Дифференциальные уравнения. Уравнения в частных производных

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дифференциальные уравнения. Уравнения в частных производных



Содержание

Лекция №1. Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные дифференциальные уравнения n-ного порядка Материал для самостоятельного изучения

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка

Лекция №2. Тема: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Лекция №3. Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Лекция №4. Уравнения в частных производных



Лекция №1. Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные дифференциальные уравнения любого порядка представляют собой наиболее разработанную часть теории дифференциальных уравнений. Объясняется это, с одной стороны, тем, что линейные уравнения обладают рядом замечательных свойств, значительно облегчающих построение и исследование решений. С другой стороны, интерес к разработке проблем теории линейных уравнений является следствием многочисленных приложений этих уравнений, так как выяснилось, что линейные уравнения либо описывают реальные процессы, либо дают так называемое первое приближение, и во многих случаях представляется возможным уже по этому первому приближению судить о характере изучаемого явления.

Рассмотрим подробнее линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Определение 1.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

(1)

где у(х) - искомая функция, а р(х) и q(х) - известные функции, которые будем считать непрерывными в некотором промежутке [a, b].

Определение 2.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

(2)

где у(х) - искомая функция, а р(х) и (x) ((х) ? 0) - известные функции, которые мы так же будем считать непрерывными в некотором промежутке [a, b].

Левые части уравнений (1) и (2) линейны относительно функции у(х) и ее производных, то есть у, у' и у'' входят только в первой степени и не перемножаются, что и объясняет название уравнения. Левая часть уравнения (1) однородна относительно функции у(х) и ее производных (каждое слагаемое содержит одну из функций у, у' или у'' в первой степени). Левая же часть уравнения (2) переписанного в виде

,

этим свойством не обладает, так как четвертое слагаемое не содержит ни функции у(х), ни ее производных. Перепишем уравнение (2) в виде

;

правая часть этого уравнения непрерывна как функция трех переменных х, у и у', так как она зависит от у и у' линейно, а функции р(х), q(х) и(х) непрерывны в области своего задания по предположению. Частная производная по у от правой части этого уравнения равна - q(х), а частная производная по у' равна - р(х), то есть обе эти частные производные являются непрерывными функциями трех переменных (от х зависимость непрерывная а от у и у' функции р(х) и q(х) не зависят). Следовательно, утверждение теоремы

Коши верно для линейных дифференциальных уравнений. Но для линейных уравнений может быть доказано более сильное утверждение. Можно доказать, что если функции р(х), q(х) и(х) непрерывны на [a, b] и заданы начальные условия:

и при , (3)

то существует единственное решение уравнения, определенное в [a,b] и удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Таким образом, для линейных уравнений существование единственного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, гарантируется не только в некоторой окрестности точки , а во всем интервале непрерывности функций р(х), q(х) и(х), то есть во всем том интеграле, где рассматривается уравнение. Таким образом, для линейного уравнения любые начальные условия вида (3) являются допустимыми начальными условиями.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Теорема 1. Если функции и суть решения уравнения

,(1)

то функция где б и в - любые постоянные множители, также будет решением уравнения (1).

Доказательство. Подставим функцию в левую часть уравнения (1) и убедимся в том, что эта подстановка обращает левую часть уравнения тождественно в нуль:

так как выражения, стоящие в каждой из квадратных скобок, тождественно равны нулю в силу предположения, что и суть решения уравнения (1).?

Определение 3. Две функции и называются линейно зависимыми в промежутке [a, b], если существуют такие постоянные б₁ и б₂, из которых хотя бы одна отлична от нуля, что для всех х из [a, b] имеет место тождество

(4)

Если тождество (4) выполняется в [a,b] и, например

, то очевидно, что

.

Обратно, если известно, что отношение функций и постоянно в [a, b], то имеет место тождество (4). Поэтому определение линейной зависимости двух функций иногда формулируют так: две функции и называются линейно зависимыми в [a, b], если их соотношение является постоянной величиной для всех х из [a, b], то есть если они пропорциональны друг другу в [a, b].

Определение 4. Две функции и называются линейно независимыми в

[a, b], если не существует таких постоянных б₁ и б₂, из которых хотя бы одна отлична от нуля, что для всех х из [a, b] имело бы место тождество (4).

Возьмем две функции и и составим для них определитель:

(5)

Это определитель называется определителем Вронского или просто вронскианом.

Теорема 2. Если функции и линейно зависимы в [a, b], то их вронскиан тождественно равен нулю в [a, b].

