Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 517.984.54

01.01.01 - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ОБЕРНЕНА СПЕКТРАЛЬНА ЗАДАЧА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛІУВІЛЛЯ НА ВІДРІЗКУ З МАТРИЧНОЗНАЧНИМ ПОТЕНЦІАЛОМ

Сущик Наталія Степанівна

Львів 2011

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичного і функціонального аналізу Львівського національного університету імені Івана Франка

Науковий керівник:

кандидат фізико-математичних наук, доцент Микитюк Ярослав Володимирович, доцент кафедри математичного і функціонального аналізу Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Черемних Євген Васильович, професор кафедри вищої математики Національного університету "Львівська політехніка"

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Молибога Володимир Миколайович, старший науковий співробітник відділу нелінійного аналізу Інституту математики НАН України

Захист відбудеться 15 вересня 2011 р. о год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.35.051.18 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5)

Автореферат розіслано 28 липня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Фединяк С. І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

матричний оператор потенціал

Актуальність теми. Обернені спектральні задачі для класу диференціальних операторів полягають у знаходженні спектральних характеристик оператора в які однозначно визначають оператор а також у знаходженні ефективного методу відновлення оператора за цими спектральними характеристиками.

Обернені спектральні задачі є важливим розділом теорії операторів, основи якого заклали такі видатні математики як І. М. Гельфанд, М. Г. Крейн, В. О. Марченко, Б. М. Левітан, Л. Д. Фаддєєв.

Оператори Штурма-Ліувілля з матричними потенціалами моделюють еволюцію різноманітних вібраційних систем, квантових мереж, графів. Порівняно зі скалярним випадком матричний випадок є значно складнішим і менш вивченим. Проте впродовж останніх десяти років оператори Штурма-Ліувілля з матричними потенціалами привертають все більшу увагу і для їх вивчення запропоновано різні підходи. Зокрема, вагомі результати в області прямих та обернених спектральних задач отримали такі визнані спеціалісти зі спектральної теорії як Ф. Гестезі і співавтори, Є. Л. Коротяєв і Д. С. Челкак, Р. Карлсон, М. Йодейт і Б. М. Левітан, М. М. Маламуд, B. А. Юрко та ін., що свідчить про актуальність даної теми.

Дисертаційна робота присвячена вивченню оберненої спектральної задачі для операторів Штурма-Ліувілля на відрізку з матричними потенціалами. Найближчими до даної роботи як за постановкою задачі, так і за характером результатів, є статті Є. Л. Коротяєва і Д. С. Челкака "Parametrization of the isospectral set for the vector-valued Sturm-Liouville problem" [КЧ1] та "Weyl-Titchmarsh functions of vector-valued Sturm-Liouville operators on the unit interval" [КЧ2], опубліковані в "Journal of Functional analysis" у 2006 та 2009 роках відповідно. На початку дослідження планувалося використати розроблений у статті [КЧ1] метод ізоспектральної трансформації. Однак цього виявилося недостатньо і для досягнення поставленої мети потрібно було знайти більш відповідні засоби. Таким засобом став метод акселерант Крейна, розвинутий М. Г. Крейном у 50-тих роках минулого століття. Метод акселерант Крейна є менш вживаним, ніж метод Гельфанда-Левітана. Зокрема, це підтверджує відома монографія К. Шадана і П. Сабатьє "Обратные задачи в квантовой теории рассеяния" (1980). Проте у ряді задач метод акселерант Крейна надає більші можливості, оскільки (на відміну від методу Гельфанда-Левітана) вимагає меншої гладкості потенціалу. Використовуючи метод акселерант Крейна, вдалося у повному обсязі розв'язати обернену спектральну задачу для операторів Штурма-Ліувілля на відрізку з матричними потенціалами Міури з простору Соболєва . Подано повний опис спектральних даних і запропоновано ефективний метод відновлення операторів за цими даними. Отримані результати добре узгоджуються з результатами роботи Є. Л. Коротяєва і Д. С. Челкака [КЧ2], в якій розглянуто обернену спектральну задачу для операторів Штурма-Ліувілля на відрізку з матричними потенціалами із простору . Проте в [КЧ2] автори використали метод, який принципово відрізняється від методу акселерант Крейна, а саме, підхід Трубовіца і співавторів. При певних додаткових обмеженнях на потенціали з простору Є. Л. Коротяєв і Д. С. Челкак отримали повний опис спектральних даних для відповідного класу операторів Штурма-Ліувілля. Віддаючи належне підходу Трубовіца та співавторів і не применшуючи важливості результатів робіт [КЧ1], [КЧ2], вважаємо, що у даному випадку метод акселерант Крейна є більш природним і ефективним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою наукових досліджень, які проводяться в галузі математики у Львівському національному університеті імені Івана Франка. Матеріал дисертації є складовою частиною досліджень, проведених за держбюджетними темами: МА-43 Ф "Мероморфні та субгармонійні функції в неоднозв'язних областях і теорія збурень лінійних операторів" (номер державної реєстрації 0160U001282), МА-43 Ф "Аналітико-групові методи в теоріях збурень операторів, динамічних систем, розподілу значень мероморфних функцій" (державний реєстраційний номер 0106U001282) та Мa-09 Ф "Нові методи у комплексному аналізі, теоріях динамічних систем, спектральних задач та задач розсіяння" (державний реєстраційний номер 0109U002065).

