Компараторна структурно-параметрична ідентифікація моделей скалярного багатофакторного оцінювання
Метод компараторної ідентифікації як метод розв'язання загальної задачі структурно-параметричної ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання. Модель розв'язку задачі структурно-параметричної ідентифікації в межах класу поліномів Колмогорова-Габора.
| Рубрика | Математика |
| Вид | автореферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 26.08.2015 |
| Размер файла | 222,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ
УДК 519.81
КОМПАРАТОРНА СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧНА ІДЕНТИФІКАЦІЯ МОДЕЛЕЙ СКАЛЯРНОГО БАГАТОФАКТОРНОГО ОЦІНЮВАННЯ
01.05.04 системний аналіз і теорія оптимальних рішень
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора технічних наук
Петров Костянтин Едуардович
Харків 2009
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана у Харківському національному університеті радіоелектроніки Міністерства освіти і науки України.
Науковий консультант: доктор технічних наук, професор Бодянський Євгеній Володимирович, Харківський національний університет радіоелектроніки, професор кафедри штучного інтелекту.
Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Шабанов-Кушнаренко Юрій Петрович, Харківський національний університет радіоелектроніки, професор кафедри програмного забезпечення ЕОМ;
доктор технічних наук, професор Томашевський Валентин Миколайович, Національний технічний університет України ”Київський політехнічний інститут”, професор кафедри автоматизованих систем обробки інформації та управління;
доктор технічних наук, професор Бунь Ростислав Адамович Національний університет ”Львівська політехніка”, професор кафедри прикладної математики;
Захист відбудеться ”17” червня 2009 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.052.01 у Харківському національному університеті радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, просп. Леніна, 14.
З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Харківського національного університету радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, просп. Леніна, 14.
Автореферат розісланий ”13” травня 2009 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради С.Ф. Чалий
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Однією з найважливіших теоретичних і прикладних проблем сучасного етапу розвитку системного аналізу є створення загальної нормативної теорії прийняття ефективних рішень і формалізації всіх її процедур. Це обумовлено тим, що прийняття рішень є обов'язковою і невід'ємною частиною будь-якої цілеспрямованої людської діяльності. З урахуванням того, що за оцінками спеціалістів нині більш ніж 90% рішень приймаються на інтуїтивному, евристичному рівні і більшість із них далекі від оптимальних, а іноді просто помилкові, розв'язання цієї проблеми дозволить підвищити загальний рівень ефективності діяльності людства. Інший аспект полягає в тому, що в умовах широкого і інтенсивного впровадження обчислювальної техніки, як інструменту автоматизації інтелектуальної діяльності, формалізація процесів прийняття рішень багато в чому визначає перспективи розвитку інформаційно-управляючих автоматизованих систем, ступінь їх ефективності і інтелектуалізації.
Не дивлячись на різноманітність проблемно-предметних галузей, процедуру прийняття рішень можна структурувати таким чином: формування і аналіз мети; виділення множини припустимих рішень, що забезпечують її досягнення; визначення метрики (критеріїв), в якій порівнюються альтернативні рішення згідно з їх ефективністю (етап оцінювання); вибір екстремального в заданій метриці рішення (етап оптимізації).
Не применшуючи важливості кожного із перерахованих вище етапів, необхідно підкреслити концептуальну важливість і трудність формалізації етапу оцінювання. Це обумовлено тим, що однією з головних умов ефективності будь-якого рішення є його ”повнота”, тобто ступінь і глибина урахування різних факторів, що визначають окремі аспекти його ефективності. У формальному плані це призводить до необхідності оцінювати ефективність рішення по множині окремих суперечливих локальних критеріїв, які мають різну розмірність, важливість та виміряні в різних шкалах. Ця проблема відома як проблема багатофакторного оцінювання.
Магістральний, конструктивний шлях розв'язання цієї проблеми пов'язаний з теорією корисності, біля джерел якої стояли Дж. Нейман і О. Моргенштерн. Основною гіпотезою теорії є припущення про існування узагальненої скалярної оцінки корисності (ефективності) рішення, як деякої функції локальних характеристик (критеріїв). Великий внесок в дослідження і розвиток цього напряму внесли також такі відомі закордонні і вітчизняні вчені, як Фішберн П., Кіні Р., Райфа Р., Сааті Т., Руа Б., Заде Л., Ларічев О.І., Салуквадзе М.Е., Подіновський В.В., Івахненко А.Г., Степашко В.С., Волошин О.Ф., Кузьмін І.В., Ротштейн О.П., Згуровський М.З., Зайченко Ю.П., Панкратова Н.Д. і багато інших. Однак нині проблема ще далека від свого вичерпного розв'язання.
Центральною задачею проблеми є синтез і структурно-параметрична ідентифікація моделі багатофакторного оцінювання (функції корисності). При цьому оцінювання є персоніфікованою інтелектуальною процедурою, а отже, джерелом початкової інформації виступають фахівці (експерти, особи, що приймають рішення (ОПР)). Таким чином, єдиним шляхом отримання інформації, необхідної для ідентифікації моделі оцінювання, є метод інтроспективного аналізу, відомий як експертне оцінювання. Принципова обмеженість його можливостей, як інструменту ідентифікації, призвела до того, що задача структурної ідентифікації моделі взагалі не вирішується (вона просто постулюється на рівні простих лінійних, адитивних структур), а процедура ідентифікації параметрів (коефіцієнтів важливості критеріїв) є надто суб'єктивною. У зв'язку з цим для подальшого розвитку теорії багатокритеріальної оптимізації вкрай актуальним є створення альтернативних методів ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання.
Ця проблема і є предметом дисертаційного дослідження.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалася згідно з планами Міністерства освіти і науки України в Харківському національному університеті радіоелектроніки в рамках науково-дослідних робіт: по темі № 196 ”Розробка методів і інструментальних засобів структурно-параметричної ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання і багатокритеріальної оптимізації” (№ ДР 0106U003175); по темі № 214 ”Синтез методів обробки інформації за умов невизначеності на основі самонавчання та м'яких обчислень” (№ ДР 0107U003028); по темі № 236 ”Розробка математичних моделей і програмних засобів прийняття багатокритеріальних рішень в умовах невизначеності” (№ ДР 0109U002571); по темі №Ю/804089 ”Розробка принципів та програмних засобів системи підтримки прийняття рішень в умовах невизначеності для технологічних та організаційних систем” (№ ДР 0108U004383).