Доказательство. Действительно, по определению существуют постоянные б₁ и б₂, из которых одна обязательно отлична от нуля (например, б₁) такие, что в [a, b] имеет место тождество

.

Отсюда

.(6)

Подставляя выражения (6) для и в вронскиан (5), получаем:

,

что и требовалось доказать.?

Доказанная теорема дает необходимое условие линейной зависимости двух функций.

Теорема 3. Если два решения у₁ и у₂ уравнения (1) линейно независимы в [a, b], то вронскиан ?( у₁, у₂) не обращается в нуль ни при каком значении х из промежутка [a, b].

Доказательство. Допустим, что есть такое значение

х=х₀

из [a, b] что

.

Составим систему уравнений

(7)

в которой б₁ и б₂ - неизвестные числа. Это однородная система уравнений. Для того чтобы эта система имела не нулевое решение, как известно из алгебры, нужно, чтобы определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных, равнялся нулю. Этот определитель совпадает с и по предположению, сделанному выше, он действительно равен нулю. Следовательно, из системы (7) можно найти числа б₁ и б₂ (из которых хотя бы одно не равно нулю), являющиеся решениями этой системы. Составим с помощью этих найденных чисел функцию:

.

По теореме 1 эта функция есть решение уравнения (1). Из (7) следует, что

(6)

Выше было отмечено,

что для всяких начальных условий существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее этим начальным условиям.

Очевидно, что функция, тождественно равная нулю в [a, b] является решением уравнения (1) и удовлетворяет начальным условиям (8). Следовательно, в [a, b], то есть

По определению 3 это означает что функции и линейно зависимы в [a, b]. Это противоречит условию теоремы, по которому решения и линейно независимы в [a, b].таким образом доказано, что не может обращаться в нуль ни в какой точке промежутка [a, b].?

Покажем что общее решение уравнения (1) может быть написано, как только известны два частных решения уравнения (1), являющихся линейно независимыми функциями.

Теорема 4. Если и - два линейно независимых решения линейного однородного уравнения (1), то выражение

,(9)

где С₁ и С₂ - произвольные постоянные, содержит все решения уравнения (1). Таким образом, выражение (9) не только является общим решением уравнения (1) , но у уравнения (1) нет ни одного решения, не содержащегося в формуле (9).

По теореме 1 формула (9) при конкретных числовых значениях С₁ и С₂ дает решение уравнения (1). Для того чтобы доказать теорему, надо установить, что любые начальные условия определяют решение (единственное в силу теоремы существования и единственности), содержащееся в формуле (9), то есть получающееся из формулы (9) при надлежащем подборе постоянных С₁ и С₂.

Возьмем любые начальные условия: при х=х₀ (х₀ принадлежит тому промежутку, в котором непрерывны коэффициенты уравнения) известны значения

у=у₀

и

у'=y'₀ .

Посмотрим, можно ли подобрать числовые значения постоянных С₁ и С₂ так, чтобы формула (9) с этими значениями постоянных давала решение , определяемое взятыми начальными условиями, то есть чтобы было:

(10)

Равенства (10) дают систему алгебраических уравнений первой степени относительно неизвестных С₁ и С₂ все остальные величины в системе (10) являются заданными числами. Из алгебры известно, что для того чтобы такая система была разрешима, достаточно, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равнялся нулю. Но определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, представляет собой вронскиан решений и , вычисленный при значении х=х₀. Так как по условию теоремы у₁ и у₂ - линейно независимые решения уравнения (1), то по теореме 3 вронскиан не обращается в нуль ни при каком значении х. Следовательно он не обращается в нуль и при значении х=х₀ (какое бы х₀ ни было взято в начальных условиях), и поэтому определитель системы (10) отличен от нуля и система разрешима относительно С₁ и С₂. Обозначим найденные из системы (10) значения постоянных через и . Подставляя в (9) эти значения получаем искомое частное решение

.

Действительно, так как и - решения системы (10), то

и

.

Теорема доказана.?

Покажем, как можно найти общее решение, если известно только одно частное решение уравнения (1).

Теорема 5. Если

- частное решение уравнения (1), то введение новой функции z по формуле

позволяет понизить порядок уравнения на единицу, причем преобразованное уравнение также линейное.

Доказательство. Положим

и вычислим производные:

Подставим выражения для у и ее производных в левую часть уравнения (1)

;

группируя, получаем:

.

Выражение в первых квадратных скобках равно тождественно нулю. Так как по условию есть решение уравнения (1). При этом оно обязательно примет вид (9).?

