Дифференциальные уравнения. Уравнения в частных производных

Подставляем найденные значения коэффициентов в (11) и получаем частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (9).

б) Предположим, что q=0, p?0. В таком случае в уравнении (9) отсутствует в левой части член с y, и поэтому нельзя искать решение в виде многочлена той же степени, что и (10).

Действительно, в левой части уравнения (9) после подстановки многочлена степени n отсутствовал бы член, содержащий , а в правой части он присутствует, и тождество левой и правой частей уравнения (9) было бы невозможно. В этом случае надо искать решение уравнения (9) в виде многочлена степени на единицу больше, чем многочлен (10), причем многочлен можно сразу писать без свободного члена, так как в производные этот свободный член все равно не входит, т. е. в виде:

. (13)

Определение неизвестных коэффициентов осуществляется так же как в случае а).

в) Предположим, что q=p=0. Тогда в левой части уравнения отсутствуют члены с y и y' и, проводя рассуждения, аналогичные приведенным ранее, видим, что решение уравнения надо искать в виде многочлена степени на две единицы больше, чем многочлен (10), т. е. в виде:

. (14)

Пример 5. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Составим характеристическое уравнение:

,

Откуда k₁=0 и k₂=-2. По формуле (3) общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

.

Так как в данном уравнении q=0 и в правой части стоит многочлен первой степени, то частное решение данного уравнения щ надо искать по формуле (13) в виде:

,

как было указано в пункте б). Подставляя щ, щ', щ'' в данное уравнение, получаем:

,

откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях, получаем систему для определения :

Подставляя найденные значения коэффициентов в щ, получаем частное решение неоднородного дифференциального уравнения:

.

Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения находится как сумма его частного решения и общего решения соответствующего ему однородного дифференциального уравнения:

.¦

2. Пусть правая часть уравнения (9) имеет вид:

,

где P_n(x) обозначает многочлен степени n.

Будем искать частное решение уравнения (9) в виде произведения

,

где U - некоторый множитель, вид которого надо определить. Найдем производные щ:

и подставим в уравнение (9):

.

Вынесем за скобки и сгруппируем слагаемые в левой части:

,

Или

. (15)

Для того, чтобы это равенство было тождеством, нужно, чтобы в левой части равенства получился тот же многочлен, что и в правой части, то есть многочлен P_n(x).

а) Если число б не является корнем характеристического уравнения для однородного уравнения, соответствующего уравнению (9), то

.

Для того, чтобы (15) обратилось в тождество, нужно по предшествующему пункту а) взять в качестве U многочлен степени n и определить его коэффициенты, как это делалось выше. Таким образом, в этом случае

;

б) если число б является корнем первой кратности характеристического уравнения, то

,

.

Для того чтобы (15) обратилось в тождество, нужно взять в качестве U многочлен степени

n+1, как в случае б) первого пункта:

и определить, как указывалось выше его коэффициенты. Таким образом, в этом случае

;

в) если число б является корнем второй кратности характеристического уравнения, то

и

.

Для того чтобы (15) обратилось в тождество, нужно взять в качестве U многочлен степени n+2, как в случае в) первого пункта:

и определить обычным способом его коэффициенты. Таким образом, в этом случае

.

Пример 6. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Напишем соответствующее однородное уравнение:

и его характеристическое уравнение:

.

Оно имеет два корня k₁=1, k₂=2.

Тогда общим решением однородного дифференциального уравнения будет функция

.

Так как правая часть неоднородного уравнения содержит произведение многочлена второй степени на , то частное решение щ также надо искать в виде произведения многочлена второй степени на , а именно:

. (*)

(В нашем случае б=3 не является корнем характеристического уравнения.)

Чтобы найти коэффициенты дважды дифференцируем выражение (*) и подставляем значения щ, щ', щ'' в дифференциальное уравнение.

После сокращения на и приведения подобных членов получим:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему:

Таким образом, искомое частное решение будет:

.

Тогда общее решение данного неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид:

. ¦

Прежде, чем переходить к третьему случаю, докажем одну общую теорему, относящуюся к уравнению, в правой части которого стоит сумма нескольких слагаемых.

Теорема. Сумма частных решений двух уравнений

, (16)

(17)

дает частное решение уравнения

(18).

Доказательство. Обозначим через щ₁ частное решение уравнения (16) и через щ₂ - частное решение уравнения (17). Составим сумму щ₁+ щ₂ и проверим, что она является решением уравнения (18). Для этого подставим сумму щ₁+ щ₂ и ее производные в уравнение (18). Получим:

так как выражение в первых скобках по условию равно тождественно f₁(x) и выражение во вторых скобках тождественно равно f₂(x). Таким образом, щ = щ₁+ щ₂ есть частное решение уравнения (18). ?

3. Пусть правая часть уравнения (9) имеет вид:

, (19)

где - многочлены соответственно степени n и m.

Заменяя cosвx и sinвx по формулам Эйлера, получаем:

,

Или

.