В рамках зазначених тем здобувачем були розроблені математичні моделі, методи і процедури їх структурної та параметричної ідентифікації для багатофакторного оцінювання проектних та управлінських рішень в умовах невизначеності.
Мета і задачі дослідження. Метою досліджень є розробка загальної методології, математичних моделей і інструментальних засобів розв'язання проблеми формальної структурно-параметричної ідентифікації моделей скалярного багатофакторного оцінювання на основі ідей компараторної ідентифікації, як засобу підвищення ефективності розв'язання задач прийняття рішень в умовах багатокритеріальності.
Для досягнення сформульованої мети досліджень необхідно вирішити такі основні задачі.
1. Провести аналіз загальної проблеми синтезу моделі багатофакторного оцінювання, розглянути основні підходи до її розв'язання і на основі аналітичного огляду наукової літератури визначити найбільш перспективний напрям подальших досліджень.
2. Проаналізувати особливості, узагальнити, розвинути і адаптувати метод компараторної ідентифікації, як інструменту розв'язання загальної задачі структурно-параметричної ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання.
3. Синтезувати математичну модель розв'язання задачі структурно-параметричної ідентифікації в рамках класу поліномів Колмогорова-Габора.
4. Розробити сучасні обчислювальні методи розв'язання задачі структурно-параметричної ідентифікації моделі багатофакторного оцінювання, що базуються на методології самоорганізації (методі групового урахування аргументів, генетичних алгоритмах). Проаналізувати можливість розв'язання загальної задачі за допомогою апарату штучних нейронних мереж. поліном компараторний багатофакторний оцінювання
5. Проаналізувати проблему і розробити методи розв'язання задачі урахування інтервальної невизначеності початкової інформації (НЕ-факторів) при обчисленні узагальнених багатофакторних оцінкок.
6. Розробити метод верифікації точності і адекватності моделі багатофакторного оцінювання і ефективності інструментальних засобів її синтезу на основі принципу ”зовнішнього незалежного доповнення”.
7. Провести обчислювальні експерименти і проаналізувати отримані результати з метою оцінки ефективності різних методів структурно-параметричної ідентифікації моделі багатофакторного оцінювання.
8. Проілюструвати універсальність і прикладну цінність розроблених моделей і обчислювальних методів шляхом розв'язання низки практичних задач.
Об'єктом дослідження є процес аналізу і прийняття рішень в багатокритеріальних ситуаціях.
Предметом дослідження є методи і інструментальні засоби структурно-параметричної ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання.
Методи дослідження. Дослідження, проведені в роботі, базуються на використанні теорії множин і методів системного аналізу для розробки математичних моделей інтелектуальної діяльності; теорії корисності і компараторної ідентифікації для побудови узагальненої моделі багатофакторного оцінювання альтернатив; методів експертного оцінювання, генетичної селекції, групового урахування аргументів, математичного програмування, багатокритеріальної оптимізації, математичної статистики, апарату штучних нейронних мереж і теорії нечітких множин для розв'язання задачі компараторної структурно-параметричної ідентифікації моделей оцінювання; методів математичного і комп'ютерного моделювання для верифікації адекватності і точності запропонованих моделей.
Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі теоретично обґрунтовано метод і розроблені інструментальні засоби розв'язання в загальній постановці важливої науково-прикладної проблеми синтезу і структурно-параметричної ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання.
В результаті досліджень одержані такі нові основні наукові результати.
Вперше:
1) теоретично обґрунтовано загальну методологію формального синтезу і структурно-параметричної ідентифікації моделей багатофакторного скалярного оцінювання, яка на відміну від методів експертного оцінювання, базується на аналізі вже прийнятих і апробованих кінцевих рішень на основі використання ідей компараторної ідентифікації, що дає можливість отримувати більш об'єктивні результати і забезпечити їх відтворюваність;
2) сформульовано загальну постановку задачі і синтезовано математичну модель компараторної ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання альтернатив, яка на відміну від існуючих, дозволяє використовувати інформацію не тільки про еквівалентні альтернативи, але і будь-яку інформацію про відношення порядку на множині альтернатив, котрі аналізуються, що дає можливість отримувати адекватні моделі при невеликому обсязі початкової інформації;
3) розроблено метод розв'язання задачі структурно-параметричної ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання з використанням поліному Колмогорова-Габора, як універсального класу структур, що дозволяє, на відміну від структур, які використовуються на цей час, враховувати адитивні, мультиплікативні складові та їх усілякі комбінації і отримувати більш адекватні моделі;
4) розроблено методи обчислення узагальнених інтервальних багатофакторних оцінок альтернатив, які на відміну від існуючих, дають можливість враховувати інтервальну невизначеність початкової інформації обумовлену НЕ-факторами при визначенні ефективних рішень і ранжируванні рішень, згідно з їх корисністю, в умовах ризику та невизначеності.
5) запропоновано метод верифікації адекватності і точності як результатів ідентифікації, так і запропонованих математичних моделей багатофакторного оцінювання, який базується на послідовній реалізації принципу ”зовнішнього доповнення” і, на відміну від існуючих, дозволяє використовувати частину одержаної інформації не тільки в якості незалежних даних про структуру і параметри моделі, але й формувати ”еталонні” ситуації оцінювання, що дає можливість проводити верифікацію на обмеженій вибірці початкових даних;
Отримали подальший розвиток методи розв'язання класу некоректних задач, що не мають єдиного розв'язку, які виникають при компараторній структурно-параметричній ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання. Зокрема:
1) запропоновано методи визначення єдиного розв'язку задачі параметричної ідентифікації шляхом визначення чебишевської і середньої точок, а також за допомогою генетичного алгоритму, які дозволяють отримувати стійкі точкові значення параметрів моделі;
2) розроблено обчислювальні методи визначення структури мінімальної складності моделі оцінювання, які базуються на використанні генетичних алгоритмів (ГА), методі групового урахування аргументів (МГУА) та апараті штучних нейронних мереж (ШНМ), що дає можливість отримувати адекватні моделі мінімальної структурної складності.