Пример 1. Дано уравнение

.

Это уравнение можно рассматривать на любом из промежутков (0, +) или (-, 0).

Функция

у₁=х - его частное решение.

Действительно подставляя

в данное уравнение. Получим:

.

Тогда, зная одно решение у₁=х уравнения, можно использовать теорему 5.

Положим у=хz; найдем производные

и подставим в уравнение

.

Приводя подобные члены, получаем:

.

Положим . Уравнение примет вид: откуда находим:

Возводим в куб:

Обозначим

и найдем у:

.

Таким образом, решение данного уравнения имеет вид:

(11)

Функция

является решением данного линейного уравнения, так как она получается из формулы (11) при

С₁=0, С₂=1.

В этом можно так же убедиться непосредственной подстановкой функции

в уравнение.

Кроме того, решения

у₁=х и

линейно независимы на каждом участке из

промежутков (-,0) и (0,+), так как

Следовательно, в силу теоремы 4 выражение (11) является общим решением данного уравнения.¦

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Пусть дано неоднородное линейное уравнение

.(2)

Однородное линейное уравнение, которое получается из данного неоднородного заменой f(x) нулем, называется однородным уравнением, соответствующим данному неоднородному. Например, если дано неоднородное уравнение

,

то соответствующим ему однородным уравнением будет

.

Теорема 6. Сумма какого-нибудь одного частного решения данного неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного есть общее решение данного неоднородного уравнения.

Доказательство. Обозначим какое-нибудь одно частное решение данного неоднородного уравнения через и общее решение соответствующего однородного уравнения через z.

Составим сумму

Функция z(x) содержит две произвольные постоянные, а (х) не содержит произвольных постоянных.

Покажем что сумма

(12)

является решением уравнения (2). Для этого найдем производные

и подставим их в левую часть уравнения (2):

Так как выражение в первых квадратных скобках тождественно равно нулю в силу определения z, а выражение во вторых квадратных скобках тождественно равно f(x) в силу определения то весь результат подстановки тождественно равен f(x).

Следовательно, показано что выражение (12) является решением уравнения (2) и содержит, как было указано выше, две произвольные постоянные.

Покажем теперь, что

есть общее решение данного неоднородного уравнения. Точнее покажем что формула (12) содержит все решения неоднородного уравнения. Возьмем любое решение неоднородного уравнения и составим разность

.

Эта разность является решением однородного уравнения (2): действительно, при подстановке в уравнение (2) получаем:

Таким образом, , где z₀ - некоторое решение однородного уравнения (1). Иначе говоря, любое решение у неоднородного уравнения (2) получается из формулы (12) при определенном выборе произвольных постоянных в z. Теорема доказана.?

Мы видим, что для того чтобы найти общее решение неоднородного уравнения, надо знать хотя бы одно частное решение. Ниже будет показано, что в тех случаях, когда коэффициенты уравнения p и q постоянные и правая часть f(x) имеет определенный вид, можно указать довольно простые приемы нахождения решений неоднородного уравнения.

В общем случае можно также дать способ нахождения частного решения неоднородного уравнения.

Однако этот способ приводит, как правило, к довольно громоздким выкладкам.

Идея этого способа заключается в следующем: известно, что общее решение линейного однородного уравнения имеет вид:

,

где у₁ и у₂ - какие-нибудь два линейно независимых решения этого уравнения, а С₁ и С₂ - произвольные постоянные.

Возникает вопрос, нельзя ли подобрать две функции С₁(x) и С₂(x) так, чтобы выражение

было решением линейного неоднородного уравнения, (здесь по-прежнему у₁ и у₂ обозначают два линейно независимые решения однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному). В следующей теореме будет показано, что этот вопрос решается положительно, и будет дан способ нахождения функций С₁(x) и С₂(x). Этот прием нахождения решения линейного неоднородного уравнения называется "способом вариации произвольных постоянных" или способом Лагранжа. Название этого приема, как видно из сказанного выше, объясняется тем, что произвольные постоянные, входящие в общее решение однородного уравнения, изменяются, " варьируются", заменяются переменными величинами С₁(x) и С₂(x) при переходе к решению неоднородного уравнения.

Теорема 7.

Общее решение линейного неоднородного уравнения (2) может быть записано в виде

,(13)

где у₁ и у₂ - два линейно независимых решения соответствующего однородного уравнения, а С₁(x) и С₂(x) - две специальным образом подобранные функции, содержащие каждая по одному произвольному постоянному слагаемому.