Принимая во внимание выводы, полученные в пункте 2, и на основании доказанной теоремы частное решение надо искать в виде

,

если числа не являются корнями характеристического уравнения (случай а)), и в виде

,

если числа являются корнями характеристического уравнения (случай б)).



Лекция №4. Уравнения в частных производных

Определение: Уравнение, содержащее несколько независимых переменных, функцию от этих переменных и ее частные производные по этим переменным, называется дифференциальным уравнением в частных производных. линейный дифференциальный порядок переменный

Например, уравнение

является уравнением в частных производных, в котором x, y, z являются независимыми переменными, а ц(x,y,z) - искомая функция. При математическом описании различных процессов природы чаще приходится сталкиваться именно с дифференциальными уравнениями в частных производных, так как в природе обычно встречается зависимость переменных величин от нескольких независимых переменных. Например, изучая распространение тепла в каком-либо теле, мы должны считать температуру тела в любой точке функцией от трех координат этой точки в пространстве, а если температура еще меняется с течением времени, то она является функцией четырех переменных: x, y, z и t. Изучая колебания какой-либо упругой пластинки, мы имеем дело с функцией трех переменных, так как величина смещения точек пластинки зависит и от координат x и y точек пластинки и от времени.

Для уравнений в частных производных вводится также понятие порядка уравнения, определяемого наивысшим порядком входящих в уравнение частных производных. Так, например, уравнение

является дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка.

Дифференциальные уравнения в частных производных также имеют бесконечное множество решений. Общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит произвольную функцию (общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержало только произвольные постоянные). Начальные данные задачи, с помощью которых можно выделять одно частное решение из общего решения уравнения в частных производных обычно распадаются на так называемые начальные условия, т. е. условия, которым удовлетворяет искомая функция в начале исследуемого процесса, и граничные условия, определяющие обычно некоторые значения искомой функции в зависимости от объекта, в котором происходит изучаемый процесс, и от положения этого объекта в пространстве или на плоскости.

Рассмотрим задачу, приводящую к дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка.

Задача о малых свободных поперечных колебаниях натянутой струны.

Пусть по оси Ox натянута тонкая однородная нить (струна), которая может изгибаться. Натяжение, при котором струна находится в состоянии равновесия и натянута по оси Ox, обозначим T₀. Если вывести струну из положения равновесия, то она начнет колебаться. Изучим характер этих колебаний. Будем считать, что движение происходит в одной плоскости и что точки струны смещаются перпендикулярно оси Ox (такие колебания называются поперечными). Обозначим через U(x,t) смещение точки струны с абсциссой x в момент времени t. На рисунке 1 смещение

U=NM.

Будем исследовать малые колебания струны, т. е. такие при которых U и (угловой коэффициент касательной к кривой в точке М) малы. Рассмотрим малый участок струны ММ'.

В силу предположения о том, что мала, т. е. что форма струны мало отличается от прямолинейной, можно будет приближенно заменять длину дуги ММ' длиной отрезка NN' на оси Ox. Рассмотрим силы, действующие на участке MM'.

Внутренние силы, возникающие при указанной деформации струны, сводятся к натяжению, так как при деформации струна на некоторых участках растягивается, а на некоторых сжимается.

Ввиду сделанного предположения о малости деформаций, считаем, что величина натяжения во всех точках струны одинакова и равна T₀. Натяжение T₀ в точке М направлено по касательной к кривой в М влево, а натяжение T₀ в точке M' направлено по касательной к кривой в M' вправо. Так как мы предположили, что смещение точек струны происходит только перпендикулярно оси Ox, то нас интересует только действие вертикальных составляющих натяжения. Составим сумму вертикальных составляющих натяжения в M и M':

.

Можно sinб заменить через tgб, так как при малых б можно отбросить как бесконечно малую высшего порядка малости по сравнению с tgб:

.

Тогда сумма вертикальных составляющих натяжения принимает вид:

.

В квадратных скобках стоит разность значений величины в точках M' и M; ее можно считать приращением величины на участке MM', а приращение

можно с точностью до бесконечно малых высшего порядка заменить дифференциалом этой величины:

.

Таким образом, получаем окончательное выражение для силы, действующей на участке MM':

.

Ускорение движения в любой точке равно второй производной от пройденного пути по времени, т. е. равно . Обозначим линейную плотность струны через с (она постоянна по условию задачи), и тогда масса участка струны MM' равна

.

Теперь составим уравнение движения по закону Ньютона:

,

откуда, обозначив

, имеем

. (*)

Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, из которого надо найти функцию двух переменных U(x,t).

Рассмотрим тот способ решения этого уравнения, который был дан в XVIII веке французским математиком Даламбером. Будем считать, что струна бесконечно простирается в обе стороны по оси Ox. В этом случае граничные условия в задаче отсутствуют, а начальные условия задачи состоят в том, что в начальный момент времени известно смещение в каждой точке струны и скорость:

при . (1)

Введем новые независимые переменные о и з, связанные со старыми x и t следующими формулами:

.