Мета і задачі дослідження.

Мета даної роботи полягає у тому, щоб дати повний опис множини спектральних даних операторів Штурма-Ліувілля на відрізку з матричнозначними потенціалами із простору Соболєва і подати ефективний метод відновлення потенціалів за спектральними даними.

Об'єктом дослідження є оператори Штурма-Ліувілля з матричнозначними потенціалами.

Предметом дослідження є прямі та обернені спектральні задачі для матричного оператора Штурма-Ліувілля на відрізку.

Методи досліджень. Використовуються методи функціонального аналізу та теорії аналітичних функцій.

Наукова новизна одержаних результатів.

Усі отримані в дисертації наукові результати є новими. У роботі вперше:

* отримано повний опис спектральних даних для класу самоспряжених операторів Штурма-Ліувілля на відрізку з матричнозначними потенціалами з класу Міури ;

* описано алгоритм відновлення матричного потенціалу оператора за його спектральними даними;

* знайдено асимптотику нулів цілих функцій типу синус, що діють у банаховій алгебрі;

* подано зображення розв'язків задач Коші для рівняння Штурма-Ліувілля з потенціалом, що набуває значення у банаховій алгебрі;

* вивчено зв'язок між акселерантами і спектральними мірами операторів Штурма-Ліувілля з класу .

Практичне значення одержаних результатів.

Отримані в дисертаційній роботі результати мають теоретичний характер. Вони можуть застосовуватись у дослідженнях із спектральної теорії диференціальних операторів. Ці результати можуть бути використані в наукових дослідженнях, які проводяться у Львівському національному університеті імені Івана Франка, Інституті математики НАН Укрaїни та інших наукових закладах.

Особистий внесок здобувача.

Основні результати, наведені в дисертації, отримані самостійно. Науковому керівнику належать постановка задачі і загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на:

- дванадцятій міжнародній науковій конференції імені акад. М. Кравчука (м. Київ, 15-17 травня 2008 року);

- міжнародній конференції "Аналіз і топологія" (м. Львів, 26 травня- 7 червня 2008 року);

- міжнародній конференції "Нескінченновимірний аналіз і топологія" (Івано-Франківськ, Яремче, 27 травня-1 червня 2009 року);

- українському математичному конгресі - 2009 (до 100-річчя від дня народження М. Боголюбова) (м. Київ, 27-29 серпня 2009 року);

- міжвузівському семінарі з функціонального аналізу імені проф. В. Е. Лянце Львівського національного університету імені Івана Франка (керівник проф. О. Г. Сторож, м. Львів);

- міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій Львівського національного університету імені Івана Франка (керівники проф. О. Б. Скасків та проф. А. А. Кондратюк, м. Львів).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 8 наукових працях, 4 з яких у фахових виданнях із переліку ВАК України та 4 у матеріалах наукових математичних конференцій.