Доказательство. Составим выражение

,(14)

где С₁(x) и С₂(x) - искомые функции, и найдем производную

(15)

Будем подбирать функции С₁(x) и С₂(x) так, чтобы

.(16)

Тогда равенство (15) примет вид:

(17)

Найдем вторую производную:

.(18)

Подставим (14), (17) и

(18) в уравнение (2) и сгруппируем слагаемые вынося С₁(x) и С₂(x) за скобки:

Выражения в обеих квадратных скобках в левой части равны тождественно нулю, тогда как у₁ и у₂ по условию суть решения соответствующего однородного уравнения. Поэтому, для того чтобы подстановка выражения (14) в уравнение (2) обращала его в тождество, то есть для того чтобы выражение (14) было решением уравнения (2) нужно, чтобы выполнялось равенство

.(19)

Равенства (16) и (19) можно рассматривать как условия, которым должны удовлетворять функции С₁(x) и С₂(x), для того чтобы (14) было решением уравнения (2). Запишем условия (17) и (19) в виде системы уравнений:

(20)

и посмотрим, можно ли из этой системы найти функции С₁(x) и С₂(x). В системе (20) неизвестными являются , а величины у₁, у₂, у'₁, у'₂ и f(x) известны.

Для того чтобы система (20) была разрешимой относительно неизвестных, достаточно, чтобы определитель системы был отличен от нуля. Определителем системы (20) является вронскиан

,

составленный для линейно независимых решений однородного уравнения.

По теореме 3 этот определитель не равен нулю ни при одном значении х, и поэтому из системы (20) всегда можно найти

.

Проинтегрировав найденные выражения для , получим:

.

Подставим найденные выражения в (14):

.

Раскроем скобки:

.

Так как у по построению есть решение данного неоднородного уравнения (2), а является общим решением соответствующего однородного уравнения, то выражение

(21)

будет решением неоднородного уравнения. По теореме 6, следовательно, у является общим решением уравнения (2).?

Из доказательства теоремы видно, что способ вариации произвольных постоянных дает, собственно говоря, прием нахождения частного решения неоднородного уравнения, приводящий к формуле (21).

Пример 2.

Найти общее решение неоднородного уравнения

,

если известны два частных решения

соответствующего однородного уравнения.

Решение. Частные решения однородного уравнения линейно независимы. Будем искать общее решение данного неоднородного дифференциального уравнения в виде:

, (*)

где С₁(x) и С₂(x) - искомые функции.

Составим систему

и найдем из нее С₁(x) и С₂(x). Умножим первое уравнение на и сложим со вторым. Получим:

,

Откуда

, где

Из второго уравнения находим:

Подставляем полученные выражения для С₁(x) и C₂(x) в формулу (*) для общего решения:

.

Группируя слагаемые, получаем окончательный ответ

.¦

Линейные дифференциальные уравнения n-ного порядка Материал для самостоятельного изучения Материал для самостоятельного изучения

Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

y⁽ⁿ⁾ + p₁(x) y^(n-1) + ... + p_n-1 (x) y' + p_n(x) y = f(x). (1)

Предположим, что коэффициенты уравнения (1) p₁(x), p₂(x), ..., p_n-1(x), p_n(x) и правая часть f(x) заданы и непрерывны в интервале (a,b).

При этом предположении уравнение (1) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

,

где х=х₀ - любая точка из интервала (a,b), а - любые заданные числа. Это решение определено и n раз дифференцируемо во всем интервале (a,b).

Особых решений уравнение (1) не имеет.

Если f(x)?0 в интервале (a,b), то уравнение (1) называется однородным. В этом случае оно имеет вид:

y⁽ⁿ⁾ + p₁(x) y^(n-1) + ... + p_n-1 (x) y' + p_n(x) y = 0. (2)

Если же f(x)?0 в интервале (a,b), то уравнение (1) называется неоднородным, т.е. имеет вид:

y⁽ⁿ⁾ + p₁(x) y^(n-1) + ... + p_n-1 (x) y' + p_n(x) y = f(x), где f(x) ? 0 (3)

Для сокращения записи введем в рассмотрение следующий линейный дифференциальный оператор n -го порядка:

L(y) ? y⁽ⁿ⁾ + p₁(x) y^(n-1) + ... + p_n-1 (x) y' + p_n(x) y . (4)

Нетрудно убедиться, что оператор L(y) обладает следующими основными свойствами:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак оператора:

L(ky)=kL(y) (5)

2. Оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций:

L(y₁+y₂)=L(y₁)+L(y₂). (6)

Используя оператор (4), можно переписать неоднородное уравнение (3) в виде: L(y) = f(x), однородное уравнение (2) - в виде: L(y) = 0.