Адекватність отриманих наукових результатів підтверджується теоретичним аналізом, чисельним моделюванням і розв'язанням задач, для яких відомі результати, що отримані іншими методами.
Практичне значення одержаних результатів. Отримані при проведенні досліджень теоретичні результати створюють методологічну основу науково-обґрунтованого розв'язання широкого кола прикладних задач, пов'язаних з автоматизацією інтелектуального процесу прийняття рішень. Зокрема, запропоновані в роботі моделі і методи дозволяють ефективно розв'язувати задачі в галузі маркетингових досліджень, управління поведінкою соціальних груп, оцінки якості, багатовимірної класифікації і створення відповідних проблемно-орієнтованих систем підтримки прийняття рішень.
Практичне значення результатів досліджень підтверджується їх впровадженням.
Методи ідентифікації переваг споживачів при проведенні маркетингових досліджень і підхід до багатофакторної порівняльної оцінки якості продукції, що розроблені в дисертації, були використані в ЗАТ ”Інститут автоматизованих систем” (м. Харків); метод вибору оптимальних варіантів технічних рішень в умовах багатокритеріальності і невизначеності був використаний на ДП ”Науково-дослідний технологічний інститут приладобудування” (м. Харків); метод обчислення скалярних багатофакторних оцінок був використаний для визначення множини припустимих рішень і оцінки їх відповідності вимогам технічного завдання на основі раніше розроблних організацієй проектних рішень (прецедентів) на ДП ”Харківський НДІ технології машинобудування” (м. Харків); методи багатокритеріальної оцінки і визначення оптимальних проектних рішень були використанні при створенні САПР в НТ СКБ ”Полісвіт” ДНВП ”Об'єднання Комунар” (м. Харків); результати досліджень використовуються в навчальному процесі Харківського національного університету внутрішніх справ і Харківського національного університету радіоелектроніки.
Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно, їх основний зміст викладено у роботах [1-47]. У роботах, що опубліковані в співавторстві, здобувачеві належать: у [1] - методи та процедури ідентифікації переваг ОПР; у [2] - моделі формування багатофакторних оцінок та ранжирування рішень в залежності від ступеню поінформованості ОПР про ситуацію вибору; у [3] - метод обчислення багатофакторних оцінок альтернатив в умовах, коли ”вагові” коефіцієнти їх характеристик є випадковими величинами; у [5] - узагальнення методу компараторної параметричної ідентифікації моделі багатофакторного оцінювання, яке враховує інформацію про відношення порядку на множині альтернатив; у [7] - математична модель сумарних витрат виробників; у [8] - універсальна функція корисності багатофакторних альтернатив на основі поліномів Колмогорова-Габора; у [12] - метод ранжирування альтернатив в умовах інтервального завдання їх багатофакторних оцінок на основі теорії перевірки статистичних гіпотез; у [13] - метод обчислення інтервальних значень функцій корисності альтернатив в умовах інтервального завдання вагових коефіцієнтів їх локальних характеристик; у [14] - метод верифікації точності і достовірності результатів компараторної параметричної ідентифікації індивідуальних переваг ОПР; у [16] - підхід до формалізації задачі керування стабілізацією і розвитком відкритих систем; у [17] - методи структурно-параметричної ідентифікації моделі багатофакторного оцінювання з використанням елементів МГУА; у [20] - формальна модель ординальної класифікації, заснована на ідеях теорії компараторної ідентифікації; у [23] - метод кількісного багатофакторного оцінювання кримінальної ситуації в зоні відповідальності підрозділу ОВС; у [24] - метод параметричної ідентифікації моделі управління поведінкою індивідууму; у [25] - метод структурної ідентифікації моделі багатофакторного оцінювання з використанням генетичних алгоритмів; у [26] - метод структурної ідентифікації моделі багатофакторного оцінювання, що базується на використанні ідей методу групового урахування аргументів (МГУА); у [27] - математична модель багатофакторного оцінювання, що інваріантна до розмірності та шкали виміру факторів, які характеризують альтернативи; у [28] - підхід до оцінки точності результатів компараторної ідентифікації переваг ОПР за допомогою критерію чебишевської точки при різній розмірності початкових даних; у [29] - узагальнений багатофакторний критерій оцінки сталості розвитку об'єктів господарської діяльності (ОГД); у [30] - підходи до вирішення проблеми ефективного управління сталим розвитком ОГД; у [32] - метод визначення екстремальних значень багатофакторних оцінок альтернатив в умовах інтервальної невизначеності параметрів моделі оцінювання; у [34] - підхід до обчислення багатофакторних оцінок альтернатив в умовах, коли параметри моделі оцінювання задані у вигляді лінгвістичних змінних; у [35] - аналіз конструктивного підходу до вирішення проблеми багатофакторного оцінювання; у [36] - метод розв'язання проблеми управління поведінкою соціальної групи; у [37] - метод комплексного оцінювання ефективності діяльності підрозділів ОВС різних рівнів; у [39] - метод компараторної параметричної ідентифікації лінійної адитивної моделі багатофакторного оцінювання; у [40] - метод структурної ідентифікації моделі багатофакторного оцінювання з використанням поліноміальних штучних нейронних мереж; у [41] - підхід до обчислення кількісних багатофакторних оцінок успішності навчання; у [42] - підхід до вибору структури мінімальної складності моделі оцінювання альтернатив, як фрагменту поліному Колмогорова-Габора; у [43] - методи ранжирування альтернатив у випадку, коли їх функції корисності задані у вигляді інтервальних функцій; у [44] - підхід до взаємної трансформації інтервальних величин, які можуть бути задані в різних формах; у [45] - підхід до формування лінійних і нелінійних функцій корисності локальних характеристик альтернатив; у [47] - формальна постановка задачі визначення екстремального значення багатофакторних оцінок альтернатив у випадку інтервальної невизначеності параметрів моделі оцінювання.