Структура та об'єм роботи.

Дисертація складається зі списку позначень, вступу, шести розділів, розбитих на підрозділи, висновку та списку використаних джерел. Повний об'єм роботи - 117 сторінок. Список використаних джерел включає 61 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дисертаційної роботи подано загальну характеристику роботи, обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та теоретичне значення проведених досліджень.

У першому розділі подано огляд літератури за темою проведених досліджень, викладено допоміжні поняття та теореми, що пов'язані з темою дисертації. Також сформульовано основні напрямки і результати досліджень.

Нехай - банахова алгебра квадратних матриць з комплексними коефіцієнтами. Алгебру ототожнюємо з банаховою алгеброю лінійних операторів і наділяємо стандартною нормою. Через позначаємо одиничний елемент в , а через - множину всіх таких, що . Для зручності вживаємо скорочення

для відповідних просторів Соболєва, а також скорочення

Нехай - банахова алгебра з одиницею і . Позначимо через множину всіх сильно вимірних функцій , для яких відображення

є неперервними на відрізку .

Покладемо і позначимо через підпростір в , що складається з тих , для яких майже скрізь на . Множина стає банаховим простором, якщо норму в ній визначити наступним чином:

Для довільного розглянемо диференціальний вираз

на області визначення

Функцію прийнято називати квазіпохідною функції .

Позначимо через i звуження на області визначення

відповідно. Тут і далі

.

Диференціальний вираз (на відміну від ) можна переписати у звичній потенціальній формі. А власне, розглянемо відображення Міури

і клас (ермітових) потенціалів Міури

Показано, що для довільних i

де похідну та добуток слід розуміти в сенсі теорії розподілів.

Для та розглянемо оператори i , що діють в за формулами

Дисертаційна робота присвячена вивченню спектральних властивостей операторів та при i . У цьому випадку оператори i є самоспряженими, причому i . Їхні спектри i складаються зі зліченної кількості ізольованих власних значень з точкою накопичення ; більше того, .

Нехай i . Позначимо через та матричнозначні розв'язки задач Коші

(1)

(2)

Розв'язки та пов'язані співвідношеннями

і допускають зображення у вигляді

(3)

де матричнозначні ядра i належать алгебрі . Рівності (3) однозначно визначають i у класі .

Нехай тепер i . Позначимо через квадратні корені власних значень оператора , що занумеровані в порядку зростання; тоді

Одним із центральних об'єктів у роботі є матричнозначна функція Вейля-Тітчмарша

Функція є функцією Герглотца (тобто при ), яка мероморфна в причому множина є множиною її полюсів. Покладемо за означенням

Матрицю при (відповідно при ) будемо називати нормівним множником оператора (відповідно оператора ), що відповідає власному значенню . Зауважимо, що кратність власного значення оператора чи рівна .

Виявляється, що послідовність залежить лише від функції . Враховуючи це, назвемо послідовності i послідовностями спектральних даних, а матричнозначні міри

- спектральними мірами операторів i відповідно. Тут - дельта-міра Дірака, яка зосереджена у точці . Зокрема, якщо , то

Мета дисертаційної роботи полягає у тому, щоб дати повний опис класів та спектральних даних, а також подати ефективний метод відновлення функцій та за мірами та відповідно. Зауважимо, що опис класів та є рівносильний опису класів мір та .

Формулювання основних результатів почнемо з опису спектральних даних. Домовимося через (відп. ) позначати довільну послідовність (відп. ), в якій - строго зростаюча послідовність невід'ємних чисел, а - ненульові матриці в . Через та позначимо міри, що задані формулами

(4)

Розіб'ємо піввісь на попарно неперетинні інтервали

Повний опис класів та дають наступні дві теореми.