Функция y=(x) является решением неоднородного уравнения (3) в интервале (a,b), если оператор от этой функции L[(x)] тождественно равен f(x) в интервале (a,b):

L[(x)] f(x) (a<x<b).

Функция y=(x) является решением однородного уравнения (2), если

L[(x)] 0 (a<x<b).

Пример. Пусть дано уравнение

.

Имеем:

, .

Функция является решением данного уравнения в интервале (-?,+?), ибо

(-?<x<+?). ¦

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка

Решения однородного дифференциального уравнения обладают следующими свойствами:

Если y1 есть решение однородного линейного уравнения, т. е.

L(y1)0,

то функция

y=Cy₁,

где С - произвольная постоянная, тоже является решением этого уравнения.

В самом деле, мы имеем:

L(Cy₁)=CL(y₁).

Но L(y1)0, поэтому L(Cy1)0, а это и означает, что Cy1 есть решение уравнения (2).

Если y₁ и y₂ - решения уравнения (2), то их сумма

y=y₁+y₂

Тоже является решением уравнения (2).

Действительно, мы имеем

L(y₁+y₂)=L(y₁)+L(y₂).

Но

L(y₁)0, L(y₂)0.

Поэтому

L(y₁+y₂)0,

т.е. y₁+y₂ - решение уравнения (2).

Если y₁, y₂,. . . y_n -- решения однородного линейного уравнения (2), то их линейная комбинация

y = С₁ y₁ + С₂ y₂ + . . . + С_k y_n

при произвольных постоянных С₁, С₂, . . ., С_n так же является решением этого уравнения.

Это свойство следует из 1 и 2.

Рассмотрим теперь такой вопрос: каковы должны быть n частных решений y₁, y₂,. . ., y_n, чтобы формула

y=C₁ y₁ + C₂ y₂ + . . . + C_n y_n,

содержащая n произвольных постоянных C₁, C₂,…C_n, давала общее решение уравнения (2). Прежде, чем ответить на этот вопрос введем понятие о линейной независимости функций.

Определение 2. Функции y₁, y₂,. . ., y_n называются линейно независимыми в интервале (a,b), если между ними не существует соотношения вида

₁ y₁ + ₂ y₂ + . . . + _n y_n0 при a<x<b,

где

₁, ₂,…,_n - постоянные числа, не равные нулю одновременно. В противном случае функции y₁, y₂,. . ., y_n называются линейно зависимыми.

Для случая двух функций y₁ и y₂ понятие линейной независимости в интервале (a,b) сводится к тому, чтобы отношение этих функций не было постоянным в интервале (a,b); при этом имеется в виду, что это отношение определено во всех точках интервала (a,b).

Предположим, что функции y₁, y₂,. . ., y_n имеют производные порядка n-1, и рассмотрим определитель:

. (7)

Этот определитель называется определителем Вронского для функций y₁,y₂,..., y_n или вронскианом этих функций.

Теорема. Если функции y₁, y₂,. . ., y_n линейно зависимы в интервале (a,b), то их вронскиан W(x) тождественно равен нулю в этом интервале.

Доказательство.

Действительно, согласно условию теоремы мы имеем равенство

₁ y₁ + ₂ y₂ + . . . + _n y_n=0

при a<x<b

где не все б_i равны нулю.

Пусть, например, б_n?0. Тогда:

(a<x<b) (8)

Дифференцируя это тождество n-1 раз и подставляя y_n и найденные значения в последний столбец определителя Вронского, получаем:

. (9)

Разлагая определитель (9) на сумму определителей, будем иметь в каждом из них два пропорциональных столбца, вследствие чего все эти определители равны нулю, а тогда и W(x) будет равен нулю во всех точках интервала (a,b).?

Пусть теперь каждая из функций y₁, y₂,. . ., y_n есть решение уравнения (2). Тогда относительно вронскиана этих функций имеет место следующая теорема.

Теорема. Если функции y₁, y₂,. . ., y_n суть линейно независимые решения уравнения (2), все коэффициенты которого непрерывны в интервале (a,b), то вронскиан этих решений W(x) не равен нулю ни в одной точке интервала (a,b).

Доказательство.