Тогда функцию U(x,t) можно рассматривать, как сложную функцию; зависимость от x и t осуществляется через посредство переменных о и з. Тогда, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции частные производные функции U можно записать в виде:

Аналогично находим частные производные второго порядка:

Подставляем эти выражения для производных в уравнение (*):

.

Отсюда:

,

т. е. производная зависит только от о:

. (2)

Отсюда находим:

, (3)

Где

(вместо произвольной постоянной прибавляем произвольную функцию от з, что можно делать ввиду равенства (2)). Таким образом, из (3) получаем:

, (4)

где и₁ и и₂ - произвольные функции. Это и есть общее решение уравнения (*).

Используем начальные условия (1) для того, чтобы определить вид функций и₁ и и₂ в данной задаче; для этого подставим эти начальные данные в общее решение (4) и в , полученную из (4) дифференцированием по t:

(5)

Отсюда

,

и, интегрируя, получаем:

. (6)

При . Будем считать, что С=0 (это допускается, так как если бы постоянная С была отлична от 0, то можно было бы вместо функций и₁(x) и и₂(x) рассматривать функции

, для которых разность значений при x=0 была бы равна нулю). Тогда из (6) имеем

.

Присоединяем к этому уравнению первое из уравнений (5) и из них находим:

,

.

Подставляя полученные функции в общее решение (4), получаем:

,

или

.

В этом частном решении все функции, входящие в правую часть, заданы в начальных условиях задачи.

Если начальные условия таковы, что ц₁(x)=0, то решение принимает более простой вид:

.

Подробное исследование полученного решения позволяет выяснить физический смысл формулы и характер распространения волн по струне.

Пример 1.

Найти форму струны, определяемой уравнением

в момент

,

если

.

Решение. Здесь

a=a, ц(x)=sinx -

начальное положение струны,

ц₁(x)=1 -

начальная скорость колебания струны. Имеем

.

Если

, то

,

т.е. струна параллельна оси абсцисс. ¦

Пример 2. Найти решение уравнения

, если

.

Решение. Здесь a=2, ц(x)=0 - начальное положение струны, ц₁(x)=x - начальная скорость колебания струны. Отсюда

. ¦

Приведем еще примеры дифференциальных уравнений в частных производных. Если рассматривать задачу о малых свободных колебаниях мембраны, т. е. тонкой пластинки, которая в состоянии равновесия под действием натяжения T₀ лежит в плоскости XOY, а будучи выведена из положения равновесия, колеблется так, что смещение U(x,y,t) точки (x,y) пластинки происходит перпендикулярно плоскости XOY, то смещение удовлетворяет дифференциальному уравнению, аналогичному уравнению (*)

. (7)

При рассмотрении электромагнитных колебаний приходим к уравнению вида

. (8)

Уравнение (8) и его частные случаи (7) и (4) называются "волновым уравнением". Исследование и решение волнового уравнения при разнообразных начальных и граничных условиях, отвечающих различным задачам, решение которых привело к волновому уравнению, весьма сложно. Доказано существование и единственность решения волнового уравнения при заданных начальных данных.

Дифференциальные уравнения в частных производных вида

встречаются при изучении целого ряда явлений. Этому дифференциальному уравнению должны удовлетворять: потенциал сил тяготения во всех точках пространства, находящихся вне притягивающих масс; потенциал сил взаимодействия электрических зарядов во всех точках пространства, находящихся вне зарядов, создающих поле; температура в однородном теле, если она не зависит от времени, т. е. если теплообмен стационарный и т. д. Это уравнение носит название уравнения Лапласа. Решения этого уравнения (имеющие непрерывные производные второго порядка) называются "гармоническими функциями". Они очень часто встречаются в различных физических вопросах. Свойства гармонических функций хорошо изучены. При решении уравнения Лапласа начальные условия естественно отсутствуют (так как функция U от времени не зависит), а граничные условия меняются в зависимости от конкретных условий задачи.

Изучение распространения тепла в однородной среде приводит к уравнению в частных производных

, (9)

где U(x,y,z,t) температура (теплообмен не стационарный). Уравнение вида (9) называется уравнением теплопроводности. Оно решается при начальных и граничных условиях, которые могут быть весьма разнообразными. В случае распространения тепла в теле линейных размеров уравнение (9) принимает вид

.

Такое уравнение надо решать, например, при изучении распространения тепла в стержне.

Приведенный выше очень неполный перечень основных наиболее часто встречающихся в вопросах математической физики типов дифференциальных уравнений в частных производных показывает, насколько широк и разнообразен круг вопросов, требующих для своего изучения знания теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения - это тот раздел математического анализа, который непосредственно связан с математическим исследованием физических явлений и без знания которого невозможны постановка и решение задач математической физики.

Размещено на Allbest.ru

...