Теорема 1.1. Для того, щоб послідовність належала до класу , необхідно і досить, щоб були виконані умови

()

()

() система функцій є повною у просторі .

Теорема 1.2. Для того, щоб послідовність належала до класу , необхідно і досить, щоб були виконані умови , і умова () система функцій є повною у просторі .

У розділі 2 знайдено асимптотику особливих точок матричнозначної функції типу синус. У підрозділі 2.1 досліджено поведінку нулів цілих функцій типу синус зі значеннями в абстрактній банаховій алгебрі.

Нехай - банахова алгебра з одиницею і нормою . Домовимося через позначати клас усіх цілих функцій , що діють за формулою

де .

Нехай - перетворення Фур'є функції і . Для довільного через позначимо множину всіх тих , для яких перетин є одноелементною множиною.

Теорема 2.1. Нехай , , і

Тоді множина є скінченною і справедлива наступна асимптотика нулів функції :

Наслідок 2.1. Нехай і , . Тоді

Використовуючи отриманий результат, у підрозділі 2.2 знайдено асимптотику особливих точок матричнозначної цілої функції , що задана формулою

Теорема 2.2. Множину нулів функції , можна занумерувати (з урахуванням їх кратності) числами таким чином, що для відповідної їх послідовності справедлива наступна асимптотика:

де послідовності належать .

Для функції розглянемо диференціальний вираз Штурма-Ліувілля

на області визначення де - простір Соболєва.

У розділі 3 розглянуто на проміжку задачі Коші

(5)

(6)

де . Позначимо через і розв'язки задач (5) та (6) відповідно. Основним результатом розділу є

Теорема 3.1. Нехай . Тоді

1) для кожного існує єдина пара елементів з алгебри така, що для довільного

2) неперервними є відображення

Розділ 4 присвячений акселерантам Крейна.

Означення. Функцію назвемо акселерантою, якщо вона є парною (тобто ) i для кожного інтегральне рівняння

має у просторі лише нульовий розв'язок. Множину всіx акселерант позначимо через i наділимо метрикою простору . Через позначимо множину всіх ермітових акселерант в .

З кожною акселерантою пов'яжемо деяку функцію наступним чином. Відомо, що рівняння Крейна

(7)

має у класі єдиний розв'язок . Визначимо відображення за формулою

(8)

У підрозділі 4.1 встановлено зв'язок між функціями та .

Теорема 4.1. Нехай , i . Тоді

де i та ядра з формул (3).

У підрозділі 4.2 описано властивості відображення .

Теорема 4.2. Відображення є гомеоморфізмом між метричними просторами та . Більше того, якщо , то i .

У розділі 5 розв'язано пряму спектральну задачу. Зокрема, у підрозділі 5.1 встановлено базові властивості операторів i , а також побудовано їхні резольвенти та розклади одиниці.

Теорема 5.1. Нехай i . Тоді справедливі наступні твердження:

1. Оператори i є самоспряженими, причому i .

2. Спектри i складаються з ізольованих власних значень і



3. Нехай i відп. ортопроектор на власний підпростір відп. , тоді

4. Нормівні множники задовольняють співвідношення i , . Більше того, нехай i оператори, які діють з в за формулами

тоді для i маємо, що

5. Якщо i , то i для .

Використовуючи результати теорем 2.2 та 5.1, у підрозділі 5.2 знайдено асимптотику власних значень та нормівних множників оператора у випадку .

Теорема 5.2. Нехай . Тоді для послідовності виконується умова .

У підрозділі 5.3 встановлено формулу, яка пов'язує функцію Вейля-Тітчмарша i міру .

Твердження 5.1. Нехай . Тоді є функцією Герглотца і

І, накінець, у підрозділі 5.4. доведено необхідність у теоремах 1.1 та 1.2.

Обернена спектральна задача розглядається у розділі 6. У підрозділі 6.1 показано як спектральна міра оператора породжує акселеранту Крейна.