Допустим противное. Пусть W(x₀)=0, причем a<x₀<b. Составим систему n уравнений:

(10)

где (f)₀ есть значение функции f(x) в точке x=x₀, так что, например, имеем:

(y₁)₀=y₁(x₀).

Определитель системы (10) есть как раз W(x₀) и, так как он равен нулю, то эта система имеет ненулевое решение:

,

так что:

(11)

причем не все равны нулю.

Составим теперь следующую линейную комбинацию решений :

. (12)

Согласно третьему свойству решений однородного линейного уравнения, эта комбинация тоже есть решение уравнения (2). Равенства (11) показывают, что в точке x=x₀ решение (12) обращается в нуль вместе со своими производными до (n-1)-го порядка.

Но тогда, в силу теоремы единственности решение (12) является нулевым, y?0, т.е. имеется тождество

,

в котором не все равны нулю, а это значит, что решения линейно зависимы в промежутке (a,b), вопреки предположению. Полученное противоречие доказывает теорему.?

Из этих двух теорем следует, что для того, чтобы n решений уравнения (2) были линейно независимы в интервале (a,b), необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан не обращался в нуль ни в одной точке этого интервала.

Определение 3. Совокупность n решений однородного уравнения (2), определенных и линейно независимых в интервале (a,b), называется фундаментальной системой решений в этом интервале.

Для того, чтобы система n решений была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы вронскиан этих решений был отличен от нуля хоть в одной точке интервала непрерывности коэффициентов уравнения (2).

Знание n линейно независимых решений, т. е. фундаментальной системы решений, дает возможность построить решение уравнения (2), содержащее n произвольных постоянных, причем это решение будет общим решением. А именно, имеет место следующая теорема.

Теорема. Если y₁, y₂,. . ., y_n - фундаментальная система решений уравнения (2), то формула

, (13)

где - произвольные постоянные числа, дает общее решение уравнения (2) в области

(14)

т. е. во всей области задания уравнения (2).

Действительно, система, состоящая из равенства (13) и равенств, полученных (n-1) - кратным дифференцированием этого равенства:

(15)

разрешима относительно произвольных постоянных

в области (14), ибо (15) есть линейная система, причем ее определитель, будучи равным

W(x), отличен от нуля, так как y₁, y₂,. . ., y_n есть фундаментальная система решений.

Кроме того, по третьему свойству решений однородного линейного уравнения функция (13) является решением уравнения (2) при всех значениях произвольных постоянных .

Поэтому, согласно определению общего решения уравнения n-го порядка функция (13) является общим решением уравнения (2) в области (14).

Формула (13) содержит в себе все решения уравнения (2).

Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям:

, (16)

где - любая точка области (14), нужно подставить начальные данные в систему (15):

(17)

Разрешая эту систему относительно (что возможно, ибо определитель ее, будучи равным W(x₀), отличен от нуля), получим:

.

Подставляя эти значения в общее решение (13) найдем:

. (18)

Это и есть искомое решение. Других решений с теми же начальными условиями (16) нет. Из формулы (18) мы видим, что всякое частное решение однородного линейного уравнения (2) (а, следовательно, и вообще всякое решение этого уравнения) представляет собою линейную комбинацию с постоянными коэффициентами из частных решений, составляющих фундаментальную систему решений.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение

(19)

Относительно коэффициентов

и правой части f(x) мы предполагаем, что они непрерывны в интервале (a,b).

Предположим, что для уравнения (19) нам удалось найти частное решение y₁, так что мы имеем тождество

(20)

Или

(20')

Введем новую неизвестную функцию z по формуле

. (21)

Подставляя функцию (18) в уравнение (16), получим:

.

Но

,

так что мы имеем

,

откуда, в силу (20'),

находим, что z должна удовлетворять уравнению

L(z)=0 (22)

Или

. (22')

Это уравнение называется однородным линейным уравнением n-го порядка, соответствующим неоднородному уравнению (19).

Общее решение однородного уравнения (22) дается формулой

, (23)

где - некоторая фундаментальная система решений этого уравнения, а - произвольные постоянные.

Подставляя (23) в (21), получаем:

. (24)

Все решения уравнения (19) содержатся в формуле (24). Эта формула представляет собой общее решение уравнения (19) в области

, (24')

т. е. во всей области задания уравнения (19).

Таким образом, для нахождения общего решения неоднородного уравнения (19) достаточно найти одно какое-нибудь частное решение этого уравнения и прибавить к нему общее решение соответствующего однородного уравнения (22).

