M, а відповідність hth -- неперервною відносно C?-топологій. Це дозволяє для широкого класу векторних полів на компактних многовидах довести стягуваність компонент зв'язності груп дифеоморфізмів, що залишають інваріантними орбіти таких полів.

В якості застосування цього результату для широкого класу гладких функцій на компактних многовидах зі значеннями в числовій прямій або колі встановлено гомотопічну еквівалентність правих та право-лівих стабілізаторів, а також відповідних правих та право-лівих орбіт. Крім того для широкого класу гладких функцій з ізольованими критичними точками на компактних поверхнях описано гомотопічні типи правих стабілізаторів та орбіт. В дисертації також отримано нове доведення для класифікації компонент зв'язності простору відображень Морса з компактних поверхонь в пряму та коло та проведено класифікацію компонент зв'язності простору відображень Морса з орієнтовної поверхні в коло, обмеження яких на межу є або постійним, або накриваючим.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані як в математичних дослідженнях, так і в фізиці, біології та інших науках, де виникають динамічні системи та теорія особливостей.

Ключові слова: потік, гомотопічний тип, відображення Морса.

Максименко С. И. Деформации вдоль орбит потоков и их применения. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.04 -геометрия и топология. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2011.

Диссертация посвящена исследованию гладких отображений, которые оставляют инвариантными орбиты потоков на многообразиях. Для широкого класса векторных полей на компактных многообразиях доказана стягиваемость компонент связности групп диффеоморфизмов, оставляющих инвариантными орбиты таких полей.

В качестве применения этого результата для широкого класса гладких функций на компактных многообразиях со значениями в прямой или окружности доказано гомотопическую эквивалентность правых и право-левых стабилизаторов, а также соответствующих правых и право-левых орбит. Кроме того, для широкого класса гладких функций с изолированными критическими точками на компактных поверхностях описаны гомотопические типы их правых стабилизаторов и орбит. В диссертации также получено новое доказательство для классификации компонент связности пространства отображений Морса из компактных поверхностей в прямую и окружность.

Ключевые слова: поток, гомотопический тип, отображение Морса.

Maksymenko S. I. Deformations along orbits of flows and their applications. - Manuscript.

Thesis for habilitate doctor degree in physics and mathematics by specialty 01.01.04 - geometry and topology. - Institute of mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2011.

The thesis is devoted to study of smooth maps which leave invariant orbits of flows on manifolds. It is proved that for a large class of vector fields on compact manifolds to prove contractibility of path components of diffeomorphisms groups preserving orbits of such vector fields.

As an application for a large class of smooth functions on compact manifolds with values in the real line or a circle it is proved that the corresponding right and right-left stabilizers, as well as the corresponding right and left-right orbits are homotopy equivalent.

Moreover, for a large class of smooth functions with isolated singularities of compact surfaces we calculated the homotopy types of right stabilizers and right orbits. Also in the thesis it is obtained a new proof of the classification of the path components space of Morse maps from compact surfaces to the real line and to the circle.

Keywords: flow, homotopy type, Morse map.

Размещено на Allbest.ru