Теорема 6.1. Нехай послідовність задовольняє умову i . Тоді границя

(9)

існує за нормою простору . Зокрема, якщо виконана умова , то функція належить до простору .

У підрозділі 6.2 завершено доведення теорем 1.1 та 1.2.

У підрозділі 6.3 встановлено зв'язок між класами i .

Твердження 6.1. Нехай i . Тоді

За означенням кожна послідовність (кожна послідовність ) є послідовністю спектральних даних оператора з (оператора з ). Доведено, що спектральні дані визначають матричнозначні функції i однозначно.

Теорема 6.2. Відображення та є бієктивними.

Показано яким чином можна використати акселеранти для відновлення та

Теорема 6.3.

1. Нехай i - спектральні дані оператора . Покладемо ; тоді .

2. Нехай i - спектральні дані оператора .

Покладемо

i ;

тоді .

Із теорем 4.2 та 6.3 випливає наступне твердження.

Твердження 6.1. Для довільного відображення гомеоморфно відображає на .

Згідно з теоремою 6.3 процедура відновлення функції виглядає наступним чином. Нехай . За формулою (4) будуємо міру і за допомогою (9) визначаємо акселеранту . Розв'язуючи рівняння Крейна (7), знаходимо ядро , за допомогою якого отримуємо за формулою (8). Оскільки матричний оператор Штурма-Ліувілля має спектральні дані , то побудована таким чином є шуканою матричною функцією. Для наочності процес відновлення можна зобразити у вигляді наступної діаграми:

У цій діаграмі через позначено крок з номером . Кроки , і є тривіальними. Крок є основним i нетривіальним.

Подібно виглядає процедура відновлення функції . А власне, нехай , тоді відповідний потенціал можна знайти, виконуючи послідовні кроки відповідно до діаграми

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вивчається обернена спектральна задача для матричних операторів Штурма-Ліувілля на відрізку з сингулярними потенціалами.

Основним результатом роботи є повний розв'язок оберненої спектральної задачі для вказаних операторів. Це означає, що:

1) дано повний опис множини спектральних даних самоспряжених операторів Штурма-Ліувілля на відрізку з сингулярними матричнозначними потенціалами Міури з простору Соболєва ;

2) запропоновано ефективну процедуру відновлення потенціалу оператора за його спектральними даними, що базується на методі акселерант Крейна.

Окремими важливими здобутками дослідження також є:

a) знаходження асимптотики нулів цілих функцій типу синус, що діють у банаховій алгебрі;

b) знаходження асимптотики особливих точок матричнозначних функцій типу синус;

c) опис властивостей операторів перетворення для матричного оператора Штурма-Ліувілля на відрізку.

Основним інструментом дослідження є метод акселерант Крейна. Разом з ним у роботі активно використовуються оператори перетворення для операторів Штурма-Ліувілля, а також теорія факторизації фредгольмових операторів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Trush N. S. Asymptotics of singular values of entire matrix-valued sine-type functions / N. S. Trush // Mat. Stud. - 2008. - Vol. 30. - P. 95-97.

2. Микитюк Я. В. Асимптотика нулів цілих функцій типу синус, що діють у банаховій алгебрі / Я. В. Микитюк, Н. С. Труш // Вісник НТШ. - 2007. - Т. 4. - C. 214-219.

3. Trush N. S. Solutions of the Cauchy problem for factorized Sturm-Liouville equation in a Banach algebra / N. S. Trush // Mat. Stud. - 2008. - Vol. 31. - P. 75-82.

4. Mykytyuk Ya. V. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with matrix-valued potentials / Ya. V. Mykytyuk, N. S. Trush // Inverse problems. - 2010. - Vol. 26, no. 1. - 015009 pp.

5. Труш Н. С. Асимптотика особливих точок цілої матричнозначної функції типу синус / Н. С. Труш // Дванадцята міжнародна наукова конференція імені акад. М. Кравчука, 15-17 травня 2008 р.: тези доповідей. - Київ, 2008. - С. 826.