Покажем, что общее решение неоднородного уравнения (19) можно найти в квадратурах, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (22).

Будем искать общее решение уравнения (19) в таком же виде, как и общее решение соответствующего однородного уравнения (22), заменяя произвольные постоянные некоторыми непрерывно дифференцируемыми функциями от х, т. е. положим:

, (25)

где - некоторая фундаментальная система решений уравнения (22).

Выберем функции так, чтобы y, определяемое формулой (25), было общим решением уравнения (19).

Искомые функции подчинены только одному соотношению, которое получается в результате подстановки функции (25) в уравнение (19). Поэтому для определения этих функций можно подчинить их любым n-1 условиям.

Чтобы получить систему для определения C_i(x) наиболее простой, будем, вычисляя последовательные производные y',…,y^(n-1) от выражения (25), всякий раз полагать равной нулю совокупность членов, содержащих C_i`(x). Таким образом, приходим к следующим равенствам (26):

Подставим эти значения y, y', y'',…,y^(n-1), y⁽ⁿ⁾ в уравнение (19).

Для этого умножим равенства (26) соответственно на , сложим почленно и приравняем правую часть полученного равенства правой части уравнения (16):

Так как , то последнее равенство перепишется так:

.

Таким образом, для определения C_i(x) получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

(27)

Система (27) есть алгебраическая линейная неоднородная система относительно C_i`(x). Разрешая эту систему относительно C<sub>i</sub>`(x) (что возможно, ибо ее определитель, будучи равным W(x), отличен от нуля во всем интервале (a,b)), находим:

(28)

где W_ni(x) - алгебраическое дополнение элементов n-ной строки определителя W(x). Все функции непрерывны в интервале (a,b).

Из равенств (28) находим:

,

где C_i - произвольные постоянные, а х₀ - любая точка из интервала (a,b).

Подставляя найденные значения функции C_i`(x) в формулу (22), получим:

. (29)

Полагая здесь получим (частное) решение неоднородного линейного уравнения (19):

,

так что (29) можно записать в виде (24) и, следовательно, решение, определяемое формулой (29), есть общее решение уравнения (19) в области (24'). Таким образом, для нахождения общего решения неоднородного уравнения (19) достаточно уметь построить фундаментальную систему решений соответствующего ему однородного уравнения (22), после чего общее решение уравнения (19) найдется в квадратурах.



Лекция №2. Тема: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение вида

, (1)

где p и q - постоянные величины.

Решением этого уравнения может, очевидно, быть только такая функция, производные которой подобны ей самой, так как иначе при подстановке функции в левую часть уравнения (3) не произойдет взаимного уничтожения членов в левой части. Такой особенностью обладает, например, показательная функция.

Лемма 1. Если число k₀ является корнем уравнения

, (2)

то функция является решением уравнения (1).

Доказательство. Положим y= и найдем производные:

y'=k₀,

.

Подставляя в уравнение (1), получаем тождество

(=0

так как k₀ - корень уравнения (2)). Следовательно, функция

y=

действительно является решением линейного дифференциального уравнения (1).?

Уравнение (2) называется характеристическим уравнением линейного дифференциального уравнения (1).

В дальнейших рассуждениях мы будем использовать понятие производной комплексной функции вещественной переменной, т.е. функции вида

f(x)=U(x)+iV(x).

Предполагая, что функции U(x) и V(x) дифференцируемы, определяем производные следующим образом:

.

Далее сформулируем лемму о комплексном решении уравнения (1).

Лемма 2. Если комплексная функция вида

f(x)=U(x)+iV(x)

является решением уравнения (1), то каждая из вещественных функций U(x) и V(x) в отдельности также является решением уравнения (1).

Доказательство. Подставим решение

U(x)+iV(x) в уравнение (1):

Так как комплексное число равно нулю только тогда, когда его вещественная и мнимая части равны нулю порознь, то

=0,

=0,

то есть U(x) и V(x) - решения уравнения (1).?

Сформулируем теперь правила нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в виде теоремы.

Теорема 1. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами может быть найдено следующим образом:

1) если характеристическое уравнение (2) имеет два различных вещественных корня , то общим решением уравнения (1) является функция

(3);

2) если характеристическое уравнение (2) имеет два равных вещественных корня

3) ко, то общее решение уравнения (1) имеет вид

(4);

4) если характеристическое уравнение (2) имеет два сопряженных комплексных корня

,

то общее решение уравнения (1) имеет вид

(5).