Апробація результатів дисертації. Наукові результати досліджень, концепції та положення доповідалися та обговорювалися на: III, IV, V Міжнародних конференціях ”Теорія і техніка передачі, прийому та обробки інформації” (Туапсе, Росія, 1997, 1998, 1999); 16th International Symposium on Mathematical Programming (Lausanne, Switzerland, 1997); 16th European Conference on Operation Research (Brussels, Belgium, 1998); V Міжнародній науково-технічній конференції ”Контроль і управління в складних системах”. (Вінниця, 1999); Міжвузівській науково-методичній конференції ”Експертні оцінки матеріалів навчального процесу” (Харків, 2000); X Міжнародній науковій конференції ”Інформатизація правоохоронних систем” (Москва, Росія, 2001); European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (Jyvдskylд, Finland, 2004); Науково-практичній конференції ”Інтелектуальні системи прийняття рішень та прикладні аспекти інформаційних технологій” (Євпаторія, 2005); I, II Міжнародних конференціях ”Сучасні інформаційні системи. Проблеми і тенденції розвитку” (Харків - Туапсе, 2006, 2007); Inaugural Conference of the Business, Information and Management Academy (Sharjah, UAE, 2007); V International Conference ”Information Research and Applications” (Varna, Bulgaria, 2007); III Міжнародному радіоелектронному форумі ”Прикладна радіоелектроніка. Стан і перспективи розвитку” (Харків, 2008); VI Міжнародній науково-практичній конференції ”Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем” (Дніпропетровськ, 2008).
Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 47 наукових працях, серед яких 1 монографія, 31 стаття у фахових виданнях, рекомендованих ВАК України та 15 у друкованих матеріалах конференцій.
Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, семи розділів, висновків та трьох додатків. Повний обсяг дисертації - 388 сторінок, у тому числі 292 сторінки основного тексту, 68 рисунків і 26 таблиць на 40 сторінках, список використаних літературних джерел із 213 назв на 22 сторінках, 3 додатки на 34 сторінках.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми, показано її наукову та практичну значущість, сформульовано проблему, мету та задачі дослідження. Подана стисла характеристика результатів досліджень, наведені відомості про їх апробацію й публікацію.
Перший розділ присвячений розгляду основних напрямів і тенденцій автоматизації інтелектуальної діяльності людини на основі використання обчислювальної техніки. Показано, що прогрес в цій галузі значною мірою залежить від успіхів формалізації математичних моделей розв'язання інтелектуальних задач. Проведено системологічний аналіз інтелектуальної діяльності людини, виділені проблемні питання, розглянуто стан досліджень в цій галузі і на цій основі сформульовано мету дослідження і задачі дисертаційної роботи, які полягають у формалізації інтелектуального процесу прийняття рішень. Концептуальним етапом цієї формалізації є розв'язання проблеми синтезу моделей скалярного багатофакторного оцінювання альтернативних варіантів рішень.
Кінцевою метою розв'язання загальної задачі прийняття рішень є вибір з допустимої множини рішень X єдиного найкращого (оптимального), тобто екстремального по вибраних локальних критеріях , рішення.
Задача багатокритеріальної оптимізації (1), в загальному випадку, є некоректно поставленою за Адамаром і для її розв'язання потрібно введення деякого регуляризуючого правила.
Носієм інформації, необхідної для регуляризації, є людина (ОПР), що зумовлює два можливі підходи до розв'язання задачі вибору єдиного рішення з області компромісів: неконструктивний і конструктивний. Показано, що автоматизація інтелектуальної діяльності можлива тільки на основі конструктивного підходу, тобто деяких формальних правил.
Розглянуто основні способи реалізації конструктивного підходу: принцип головного критерію; принцип послідовної оптимізації; функціонально-вартісний аналіз; формування узагальненого скалярного критерію, що враховує всі різнорідні локальні критерії.
У останньому випадку єдиний скалярний критерій формується як функціонал локальних критеріїв
Цей найбільш загальний і універсальний підхід до розв'язання задачі багатокритеріальної оптимізації відомий як проблема багатофакторного оцінювання. Центральною задачею цієї проблеми є ідентифікація моделі формування узагальненої оцінки (2).
Сформульовано загальну постановку задачі синтезу математичної моделі багатофакторного оцінювання, що базується на постулатах теорії корисності.
Аналіз особливостей задачі синтезу моделі інтелектуального процесу багатофакторного оцінювання показав, що, не дивлячись на величезну принципову важливість функціонального моделювання розумового апарату людини, основою для реальної автоматизації інтелектуальних процесів нині можуть служити методи непрямої аналогії.
Внаслідок того, що результат інтелектуального процесу неможливо виміряти в кількісній шкалі, класичні методи структурно-параметричної ідентифікації моделей технічних систем до нього не можуть бути застосовані. Тому необхідно розробити нові, проблемно-орієнтовані методи ідентифікації моделей інтелектуальної діяльності.
У другому розділі дано теоретичне обґрунтування загальної методології ідентифікації моделей інтелектуальної діяльності і, зокрема, моделі багатофакторного оцінювання альтернатив, яка ґрунтується на ідеях теорії компараторної ідентифікації. Розглядається метод верифікації адекватності і точності як самих методів ідентифікації, так і запропонованих математичних моделей.
Розглянуто відомі підходи до розв'язання проблеми формалізації і синтезу моделей інтелектуальної діяльності людини, серед яких слід виділити такі: 1) прямі методи моделювання (принцип прямої аналогії); 2) біхевіористичний підхід, що базується на принципах ”чорної скрині” і синтезі моделі у вигляді апроксимуючого полінома; 3) інтроспективний підхід, заснований на спонуканні експерта до усвідомлення, структуризації і оцінки своїх відчуттів з їх подальшою формалізацією. Аналіз особливостей застосування, а також достоїнств і недоліків кожного з них, показав доцільність розробки нового підходу, орієнтованого на конструктивне об'єднання методу біхевіористичної ідентифікації з інтроспективним аналізом, на основі ідей методу компараторної ідентифікації.