6. Труш Н. С. Рівняння Крейна та оператори перетворення / Н. С. Труш // Міжнародна конференція “Аналіз і топологія”, 26 травня-7 червня 2008 р.: тези доповідей. - Львів, 2008. - C. 104-105.

7. Trush N. S. The Krein equation and canonical differential systems / N. S. Trush // Infinite analysis and topology, 27 May - 1 June, 2009: book of abstracts. - Ivano-Frankivsk, 2009. - P. 145-146.

8. Trush N. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with matrix-valued potentials / N. Trush // Ukrainian Mathematical Congress - 2009, August 27-29, 2009. - Kiev, 2009. - http://www.imath.kiev.ua/ congress2009/Abstracts/Trush.pdf.

АНОТАЦІЯ

Сущик Н. С. Обернена спектральна задача для оператора Штурма-Ліувілля на відрізку з матричнозначним потенціалом. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2011.

У дисертації дано повний опис множини спектральних даних самоспряжених операторів Штурма-Ліувілля на відрізку з матричнозначними потенціалами із простору Соболєва . Запропоновано процедуру відновлення потенціалу за спектральними даними, що базується на методі акселерант Крейна.

Ключові слова: оператори Штурма-Ліувілля, матричнозначний потенціал, акселеранти Крейна.

АННОТАЦИЯ

Сущик Н. С. Обратная спектральная задача для оператора Штурма-Лиувилля на интервале с матричнозначным потенциалом. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2011.

В диссертации представлено полное описание множества спектральных данных для самосопряженных операторов Штурма-Лиувилля на интервале с матричнозначными потенциалами из пространства Соболева . Предложен алгоритм восстановления потенциала по спектральным данным, основанный на методе акселерант Крейна.

Ключевые слова: операторы Штурма-Лиувилля, матричнозначный потенциал, акселеранты Крейна.

ANNOTATION

Sushchyk N. S. Inverse spectral problem for Sturm-Liouville operator with matrix-valued potential. - Manuscript.

Thesis for the degree of Candidate of Physics and Mathematics in speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - Ivan Franko Lviv National University, Lviv, 2011.

The inverse spectral problems for the class of differential operators consist in finding spectral characteristics of an operator that determine it uniquely and recovering from these spectral characteristics. The thesis is devoted to solving the inverse spectral problem for the class of self-adjoint Sturm-Liouville operators on the unit interval with matrix-valued distributional potentials belonging to the Sobolev space . Namely, we give a complete description of the spectral data (by which we mean the eigenvalues and suitably introduced norming constants) for the operators under consideration and suggest an algorithm for reconstructing the operator from the spectral data based on Krein's accelerant method.

Solving the inverse spectral problem that is posed demands considering some auxiliary problems. In particular, we establish the asymptotics of zeros of some entire functions of sine type acting in a Banach algebra and find the asymptotics of singular values of some entire matrix-valued functions of sine type that appear in the study of spectral properties of the operators under consideration.

Further, using the theory of factorization of Fredholm operators, we derive an integral representations for solutions of the initial value problems for the differential equation on the interval and describe properties of these solutions. More precisely, it is known that if is sufficiently smooth, then the corresponding solutions can be expressed via the solutions and of unperturbed problems (i.e. the ones with ) by means of transformation operators, as follows from the well-known book by V. A. Marchenko. We establish this result for the case and describe properties of kernels of the corresponding transformation operators.

Finally, we investigate the matrix-valued Weyl-Titchmarsh functions of the operators under consideration and establish a relation between the Weyl-Titchmarsh function and the spectral measure of the operator.

As is mentioned above, we base our algorithm of reconstructing the operator on Krein's accelerant method. We show that the spectral measure of the operator naturally generates the Krein accelerant and, conversely, every accelerant determines the potential of the operator. Using well-known facts from the theory of factorization of Fredholm operators, we establish a relation between the accelerant and solution of the associated Krein equation.

Keywords: Sturm-Liouville operator, matrix-valued potential, Krein accelerants.

Размещено на Allbest.ru

...