Доказательство. 1) Пусть характеристическое уравнение (2) имеет два различных корня k₁ и k₂. Тогда по лемме 1 функции и являются решениями уравнения (1). Эти два решения линейно независимы, так как

,

в силу того, что . Следовательно, по теореме 4 общее решение линейного дифференциального уравнения (1) имеет вид

.

2) Пусть характеристическое уравнение (2) имеет два различных вещественных корня (т. е. k₁ - двукратный корень). Тогда по лемме 1 функция является решением уравнения (1). Проверим, что функция является решением уравнения (1).

Найдем ее производные:

и подставим

в левую часть уравнения (1):

. (6)

По условию

.

Так как k₁ - двукратный корень, то

Таким образом, результат подстановки дает в равенстве (6) тождественный нуль, следовательно, функция также является решением уравнения (1).

Решения y₁ и y₂ линейно независимы, так как

,

и по теореме 4 общее решение уравнения (1) имеет вид

.

3) Пусть характеристическое уравнение имеет комплексные сопряженные корни

.

В таком случае в силу леммы 1 функции

являются решениями уравнения (1). По формулам Эйлера имеем:

.

Отсюда по лемме 2 следует, что функции

так же являются решениями уравнения (1). Так как

,

то y₁ и y₂ линейно независимы и по теореме 4 общее решение уравнения (1) имеет вид:

,

Или

. ?

Пример 1.

Найти общее решение уравнения

.

Решение. Составим характеристическое уравнение

и найдем его корни:

.

Общее решение данного уравнения пишем по формуле (5) (здесь б=0, в=3):

.¦

Пример 2. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Составим характеристическое уравнение

и найдем его корни: . Общее решение данного уравнения пишем по формуле (4):

.¦

Пример 3. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Составим характеристическое уравнение

и найдем его корни: . Общее решение данного уравнения пишем по формуле (3):

.¦

Пример 4. Рассмотрим уравнение

.

Составим характеристическое уравнение

и найдем его корни:

.

Общее решение данного уравнения пишем по формуле (5) (здесь б=0, в=2):

(7).

Уравнение (7)

имеет постоянные коэффициенты и по теореме о существовании и единственности решения дифференциального уравнения можно утверждать, что для любых начальных условий существует единственное решение уравнения (7), определенное и непрерывное на всей числовой оси, удовлетворяющее этим начальным условиям.

Зададим конкретные начальные условия:

(8).

Найдем теперь производную

и используя начальные условия составим и решим систему уравнений

.

Подставляя эти значения в (7), получим то единственное решение, которое удовлетворяет начальным условиям (8), т. е. частное решение исходного уравнения:

.¦



Лекция №3. Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение вида

, (9)

где p и q - постоянные величины.

В общем случае решение этого уравнения можно искать методом неопределенных коэффициентов по теореме 7.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Запишем соответствующее однородное дифференциальное уравнение

.

Составим для него характеристическое уравнение:

.

Поскольку характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня

k=1 и k=0,

то общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

.

Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде:

,

где

С₁(x) и C₂(x) - искомые функции. Для их определения составим систему:

Решая эту систему уравнений, получим:

, .

Интегрируя, получаем:

Следовательно, общее решение исходного уравнения запишется в виде:

¦

Однако способ вариации произвольных постоянных мало удобен на практике, так как большей частью приводит к громоздким выкладкам и интегрированиям. Если в правой части уравнения (9) стоит многочлен, или показательная функция, или тригонометрическая функция sinx или cosx, или линейная комбинация указанных функций, то можно дать способ нахождения частного решения уравнения (9), который состоит в выполнении некоторых алгебраических выкладок, но не содержит процесса интегрирования. Это так называемый способ неопределенных коэффициентов.

Затем сумма этого частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения, найденного по правилам предыдущего пункта, будет являться общим решением неоднородного уравнения (9).

Рассмотрим различные правые части в уравнении (9).

1. Пусть в правой части уравнения (9) стоит многочлен степени n:

. (10)

В этом случае решение уравнения (9) можно тоже искать в виде многочлена, подобрав соответствующим образом его степень и коэффициенты.

а) Предположим, что q?0.

В таком случае можно искать частное решение в виде многочлена такой же степени, что и многочлен, стоящий в правой части уравнения. Напишем этот искомый многочлен с буквенными коэффициентами:

(11)

и подставим его и его производные в уравнение (9):

,

Тогда

(12)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части уравнения (12) получаем систему n+1 уравнения с n+1 неизвестным для определения коэффициентов :

...