Класична структурно-параметрична ідентифікація передбачає синтез такої моделі, яка мінімізує розходження між виходом моделі і реальної системи на множині значень експериментальної вибірки. Проте такий підхід неможливо безпосередньо застосувати для розв'язання задач ідентифікації моделей інтелектуальної діяльності, що пов'язані з формалізацією відчуттів, оскільки їх неможливо виміряти кількісно. Тому виникла ідея заміни об'єктивного вимірювання відчуття його інтроспективним суб'єктивним аналізом. Формалізація процесу такого аналізу можлива на основі методу компараторної ідентифікації.
Класичний метод компараторної ідентифікації має низку обмежень, які дещо звужують сферу його застосування. Тому в дисертації запропоновано його розвиток і узагальнення, яке полягає в тому, що на відміну від його класичної реалізації використовується інформація, що міститься не лише в ситуації еквівалентності відчуттів, але і в ситуації їх нееквівалентності. Це дозволяє підвищити універсальність методу, збільшити кількість початкової інформації і використовувати для її отримання не тільки активні, але і пасивні експерименти.
На основі цього підходу було синтезовано в загальному вигляді модель багатофакторного оцінювання альтернатив, інваріантну до розмірності простору факторів, що їх характеризують.
Нехай задана обмежена множина альтернативних рішень . Кожна альтернатива , описується набором локальних характеристик, які допускають їх об'єктивне кількісне вимірювання.
Згідно з теорією корисності кожній альтернативі можна поставити у відповідність деяку скалярну оцінку (функцію) її корисності
Для кожної пари еквівалентних альтернатив ~,, маємо
Якщо встановлено відношення строгої переваги (), то для відношення нестрогої переваги () виконується
Якщо в результаті експерименту для частини (або всіх) альтернатив вдається отримати їх кількісні оцінки корисності тобто то такі рівняння можуть бути додані до розглянутих вище рівнянь і нерівностей.
Таким чином, задача компараторної ідентифікації моделі оцінювання полягає в знаходженні таких і , які не суперечать обмеженням виду (3) - (7).
У загальному випадку локальні характеристики різнорідні і через це мають різну фізичну розмірність, не співпадаючі інтервали зміни і вимірюються в різних кількісних і якісних шкалах. Тому їх необхідно привести до деякого нормалізованого вигляду. Це можна зробити, використовуючи таке правило нормування: де , , - відповідно дійсне (абсолютне), найгірше і найкраще значення j-ої характеристики; - параметр нелінійності.
З урахуванням прийнятого способу нормалізації характеристик альтернатив коефіцієнти стають безрозмірними і виконують такі функції: по-перше, масштабують скалярну багатофакторну оцінку альтернативи, тобто визначають інтервал її можливих значень, а по-друге, дозволяють врахувати різну важливість (”вагу”) локальних характеристик.
Для того, щоб значення скалярної багатофакторної оцінки змінювалося в інтервалі [0, 1], необхідно, щоб для виконувалися умови:
Таким чином, вихідна модель багатофакторного оцінювання може бути перетворена до універсального вигляду, інваріантного до кількості локальних характеристик, їх розмірності, виду екстремуму, інтервалу зміни.
В якості універсального поліному, що апроксимує оператор F, пропонується використовувати поліном Колмогорова-Габора, який в прийнятих вище позначеннях має вигляд:
Розроблено і обґрунтовано метод верифікації адекватності і точності як методів ідентифікації, так і запропонованих математичних моделей, що базується на послідовній реалізації принципу ”зовнішнього доповнення”.
Третій розділ присвячений аналізу і розробці методів отримання початкової інформації про переваги експертів, а також розв'язанню, на основі цієї інформації, задачі параметричної ідентифікації моделі багатофакторного оцінювання альтернатив.
Синтезовано узагальнену модель компараторної параметричної ідентифікації, яка дозволяє отримати кількісні інтервальні або точкові індивідуальні оцінки параметрів моделі багатофакторного оцінювання на основі якісної експертної інформації про відносну перевагу альтернатив, в припущенні, що структура моделі описується поліномом Колмогорова-Габора.
Формально процес компараторної ідентифікації параметрів моделі багатофакторного оцінювання можна описати таким чином.
Нехай в результаті розгляду пари альтернатив, експертом встановлено відношення порядку виду . Звідси, згідно (5), витікає
де , - багатофакторні оцінки відповідних альтернатив. Тоді, з урахуванням (10), нерівність (11) прийме вигляд:
Позначимо, через , , , … відповідні вирази, що стоять в квадратних дужках нерівності (12). В результаті отримуємо - де , , , … - невідомі параметри моделі багатофакторного оцінювання.
У загальному випадку (при порівнянні більш ніж двох альтернатив) на основі експертних оцінок можна сформувати нерівностей вигляду (11). З урахуванням цього загальна модель компараторної ідентифікації прийме вигляд:
Кінцева мета параметричної компараторної ідентифікації полягає у визначенні матриці коефіцієнтів моделі багатофакторного оцінювання на основі математичної моделі (14) - (15).
Сформульовано і доведено умови і твердження, які визначають коректність моделі компараторної параметричної ідентифікації і показано, що модель визначає тільки деяку опуклу область можливих значень її параметрів і у такому вигляді не дозволяє визначити єдиний розв'язок, тобто є некоректною згідно із Адамаром. Отже, вихідну модель необхідно доповнити деякими регуляризуючими співвідношеннями.
Розроблені обчислювальні методи визначення інтервальних і точкових індивідуальних оцінок параметрів моделі оцінювання.
Визначення інтервальних значень параметрів моделі оцінювання пов'язане із знаходженням точкових граничних значень допустимої множини параметрів моделі оцінювання. Для цього модель (14) - (15), по-перше, послідовно доповнюється регуляризуючими цільовими функціями, що мають вигляд: де - узагальнений індекс коефіцієнтів моделі оцінювання при конкретній фіксованій структурі моделі; - загальна кількість коефіцієнтів, а, по-друге, всі строгі нерівності перетворяться в нестрогі.
Результати розв'язання задач (16) і (17) при обмеженнях (14) - (15) дозволяють сформувати кортеж інтервалів, який відповідає одному компараторному експерименту.
У зв'язку з відсутністю інформації, що дозволяє висунути об'єктивну гіпотезу, яка визначає вигляд регуляризуючої функції, у якості робочої було прийнято евристичну гіпотезу, що точкова оцінка параметрів моделі багатофакторного оцінювання повинна знаходитися в центральній області багатогранника допустимих значень параметрів, що визначається (14) - (15).
Запропоновано методи точкової ідентифікації, засновані на цій гіпотезі.
При використанні методу середньої точки значення параметрів обчислюються на основі отриманих вище інтервальних значень, згідно з формулами:
де - середина, а - довжина інтервалу.
Метод, заснований на визначенні чебишевського розв'язку дозволяє знайти точку, що знаходиться всередині області допустимих значень (для сумісної системи лінійних обмежень). Якщо позначити чебишевську точку , то , де - ліві частини обмежень (14) - (15), тобто вона є мінімаксним розв'язком на множині допустимих значень, що відхиляється не більш, ніж на деяку величину від граней багатогранника, який визначає . Таким чином, на відміну від середньої точки, розв'язок центрується відносно граней, а не вершин допустимої множини розв'язків.
Показано, що задачу компараторної ідентифікації параметрів моделі багатофакторного оцінювання як в інтервальному, так і в точковому вигляді можна коректно розв'язати, використовуючи стандартні методи лінійного програмування, оскільки поліноми (10) є лінійними по параметрах .
При збільшенні розмірності задачі за рахунок урахування великої кількості факторів, що характеризують альтернативи, і, отже, ускладнення структури моделі, а також зростання кількості обмежень (14) - (15), вона стає занадто громіздкою і її розв'язання вимагає великих обчислювальних витрат. У таких випадках ефективнішими в порівнянні з традиційними виявляються методи, що базуються на ідеях випадкового пошуку і принципах генетичної селекції. Тому, як альтернативу, в роботі запропоновано спеціальний генетичний алгоритм (ГА) розв'язання задачі компараторної параметричної ідентифікації.
Усі розглянуті вище методи ідентифікації параметрів засновані на формалізації інформації, що відображає суб'єктивну думку і переваги одного експерта, отриманої при проведенні одного пасивного або активного компараторного експерименту. Репрезентативність одержаних результатів можна підвищити шляхом узагальнення індивідуальних думок групи експертів. Слід зазначити, що незалежно від способу отримання (експертним або компараторним методом) і виду (точкових або інтервальних) індивідуальних оцінок параметрів моделі, групова оцінка завжди має інтервальний характер.
Запропоновано методи визначення інтервальних групових оцінок параметрів на основі множини індивідуальних (точкових і інтервальних) оцінок експертів, а також процедури узгодження границь отриманих інтервалів.
Четвертий розділ присвячений розробці обчислювальних методів розв'язання задачі структурно-параметричної ідентифікації моделі багатофакторного оцінювання, які базуються на методології генетичної селекції апроксимуючого полінома у поєднанні з методом компараторної ідентифікації.
Для формування структури моделі в роботі пропонується використовувати підходи, що базуються на ідеях МГУА, ГА і апараті штучних нейронних мереж (ШНМ). При цьому розв'язання задачі параметричної ідентифікації моделі оцінювання здійснюється одним з методів, що описані в третьому розділі.
Можлива різна композиція методів структурної і параметричної ідентифікації, яка відрізняється точністю, трудомісткістю і універсальністю.
Розглянемо основні етапи процедури розв'язання задачі структурно-параметричної ідентифікації моделі багатофакторного оцінювання корисності альтернатив, яка базується на застосуванні МГУА.
1. Розбиття множини змінних (локальних характеристик) на групи. У роботі прийнято попарне групування змінних. При цьому для забезпечення стійкості рішення і зменшення ризику втрати змінних для моделей першого циклу доцільно використовувати всі можливі комбінації.
2. Вибір опорного локального поліному полягає у виборі структури моделі першого циклу селекції . Зважаючи на специфіку задачі синтезу моделі оцінювання, пропонується обирати поліном.
Множина обмежень (14) розбивається на дві підмножини: навчальну і перевірочну. Це багатоальтернативна евристична операція, конкретизація якої базується на аналізі кількості і якості експериментальних даних.
3. Розв'язання задачі параметричної ідентифікації (визначення коефіцієнтів ) моделей першого циклу (20) здійснюється на основі навчальної підмножини обмежень за допомогою методів визначення чебишевської і середньої точок, а також методів, заснованих на застосуванні ГА.
4. Оцінка ”якості” опорних поліномів першого циклу селекції (20) здійснюється на основі кількості задовільнених нерівностей вигляду (14), які віднесені до перевірочної підмножини.
5. Відбір ”кращих” локальних моделей першого циклу здійснюється виходячи з отриманих вище оцінок ”якості”. Відбираються поліноми (20) з більшими значеннями оцінок. Рекомендується, щоб їх кількість дорівнювала числу початкових змінних.
6. Реалізація другого і наступних циклів селекції. З отриманих на єтапі 5 поліномів формуються нові парні комбінації. Для кожної з них синтезуються опорні поліноми, наприклад, , і вся описана вище процедура циклічно повторюється.
7. Процедура синтезу закінчується тоді, коли на деякому циклі селекції буде отриманий поліном, який задовольняє всім обмеженням перевірочної підмножини.
Розглянемо метод структурно-параметричної ідентифікації моделі оцінювання, заснований на застосуванні ГА.
1. Вибір структури полінома початкової популяції. В якості полінома початкової популяції пропонується обирати деякий фрагмент полінома Колмогорова-Габора, наприклад.
2. Формування початкової популяції. Хромосома популяції, що характеризує конкретну структуру полінома складається з біт (членів полінома) необхідних для її кодування. Випадковим чином генерується популяція з початкових хромосом.
Перетворивши двійковий код хромосом в поліноми вигляду (21), отримуємо варіантів структури полінома, наприклад.
3. Розв'язання задачі параметричної ідентифікації поліномів початкової популяції здійснюється за допомогою методів, що описані в третьому розділі.
4. Оцінка ”якості” хромосом (поліномів) популяції. По аналогії з процедурою, описаною вище, у якості такої оцінки приймається кількість задовільнених нерівностей вигляду (14).
5. Реалізація другого і наступних циклів селекції. Шляхом проведення операцій схрещування, мутації і інверсії формується нова популяція хромосом. Потім стара популяція частково або повністю знищується, і здійснюється перехід до розгляду наступного покоління.
6. Процедура синтезу закінчується тоді, коли на деякому циклі селекції буде одержана хромосома, перетворивши яку в поліном, отримаємо оцінку її ”якості”, що дорівнює кількості всіх обмежень (14).
Спільною особливістю розглянутих вище методів ідентифікації моделі багатофакторного оцінювання є розбиття проблеми на окремі задачі структурної (генерації структур) і параметричної ідентифікації, які розв'язуються послідовно для кожної локальної моделі (у МГУА) або хромосоми (у ГА). Таким чином, перспектива підвищення обчислювальної ефективності процесу структурно-параметричної ідентифікації моделі оцінювання в рамках прийнятої в роботі методології полягає в:
– алгоритмічній і обчислювальній інтеграції етапів структурної і параметричної ідентифікації в єдиний процес;
– реалізації обчислювального процесу так, щоб ідентифікація локальних моделей (хромосом) проводилася паралельно, а не послідовно.
Можливі різні підходи до розв'язання даної проблеми, але, зважаючи на специфіку цієї задачі, найбільш перспективним є використання, як інструментального засобу, апарату ШНМ.
Проведений аналіз специфіки застосування проблемно-орієнтованих ШНМ різних архітектур показав, що для розв'язання цієї задачі доцільно використовувати МГУА-мережу. В якості формального нейрону в цій мережі використовується N-ADALINE. Процес побудови і навчання такої мережі, взагалі, аналогічний розглянутому вище методу ідентифікації моделі, заснованому на використанні елементів МГУА.
У п'ятому розділі розглядаються методи обчислення значень узагальнених багатофакторних оцінок з урахуванням НЕ-факторів і ранжирування альтернатив в умовах інтервальної невизначеності локальних характеристик альтернатив і параметрів синтезованих моделей.
Інтервальна невизначеність параметрів моделі багатофакторного оцінювання обумовлена особливостями застосування методу компараторної параметричної ідентифікації. Іншим джерелом невизначеності є неточність задавання самих локальних характеристик, виходячи з яких, формується узагальнена скалярна оцінка альтернатив.
Проаналізовано різні види інтервальної невизначеності і залежно від вигляду і форми представлення інформації про перевагу можливих значень змінних всередині інтервалу запропоновано класифікацію інтервальних невизначеностей на об'єктивний і суб'єктивний ризики (інформація задана у вигляді деяких імовірнісних характеристик), об'єктивну (інформація повністю відсутня) і суб'єктивну (інформація формалізується у вигляді нечітких множин) невизначеності.
Інтервальна багатофакторна оцінка у формі полінома Колмогорова-Габора в розширеному просторі змінних може бути представлена або як лінійна по характеристичних факторах альтернатив інтервальна функція вигляду, якщо - детерміновані фактори, що характеризують альтернативи ; або, якщо всі або частина факторів є інтервально-невизначеними величинами, як - де - інтервально задані параметри моделі оцінювання.
При обчисленні інтервальної багатофакторної оцінки в ситуаціях об'єктивного і суб'єктивного ризику передбачається, що статистичні параметри інтервальних змінних - оцінки математичного очікування і дисперсії , а значить і середнього квадратичного відхилення відомі.
На основі теорем про числові характеристики випадкових величин визначені операції суми, добутку і множення на число для математичного очікування і дисперсії, необхідні для обчислення інтервальних багатофакторних оцінок альтернатив.
В цьому випадку, оскільки статистичні характеристики відомі, то обчислене за формулою (22) інтервальне значення описується двома статистичними параметрами: оцінками математичного очікування і дисперсії. При цьому оцінка математичного очікування визначає центр інтервальної величини, а оцінка середнього квадратичного відхилення опосередковано характеризує радіус інтервалу. Якщо і і є випадковими величинами з відомими характеристиками, то обчислення інтервального значення за формулою (23) також не викликає труднощів.
Для обчислення інтервальної багатофакторної оцінки в умовах об'єктивної невизначеності застосовуються формули вказаних вище арифметичних операцій для нецентрованих і центрованих величин, які використовуються в інтервальному аналізі. При цьому кінцевий результат обчислення інтервального значення багатофакторної оцінки альтернативи буде представлений у вигляді нецентрованого або центрованого інтервалів можливих значень.
В умовах суб'єктивної невизначеності початкові змінні задаються у вигляді лінгвістичних змінних, які можуть бути формалізовані як нечіткі числа (НЧ), де - множина числових значень, які може приймати лінгвістична змінна ; значення функції належності.
У загальному випадку на вигляд функції належності не накладається обмежень, але виходячи із специфіки задачі, прийнято припущення, що функція належності унімодальна, опукла і симетрична відносно центру інтервалу можливих значень змінної . Це припущення природно відображує переваги експерта і є найбільш зручним для їх формалізації.
Аналіз особливостей застосування і властивостей функцій належності різного вигляду (гаусової, дзвінообразної, сигмоїдальної, трикутної) показав, що для досягнення цілей даної роботи доцільно використовувати трикутну форму .
Розглянуто арифметичні операції суми, добутку і множення на число над додатними, унімодальними, з опуклими функціями належності НЧ. Багатофакторна оцінка, що задана у вигляді (22), є НЧ, яке характеризується інтервалом можливих значень, модою і функцією належності.
Арифметичні операції над інтервальними величинами можна проводити тільки зі змінними, які мають однаковий тип невизначеності. Тому в роботі обґрунтовано можливість і розроблено підходи до взаємної трансформації інтервальних величин з різними формами невизначеності з метою приведення їх до єдиного типу. Однак при цьому в більшості випадків виникає необхідність евристичного поповнення інформації, яка є відсутньою.
Сформульовано загальну задачу визначення екстремального значення багатофакторної оцінки на множині припустимих альтернатив в умовах інтервальної невизначеності і запропоновано підходи до її розв'язання.
Для випадку (22) ця задача може бути представлена як задача багатокритеріальної оптимізації, що має вигляд:
Розглянуто специфіку розв'язання задачі (24) - (25) для різних форм інтервальної невизначеності задавання параметрів , . При цьому і , оскільки, якщо або , задача не має розв'язку із-за неможливості виконання обмежень (25). Якщо ж або , то або , , і відповідно задача (24) - (25) вироджується в звичайну детерміновану оптимізаційну задачу.
Для будь-якої форми задавання інтервальної невизначеності можна визначити відповідні інтервальні значення функції корисності альтернатив (22) і переваги цих значень всередині інтервалу. Проте для конструктивного практичного використання результатів необхідно провести ”детермінізацію” розв'язку, тобто обґрунтувати правила вибору конкретного точкового значення .
При розв'язанні задачі (24) - (25) в принципі можливі два підходи:
– усунення інтервальної невизначеності на етапі підготовки розв'язання шляхом вибору точкових значень параметрів , з урахуванням всіх обмежень (24);
– отримання інтервального розв'язку в умовах невизначеності параметрів , і далі вибір точкового розв'язку .
Вибір того або іншого підходу заснований на системологічному аналізі особливостей конкретної задачі. З цієї точки зору розглянуто способи розв'язання задачі (24) - (25) для різних форм невизначеності параметрів.
...Подобные документы
Розв'язання графічним методом математичної моделі задачі з організації випуску продукції. Розв'язання транспортної задачі методом потенціалів. Знаходження умовних екстремумів функцій методом множників Лагранжа. Розв'язання задач симплекс-методом.
контрольная работа [48,5 K], добавлен 16.07.2010Послідовність графічного розв'язання задачі лінійного програмування. Сумісна система лінійних нерівностей, умови невід'ємності, визначення півплощини з граничними прямими. Графічний метод для визначення оптимального плану задачі лінійного програмування.
задача [320,6 K], добавлен 31.05.2010Розв'язання системи лінійних рівнянь методом повного виключення змінних (метод Гаусса) з використанням розрахункових таблиць. Будування математичної моделі задачі лінійного програмування. Умови для застосування симплекс-методу. Розв'язка спряженої задачі.
практическая работа [42,3 K], добавлен 09.11.2009Розв'язання завдання графічним способом. Зображення розв'язку системи нерівностей, визначення досягнення максимуму та мінімуму функції. Розв'язання транспортної задачі методом потенціалів та симплекс-методом, формування оціночної матриці з елементів.
задача [134,9 K], добавлен 31.05.2010Виведення рівняння коливань струни. Постановка початкових і кінцевих умов. Розв’язання задачі про коливання нескінченної і напівнескінченної струни. Метод та фізичний зміст формули Даламбера. Розповсюдження хвиль відхилення. Метод Фур'є, стоячі хвилі.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 04.04.2011Розгляд крайової задачі для нелінійного рівняння другого порядку. Вивчення різницевого методу розв'язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Метод прогонки - окремий випадок методу Гауса. Програма на алгоритмічній мові Turbo Pascal.
курсовая работа [49,7 K], добавлен 10.04.2011Складання плану виробництва при максимальному прибутку. Введення додаткових (фіктивних) змінних, які перетворюють нерівності на рівності. Розв’язування задачі лінійного програмування графічним методом та економічна інтерпретація отриманого розв’язку.
контрольная работа [298,3 K], добавлен 20.11.2009Поняття та значення симплекс-методу як особливого методу розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального рішення. Розв'язання задачі з використанням програми Simplex Win.
лабораторная работа [264,1 K], добавлен 30.03.2015Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010Графічний спосіб розв'язку рівнянь. Комбінований метод пошуку та відокремлення коренів. Метод Ньютона (метод дотичних або лінеаризації). Процедура Ейткена прискорення збіжності. Метод половинного поділу та простих ітерацій уточнення коренів рівняння.
лекция [1,9 M], добавлен 27.07.2013Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають пониження порядку. Лінійні диференціальні рівняння II порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації довільних сталих як загальний метод розв’язування та й приклад розв’язання задачі Коші.
лекция [202,1 K], добавлен 30.04.2014Задача Коші і крайова задача. Двоточкова крайова задача для диференціального рівняння другого порядку. Види граничних умов. Метод, заснований на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коші. Розв'язування систем нелінійних рівнянь.
презентация [86,2 K], добавлен 06.02.2014Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.
контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.
курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010Опис одного з поширених ітераційних методів, методу хорда — ітераційного методу знаходження кореня рівняння, який ще має назви метод лінійного інтерполювання, метод пропорційних частин, або метод хибного положення. Задачі для самостійного розв’язування.
реферат [336,8 K], добавлен 04.12.2010Методи скінченних різниць або методи сіток як чисельні методи розв'язку інтегро-диференціальних рівнянь алгебри диференціального та інтегрального числення. порядок розв’язання задачі Діріхле для рівняння Лапласа методом сіток у прямокутної області.
курсовая работа [236,5 K], добавлен 11.06.2015Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції. Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь. Розв'язання похідного кубічного рівняння. Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів, їх розв’язання.
курсовая работа [536,1 K], добавлен 23.02.2014Випадок однорідної крайової задачі. Розв’язання виродженого крайового виразу. Теорема Коші, іі доведення. Означення узагальненої функції Гріна крайової задачі. Формулювання алгоритму відшукання узагальненої функції Гріна. Приклади роз'язання завдань.
лекция [108,5 K], добавлен 24.01.2009Поняття про алгебраїчний метод у геометрії. Побудова коренів квадратного рівняння та формул. Побудова деяких однорідних виразів циркулем і лінійкою. Ознака можливості побудови відрізка. Розв’язування задач на побудову. Поняття про однорідні функції.
курсовая работа [920,5 K], добавлен 17.03.2011Поняття диференціальних рівнянь. Задача Коші і крайова задача. Класифікація методів для задачі Коші. Похибка методу Ейлера. Модифікований метод Ейлера-Коші. Пошук рішення задачі однокроковим методом Ейлера. Порівняння чисельного рішення з точним рішенням.
презентация [294,4 K], добавлен 06.02.2014
